Tuletise üldine määratlus. Summa ja vahe tuletis

Funktsiooni tuletis on kooli õppekavas üks raskemaid teemasid. Mitte iga lõpetaja ei vasta küsimusele, mis on tuletis.

See artikkel selgitab lihtsalt ja selgelt, mis on tuletis ja miks seda vaja on.. Me ei püüdle nüüd esitluse matemaatilise ranguse poole. Kõige tähtsam on mõista tähendust.

Meenutagem määratlust:

Tuletis on funktsiooni muutumise kiirus.

Joonisel on kujutatud kolme funktsiooni graafikud. Milline neist kasvab teie arvates kõige kiiremini?

Vastus on ilmne – kolmas. Sellel on suurim muutusmäär, st suurim tuletis.

Siin on veel üks näide.

Kostja, Griša ja Matvey said samal ajal tööd. Vaatame, kuidas nende sissetulek aasta jooksul muutus:

Näete graafikul kõike kohe, eks? Kostja sissetulek on kuue kuuga enam kui kahekordistunud. Ja Grisha sissetulek ka kasvas, kuid ainult natuke. Ja Matthew sissetulek vähenes nulli. Algtingimused on samad, kuid funktsiooni muutumise kiirus, s.o. tuletis, - erinev. Mis puutub Matveysse, siis tema tulu tuletis on üldiselt negatiivne.

Intuitiivselt saame hõlpsasti hinnata funktsiooni muutumise kiirust. Aga kuidas me seda teeme?

Me tegelikult vaatame seda, kui järsult funktsiooni graafik üles (või alla) läheb. Teisisõnu, kui kiiresti y muutub x-iga. Ilmselgelt võib sama funktsioon erinevates punktides omada erinevat tuletise väärtust – see tähendab, et see võib muutuda kiiremini või aeglasemalt.

Funktsiooni tuletist tähistatakse .

Näitame, kuidas graafiku abil leida.

Joonistatakse mingi funktsiooni graafik. Võtke sellel abstsissiga punkt. Joonistage selles punktis funktsiooni graafikule puutuja. Tahame hinnata, kui järsult funktsiooni graafik tõuseb. Selle jaoks on mugav väärtus puutuja kalde puutuja.

Funktsiooni tuletis punktis on võrdne selles punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja kalde puutujaga.

Pange tähele - puutuja kaldenurgana võtame puutuja ja telje positiivse suuna vahelise nurga.

Mõnikord küsivad õpilased, mis on funktsiooni graafiku puutuja. See on sirgjoon, millel on ainus ühine punkt selles jaotises oleva graafikuga, nagu on näidatud meie joonisel. See näeb välja nagu ringi puutuja.

Otsime üles. Peame meeles, et täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja on võrdne vastasjala suhtega külgnevasse. Kolmnurgast:

Leidsime tuletise graafiku abil, teadmata isegi funktsiooni valemit. Selliseid ülesandeid leidub matemaatika eksamil sageli numbri all.

On veel üks oluline seos. Tuletame meelde, et sirge annab võrrand

Selles võrrandis olevat suurust nimetatakse sirgjoone kalle. See on võrdne sirge telje kaldenurga puutujaga.

.

Me saame sellest aru

Meenutagem seda valemit. See väljendab tuletise geomeetrilist tähendust.

Funktsiooni tuletis punktis on võrdne selles punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja kaldega.

Teisisõnu, tuletis on võrdne puutuja kalde puutujaga.

Oleme juba öelnud, et samal funktsioonil võivad erinevates punktides olla erinevad tuletised. Vaatame, kuidas tuletis on seotud funktsiooni käitumisega.

Joonistame mõne funktsiooni graafiku. Las see funktsioon mõnes piirkonnas suureneb ja teistes väheneb erineva kiirusega. Ja olgu sellel funktsioonil maksimum- ja miinimumpunktid.

Ühel hetkel funktsioon suureneb. Punkti tõmmatud graafiku puutuja moodustab teravnurga; positiivse telje suunaga. Seega on tuletis punktis positiivne.

Hetkel meie funktsioon väheneb. Selle punkti puutuja moodustab nürinurga; positiivse telje suunaga. Kuna nürinurga puutuja on negatiivne, on tuletis punktis negatiivne.

See juhtub järgmiselt.

Kui funktsioon kasvab, on selle tuletis positiivne.

Kui see väheneb, on selle tuletis negatiivne.

Ja mis saab maksimum- ja miinimumpunktides? Näeme, et (maksimumipunktis) ja (minimaalses punktis) puutuja on horisontaalne. Seetõttu on puutuja kalde puutuja nendes punktides null ja tuletis on samuti null.

Punkt on maksimumpunkt. Siinkohal asendub funktsiooni suurenemine vähenemisega. Järelikult muutub tuletise märk punktis "plussist" "miinusseks".

Punktis - miinimumpunktis - on tuletis samuti võrdne nulliga, kuid selle märk muutub "miinusest" "plussiks".

Järeldus: tuletise abil saate funktsiooni käitumise kohta teada kõike, mis meid huvitab.

Kui tuletis on positiivne, siis funktsioon kasvab.

Kui tuletis on negatiivne, siis funktsioon on kahanev.

Maksimaalses punktis on tuletis null ja muudab märgi plussist miinusesse.

Miinimumpunktis on tuletis samuti null ja muudab märgi miinusest plussiks.

Kirjutame need leiud tabeli kujul:

	suureneb	maksimaalne punkt	väheneb	miinimumpunkt	suureneb
+	0	-	0	+

Teeme kaks väikest täpsustust. Probleemi lahendamisel vajate ühte neist. Teine - esimesel aastal, funktsioonide ja tuletisi tõsisema uurimisega.

Võimalik on juhtum, kui funktsiooni tuletis on mingil hetkel võrdne nulliga, kuid funktsioonil pole selles punktis ei maksimumi ega miinimumi. See nn :

Punktis on graafiku puutuja horisontaalne ja tuletis null. Kuid enne punkti funktsioon suurenes – ja pärast punkti jätkab suurenemist. Tuletise märk ei muutu - see on jäänud positiivseks, nagu ta oli.

Samuti juhtub, et maksimumi või miinimumi punktis tuletist ei eksisteeri. Graafikul vastab see järsule katkestusele, kui antud punktis pole puutujat võimalik joonistada.

Kuidas aga leida tuletist, kui funktsioon on antud mitte graafiku, vaid valemiga? Sel juhul see kehtib

Tuletise leidmise operatsiooni nimetatakse diferentseerimiseks.

Lihtsamate (ja mitte väga lihtsate) funktsioonide tuletiste leidmise probleemide lahendamise tulemusena, defineerides tuletise juurdekasvu ja argumendi vahekorra piiriks, ilmus tuletisi tabel ja täpselt määratletud diferentseerimisreeglid. . Isaac Newton (1643-1727) ja Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) olid esimesed, kes töötasid tuletiste leidmise alal.

Seetõttu ei ole meie ajal vaja mis tahes funktsiooni tuletise leidmiseks arvutada ülalmainitud funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiri, vaid tuleb kasutada ainult tabelit. tuletistest ja diferentseerimisreeglitest. Tuletise leidmiseks sobib järgmine algoritm.

Tuletise leidmiseks, vajate löögimärgi alla väljendit lagundama lihtsaid funktsioone ja määrake, millised toimingud (produkt, summa, jagatis) need funktsioonid on omavahel seotud. Edasi leiame elementaarfunktsioonide tuletised tuletiste tabelist ning korrutise, summa ja jagatise tuletiste valemid - diferentseerimisreeglitest. Tuletiste ja diferentseerimisreeglite tabel on toodud pärast kahte esimest näidet.

Näide 1 Leia funktsiooni tuletis

Lahendus. Diferentseerimisreeglitest saame teada, et funktsioonide summa tuletis on funktsioonide tuletiste summa, s.o.

Tuletiste tabelist saame teada, et "X" tuletis on võrdne ühega ja siinuse tuletis on võrdne koosinusega. Asendame need väärtused tuletiste summaga ja leiame ülesande tingimuse jaoks vajaliku tuletise:

Näide 2 Leia funktsiooni tuletis

Lahendus. Diferentseerige kui summa tuletis, milles teise liikme konstantse teguriga saab selle tuletise märgist välja võtta:

Kui ikka tekib küsimusi, kust miski pärit on, selguvad need reeglina pärast tuletiste tabelit ja lihtsamaid diferentseerimisreegleid lugedes. Me läheme kohe nende juurde.

Lihtfunktsioonide tuletiste tabel

1. Konstandi (arvu) tuletis. Mis tahes arv (1, 2, 5, 200...), mis on funktsiooni avaldises. Alati null. Seda on väga oluline meeles pidada, kuna seda nõutakse väga sageli
2. Sõltumatu muutuja tuletis. Kõige sagedamini "x". Alati võrdne ühega. Seda on samuti oluline meeles pidada
3. Kraadi tuletis. Ülesannete lahendamisel tuleb mitteruutjuured teisendada astmeks.
4. Muutuja tuletis astmega -1
5. Ruutjuure tuletis
6. Siinustuletis
7. Koosinustuletis
8. Puutuja tuletis
9. Kootangensi tuletis
10. Arsiinuse tuletis
11. Kaarkoosinuse tuletis
12. Kaartangensi tuletis
13. Pöördtangensi tuletis
14. Naturaallogaritmi tuletis
15. Logaritmifunktsiooni tuletis
16. Eksponent tuletis
17. Eksponentfunktsiooni tuletis

Eristamise reeglid

1. Summa või vahe tuletis
2. Toote tuletis
2a. Avaldise tuletis, mis on korrutatud konstantse teguriga
3. Jagatise tuletis
4. Kompleksfunktsiooni tuletis

1. reegelKui funktsioonid

on mingil hetkel diferentseeruvad , siis samas punktis funktsioonid

ja

need. funktsioonide algebralise summa tuletis on võrdne nende funktsioonide tuletiste algebralise summaga.

Tagajärg. Kui kaks diferentseeruvat funktsiooni erinevad konstandi poolest, siis on nende tuletised, st.

2. reegelKui funktsioonid

on mingil hetkel eristatavad, siis on ka nende toode samas punktis eristatav

ja

need. kahe funktsiooni korrutise tuletis on võrdne mõlema funktsiooni ja teise funktsiooni korrutiste summaga.

Tagajärg 1. Konstantteguri saab tuletise märgist välja võtta:

Tagajärg 2. Mitme diferentseeruva funktsiooni korrutise tuletis on võrdne iga teguri ja kõigi teiste tuletise korrutiste summaga.

Näiteks kolme kordaja jaoks:

3. reegelKui funktsioonid

mingil hetkel eristuvad ja , siis siinkohal on ka nende jagatis diferentseeritav.u/v ja

need. kahe funktsiooni jagatise tuletis on võrdne murdosaga, mille lugeja on nimetaja ja lugeja tuletise ning lugeja ja nimetaja tuletise korrutised ning nimetaja on eelmise lugeja ruut .

Kust teistelt lehtedelt vaadata

Korrutise tuletise ja jagatise leidmisel reaalsetes ülesannetes on alati vaja korraga rakendada mitut diferentseerimisreeglit, seega on nende tuletiste kohta rohkem näiteid artiklis."Korrutise ja jagatise tuletis".

kommenteerida. Konstanti (ehk arvu) ei tohiks segi ajada summas oleva liikmena ja konstantse tegurina! Termini puhul on selle tuletis võrdne nulliga ja konstantse teguri korral võetakse see tuletisi märgist välja. See on tüüpiline viga, mis esineb tuletiste uurimise algfaasis, kuid kuna keskmine õpilane lahendab mitu ühe-kahekomponendilist näidet, siis keskmine õpilane seda viga enam ei tee.

Ja kui teil on toote või jagatise eristamisel termin u"v, kus u- arv, näiteks 2 või 5, see tähendab konstant, siis on selle arvu tuletis võrdne nulliga ja seetõttu on kogu liige võrdne nulliga (sellist juhtumit analüüsitakse näites 10) .

Teine levinud viga on kompleksfunktsiooni tuletise mehaaniline lahendamine lihtfunktsiooni tuletis. Sellepärast kompleksfunktsiooni tuletis pühendatud eraldi artiklile. Kuid kõigepealt õpime leidma lihtsate funktsioonide tuletisi.

Teel ei saa te ilma väljendite teisendusteta. Selleks peate võib-olla avama uutes Windowsi juhendites Võimude ja juurtega teod ja Tegevused murdarvudega .

Kui otsite lahendusi võimsuste ja juurtega tuletistele, st millal funktsioon välja näeb , seejärel järgige õppetundi "Tõppude ja juurtega murdude summa tuletis".

Kui teil on ülesanne nagu , siis olete õppetunnis "Lihtsate trigonomeetriliste funktsioonide tuletised".

Samm-sammult näited – kuidas tuletist leida

Näide 3 Leia funktsiooni tuletis

Lahendus. Määrame funktsiooni avaldise osad: kogu avaldis esindab korrutist ja selle tegurid on summad, millest teises üks terminitest sisaldab konstantset tegurit. Rakendame korrutise eristamise reeglit: kahe funktsiooni korrutise tuletis on võrdne mõlema funktsiooni korrutiste summaga ja teise funktsiooni tuletisega:

Järgmisena rakendame summa diferentseerimise reeglit: funktsioonide algebralise summa tuletis võrdub nende funktsioonide tuletiste algebralise summaga. Meie puhul igas summas teine ​​liige miinusmärgiga. Igas summas näeme nii sõltumatut muutujat, mille tuletis on võrdne ühega, kui ka konstanti (arvu), mille tuletis on võrdne nulliga. Niisiis, "x" muutub üheks ja miinus 5 - nulliks. Teises avaldises korrutatakse "x" 2-ga, seega korrutame kaks sama ühikuga kui "x" tuletis. Saame järgmised tuletisinstrumentide väärtused:

Asendame leitud tuletised korrutiste summaga ja saame kogu ülesande tingimuse poolt nõutava funktsiooni tuletise:

Näide 4 Leia funktsiooni tuletis

Lahendus. Peame leidma jagatise tuletise. Jagatise eristamiseks rakendame valemit: kahe funktsiooni jagatise tuletis on võrdne murdosaga, mille lugejaks on nimetaja ja lugeja tuletise ning lugeja ja nimetaja tuletise korrutised ning nimetaja on endise lugeja ruut. Saame:

Näites 2 leidsime juba lugejas olevate tegurite tuletise. Ärgem unustagem ka seda, et korrutis, mis käesolevas näites on lugejas teine ​​tegur, võetakse miinusmärgiga:

Kui otsite lahendusi sellistele probleemidele, mille puhul peate leidma funktsiooni tuletise, kus on pidev hunnik juuri ja astmeid, nagu näiteks, siis tere tulemast klassi "Tõppude ja juurtega murdude summa tuletis" .

Kui teil on vaja rohkem teada saada siinuste, koosinuste, puutujate ja muude trigonomeetriliste funktsioonide tuletisi, st kui funktsioon näeb välja selline , siis on teil õppetund "Lihtsate trigonomeetriliste funktsioonide tuletised" .

Näide 5 Leia funktsiooni tuletis

Lahendus. Selles funktsioonis näeme korrutist, mille üheks teguriks on sõltumatu muutuja ruutjuur, mille tuletisega tutvusime tuletiste tabelis. Korrutise eristamise reegli ja ruutjuure tuletise tabeliväärtuse järgi saame:

Näide 6 Leia funktsiooni tuletis

Lahendus. Selles funktsioonis näeme jagatist, mille dividendiks on sõltumatu muutuja ruutjuur. Vastavalt jagatise diferentseerimise reeglile, mida kordasime ja rakendasime näites 4, ning ruutjuure tuletise tabeliväärtuse järgi saame:

Lugejas olevast murdosast vabanemiseks korrutage lugeja ja nimetaja arvuga .

Matemaatikas on täiesti võimatu lahendada füüsikalisi ülesandeid või näiteid, kui pole teadmisi tuletise ja selle arvutamise meetodite kohta. Tuletis on matemaatilise analüüsi üks olulisemaid mõisteid. Otsustasime tänase artikli pühendada sellele põhiteemale. Mis on tuletis, mis on selle füüsikaline ja geomeetriline tähendus, kuidas arvutada funktsiooni tuletist? Kõik need küsimused saab ühendada üheks: kuidas tuletist aru saada?

Tuletise geomeetriline ja füüsikaline tähendus

Olgu funktsioon f(x) , antud teatud intervalliga (a, b) . Sellesse intervalli kuuluvad punktid x ja x0. Kui x muutub, muutub funktsioon ise. Argumendi muutus – selle väärtuste erinevus x-x0 . See erinevus on kirjutatud kui delta x ja seda nimetatakse argumendi juurdekasvuks. Funktsiooni muutus või juurdekasv on funktsiooni väärtuste erinevus kahes punktis. Tuletismääratlus:

Funktsiooni tuletis punktis on antud punktis oleva funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piir, kui viimane kipub olema null.

Muidu võib selle kirjutada nii:

Mis mõtet on sellist piiri leida? Aga milline:

funktsiooni tuletis punktis on võrdne OX-telje vahelise nurga puutujaga ja funktsiooni graafiku puutujaga antud punktis.

Tuletise füüsiline tähendus: tee aja tuletis on võrdne sirgjoonelise liikumise kiirusega.

Tõepoolest, kooliajast saati teavad kõik, et kiirus on eratee. x=f(t) ja aeg t . Keskmine kiirus teatud aja jooksul:

Et teada saada liikumiskiirust korraga t0 peate arvutama piirangu:

Esimene reegel: võtke konstant välja

Konstandi saab tuletise märgist välja võtta. Pealegi tuleb seda teha. Matemaatika näidete lahendamisel võtke reeglina - kui saate väljendit lihtsustada, siis kindlasti lihtsustage .

Näide. Arvutame tuletise:

Teine reegel: funktsioonide summa tuletis

Kahe funktsiooni summa tuletis on võrdne nende funktsioonide tuletiste summaga. Sama kehtib ka funktsioonide erinevuse tuletise kohta.

Me ei tõesta seda teoreemi, vaid vaatleme pigem praktilist näidet.

Leia funktsiooni tuletis:

Kolmas reegel: funktsioonide korrutise tuletis

Kahe diferentseeruva funktsiooni korrutise tuletis arvutatakse järgmise valemiga:

Näide: leidke funktsiooni tuletis:

Lahendus:

Siin on oluline öelda keerukate funktsioonide tuletiste arvutamise kohta. Kompleksfunktsiooni tuletis võrdub selle funktsiooni tuletise korrutisega vaheargumendi suhtes vaheargumendi tuletisega sõltumatu muutuja suhtes.

Ülaltoodud näites kohtame väljendit:

Sel juhul on vaheargument 8x viienda astmeni. Sellise avaldise tuletise arvutamiseks arvestame esmalt välisfunktsiooni tuletist vaheargumendi suhtes ja seejärel korrutame vaheargumendi enda tuletisega sõltumatu muutuja suhtes.

Neljas reegel: kahe funktsiooni jagatise tuletis

Valem kahe funktsiooni jagatise tuletise määramiseks:

Proovisime nullist rääkida mannekeenide derivaatidest. See teema pole nii lihtne, kui see kõlab, seega olge ettevaatlik: näidetes on sageli lõkse, seega olge tuletisinstrumentide arvutamisel ettevaatlik.

Kõigi seda ja muid teemasid puudutavate küsimustega võite pöörduda üliõpilasteeninduse poole. Lühikese ajaga aitame lahendada kõige keerulisema kontrolli ja tegeleda ülesannetega, isegi kui te pole varem tuletisinstrumentide arvutamisega tegelenud.

Koostage suhe ja arvutage piir.

Kus tegid tuletiste ja diferentseerimisreeglite tabel? Tänu ühele limiidile. Tundub nagu maagia, kuid tegelikkuses – näpuviga ja ei mingit pettust. Õppetunnis Mis on tuletis? Hakkasin kaaluma konkreetseid näiteid, kus definitsiooni kasutades leidsin lineaar- ja ruutfunktsiooni tuletised. Kognitiivse soojenduse eesmärgil jätkame häirimist tuletise tabel, lihvides algoritmi ja tehnilisi lahendusi:

Näide 1

Tegelikult on vaja tõestada astmefunktsiooni tuletise erijuhtumit, mis tavaliselt esineb tabelis: .

Lahendus tehniliselt vormistatud kahel viisil. Alustame esimese, juba tuttava lähenemisega: redel algab plangiga ja tuletisfunktsioon ühes punktis tuletisega.

Kaaluge mõned(konkreetne) punkt kuuluv domeenid funktsioon, millel on tuletis. Määrake juurdekasv selles punktis (muidugi mitte kaugemaleo/o - mina) ja koostage funktsiooni vastav samm:

Arvutame limiidi:

Ebakindlus 0:0 kõrvaldatakse standardtehnikaga, mida peetakse juba esimesel sajandil eKr. Korrutage lugeja ja nimetaja adjoint-avaldisega :

Sellise piiri lahendamise tehnikat käsitletakse üksikasjalikult sissejuhatavas tunnis. funktsioonide piiride kohta.

Kuna iga intervalli punkti saab valida kui, siis asendades saame:

Vastus

Rõõmustagem veel kord logaritmide üle:

Näide 2

Leia funktsiooni tuletis tuletise definitsiooni abil

Lahendus: kaalume teistsugust lähenemist sama ülesande edendamisele. See on täpselt sama, kuid disaini poolest ratsionaalsem. Idee on lahenduse alguses olevast alaindeksist lahti saada ja tähe asemel kasutada tähte .

Kaaluge meelevaldne kuuluv punkt domeenid funktsiooni (intervall ) ja määrake selle juurdekasv. Ja siin, muide, nagu enamikul juhtudel, saate teha ilma reservatsioonideta, kuna logaritmiline funktsioon on definitsioonipiirkonna mis tahes punktis diferentseeritav.

Siis on vastava funktsiooni juurdekasv:

Leiame tuletise:

Disaini lihtsust tasakaalustab segadus, mida algajad (ja mitte ainult) võivad kogeda. Oleme ju harjunud, et täht “X” limiidis muutub! Kuid siin on kõik teisiti: - antiikkuju ja - elav külaline, kes kõnnib rõõmsalt mööda muuseumi koridori. See tähendab, et "x" on "nagu konstant".

Kommenteerin määramatuse kõrvaldamist samm-sammult:

(1) Kasutame logaritmi omadust .

(2) Sulgudes jagame lugeja liigendiga nimetajaga.

(3) Nimetajas me kunstlikult korrutame ja jagame "x"-ga, et seda ära kasutada imeline piir , samas kui as lõpmatult väike paistab silma.

Vastus: tuletise määratluse järgi:

Või lühidalt:

Teen ettepaneku koostada iseseisvalt veel kaks tabelivalemit:

Näide 3

Sel juhul on koostatud juurdekasvu kohe mugav ühiseks nimetajaks taandada. Ülesande ligikaudne näidis tunni lõpus (esimene meetod).

Näide 3:Lahendus : kaaluge mõnda punkti , mis kuulub funktsiooni ulatusse . Määrake juurdekasv selles punktis ja koostage funktsiooni vastav samm:

Leiame tuletise ühest punktist :

Kuna as saate valida mis tahes punkti funktsiooni ulatus , siis ja
Vastus : tuletise määratluse järgi

Näide 4

Leia tuletis definitsiooni järgi

Ja siin tuleb kõike taandada imeline piir. Lahendus on raamitud teisel viisil.

Samamoodi mitmed teised tabelituletised. Täieliku nimekirja leiab kooliõpikust või näiteks Fichtenholtzi 1. köitest. Ma ei näe erilist mõtet raamatutest ja eristamisreeglite tõestustest ümberkirjutamisel - need genereeritakse ka valemiga.

Näide 4:Lahendus , omandis ja määrake selle juurdekasv

Leiame tuletise:

Imelise piiri ärakasutamine

Vastus : definitsiooni järgi

Näide 5

Leia funktsiooni tuletis, kasutades tuletise definitsiooni

Lahendus: kasutage esimest visuaalset stiili. Vaatleme mõnda punkti, mis kuulub , määrame selles argumendi juurdekasvu. Siis on vastava funktsiooni juurdekasv:

Võib-olla pole mõned lugejad veel täielikult mõistnud põhimõtet, mille alusel tuleks juurdekasvu teha. Võtame punkti (arvu) ja leiame selles funktsiooni väärtuse: , see tähendab funktsiooni selle asemel"x" tuleks asendada. Nüüd võtame ka väga konkreetse arvu ja asendame selle ka funktsiooniga selle asemel"x": . Kirjutame erinevuse üles, kuni see on vajalik sulgege täielikult.

Koostatud funktsiooni juurdekasv kasulik on kohe lihtsustada. Milleks? Hõlbustada ja lühendada edasise piiri lahendust.

Kasutame valemeid, avame sulud ja vähendame kõike, mida saab vähendada:

Kalkun on roogitud, praega pole probleeme:

Kuna kvaliteediks saab valida mis tahes reaalarvu, teeme asendused ja saame .

Vastus: definitsiooni järgi.

Kontrollimiseks leiame tuletise kasutades diferentseerimisreeglid ja tabelid:

Õiget vastust on alati kasulik ja meeldiv ette teada, seega on parem pakutud funktsioon juba lahenduse alguses mõtteliselt või mustandi järgi "kiirelt" eristada.

Näide 6

Leia funktsiooni tuletis tuletise definitsiooni järgi

See on tee-seda-ise näide. Tulemus on pinnal:

Näide 6:Lahendus : kaaluge mõnda punkti , omandis ja määrake selles sisalduva argumendi juurdekasv . Siis on vastava funktsiooni juurdekasv:


Arvutame tuletise:


Sellel viisil:
Sest nagu valida saab mis tahes reaalarvu ja
Vastus : definitsiooni järgi.

Läheme tagasi stiili nr 2 juurde:

Näide 7

Uurime kohe, mis juhtuma peaks. Kõrval kompleksfunktsiooni diferentseerimise reegel:

Lahendus: vaatleme suvalist punkti, mis kuulub punktile , määrake selles argumendi juurdekasv ja koostage funktsiooni juurdekasv:

Leiame tuletise:


(1) Kasutamine trigonomeetriline valem .

(2) Siinuse all avame sulud, koosinuse all esitame sarnased terminid.

(3) Siinuse all taandame liikmeid, koosinuse all jagame lugeja nimetaja liikmega.

(4) Siinuse veidruse tõttu võtame “miinuse” välja. Koosinuse all näitame, et termin .

(5) Korrutame kasutatava nimetaja kunstlikult esimene imeline piir. Seega on ebakindlus välistatud, me kammime tulemuse.

Vastus: definitsiooni järgi

Nagu näete, seisneb vaadeldava probleemi peamine raskus limiidi enda keerukuses + pakkimise kerges originaalsuses. Praktikas kohtab mõlemat disainimeetodit, seega kirjeldan mõlemat lähenemist võimalikult üksikasjalikult. Need on samaväärsed, kuid siiski on minu subjektiivse mulje järgi mannekeenidel otstarbekam jääda 1. variandi juurde “X nulliga”.

Näide 8

Definitsiooni kasutades leidke funktsiooni tuletis

Näide 8:Lahendus : kaaluge suvalist punkti , omandis , määrame selle juurdekasvu ja suurendage funktsiooni:

Leiame tuletise:

Kasutame trigonomeetrilist valemit ja esimene tähelepanuväärne piir:


Vastus : definitsiooni järgi

Analüüsime probleemi haruldasemat versiooni:

Näide 9

Leia funktsiooni tuletis punktis, kasutades tuletise definitsiooni.

Esiteks, mis peaks olema lõpptulemus? Number

Arvutame vastuse standardsel viisil:

Lahendus: selguse seisukohalt on see ülesanne palju lihtsam, kuna valem arvestab selle asemel konkreetset väärtust.

Määrame punktis juurdekasvu ja koostame vastava funktsiooni juurdekasvu:

Arvutage tuletis punktis:

Kasutame puutujate erinevuse jaoks väga haruldast valemit ja vähendage veel kord lahust esimene imeline piir:

Vastus: tuletise definitsiooni järgi punktis.

Ülesannet pole nii raske lahendada ja "üldiselt" - piisab, kui asendada või lihtsalt, olenevalt disainimeetodist. Sel juhul ei saa loomulikult mitte arvu, vaid tuletisfunktsiooni.

Näide 10

Definitsiooni kasutades leidke funktsiooni tuletis punktis (millest üks võib osutuda lõpmatuks), millest olen juba üldiselt rääkinud teoreetiline õppetund tuletise kohta.

Mõned tükkhaaval antud funktsioonid on diferentseeruvad ka graafiku “ristmike” punktides, näiteks kass-koeral on punktis ühine tuletis ja ühine puutuja (abstsisstelg). Kõver, jah, eristatav ! Soovijad saavad selles äsja lahendatud näite eeskujul ise veenduda.

©2015-2019 sait
Kõik õigused kuuluvad nende autoritele. See sait ei pretendeeri autorlusele, kuid pakub tasuta kasutamist.
Lehe loomise kuupäev: 2017-06-11

Ülesandes B9 on antud funktsiooni või tuletise graafik, millest on vaja määrata üks järgmistest suurustest:

1. tuletise väärtus mingil hetkel x 0,
2. Kõrged või madalad punktid (äärmuslikud punktid),
3. Suurenevate ja kahanevate funktsioonide intervallid (monotoonsuse intervallid).

Selles ülesandes esitatud funktsioonid ja tuletised on alati pidevad, mis lihtsustab oluliselt lahendust. Vaatamata sellele, et ülesanne kuulub matemaatilise analüüsi sektsiooni, on see jõukohane ka kõige nõrgematele õpilastele, kuna siin pole vaja sügavaid teoreetilisi teadmisi.

Tuletise, ekstreemumipunktide ja monotoonsusintervallide väärtuse leidmiseks on lihtsad ja universaalsed algoritmid – neid kõiki käsitletakse allpool.

Lugege hoolikalt ülesande B9 tingimust, et mitte teha rumalaid vigu: mõnikord tuleb ette üsna mahukaid tekste, kuid olulisi tingimusi, mis mõjutavad lahenduse kulgu, on vähe.

Tuletisinstrumendi väärtuse arvutamine. Kahe punkti meetod

Kui ülesandele on antud funktsiooni f(x) graafik, mis puutub seda graafikut mingis punktis x 0 ja selles punktis on vaja leida tuletise väärtus, rakendatakse järgmist algoritmi:

1. Leidke puutujagraafikult kaks "adekvaatset" punkti: nende koordinaadid peavad olema täisarvud. Tähistame need punktid kui A (x 1 ; y 1) ja B (x 2 ; y 2). Kirjutage koordinaadid õigesti üles - see on lahenduse võtmepunkt ja siinne viga viib vale vastuseni.
2. Teades koordinaate, on lihtne arvutada argumendi Δx = x 2 − x 1 juurdekasvu ja funktsiooni Δy = y 2 − y 1 juurdekasvu.
3. Lõpuks leiame tuletise D = Δy/Δx väärtuse. Teisisõnu, peate jagama funktsiooni inkrementi argumendi juurdekasvuga - ja see on vastus.

Veel kord märgime: punkte A ja B tuleb otsida täpselt puutujalt, mitte aga funktsiooni f(x) graafikult, nagu sageli juhtub. Puutuja peab tingimata sisaldama vähemalt kahte sellist punkti, vastasel juhul on probleem valesti sõnastatud.

Vaatleme punkte A (-3; 2) ja B (-1; 6) ning leidke sammud:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Leiame tuletise väärtuse: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Ülesanne. Joonisel on kujutatud funktsiooni y \u003d f (x) graafik ja selle puutuja punktis, mille abstsiss on x 0. Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x 0 .

Vaatleme punkte A (0; 3) ja B (3; 0), leidke sammud:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Nüüd leiame tuletise väärtuse: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Ülesanne. Joonisel on kujutatud funktsiooni y \u003d f (x) graafik ja selle puutuja punktis, mille abstsiss on x 0. Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x 0 .

Vaatleme punkte A (0; 2) ja B (5; 2) ning leidke juurdekasvud:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Jääb üle leida tuletise väärtus: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Viimasest näitest saame sõnastada reegli: kui puutuja on paralleelne OX-teljega, on funktsiooni tuletis kokkupuutepunktis võrdne nulliga. Sel juhul ei pea te isegi midagi arvutama – vaadake lihtsalt graafikut.

Kõrgete ja madalate punktide arvutamine

Mõnikord on ülesande B9 funktsiooni graafiku asemel antud tuletisgraaf ja selleks on vaja leida funktsiooni maksimum- või miinimumpunkt. Selle stsenaariumi korral on kahepunkti meetod kasutu, kuid on veel üks, veelgi lihtsam algoritm. Esiteks määratleme terminoloogia:

1. Punkti x 0 nimetatakse funktsiooni f(x) maksimumpunktiks, kui selle punkti mõnes naabruses kehtib järgmine võrratus: f(x 0) ≥ f(x).
2. Punkti x 0 nimetatakse funktsiooni f(x) miinimumpunktiks, kui selle punkti mõnes naabruses kehtib järgmine võrratus: f(x 0) ≤ f(x).

Tuletise graafiku maksimum- ja miinimumpunktide leidmiseks piisab, kui teha järgmised sammud:

1. Joonistage tuletise graafik ümber, eemaldades kogu mittevajaliku teabe. Nagu praktika näitab, segavad lisaandmed ainult otsust. Seetõttu märgime koordinaatide teljele tuletise nullid – ja ongi kõik.
2. Leia nullide vaheliste tuletise märgid. Kui mingi punkti x 0 puhul on teada, et f'(x 0) ≠ 0, siis on võimalikud ainult kaks võimalust: f'(x 0) ≥ 0 või f'(x 0) ≤ 0. Tuletise märk on algse joonise järgi lihtne määrata: kui tuletisgraafik asub OX-telje kohal, siis f'(x) ≥ 0. Ja vastupidi, kui tuletisgraafik asub OX-teljest allpool, siis f'(x) ≤ 0.
3. Jällegi kontrollime tuletise nulle ja märke. Kui märk muutub miinusest plussiks, on miinimumpunkt. Ja vastupidi, kui tuletise märk muutub plussist miinusesse, on see maksimumpunkt. Loendamine toimub alati vasakult paremale.

See skeem töötab ainult pidevate funktsioonide puhul - probleemis B9 pole teisi.

Ülesanne. Joonisel on kujutatud lõigul [−5; defineeritud funktsiooni f(x) tuletise graafik; 5]. Leia sellel lõigul funktsiooni f(x) miinimumpunkt.

Vabaneme ebavajalikust infost – jätame ainult piirid [−5; 5] ja tuletise nullid x = −3 ja x = 2,5. Pange tähele ka märke:

Ilmselt muutub punktis x = −3 tuletise märk miinusest plussiks. See on miinimumpunkt.

Ülesanne. Joonisel on kujutatud lõigul [−3; defineeritud funktsiooni f(x) tuletise graafik; 7]. Leia sellel lõigul funktsiooni f(x) maksimaalne punkt.

Joonistame graafiku ümber, jättes alles ainult piirid [−3; 7] ja tuletise nullid x = −1,7 ja x = 5. Märgi saadud graafikule tuletise märgid. Meil on:

Ilmselt muutub punktis x = 5 tuletise märk plussist miinusesse – see on maksimumpunkt.

Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [−6; neli]. Leia funktsiooni f(x) maksimumpunktide arv, mis kuuluvad intervalli [−4; 3].

Ülesande tingimustest järeldub, et piisab, kui vaadelda ainult seda osa graafist, mis on piiratud lõiguga [−4; 3]. Seetõttu koostame uue graafiku, millele märgime ainult piirid [−4; 3] ja selle sees oleva tuletise nullid. Nimelt punktid x = −3,5 ja x = 2. Saame:

Sellel graafikul on ainult üks maksimumpunkt x = 2. Just selles muutub tuletise märk plussist miinusesse.

Väike märkus mittetäisarvuliste koordinaatidega punktide kohta. Näiteks viimases ülesandes vaadeldi punkti x = −3,5, kuid sama eduga saame võtta x = −3,4. Kui probleem on õigesti sõnastatud, ei tohiks sellised muudatused vastust mõjutada, kuna punktid "ilma kindla elukohata" ei ole probleemi lahendamisega otseselt seotud. Täisarvuliste punktidega selline trikk muidugi ei tööta.

Funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervallide leidmine

Sellises ülesandes, nagu maksimumi ja miinimumi punktides, tehakse ettepanek leida tuletise graafikult alad, milles funktsioon ise suureneb või väheneb. Esiteks määratleme, mis on tõusev ja kahanev:

1. Funktsiooni f(x) nimetatakse lõigu suurenemiseks, kui selle lõigu mis tahes kahe punkti x 1 ja x 2 korral on väide: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Teisisõnu, mida suurem on argumendi väärtus, seda suurem on funktsiooni väärtus.
2. Funktsiooni f(x) nimetatakse lõigul kahanevaks, kui selle lõigu mis tahes kahe punkti x 1 ja x 2 korral on väide: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Need. argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele.

Sõnastame piisavad tingimused suurendamiseks ja vähendamiseks:

1. Et pidevfunktsioon f(x) suureneks lõigul , piisab, kui selle tuletis segmendi sees on positiivne, s.t. f'(x) ≥ 0.
2. Pideva funktsiooni f(x) vähenemiseks lõigul piisab, kui selle tuletis segmendi sees on negatiivne, s.t. f'(x) ≤ 0.

Me aktsepteerime neid väiteid ilma tõenditeta. Nii saame suurenemise ja kahanemise intervallide leidmise skeemi, mis on paljuski sarnane äärmuspunktide arvutamise algoritmiga:

1. Eemaldage kogu üleliigne teave. Tuletise algsel graafikul huvitavad meid eelkõige funktsiooni nullid, seega jätame ainult need.
2. Märgi tuletise märgid nullide vahele. Kui f'(x) ≥ 0, siis funktsioon suureneb ja kus f'(x) ≤ 0, siis see väheneb. Kui probleemil on muutujale x piirangud, märgime need uuele diagrammile täiendavalt.
3. Nüüd, kui me teame funktsiooni ja piirangu käitumist, jääb üle arvutada ülesandes vajalik väärtus.

Ülesanne. Joonisel on kujutatud lõigul [−3; defineeritud funktsiooni f(x) tuletise graafik; 7.5]. Leia kahaneva funktsiooni f(x) intervallid. Kirjutage vastusesse nendes intervallides sisalduvate täisarvude summa.

Nagu tavaliselt, joonistame graafiku ümber ja märgime piirid [−3; 7,5], samuti tuletise x = −1,5 ja x = 5,3 nullid. Seejärel märgime tuletise märgid. Meil on:

Kuna tuletis on intervallil (−1,5) negatiivne, on see kahaneva funktsiooni intervall. Jääb kokku liita kõik selles intervallis olevad täisarvud:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud lõigul [−10; neli]. Leia suureneva funktsiooni f(x) intervallid. Oma vastuses kirjutage neist suurima pikkus.

Vabaneme üleliigsest infost. Jätame ainult piirid [−10; 4] ja tuletise nullid, mis seekord osutusid neljaks: x = −8, x = −6, x = −3 ja x = 2. Märgi üles tuletise märgid ja saad järgmise pildi:

Meid huvitavad suureneva funktsiooni intervallid, s.o. kus f'(x) ≥ 0. Graafikul on kaks sellist intervalli: (−8; −6) ja (−3; 2). Arvutame nende pikkused:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Kuna on vaja leida suurima intervalli pikkus, kirjutame vastuseks väärtuse l 2 = 5.