Čemu služe formule diferenciranja? Nađi izvod: algoritam i primjeri rješenja

Neka je funkcija y = f(x) definirana u intervalu X. izvedenica funkcija y \u003d f (x) u točki x o naziva se granica

= .

Ako ova granica konačan, tada se poziva funkcija f(x). diferencijabilan u točki x o; štoviše, pokazuje se da je u ovoj točki nužno i kontinuirano.

Ako je razmatrana granica jednaka  (ili - ), tada pod uvjetom da funkcija u točki x o je kontinuirana, reći ćemo da funkcija f(x) ima u točki x o beskonačna derivacija.

Derivacija je označena simbolima

y , f (x o), , .

Pronalaženje derivacije zove se diferencijacija funkcije. Geometrijsko značenje derivacije je da je derivacija nagib tangente na krivulju y=f(x) u danoj točki x o ; fizički smisao - da je izvod puta u odnosu na vrijeme trenutna brzina pomična točka na pravocrtno gibanje s = s(t) u trenutku t o .

Ako a S - stalni broj, i u = u(x), v = v(x) su neke diferencijabilne funkcije, tada vrijede sljedeća pravila diferenciranja:

1) (c) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" \u003d u "v + v" u;

4) (u / v) "= (u" v-v "u) / v 2;

5) ako je y = f(u), u = (x), tj. y = f((x)) - složena funkcija, ili superpozicija, sastavljen od diferencijabilnih funkcija  i f, zatim , odn

6) ako za funkciju y = f(x) postoji inverzno diferencijabilna funkcija x = g(y), a  0, tada je .

Na temelju definicije derivacije i pravila diferenciranja može se sastaviti popis tabličnih derivacija osnovnih elementarnih funkcija.

1. (u )" =  u  1 u" (  R).

2. (a u)" = a u lna u".

3. (e u)" = e u u".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u u".

7. (cos u)" = - sin u u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (luk u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

Izračunajmo derivaciju eksponencijalnog izraza y=u v , (u>0), gdje je u i v bit funkcije x koji ima izvodnice u datoj točki ti",v".

Uzimajući logaritam jednakosti y=u v , dobivamo ln y = v ln u.

Izjednačavanje izvodnica s obzirom na x iz oba dijela dobivene jednakosti korištenjem pravila 3, 5 i formule za izvod logaritamska funkcija, imat će:

y"/y = vu"/u + v" ln u, odakle je y" = y (vu"/u + v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" log u), u > 0.

Na primjer, ako je y \u003d x sin x, tada je y" \u003d x sin x (sin x / x + cos x ln x).

Ako je funkcija y = f(x) diferencijabilna u točki x, tj. ima konačnu derivaciju u ovoj točki y", tada = y "+, gdje je 0 na h 0; stoga je  y = y" h +  x.

Glavni dio prirasta funkcije, linearan u odnosu na x, naziva se diferencijal funkcije i označava se s dy: dy = y "x. Ako stavimo y = x u ovu formulu, tada dobivamo dx = x" x = 1x = x, dakle dy = u003d y "dx, tj. simbol za oznaku izvoda može se smatrati razlomkom.

Prirast funkcije  g je prirast ordinate krivulje, a diferencijal d g je prirast ordinate tangente.

Nađimo za funkciju y=f(x) njenu derivaciju y = f (x). Izvodnica ove izvedenice naziva se izvod drugog reda funkcije f(x), odn drugi izvod, i označeno .

Sljedeće se definira i označava na isti način:

izvod trećeg reda - ,

izvod četvrtog reda -

i općenito govoreći izvod n-tog reda - .

Primjer 3.15. Izračunajte derivaciju funkcije y=(3x 3 -2x+1)sin x.

Riješenje. Prema pravilu 3, y"=(3x 3 -2x+1)"sin x + (3x 3 -2x+1)(sin x)" = = (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x +1) cos x.

Primjer 3.16 . Nađi y", y = tg x + .

Riješenje. Koristeći pravila diferenciranja zbroja i kvocijenta dobivamo: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

Primjer 3.17. Pronađite izvedenicu složena funkcija y= , u=x 4 +1.

Riješenje. Prema pravilu diferencijacije složene funkcije dobivamo: y "x \u003d y " u u" x \u003d () " u (x 4 +1)" x \u003d (2u +. Budući da je u \u003d x 4 +1, zatim (2 x 4 + 2+ .

2. Osnovna pravila razlikovanja

Ako a S konstantan broj, a u = u(x), v = v(x) su neke diferencijabilne funkcije, tada vrijede sljedeća pravila diferenciranja:

1) (c) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" \u003d u "v + v" u;

4) (u / v) "= (u" v-v "u) / v 2;

Primjer 1 Pronađite izvod funkcije

Riješenje. Primjenom pravila (5) i (8) i formule diferenciranja (4) funkcija snage dobivamo

Primjer 2 Pronađite izvod funkcije

Riješenje. Primijenimo pravilo (7) za diferenciranje umnoška, a zatim nalazimo derivacije faktora na isti način kao u primjeru 4. Tada dobivamo

Primjer 3 Nađite derivaciju funkcije y =

Riješenje. Primijenimo pravilo (10) diferenciranja kvocijenta:

Zatim, kao i gore, izračunavamo derivacije u brojniku. Imamo

Tekst zadatka:

opcija 1

1. Pronađite izvod funkcije .

2. Naći derivaciju funkcije .

u točki s apscisom , .

opcija 2

1. Pronađite izvod funkcije .

2. Naći derivaciju funkcije .

3. Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije u točki s apscisom , .

4. Materijalna točka kreće se po zakonu . Pronađite brzinu i ubrzanje u određenom trenutku t=5 s. (Pomak se mjeri u metrima.)

Opcija 3

1. Pronađite izvod funkcije .

2. Naći derivaciju funkcije .

3. Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije u točki s apscisom , .

4. Materijalna točka se kreće po zakonu . Pronađite brzinu i ubrzanje u određenom trenutku t=5 s. (Pomak se mjeri u metrima.)

Opcija 4

1. Pronađite izvod funkcije .

2. Naći derivaciju funkcije .

3. Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije u točki s apscisom , .

4. Materijalna točka se kreće po zakonu . Pronađite brzinu i ubrzanje u određenom trenutku t=5 s. (Pomak se mjeri u metrima.)

Opcija 5

1. Pronađite izvod funkcije .

2. Naći derivaciju funkcije .

3. Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije u točki s apscisom , .

4. Materijalna točka se kreće po zakonu . Pronađite brzinu i ubrzanje u određenom trenutku t=5 s. (Pomak se mjeri u metrima.)

Opcija 6

1. Pronađite izvod funkcije .

2. Naći derivaciju funkcije .

3. Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije u točki s apscisom , .

4. Materijalna točka se kreće po zakonu . Pronađite brzinu i ubrzanje u određenom trenutku t=5 s. (Pomak se mjeri u metrima.)

Praktični rad № 16

Tema: Primjena derivacije na proučavanje funkcija i crtanje

Cilj: učvrstiti znanja i vještine učenika u svladavanju teme, formirati vještine primijenjene uporabe derivativnog aparata.

Teorijsko obrazloženje:

Shema proučavanja funkcije i konstrukcija njezinog grafikona

I. Pronađite domenu funkcije.
II. Pronađite točke presjeka grafa funkcije s koordinatnim osima.
III. Pronađite asimptote.
IV. Pronađite točke mogućeg ekstrema.
V. Pronađite kritične točke.
VI. Pomoću pomoćnog crteža istražite predznak prvih izvodnica. Odredite područja porasta i opadanja funkcije, točke ekstrema.
VII. Izgradite grafikon, uzimajući u obzir istraživanje provedeno u odlomcima 1-6.

Video tečaj "Get an A" uključuje sve teme potrebne za uspješan položivši ispit iz matematike za 60-65 bodova. Potpuno svi zadaci 1-13 profilni ispit matematika. Prikladno i za polaganje Basic USE iz matematike. Ako želite položiti ispit sa 90-100 bodova, trebate riješiti 1. dio za 30 minuta i to bez greške!

Pripremni tečaj za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A ovo je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa sto bodova ni humanist.

Sva potrebna teorija. Brzi načini rješenja, zamke i KORISTITI tajne. Analizirani su svi relevantni zadaci 1. dijela iz zadaća Banke FIPI. Tečaj je u potpunosti u skladu sa zahtjevima USE-2018.

Tečaj sadrži 5 velike teme, po 2,5 sata. Svaka tema je dana od nule, jednostavno i jasno.

Stotine ispitnih zadataka. Problemi s tekstom i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta USE zadataka. Stereometrija. Varljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorna imaginacija. Trigonometrija ispočetka - do zadatka 13. Razumijevanje umjesto natrpavanja. Vizualno objašnjenje složenih pojmova. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i izvod. Baza za rješenje izazovne zadatke 2 dijela ispita.

Diferencijacija je izračun derivacije.

1. Formule diferenciranja.

Glavne formule diferencijacije nalaze se u tablici. Ne moraju se bušiti. Nakon što ste razumjeli neke obrasce, moći ćete samostalno zaključiti druge iz nekih formula.

1) Počnimo s formulom (k x+ m)′ = k.
Njegovi posebni slučajevi su formule x′ = 1 i C′ = 0.

U bilo kojoj funkciji oblika y = kx + m, izvod je kutni koeficijent k.

Na primjer, dana je funkcija y = 2 x+ 4. Njegova derivacija u bilo kojoj točki bit će jednaka 2:

(2 x + 4)′ = 2 .

Derivacija funkcije na = 9 x+ 5 u bilo kojoj točki jednako je 9 . itd.

I nađimo izvod funkcije y \u003d 5 x. Da biste to učinili, zamislite 5 x u obliku (5 x+ 0). Dobili smo izraz sličan prethodnom. Sredstva:

(5x)′ = (5 x+ 0)′ = 5.

Konačno, saznajmo što je x′.
Primijenimo tehniku iz prethodnog primjera: zamislite x kao 1 x+ 0. Tada dobivamo:

x′ = (1 x+ 0)′ = 1.

Stoga smo neovisno izveli formulu iz tablice:

(0 · x+ m)′ = 0.

Ali tada se ispostavlja da je m' također jednako 0. Neka je m = C, gdje je C proizvoljna konstanta. Tada dolazimo do druge istine: derivacija konstante jednaka je nuli. Odnosno, dobivamo drugu formulu iz tablice.