Pravilni konveksni poliedri. Poliedri

Pojam poliedra, vrste poliedra u geometriji

Prizma i njena svojstva

Piramida

Pravilni poliedar: vrste i svojstva poliedara

Heksaedar i njegova svojstva

Tetraedar

Oktaedar i njegova svojstva

Dodekaedar

ikosaedar

Polupravilni poligoni

Zvjezdasti poliedri

Općenito o pravilnim poliedrima

Generalizacija pojma poliedra

Druga definicija poliedra i njegovih elemenata

Eulerov teorem

Osnovne definicije

Svojstva pravilnih poliedara

Volumen pravilnog poliedra

Volumeni pravilnih poliedara

Polumjeri pravilnih mnogokuta

Simetrija poliedara

Razvoj poliedara

Naslovi slajdova:

Poliedri ne samo da zauzimaju istaknuto mjesto u geometriji, već se pojavljuju i u Svakidašnjica svaka osoba. Da ne spominjemo umjetno stvorene kućanske predmete u obliku raznih poligona, počevši od kutija šibica i zaključno s arhitektonskim elementima, u prirodi postoje i kristali u obliku kocke (sol), prizme (kristal), piramide (šeelit), oktaedra (dijamant) itd.

Geometrija kao znanost sadrži dio stereometrije koji proučava karakteristike i svojstva trodimenzionalnih tijela čije su stranice u trodimenzionalni prostor koje čine ograničene ravnine (lice), nazivaju se "poliedri". Vrste poliedara uključuju više od desetak predstavnika, koji se razlikuju po broju i obliku lica.

Međutim, svi poliedri imaju zajednička svojstva:

Svi oni imaju 3 sastavne komponente: lice (površina poligona), vrh (kutovi formirani na spoju lica), brid (strana figure ili segment formiran na spoju dvaju lica). ).
Svaki rub poligona povezuje dvije, i samo dvije, strane koje su jedna uz drugu susjedne.
Konveksnost znači da se tijelo u potpunosti nalazi samo s jedne strane ravnine na kojoj leži jedno od lica. Pravilo vrijedi za sva lica poliedra. Takvi se geometrijski likovi u stereometriji nazivaju konveksni poliedri. Iznimka su zvjezdasti poliedri, koji su derivati pravilnih poliedarskih geometrijskih tijela.

Poliedri se mogu podijeliti na:

Vrste konveksnih poliedara, koji se sastoje od sljedećih klasa: obični ili klasični (prizma, piramida, paralelepiped), pravilni (također nazvani Platonova tijela), polupravilni (drugi naziv - Arhimedova tijela).
Nekonveksni poliedri (zvjezdasti).

Stereometrija kao grana geometrije proučava svojstva trodimenzionalnih likova, vrste poliedara (prizma je jedna od njih). Zovu ga prizma geometrijsko tijelo, koji nužno ima dva apsolutno identična lica (također se nazivaju bazama) koja leže u paralelne ravnine, a n-ti broj bočnih stranica u obliku paralelograma. Zauzvrat, prizma također ima nekoliko varijanti, uključujući takve vrste poliedara kao što su:

Paralelepiped je oblikovan ako je baza paralelogram – mnogokut s 2 para jednakih nasuprotnih kutova i 2 para sukladnih nasuprotnih stranica.
Ravna prizma ima bridove okomite na bazu.
karakteriziran prisutnošću nepravih kutova (osim 90) između lica i baze.
Pravilnu prizmu karakteriziraju baze u obliku s jednakim bočnim stranama.

Glavna svojstva prizme:

Kongruentne baze.
Svi bridovi prizme su jednaki i međusobno paralelni.
svi bočna lica imaju oblik paralelograma.

Piramida je geometrijsko tijelo koje se sastoji od jedne baze i n-tog broja trokutastih stranica, povezanih u jednoj točki - vrhu. Treba napomenuti da ako su bočne strane piramide nužno predstavljene trokutima, tada u osnovi može biti ili trokutasti mnogokut, ili četverokut, i peterokut, i tako dalje ad infinitum. U ovom slučaju, naziv piramide će odgovarati poligonu u bazi. Na primjer, ako postoji trokut u podnožju piramide - to je četverokut - četverokut, itd.

Piramide su stožasti poliedri. Vrste poliedara ove skupine, osim gore navedenih, uključuju i sljedeće predstavnike:

Pravilna piramida ima u osnovi pravilan mnogokut, a njena visina projicira se na središte kružnice upisane u bazu ili oko nje opisane.
Pravokutna piramida nastaje kada se jedan od bočnih rubova siječe s bazom pod pravim kutom. U ovom slučaju, također je pošteno ovaj rub nazvati visinom piramide.

Svojstva piramide:

Ako su svi bočni bridovi piramide sukladni ( iste visine), tada se svi sijeku s bazom pod jednim kutom, a oko baze možete nacrtati krug sa središtem koje se podudara s projekcijom vrha piramide.
Ako pravilni mnogokut leži u osnovi piramide, tada su svi bočni bridovi sukladni, a lica su jednakokračni trokuti.

U stereometriji posebno mjesto zauzimaju geometrijska tijela s apsolutno jednakim plohama, na čijim je vrhovima spojen isti broj bridova. Ta se tijela nazivaju Platonova tijela ili pravilni poliedri. Vrste poliedara s takvim svojstvima imaju samo pet figura:

Tetraedar.
Heksahedron.
Oktaedar.
Dodekaedar.
Ikozaedar.

Pravilni poliedri svoje ime duguju starogrčkom filozofu Platonu, koji je u svojim spisima opisao ova geometrijska tijela i povezao ih s prirodnim elementima: zemljom, vodom, vatrom, zrakom. Petoj slici pripisana je sličnost sa strukturom svemira. Po njegovom mišljenju, atomi prirodnih elemenata po obliku nalikuju vrstama pravilnih poliedara. Zbog svog najuzbudljivijeg svojstva - simetrije, ova su geometrijska tijela predstavljala veliki interes ne samo za antičke matematičare i filozofe, već i za arhitekte, slikare i kipare svih vremena. Prisutnost samo 5 vrsta poliedara s apsolutnom simetrijom smatrala se temeljnim otkrićem, čak im je dodijeljena veza s božanskim načelom.

U obliku šesterokuta, Platonovi nasljednici su pretpostavili sličnost sa strukturom atoma Zemlje. Naravno, trenutno je ova hipoteza potpuno opovrgnuta, što, međutim, ne sprječava figure da privuku umove u moderno doba. poznate figure svojom estetikom.

U geometriji, heksaedar, također poznat kao kocka, smatra se posebnim slučajem paralelopipeda, koji je pak neka vrsta prizme. Sukladno tome, svojstva kocke povezana su s jedinom razlikom što su sve stranice i uglovi kocke međusobno jednaki. Iz toga slijede sljedeća svojstva:

Svi bridovi kocke su sukladni i leže u paralelnim ravninama jedan u odnosu na drugi.
Sve su plohe sukladni kvadrati (u kocki ih je ukupno 6), od kojih se svaki može uzeti kao baza.
Svi interedarski kutovi su 90.
Iz svakog vrha dolazi jednak broj bridova, točnije 3.
Kocka ima 9 koje se sve sijeku u sjecištu dijagonala heksaedra, koje se naziva središte simetrije.

Tetraedar je tetraedar s jednakim stranama u obliku trokuta, čiji je svaki vrh spojna točka tri strane.

Svojstva pravilnog tetraedra:

Sva lica tetraedra - ovo iz čega slijedi da su sva lica tetraedra sukladna.
Budući da je baza predstavljena pravilnim geometrijskim likom tj. ima jednake strane, tada se stranice tetraedra skupljaju pod istim kutom, odnosno svi su kutovi jednaki.
Zbroj ravnih kutova na svakom od vrhova je 180, budući da su svi kutovi jednaki, tada je svaki kut pravilnog tetraedra 60.
Svaki od vrhova projicira se na točku presjeka visina suprotne (ortocentrične) plohe.

Opisujući vrste pravilnih poliedra, ne može se ne primijetiti takav objekt kao što je oktaedar, koji se vizualno može prikazati kao dvije četverokutne pravilne piramide zalijepljene zajedno na bazama.

Svojstva oktaedra:

Sam naziv geometrijskog tijela sugerira broj njegovih lica. Oktaedar se sastoji od 8 sukladnih jednakostraničnog trokuta, u svakom od vrhova konvergira jednak broj stranica, točnije 4.
Budući da su sve plohe oktaedra jednake, jednaki su i njegovi sučelni kutovi, od kojih je svaki jednak 60, pa je zbroj ravninskih kutova bilo kojeg od vrhova jednak 240.

Ako zamislimo da su sva lica nekog geometrijskog tijela pravilan peterokut, tada dobivamo dodekaedar - lik od 12 mnogokuta.

Svojstva dodekaedra:

Tri lica sijeku se u svakom vrhu.
Svi rubovi su jednaki i imaju iste dužine rubovi, kao i jednaka površina.
Dodekaedar ima 15 osi i ravnina simetrije, a svaka od njih prolazi kroz vrh plohe i sredinu suprotnog ruba.

Ništa manje zanimljiv od dodekaedra, ikosaedar je trodimenzionalno geometrijsko tijelo s 20 jednakih stranica. Među svojstvima pravilnog dvadeseterodra mogu se primijetiti sljedeća:

Sva lica ikosaedra su jednakokračni trokuti.
Pet lica konvergiraju na svakom vrhu poliedra, a zbroj susjedni uglovi vrh je 300.
Ikozaedar, kao i dodekaedar, ima 15 osi i ravnina simetrije koje prolaze središtima suprotnih strana.

Osim Platonovih tijela, u skupinu konveksnih poliedara spadaju i Arhimedova tijela, koja su krnji pravilni poliedri. Tipovi poliedara ove skupine imaju sljedeća svojstva:

Geometrijska tijela imaju po parovima jednaka lica nekoliko vrsta, na primjer, krnji tetraedar ima 8 lica, baš kao i obični tetraedar, ali u slučaju Arhimedovog tijela, 4 lica će biti trokutasta, a 4 će biti šesterokutna.
Svi su kutovi jednog vrha sukladni.

Predstavnici nevolumetrijskih tipova geometrijskih tijela su poliedri u obliku zvijezde, čija se lica međusobno presijecaju. Mogu se oblikovati spajanjem dva pravilna trodimenzionalna tijela ili nastavljanjem njihovih lica.

Tako su takvi zvjezdasti poliedri poznati kao: zvjezdasti oblici oktaedra, dodekaedra, ikozaedra, kuboktaedra, ikozidodekaedra.

Konveksni poliedri nazivaju se pravilnim ako su sva lica jednaka. pravilni poligoni, a isti broj lica konvergira u svakom vrhu. Takvi se poliedri nazivaju i Platonova tijela.

Postoji samo pet pravilnih poliedara:

Ime svakog poliedra dolazi od grčko ime broj njegovih lica i riječ "rub".

Tetraedar

Tetraedar (grč. fefsbedspn - tetraedar) je poliedar s četiri trokutaste plohe, na svakom od vrhova kojih se skupljaju 3 plohe. Tetraedar ima 4 lica, 4 vrha i 6 bridova.

Svojstva tetraedra

Paralelne ravnine koje prolaze kroz parove križnih bridova tetraedra određuju paralelopiped opisan u blizini tetraedra.

Segment koji povezuje vrh tetraedra s točkom presjeka medijana suprotnog lica naziva se njegova sredina, ispuštena s ovog vrha.

Segment koji povezuje središta križnih bridova tetraedra naziva se njegova bimedijana koja povezuje te bridove.

Isječak koji povezuje vrh s točkom na suprotnoj plohi i okomit je na tu plohu naziva se njegovom visinom od zadanog vrha.

Teorema. Sve medijane i bimedijane tetraedra sijeku se u jednoj točki. Ova točka dijeli medijane u omjeru 3:1, računajući od vrha. Ova točka raspolavlja bimedijane.

Dodijeliti:

Izoedarski tetraedar, u kojem su sva lica međusobno jednaki trokuti;
· ortocentrični tetraedar, u kojem se sve visine ispuštene od vrhova do suprotnih stranica sijeku u jednoj točki;
pravokutni tetraedar, u kojem su svi rubovi uz jedan od vrhova okomiti jedan na drugi;
pravilan tetraedar, u kojem su sva lica jednakostranični trokuti;
okvirni tetraedar - tetraedar koji ispunjava bilo koji od sljedećih uvjeta:
· Postoji kugla koja dodiruje sve rubove.
· Zbrojevi duljina bridova koji se križaju su jednaki.
· Zbrojevi diedrskih kutova na suprotnim bridovima su jednaki.
Kružnice upisane u plohe dodiruju se u parovima.
· Svi četverokuti koji nastaju razvojem tetraedra su opisani.
· Okomice podignute na plohe iz središta u njih upisanih kružnica sijeku se u jednoj točki.
razmjerni tetraedar, čije su sve visine jednake;
· incentrični tetraedar, u kojem se segmenti koji povezuju vrhove tetraedra sa središtima kružnica upisanih na suprotnim stranicama sijeku u jednoj točki.

Kocka ili pravilni heksaedar je pravilan poliedar, čija je svaka strana kvadrat. poseban slučaj paralelopiped i prizma.

Svojstva kocke

· Četiri presjeka kocke su pravilni šesterokuti - ti presjeci prolaze kroz središte kocke okomito na njezine četiri glavne dijagonale.
Tetraedar se može upisati u kocku na dva načina. U oba slučaja, četiri vrha tetraedra bit će poravnata s četiri vrha kocke, a svih šest bridova tetraedra pripadat će plohama kocke. U prvom slučaju, svi vrhovi tetraedra pripadaju plohama trokutnog kuta, čiji se vrh poklapa s jednim od vrhova kocke. U drugom slučaju bridovi tetraedra koji se po paru križaju pripadaju po parovima suprotnim plohama kocke. Takav tetraedar je ispravan.
· Oktaedar se može upisati u kocku, štoviše, svih šest vrhova oktaedra bit će poravnato sa središtima šest stranica kocke.
· Kocka može biti upisana u oktaedar, štoviše, svih osam vrhova kocke nalazit će se u središtima osam stranica oktaedra.
· Ikosaedar se može upisati u kocku, dok će se šest međusobno paralelnih bridova ikosaedra nalaziti redom na šest stranica kocke, preostalih 24 brida su unutar kocke. Svih dvanaest vrhova ikosaedra ležat će na šest stranica kocke.

Dijagonala kocke je segment koji spaja dva vrha simetrična u odnosu na središte kocke. Dijagonala kocke nalazi se formulom

poliedar ikosaedar oktaedar dodekaedar

gdje je d dijagonala, a a brid kocke.

Oktaedar

Oktaedar (grč. pkfedspn, od grč. pkfyu, "osam" i grč. Edsb - "baza") je jedan od pet konveksnih pravilnih poliedara, takozvanih Platonovih tijela.

Oktaedar ima 8 trokutastih stranica, 12 bridova, 6 vrhova, 4 brida konvergiraju u svakom vrhu.

Ako je duljina brida oktaedra a, tada je njegova površina puna površina(S) i volumen oktaedra (V) izračunavaju se po formulama:

Polumjer sfere opisane oko oktaedra je:

polumjer sfere upisane u oktaedar može se izračunati po formuli:

Pravilni oktaedar ima Oh simetriju, koja je ista kao kod kocke.

Oktaedar ima oblik jedne zvijezde. Oktaedar je otkrio Leonardo da Vinci, zatim ga je, gotovo 100 godina kasnije, ponovno otkrio Johannes Kepler i nazvao ga Stella octangula - osmerokutna zvijezda. Otuda ovaj oblik ima drugi naziv "Keplerova stela oktagula".

Zapravo, to je spoj dva tetraedra

Dodekaedar

Dodekaedar (od grčkog dudekb - dvanaest i edspn - lice), dodekaedar - pravilan poliedar, sastavljen od dvanaest pravilnih peterokuta. Svaki vrh dodekaedra je vrh tri pravilna peterokuta.

Dakle, dodekaedar ima 12 lica (pentagonalnih), 30 bridova i 20 vrhova (3 brida konvergiraju u svakom). Zbroj ravninskih kutova na svakom od 20 vrhova je 324°.

Dodekaedar ima 3 zvijezde: mali zvjezdani dodekaedar, veliki zvjezdani dodekaedar, veliki zvjezdani dodekaedar (zvjezdasti veliki dodekaedar, konačni oblik). Prva dva od njih otkrio je Kepler (1619.), treći Poinsot (1809.). Za razliku od oktaedra, nijedan od zvjezdastih oblika dodekaedra nije spoj Platonovih tijela, već tvori novi poliedar.

Sve 3 zvjezdice dodekaedra, zajedno s velikim ikozaedrom, tvore obitelj Kepler-Poinsotovih tijela, odnosno pravilnih nekonveksnih (zvjezdastih) poliedra.

Velika lica dodekaedra su peterokuti, koji konvergiraju po pet u svakom od vrhova. Mali zvjezdani i veliki zvjezdani dodekaedri okrenuti su prema - petokrake zvijezde(pentagrami), koji u prvom slučaju konvergiraju za 5, au drugom za 3. Vrhovi velikog zvjezdanog dodekaedra podudaraju se s vrhovima opisanog dodekaedra. Svaki vrh povezuje tri lica.

Osnovne formule:

Ako uzmemo a kao duljinu brida, tada je površina dodekaedra:

Volumen dodekaedra:

Polumjer opisane sfere:

Polumjer upisane kugle:

Elementi simetrije dodekaedra:

· Dodekaedar ima centar simetrije i 15 osi simetrije.

Svaka od osi prolazi kroz sredine nasuprotnih paralelnih rebara.

Dodekaedar ima 15 ravnina simetrije. Bilo koja od ravnina simetrije prolazi u svakoj plohi kroz vrh i sredinu suprotnog ruba.

ikosaedar

Ikozaedar (od grč. eykput - dvadeset; -edspn - lice, lice, baza) - pravilni konveksni poliedar, dvadesetostrani, jedno od Platonovih tijela. Svako od 20 lica je jednakostraničan trokut. Broj rubova je 30, broj vrhova je 12.

Površina S, volumen V ikosaedra s duljinom brida a, kao i polumjeri upisane i opisane sfere izračunavaju se po formulama:

polumjer upisane kugle:

polumjer opisane sfere:

Svojstva

Ikozaedar može biti upisan u kocku, dok će šest međusobno okomitih bridova ikozaedra biti smješteno redom na šest strana kocke, preostala 24 brida unutar kocke, svih dvanaest vrhova ikozaedra ležat će na šest strana kocke. .
· Tetraedar može biti upisan u ikozaedar, štoviše, četiri vrha tetraedra će se kombinirati s četiri vrha ikozaedra.
· Ikozaedar se može upisati u dodekaedar, dok će vrhovi ikozaedra biti poravnati sa središtima stranica dodekaedra.
· Dodekaedar se može upisati u ikozaedar s poravnanjem vrhova dodekaedra i središta stranica ikozaedra.
· Skraćeni ikosaedar može se dobiti odsijecanjem 12 vrhova da bi se oblikovala lica u obliku pravilnih peterokuta. Istovremeno se broj vrhova novog poliedra povećava 5 puta (12?5=60), 20 trokutastih ploha pretvara se u pravilne šesterokute (ukupan broj ploha postaje 20+12=32), a broj bridova se povećava. povećava na 30+12?5=90.

Ikosaedar ima 59 stelacija, od kojih 32 imaju potpunu i 27 nepotpunu ikozaedarsku simetriju. Jedna od tih stelacija (20., mod. 41 prema Wenningeru), nazvana veliki ikosaedar, jedna je od četiri točna Kepler-Poinsot zvjezdasti poliedri. Njegova lica su pravilni trokuti koji konvergiraju u svakom vrhu pet; ovo svojstvo dijeli veliki ikosaedar s ikosaedrom.

Među zvjezdastim oblicima postoje i: spoj od pet oktaedara, spoj od pet tetraedara, spoj od deset tetraedara.

Geometrija je lijepa u tome što, za razliku od algebre, gdje nije uvijek jasno što mislite i zašto, daje vidljivost objektu. Ovaj predivan svijet razna tijela krase pravilne poliedre.

Prema mnogima, pravilni poliedri, ili kako ih još nazivaju Platonova tijela, imaju jedinstvena svojstva. Ti su objekti povezani s nekoliko znanstvene hipoteze. Kada počnete proučavati ta geometrijska tijela, shvatit ćete da ne znate praktički ništa o takvom konceptu kao što su pravilni poliedri. Prezentacija ovih predmeta u školi nije uvijek zanimljiva, pa se mnogi niti ne sjećaju kako se zovu. Većina ljudi pamti samo kocku. Nijedno tijelo u geometriji nije tako savršeno kao pravilni poliedri. Svi nazivi ovih geometrijskih tijela potječu od Drevna grčka. Oni znače broj lica: tetraedar - četverostrani, heksaedar - šestostrani, oktaedar - osmostrani, dodekaedar - dvanaestostrani, ikosaedar - dvadesetostrani. Sva ta geometrijska tijela zauzeta važno mjesto u Platonovom konceptu svemira. Četiri od njih personificiraju elemente ili entitete: tetraedar - vatra, ikosaedar - voda, kocka - zemlja, oktaedar - zrak. Dodekaedar je utjelovio sve što postoji. Smatralo se glavnim, jer je bio simbol svemira.

Poliedar je zbirka konačan broj poligoni takvi da je:

svaka od stranica bilo kojeg poligona je istovremeno stranica samo jednog drugog poligona na istoj strani;
iz svakog od poligona možete doći do ostalih prolazeći duž poligona koji su mu susjedni.

Mnogokuti koji čine poliedar su njegova lica, a njihove stranice su njegovi bridovi. Vrhovi poliedara su vrhovi mnogokuta. Ako se pojam poligona shvati kao ravne zatvorene izlomljene linije, onda se dolazi do jedne definicije poliedra. U slučaju kada ovaj koncept označava dio ravnine, koji je ograničen isprekidane linije, treba ga shvatiti kao površinu koja se sastoji od poligonalnih dijelova. zove se tijelo koje leži na jednoj strani ravnine uz lice.

Poliedar je ploha koja se sastoji od poligona koja omeđuje neko geometrijsko tijelo. Oni su:

nekonveksan;
konveksni (ispravni i neispravni).

Pravilni politop je konveksni politop s maksimalnom simetrijom. Elementi pravilnih poliedra:

tetraedar: 6 rubova, 4 lica, 5 vrhova;
heksaedar (kocka): 12, 6, 8;
dodekaedar: 30, 12, 20;
oktaedar: 12, 8, 6;
ikosaedar: 30, 20, 12.

Uspostavlja odnos između broja bridova, vrhova i stranica koji su topološki ekvivalentni sferi. Zbrajanjem broja vrhova i stranica (B + D) raznih pravilnih poliedara i njihovom usporedbom s brojem bridova, može se utvrditi jedan obrazac: zbroj broja stranica i vrhova jednak je broju bridova (P) povećan za 2. Može se izvesti jednostavna formula:

C + D = P + 2.

Ova formula vrijedi za sve konveksne poliedre.

Pojam pravilnog poliedra ne može se opisati u jednoj rečenici. Smisleniji je i obimniji. Da bi tijelo bilo prepoznato kao takvo, ono mora ispunjavati niz definicija. Dakle, geometrijsko tijelo će biti pravilan poliedar pod sljedećim uvjetima:

konveksan je;
isti broj bridova konvergira na svakom od njegovih vrhova;
sva njegova lica su pravilni poligoni, međusobno jednaki;
svi su jednaki.

Postoji 5 različiti tipovi pravilni poliedri:

Kocka (heksaedar) - ima ravni kut na vrhu je 90 °. Ima 3-strani kut. Zbroj ravnih kutova pri vrhu je 270°.
Tetraedar - ravni kut na vrhu - 60°. Ima 3-strani kut. Zbroj ravnih kutova na vrhu je 180°.
Oktaedar - ravni kut na vrhu - 60°. Ima 4-strani kut. Zbroj ravnih kutova pri vrhu je 240°.
Dodekaedar - ravni kut pri vrhu 108°. Ima 3-strani kut. Zbroj ravnih kutova pri vrhu je 324°.
Ikozaedar - ima ravan kut na vrhu - 60 °. Ima 5-strani kut. Zbroj ravnih kutova pri vrhu je 300°.

Površina ovih geometrijskih tijela (S) izračunava se kao površina pravilnog poligona pomnožena s brojem njegovih lica (G):

S \u003d (a: 2) x 2G ctg π / str.

Ova se vrijednost izračunava množenjem volumena pravilna piramida, u čijoj osnovi se nalazi pravilan mnogokut, po broju stranica, a njegova visina je polumjer upisane sfere (r):

V=1:3rS.

Kao i svako drugo geometrijsko tijelo, pravilni poliedri imaju različite volumene. Ispod su formule pomoću kojih ih možete izračunati:

tetraedar: α x 3√2: 12;
oktaedar: α x 3√2: 3;
ikosaedar; α x 3;
heksaedar (kocka): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
dodekaedar: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Heksaedar i oktaedar su dvojna geometrijska tijela. Drugim riječima, mogu se dobiti jedna iz druge ako se težište lica jedne uzme kao vrh druge, i obrnuto. Ikozaedar i dodekaedar su također dualni. Samo je tetraedar dualan sam sebi. Prema Euklidovoj metodi, možete dobiti dodekaedar iz heksaedra gradeći "krovove" na stranama kocke. Vrhovi tetraedra bit će bilo koja 4 vrha kocke koji nisu susjedni u parovima duž brida. Iz heksaedra (kocke) mogu se dobiti i drugi pravilni poliedri. Unatoč tome što tamo nebrojeno mnogo, postoji samo 5 pravilnih poliedara.

Svako od ovih geometrijskih tijela povezano je s 3 koncentrične sfere:

opisano, prolazeći kroz njegove vrhove;
ispisano, dodirujući svako svoje lice u središtu;
medijan, dodirujući sva rebra u sredini.

Polumjer opisane sfere izračunava se sljedećom formulom:

R \u003d a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

Polumjer upisane sfere izračunava se po formuli:

R \u003d a: 2 x ctg π / p x tg θ: 2,

gdje je θ diedralni kut koji je između susjednih stranica.

Polumjer srednje sfere može se izračunati pomoću sljedeće formule:

ρ = a cos π/p: 2 sin π/h,

gdje je h vrijednost = 4, 6, 6, 10 ili 10. Omjer opisanog i upisanog radijusa je simetričan u odnosu na p i q. Izračunava se po formuli:

R / r \u003d tg π / p x tg π / q.

Simetrija pravilnih poliedara je od primarnog interesa za ova geometrijska tijela. Pod njim se podrazumijeva takvo kretanje tijela u prostoru, koje ostavlja isti broj vrhova, ploha i bridova. Drugim riječima, pod djelovanjem transformacije simetrije, brid, vrh, ploha ili zadržava svoj izvorni položaj ili se pomiče na izvorni položaj drugog brida, vrha ili plohe.

Elementi simetrije pravilnih poliedara karakteristični su za sve vrste takvih geometrijskih tijela. Ovdje govorimo o identičnoj transformaciji koja ostavlja bilo koju od točaka u izvornom položaju. Dakle, kada rotirate poligonalnu prizmu, možete dobiti nekoliko simetrija. Svaki od njih može se prikazati kao proizvod refleksije. Simetrija koja je proizvod parnog broja refleksija naziva se pravac. Ako je proizvod neparnog broja refleksija, tada se naziva inverznim. Dakle, sve rotacije oko pravca su izravna simetrija. Svaka refleksija poliedra je inverzna simetrija.

Da bismo bolje razumjeli elemente simetrije pravilnih poliedra, možemo uzeti primjer tetraedra. Bilo koja linija koja će prolaziti kroz jedan od vrhova i središte ovog geometrijski lik, također će proći kroz središte lica suprotno od njega. Svaka od rotacija od 120 i 240° oko pravca pripada plural simetrija tetraedra. Budući da ima 4 vrha i 4 lica, postoji samo osam izravnih simetrija. Bilo koja linija koja prolazi kroz sredinu ruba i središte ovog tijela prolazi kroz sredinu njegovog suprotnog ruba. Svaka rotacija od 180°, koja se naziva poluokret, oko ravne linije je simetrija. Budući da tetraedar ima tri para bridova, postoje još tri izravne simetrije. Na temelju navedenog može se zaključiti da ukupni broj izravne simetrije, uključujući transformacija identiteta ići će do dvanaest. Tetraedar nema druge izravne simetrije, ali ima 12 inverznih simetrija. Dakle, tetraedar karakteriziraju ukupno 24 simetrije. Radi jasnoće, možete izgraditi model pravilnog tetraedra od kartona i uvjeriti se da ovo geometrijsko tijelo stvarno ima samo 24 simetrije.

Dodekaedar i ikosaedar najbliži su sferi tijela. Ikosaedar ima najveći broj lica, najveća i najgušća od svih može se pritisnuti na upisanu kuglu. Dodekaedar ima najmanji kutni defekt, najveći prostorni kut pri vrhu. On može ispuniti svoju opisanu sferu što je više moguće.

Oni ispravni, koje smo svi zajedno lijepili u djetinjstvu, imaju mnogo pojmova. Ako postoji zbirka poligona, od kojih je svaka stranica identificirana samo s jednom stranom poliedra, tada identifikacija stranica mora zadovoljiti dva uvjeta:

iz svakog poligona moguće je ići preko poligona koji imaju identificiranu stranicu;
strane koje treba identificirati moraju imati istu duljinu.

Skup poligona koji zadovoljavaju ove uvjete naziva se razvoj poliedra. Svako od tih tijela ima ih nekoliko. Tako ih, primjerice, kocka ima 11.

Za korištenje pregleda prezentacija kreirajte Google račun (račun) i prijavite se: https://accounts.google.com

Tip pravilnog poliedra

Broj strana na licu

Broj bridova uz vrh

Ukupan broj vrhova

ukupan broj rubova

Ukupan broj lica

Heksaedar ili kocka

Dodekaedar

Poliedri. Vrhovi, bridovi, plohe poliedra. TEOREMA EULERA. 10. razred Izvršio: Kaigorodova S.V.

Pravilan poliedar je onaj kojem su sve plohe pravilni mnogokuti i svi poliedarski kutovi pri vrhovima jednaki.

Od davnina je čovjeku poznato pet nevjerojatnih poliedra.

Prema broju stranica nazivaju se pravilni tetraedar.

heksaedar (heksahedron) ili kocka

oktaedar (oktaedar)

dodekaedar (dodekaedar)

ikosaedar (dvadesetostrani)

Razvoji pravilnih poliedara

Povijesna pozadina Čovječanstvu su bile poznate četiri esencije prirode: vatra, voda, zemlja i zrak. Prema Platonu, njihovi su atomi izgledali kao pravilni poliedri.Veliki starogrčki filozof Platon, koji je živio u 4.-5.st. Kr., vjerovao je da ta tijela personificiraju bit prirode.

atom vatre izgledao je kao tetraedar, zemlja - heksaedar (kocka) zraka - oktaedar vode - ikosaedar

Ali postojao je dodekaedar, s kojim nije bilo korespondencije. Platon je sugerirao da postoji još jedan (peti) entitet. Nazvao ga je svjetskim eterom. Atomi ove pete esencije izgledali su poput dodekaedra. Platon i njegovi učenici u svojim djelima veliku pažnju dati navedenim poliedrima. Stoga se ti poliedri nazivaju i Platonova tijela.

Za svaki konveksni poliedar vrijedi relacija: G+V-R=2, gdje je G broj stranica, V broj vrhova, R broj bridova zadanog poliedra. Lica + Vrhovi - Bridovi = 2. Eulerov teorem

Karakteristike pravilnih poliedra Poliedar Broj stranica plohe Broj ploha koje konvergiraju na svakom vrhu Broj ploha (G) Broj bridova (P) Broj vrhova (V) Tetraedar 3 3 4 6 4 Heksaedar 4 3 6 12 8 Oktaedar 3 4 8 12 6 Ikozaedar 3 5 20 30 12 Dodekaedar 5 3 12 30 20

Dualnost pravilnih poliedara Heksaedar (kocka) i oktaedar čine dualni par poliedara. Broj stranica jednog poliedra jednak je broju vrhova drugog i obrnuto.

Uzmite bilo koju kocku i razmotrite poliedar s vrhovima u središtima njegovih stranica. Kao što lako vidite, dobili smo oktaedar.

Središta stranica oktaedra služe kao vrhovi kocke.

Natrijev antimonov sulfat je tetraedar. Poliedri u prirodi, kemiji i biologiji Kristali nekih nama poznatih tvari imaju oblik pravilnih poliedra. Kristal pirita - model prirodnog dodekaedra. kristali stolna sol prenijeti oblik kocke. Pojedinačni kristal aluminij-kalijeve stipse ima oblik oktaedra. Kristal (prizma) Ikozaedar je bio u središtu pozornosti biologa u njihovim sporovima o obliku virusa. Virus ne može biti savršeno okrugao, kao što se dosad mislilo. Kako bi utvrdili njegov oblik, uzeli su različite poliedre, usmjerili svjetlost na njih pod istim kutovima kao i protok atoma prema virusu. Ispostavilo se da samo jedan poliedar daje potpuno istu sjenu - ikosaedar. U procesu diobe jajeta najprije nastaje tetraedar od četiri stanice, potom oktaedar, kocka i na kraju dodekaedarsko-ikozaedarska struktura gastrule. I na kraju, možda najvažnije, struktura DNK genetski kodživot - je četverodimenzionalni zamah (po vremenskoj osi) rotirajućeg dodekaedra! U molekuli metana ima oblik pravilnog tetraedra.

Poliedri u umjetnosti "Portret Monna Lise" Sastav slike temelji se na zlatnim trokutima, koji su dijelovi pravilnog zvjezdanog peterokuta. gravura "Melankolija" U prvom planu slike je dodekaedar. "Posljednja večera" Krist sa svojim učenicima prikazana je na pozadini ogromnog prozirnog dodekaedra.

Poliedri u arhitekturi Muzeja voća u Yamanashiju stvoreni su pomoću trodimenzionalnog modeliranja. Spaska kula na četiri kata s Nerukotvorenom crkvom Spasa glavni je ulaz u Kazanski Kremlj. Podigli su ga u 16. stoljeću pskovski arhitekti Ivan Shiryai i Postnik Yakovlev, nadimak "Barma". Četiri razine tornja su kocka, poliedri i piramida. Spaska kula Kremlja. Svjetionik Aleksandrijske piramide Muzej voća

Definicija. Poliedar se naziva pravilnim ako je: 1) konveksan; 2) sva njegova lica su pravilni mnogokuti koji su međusobno jednaki; 3) konvergira u svakom svom vrhu isti broj rebra; 4) svi njegovi diedari su jednaki.

Primjer pravilnog poliedra je kocka: to je konveksni poliedar, sva njegova lica su jednaki kvadrati, tri brida konvergiraju na svakom vrhu, a svi diedarski kutovi kocke su pravi. Pravilni tetraedar je također pravilan poliedar.

Postavlja se pitanje: koliko različite vrste pravilni poliedri?

Pet vrsta pravilnih poliedara:

Promotrimo proizvoljan pravilan poliedar M , koji ima B vrhova, P bridova i G stranica. Prema Eulerovom teoremu, za ovaj poliedar vrijedi jednakost:

V - R + G \u003d 2. (1)

Neka svaka strana zadanog poliedra sadrži m bridovi (stranice), a na svakom vrhu konvergiraju n rebra. Očito,

Kako poliedar B ima vrhove, a svaki od njih ima n bridova, dobivamo n bridova. Ali bilo koji brid povezuje dva vrha poliedra, pa će svaki brid dvaput ući u produkt n. Dakle, poliedar ima razne rebra. Zatim

Iz (1), (3), (4) dobivamo - R + = 2, odakle

+ = + > . (5)

Dakle, imamo

Iz nejednakosti 3 i 3 slijedi da lica pravilnog poliedra mogu biti ili pravilni trokuti, ili pravilni četverokuti, ili pravilni peterokuti. Štoviše, u slučajevima m = n = 4; m = 4, n = 5; m = 5, n = 4; m = n = 5 dolazimo do kontradikcije s uvjetom. Stoga ostaje pet mogućih slučajeva: 1) m = n = 3; 2) m = 4, n = 3; 3) m = 3, n = 4; 4) m = 5, n = 3; 5) m = 3, n = 5. Razmotrimo svaki od ovih slučajeva koristeći relacije (5), (4) i (3).

1) m=n=3(svaka strana poliedra - pravokutni trokut. Ovo nam je poznato pravilni tetraedar (« tetraedar" znači tetraedar).

2) m = 4, n = 3(svaka strana je kvadrat, a tri brida konvergiraju na svakom vrhu). Imamo

P = 12; B = 8; G = 6.

Dobivamo pravilan šesterokut, u kojem je svako lice kvadrat. Ovaj poliedar se zove pravilni heksaedar i kocka je (" heksahedron"-- heksaedar), svaki paralelepiped je heksaedar.

3) m = 3, n = 4(svaka strana je pravilan trokut, četiri brida konvergiraju na svakom vrhu). Imamo

P = 12; B = = 6; G \u003d \u003d 8.

Dobivamo pravilan oktaedar, u kojem je svaka strana pravilan trokut. Ovaj poliedar se zove pravilni oktaedar ("oktaedar" -- oktaedar).

4) m = 5, n = 3(svaka strana je pravilan peterokut, tri brida konvergiraju na svakom vrhu). Imamo:

P = 30; B = = 20; G \u003d \u003d 12.

Dobivamo pravilan dodekaedar, u kojem je svaka strana pravilan peterokut. Ovaj poliedar se zove pravilni dodekaedar (« dodekaedar"- dodekaedar).

5) m = 3, n = 5(svaka strana je pravilan trokut, pet bridova konvergira na svakom vrhu). Imamo

P = 30; B = = 12; G = = 20.

Dobivamo ispravan dvadesetostrani. Ovaj poliedar se zove pravilni ikosaedar (« ikosaedar"- dvadesetostrani).

Dakle, dobili smo sljedeći teorem.

Teorema. Postoji pet različitih (do sličnosti) tipova pravilnih poliedara: pravilan tetraedar, pravilan heksaedar (kocka), pravilan oktaedar, pravilan dodekaedar i pravilan ikozaedar.

Do ovog se zaključka može doći i na malo drugačiji način.

Doista, ako je lice pravilnog poliedra pravilan trokut i konvergira u jednom vrhu k rebra, tj. svi ravni konveksni kutovi k-edarski kut jednaki su, dakle. Stoga, prirodni broj k može poprimiti vrijednosti: 3;4;5. dok je G = , R = . Na temelju Eulerove teoreme imamo:

B+-= 2 ili B (6 - k) = 12.

Zatim na k\u003d 3 dobivamo: B \u003d 4, G \u003d 4, P = 6 (pravilni tetraedar);

na k = 4 dobivamo: B \u003d 6, G \u003d 8, P \u003d 12 (pravilni oktaedar);

na k = 5 dobivamo: B \u003d 12, G \u003d 20, P \u003d 30 (regularni ikosaedar).

Ako je lice pravilnog poliedra pravilan četverokut, tada. Ovo stanje odgovara jedinom prirodnom broju k= 3. Tada vrijedi: G = , R= ; B + - = 2 ili. Dakle, B \u003d 8, G \u003d 6, P \u003d 12 - dobivamo kocku (pravilni heksaedar).

Ako je lice pravilnog poliedra pravilan peterokut, tada Ovaj uvjet također je ispunjen samo k= 3 i G = ; R = . Na sličan način prethodne kalkulacije dobivamo: i B \u003d 20, G \u003d 12, P \u003d 30 (regularni dodekaedar).

Počevši od pravilnih šesterokuta, vjerojatno lica pravilnog poliedra, ravninski kutovi ne postaju ništa manji i uži k= 3 njihov zbroj postaje najmanje, što je nemoguće. Prema tome, postoji samo pet vrsta pravilnih poliedara.

Slike prikazuju rasporede svakog od pet pravilnih poliedara.

pravilni tetraedar

Pravilni oktaedar

Pravilni heksaedar

Pravilni ikosaedar

Pravilni dodekaedar

Neka svojstva pravilnih poliedara data su u sljedećoj tablici.

Vrsta lica	ravni kut na vrhu	Pogled na kut poliedra na vrhu	Zbroj ravnih kutova pri vrhu			Naziv poliedra
Točno trokut	3-strana			pravilni tetraedar
Točno trokut	4-strani			Pravilni oktaedar
Točno trokut	5-strana			Pravilni ikosaedar
	3-strana			Točno heksaedar (kocka)
Točno peterokut	3-strana				Točno dodekaedar

Za svaki od pravilnih poliedara, osim već navedenih, najčešće će nas zanimati:

1. Vrijednost toga diedralni kut na rebru (s dužinom rebra a).
2. Površina njegove ukupne površine (s duljinom rebra a).
3. Njegov volumen (s duljinom rebra a).
4. Polumjer sfere opisane oko nje (s duljinom ruba a).
5. Polumjer u nju upisane sfere (s duljinom brida a).
6. Polumjer sfere koji dodiruje sve njezine rubove (s rubnom duljinom a).

Najjednostavnije rješenje je izračunati ukupnu površinu pravilnog poliedra; jednaka je G, gdje je G broj lica pravilnog poliedra, a površina jednog lica.

Prisjetimo se sin = , što nam daje mogućnost da zapišemo u radikalima: ctg =. S obzirom na to, izrađujemo tablice:

a) za površinu plohe pravilnog poliedra

b) za ukupnu površinu pravilnog poliedra

Sada prijeđimo na izračunavanje vrijednosti kuta diedra pravilnog poliedra na njegovom rubu. Za pravilan tetraedar i kocku možete lako pronaći vrijednost ovog kuta.

U pravilnom dodekaedru, svi ravninski kutovi njegovih stranica su jednaki, stoga, primjenom teorema o kosinusu za kutove triedra na bilo koji kut triedra datog dodekaedra na njegovom vrhu, dobivamo: cos, odakle

Na prikazanom pravilnom oktaedru ABCDMF vidi se da diedarski kut na rubu oktaedra iznosi 2arctg.

Da bismo pronašli vrijednost kuta diedra na rubu pravilnog ikosaedra, možemo uzeti u obzir kut triedra ABCD u vrhu A: njegovi ravninski kutovi BAC i CAD su jednaki, i treći ravninski kut BAD, prema kojem je diedarski kut B (AC)D = leži, jednako je (BCDMF - pravilan peterokut). Po kosinusnom teoremu za trokut ABCD vrijedi: . S obzirom na to, stigli smo gdje. Dakle, diedarski kut na rubu ikosaedra je jednak.

Dakle, dobivamo sljedeću tablicu vrijednosti diedarskih kutova na rubovima pravilnih poliedra.

Prije nego što pronađemo obujam jednog ili drugog pravilnog poliedra, prvo raspravljamo o tome kako pronaći volumen pravilnih poliedra u općem obliku.

Pokušajte prvo dokazati da ako je središte svake plohe bilo kojeg pravilnog poliedra ravna linija, okomito na ravninu ovo lice, tada će se sve nacrtane linije presijecati u nekoj jednoj točki OKO, udaljen od svih stranica danog poliedra za istu udaljenost, koju označavamo s r. Točka OKO ispada da je središte sfere upisane u dati poliedar, i r- njegov radijus. Spajanjem dobivene točke OKO sa svim vrhovima zadanog poliedra, podijelit ćemo ga na G piramida koje su međusobno jednake (G je broj stranica pravilnog poliedra): baze formiranih piramida su r. Zatim volumen ovog poliedra jednak je zbroju volumena svih ovih piramida. Budući da je poliedar pravilan, njegov volumen V može se pronaći pomoću formule:

Ostaje pronaći duljinu polumjera r.

Da biste to učinili, povezivanjem točke OKO sa sredinom DO rubovi poliedra, pokušajte biti sigurni da su nagnuti KO plohi poliedra koja sadrži brid, zaklapa kut s ravninom ove plohe jednak polovici vrijednosti kuta diedra na ovom rubu poliedra; projekcija je kosa KO na ravninu ovog lica pripada njegovom apotemu i jednak je polumjeru kruga upisanog u njega. Zatim

gdje je p poluperimetar lica. Zatim iz (1) i (2) dobivamo formulu za izračunavanje njihovih volumena zajedničkih svim pravilnim poliedrima:

Ova formula je potpuno nepotrebna za pronalaženje volumena kocke, pravilnog tetraedra i oktaedra, ali olakšava pronalaženje volumena pravilnog ikozaedra i dodekaedra.