Alates , siis maatriks AGA on pööratav, see tähendab, et on olemas pöördmaatriks. Kui korrutada võrdsuse mõlemad pooled vasakule, saame valemi tundmatute muutujate veerumaatriksi leidmiseks. Seega saime lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahenduse maatriksmeetodil.

maatriks meetod.

Kirjutame võrrandisüsteemi ümber maatriksi kujul:

Sest siis saab SLAE-d lahendada maatriksmeetodiga. Kasutades pöördmaatriksit, saab selle süsteemi lahenduse leida järgmiselt .

Konstrueerime pöördmaatriksi, kasutades maatriksi elementide algebraliste komplementide maatriksit AGA(vajadusel vaadake artikli meetodeid pöördmaatriksi leidmiseks):

Jääb üle arvutada - tundmatute muutujate maatriks pöördmaatriksi korrutamisega vabaliikmete maatriksveerul (vajadusel vaadake artiklit maatriksite tehte kohta):

või mõnes teises kirjes x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemidele maatriksmeetodil lahenduste leidmisel on põhiprobleemiks pöördmaatriksi leidmise keerukus, eriti kolmandast kõrgema järgu ruutmaatriksite puhul.

Teooria täpsemat kirjeldust ja lisanäiteid leiate artikli maatriksmeetodist lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks.

Lehe ülaosa

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine Gaussi meetodil.

Oletame, et peame leidma süsteemile lahenduse n lineaarvõrrandid n tundmatud muutujad mille põhimaatriksi determinant erineb nullist.

Gaussi meetodi olemus seisneb tundmatute muutujate järjestikuses välistamises: esiteks, the x 1 süsteemi kõikidest võrranditest, alustades teisest, siis x 2 kõigist võrranditest, alustades kolmandast ja nii edasi, kuni viimasesse võrrandisse jääb ainult tundmatu muutuja x n. Sellist süsteemi võrrandite teisendamise protsessi tundmatute muutujate järjestikuseks elimineerimiseks nimetatakse otsene Gaussi meetod. Pärast Gaussi meetodi edasiliikumise lõpetamist leiame viimasest võrrandist x n, arvutatakse selle väärtuse abil eelviimasest võrrandist x n-1, ja nii edasi, leitakse esimesest võrrandist x 1 . Tundmatute muutujate arvutamise protsessi süsteemi viimaselt võrrandilt esimesele liikumisel nimetatakse vastupidine Gaussi meetod.

Kirjeldame lühidalt tundmatute muutujate kõrvaldamise algoritmi.

Eeldame, et , kuna me saame seda alati saavutada süsteemi võrrandite ümberkorraldamisega. Kõrvaldage tundmatu muutuja x 1 süsteemi kõikidest võrranditest alates teisest. Selleks lisage esimene võrrand korrutatuna süsteemi teisele võrrandile, lisage esimene korrutatud kolmanda võrrandiga ja nii edasi. n-nda lisage esimene võrrand, korrutatuna . Võrrandisüsteem pärast selliseid teisendusi võtab kuju kus, a .

Kui väljendaksime, jõuaksime sama tulemuseni x 1 läbi teiste tundmatute muutujate süsteemi esimeses võrrandis ja saadud avaldis asendati kõigi teiste võrranditega. Nii et muutuja x 1 jäetakse välja kõigist võrranditest, alustades teisest.

Järgmisena toimime sarnaselt, kuid ainult saadud süsteemi osaga, mis on joonisel märgitud

Selleks lisage süsteemi kolmandale võrrandile teine korrutis, lisage teine korrutatud neljandale võrrandile ja nii edasi, n-nda lisage teine võrrand, korrutatuna. Võrrandisüsteem pärast selliseid teisendusi võtab kuju kus, a . Nii et muutuja x 2 jäetakse välja kõigist võrranditest, alustades kolmandast.

Järgmisena jätkame tundmatu kõrvaldamisega x 3 , samas kui joonisel märgitud süsteemiosaga toimime sarnaselt

Seega jätkame Gaussi meetodi otsest kulgu, kuni süsteem võtab kuju

Sellest hetkest alustame Gaussi meetodi vastupidist kulgu: arvutame x n viimasest võrrandist as, kasutades saadud väärtust x n leida x n-1 eelviimasest võrrandist ja nii edasi, leiame x 1 esimesest võrrandist.

Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetod.

Kõrvaldage tundmatu muutuja x 1 süsteemi teisest ja kolmandast võrrandist. Selleks lisame teise ja kolmanda võrrandi mõlemale osale esimese võrrandi vastavad osad, korrutatuna vastavalt ja arvuga:

Nüüd eemaldame kolmandast võrrandist x 2 , lisades selle vasakule ja paremale osale teise võrrandi vasak ja parem osa, korrutatuna järgmisega:

Sellega on Gaussi meetodi edasiliikumine lõpetatud, alustame vastupidist kurssi.

Saadud võrrandisüsteemi viimasest võrrandist leiame x 3 :

Teisest võrrandist saame .

Esimesest võrrandist leiame ülejäänud tundmatu muutuja ja see lõpetab Gaussi meetodi vastupidise käigu.

x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

Täpsemat infot ja lisanäiteid leiate peatükist lineaaralgebralise võrrandi elementaarsüsteemide lahendamisest Gaussi meetodil.

Lehe ülaosa

Olgu lineaarvõrrandisüsteem antud teadmata:

Eeldame, et põhimaatriks mitte-mandunud. Siis on teoreemi 3.1 kohaselt olemas pöördmaatriks
Maatriksvõrrandi korrutamine
maatriksiks
vasakul, kasutades definitsiooni 3.2 ja teoreemi 1.1 väidet 8), saame valemi, millel põhineb lineaarvõrrandisüsteemide lahendamise maatriksmeetod:

kommenteerida. Pange tähele, et erinevalt Gaussi meetodist on lineaarvõrrandisüsteemide lahendamise maatriksmeetodil piiratud kasutusala: selle meetodi abil saab lahendada ainult lineaarvõrrandisüsteeme, mille puhul esiteks on tundmatute arv võrdne võrrandite arvuga ja teiseks on põhimaatriks mittedegenereerunud.

Näide. Lahenda lineaarvõrrandisüsteem maatriksmeetodil.

Antud kolmest lineaarvõrrandist koosnev süsteem kolme tundmatuga
kus

Võrrandisüsteemi põhimaatriks on mittedegenereerunud, kuna selle determinant on nullist erinev:

pöördmaatriks
koostada ühel lõikes 3 kirjeldatud meetoditest.

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamise maatriksmeetodi valemi järgi saame

5.3. Crameri meetod

Seda meetodit, nagu ka maatriksmeetodit, saab kasutada ainult lineaarvõrrandisüsteemide puhul, milles tundmatute arv langeb kokku võrrandite arvuga. Crameri meetod põhineb samanimelisel teoreemil:

Teoreem 5.2. Süsteem lineaarvõrrandid teadmata

mille põhimaatriks on mitteainsus, on unikaalse lahendusega, mille saab saada valemitest

kus
põhimaatriksist tuletatud maatriksi determinant võrrandisüsteemi selle asendamisega
veerus vabade liikmete veeru võrra.

Näide. Leiame eelmises näites vaadeldud lineaarvõrrandisüsteemile lahenduse Crameri meetodil. Võrrandisüsteemi põhimaatriks on mittedegenereerunud, sest
Arvutage determinandid

Kasutades teoreemis 5.2 esitatud valemeid, arvutame tundmatute väärtused:

6. Lineaarvõrrandisüsteemide uurimine.

Põhilahendus

Lineaarvõrrandisüsteemi uurimine tähendab selle süsteemi ühilduvuse või vastuolulisuse kindlakstegemist ja selle ühilduvuse korral välja selgitamist, kas see süsteem on kindel või ebamäärane.

Lineaarvõrrandisüsteemi ühilduvustingimus on antud järgmise teoreemiga

Teoreem 6.1 (Kronecker–Capelli).

Lineaarvõrrandisüsteem on järjekindel siis ja ainult siis, kui süsteemi põhimaatriksi aste on võrdne selle laiendatud maatriksi astmega:

Järjepideva lineaarvõrrandisüsteemi puhul lahendatakse selle kindluse või määramatuse küsimus järgmiste teoreemide abil.

Teoreem 6.2. Kui liitsüsteemi põhimaatriksi aste on võrdne tundmatute arvuga, siis on süsteem kindel

Teoreem 6.3. Kui liitsüsteemi põhimaatriksi aste on väiksem kui tundmatute arv, siis on süsteem määramatu.

Seega sisaldavad sõnastatud teoreemid meetodit lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide uurimiseks. Lase n on tundmatute arv,

Seejärel:

Definitsioon 6.1. Määratlemata lineaarvõrrandisüsteemi põhilahendus on selline lahendus, milles kõik vabad tundmatud on võrdsed nulliga.

Näide. Uurige lineaarsete võrrandite süsteemi. Kui süsteem on ebakindel, leidke selle põhilahendus.

Arvutage peamiste auastmed ja laiendatud maatriks sellest võrrandisüsteemist, mille jaoks toome süsteemi laiendatud (ja samal ajal ka põhi-) maatriksi astmelisele kujule:

Lisame maatriksi teise rea selle esimese reaga, korrutatuna kolmas rida - esimese rea korrutisega
ja neljas rida - esimesega, korrutatuna saame maatriksi

Selle maatriksi kolmandale reale lisage teine rida, korrutatuna
ja neljandale reale - esimene, korrutatuna
Selle tulemusena saame maatriksi

mille kustutamisel kolmas ja neljas rida saame sammumaatriksi

Sellel viisil,

Seetõttu on see lineaarvõrrandisüsteem järjekindel ja kuna auaste on väiksem kui tundmatute arv, siis on süsteem ebamäärane Elementaarteisenduste tulemusena saadud astmemaatriks vastab võrrandisüsteemile

Tundmatu ja on peamised ja tundmatud ja
tasuta. Määrates vabadele tundmatutele nullväärtused, saame selle lineaarvõrrandisüsteemi põhilahenduse.

Teenindusülesanne. Selle võrgukalkulaatori abil arvutatakse võrrandisüsteemis tundmatud (x 1 , x 2 , ..., x n ). Otsus on tegemisel pöördmaatriks meetod. Kus:

arvutatakse maatriksi A determinant;
algebraliste liitmiste kaudu leitakse pöördmaatriks A -1;
Excelis luuakse lahendusmall;

Lahendus viiakse läbi otse saidil (veebis) ja see on tasuta. Arvutustulemused esitatakse Wordi formaadis aruandena.

Juhend. Lahenduse saamiseks pöördmaatriksmeetodil on vaja määrata maatriksi dimensioon. Järgmisena täitke uues dialoogiboksis maatriks A ja tulemusvektor B .

Tuletame meelde, et lineaarvõrrandisüsteemi lahendus on mis tahes arvude hulk (x 1 , x 2 , ..., x n ), mille asendamine selle süsteemiga vastavate tundmatute asemel muudab süsteemi iga võrrandi identiteediks.
Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem kirjutatakse tavaliselt järgmiselt (3 muutuja puhul): Vaata ka Maatriksvõrrandite lahendamine.

Lahenduse algoritm

Arvutatakse maatriksi A determinant. Kui determinant on null, siis lahenduse lõpp. Süsteemil on lõpmatu arv lahendusi.
Kui determinant erineb nullist, leitakse algebraliste liitmiste abil pöördmaatriks A -1.
Otsustusvektor X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) saadakse pöördmaatriksi korrutamisel tulemusvektoriga B .

Näide nr 1. Leia süsteemi lahendus maatriksmeetodil. Kirjutame maatriksi kujul:

Algebralised liitmised.

A 1,1 = (-1) 1+1

1	2
0	-2

∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2

A 1,2 = (-1) 1+2

3	2
1	-2

∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8

A 1,3 = (-1) 1+3

3	1
1	0

∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1

A 2,1 = (-1) 2+1

-2	1
0	-2

∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4

A 2,2 = (-1) 2+2

2	1
1	-2

∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5

A 2,3 = (-1) 2+3

2	-2
1	0

∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2

A 3,1 = (-1) 3+1

-2	1
1	2

∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5

A 3,2 = (-1) 3+2

2	1
3	2

∆ 3,2 = -(2 2-3 1) = -1

-2

-1

X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Eksam:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1

Näide nr 2. Lahendage SLAE pöördmaatriksmeetodil.
2x1 + 3x2 + 3x3 + x4 = 1
3x1 + 5x2 + 3x3 + 2x4 = 2
5x1 + 7x2 + 6x3 + 2x4 = 3
4x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 4

Kirjutame maatriksi kujul:

Vektor B:
B T = (1,2,3,4)
Peamine määraja
Minor (1,1):

= 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2)+4 (3 2-6 2) = -3
Minor (2,1):

= 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0
Minor (3,1):

= 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3
Minor (4,1):

= 3 (3 2-6 2)-5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3
Väike määraja
∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Näide nr 4. Kirjutage võrrandisüsteem maatriksi kujul ja lahendage pöördmaatriksi abil.
Lahendus: xls

Näide number 5. Antakse kolmest lineaarsest võrrandist koosnev süsteem kolme tundmatuga. Nõutav: 1) leida selle lahendus Crameri valemite abil; 2) kirjutada süsteem maatrikskujul ja lahendada maatriksarvutuse abil.
Juhised. Pärast Crameri meetodil lahendamist leidke nupp "Algusandmete pöördmaatrikslahendus". Saate asjakohase otsuse. Seega ei pea andmeid uuesti sisestama.
Lahendus. Tähistage A - tundmatute koefitsientide maatriks; X - tundmatute veerumaatriks; B - vabaliikmete maatriks-veerg:

-1	3	0
3	-2	1
2	1	-1

Vektor B:
B T =(4,-3,-3)
Arvestades neid tähistusi, on sellel võrrandisüsteemil järgmine maatrikskuju: A*X = B.
Kui maatriks A on mittesingulaarne (selle determinant on nullist erinev, siis on sellel pöördmaatriks A -1. Korrutades võrrandi mõlemad pooled A -1-ga, saame: A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A=E.
Seda võrdsust nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemi lahenduse maatrikstähistus. Võrrandisüsteemi lahenduse leidmiseks on vaja arvutada pöördmaatriks A -1 .
Süsteemil on lahendus, kui maatriksi A determinant on nullist erinev.
Leiame peamise määraja.
∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14
Niisiis, determinant on 14 ≠ 0, seega jätkame lahendust. Selleks leiame algebraliste liitmiste kaudu pöördmaatriksi.
Olgu meil mitteainsuse maatriks A:
Arvutame algebralisi liite.

A 1,1 =(-1) 1+1

-2	1
1	-1

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

A 1,2 =(-1) 1+2

3	1
0	-1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

A 1,3 =(-1) 1+3

3	-2
0	1

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

A 2,1 =(-1) 2+1

3	2
1	-1

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

A 2,2 =(-1) 2+2

-1	2
0	-1

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

A 2,3 =(-1) 2+3

-1	3
0	1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

A 3,1 =(-1) 3+1

3	2
-2	1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7
·

-3

X = 1/14

-3))

Peamine määraja
∆=4 (0 1-3 (-2))-2 (1 1-3 (-1))+0 (1 (-2)-0 (-1))=16
Transponeeritud maatriks
∆ 1,1 =(0 1-(-2 3))=6

A 1,2 =(-1) 1+2

1	3
-1	1

∆ 1,2 =-(1 1-(-1 3))=-4

A 1,3 =(-1) 1+3

1	0
-1	-2

∆ 1,3 =(1 (-2)-(-1 0))=-2

A 2,1 =(-1) 2+1

2	0
-2	1

∆ 2,1 =-(2 1-(-2 0))=-2

A 2,2 =(-1) 2+2

4	0
-1	1

∆ 2,2 =(4 1-(-1 0))=4

A 2,3 =(-1) 2+3

4	2
-1	-2

∆ 2,3 =-(4 (-2)-(-1 2))=6

A 3,1 =(-1) 3+1

2	0
0	3

∆ 3,1 =(2 3-0 0)=6

A 3,2 =(-1) 3+2

4	0
1	3

∆ 3,2 =-(4 3-1 0)=-12

A 3,3 =(-1) 3+3

1/16

6	-4	-2
-2	4	6
6	-12	-2

E=A*A-1 =

(4 6)+(1 (-2))+(-1 6)	(4 (-4))+(1 4)+(-1 (-12))	(4 (-2))+(1 6)+(-1 (-2))
(2 6)+(0 (-2))+(-2 6)	(2 (-4))+(0 4)+(-2 (-12))	(2 (-2))+(0 6)+(-2 (-2))
(0 6)+(3 (-2))+(1 6)	(0 (-4))+(3 4)+(1 (-12))	(0 (-2))+(3 6)+(1 (-2))

=1/16

16	0	0
0	16	0
0	0	16

A*A -1 =

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Näide number 7. Maatriksvõrrandite lahendus.
Tähistage:

3	0	5
2	1	4
-1	3	0

Algebralised liitmised

A 1,1 = (-1) 1+1

1	3
4	0

∆ 1,1 = (1*0 - 4*3) = -12

A 1,2 = (-1) 1+2

0	3
5	0

∆ 1,2 = -(0*0 - 5*3) = 15

A 1,3 = (-1) 1+3

0	1
5	4

∆ 1,3 = (0*4 - 5*1) = -5

A 2,1 = (-1) 2+1

2	-1
4	0

∆ 2,1 = -(2*0 - 4*(-1)) = -4

A 2,2 = (-1) 2+2

3	-1
5	0

∆ 2,2 = (3*0 - 5*(-1)) = 5

A 2,3 = (-1) 2+3

3	2
5	4

∆ 2,3 = -(3*4 - 5*2) = -2

A 3,1 = (-1) 3+1

2	-1
1	3

∆ 3,1 = (2*3 - 1*(-1)) = 7
1/-1

-12	15	-5
-4	5	-2
7	-9	3

= Vektor B:
B T =(31,13,10)

X T =(4,05; 6,13,7,54)
x 1 \u003d 158/39 \u003d 4,05
x 2 \u003d 239/39 \u003d 6,13
x 3 \u003d 294/39 \u003d 7,54
Uurimine.
-2 4.05+-1 6.13+6 7.54=31
1 4.05+-1 6.13+2 7.54=13
2 4.05+4 6.13+-3 7.54=10

Näide number 9. Tähistage A - tundmatute koefitsientide maatriks; X - tundmatute veerumaatriks; B - vabaliikmete maatriks-veerg:

-2	1	6
1	-1	2
2	4	-3

Vektor B:
B T =(31,13,10)

X T =(5,21; 4,51; 6,15)
x 1 \u003d 276 / 53 \u003d 5,21
x 2 \u003d 239 / 53 \u003d 4,51
x 3 \u003d 326 / 53 \u003d 6,15
Uurimine.
-2 5.21+1 4.51+6 6.15=31
1 5.21+-1 4.51+2 6.15=13
2 5.21+4 4.51+-3 6.15=10

Näide nr 10. Maatriksvõrrandite lahendus.
Tähistage:

Algebralised liitmised
A 11 = (-1) 1 + 1 -3 \u003d -3; A 12 \u003d (-1) 1 + 2 3 = -3; A 21 \u003d (-1) 2 + 1 1 = -1; A 22 \u003d (-1) 2 + 2 2 = 2;
Pöördmaatriks A -1 .
1/-9

-3	-3
-1	2

1	-2
1	1

Vastus:

1	-2
1	1

Crameri valemite järgi;

Gaussi meetod;

Lahendus: Kroneckeri-Capelli teoreem. Süsteem on järjekindel siis ja ainult siis, kui selle süsteemi maatriksi auaste on võrdne selle laiendatud maatriksi astmega, s.o. r(A)=r(A 1), kus

Süsteemi laiendatud maatriks on kujul:

Korrutage esimene rida arvuga ( –3 ) ja teine peal ( 2 ); pärast seda lisage esimese rea elemendid teise rea vastavatele elementidele; Lahutage teisest realt kolmas rida. Saadud maatriksis jäetakse esimene rida muutmata.

6 ) ja vahetage teine ja kolmas rida:

Korrutage teine rida arvuga ( –11 ) ja lisage kolmanda rea vastavatele elementidele.

Jagage kolmanda rea elemendid väärtusega ( 10 ).

Leiame maatriksdeterminandi AGA.

Järelikult r(A)=3 . Laiendatud maatriksi auaste r(A 1) on samuti võrdne 3 , st.

r(A)=r(A 1)=3 Þ süsteem on ühilduv.

1) Uurides süsteemi ühilduvust, teisendati liitmaatriks Gaussi meetodil.

Gaussi meetod on järgmine:

1. Maatriksi viimine kolmnurksele kujule, st nullid peavad olema põhidiagonaalist allpool (edasi liikumine).

2. Viimasest võrrandist leiame x 3 ja asendame selle teisega, leiame x 2, ja teades x 3, x 2ühendades need esimesse võrrandisse, leiame x 1(tagurpidi liikumine).

Kirjutame liitmaatriksi, mis on teisendatud Gaussi meetodil

kolme võrrandi süsteemina:

Þ x 3 \u003d 1

x 2 = x 3Þ x 3 \u003d 1

2x 1 \u003d 4 + x 2 + x 3Þ 2x 1 =4+1+1Þ

Þ 2x 1 = 6 Þ x 1 \u003d 3

2) Lahendame süsteemi Crameri valemite abil: kui võrrandisüsteemi determinant Δ erineb nullist, siis on süsteemil unikaalne lahendus, mis leitakse valemite abil

Arvutame välja süsteemi determinandi Δ:

Sest süsteemi determinant on nullist erinev, siis Crameri reegli järgi on süsteemil unikaalne lahendus. Arvutame determinandid Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 . Need saadakse süsteemi determinandist Δ, asendades vastava veeru vabade koefitsientide veeruga.

Leiame tundmatud valemite abil:

Vastus: x 1 \u003d 3, x 2 = 1, x 3 \u003d 1 .

3) Lahendame süsteemi maatriksarvutuse abil, s.o pöördmaatriksi abil.

A × X = B Þ X \u003d A -1 × B, kus A -1 on pöördmaatriks AGA,

tasuta liikmete veerg,

Maatriks-tundmatute veerg.

Pöördmaatriks arvutatakse järgmise valemiga:

kus D- maatriksdeterminant AGA, Ja ij on elemendi a algebralised täiendid ij maatriksid AGA. D= 60 (eelmisest lõigust). Determinant on nullist erinev, seetõttu on maatriks A inverteeritav ja sellele pöördmaatriksi saab leida valemiga (*). Leiame maatriksi A kõikide elementide algebralised liitmised valemiga:

Ja ij =(-1 )i+j M ij .

x 1, x 2, x 3 muutsid iga võrrandi identiteediks, siis leitakse need õigesti.

Näide 6. Lahendage süsteem Gaussi meetodil ja leidke süsteemi kaks põhilahendust.