Osakese lainefunktsioon. Lainefunktsiooni füüsiline tähendus

> Lainefunktsioon

Millegi kohta lugema lainefunktsioon ja tõenäosusteooria kvantmehaanika: Schrödingeri võrrandi olemus, kvantosakese olek, harmooniline ostsillaator, vooluahel.

Jutt käib kvantmehaanikas esinevast tõenäosusamplituudist, mis kirjeldab osakese kvantolekut ja selle käitumist.

Õppeeesmärk

• Kombineeri lainefunktsioon ja osakese tuvastamise tõenäosustihedus.

Põhipunktid

• |ψ| 2 (x) vastab osakese tuvastamise tõenäosustihedusele konkreetses kohas ja hetkel.
• Kvantmehaanika seadused iseloomustavad lainefunktsiooni arengut. Schrödingeri võrrand selgitab selle nime.
• Lainefunktsioon peab vastama paljudele arvutamise ja füüsilise tõlgendamise matemaatilistele piirangutele.

Tingimused

• Schrödingeri võrrand on oleku muutust iseloomustav osadiferentsiaal füüsiline süsteem. Selle sõnastas 1925. aastal Erwin Schrödinger.
• Harmooniline ostsillaator on süsteem, mida algsest asendist nihutamisel mõjutab jõud F, mis on võrdeline nihkega x.

Kvantmehaanika raames peegeldab lainefunktsioon tõenäosusamplituudi, mis iseloomustab osakese kvantseisundit ja selle käitumist. Tavaliselt on väärtus kompleksarv. Lainefunktsiooni levinumad sümbolid on ψ (x) või Ψ (x). Kuigi ψ on kompleksarv, |ψ| 2 – reaalne ja vastab osakese leidmise tõenäosustihedusele kindlas kohas ja ajal.

Siin kuvatakse harmoonilise ostsillaatori trajektoore klassikalises (A-B) ja kvant (C-H) mehaanika. Kvantkuulil on lainefunktsioon, mille tegelik osa on sinine ja kujuteldav osa punasega. TrajektooridC-F – seisulainete näited. Iga selline sagedus on võrdeline ostsillaatori võimaliku energiatasemega

Kvantmehaanika seadused arenevad aja jooksul. Lainefunktsioon meenutab teisi, näiteks laineid vees või nööris. Fakt on see, et Schrödingeri valem toimib tüübina laine võrrand matemaatikas. See toob kaasa laineosakeste duaalsuse.

Lainefunktsioon peab vastama järgmistele piirangutele:

• alati lõplik.
• alati pidev ja pidevalt diferentseeritav.
• rahuldab 100% kindlusega osakese eksisteerimiseks sobivat normaliseerimistingimust.

Kui nõuded ei ole täidetud, ei saa lainefunktsiooni tõlgendada tõenäosusamplituudina. Kui me ignoreerime neid positsioone ja kasutame kvantsüsteemi vaatluste määramiseks lainefunktsiooni, ei saa me lõplikke ja kindlaid väärtusi.

korpuskulaarselt -- laine dualism V kvantfüüsika osakese olekut kirjeldatakse lainefunktsiooni abil ($\psi (\overrightarrow(r),t)$-psi funktsioon).

Definitsioon 1

Laine funktsioon on funktsioon, mida kasutatakse kvantmehaanikas. See kirjeldab ruumis mõõtmetega süsteemi olekut. See on olekuvektor.

See funktsioon on keeruline ja sellel on formaalselt laineomadused. Mikromaailma mis tahes osakese liikumine on määratud tõenäosusseadustega. Tõenäosuse jaotus selgub läbiviimisel suur number vaatlused (mõõtmised) või suur kogus osakesed. Saadud jaotus on sarnane laine intensiivsuse jaotusele. See tähendab, et maksimaalse intensiivsusega kohtades märgitakse see ära maksimaalne summa osakesed.

Lainefunktsiooni argumentide hulk määrab selle esituse. Seega on võimalik koordinaatide esitus: $\psi(\overrightarrow(r),t)$, impulssesitus: $\psi"(\overrightarrow(p),t)$ jne.

Kvantfüüsikas ei ole eesmärgiks sündmuse täpne ennustamine, vaid konkreetse sündmuse tõenäosuse hindamine. Teades tõenäosusväärtust, leidke keskmised väärtused füüsikalised kogused. Lainefunktsioon võimaldab selliseid tõenäosusi leida.

Seega võib mikroosakeste esinemise tõenäosust mahus dV ajahetkel t määratleda järgmiselt:

kus $\psi^*$ on kompleksne konjugeeritud funktsioon funktsiooniga $\psi.$ Tõenäosuse tihedus (tõenäosus ruumalaühiku kohta) on võrdne:

Tõenäosus on suurus, mida saab katses jälgida. Samal ajal ei ole lainefunktsioon vaatluseks saadaval, kuna see on keeruline (in klassikaline füüsika parameetrid, mis iseloomustavad osakese olekut, on vaatluseks kättesaadavad).

Funktsiooni $\psi$ normaliseerimistingimus

Lainefunktsioon määratakse kuni suvalise konstantse tegurini. See asjaolu ei mõjuta osakese olekut, mida funktsioon $\psi$ kirjeldab. Lainefunktsioon valitakse aga nii, et see rahuldaks normaliseerimistingimust:

kus integraal võetakse üle kogu ruumi või piirkonna, milles lainefunktsioon ei ole null. Normaliseerimistingimus (2) tähendab, et kogu piirkonnas, kus $\psi\ne 0$ on osake usaldusväärselt olemas. Lainefunktsiooni, mis järgib normaliseerimistingimusi, nimetatakse normaliseeritud. Kui $(\left|\psi\right|)^2=0$, siis see tingimus tähendab, et uuritavas piirkonnas pole tõenäoliselt osakest.

Vormi (2) normaliseerimine on võimalik diskreetse omaväärtuste spektriga.

Normaliseerimistingimus ei pruugi olla teostatav. Seega, kui $\psi$ on Broglie tasand ja osakese leidmise tõenäosus on kõigis ruumipunktides sama. Neid juhtumeid peetakse ideaalne mudel, milles osake asub suures, kuid piiratud ruumipiirkonnas.

Lainefunktsiooni superpositsiooni põhimõte

See põhimõte on üks peamisi postulaate kvantteooria. Selle tähendus on järgmine: kui teatud süsteemi jaoks on võimalikud olekud, mida kirjeldavad lainefunktsioonid $\psi_1\ (\rm ja)\ $ $\psi_2$, siis selle süsteemi jaoks on olek:

kus $C_(1\ )ja\ C_2$ -- pidevad koefitsiendid. Superpositsiooni põhimõte on empiiriliselt kinnitatud.

Võime rääkida suvalise arvu kvantolekute liitmisest:

kus $(\left|C_n\right|)^2$ on tõenäosus, et süsteem leitakse olekus, mida kirjeldab lainefunktsioon $\psi_n.$ Normaliseerimistingimusele (2) alluvate lainefunktsioonide puhul täidetud on järgmine tingimus:

Statsionaarsed seisundid

Kvantteoorias eriline roll on statsionaarsed olekud (olekud, milles kõik on jälgitavad füüsikalised parameetrid ei muutu aja jooksul). (Lainefunktsioon ise on põhimõtteliselt jälgimatu.) Püsiseisundis on funktsioonil $\psi$ järgmine vorm:

kus $\omega =\frac(E)(\hbar )$, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ ei sõltu ajast, $E$ on osakeste energia. Lainefunktsiooni vormi (3) korral on tõenäosustihedus ($P$) ajakonstant:

Alates füüsikalised omadused statsionaarsed olekud millele järgneb lainefunktsiooni $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)\to \ (\psi(x,y,z))$ matemaatilised nõuded.

Statsionaarsete olekute lainefunktsiooni matemaatilised nõuded

$\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$- funktsioon peab olema kõigis punktides:

• pidev,
• ühemõtteline,
• lõplik.

Kui potentsiaalsel energial on katkestuspind, siis sellistel pindadel peab funktsioon $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ ja selle esimene tuletis jääma pidevaks. Ruumi piirkonnas, kus potentsiaalne energia muutub lõpmatuks, peab $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ olema null. Funktsiooni $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ järjepidevus eeldab, et selle piirkonna mis tahes piiril $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)=0$. Järjepidevuse tingimus on seatud lainefunktsiooni osalistele tuletistele ($\frac(\partial \psi)(\partial x),\ \frac(\partial \psi)(\partial y),\frac(\partial \ psi)(\ osaline z)$).

Näide 1

Harjutus: Teatud osakese jaoks on antud kujul lainefunktsioon: $\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))$, kus $r$ on kaugus osakesest jõu keskmesse (joon. 1 ), $a=const$. Rakendage normaliseerimistingimus, leidke normaliseerimiskoefitsient A.

1. pilt.

Lahendus:

Kirjutame oma juhtumi normaliseerimistingimuse kujul:

\[\int((\left|\psi\right|)^2dV=\int(\psi\psi^*dV=1\left(1.1\right),))\]

kus $dV=4\pi r^2dr$ (vt joon. 1 Tingimustest on selge, et ülesandel on sfääriline sümmeetria). Probleemi tingimustest saame:

\[\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))\ to \psi^*=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a ))\left(1,2\right).\]

Asendame normaliseerimistingimuses $dV$ ja lainefunktsioonid (1.2):

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=1\left(1,3\ õige).)\]

Teostame integreerimise vasakul küljel:

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=2\pi A^2a =1\vasak(1,4\parem).)\]

Valemist (1.4) väljendame nõutava koefitsiendi:

Vastus:$A=\sqrt(\frac(1)(2\pi a)).$

Näide 2

Harjutus: Milline on elektroni kõige tõenäolisem kaugus ($r_B$) tuumast, kui lainefunktsiooni, mis kirjeldab elektroni põhiseisundit vesinikuaatomis, saab defineerida järgmiselt: $\psi=Ae^(-(r)/ (a))$, kus $ r$ on kaugus elektronist tuumani, $a$ on esimene Bohri raadius?

Lahendus:

Kasutame valemit, mis määrab mikroosakese esinemise tõenäosuse mahus $dV$ ajahetkel $t$:

kus $dV=4\pi r^2dr.\ $Seega on meil:

Sel juhul kirjutame $p=\frac(dP)(dr)$ järgmiselt:

Kõige tõenäolisema kauguse määramiseks on tuletis $\frac(dp)(dr)$ võrdne nulliga:

\[(\left.\frac(dp)(dr)\right|)_(r=r_B)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))+4\pi r^2A^ 2e^(-(2r)/(a))\left(-\frac(2)(a)\right)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))\left(1- \frac(r)(a)\right)=0(2,4)\]

Kuna lahendus $8\pi rA^2e^(-(2r_B)/(a))=0\ \ (\rm at)\ \ r_B\to \infty $ meile ei sobi, käib see nii:

Mikroosakeste laineomaduste avastamine näitas, et klassikaline mehaanika ei suuda selliste osakeste käitumist õigesti kirjeldada. Teooria, mis hõlmab kõiki omadusi elementaarosakesed, peaks arvestama mitte ainult nendega korpuskulaarsed omadused, aga ka lainelisi. Varem käsitletud katsetest järeldub, et elementaarosakeste kiirel on osakeste kiiruse suunas leviva tasapinnalise laine omadused. Piki telge levimise korral saab seda laineprotsessi kirjeldada de Broglie lainevõrrandiga (7.43.5):

(7.44.1)

kus on osakese energia ja impulss. Mis tahes suunas levides:

(7.44.2)

Nimetagem funktsiooni lainefunktsiooniks ja selgitame välja selle füüsikaline tähendus, võrreldes valguslainete ja mikroosakeste difraktsiooni.

Valguse olemuse lainekontseptsioonide kohaselt on difraktsioonimustri intensiivsus võrdeline valguslaine amplituudi ruuduga. Vastavalt vaadetele footoni teooria, intensiivsuse määrab sisenevate footonite arv see punkt difraktsioonimuster. Järelikult annab footonite arvu difraktsioonimustri antud punktis valguslaine amplituudi ruut, samas kui ühe footoni puhul määrab amplituudi ruut tõenäosuse, et footon tabab konkreetset punkti.

Mikroosakeste puhul täheldatud difraktsioonimustrit iseloomustab ka mikroosakeste voogude ebavõrdne jaotus. Maksimumite olemasolu difraktsioonimustris vaatenurgast laineteooria tähendab, et need suunad vastavad de Broglie lainete suurimale intensiivsusele. Intensiivsus on suurem kus suurem arv osakesed. Seega on mikroosakeste difraktsioonimuster statistilise mustri ilming ja võib öelda, et teadmine de Broglie laine tüübist, s.o. Funktsioon Ψ võimaldab hinnata ühe või teise võimaliku protsessi tõenäosust.

Niisiis kirjeldatakse kvantmehaanikas mikroosakeste olekut põhimõtteliselt uuel viisil - kasutades lainefunktsiooni, mis on peamine teabekandja nende korpuskulaarse ja laine omadused. Tõenäosus leida osakest mahuga elemendis on

(7.44.3)

Suurusjärk

(7.44.4)

omab tõenäosustiheduse tähendust, s.t. määrab tõenäosuse leida lähedusest ruumalaühikus osake antud punkt. Seega ei oma füüsilist tähendust mitte funktsioon ise, vaid selle mooduli ruut, mis määrab de Broglie lainete intensiivsuse. Osakese leidmise tõenäosus korraga piiratud maht, on tõenäosuse liitmise teoreemi kohaselt võrdne

(7.44.5)

Kuna osake on olemas, leitakse see kindlasti kusagilt kosmosest. Usaldusväärse sündmuse tõenäosus on siis võrdne ühega

. (7.44.6)

Avaldist (7.44.6) nimetatakse tõenäosuse normaliseerimise tingimuseks. Mikroosakese toime tuvastamise tõenäosust ruumalaelemendis iseloomustav lainefunktsioon peab olema lõplik (tõenäosus ei saa olla suurem kui üks), üheselt mõistetav (tõenäosus ei saa olla mitmetähenduslik väärtus) ja pidev (tõenäosus ei saa järsult muutuda).

Laine funktsioon
Laine funktsioon

Laine funktsioon (või olekuvektor) on kompleksfunktsioon, mis kirjeldab kvantmehaanilise süsteemi olekut. Selle tundmine võimaldab teil saada süsteemi kohta kõige täielikumat teavet, mis on mikrokosmoses põhimõtteliselt saavutatav. Nii et selle abiga saate arvutada kõik mõõdetud füüsilised omadused süsteem, selle esinemise tõenäosus teatud kohas ruumis ja selle evolutsioon ajas. Lainefunktsiooni saab leida lahendades Schrödingeri lainevõrrandi.
Punktstruktuurita osakese lainefunktsioon ψ (x, y, z, t) ≡ ψ (x, t) on keeruline funktsioon selle osakese ja aja koordinaadid. Sellise funktsiooni lihtsaim näide on vaba osakese lainefunktsioon impulsi ja koguenergiaga E ( lennuki laine)

.

Osakeste süsteemi A lainefunktsioon sisaldab kõigi osakeste koordinaate: ψ (1, 2,..., A,t).
Üksikosakese lainefunktsiooni ruutmoodul | ψ (,t)| 2 = ψ *(,t) ψ (,t) annab osakese tuvastamise tõenäosuse ajahetkel t punkt ruumis, mida kirjeldavad koordinaadid, nimelt | ψ (,t)| 2 dv ≡ | ψ (x, y, z, t)| 2 dxdydz on osakese leidmise tõenäosus ruumipiirkonnas ruumalaga dv = dxdydz punktide x, y, z ümber. Samamoodi on tõenäosus leida ajahetkel t mitmemõõtmelise ruumi mahuelemendis koordinaatidega 1, 2,..., A osakeste süsteem A | ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t)| 2 dv 1 dv 2 ...dv A .
Lainefunktsioon määrab täielikult kvantsüsteemi kõik füüsikalised omadused. Seega saadakse avaldisega süsteemi füüsikalise suuruse F keskmine vaadeldav väärtus

,

kus on selle suuruse operaator ja integreerimine toimub kogu mitmemõõtmelise ruumi piirkonnas.
Osakeste koordinaatide x, y, z asemel saab lainefunktsiooni sõltumatuteks muutujateks valida nende momentid p x , p y , p z või muud füüsikaliste suuruste komplektid. See valik sõltub esitusest (koordinaat, impulss või muu).
Osakese lainefunktsioon ψ (,t) ei võta arvesse tema sisemisi omadusi ja vabadusastmeid, st kirjeldab tema liikumist tervikliku struktuurita (punkt)objektina mööda teatud trajektoori (orbiiti) ruumis. Need osakese sisemised omadused võivad olla selle spin, helilisus, isospin (tugevalt interakteeruvate osakeste jaoks), värvus (kvarkide ja gluoonide puhul) ja mõned teised. Osakese sisemised omadused on määratletud selle spetsiaalse lainefunktsiooniga sisemine olekφ. Sel juhul saab osakese Ψ kogulainefunktsiooni esitada orbitaalliikumise funktsiooni ψ ja korrutisena. sisemine funktsioon φ:

kuna tavaliselt osakese sisemised omadused ja selle vabadusastmed, kirjeldades orbiidi liikumine, ei sõltu üksteisest.
Näitena piirdume juhtumiga, kui ainuke sisemine omadus, mida funktsioon arvesse võtab, on osakese spinn ja see spin on võrdne 1/2-ga. Sellise spinniga osake võib olla ühes kahest olekust - spin-projektsioon z-teljel on +1/2 (spin-up) ja spin-projektsioon z-teljel on -1/2 (spin alla). Seda duaalsust kirjeldab pöörlemisfunktsioon, mis on võetud kahekomponendilise spinori kujul:

Siis kirjeldab lainefunktsioon Ψ +1/2 = χ +1/2 ψ osakese liikumist spinniga 1/2, mis on suunatud ülespoole mööda funktsiooni ψ määratud trajektoori ja lainefunktsioon Ψ -1/2 = χ -1/2 ψ kirjeldab liikumist mööda sama osakese sama trajektoori, kuid spinn on suunatud alla.
Kokkuvõtteks märgime, et kvantmehaanikas on võimalikud olekud, mida ei saa lainefunktsiooni abil kirjeldada. Selliseid olekuid nimetatakse segatud ja neid kirjeldatakse keerukama lähenemisviisi raames, kasutades tihedusmaatriksi mõistet. Lainefunktsiooniga kirjeldatud kvantsüsteemi olekuid nimetatakse puhasteks.

Elektroni osakeste-laine omaduste kirjeldamiseks kvantmehaanikas kasutatakse lainefunktsiooni, mida tähistatakse Kreeka kiri psi (T). Lainefunktsiooni peamised omadused on järgmised:

• mis tahes punktis ruumis koordinaatidega x, y, z sellel on teatud märk ja amplituud: BHd:, juures, G);
• lainefunktsiooni ruutmoodul | CHH, y,z)| 2 on võrdne tõenäosusega leida osake ruumalaühikus, s.o. tõenäosustihedus.

Aatomi tuumast erinevatel kaugustel asuva elektroni tuvastamise tõenäosustihedust on kujutatud mitmel viisil. Seda iseloomustab sageli punktide arv mahuühiku kohta (joonis 9.1, A). Punktiirjooneline tõenäosustiheduse pilt meenutab pilve. Rääkides elektronipilvest, tuleb meeles pidada, et elektron on osake, mis avaldab samaaegselt nii korpuskulaarset kui ka lainet

Riis. 9.1.

omadused. Elektroni tuvastamise tõenäosusvahemikul pole selgeid piire. Siiski on võimalik valida ruum, kus selle tuvastamise tõenäosus on kõrge või isegi maksimaalne.

Joonisel fig. 9.1, A Katkendjoon tähistab sfäärilist pinda, mille sees elektroni tuvastamise tõenäosus on 90%. Joonisel fig. Joonisel 9.1b on kujutatud vesinikuaatomi elektrontiheduse kontuurkujutis. Tuumale lähim kontuur katab ruumipiirkonna, milles elektroni tuvastamise tõenäosus on 10%, teise kontuuri sees oleva elektroni tuvastamise tõenäosus tuumast on 20%, kolmanda sees - 30% jne. Joonisel fig. 9.1 on elektronpilv kujutatud sfäärilise pinnana, mille sees elektroni tuvastamise tõenäosus on 90%.

Lõpuks joonisel fig. 9.1, d ja b näitavad tõenäosust tuvastada elektron Is erinevatel kaugustel kahel viisil G tuumast: ülaosas on selle tõenäosuse tuuma läbimise "lõige" ja all on funktsioon ise 4lr 2 |U| 2.

Schrödingsri võrrand. See põhivõrrand Kvantmehaanika sõnastas Austria füüsik E. Schrödinger 1926. aastal. See käsitleb osakese koguenergiat. E, võrdne summaga potentsiaali ja kineetiline energia, potentsiaalne energia?„, osakeste mass T ja lainefunktsioon 4*. Ühe osakese puhul näiteks massiga elektron see on, see näeb välja selline:

KOOS matemaatiline punkt Meie vaatenurgast on see võrrand kolme tundmatuga: Y, E Ja?". Lahenda see, st. Neid tundmatuid saab leida, lahendades selle koos kahe teise võrrandiga (kolme tundmatu leidmiseks on vaja kolme võrrandit). Selliste võrranditena on võrrandid jaoks potentsiaalne energia Ja piirtingimused.

Potentsiaalse energia võrrand ei sisalda lainefunktsiooni V. See kirjeldab laetud osakeste vastastikmõju vastavalt Coulombi seadusele. Kui üks elektron interakteerub tuumaga, mille laeng on +z, on potentsiaalne energia võrdne

Kus g = jah* 2 + y 2+ z 2 .

See on nn üheelektroni aatomi juhtum. Rohkem keerulised süsteemid, kui laetud osakesi on palju, koosneb potentsiaalse energia võrrand samade Coulombi liikmete summast.

Piirtingimuse võrrand on avaldis

See tähendab, et elektronlaine funktsioon kipub aatomituumast suurel kaugusel nullist minema.

Schrödingeri võrrandi lahendamine võimaldab leida elektronlaine funktsiooni? = (x, y, z) koordinaatide funktsioonina. Seda jaotust nimetatakse orbitaaliks.

Orbitaal - see on ruumis määratletud lainefunktsioon.

Võrrandisüsteemil, mis hõlmab Schrödingeri võrrandeid, potentsiaalset energiat ja piirtingimusi, pole mitte üks, vaid palju lahendusi. Iga lahendus sisaldab samaaegselt 4 x = (x, y, G) Ja E, st. kirjeldab elektronipilve ja sellele vastavat koguenergiat. Iga lahendus määratakse kindlaks kvantarvud.

Füüsiline tähendus kvantarvudest saab aru stringi vibratsiooni arvesse võttes, mille tulemusena seisulaine(joonis 9.2).

Seisulaine pikkus X ja nööri pikkus b võrrandiga seotud

Püsilaine pikkusel võib olla ainult rangelt teatud väärtused, mis vastab numbrile P, mis aktsepteerib ainult mittenegatiivseid täisarvu väärtusi 1,2,3 jne. Nagu jooniselt fig. 9.2, võnkeamplituudi maksimumide arv, s.o. seisulaine kuju on üheselt määratud väärtusega P.

Kuna elektronlaine aatomis on keerulisem protsess kui stringi seisulaine, ei määra elektronlaine funktsiooni väärtused mitte üks, vaid neli.

Riis. 9.2.

neli numbrit, mida nimetatakse kvantarvudeks ja on tähistatud tähtedega P, /, T Ja s. See komplekt kvantarvud P, /, Tüheaegselt vastata teatud lainefunktsioonile Ch"lDl ja koguenergia E„j. Kvantarv T juures E ei ole näidatud, kuna välise välja puudumisel saab elektroni energiat T ei sõltu. Kvantarv s ei mõjuta ühtegi 4 *n xt,üldse mitte E n j.

• , ~ elxv dlxv 62*p
• Sümbolid --, --- tähendavad 8z2 H"-funktsiooni fir1 kaare teisi osatuletisi. Need on esimeste tuletiste tuletised. Kas esimese tuletise tähendus langeb kokku funktsiooni kalde puutujaga H" argumendist x, y või z graafikutel? = j(x), T =/2(y), H" =/:!(z).