Četverokut ABCD Likom se naziva lik koji se sastoji od četiri točke A, B, C, D, po tri, koje ne leže na jednoj pravoj liniji, i četiri segmenta AB, BC, CD i AD koji povezuju te točke.

Slike prikazuju četverokute.

Točke A, B, C i D se nazivaju vrhovi četverokuta, a segmenti AB, BC, CD i AD - stranke. Zovu se vrhovi A i C, B i D suprotni vrhovi. Stranice AB i CD, BC i AD se nazivaju suprotne strane.

Postoje četverokuti konveksan(na slici - lijevo) i nekonveksan(na slici - desno).

Svaka dijagonala konveksni četverokut dijeli ga na dva trokuta(dijagonala AC dijeli ABCD na dva trokut ABC i ACD; dijagonala BD - na BCD i BAD). Na nekonveksni četverokut samo ga jedna od dijagonala dijeli na dva trokuta(dijagonala AC dijeli ABCD na dva trokuta ABC i ACD; dijagonala BD ne dijeli).

Smatrati glavne vrste četverokuta, njihova svojstva, formule površine:

Paralelogram

Paralelogram naziva se četverokut suprotne strane su parno paralelne.

Svojstva:

Značajke paralelograma:

1. Ako su u četverokutu dvije stranice jednake i paralelne, onda je ovaj četverokut paralelogram.
2. Ako su u četverokutu suprotne stranice u paru jednake, onda je ovaj četverokut paralelogram.
3. Ako se u četverokutu dijagonale sijeku, a presjek je podijeljen na pola, onda je ovaj četverokut paralelogram.

Područje paralelograma:

Trapez

Trapez Četverokut se naziva četverokut u kojem su dvije stranice paralelne, a druge dvije stranice nisu paralelne.

razlozima pozvao paralelne strane, i druge dvije strane strane.

srednja linija Trapezom se naziva segment koji spaja sredine njegovih stranica.

TEOREMA.

srednja linija trapez je paralelan s bazama i jednak njihovom poluzbroju.

Područje trapeza:

Romb

Romb Paralelogram se naziva ako su sve strane jednake.

Svojstva:

Područje romba:

Pravokutnik

Pravokutnik Paralelogram se naziva u kojem su svi kutovi jednaki.

Svojstva:

Znak pravokutnika:

Ako su dijagonale paralelograma jednake, onda je paralelogram pravokutnik.

Površina pravokutnika:

Kvadrat

Kvadrat Pravokutnik se zove u kojem su sve strane jednake.

Svojstva:

Kvadrat ima sva svojstva pravokutnika i romba (pravokutnik je paralelogram, dakle kvadrat je paralelogram sa svim stranama jednakim, tj. romb).

Površina kvadrata:

Natrag naprijed

Pažnja! Pregled slajda je samo u informativne svrhe i možda ne predstavlja puni opseg prezentacije. Ako si zainteresiran ovaj posao preuzmite punu verziju.

Svrha lekcije: razmotriti značajke paralelograma i učvrstiti znanja stečena u procesu rješavanja zadataka.

Zadaci:

• obrazovni: formiranje vještina primjene znakova paralelograma za rješavanje zadataka;
• razvijanje: razvoj logično mišljenje, pažnja, vještine samostalan rad, vještine samopoštovanja;
• obrazovni: poticanje interesa za predmet, sposobnost timskog rada, kulture komunikacije.

Vrsta sata: učenje novog gradiva, primarno pojačanje.

Oprema: interaktivna ploča, projektor, kartice sa zadacima, prezentacija.

Tijekom nastave

1. Organizacijski trenutak.

W: Dobar dan dečki! Danas ćemo u lekciji ponovno govoriti o paralelogramu. Moramo izvršiti mnoge zadatke, dokazati teoreme i naučiti ih primijeniti u rješavanju problema. Moto naše lekcije bit će riječi Le Carbusiera: "Sve okolo je geometrija."

2. Aktualizacija znanja učenika.

Teorijski pregled

Dajte nekim učenicima individualne zadatke na karticama na tu temu svojstva paralelograma(zadatke bira svaki za sebe na slajdu prezentacije putem hiperveze, prelazak miša preko figure, ali ne i broja), slušajte pojedinačno svakog ispitanika.

Uz ostalo - dokazati dodatna svojstva paralelograma. (Prvo usmeno razgovarajte o dokazima, a zatim ih provjerite na interaktivnoj ploči.)

1°. Simetrala kuta paralelograma odsijeca od njega jednakokraki trokut.

2°. Simetrale susjednih kutova paralelograma su okomite, a simetrale suprotni kutovi su paralelni ili leže na istoj liniji.

Nakon pripreme poslušajte dokaze dodatnih svojstava paralelograma.

ABCD je paralelogram,

AE je simetrala kuta BAD.

Dokaži: ABE je jednakokračan.

Dokaz:

Kako je ABCD paralelogram, onda je BC || AD, zatim kut EAD = kut BEA kao poprečno s paralelnim linijama BC i AD i sekantom AE. AE je simetrala kuta BAD, dakle kut BAE = kut EAD, dakle kut BAE = kut BEA.

U ABE kut BAE = kut BEA, pa je ABE jednakokračan s bazom AE.

Sugestivna pitanja:

Definirajte jednakokraki trokut.

Koji kutovi u BAE mogu biti jednaki? Zašto?

ABCD je paralelogram,

BE je simetrala kuta CBA,

AE je simetrala kuta BAD.

Sugestivna pitanja:

Kada će pravci AE i CK biti paralelni?

Jesu li kutovi BEA i<3? Почему?

U kojem slučaju će se AE i CK podudarati?

Priprema za učenje novog gradiva

Frontalni rad s razredom (usmeno).

• Što znače riječi "svojstva" i "obilježja"? Navedite primjere.
• Što je inverzni teorem?
• Je li uvijek istinita suprotnost zadanoj tvrdnji? Navedite primjere.

3. Objašnjenje novog gradiva.

DW: Svaki objekt ima svoja svojstva i karakteristike. Recite mi kako se svojstva razlikuju od značajki.

Pokušajmo razumjeti ovo pitanje na jednostavnom primjeru. Zadani objekt - jesen. Navedite njegova svojstva: Njegove značajke:

• Koje su izjave svojstvo i atribut objekta u međusobnom odnosu? (odgovor: obrnuto)
• Koja svojstva smo u toku geometrije već proučavali? Formulirajte ih. (navedite nekoliko)

Može li obrnuto vrijediti za bilo koje svojstvo? (razni odgovori).

Provjerimo to na sljedećim svojstvima:

Zaključak: Je li moguće konstruirati istinitu obrnutu izjavu za bilo koje svojstvo? (ne, nije za svakoga)

Vratimo se sada na naš četverokut, prisjetimo se njegovih svojstava i formulirajmo njihove inverzne iskaze, tj.: .. (odgovor su znakovi paralelograma). Dakle, tema današnje lekcije: "Znakovi paralelograma."

Dakle, navedite svojstva paralelograma.

Formulirajte inverznu vrijednost svojstava tvrdnje. (učenici formuliraju znakove, učitelj ih ispravlja i ponovno formulira)

Dokažimo ove znakove. Prvi znak je detaljan, drugi je kratak, treći je sami kod kuće.

4. Učvršćivanje proučenog gradiva.

Rad u radnim bilježnicama: riješite zadatak br. 11 na interaktivnoj ploči kako biste do ploče pozvali slabije pripremljenog učenika.

Rješenje zadatka br. 379 (rješenje napišite na interaktivnu ploču). Iz vrhova B i D paralelograma ABCD, u kojem su AB BC i A oštri, povučene su okomice BK i DM na pravac AC. Dokažite da je četverokut BMDK paralelogram.

Srednja razina

Paralelogram, pravokutnik, romb, kvadrat (2019.)

1. Paralelogram

Složena riječ "paralelogram"? A iza toga je vrlo jednostavna figura.

Dakle, uzeli smo dvije paralelne linije:

Prešli još dva:

A unutra - paralelogram!

Koja su svojstva paralelograma?

Svojstva paralelograma.

Odnosno, što se može koristiti ako je u zadatku dat paralelogram?

Na ovo pitanje odgovara sljedeći teorem:

Nacrtajmo sve detaljno.

Što čini prva točka teorema? I činjenica da ako IMATE paralelogram, onda svakako

Drugi paragraf znači da ako postoji paralelogram, onda, opet, svakako:

Pa, i konačno, treća točka znači da ako IMATE paralelogram, onda budite sigurni:

Vidite kakvo bogatstvo izbora? Što koristiti u zadatku? Pokušajte se usredotočiti na pitanje zadatka ili jednostavno pokušajte sve redom - neka vrsta "ključa" će učiniti.

A sada si postavimo još jedno pitanje: kako prepoznati paralelogram "u licu"? Što se mora dogoditi s četverokutom da bismo imali pravo da mu damo “naslov” paralelograma?

Na ovo pitanje odgovara nekoliko znakova paralelograma.

Značajke paralelograma.

Pažnja! Početi.

Paralelogram.

Obratite pažnju: ako ste pronašli barem jedan znak u svom problemu, onda imate točno paralelogram i možete koristiti sva svojstva paralelograma.

2. Pravokutnik

Mislim da vam to uopće neće biti vijest.

Prvo pitanje je: je li pravokutnik paralelogram?

Naravno da je! Uostalom, on ima - sjećate se, naš znak 3?

A odavde, naravno, slijedi da su za pravokutnik, kao i za bilo koji paralelogram, i, dijagonale podijeljene točkom presjeka na pola.

Ali postoji pravokutnik i jedno osebujno svojstvo.

Svojstvo pravokutnika

Zašto je ovo svojstvo prepoznatljivo? Jer nijedan drugi paralelogram nema jednake dijagonale. Formulirajmo to jasnije.

Obratite pažnju: da bi četverokut postao pravokutnik, prvo mora postati paralelogram, a zatim prikazati jednakost dijagonala.

3. Dijamant

I opet se postavlja pitanje: je li romb paralelogram ili nije?

S punim pravom - paralelogram, jer ima i (sjetite se našeg znaka 2).

I opet, budući da je romb paralelogram, onda mora imati sva svojstva paralelograma. To znači da romb ima suprotne kutove jednake, suprotne strane su paralelne, a dijagonale su prepolovljene točkom presjeka.

Svojstva romba

Pogledaj sliku:

Kao i u slučaju pravokutnika, ova svojstva su distinktivna, odnosno za svako od tih svojstava možemo zaključiti da nemamo samo paralelogram, već romb.

Znakovi romba

I opet obratite pozornost: ne bi trebao postojati samo četverokut s okomitim dijagonalama, već i paralelogram. Budi siguran:

Ne, naravno ne, iako su njegove dijagonale i okomite, a dijagonala je simetrala kutova u. Ali ... dijagonale se ne dijele, točka presjeka na pola, dakle - NIJE paralelogram, a time ni romb.

To jest, kvadrat je pravokutnik i romb u isto vrijeme. Da vidimo što će ispasti iz ovoga.

Je li jasno zašto? - romb - simetrala kuta A, koja je jednaka. Dakle, dijeli se (i također) na dva kuta duž.

Pa, sasvim je jasno: dijagonale pravokutnika su jednake; dijagonale romba su okomite, a općenito - dijagonale paralelograma podijeljene su točkom presjeka na pola.

SREDNJA RAZINA

Svojstva četverokuta. Paralelogram

Svojstva paralelograma

Pažnja! Riječi " svojstva paralelograma» znači da ako imate zadatak tamo je paralelogram, onda se može koristiti sve od sljedećeg.

Teorem o svojstvima paralelograma.

U bilo kojem paralelogramu:

Da vidimo zašto je to istina, drugim riječima MI ĆEMO DOKAZATI teorema.

Pa zašto je 1) istina?

Budući da je paralelogram, onda:

• poput ležanja poprijeko
• kao ležeći poprijeko.

Dakle, (na osnovu II: i - općenito.)

Pa, jednom, onda - to je to! - dokazao.

Ali usput! Dokazali smo i 2)!

Zašto? Ali uostalom (pogledajte sliku), odnosno, jer.

Još samo 3).

Da biste to učinili, još uvijek morate nacrtati drugu dijagonalu.

A sada to vidimo - prema II znaku (kut i stranica "između" njih).

Provjerena svojstva! Prijeđimo na znakove.

Značajke paralelograma

Podsjetimo da znak paralelograma odgovara na pitanje "kako saznati?" Da je lik paralelogram.

U ikonama je ovako:

Zašto? Bilo bi lijepo razumjeti zašto – dosta je. ali pogledaj:

Pa, shvatili smo zašto je znak 1 istinit.

Pa to je još lakše! Opet nacrtajmo dijagonalu.

Što znači:

I također je lako. Ali… drugačije!

Sredstva, . Vau! Ali također - unutarnje jednostrano na sekanti!

Stoga činjenica da to znači.

A ako pogledate s druge strane, onda su one unutarnje jednostrane na sekanti! I stoga.

Vidite kako je super?!

I opet jednostavno:

Potpuno isto, i.

Obratiti pažnju: ako ste našli barem jedan znak paralelograma u vašem problemu, onda imate točno paralelogram i možete koristiti svatko svojstva paralelograma.

Za potpunu jasnoću pogledajte dijagram:

Svojstva četverokuta. Pravokutnik.

Svojstva pravokutnika:

Točka 1) sasvim je očita - uostalom, znak 3 () jednostavno je ispunjen

I točka 2) - jako važno. Pa dokažimo to

Dakle, na dvije noge (i - općenito).

Pa, budući da su trokuti jednaki, onda su i njihove hipotenuze jednake.

Dokazao to!

I zamislite, jednakost dijagonala je razlikovno svojstvo pravokutnika među svim paralelogramima. Odnosno, sljedeća je tvrdnja istinita

Da vidimo zašto?

Dakle, (što znači kutove paralelograma). Ali još jednom, zapamtite to - paralelogram, i stoga.

Sredstva, . I, naravno, iz ovoga proizlazi da svaki od njih Uostalom, u iznosu koji bi trebali dati!

Ovdje smo dokazali da ako paralelogram odjednom (!) će biti jednake dijagonale, onda ovo točno pravokutnik.

Ali! Obratiti pažnju! Ovo je otprilike paralelograma! Ne bilo koječetverokut s jednakim dijagonalama je pravokutnik, i samo paralelogram!

Svojstva četverokuta. Romb

I opet se postavlja pitanje: je li romb paralelogram ili nije?

S punim desnim - paralelogram, jer ima i (Sjetite se našeg znaka 2).

I opet, budući da je romb paralelogram, mora imati sva svojstva paralelograma. To znači da romb ima suprotne kutove jednake, suprotne strane su paralelne, a dijagonale su prepolovljene točkom presjeka.

Ali postoje i posebna svojstva. Formuliramo.

Svojstva romba

Zašto? Pa, budući da je romb paralelogram, tada su njegove dijagonale podijeljene na pola.

Zašto? Da, zato!

Drugim riječima, ispostavilo se da su dijagonale i simetrale uglova romba.

Kao i u slučaju pravokutnika, ova svojstva su osebujan, svaki od njih je i znak romba.

Rombovi znakovi.

Zašto je to? I pogledaj

Dakle, i oba ti su trokuti jednakokračni.

Da bi bio romb, četverokut mora prvo "postati" paralelogram, a zatim već pokazati značajku 1 ili značajku 2.

Svojstva četverokuta. Kvadrat

To jest, kvadrat je pravokutnik i romb u isto vrijeme. Da vidimo što će ispasti iz ovoga.

Je li jasno zašto? Kvadrat - romb - simetrala kuta, koja je jednaka. Dakle, dijeli se (i također) na dva kuta duž.

Pa, sasvim je jasno: dijagonale pravokutnika su jednake; dijagonale romba su okomite, a općenito - dijagonale paralelograma podijeljene su točkom presjeka na pola.

Zašto? Pa, samo primijeni Pitagorin teorem na.

SAŽETAK I OSNOVNA FORMULA

Svojstva paralelograma:

1. Suprotne strane su jednake: , .
2. Suprotni kutovi su: , .
3. Zbroj kutova na jednoj strani iznosi: , .
4. Dijagonale su podijeljene točkom presjeka na pola: .

Svojstva pravokutnika:

1. Dijagonale pravokutnika su: .
2. Pravokutnik je paralelogram (za pravokutnik su ispunjena sva svojstva paralelograma).

Svojstva romba:

1. Dijagonale romba su okomite: .
2. Dijagonale romba su simetrale njegovih kutova: ; ; ; .
3. Romb je paralelogram (za romb su ispunjena sva svojstva paralelograma).

Svojstva kvadrata:

Kvadrat je istovremeno i romb i pravokutnik, stoga su za kvadrat ispunjena sva svojstva pravokutnika i romba. Kao i.

To je četverokut čije su suprotne stranice parno paralelne.

Svojstvo 1 . Bilo koja dijagonala paralelograma dijeli ga na dva jednaka trokuta.

Dokaz . Prema II znaku (križno ležeći uglovi i zajednička strana).

Teorem dokazan.

Svojstvo 2. U paralelogramu su suprotne strane jednake, a suprotni kutovi jednaki.

Dokaz .
Također,

Teorem dokazan.

Svojstvo 3. U dijagonalnom paralelogramu presjek je podijeljen na pola.

Dokaz .

Teorem dokazan.

Svojstvo 4. Simetrala kuta paralelograma, koja siječe suprotnu stranu, dijeli ga na jednakokračni trokut i trapez. (Č. ​​riječ - vrh - dva jednakokraka? -ka).

Dokaz .

Teorem dokazan.

Svojstvo 5 . U paralelogramu, segment s krajevima na suprotnim stranama, koji prolazi kroz točku presjeka dijagonala, prepolovljen je ovom točkom.

Dokaz .

Teorem dokazan.

Svojstvo 6 . Kut između visina spuštenih iz vrha tupog kuta paralelograma jednak je oštrom kutu paralelograma.

Dokaz .

Teorem dokazan.

Svojstvo 7 . Zbroj kutova paralelograma koji se nalazi uz jednu stranu je 180°.

Dokaz .

Teorem dokazan.

Konstrukcija simetrale kuta. Svojstva simetrale kuta trokuta.

1) Konstruirajte proizvoljnu zraku DE.

2) Na zadanoj zraki konstruirajte proizvoljni krug sa središtem na vrhu i istim
sa središtem na početku konstruirane zrake.

3) F i G - točke presjeka kružnice sa stranicama zadanog kuta, H - točka presjeka kružnice sa konstruiranom zrakom

Konstruirajte kružnicu sa središtem u točki H i polumjerom jednakim FG.

5) I - točka presjeka kružnica konstruirane grede.

6) Povucite liniju kroz vrh i I.

IDH - potrebni kut.
)

Svojstvo 1 . Simetrala kuta trokuta dijeli suprotnu stranu proporcionalno susjednim stranicama.

Dokaz . Neka su x, y segmenti stranice c. Nastavljamo zraku BC. Na zraku BC crtamo odsječak CK iz C jednak AC.

Da bismo utvrdili je li određena figura paralelogram, postoji niz znakova. Razmotrimo tri glavne značajke paralelograma.

1 značajka paralelograma

Ako su dvije strane četverokuta jednake i paralelne, onda je četverokut paralelogram.

Dokaz:

Razmotrimo četverokut ABCD. Neka su u njemu stranice AB i CD paralelne. I neka je AB=CD. Nacrtajmo u njemu dijagonalu BD. Podijelit će dati četverokut na dva jednaka trokuta: ABD i CBD.

Ti su trokuti jednaki jedan drugome po dvije stranice i kutu između njih (BD je zajednička stranica, AB = CD po uvjetu, kut1 = kut2 kao poprečno ležeći kutovi na sekanti BD paralelnih pravaca AB i CD.), te stoga kut3 = kut4.

A ti će kutovi biti križno ležeći na presjeku pravaca BC i AD sekantom BD. Iz ovoga slijedi da su BC i AD međusobno paralelne. Imamo da su u četverokutu ABCD suprotne strane po paru paralelne, pa je stoga četverokut ABCD paralelogram.

2 značajka paralelograma

Ako su suprotne strane četverokuta u paru jednake, onda je četverokut paralelogram.

Dokaz:

Razmotrimo četverokut ABCD. Nacrtajmo u njemu dijagonalu BD. Podijelit će dati četverokut na dva jednaka trokuta: ABD i CBD.

Ova dva trokuta bit će međusobno jednaka na tri strane (BD je zajednička stranica, AB = CD i BC = AD po uvjetu). Iz ovoga možemo zaključiti da je kut1 = kut2. Iz toga slijedi da je AB paralelan s CD-om. A budući da su AB \u003d CD i AB paralelni s CD-om, tada će po prvom znaku paralelograma četverokut ABCD biti paralelogram.

3 znak paralelograma

Ako se u četverokutu dijagonale sijeku, a presjek je prepolovljen, tada će ovaj četverokut biti paralelogram.

Razmotrimo četverokut ABCD. Nacrtajmo u njemu dvije dijagonale AC i BD, koje će se sijeći u točki O i prepoloviti ovu točku.

Trokuti AOB i COD bit će međusobno jednaki, prema prvom znaku jednakosti trokuta. (AO = OC, BO = OD po dogovoru, kut AOB = kut COD kao okomiti kutovi.) Prema tome, AB = CD i kut1 = kut 2. Iz jednakosti kutova 1 i 2, imamo da je AB paralelan s CD-om. Tada imamo da su u četverokutu ABCD stranice AB jednake CD-u i paralelne, a prema prvom kriteriju paralelograma, četverokut ABCD će biti paralelogram.