Breuken verkleinen met letters. Breukreductie doen

Wanneer een student naar de middelbare school gaat, wordt wiskunde verdeeld in 2 vakken: algebra en meetkunde. Er zijn steeds meer concepten, taken worden moeilijker. Sommige mensen hebben moeite met het begrijpen van breuken. De eerste les over dit onderwerp gemist, en voila. breuken? Een vraag die het hele schoolleven zal kwellen.

Het concept van algebraïsche breuk

Laten we beginnen met een definitie. Onder algebraïsche breuk P/Q-uitdrukkingen worden begrepen, waarbij P de teller is en Q de noemer. Een getal, een numerieke uitdrukking, een numeriek-alfabetische uitdrukking kan worden verborgen onder een alfabetische invoer.

Voordat je je afvraagt ​​hoe je algebraïsche breuken moet oplossen, moet je eerst begrijpen dat zo'n uitdrukking deel uitmaakt van een geheel.

In de regel is het geheel 1. Het getal in de noemer geeft aan in hoeveel delen de eenheid was verdeeld. De teller is nodig om te weten hoeveel elementen er zijn. De breukstreep komt overeen met het deelteken. Het is toegestaan ​​om een ​​fractionele uitdrukking op te nemen als een wiskundige bewerking "Delen". In dit geval is de teller het deeltal, de noemer de deler.

De basisregel voor gewone breuken

Als leerlingen dit onderwerp op school doornemen, krijgen ze voorbeelden ter bekrachtiging. Om ze correct op te lossen en verschillende manieren te vinden om uit moeilijke situaties te komen, moet je de basiseigenschap van breuken toepassen.

Het klinkt als volgt: als je zowel de teller als de noemer vermenigvuldigt met hetzelfde getal of dezelfde uitdrukking (anders dan nul), dan verandert de waarde van een gewone breuk niet. Een speciaal geval van deze regel is de verdeling van beide delen van de uitdrukking in hetzelfde getal of polynoom. Dergelijke transformaties worden identieke gelijkheden genoemd.

Hieronder zullen we bekijken hoe we optellen en aftrekken van algebraïsche breuken kunnen oplossen, om vermenigvuldiging, deling en reductie van breuken uit te voeren.

Wiskundige bewerkingen met breuken

Overweeg hoe u de hoofdeigenschap van een algebraïsche breuk kunt oplossen en hoe u deze in de praktijk kunt toepassen. Als u twee breuken moet vermenigvuldigen, optellen, door elkaar delen of aftrekken, moet u altijd de regels volgen.

Dus voor de bewerking van optellen en aftrekken moet een extra factor worden gevonden om de uitdrukkingen tot een gemeenschappelijke noemer te brengen. Als de breuken aanvankelijk met dezelfde uitdrukkingen Q worden gegeven, moet u dit item weglaten. Als een gemeenschappelijke noemer wordt gevonden, hoe los je dan algebraïsche breuken op? Tellers optellen of aftrekken. Maar! Houd er rekening mee dat als er een "-" teken voor de breuk staat, alle tekens in de teller omgekeerd zijn. Soms moet u geen vervangingen en wiskundige bewerkingen uitvoeren. Het volstaat om het teken voor de breuk te veranderen.

De term wordt vaak gebruikt als: breuk reductie. Dit betekent het volgende: als de teller en noemer worden gedeeld door een andere uitdrukking dan eenheid (hetzelfde voor beide delen), dan wordt een nieuwe breuk verkregen. Het deeltal en de deler zijn kleiner dan voorheen, maar door de basisregel van breuken blijven ze gelijk aan het originele voorbeeld.

Het doel van deze operatie is om een ​​nieuwe onherleidbare uitdrukking te verkrijgen. Dit probleem kan worden opgelost door de teller en de noemer te verminderen met de grootste gemene deler. Het bewerkingsalgoritme bestaat uit twee punten:

1. De GCD vinden voor beide delen van een breuk.
2. De teller en noemer delen door de gevonden uitdrukking en een onherleidbare breuk verkrijgen die gelijk is aan de vorige.

In onderstaande tabel staan ​​de formules weergegeven. Voor het gemak kunt u het uitprinten en meenemen in een notitieboekje. Om ervoor te zorgen dat er in de toekomst bij het oplossen van een toets of examen geen problemen ontstaan ​​bij het oplossen van algebraïsche breuken, moeten deze formules uit het hoofd worden geleerd.

Enkele voorbeelden met oplossingen

Vanuit theoretisch oogpunt wordt de vraag beschouwd hoe algebraïsche breuken moeten worden opgelost. De voorbeelden in het artikel zullen u helpen het materiaal beter te begrijpen.

1. Zet breuken om en breng ze naar een gemeenschappelijke noemer.

2. Zet breuken om en breng ze naar een gemeenschappelijke noemer.

Na bestudering van het theoretische gedeelte en het overwegen van de praktische zaken, zouden er geen vragen meer mogen rijzen.

Dit artikel gaat verder met het thema van de transformatie van algebraïsche breuken: beschouw een dergelijke actie als de reductie van algebraïsche breuken. Laten we de term zelf definiëren, de afkortingsregel formuleren en praktijkvoorbeelden analyseren.

Yandex.RTB RA-339285-1

Betekenis van de afkorting van de algebraïsche breuk

In de materialen op de gewone fractie hebben we de reductie ervan overwogen. We hebben de reductie van een gemeenschappelijke breuk gedefinieerd als het delen van de teller en noemer door een gemeenschappelijke factor.

Het verkleinen van een algebraïsche breuk is een soortgelijke operatie.

Definitie 1

Algebraïsche breukreductie is de deling van de teller en noemer door een gemeenschappelijke factor. In dit geval kan, in tegenstelling tot de reductie van een gewone breuk (alleen een getal kan een gemeenschappelijke noemer zijn), een polynoom, in het bijzonder een monomiaal of een getal, dienen als een gemeenschappelijke factor voor de teller en noemer van een algebraïsche breuk.

Bijvoorbeeld, de algebraïsche breuk 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 kan worden verminderd met het getal 3, als resultaat krijgen we: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 . We kunnen dezelfde breuk verkleinen met de variabele x, en dit geeft ons de uitdrukking 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . Het is ook mogelijk om een ​​gegeven fractie te verminderen met een monomial 3x of een van de polynomen x + 2 jaar, 3 x + 6 jaar , x 2 + 2 x jaar of 3 x 2 + 6 x j.

Het uiteindelijke doel van het verkleinen van een algebraïsche breuk is een fractie van een eenvoudigere vorm, in het beste geval een onherleidbare breuk.

Zijn alle algebraïsche breuken onderhevig aan reductie?

Nogmaals, uit de materialen op gewone breuken weten we dat er herleidbare en onherleidbare breuken zijn. Onherleidbaar - dit zijn breuken die geen gemeenschappelijke factoren van de teller en noemer hebben, behalve 1.

Met algebraïsche breuken is alles hetzelfde: ze kunnen al dan niet gemeenschappelijke factoren van de teller en noemer hebben. Door de aanwezigheid van gemeenschappelijke factoren kunt u de oorspronkelijke breuk vereenvoudigen door middel van reductie. Als er geen gemeenschappelijke factoren zijn, is het onmogelijk om een ​​bepaalde fractie te optimaliseren met de reductiemethode.

In algemene gevallen is het voor een bepaald type breuk vrij moeilijk te begrijpen of het onderhevig is aan reductie. Natuurlijk is in sommige gevallen de aanwezigheid van een gemeenschappelijke factor van teller en noemer duidelijk. In de algebraïsche breuk 3 · x 2 3 · y is het bijvoorbeeld vrij duidelijk dat de gemeenschappelijke factor het getal 3 is.

In een breuk - x · y 5 · x · y · z 3 begrijpen we ook meteen dat het mogelijk is om het te verkleinen met x, of y, of met x · y. En toch komen voorbeelden van algebraïsche breuken veel vaker voor, wanneer de gemeenschappelijke factor van de teller en noemer niet zo gemakkelijk te zien is, en zelfs vaker - hij is gewoon afwezig.

We kunnen bijvoorbeeld de breuk x 3 - 1 x 2 - 1 verkleinen met x - 1, terwijl de opgegeven gemene deler niet in het record staat. Maar de breuk x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 kan niet worden verkleind, omdat teller en noemer geen gemeenschappelijke factor hebben.

De vraag om de samentrekbaarheid van een algebraïsche breuk te achterhalen is dus niet zo eenvoudig, en het is vaak gemakkelijker om met een breuk van een bepaalde vorm te werken dan te proberen uit te vinden of deze samentrekbaar is. In dit geval vinden zulke transformaties plaats dat we in bepaalde gevallen de gemeenschappelijke factor van teller en noemer kunnen bepalen of kunnen concluderen dat de breuk irreducibel is. We zullen dit probleem in detail analyseren in de volgende paragraaf van het artikel.

Reductieregel voor algebraïsche breuken

Reductieregel voor algebraïsche breuken bestaat uit twee opeenvolgende stappen:

• het vinden van de gemeenschappelijke factoren van de teller en noemer;
• in het geval van het vinden van dergelijke, de uitvoering van de directe actie van het verminderen van de fractie.

De handigste methode voor het vinden van gemeenschappelijke noemers is om de veeltermen die aanwezig zijn in de teller en noemer van een gegeven algebraïsche breuk te factoriseren. Hierdoor kun je direct visueel de aan- of afwezigheid van gemeenschappelijke factoren zien.

De eigenlijke actie van het verminderen van een algebraïsche breuk is gebaseerd op de hoofdeigenschap van een algebraïsche breuk, uitgedrukt door de gelijkheid undefined , waarbij a , b , c enkele veeltermen zijn en b en c niet nul zijn. De eerste stap is om de breuk te verkleinen tot de vorm a c b c , waarbij we meteen de gemeenschappelijke factor c opmerken. De tweede stap is het uitvoeren van de reductie, d.w.z. overgang naar een fractie van de vorm a b .

typische voorbeelden

Ondanks enige voor de hand liggende, laten we verduidelijken over het speciale geval waarin de teller en noemer van een algebraïsche breuk gelijk zijn. Vergelijkbare breuken zijn identiek gelijk aan 1 op de gehele ODZ van de variabelen van deze breuk:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 jaar 1 2 x - x 2 jaar;

Aangezien gewone breuken een speciaal geval zijn van algebraïsche breuken, laten we ons herinneren hoe ze worden gereduceerd. De natuurlijke getallen geschreven in de teller en noemer worden ontleed in priemfactoren, waarna de gemeenschappelijke factoren worden verminderd (indien aanwezig).

Bijvoorbeeld 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Het product van eenvoudige identieke factoren kan worden geschreven als graden, en in het proces van breukreductie, gebruik de eigenschap van het delen van graden met dezelfde basen. Dan zou de bovenstaande oplossing zijn:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(teller en noemer gedeeld door een gemeenschappelijke factor) 2 2 3). Of, voor de duidelijkheid, op basis van de eigenschappen van vermenigvuldigen en delen, geven we de oplossing de volgende vorm:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Naar analogie wordt de reductie van algebraïsche breuken uitgevoerd, waarbij de teller en noemer monomials hebben met gehele coëfficiënten.

voorbeeld 1

Gegeven een algebraïsche breuk - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Het moet worden verminderd.

Beslissing

Het is mogelijk om de teller en noemer van een gegeven breuk te schrijven als een product van priemfactoren en variabelen, en dan te verminderen:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c c z = = - 3 3 a a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Een meer rationele manier zou echter zijn om de oplossing te schrijven als een uitdrukking met bevoegdheden:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6 .

Antwoord:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Als er fractionele numerieke coëfficiënten in de teller en noemer van een algebraïsche breuk zijn, zijn er twee mogelijke manieren om verder te handelen: deze fractionele coëfficiënten afzonderlijk delen, of eerst de fractionele coëfficiënten verwijderen door de teller en noemer te vermenigvuldigen met een natuurlijk getal . De laatste transformatie wordt uitgevoerd vanwege de hoofdeigenschap van een algebraïsche breuk (u kunt erover lezen in het artikel "Een algebraïsche breuk reduceren tot een nieuwe noemer").

Voorbeeld 2

Gegeven een breuk 2 5 x 0 , 3 x 3 . Het moet worden verminderd.

Beslissing

Het is mogelijk om de breuk op deze manier te verkleinen:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Laten we proberen het probleem anders op te lossen, nadat we eerder de fractionele coëfficiënten hebben verwijderd - we vermenigvuldigen de teller en noemer met het kleinste gemene veelvoud van de noemers van deze coëfficiënten, d.w.z. per LCM (5, 10) = 10. Dan krijgen we:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Antwoord: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Wanneer we algemene algebraïsche breuken verkleinen, waarin de tellers en noemers zowel monomials als polynomen kunnen zijn, ontstaat er een probleem wanneer de gemeenschappelijke factor niet altijd direct zichtbaar is. Of meer dan dat, het bestaat gewoon niet. Om vervolgens de gemeenschappelijke factor te bepalen of het feit van zijn afwezigheid vast te stellen, worden de teller en noemer van de algebraïsche breuk ontbonden.

Voorbeeld 3

Gegeven een rationale breuk 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3-49 · b 3 . Het moet worden ingekort.

Beslissing

Laten we de veeltermen in teller en noemer ontbinden in factoren. Laten we de haakjes doen:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

We zien dat de uitdrukking tussen haakjes kan worden omgezet met behulp van de verkorte vermenigvuldigingsformules:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Het is duidelijk te zien dat het mogelijk is om de fractie te verminderen met een gemeenschappelijke factor b2 (a + 7). Laten we een reductie maken:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

We schrijven een korte oplossing zonder uitleg als een keten van gelijkheden:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Antwoord: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3-49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Het komt voor dat de gemeenschappelijke factoren worden verborgen door numerieke coëfficiënten. Bij het verkleinen van breuken is het dan optimaal om de numerieke factoren bij hogere machten van de teller en noemer weg te nemen.

Voorbeeld 4

Gegeven een algebraïsche breuk 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . Het moet indien mogelijk worden verminderd.

Beslissing

Op het eerste gezicht hebben teller en noemer geen gemeenschappelijke noemer. Laten we echter proberen de gegeven breuk om te zetten. Laten we de factor x uit de teller halen:

1 5 x - 2 7 x 3 jaar 5 x 2 jaar - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 jaar 5 x 2 jaar - 3 1 2

Nu kun je enige overeenkomst zien tussen de uitdrukking tussen haakjes en de uitdrukking in de noemer vanwege x 2 y . Laten we de numerieke coëfficiënten bij hogere machten van deze polynomen eruit halen:

x 1 5 - 2 7 x 2 jaar 5 x 2 jaar - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 jaar 5 x 2 jaar - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 jaar 5 x 2 jaar - 7 10

Nu de gemeenschappelijke vermenigvuldiger zichtbaar wordt, voeren we de reductie uit:

2 7 x - 7 10 + x 2 jaar 5 x 2 jaar - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Antwoord: 1 5 x - 2 7 x 3 jaar 5 x 2 jaar - 3 1 2 = - 2 35 x .

Laten we benadrukken dat de vaardigheid om rationale breuken te verkleinen afhangt van het vermogen om veeltermen te ontbinden.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

Op basis van hun hoofdeigenschap: als de teller en de noemer van een breuk worden gedeeld door dezelfde polynoom die niet nul is, wordt een breuk verkregen die daaraan gelijk is.

Je kunt alleen vermenigvuldigers verminderen!

Leden van polynomen kunnen niet worden gereduceerd!

Om een ​​algebraïsche breuk te verkleinen, moeten eerst de veeltermen in de teller en de noemer worden ontbonden.

Overweeg voorbeelden van breukreductie.

De teller en noemer van een breuk zijn monomials. Zij vertegenwoordigen het werk(getallen, variabelen en hun graden), vermenigvuldigers wij kunnen verminderen.

We verminderen de getallen met hun grootste gemene deler, dat wil zeggen met het grootste getal waardoor elk van de gegeven getallen deelbaar is. Voor 24 en 36 is dit 12. Na de verlaging van 24 blijft er 2 over, van 36 - 3.

We verminderen de graden met de graad met de kleinste indicator. Een breuk verkleinen betekent de teller en noemer delen door dezelfde deler en de exponenten aftrekken.

a² en a⁷ worden verminderd met a². Tegelijkertijd blijft er één in de teller van a² (we schrijven 1 alleen als er na reductie geen andere factoren meer zijn. 2 blijft van 24, dus de 1 die overblijft van a² schrijven we niet). Vanaf a⁷ blijft na reductie a⁵.

b en b worden afgekort door b, de resulterende eenheden worden niet geschreven.

c³º en c⁵ worden verminderd met c⁵. Van c³º blijft c²⁵ over, van c⁵ - eenheid (we schrijven het niet). Dus,

De teller en noemer van deze algebraïsche breuk zijn polynomen. Het is onmogelijk om de termen van polynomen te verminderen! (kan niet worden verkleind, bijvoorbeeld 8x² en 2x!). Om deze fractie te verminderen, is het noodzakelijk. De teller heeft een gemeenschappelijke factor van 4x. Laten we het even uit de haakjes halen:

Zowel de teller als de noemer hebben dezelfde factor (2x-3). We verkleinen de breuk met deze factor. We hebben 4x in de teller, 1 in de noemer. Volgens 1 eigenschap van algebraïsche breuken is de breuk 4x.

U kunt alleen factoren verminderen (u kunt een gegeven breuk niet met 25x² verkleinen!). Daarom moeten de veeltermen in de teller en noemer van een breuk worden ontbonden.

De teller is het volledige kwadraat van de som en de noemer is het verschil van de kwadraten. Na uitbreiding met de formules van verkorte vermenigvuldiging, krijgen we:

We verkleinen de breuk met (5x + 1) (om dit te doen, schrap de twee in de teller als exponent, van (5x + 1) ² blijft er (5x + 1) over:

De teller heeft een gemeenschappelijke deler van 2, laten we hem uit de haakjes halen. In de noemer - de formule voor het verschil van kubussen:

Door expansie in teller en noemer kregen we dezelfde factor (9 + 3a + a²). We verkleinen de breuk erop:

De veelterm in de teller bestaat uit 4 termen. de eerste term met de tweede, de derde met de vierde, en we halen de gemene deler x² uit de eerste haakjes. We ontleden de noemer volgens de formule voor de som van kubussen:

In de teller halen we de gemene deler (x + 2) tussen haakjes:

We verkleinen de breuk met (x + 2):

In dit artikel zullen we ons concentreren op reductie van algebraïsche breuken. Laten we eerst eens kijken wat wordt bedoeld met de term "reductie van een algebraïsche breuk", en uitzoeken of een algebraïsche breuk altijd reduceerbaar is. Vervolgens geven we een regel waarmee we deze transformatie kunnen uitvoeren. Overweeg ten slotte de oplossingen van typische voorbeelden die het mogelijk maken om alle subtiliteiten van het proces te begrijpen.

Paginanavigatie.

Wat betekent het om een ​​algebraïsche breuk te verkleinen?

Studeren, we spraken over hun vermindering. we noemden de deling van de teller en noemer door de gemeenschappelijke factor. De gewone breuk 30/54 kan bijvoorbeeld worden verminderd met 6 (dat wil zeggen, gedeeld door 6, de teller en noemer), wat ons naar de breuk 5/9 zal leiden.

De reductie van een algebraïsche breuk wordt opgevat als een soortgelijke actie. Algebraïsche breuk verminderen is om de teller en noemer te delen door een gemeenschappelijke factor. Maar als de gemeenschappelijke factor van de teller en noemer van een gewone breuk alleen een getal kan zijn, dan kan de gemeenschappelijke factor van de teller en noemer van een algebraïsche breuk een veelterm zijn, in het bijzonder een monomiaal of een getal.

Een algebraïsche breuk kan bijvoorbeeld worden verminderd met het getal 3, wat de breuk geeft . Het is ook mogelijk om te reduceren op de variabele x , wat resulteert in de uitdrukking . De oorspronkelijke algebraïsche breuk kan worden verminderd met de monomiaal 3 x, evenals met een van de veeltermen x+2 y, 3 x+6 y, x 2 +2 x y of 3 x 2 +6 x y .

Het uiteindelijke doel van het verkleinen van een algebraïsche breuk is het verkrijgen van een fractie van een eenvoudigere vorm, in het beste geval een onherleidbare breuk.

Is een algebraïsche breuk onderhevig aan reductie?

We weten dat gewone breuken worden onderverdeeld in . Onherleidbare breuken hebben geen andere gemeenschappelijke factoren dan eenheid in teller en noemer, daarom kunnen ze niet worden gereduceerd.

Algebraïsche breuken kunnen al dan niet gemeenschappelijke teller- en noemerfactoren hebben. In aanwezigheid van gemeenschappelijke factoren is het mogelijk om de algebraïsche fractie te verminderen. Als er geen gemeenschappelijke factoren zijn, is de vereenvoudiging van de algebraïsche breuk door middel van de reductie ervan onmogelijk.

BIJ algemeen geval door het verschijnen van een algebraïsche breuk, is het vrij moeilijk om te bepalen of het mogelijk is om de reductie uit te voeren. Ongetwijfeld zijn in sommige gevallen de gemeenschappelijke factoren van teller en noemer duidelijk. Het is bijvoorbeeld duidelijk te zien dat de teller en noemer van een algebraïsche breuk een gemeenschappelijke factor 3 hebben. Het is ook gemakkelijk in te zien dat een algebraïsche breuk kan worden verminderd met x, met y, of onmiddellijk met x·y. Maar veel vaker is de gemeenschappelijke factor van de teller en noemer van een algebraïsche breuk niet direct zichtbaar, en nog vaker, bestaat hij gewoon niet. Een breuk kan bijvoorbeeld worden verkleind met x-1 , maar deze gemeenschappelijke factor is duidelijk niet aanwezig in de notatie. En een algebraïsche breuk kan niet worden gereduceerd omdat de teller en noemer geen gemeenschappelijke factoren hebben.

Over het algemeen is de vraag naar de samentrekbaarheid van een algebraïsche breuk erg moeilijk. En soms is het gemakkelijker om een ​​probleem op te lossen door met een algebraïsche breuk in zijn oorspronkelijke vorm te werken dan om uit te zoeken of deze breuk voorlopig kan worden verkleind. Maar toch zijn er transformaties die het in sommige gevallen mogelijk maken om met relatief weinig moeite de gemeenschappelijke factoren van de teller en noemer te vinden, als die er zijn, of om te concluderen dat de oorspronkelijke algebraïsche breuk onherleidbaar is. Deze informatie wordt in de volgende paragraaf bekendgemaakt.

Reductieregel voor algebraïsche breuken

De informatie van de vorige paragrafen stelt u in staat om het volgende op natuurlijke wijze waar te nemen: regel voor het verminderen van algebraïsche breuken, die uit twee stappen bestaat:

• eerst worden de gemeenschappelijke factoren van de teller en noemer van de oorspronkelijke breuk gevonden;
• indien aanwezig, wordt reductie door deze factoren uitgevoerd.

Deze stappen van de aangekondigde regel behoeven verduidelijking.

De handigste manier om gemeenschappelijke te vinden, is door de veeltermen in de teller en noemer van de oorspronkelijke algebraïsche breuk te factoriseren. In dit geval worden de gemeenschappelijke factoren van teller en noemer direct zichtbaar, of wordt duidelijk dat er geen gemeenschappelijke factoren zijn.

Als er geen gemeenschappelijke factoren zijn, kunnen we concluderen dat de algebraïsche breuk irreducibel is. Als de gemeenschappelijke factoren worden gevonden, worden ze bij de tweede stap verminderd. Het resultaat is een nieuwe fractie van een eenvoudigere vorm.

De regel van reductie van algebraïsche breuken is gebaseerd op de hoofdeigenschap van een algebraïsche breuk, die wordt uitgedrukt door de gelijkheid , waarbij a , b en c enkele veeltermen zijn en b en c niet nul zijn. Bij de eerste stap wordt de oorspronkelijke algebraïsche breuk gereduceerd tot de vorm , waaruit de gemeenschappelijke factor c zichtbaar wordt, en bij de tweede stap wordt de reductie uitgevoerd - de overgang naar de breuk .

Laten we verder gaan met het oplossen van voorbeelden met behulp van deze regel. Hierop zullen we alle mogelijke nuances analyseren die optreden bij het ontleden van de teller en noemer van een algebraïsche breuk in factoren en daaropvolgende reductie.

typische voorbeelden

Eerst moet je iets zeggen over de reductie van algebraïsche breuken, waarvan de teller en noemer hetzelfde zijn. Dergelijke breuken zijn identiek gelijk aan één op de gehele ODZ van de daarin opgenomen variabelen, bijvoorbeeld
enzovoort.

Nu kan het geen kwaad om te onthouden hoe de reductie van gewone breuken wordt uitgevoerd - ze zijn tenslotte een speciaal geval van algebraïsche breuken. Natuurlijke getallen in de teller en noemer van een gewone breuk, waarna de gemeenschappelijke factoren worden verminderd (indien aanwezig). Bijvoorbeeld, . Het product van identieke priemfactoren kan worden geschreven in de vorm van graden en, indien verminderd, worden gebruikt. In dit geval ziet de oplossing er als volgt uit: , hier hebben we de teller en noemer gedeeld door een gemeenschappelijke factor 2 2 3 . Of, voor meer duidelijkheid, op basis van de eigenschappen van vermenigvuldigen en delen, wordt de oplossing gepresenteerd in de vorm.

Volgens absoluut vergelijkbare principes wordt de reductie van algebraïsche breuken uitgevoerd, in de teller en noemer waarvan er monomials zijn met gehele coëfficiënten.

Voorbeeld.

Algebraïsche breuk verminderen .

Beslissing.

U kunt de teller en noemer van de oorspronkelijke algebraïsche breuk voorstellen als een product van eenvoudige factoren en variabelen, en vervolgens de reductie uitvoeren:

Maar het is rationeler om de oplossing te schrijven als een uitdrukking met bevoegdheden:

Antwoord:

.

Wat betreft de reductie van algebraïsche breuken met fractionele numerieke coëfficiënten in de teller en noemer, kunt u twee dingen doen: deze fractionele coëfficiënten afzonderlijk verdelen, of eerst fractionele coëfficiënten verwijderen door de teller en noemer te vermenigvuldigen met een natuurlijk getal. We hebben het gehad over de laatste transformatie in het artikel die een algebraïsche breuk naar een nieuwe noemer brengt, deze kan worden uitgevoerd vanwege de hoofdeigenschap van een algebraïsche breuk. Laten we dit met een voorbeeld behandelen.

Voorbeeld.

Voer breukreductie uit.

Beslissing.

U kunt de breuk als volgt verkleinen: .

En het was mogelijk om eerst van fractionele coëfficiënten af ​​te komen door de teller en noemer te vermenigvuldigen met de noemers van deze coëfficiënten, dat wil zeggen met LCM(5, 10)=10 . In dit geval hebben we .

Antwoord:

.

U kunt doorgaan met algebraïsche breuken van een algemene vorm, waarin de teller en noemer zowel getallen als monomials kunnen bevatten, evenals polynomen.

Bij het verkleinen van dergelijke breuken is het grootste probleem dat de gemeenschappelijke factor van teller en noemer niet altijd zichtbaar is. Bovendien bestaat het niet altijd. Om een ​​gemeenschappelijke factor te vinden of er zeker van te zijn dat deze niet bestaat, moet je de teller en noemer van een algebraïsche breuk ontbinden.

Voorbeeld.

Verklein de rationale breuk .

Beslissing.

Om dit te doen, ontbinden we de veeltermen in de teller en de noemer. Laten we beginnen met haakjes: . Het is duidelijk dat expressies tussen haakjes kunnen worden geconverteerd met

Divisie en de teller en noemer van de breuk op hun gemeenschappelijke deler, wat anders is dan eenheid, heet breuk reductie.

Om een ​​gewone breuk te verkleinen, moet je de teller en noemer delen door hetzelfde natuurlijke getal.

Dit getal is de grootste gemene deler van de teller en de noemer van de gegeven breuk.

Het volgende is mogelijk: beslissingsformulieren Voorbeelden voor de reductie van gewone breuken.

De student heeft het recht om elke vorm van opname te kiezen.

Voorbeelden. Vereenvoudig breuken.

Verklein de breuk met 3 (deel de teller door 3;

deel de noemer door 3).

We verkleinen de breuk met 7.

We voeren de aangegeven acties uit in de teller en noemer van de breuk.

De resulterende fractie wordt verminderd met 5.

Laten we deze breuk verkleinen 4) op de 5 7³- de grootste gemene deler (GCD) van teller en noemer, die bestaat uit de gemeenschappelijke factoren van teller en noemer tot de macht met de kleinste exponent.

Laten we de teller en noemer van deze breuk ontbinden in eenvoudige factoren.

We krijgen: 756=2² 3³ 7 en 1176=2³ 3 7².

Bepaal de GCD (grootste gemene deler) van de teller en noemer van de breuk 5) .

Dit is het product van de gemeenschappelijke factoren met de kleinste exponenten.

ggd(756; 1176)= 2² 3 7.

We delen de teller en noemer van deze breuk door hun GCD, d.w.z. door 2² 3 7 we krijgen een onherleidbare breuk 9/14 .

En het was mogelijk om de uitbreidingen van de teller en noemer te schrijven als een product van priemfactoren, zonder het concept van graad te gebruiken, en vervolgens de breuk te verkleinen door dezelfde factoren in de teller en noemer door te strepen. Als er geen identieke factoren meer zijn, vermenigvuldigen we de overige factoren afzonderlijk in de teller en afzonderlijk in de noemer en schrijven de resulterende breuk uit 9/14 .

En tot slot was het mogelijk om deze fractie te verminderen 5) geleidelijk, de tekens van deling van getallen toepassen op zowel de teller als de noemer van de breuk. Denk als volgt: cijfers 756 en 1176 eindigen op een even getal, dus beide deelbaar door 2 . We verkleinen de breuk met 2 . De teller en noemer van de nieuwe breuk zijn getallen 378 en 588 ook onderverdeeld in 2 . We verkleinen de breuk met 2 . We merken dat het nummer 294 - even, en 189 is oneven en reductie met 2 is niet meer mogelijk. Laten we het teken van deelbaarheid van getallen controleren 189 en 294 op de 3 .

(1+8+9)=18 is deelbaar door 3 en (2+9+4)=15 is deelbaar door 3, vandaar de getallen zelf 189 en 294 zijn verdeeld in 3 . We verkleinen de breuk met 3 . Verder, 63 is deelbaar door 3 en 98 - Nee. Herhaal andere priemfactoren. Beide getallen zijn deelbaar door 7 . We verkleinen de breuk met 7 en krijg de onherleidbare breuk 9/14 .