Kako pronaći ukupnu površinu stošca. Područje bočne i pune površine stošca

Tijela revolucije koja se proučavaju u školi su cilindar, konus i lopta.

Ako u zadatku USE iz matematike trebate izračunati volumen stošca ili površinu kugle, smatrajte da ste sretnici.

Primijenite formule za volumen i površinu cilindra, stošca i kugle. Svi su na našoj tablici. Naučiti napamet. Tu počinje poznavanje stereometrije.

Ponekad je dobro nacrtati pogled odozgo. Ili, kao u ovom problemu, odozdo.

2. Koliko je puta veći volumen stošca opisanog u blizini pravilne četverokutne piramide od volumena stošca upisanog u ovu piramidu?

Sve je jednostavno - crtamo pogled odozdo. Vidimo da je polumjer veće kružnice nekoliko puta veći od polumjera manje. Visine oba konusa su iste. Stoga će volumen većeg konusa biti dvostruko veći.

Još jedna važna točka. Zapamtite da je u zadacima dijela B USE opcija u matematici odgovor zapisan kao cijeli broj ili konačni decimalni razlomak. Stoga ne biste trebali imati niti jedan ili u svom odgovoru u dijelu B. Zamjena približne vrijednosti broja također nije potrebna! Mora se smanjiti! Za to je u nekim zadacima zadatak formuliran, na primjer, na sljedeći način: "Pronađi područje bočne površine cilindra podijeljeno s".

A gdje se još koriste formule za volumen i površinu tijela okretanja? Naravno, u zadatku C2 (16). Također ćemo vam reći o tome.

Ovdje su problemi sa čunjevima, stanje je povezano s njegovom površinom. Konkretno, u nekim se problemima postavlja pitanje promjene površine s povećanjem (smanjenjem) visine stošca ili polumjera njegove baze. Teorija za rješavanje problema u . Razmotrite sljedeće zadatke:

27135. Opseg baze stošca je 3, generatriksa je 2. Nađite površinu bočne površine stošca.

Površina bočne površine stošca je:

Priključivanje podataka:

75697. Koliko će se puta povećati površina bočne površine stošca ako se njegova generatrisa poveća 36 puta, a polumjer baze ostane isti?

Površina bočne površine stošca:

Generatorica se povećava za 36 puta. Radijus ostaje isti, što znači da se opseg baze nije promijenio.

Dakle, površina bočne površine modificiranog konusa će izgledati ovako:

Tako će se povećati za 36 puta.

*Ovisnost je jednostavna, pa se ovaj problem može lako riješiti usmeno.

27137. Koliko će se puta smanjiti površina bočne površine stošca ako se polumjer njegove baze smanji za 1,5 puta?

Površina bočne površine stošca je:

Radijus se smanjuje za 1,5 puta, odnosno:

Utvrđeno je da se bočna površina smanjila za 1,5 puta.

27159. Visina stošca je 6, generatriksa je 10. Nađite površinu njegove ukupne površine podijeljeno s pi.

Puna površina stošca:

Pronađite polumjer:

Visina i generatriksa su poznate, po Pitagorinom teoremu izračunavamo polumjer:

Tako:

Podijelite rezultat s Pi i zapišite odgovor.

76299. Ukupna površina stošca je 108. Presjek je nacrtan paralelno s bazom stošca, dijeleći visinu na pola. Pronađite ukupnu površinu krnjeg stošca.

Presjek prolazi kroz sredinu visine paralelno s bazom. To znači da će polumjer baze i generatrisa krnjeg stošca biti 2 puta manji od polumjera i generatrike izvornog stošca. Zapišimo koliko je jednaka površina odsječenog stošca:

Dobili smo da će biti 4 puta manja od površine originala, odnosno 108: 4 = 27.

* Budući da su izvorni i odrezani stožac slična tijela, također je bilo moguće koristiti svojstvo sličnosti:

27167. Polumjer baze stošca je 3, visina je 4. Nađite ukupnu površinu stošca podijeljenu s pi.

Formula za ukupnu površinu stošca je:

Polumjer je poznat, potrebno je pronaći generatricu.

Prema Pitagorinoj teoremi:

Tako:

Podijelite rezultat s Pi i zapišite odgovor.

Zadatak. Površina bočne površine stošca je četiri puta veća od površine baze. Nađi kosinus kuta između generatrise stošca i ravnine baze.

Površina baze stošca je:

To jest, kosinus će biti jednak:

Odgovor: 0,25

Odlučite sami:

27136. Koliko će se puta povećati površina bočne površine stošca ako se njegova generatrisa poveća za 3 puta?

27160. Površina bočne površine stošca je dvostruko veća od površine baze. Nađite kut između generatrike stošca i ravnine baze. Odgovor dajte u stupnjevima. .

27161. Ukupna površina stošca je 12. Presjek je nacrtan paralelno s bazom stošca, dijeleći visinu na pola. Pronađite ukupnu površinu krnjeg stošca.

To je sve. Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander.

*Podijelite informacije o stranici s prijateljima putem društvenih mreža.

Natrag naprijed

Pažnja! Pregled slajda je samo u informativne svrhe i možda ne predstavlja puni opseg prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Vrsta lekcije: sat proučavanja novog gradiva pomoću elemenata problemsko-razvojne nastavne metode.

Ciljevi lekcije:

kognitivni:
- upoznavanje s novim matematičkim pojmom;
- formiranje novog ZUN-a;
- formiranje praktičnih vještina za rješavanje problema.
razvijanje:
- razvoj samostalnog mišljenja učenika;
- razvoj ispravnih govornih vještina školaraca.
obrazovni:
- razvoj vještina timskog rada.

Oprema za nastavu: magnetska ploča, računalo, platno, multimedijski projektor, konusni model, prezentacija lekcije, materijal.

Ciljevi sata (za učenike):

upoznati novi geometrijski koncept - stožac;
izvesti formulu za izračunavanje površine stošca;
naučiti primjenjivati stečena znanja u rješavanju praktičnih problema.

Tijekom nastave

I pozornica. Organizacijski.

Dostava bilježnica s domaćim testnim radom na obrađenu temu.

Pozivaju se učenici da kroz rješavanje rebusa saznaju temu nadolazećeg sata (slajd 1):

Slika 1.

Najava učenicima teme i ciljeva sata (slajd 2).

II faza. Objašnjenje novog gradiva.

1) Predavanje nastavnika.

Na ploči je tablica sa slikom stošca. Novo gradivo je pojašnjeno uz programsko gradivo "Stereometrija". Na ekranu se pojavljuje trodimenzionalna slika stošca. Učitelj daje definiciju stošca, govori o njegovim elementima. (slajd 3). Kaže se da je stožac tijelo nastalo rotacijom pravokutnog trokuta u odnosu na nogu. (slajdovi 4, 5). Pojavljuje se slika razvoja bočne površine stošca. (slajd 6)

2) Praktični rad.

Aktualizacija osnovnog znanja: ponovite formule za izračunavanje površine kruga, površine sektora, duljine kruga, duljine luka kružnice. (slajdovi 7-10)

Razred je podijeljen u grupe. Svaka skupina dobiva snimku bočne površine konusa izrezane iz papira (kružni sektor s dodijeljenim brojem). Učenici poduzimaju potrebna mjerenja i izračunavaju površinu rezultirajućeg sektora. Na ekranu se pojavljuju upute za rad, pitanja - iskazi problema (slajdovi 11-14). Predstavnik svake skupine rezultate izračuna upisuje u tablicu pripremljenu na ploči. Sudionici svake skupine lijepe model stošca iz razvoja koji imaju. (slajd 15)

3) Iskaz i rješenje problema.

Kako izračunati bočnu površinu stošca ako su poznati samo polumjer baze i duljina generatrike stošca? (slajd 16)

Svaka skupina vrši potrebna mjerenja i pokušava izvući formulu za izračun potrebne površine koristeći dostupne podatke. Pri izvođenju ovog rada učenici trebaju uočiti da je opseg osnove stošca jednak duljini luka sektora – razvijenosti bočne plohe ovog stošca. (slajdovi 17-21) Koristeći potrebne formule, izvodi se željena formula. Učenička mišljenja bi trebala izgledati otprilike ovako:

Polumjer sektora - zamah jednak je l, mjera stupnja luka je φ. Površina sektora izračunava se po formuli: duljina luka koji omeđuje ovaj sektor jednaka je polumjeru baze stošca R. Duljina kružnice koja leži u podnožju stošca je C = 2πR . Imajte na umu da budući da je površina bočne površine stošca jednaka površini razvoja njegove bočne površine, tada

Dakle, površina bočne površine stošca izračunava se po formuli S BOD = πRl.

Nakon izračuna bočne površine modela stošca prema formuli koja je neovisno izvedena, predstavnik svake skupine upisuje rezultat izračuna u tablicu na ploču u skladu s brojevima modela. Rezultati izračuna u svakom retku moraju biti jednaki. Na temelju toga učitelj utvrđuje ispravnost zaključaka svake skupine. Tablica rezultata bi trebala izgledati ovako:

model br.	ja zadatak	II zadatak

	(125/3)π ~ 41,67π

	(425/9)π ~ 47,22π
	(539/9)π ~ 59,89π

Parametri modela:

l=12 cm, φ=120°
l=10 cm, φ=150°
l=15 cm, φ=120°
l=10 cm, φ=170°
l=14 cm, φ=110°

Aproksimacija proračuna povezana je s pogreškama mjerenja.

Nakon provjere rezultata, na ekranu se pojavljuje izlaz formula za površine bočne i pune površine stošca (slajdovi 22-26) učenici vode bilješke u bilježnicama.

III stadij. Učvršćivanje proučenog gradiva.

1) Studenti se nude zadaci za usmeno rješavanje na gotovim crtežima.

Pronađite površine ukupnih površina čunjeva prikazanih na slikama (slajdovi 27-32).

2) Pitanje: Jesu li površine ploha čunjeva koje nastaju rotacijom jednog pravokutnog trokuta oko različitih krakova jednake? Učenici postavljaju hipotezu i testiraju je. Provjera hipoteza provodi se rješavanjem zadataka i zapisuje je učenik na ploču.

dano:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

BAA", ABV" - tijela revolucije.

Pronaći: S PPC 1, S PPC 2.

Slika 5 (slajd 33)

Odluka:

1) R=BC = a; S PPC 1 = S BOD 1 + S glavni 1 = π a c + π a 2 \u003d π a (a + c).

2) R=AC = b; S PPC 2 = S BOD 2 + S glavni 2 = π b c + π b 2 \u003d π b (b + c).

Ako je S PPC 1 = S PPC 2, onda a 2 + ac \u003d b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc \u003d 0, (a-b) (a + b + c) \u003d 0. Jer a, b, c pozitivnih brojeva (duljine stranica trokuta), tore-jednakost je istinita samo ako a =b.

Zaključak: Površine ploha dvaju konusa jednake su samo ako su katete trokuta jednake. (slajd 34)

3) Rješenje zadatka iz udžbenika: br.565.

IV stadij. Sažimanje lekcije.

Domaća zadaća: str.55, 56; broj 548, broj 561. (slajd 35)

Objava ocjena.

Zaključci tijekom lekcije, ponavljanje glavnih informacija primljenih u lekciji.

Književnost (slajd 36)

Geometrija razreda 10–11 - Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev et al., M., Prosvjeta, 2008.
"Matematičke zagonetke i šarade" - N.V. Udalcov, biblioteka "Prvi rujan", serija "MATEMATIKA", broj 35, M., Chistye Prudy, 2010.

Površina stošca (ili jednostavno površina stošca) jednaka je zbroju površina baze i bočne površine.

Površina bočne površine stošca izračunava se po formuli: S = πR l, gdje je R polumjer baze stošca, i l- generatrisa stošca.

Budući da je površina baze stošca πR 2 (kao površina kruga), tada će površina pune površine stošca biti jednaka : πR 2 + πR l= πR (R + l).

Dobivanje formule za površinu bočne površine stošca može se objasniti takvim razmišljanjem. Neka crtež pokaže razvoj bočne površine stošca. Luk AB podijelimo na što više jednakih dijelova i sve točke dijeljenja povezujemo sa središtem luka, a susjedne točke međusobno tetivama.

Dobivamo niz jednakih trokuta. Površina svakog trokuta je Ah / 2 , gdje a- duljina osnovice trokuta, a h- njegova visoka.

Zbroj površina svih trokuta je: Ah / 2 n = anh / 2 , gdje n je broj trokuta.

S velikim brojem podjela, zbroj površina trokuta postaje vrlo blizak području razvoja, tj. površini bočne površine stošca. Zbroj osnova trokuta, t.j. an, postaje vrlo blizu duljini luka AB, tj. opsegu baze stošca. Visina svakog trokuta postaje vrlo bliska polumjeru luka, odnosno generatrisi stošca.

Zanemarujući male razlike u veličinama ovih veličina, dobivamo formulu za površinu bočne površine stošca (S):

S=C l / 2, gdje je C opseg baze stošca, l- generatrisa stošca.

Znajući da je C \u003d 2πR, gdje je R polumjer kružnice baze stošca, dobivamo: S \u003d πR l.

Bilješka. U formuli S = C l / 2, dan je znak točne, a ne približne jednakosti, iako bismo na temelju navedenog razmišljanja ovu jednakost mogli smatrati približnom. Ali u srednjoj školi se dokazuje ta jednakost

S=C l / 2 je točan, nije približan.

Teorema. Bočna površina stošca jednaka je umnošku opsega baze i polovice generatrikse.

U konus (sl.) upisujemo neku pravilnu piramidu i označavamo je slovima R i l brojevi koji izražavaju duljine opsega baze i apotema ove piramide.

Tada će njegova bočna površina biti izražena umnoškom 1/2 R l .

Pretpostavimo sada da se broj stranica poligona upisanog u bazu neograničeno povećava. Zatim perimetar R težit će granici uzetoj kao duljina C opsega baze, a apotema lće imati konusni generator kao svoju granicu (budući da ΔSAK implicira da SA - SK
1 / 2 R l, težit će granici 1/2 C L. Ova granica se uzima kao vrijednost bočne površine stošca. Označavajući bočnu površinu stošca slovom S, možemo napisati:

S = 1/2 C L = C 1/2L

Posljedice.
1) Budući da je C \u003d 2 π R, tada se bočna površina stošca izražava formulom:

S=1/2 2π R L= π RL

2) Punu površinu stošca dobivamo ako osnovnoj površini dodamo bočnu plohu; dakle, označavajući kompletnu površinu s T, imat ćemo:

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

Teorema. Bočna površina krnjeg stošca jednaka je umnošku polovice zbroja opsega baza i generatrise.

U krnji stožac (sl.) upisujemo neku pravilnu krnju piramidu i označavamo slovima r, r 1 i l brojevi koji u istim linearnim jedinicama izražavaju duljine opsega donje i gornje baze i apotema ove piramide.

Tada je bočna površina upisane piramide 1/2 ( p + p 1) l

Uz neograničeno povećanje broja bočnih strana upisane piramide, perimetri R i R 1 teže granicama uzetim kao duljine C i C 1 kružnica baza, a apotema l ima za granicu generatricu L krnjeg stošca. Posljedično, vrijednost bočne površine upisane piramide teži granici koja je jednaka (S + S 1) L. Ova granica se uzima kao vrijednost bočne površine krnjeg stošca. Označavajući bočnu površinu krnjeg stošca slovom S, imat ćemo:

S \u003d 1 / 2 (C + C 1) L

Posljedice.
1) Ako R i R 1 znače polumjere kružnica donje i gornje baze, tada će bočna površina krnjeg stošca biti:

S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R+R1)L.

2) Ako u trapezu OO 1 A 1 A (sl.), od čije se rotacije dobije krnji stožac, povučemo srednju liniju BC, tada dobivamo:

BC \u003d 1 / 2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1 / 2 (R + R 1),

R + R 1 = 2BC.

Stoga,

S=2 π BC L,

tj. bočna površina krnjeg stošca jednaka je umnošku opsega prosječnog presjeka i generatrikse.

3) Ukupna površina T krnjeg stošca izražava se na sljedeći način:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)