C 3 racionalne nejednadžbe. Rješavanje racionalnih nejednadžbi metodom intervala

Pomoću ovu lekciju učiti ćete o racionalnim nejednakostima i njihovim sustavima. Sustav racionalnih nejednadžbi rješava se uz pomoć ekvivalentnih transformacija. Razmatra se definicija ekvivalencije, metoda zamjene razlomačko-racionalne nejednadžbe kvadratnom, te razumije koja je razlika između nejednadžbe i jednadžbe i kako se provode ekvivalentne transformacije.

Uvod

Algebra 9. razred

Završno ponavljanje kolegija algebre 9. razreda

Racionalne nejednadžbe i njihovi sustavi. Sustavi racionalnih nejednakosti.

1.1 Sažetak.

Ekvivalentne transformacije racionalnih nejednadžbi

1. Ekvivalentne transformacije racionalnih nejednadžbi.

Odlučiti racionalna nejednakost znači pronaći sva njegova rješenja. Za razliku od jednadžbe, kod rješavanja nejednadžbe u pravilu postoji beskonačan broj rješenja. Bezbroj rješenja se ne mogu provjeriti zamjenom. Stoga je potrebno transformirati izvornu nejednadžbu na način da se u svakom sljedećem retku dobije nejednadžba s istim skupom rješenja.

Racionalne nejednakosti riješen samo sa ekvivalent ili ekvivalentne transformacije. Takve transformacije ne iskrivljuju skup rješenja.

Definicija. Racionalne nejednakosti nazvao ekvivalent ako su skupovi njihovih rješenja isti.

Naznačiti jednakovrijednost koristiti znak

Rješenje sustava nejednadžbi. Ekvivalentne transformacije sustava

2. Rješenje sustava nejednadžbi

Prva i druga nejednadžba su razlomačke racionalne nejednakosti. Metode za njihovo rješavanje prirodni su nastavak metoda za rješavanje linearnih i kvadratnih nejednadžbi.

Pomaknimo brojeve s desne strane ulijevo sa suprotnim predznakom.

Kao rezultat toga, na desnoj strani će ostati 0. Ova transformacija je ekvivalentna. To je označeno znakom

Izvršimo radnje koje algebra propisuje. Oduzmite "1" u prvoj nejednadžbi i "2" u drugoj.

Rješenje prve nejednadžbe metodom intervala

3. Rješavanje nejednadžbe metodom intervala

1) Uvedimo funkciju. Moramo znati kada je ova funkcija manja od 0.

2) Pronađite domenu funkcije: nazivnik ne smije biti 0. "2" je prijelomna točka. Za x=2 funkcija je neodređena.

3) Pronađite korijene funkcije. Funkcija je 0 ako je brojnik 0.

Zadane točke dijele numeričku os na tri intervala - to su intervali konstantnosti. Na svakom intervalu funkcija zadržava svoj predznak. Odredimo predznak na prvom intervalu. Zamijenite neku vrijednost. Na primjer, 100. Jasno je da su i brojnik i nazivnik veći od 0. To znači da je cijeli razlomak pozitivan.

Odredimo predznake na preostalim intervalima. Prolaskom kroz točku x=2 samo nazivnik mijenja predznak. To znači da će cijeli razlomak promijeniti predznak i bit će negativan. Napravimo sličnu raspravu. Prolaskom kroz točku x=-3 samo brojnik mijenja predznak. To znači da će razlomak promijeniti predznak i biti pozitivan.

Biramo interval koji odgovara uvjetu nejednakosti. Osjenčajte ga i zapišite kao nejednadžbu

Prijem svođenja razlomačko-racionalne nejednadžbe na kvadrat.

Rješavanje prve nejednadžbe svođenjem na kvadrat

4. Rješavanje nejednadžbe pomoću kvadratne nejednadžbe

Važna činjenica.

U usporedbi s 0 (u slučaju stroge nejednakosti), razlomak se može zamijeniti umnoškom brojnika i nazivnika ili se brojnik ili nazivnik mogu zamijeniti.

To je tako jer sve tri nejednakosti vrijede pod uvjetom da su u i v drugačiji znak. Ove tri nejednakosti su ekvivalentne.

Iskoristimo ovu činjenicu i zamijenimo razlomačka racionalna nejednakost kvadrat.

Riješimo kvadratnu nejednadžbu.

Predstavimo se kvadratna funkcija. Pronađimo njegove korijene i napravimo skicu njegovog grafa.

Dakle, grane parabole su gore. Unutar intervala korijena funkcija čuva predznak. Ona je negativna.

Izvan intervala korijena funkcija je pozitivna.

Rješenje prve nejednadžbe:

Rješenje druge nejednadžbe

5. Rješenje nejednadžbe

Uvedimo funkciju:

Nađimo njegove intervale postojanosti:

Da bismo to učinili, pronalazimo korijene i točke diskontinuiteta domene funkcije. Uvijek izrezujemo prijelomne točke. (x \u003d 3/2) Izrežemo korijene ovisno o znaku nejednakosti. Naša nejednakost je stroga. Stoga smo izrezali korijen.

Postavimo znakove:

Napišimo rješenje:

Presjek skupova rješenja prve i druge nejednadžbe. Obrazac evidencije rješenja

Završimo rješenje sustava. Nađimo presjek skupa rješenja prve nejednadžbe i skupa rješenja druge nejednadžbe.

Riješiti sustav nejednadžbi znači pronaći presjek skupa rješenja prve nejednadžbe i skupa rješenja druge nejednadžbe. Dakle, nakon odvojenog rješavanja prve i druge nejednadžbe potrebno je dobivene rezultate zapisati u jedan sustav.

Oslikajmo rješenje prve nejednadžbe preko x-osi.

Prikažimo rješenje druge nejednadžbe ispod osi.

Rješenje sustava bit će one vrijednosti varijable koje zadovoljavaju i prvu i drugu nejednadžbu. Dakle, rješenje za sustav :

Zaključak

Algebra, 9. razred. 1. dio od 2. Udžbenik (A. G. Mordkovich, P. V. Semenov) 2010. Algebra, 9. razred. Dio 2 od 2. Zadatnica (A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina, itd.) 2010 Algebra, 9. razred (L. V. Kuznetsova, S. B. Suvorova, E. A. Bunimovich itd.) 2010 Algebra, 9. razred. Rješivač problema (L. I. Zvavich, A. R. Ryazanovskiy, P. V. Semenov) 2008. Algebra, 9. stupanj (Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova) 2009. Algebra, 9. stupanj (L. V. Kuznetsova, S. B. Suvorova, E. A. Bunimovich i drugi) 2010

1.3. Dodatni web resursi

http://slovo. ws/lekcija/algebra -Edukativni materijali(udžbenici, članci) iz algebre za 9. razred. Sve udžbenike navedene u popisu možete pogledati online, bez preuzimanja.

http://math-portal. ru/matematika-shkolnaya/

1.4. raditi kod kuće

Algebra, 9. razred. Dio 2 od 2. Knjiga zadataka (A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina i drugi) 2010.

Domaća zadaća: 4.24; 4.28

Ostali zadaci: 4,25; 4.26

Treba preuzeti plan učenja na ovu temu » Racionalne nejednakosti i njihovi sustavi. Sustavi racionalnih nejednakosti?

Racionalne nejednadžbe i njihovi sustavi. Sustavi racionalnih nejednakosti
Završno ponavljanje kolegija algebre 9. razreda

Uz pomoć ove lekcije naučit ćete o racionalnim nejednakostima i njihovim sustavima. Sustav racionalnih nejednadžbi rješava se uz pomoć ekvivalentnih transformacija. Razmatra se definicija ekvivalencije, metoda zamjene razlomačko-racionalne nejednadžbe kvadratnom, te se razumije koja je razlika između nejednadžbe i jednadžbe i kako se provode ekvivalentne transformacije.

Algebra 9. razred

Završno ponavljanje kolegija algebre 9. razreda

Racionalne nejednadžbe i njihovi sustavi. Sustavi racionalnih nejednakosti.

1.1 Sažetak.

1. Ekvivalentne transformacije racionalnih nejednadžbi.

Odlučiti racionalna nejednakost znači pronaći sva njegova rješenja. Za razliku od jednadžbe, kod rješavanja nejednadžbe u pravilu postoji beskonačan broj rješenja. Beskonačan broj rješenja ne može se provjeriti supstitucijom. Stoga je potrebno transformirati izvornu nejednadžbu na način da se u svakom sljedećem retku dobije nejednadžba s istim skupom rješenja.

Racionalne nejednakosti riješen samo sa ekvivalent ili ekvivalentne transformacije. Takve transformacije ne iskrivljuju skup rješenja.

Definicija. Racionalne nejednakosti nazvao ekvivalent ako su skupovi njihovih rješenja isti.

Naznačiti jednakovrijednost koristiti znak

2. Rješenje sustava nejednadžbi

Prva i druga nejednadžba su razlomačke racionalne nejednadžbe. Metode za njihovo rješavanje prirodni su nastavak metoda za rješavanje linearnih i kvadratnih nejednadžbi.

Pomaknimo brojeve s desne strane ulijevo sa suprotnim predznakom.

Kao rezultat toga, na desnoj strani će ostati 0. Ova transformacija je ekvivalentna. To je označeno znakom

Izvršimo radnje koje algebra propisuje. Oduzmite "1" u prvoj nejednadžbi i "2" u drugoj.

3. Rješavanje nejednadžbe metodom intervala

1) Uvedimo funkciju. Moramo znati kada je ova funkcija manja od 0.

2) Pronađite domenu funkcije: nazivnik ne smije biti 0. "2" je prijelomna točka. Za x=2 funkcija je neodređena.

3) Pronađite korijene funkcije. Funkcija je 0 ako je brojnik 0.

Biramo interval koji odgovara uvjetu nejednakosti. Osjenčajte ga i zapišite kao nejednadžbu

4. Rješavanje nejednadžbe pomoću kvadratne nejednadžbe

Važna činjenica.

U usporedbi s 0 (u slučaju stroge nejednakosti), razlomak se može zamijeniti umnoškom brojnika i nazivnika ili se brojnik ili nazivnik mogu zamijeniti.

To je tako jer su sve tri nejednakosti zadovoljene pod uvjetom da u i v imaju različite predznake. Ove tri nejednakosti su ekvivalentne.

Iskoristimo tu činjenicu i zamijenimo razlomačko-racionalnu nejednadžbu kvadratnom.

Riješimo kvadratnu nejednadžbu.

Uvodimo kvadratnu funkciju. Pronađimo njegove korijene i napravimo skicu njegovog grafa.

Dakle, grane parabole su gore. Unutar intervala korijena funkcija čuva predznak. Ona je negativna.

Izvan intervala korijena funkcija je pozitivna.

Rješenje prve nejednadžbe:

5. Rješenje nejednadžbe

Uvedimo funkciju:

Nađimo njegove intervale postojanosti:

Postavimo znakove:

Napišimo rješenje:

Završimo rješenje sustava. Nađimo presjek skupa rješenja prve nejednadžbe i skupa rješenja druge nejednadžbe.

Oslikajmo rješenje prve nejednadžbe preko x-osi.

Prikažimo rješenje druge nejednadžbe ispod osi.

Sustavi racionalnih nejednakosti

Tekst lekcije

sažetak [Bezdenezhnykh L.V.]

Algebra, 9. razred UMK: A.G. Mordkovich. Algebra. 9. razred U 2 sata Dio 1. Udžbenik; Dio 2. Zadatnica; Moskva: Mnemosyne, 2010 Razina obrazovanja: osnovna Tema lekcije: Sustavi racionalnih nejednakosti. (Prva lekcija o temi, ukupno 3 sata predviđena su za proučavanje teme) Lekcija za proučavanje nove teme. Svrha lekcije: ponoviti rješavanje linearnih nejednadžbi; uvesti pojmove sustava nejednadžbi, objasniti rješavanje najjednostavnijih sustava linearnih nejednadžbi; formirati sposobnost rješavanja sustava linearnih nejednadžbi bilo koje složenosti. Zadaci: Obrazovni: proučavanje teme na temelju postojećeg znanja, učvršćivanje praktičnih vještina u rješavanju sustava linearnih nejednadžbi kao rezultat samostalan rad studenata te nastavne i savjetodavne aktivnosti najspremnijih od njih. Razvijanje: razvoj spoznajni interes, samostalnost mišljenja, pamćenja, inicijative učenika korištenjem komunikacijsko-aktivnih metoda i elemenata problemskog učenja. Odgojni: formiranje komunikacijske vještine, kultura komunikacije, suradnja. Metode izvođenja: - predavanje s elementima razgovora i problemskog učenja; -samostalni rad studenata s teorijskim i praktični materijal prema udžbeniku; -razvijanje kulture formaliziranja rješavanja sustava linearnih nejednadžbi. Očekivani rezultati: učenici će zapamtiti kako rješavati linearne nejednakosti, označiti sjecište rješenja nejednadžbi na realnom pravcu, naučiti rješavati sustave linearnih nejednadžbi. Oprema za nastavu: ploča, Brošura(aplikacija), udžbenici, radne bilježnice. Sadržaj lekcije: 1. Organiziranje vremena. Provjera domaće zadaće. 2. Aktualizacija znanja. Učenici zajedno s učiteljicom popunjavaju tablicu na ploči: Nejednačina Slika Razmak Ispod je gotova tablica: Nejednačina Slika Razmak 3. Matematički diktat. Priprema za percepciju nove teme. 1. Riješite nejednadžbe prema modelu tablice: 1. opcija 2. opcija 3. opcija 4. opcija 2. Riješite nejednadžbe, nacrtajte dva lika na istoj osi i provjerite je li broj 5 rješenje dviju nejednadžbi: 1. opcija 2. opcija 3 Opcija 4 4. Objašnjenje novog gradiva . Objašnjenje novog gradiva (str. 40-44): 1. Definirajte sustav nejednadžbi (str. 41). Definicija: Više nejednadžbi s jednom varijablom x čini sustav nejednakosti ako je zadatak pronaći sve takve vrijednosti varijable za koje se svaka od zadanih nejednadžbi s varijablom pretvara u pravu numeričku nejednadžbu. 2. Uvesti pojam privatnog i zajednička odluka sustavi nejednakosti. Svaka takva vrijednost x naziva se rješenjem (ili posebnim rješenjem) sustava nejednadžbi. Skup svih partikularnih rješenja sustava nejednadžbi je opće rješenje sustava nejednadžbi. 3. Razmotrite u udžbeniku rješenje sustava nejednadžbi prema primjeru br. 3 (a, b, c). 4. Generalizirajte zaključivanje rješavanjem sustava:. 5. Učvršćivanje novog gradiva. Riješite zadatke iz br. 4.20 (a, b), 4.21 (a, b). 6. Provjera Provjera usvajanja novog materijala, aktivno pomažući u rješavanju zadataka prema opcijama: Opcija 1 a, c br. 4.6, 4.8 Opcija 2 b, d br. 4.6, 4.8 7. Sažetak. Refleksija Koje ste nove pojmove danas naučili? Jeste li naučili pronaći rješenja sustava linearnih nejednadžbi? Što ste najviše postigli, koji trenuci su bili najuspješniji? 8. Domaća zadaća: br. 4.5, 4.7.; teorija u udžbeniku str. 40-44; Za učenike s povećanom motivacijom br. 4.23 (c, d). Primjena. Opcija 1. Nejednadžba Slika Interval 2. Riješite nejednadžbe, nacrtajte dva lika na istoj osi i provjerite je li broj 5 rješenje dviju nejednadžbi: Nejednačina Slika Odgovorite na pitanje. Opcija 2. Nejednadžba Slika Interval 2. Riješite nejednadžbe, nacrtajte dva lika na istoj osi i provjerite je li broj 5 rješenje dviju nejednadžbi: Nejednačina Slika Odgovorite na pitanje. Opcija 3. Nejednadžba Slika Interval 2. Riješite nejednadžbe, nacrtajte dva lika na istoj osi i provjerite je li broj 5 rješenje dviju nejednadžbi: Nejednačina Slika Odgovorite na pitanje. Opcija 4. Nejednadžba Slika Interval 2. Riješite nejednadžbe, nacrtajte dva lika na istoj osi i provjerite je li broj 5 rješenje dviju nejednadžbi: Nejednačina Slika Odgovorite na pitanje.
Preuzmite: Algebra 9kl - sažetak [Bezdenezhnykh L.V.].docx

sažetak lekcija 2-4 [Zvereva L.P.]

Algebra 9. razred UMK: ALGEBRA-9KLASS, A.G. MORDKOVICH.P.V. Semjonov, 2014. Razina - osnovna obuka Tema lekcije: Sustavi racionalnih nejednakosti Ukupan broj sati predviđen za proučavanje teme - 4 sata Mjesto lekcije u sustavu lekcija na temi lekcija broj 2; broj 3; broj 4. Svrha sata: Naučiti učenike sastavljati sustave nejednadžbi, kao i naučiti ih rješavati gotove sustave koje je predložio autor udžbenika. Ciljevi lekcije: Formirati vještine: slobodno analitički rješavati sustave nejednadžbi, a također biti u stanju prenijeti rješenje na koordinatnu liniju kako bi se ispravno zabilježio odgovor, samostalno raditi sa zadanim materijalom. .Planirani rezultati: Studenti bi trebali znati rješavati gotove sustave, kao i sastavljati sustave nejednadžbi prema tekstualnim uvjetima zadataka te rješavati sastavljeni model. Tehnička podrška lekcije: UMK: ALGEBRA-9KLASS, A.G. MORDKOVICH.P.V. Semjonov. Radna bilježnica, projektor za usmeno računanje, ispisi dodatne zadatke za jake učenike. Dodatna metodološka i didaktička podrška za lekciju (moguće su veze na internetske izvore): 1. Priručnik N.N. Khlevnyuk, M.V. Ivanova, V.G. Ivashchenko, N.S. Melkova "Formiranje računalnih vještina u lekcijama matematike 5.-9. razreda" 2.G.G. Levitas "Matematički diktati" 7.-11.3. T.G. Gulina "Matematički simulator" 5-11 (4 razine složenosti) Učiteljica matematike: Zvereva L.P. Lekcija br. 2 Ciljevi: Razvoj vještina za rješavanje sustava racionalnih nejednadžbi korištenjem rezultata rješavanja geometrijske interpretacije za jasnoću. Tijek lekcije 1. Organizacijski trenutak: Pokretanje razreda za rad, izvješćivanje o temi i svrsi lekcije Što je rezultat rješavanja sustava racionalnih nejednakosti. 2. Praktični dio: * Na ploči rješavati zadatke koji su učenicima stvarali poteškoće. U tijeku izrada domaće zadaće II1 Izvođenje vježbi. 1. Ponoviti metode rastavljanja polinoma na faktore. 2. Ponoviti što je metoda intervala pri rješavanju nejednadžbi. 3. Riješite sustav. Rješenje vodi jak učenik za pločom pod kontrolom nastavnika. 1) Riješite nejednadžbu 3x - 10 > 5x - 5; 3x - 5x> - 5 + 10; – 2x> 5; x< – 2,5. 2) Решим неравенство х2 + 5х + 6 < 0; Найдём корни данного трёхчлена х2 + 5х + 6 = 0; D = 1; х1=-3 х2 = – 2; тогда kvadratni trinom proširi korijenima (x + 3)(x + 2)< 0. Имеем – 3 <х< – 2. 3) Найдем решение системы неравенств, для этого вынесим оба решения на одну числовую прямую. Вывод: решения совпали на промежутке от-3 до - 2,5(произошло перекрытие штриховок) О т в е т: – 3 <х< – 2,5. 4. Решить № 4.9 (б) самостоятельно споследующей проверкой. О т в е т: нет решений. 5.Повторяем теорему о квадратном трехчлене с отрицательным и положительным дискриминантом. Решаем №4.10(г) 1) Решим неравенство – 2х2 + 3х – 2 < 0; Найдём корни – 2х2 + 3х – 2 = 0; D = 9 – 16 = = – 7 < 0. По теореме неравенство верно при любых значениях х. 2) Решим неравенство –3(6х – 1) – 2х<х; – 18х + 3 – 2х<х; – 20х – х<< – 3; – 21х<– 3; 3) х>Rješenje ovog sustava nejednadžbi x> Odgovor: x> 6. Riješite br. 4.10 (c) na ploči iu bilježnicama. Riješimo nejednadžbu 5x2 - 2x + 1 ≤ 0. 5x2 - 2x + 1 = 0; D = 4 - 20 = -16< 0. По теореме неравенство не имеет решений, а это значит, что данная система не имеет решений. О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.11 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие в тетрадях, потом проверяется решение. в) 1) Решим неравенство 2х2 + 5х + 10 >0. 2x2 + 5x + 10 = 0; D = -55< 0. По теореме неравенство верно при всех значениях х.-любое число 2) Решим неравенство х2 ≥ 16; х2 – 16 ≥ 0; (х – 4)(х + 4) ≥ 0; х = 4; х = – 4. Решение х ≤ –4 их ≥ 4. Объединяем решения двух неравенств в систему 3) Решение системы неравенств являются два неравенства О т в е т: х ≤ – 4; х ≥ 4. 8. Решить № 4.32 (б) на доске и в тетрадях. Решение Наименьшее целое число равно –2; наибольшее целое число равно 6. О т в е т: –2; 6. 9. Повторение ранее изученного материала. 1) Решить № 4.1 (а; -г) 4.2(а-г) на с. 25 устно. 2) Решить графически уравнение Строим графики функций y = –1 – x. О т в е т: –2. III. Итоги урока. 1. В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств. 2. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений. 3. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение второго неравенства системы. Домашнее задание: рассмотреть по учебнику решение примеров 4 и 5 на с. 44–47 и записать решение в тетрадь; решить № 4.9 (а; в), № 4.10 (а; б), № 4.11 (а; б), № 4.13 (а;б). . У р о к 3 Цели: Научить учащихся при решении двойных неравенств и нахождении области определения выражений, составлять системы неравенств и решать их, а также научить решать системы содержащих модули; Ход урока 1.Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока 1I. Проверка домашнего задания. 1. Проверить выборочно у нескольких учащихся выполнение ими домашнего задания. 2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. 3. Устно решить № 4.2 (б) и № 4.1 (г). 4.Устная вычислительная работа: Вычисли рациональным способом: а)53,76*(-7.9) -53,76 *2,1 б) -0,125*32.6*(-8) в) Выразим указанную переменную из заданной формулы: 2a= ,y=? II. Объяснение нового материала. 1. Двойное неравенство можно решить двумя способами: а) сведением к системе двух неравенств; б) без системы неравенств с помощью преобразований. 2. Решить двойное неравенство № 4.15 (в) двумя способами. а) сведением к системе двух неравенств; I с п о с о б Решение – 2 <х< – 1. О т в е т: (– 2; – 1). б) без системы неравенств с помощью преобразований II с п о с о б 6 < – 6х< 12 | : (– 6) – 1 >x> - 2, zatim - 2< х < – 1. О т в е т: (– 2; – 1). 3. Решить № 4.16 (б; в). I с п о с о б сведением к системе двух неравенств; б) – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2. Решим систему неравенств: О т в е т: II с п о с о б без системы неравенств с помощью преобразований – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2; прибавим к каждой части неравенства число (– 1), получим – 3 ≤ – 2х ≤ 1; разделим на (– 2), тогда в) – 3 << 1. Умножим каждую часть неравенства на 2, получим – 6 < 5х + 2 < 2. Решим систему неравенств: О т в е т: – 1,6 <х< 0. III. Выполнение упражнений. 1. Решить № 4.18 (б) и № 4.19 (б) на доске и в тетрадях. 2. Решить № 4.14 (в) методом интервалов. в) 1) х2 – 9х + 14 < 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 7)(х – 2) < 0; х = 7; х = 2 Решение 2<х< 7. 2) х2 – 7х – 8 ≤ 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 8)(х + 1) ≤ 0; х = 8; х = – 1 Решение – 1 ≤ х ≤ 8. Соединим решения каждого неравенства на одной прямой т.е. создадим геометрическую модель. та часть прямой где произошло пересечение решений есть конечный результат О т в е т: 2 <х< 7. 4) Решить № 4.28 (в) самостоятельно с проверкой. в) Решим систему неравенств составленную из подкоренных выражений. 1) (х – 2)(х – 3) ≥ 0; х = 2; х = 3 Решение х ≤ 2 и х ≥ 3. 2) (5 – х)(6 – х) ≥ 0; – 1(х – 5) · (– 1)(х – 6) ≥ 0; (х – 5)(х – 6) ≥ 0 х = 5; х = 6 Решение х ≤ 5 и х ≥ 6. 3) О т в е т: х ≤ 2, 3 ≤ х ≤ 5, х ≥ 6. 5. Решение систем неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Решить № 4.34 (в; г). Учитель объясняет решение в) 1) | х + 5 | < 3 находим точку где модуль обращается в 0 х = -5 Решение – 8 <х< – 2. 2) | х – 1 | ≥ 4 находим точку где модуль обращается в 0 х = 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ 5. Соединили решения каждого неравенства в единую модель 3) О т в е т: – 8 <х ≤ 3. г) 1) | х – 3 | < 5; Решение – 2 <х< 8. 2) | х + 2 | ≥ 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ – 1. 3) О т в е т: –1 ≤ х< 8. 6. Решить № 4.31 (б). Учащиеся решают самостоятельно. Один ученик решает на доске, остальные в тетрадях, затем проверяется решение. б) Решение Середина промежутка О т в е т: 7. Решить № 4.38 (а; б). Учитель на доске с помощью числовой прямой показывает решение данного упражнения, привлекая к рассуждениям учащихся. О т в е т: а) р< 3; р ≥ 3; б) р ≤ 7; р>7. 8. Ponavljanje prethodno proučenog gradiva. Riješite #2.33. Neka je početna brzina biciklista x km/h, a nakon smanjenja je postala (x – 3) km/h. 15x - 45 + 6x = 1,5x (x - 3); 21x - 45 = 1,5x2 - 4,5x; 1,5x2 - 25,5x + 45 = 0 | : 1,5; tada je x2 - 17x + 30 = 0; D = 169; x1 = 15; x2 = 2 ne zadovoljava smisao problema. Odgovor: 15 km/h; 12 km/h. IV.Zaključak sata: Na satu smo naučili rješavati sustave nejednadžbi kompliciranog tipa, posebno s modulom, okušali smo se u samostalnom radu. Stavljanje oznaka. Domaća zadaća: izraditi test domaće zadaće br. 1 od br. 7 do br. 10 na posebnim listovima na str. 32–33, broj 4,34 (a; b), broj 4,35 (a; b). Lekcija 4 Priprema za ispit Ciljevi: sažeti i sistematizirati proučeno gradivo, pripremiti učenike za test na temu "Sustavi racionalnih nejednakosti" Tijek lekcije 1. Organizacijski trenutak: Pokretanje razreda za rad, izvješćivanje o temi i svrha lekcije. 11. Ponavljanje proučenog gradiva. * Što znači riješiti sustav nejednadžbi * Što je rezultat rješavanja sustava racionalnih nejednadžbi 1. Sakupiti letke s odrađenom zadaćom. 2. Koja se pravila koriste za rješavanje nejednadžbi? Objasnite rješenje nejednadžbi: a) 3x - 8<х + 2; б) 7(х – 1) ≥ 9х + 3. 3. Сформулируйте теорему для квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом. Устно решите неравенства: а) х2 + 2х + 11 >0; b) - 2x2 + x - 5 > 0; c) 3x2 - x + 4 ≤ 0. 4. Formulirajte definiciju sustava nejednadžbi s dvije varijable. Što znači riješiti sustav nejednadžbi? 5. Što je metoda intervala, koja se aktivno koristi u rješavanju racionalnih nejednadžbi? Objasnite to na primjeru rješavanja nejednadžbe: (2x – 4)(3 – x) ≥ 0; I11. Vježbe obuke. 1. Riješite nejednadžbu: a) 12(1 - x) ≥ 5x - (8x + 2); b) - 3x2 + 17x + 6< 0; в) 2. Найдите область определения выражения. а) f(х) = 12 + 4х – х2 ≥ 0; – х2 + 4х + 12 ≥ 0 | · (– 1); х2 – 4х – 12 ≤ 0; D = 64; х1 = 6; х2 = – 2; (х – 6)(х + 2) ≤ 0 О т в е т: – 2 ≤ х ≤ 6 или [– 2; 6]. б) f(х)= х2 + 2х + 14 ≥ 0; D< 0. По теореме о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом имеемх – любое число. О т в е т: множество решений или (– ∞; ∞). 2. Решите двойное неравенство и укажите, если возможно, наибольшее и наименьшее целое решение неравенства Р е ш е н и е Умножим каждую часть неравенства на 5, получим 0 – 5 < 3 – 8х ≤ 15; – 8 < – 8х ≤ 12; – 1,5 ≤ х< 1. Наибольшее целое число 0, наименьшее целое число (– 1). О т в е т: 0; – 1. 4. Решить № 76 (б) на доске и в тетрадях. б) Р е ш е н и е Для нахождения области определения выражения решим систему неравенств 1) х = х = 5. Решение ≤х< 5. 2) Решение х< 3,5 и х ≥ 4. 3) О т в е т: ≤х< 3,5 и 4 ≤ х< 5. 5. Найти область определения выражения. а) f(х) = б) f(х) = а) О т в е т: – 8 <х ≤ – 5; х ≥ – 3. б) О т в е т: х ≤ – 3; – 2 <х ≤ 4. 6. Решить систему неравенств (самостоятельно). Р е ш е н и е Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим: О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.40*. Решение объясняет учитель. Если р = 2, то неравенство примет вид 2х + 4 >0, x> - 2. Ovo ne odgovara zadatku a) ili zadatku b). Dakle, možemo pretpostaviti da je p ≠ 2, odnosno da je navedena nejednadžba kvadratna. a) Kvadratna nejednadžba oblika ax2 + bx + c > 0 nema rješenja ako je< 0, D< 0. Имеем D = (р – 4)2 – 4(р – 2)(3р – 2) = – 11р2 + 24р. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р< 0. б) Квадратное неравенство вида ах2 + bх + с>0 se izvršava za bilo koju vrijednost x, ako je a > 0 i D< 0. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р>IV. Rezultati lekcije. Potrebno je kod kuće ponoviti sve naučeno gradivo i pripremiti se za test. Domaća zadaća: br. 1.21 (b; d), br. 2.15 (c; d); br. 4.14 (d), br. 4.28 (d); br. 4.19 (a), br. 4.33 (d).

Tema lekcije "Rješavanje sustava racionalnih nejednakosti"

10. razred

Vrsta lekcije: pretraga

Namjena: pronalaženje načina rješavanja nejednadžbi s modulom, primjena metode intervala u novoj situaciji.

Ciljevi lekcije:

Provjeriti vještine rješavanja racionalnih nejednadžbi i njihovih sustava; - ukazati učenicima na mogućnosti korištenja intervalne metode pri rješavanju nejednadžbi s modulom;

Naučiti logično razmišljati;

Razvijati vještinu samoprocjene svog rada;

Naučite izraziti svoje misli

Naučite razumom braniti svoje stajalište;

Formirati kod učenika pozitivan motiv za učenje;

Razvijati samostalnost učenika.

Tijekom nastave

ja Organiziranje vremena(1 minuta)

Pozdrav, danas ćemo nastaviti proučavati temu "Sustav racionalnih nejednakosti", primijenit ćemo svoje znanje i vještine u novoj situaciji.

Zapišite datum i temu lekcije "Rješavanje sustava racionalnih nejednadžbi". Danas vas pozivam na putovanje cestama matematike, gdje vas čekaju ispiti, ispiti snage. Na stolovima imate putokaze sa zadacima, putni list za samoocjenjivanje, koji ćete predati meni (dispečeru) na kraju puta.

Moto putovanja bit će aforizam "Cestom će svladati onaj tko hoda, a tko matematiku misli". Ponesite svoju prtljagu znanja sa sobom. Uključite proces razmišljanja i krenite. Na putu će nas pratiti cestovni radio.Zvuči fragment glazbe (1 min). Zatim oštar zvučni signal.

II. Faza provjere znanja. Grupni rad."Pregled prtljage"

Evo prvog testa "Pregled prtljage", koji provjerava vaše znanje o toj temi

Sada ćete biti podijeljeni u grupe od 3 ili 4 osobe. Svatko ima radni list na svom stolu. Podijelite ove zadatke među sobom, riješite ih, zapišite gotove odgovore na zajednički list. Grupa od 3 osobe bira bilo koja 3 zadatka. Tko riješi sve zadatke, obavijestit će o tome učitelja. Ja ili moji pomoćnici provjeravamo odgovore, a ako je barem jedan odgovor netočan, list se vraća grupi na provjeru. (djeca ne vide odgovore, samo im se kaže u kojem je zadatku odgovor pogrešan).Pobijedit će prva grupa koja završi sve zadatke bez pogrešaka. Naprijed do pobjede.

Glazba je vrlo tiha.

Ako dvije ili tri grupe završe s radom u isto vrijeme, tada će jedan od momaka iz druge grupe pomoći učitelju da provjeri. Odgovori na listiću kod nastavnika (4 primjerka).

Rad se zaustavlja kada se pojavi pobjednička grupa.

Ne zaboravite ispuniti Kontrolni popis za samoprocjenu. I idemo dalje.

List sa zadatkom za "Pregled prtljage"

1) 3)

2) 4)

III. Faza ažuriranja znanja i otkrivanja novih znanja. "Eureka"

Provjera je pokazala da imate bogato znanje.

No, na cesti ima svakakvih situacija, ponekad je potrebna domišljatost, a ako ste ga zaboravili ponijeti, idemo provjeriti.

Naučili ste rješavati sustave racionalnih nejednadžbi metodom intervala. Danas ćemo pogledati za koje probleme je preporučljivo koristiti ovu metodu. Ali prvo se prisjetimo što je modul.

1. Nastavite rečenice "Modul broja jednak je samom broju, ako ..."(oralno)

"Modul broja jednak je suprotnom broju ako..."

2. Neka je A(X) polinom od x

Nastavi snimanje:

Odgovor:

Napiši izraz nasuprot izrazu A (x)

A(x) = 5 - 4x; A(x) = 6x 2 - 4x + 2

A(x)= -A(x)=

Učenik piše na ploču, dečki u bilježnice.

3. Pokušajmo sada pronaći način da riješimo kvadratnu nejednadžbu s modulom

Koji su vaši prijedlozi za rješavanje ove nejednakosti?

Poslušajte prijedloge momaka.

Ako nema prijedloga, onda postavite pitanje: "Je li moguće riješiti ovu nejednakost pomoću sustava nejednakosti?"

Učenik izlazi i odlučuje.

IV. Faza primarne konsolidacije novih znanja, izrada algoritma rješenja. Nadopunjavanje prtljage.

(Rad u grupama od 4 osobe).

Sada predlažem da dopunite svoju prtljagu. Radit ćete u grupama.Svaka grupa dobiva 2 kartice sa zadacima.

Na prvoj kartici trebate napisati sustave za rješavanje nejednadžbi prikazanih na ploči i razviti algoritam za rješavanje takvih nejednadžbi, ne morate ga rješavati.

Prva karta grupa je drugačija, druga je ista

Što se dogodilo?

Ispod svake jednadžbe na ploči trebate napisati skup sustava.

Izlaze 4 učenika i pišu sustave. U ovom trenutku s razredom razgovaramo o algoritmu.

v. Faza konsolidacije znanja."Put kući".

Prtljaga dopunjena, vrijeme je za povratak. Sada samostalno riješite bilo koju od predloženih nejednadžbi s modulom prema sastavljenom algoritmu.

S vama na putu opet će biti cestovni radio.

Uključite tihu pozadinsku glazbu. Nastavnik provjerava dizajn i po potrebi savjetuje.

Zadaci na ploči.

Posao je završen. Provjerite odgovore (nalaze se na poleđini ploče), ispunite putni list za samovrjednovanje.

Postavljanje domaće zadaće.

Zapišite domaću zadaću (prepišite u bilježnicu nejednačine koje niste napravili ili ste ih napravili s pogreškama, po želji dodatno br. 84 (a) na 373. stranici udžbenika)

VI. Faza opuštanja.

Koliko vam je ovo putovanje bilo korisno?

Što ste naučili?

Rezimirati. Izračunajte koliko je bodova svaki od vas zaradio.(djeca imenuju konačni rezultat).Listove za samoocjenjivanje predajte dispečeru, odnosno meni.

Želim završiti lekciju prispodobom.

“Išao je mudar čovjek, a u susret su mu išla trojica koji su pod vrelim suncem nosili kola s kamenjem za gradnju. Mudrac je stao i svakome postavio pitanje. Prvog je upitao: “Šta si radio cijeli dan?”, a ovaj mu je cereći se odgovorio da je cijeli dan nosio ukleto kamenje. Mudrac je upitao drugog: "Što si radio cijeli dan?", A on je odgovorio: "Savjesno sam radio", a treći se nasmiješio, lice mu je bilo obasjano radošću i zadovoljstvom: "I ja sam sudjelovao u izgradnji Hrama!"

Lekcija je gotova.

List za samoocjenjivanje

Prezime, ime, razred

Broj bodova

Radite u grupi na rješavanju nejednadžbi ili sustava nejednadžbi.

2 boda ako se izvodi ispravno bez vanjske pomoći;

1 bod ako se izvodi pravilno uz pomoć izvana;

0 bodova ako niste izvršili zadatak

1 dodatni bod za pobjedu u skupini

Primjeri:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(\leq0\)

\(\frac(1)(2x)\) \(+\) \(\frac(x)(x+1)\) \(<\)\(\frac{1}{2}\)

\(\frac(6)(x+1)\) \(>\) \(\frac(x^2-5x)(x+1)\) .

Pri rješavanju razlomačkih racionalnih nejednadžbi koristi se metoda intervala. Stoga, ako vam algoritam u nastavku stvara poteškoće, pogledajte članak o .

Kako riješiti razlomačke racionalne nejednadžbe:

Algoritam za rješavanje razlomačkih racionalnih nejednadžbi.

Primjeri:

Postavite znakove na intervale brojevne osi. Dopustite mi da vas podsjetim na pravila za postavljanje znakova:

Odredimo predznak u krajnjem desnom intervalu - uzmemo broj iz tog intervala i zamijenimo ga u nejednadžbu umjesto x. Nakon toga odredimo predznake u zagradama i rezultat množenja tih predznaka;

Primjeri:

Istaknite prostore koje želite. Ako postoji zasebni korijen, označite ga zastavicom kako ga ne biste zaboravili uključiti u odgovor (pogledajte primjer u nastavku).

Primjeri:

U odgovoru zapišite označene praznine i korijene označene zastavicom (ako postoje).

Primjeri:
Odgovor: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪)

C 3 racionalne nejednadžbe. Rješavanje racionalnih nejednadžbi metodom intervala

Uvod

Ekvivalentne transformacije racionalnih nejednadžbi

Rješenje sustava nejednadžbi. Ekvivalentne transformacije sustava

Rješenje prve nejednadžbe metodom intervala

Prijem svođenja razlomačko-racionalne nejednadžbe na kvadrat.

Rješenje druge nejednadžbe

Presjek skupova rješenja prve i druge nejednadžbe. Obrazac evidencije rješenja

Zaključak

Sustavi racionalnih nejednakosti

Tekst lekcije

sažetak [Bezdenezhnykh L.V.]

sažetak lekcija 2-4 [Zvereva L.P.]

Kako riješiti razlomačke racionalne nejednadžbe: