In deze video bekijken we de hele set. lineaire vergelijkingen, die worden opgelost door hetzelfde algoritme - daarom worden ze de eenvoudigste genoemd.

Laten we om te beginnen definiëren: wat is een lineaire vergelijking en welke moet het eenvoudigst worden genoemd?

Een lineaire vergelijking is er een waarin er slechts één variabele is, en alleen in de eerste graad.

De eenvoudigste vergelijking betekent de constructie:

Alle andere lineaire vergelijkingen worden teruggebracht tot de eenvoudigste met behulp van het algoritme:

1. Open haakjes, indien aanwezig;
2. Verplaats termen die een variabele bevatten naar de ene kant van het gelijkteken, en termen zonder een variabele naar de andere;
3. Leiding gelijkaardige termen links en rechts van het isgelijkteken;
4. Deel de resulterende vergelijking door de coëfficiënt van de variabele $x$ .

Natuurlijk helpt dit algoritme niet altijd. Feit is dat na al deze machinaties soms de coëfficiënt van de variabele $x$ gelijk aan nul blijkt te zijn. In dit geval zijn er twee opties mogelijk:

1. De vergelijking heeft helemaal geen oplossingen. Als u bijvoorbeeld iets krijgt als $0\cdot x=8$, d.w.z. aan de linkerkant is nul, en aan de rechterkant is een niet-nul getal. In de onderstaande video bekijken we verschillende redenen waarom deze situatie mogelijk is.
2. De oplossing is alle getallen. Het enige geval waarin dit mogelijk is, is wanneer de vergelijking is teruggebracht tot de constructie $0\cdot x=0$. Het is vrij logisch dat het niet uitmaakt welke $ x $ we vervangen, het zal nog steeds blijken te zijn "nul is gelijk aan nul", d.w.z. juiste numerieke gelijkheid.

En laten we nu eens kijken hoe het allemaal werkt aan de hand van het voorbeeld van echte problemen.

Voorbeelden van het oplossen van vergelijkingen

Vandaag hebben we te maken met lineaire vergelijkingen, en alleen met de eenvoudigste. In het algemeen betekent een lineaire vergelijking elke gelijkheid die precies één variabele bevat, en deze gaat alleen naar de eerste graad.

Dergelijke constructies worden op ongeveer dezelfde manier opgelost:

1. Allereerst moet u de eventuele haakjes openen (zoals in onze laatste voorbeeld);
2. Breng dan soortgelijke
3. Isoleer ten slotte de variabele, d.w.z. alles wat verband houdt met de variabele - de termen waarin het is opgenomen - wordt naar de ene kant overgebracht, en alles wat er zonder is, wordt naar de andere kant overgebracht.

Dan moet je in de regel aan elke kant van de resulterende gelijkheid vergelijkbaar zijn, en daarna blijft het alleen om te delen door de coëfficiënt bij "x", en we zullen het definitieve antwoord krijgen.

In theorie ziet dit er mooi en eenvoudig uit, maar in de praktijk kunnen zelfs ervaren middelbare scholieren aanstootgevende fouten maken in vrij eenvoudige lineaire vergelijkingen. Meestal worden fouten gemaakt bij het openen van haakjes of bij het tellen van "plussen" en "minnen".

Bovendien komt het voor dat een lineaire vergelijking helemaal geen oplossingen heeft, of dat de oplossing de gehele getallenlijn is, d.w.z. elk nummer. We zullen deze subtiliteiten analyseren in de les van vandaag. Maar we beginnen, zoals je al begreep, met de meeste eenvoudige taken.

Schema voor het oplossen van eenvoudige lineaire vergelijkingen

Laat me om te beginnen nogmaals het hele schema schrijven voor het oplossen van de eenvoudigste lineaire vergelijkingen:

1. Vouw de haakjes uit, indien aanwezig.
2. Sluit variabelen af, d.w.z. alles dat "x" bevat, wordt naar de ene kant overgebracht en zonder "x" naar de andere kant.
3. We presenteren vergelijkbare termen.
4. We delen alles door de coëfficiënt bij "x".

Natuurlijk werkt dit schema niet altijd, het heeft bepaalde subtiliteiten en trucs, en nu zullen we ze leren kennen.

Echte voorbeelden van eenvoudige lineaire vergelijkingen oplossen

Taak 1

In de eerste stap moeten we de haakjes openen. Maar in dit voorbeeld staan ​​ze niet, dus we slaan deze stap over. In de tweede stap moeten we de variabelen isoleren. Opmerking: we zijn aan het praten alleen over afzonderlijke componenten. Laten we schrijven:

We geven links en rechts soortgelijke termen, maar dat is hier al gedaan. Daarom gaan we naar de vierde stap: delen door een factor:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Hier hebben we het antwoord.

Taak #2

In deze taak kunnen we de haakjes observeren, dus laten we ze uitbreiden:

Zowel links als rechts zien we ongeveer dezelfde constructie, maar laten we handelen volgens het algoritme, d.w.z. sekwester variabelen:

Hier zijn enkele zoals:

Bij welke wortels werkt dit? Antwoord: voor elk. Daarom kunnen we schrijven dat $x$ een willekeurig getal is.

Taak #3

De derde lineaire vergelijking is al interessanter:

\[\links(6-x \rechts)+\links(12+x \rechts)-\links(3-2x \rechts)=15\]

Er zijn hier een paar haakjes, maar ze worden met niets vermenigvuldigd, ze staan ​​er gewoon voor verschillende tekens. Laten we ze opsplitsen:

We voeren de tweede stap uit die al bij ons bekend is:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Laten we berekenen:

We voeren de laatste stap uit - we delen alles door de coëfficiënt bij "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Dingen om te onthouden bij het oplossen van lineaire vergelijkingen

Als we te eenvoudige taken negeren, zou ik het volgende willen zeggen:

• Zoals ik hierboven al zei, heeft niet elke lineaire vergelijking een oplossing - soms zijn er gewoon geen wortels;
• Zelfs als er wortels zijn, kan er nul tussen komen - daar is niets mis mee.

Nul is hetzelfde getal als de rest, je moet het op de een of andere manier niet discrimineren of aannemen dat als je nul krijgt, je iets verkeerd hebt gedaan.

Een ander kenmerk houdt verband met de uitbreiding van haakjes. Let op: als er een "min" voor staat, verwijderen we deze, maar tussen haakjes veranderen we de tekens in tegenover. En dan kunnen we het openen volgens standaardalgoritmen: we krijgen wat we in de bovenstaande berekeningen hebben gezien.

Dit begrijpen simpel feit zal je ervan weerhouden domme en pijnlijke fouten te maken op de middelbare school als zulke dingen als vanzelfsprekend worden beschouwd.

Complexe lineaire vergelijkingen oplossen

Laten we verder gaan met meer complexe vergelijkingen. Nu worden de constructies ingewikkelder en verschijnt er een kwadratische functie bij het uitvoeren van verschillende transformaties. Je moet hier echter niet bang voor zijn, want als we, volgens de bedoeling van de auteur, een lineaire vergelijking oplossen, dan zullen tijdens het transformatieproces alle monomialen die een kwadratische functie bevatten noodzakelijkerwijs worden verminderd.

Voorbeeld 1

Uiteraard is de eerste stap het openen van de haakjes. Laten we dit heel voorzichtig doen:

Laten we nu privacy nemen:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Hier zijn enkele zoals:

Het is duidelijk dat deze vergelijking geen oplossingen heeft, dus in het antwoord schrijven we als volgt:

\[\verscheidenheid \]

of geen wortels.

Voorbeeld #2

We voeren dezelfde stappen uit. Eerste stap:

Laten we alles met een variabele naar links verplaatsen, en zonder - naar rechts:

Hier zijn enkele zoals:

Het is duidelijk dat deze lineaire vergelijking geen oplossing heeft, dus we schrijven het als volgt:

\[\varniets\],

of geen wortels.

Nuances van de oplossing

Beide vergelijkingen zijn volledig opgelost. Met het voorbeeld van deze twee uitdrukkingen hebben we er opnieuw voor gezorgd dat zelfs in de eenvoudigste lineaire vergelijkingen alles niet zo eenvoudig kan zijn: er kan één zijn, of geen, of oneindig veel. In ons geval hebben we twee vergelijkingen overwogen, in beide zijn er gewoon geen wortels.

Maar ik wil uw aandacht vestigen op een ander feit: hoe u met haakjes werkt en hoe u ze opent als er een minteken voor staat. Beschouw deze uitdrukking:

Voordat u begint, moet u alles vermenigvuldigen met "x". Let op: vermenigvuldigen elke individuele term. Binnen zijn er twee termen - respectievelijk twee termen en is vermenigvuldigd.

En pas nadat deze schijnbaar elementaire, maar zeer belangrijke en gevaarlijke transformaties zijn voltooid, kan het haakje worden geopend vanuit het oogpunt dat er een minteken achter staat. Ja, ja: alleen nu, als de transformaties klaar zijn, herinneren we ons dat er een minteken voor de haakjes staat, wat betekent dat alles naar beneden gewoon van teken verandert. Tegelijkertijd verdwijnen de beugels zelf en, belangrijker nog, de voorste "min" verdwijnt ook.

We doen hetzelfde met de tweede vergelijking:

Het is geen toeval dat ik aandacht schenk aan deze kleine, schijnbaar onbeduidende feiten. Omdat het oplossen van vergelijkingen altijd een reeks is elementaire transformaties waar het onvermogen om duidelijk en competent te presteren eenvoudige stappen leidt ertoe dat middelbare scholieren bij mij komen en weer leren om zulke simpele vergelijkingen op te lossen.

Natuurlijk komt er een dag dat je deze vaardigheden gaat aanscherpen tot automatisme. Je hoeft niet meer elke keer zoveel transformaties uit te voeren, je schrijft alles op één regel. Maar terwijl u net aan het leren bent, moet u elke actie afzonderlijk schrijven.

Nog complexere lineaire vergelijkingen oplossen

Wat we nu gaan oplossen kan nauwelijks de eenvoudigste opgave genoemd worden, maar de betekenis blijft hetzelfde.

Taak 1

\[\links(7x+1 \rechts)\links(3x-1 \rechts)-21((x)^(2))=3\]

Laten we alle elementen in het eerste deel vermenigvuldigen:

Laten we een retraite doen:

Hier zijn enkele zoals:

Laten we de laatste stap doen:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Hier is ons laatste antwoord. En ondanks het feit dat we tijdens het oplossen coëfficiënten hadden met een kwadratische functie, vernietigden ze elkaar, wat de vergelijking precies lineair maakt, niet vierkant.

Taak #2

\[\links(1-4x \rechts)\links(1-3x \rechts)=6x\links(2x-1 \rechts)\]

Laten we de eerste stap voorzichtig doen: vermenigvuldig elk element in de eerste haak met elk element in de tweede. In totaal zouden na transformaties vier nieuwe termen moeten worden verkregen:

En voer nu zorgvuldig de vermenigvuldiging uit in elke term:

Laten we de termen met "x" naar links verplaatsen en zonder - naar rechts:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Hier zijn vergelijkbare termen:

We hebben een definitief antwoord gekregen.

Nuances van de oplossing

De belangrijkste opmerking over deze twee vergelijkingen is deze: zodra we beginnen met het vermenigvuldigen van haakjes waarin meer dan een term staat, dan gebeurt dit volgens de volgende regel: we nemen de eerste term van de eerste en vermenigvuldigen met elk element van de tweede; dan nemen we het tweede element van het eerste en vermenigvuldigen we op dezelfde manier met elk element van het tweede. Als resultaat krijgen we vier termen.

Op de algebraïsche som

In het laatste voorbeeld wil ik de leerlingen eraan herinneren wat is algebraïsche som. In de klassieke wiskunde bedoelen we met $ 1-7 $ een eenvoudige constructie: we trekken zeven af ​​van één. In de algebra bedoelen we hiermee het volgende: aan het getal "een" voegen we een ander getal toe, namelijk "min zeven". Deze algebraïsche som verschilt van de gebruikelijke rekenkundige som.

Zodra je bij het uitvoeren van alle transformaties, elke optelling en vermenigvuldiging, constructies begint te zien die lijken op de hierboven beschreven constructies, zul je eenvoudigweg geen problemen hebben in de algebra bij het werken met veeltermen en vergelijkingen.

Laten we tot slot nog een paar voorbeelden bekijken die nog complexer zullen zijn dan degene die we zojuist hebben bekeken, en om ze op te lossen, zullen we ons standaardalgoritme iets moeten uitbreiden.

Vergelijkingen oplossen met een breuk

Om dergelijke taken op te lossen, moet er nog een stap aan ons algoritme worden toegevoegd. Maar eerst zal ik ons ​​algoritme eraan herinneren:

1. Haakjes openen.
2. Aparte variabelen.
3. Gelijkaardig meenemen.
4. Deel door een factor.

Helaas is dit prachtige algoritme, ondanks al zijn efficiëntie, niet helemaal geschikt als we breuken voor ons hebben. En in wat we hieronder zullen zien, hebben we een breuk links en rechts in beide vergelijkingen.

Hoe te werk in dit geval? Ja, het is heel eenvoudig! Om dit te doen, moet u nog een stap aan het algoritme toevoegen, die zowel vóór de eerste actie als daarna kan worden uitgevoerd, namelijk breuken verwijderen. Het algoritme zal dus als volgt zijn:

1. Weg met breuken.
2. Haakjes openen.
3. Aparte variabelen.
4. Gelijkaardig meenemen.
5. Deel door een factor.

Wat betekent het om "van breuken af ​​te komen"? En waarom is het mogelijk om dit zowel na als voor de eerste standaardstap te doen? In ons geval zijn in feite alle breuken numeriek in termen van de noemer, d.w.z. overal is de noemer slechts een getal. Daarom, als we beide delen van de vergelijking met dit getal vermenigvuldigen, zullen we breuken verwijderen.

Voorbeeld 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Laten we de breuken in deze vergelijking weglaten:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Let op: alles wordt een keer vermenigvuldigd met "vier", d.w.z. alleen omdat je twee haakjes hebt, wil nog niet zeggen dat je ze allemaal met "vier" moet vermenigvuldigen. Laten we schrijven:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Laten we het nu openen:

We voeren afzondering van een variabele uit:

We voeren de reductie van vergelijkbare termen uit:

\[-4x=-1\links| :\links(-4 \rechts) \rechts.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Wij hebben laatste beslissing, gaan we naar de tweede vergelijking.

Voorbeeld #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Hier voeren we allemaal dezelfde acties uit:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Probleem opgelost.

Dat is eigenlijk alles wat ik vandaag wilde vertellen.

Belangrijkste punten:

De belangrijkste bevindingen zijn als volgt:

• Ken het algoritme voor het oplossen van lineaire vergelijkingen.
• Mogelijkheid om haakjes te openen.
• Maak je geen zorgen als je ergens hebt kwadratische functies, hoogstwaarschijnlijk zullen ze tijdens het proces van verdere transformaties worden verminderd.
• De wortels in lineaire vergelijkingen, zelfs de eenvoudigste, zijn van drie typen: één enkele wortel, de hele getallenlijn is een wortel, er zijn helemaal geen wortels.

Ik hoop dat deze les je zal helpen een eenvoudig, maar zeer belangrijk onderwerp onder de knie te krijgen voor een beter begrip van alle wiskunde. Als er iets niet duidelijk is, ga dan naar de site, los de daar gepresenteerde voorbeelden op. Blijf ons volgen, er wachten nog veel meer interessante dingen op je!

Met dit wiskundige programma kun je een stelsel van twee lineaire vergelijkingen oplossen met twee variabele methode substitutie- en optelmethode.

Het programma geeft niet alleen het antwoord op het probleem, maar geeft ook aanknopingspunten gedetailleerde oplossing: met uitleg van de oplossingsstappen op twee manieren: de substitutiemethode en de optelmethode.

Dit programma kan nuttig zijn voor middelbare scholieren ter voorbereiding op: controle werk en examens, bij het testen van kennis voor het examen, ouders om de oplossing van veel problemen in wiskunde en algebra te beheersen. Of is het misschien te duur voor je om een ​​bijlesdocent in te huren of nieuwe studieboeken te kopen? Of wil je het gewoon zo snel mogelijk gedaan hebben? huiswerk wiskunde of algebra? In dit geval kunt u onze programma's ook gebruiken met een gedetailleerde oplossing.

Zo kunt u uw eigen opleiding en/of het trainen van hun jongere broers of zusters, terwijl het opleidingsniveau op het gebied van op te lossen taken stijgt.

Regels voor het invoeren van vergelijkingen

Elke Latijnse letter kan als variabele fungeren.
Bijvoorbeeld: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) enz.

Bij het invoeren van vergelijkingen je kunt haakjes gebruiken. In dit geval worden de vergelijkingen eerst vereenvoudigd. De vergelijkingen na vereenvoudigingen moeten lineair zijn, d.w.z. van de vorm ax+by+c=0 met de nauwkeurigheid van de volgorde van de elementen.
Bijvoorbeeld: 6x+1 = 5(x+y)+2

In vergelijkingen kunt u niet alleen gehele getallen gebruiken, maar ook: fractionele getallen als decimale en gewone breuken.

Regels voor het invoeren van decimale breuken.
Integer en fractioneel deel decimale breuken kan worden gescheiden door een punt of een komma.
Bijvoorbeeld: 2,1n + 3,5m = 55

Regels voor het invoeren van gewone breuken.
Alleen een geheel getal kan fungeren als teller, noemer en geheel getal van een breuk.
De noemer kan niet negatief zijn.
Wanneer je binnenkomt numerieke breuk De teller wordt van de noemer gescheiden door een delingsteken: /
hele deel gescheiden van de breuk door een ampersand: &

Voorbeelden.
-1&2/3j + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

Los een stelsel vergelijkingen op

Er is vastgesteld dat sommige scripts die nodig zijn om deze taak op te lossen, niet zijn geladen en dat het programma mogelijk niet werkt.
Mogelijk hebt u AdBlock ingeschakeld.
Schakel het in dit geval uit en vernieuw de pagina.

Je hebt JavaScript uitgeschakeld in je browser.
JavaScript moet zijn ingeschakeld om de oplossing te laten verschijnen.
Hier zijn instructies voor het inschakelen van JavaScript in uw browser.

Omdat Er zijn veel mensen die het probleem willen oplossen, uw verzoek staat in de wachtrij.
Na een paar seconden verschijnt de oplossing hieronder.
Wacht, alsjeblieft zie...

als jij merkte een fout op in de oplossing, dan kun je erover schrijven in het Feedback Form .
Vergeet niet aangeven welke taak jij bepaalt wat vul de velden in.

Onze spellen, puzzels, emulators:

Een beetje theorie.

Systemen van lineaire vergelijkingen oplossen. Vervangingsmethode:

De volgorde van acties bij het oplossen van een stelsel lineaire vergelijkingen met de substitutiemethode:
1) druk een variabele uit een vergelijking van het systeem uit in termen van een andere;
2) vervang de resulterende uitdrukking in een andere vergelijking van het systeem in plaats van deze variabele;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Laten we uit de eerste vergelijking y tot en met x uitdrukken: y = 7-3x. Als we de uitdrukking 7-3x in plaats van y in de tweede vergelijking substitueren, krijgen we het systeem:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Het is gemakkelijk aan te tonen dat het eerste en tweede systeem dezelfde oplossingen hebben. In het tweede systeem bevat de tweede vergelijking slechts één variabele. Laten we deze vergelijking oplossen:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Door het getal 1 in plaats van x in de vergelijking y=7-3x in te vullen, vinden we de overeenkomstige waarde van y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Paar (1;4) - oplossing van het systeem

Stelsels van vergelijkingen in twee variabelen die dezelfde oplossingen hebben, worden genoemd gelijkwaardig. Systemen die geen oplossingen hebben, worden ook als gelijkwaardig beschouwd.

Systemen van lineaire vergelijkingen oplossen door toe te voegen

Overweeg een andere manier om stelsels van lineaire vergelijkingen op te lossen - de optelmethode. Bij het oplossen van systemen op deze manier, evenals bij het oplossen met de substitutiemethode, gaan we van een bepaald systeem naar een ander systeem dat er equivalent aan is, waarin een van de vergelijkingen slechts één variabele bevat.

De volgorde van acties bij het oplossen van een stelsel lineaire vergelijkingen door de optelmethode:
1) vermenigvuldig de vergelijkingen van het systeem term voor term, kies de factoren zodat de coëfficiënten voor een van de variabelen worden tegengestelde nummers;
2) voeg term voor term de linker en rechter delen van de vergelijkingen van het systeem toe;
3) los de resulterende vergelijking op met één variabele;
4) zoek de corresponderende waarde van de tweede variabele.

Voorbeeld. Laten we het stelsel vergelijkingen oplossen:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

In de vergelijkingen van dit systeem zijn de coëfficiënten van y tegengestelde getallen. Als we term voor term het linker- en rechtergedeelte van de vergelijkingen optellen, krijgen we een vergelijking met één variabele 3x=33. Laten we een van de vergelijkingen van het systeem, bijvoorbeeld de eerste, vervangen door de vergelijking 3x=33. Laten we het systeem pakken
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Uit de vergelijking 3x=33 vinden we dat x=11. Door deze x-waarde in te vullen in de vergelijking \(x-3y=38 \) krijgen we een vergelijking met de variabele y: \(11-3y=38 \). Laten we deze vergelijking oplossen:
\(-3y=27 \Rechterpijl y=-9 \)

We hebben dus de oplossing van het stelsel vergelijkingen gevonden door toe te voegen: \(x=11; y=-9 \) of \((11; -9) \)

Gebruikmakend van het feit dat in de vergelijkingen van het systeem de coëfficiënten van y tegengestelde getallen zijn, hebben we de oplossing teruggebracht tot de oplossing gelijkwaardig systeem(door beide delen van elk van de vergelijkingen van het oorspronkelijke sim-thema op te tellen), waarbij een van de vergelijkingen slechts één variabele bevat.

Boeken (studieboeken) Samenvattingen van het Unified State Examination en OGE-tests online Games, puzzels Grafieken van functies Spellingswoordenboek van de Russische taal Woordenboek van jeugdjargon Catalogus van Russische scholen Catalogus van middelbare scholen in Rusland Catalogus van Russische universiteiten Takenlijst

Lineaire vergelijkingen zijn een vrij onschuldig en begrijpelijk onderwerp. school wiskunde. Maar vreemd genoeg is het aantal fouten uit het niets bij het oplossen van lineaire vergelijkingen slechts iets minder dan bij andere onderwerpen - kwadratische vergelijkingen, logaritmen, trigonometrie en andere. De oorzaken van de meeste fouten zijn banaal identieke transformaties van vergelijkingen. Allereerst is dit verwarring in tekens bij het overbrengen van termen van het ene deel van de vergelijking naar het andere, evenals fouten bij het werken met breuken en fractionele kansen. Ja Ja! Breuken in lineaire vergelijkingen komen ook voor! Overal. Een beetje lager zullen we ook dergelijke kwade vergelijkingen analyseren.)

Nou, laten we de kat niet bij de staart trekken en het gaan uitzoeken, zullen we? Dan lezen en begrijpen we.)

Wat is een lineaire vergelijking? Voorbeelden.

Typisch heeft een lineaire vergelijking de volgende vorm:

bijl + b = 0,

Waar a en b een willekeurig getal zijn. Alles: integer, fractioneel, negatief, irrationeel - iedereen kan dat zijn!

Bijvoorbeeld:

7x + 1 = 0 (hier a = 7, b = 1)

x - 3 = 0 (hier a = 1, b = -3)

x/2 - 1.1 = 0 (hier a = 1/2, b = -1.1)

Over het algemeen begrijp je het, hoop ik.) Alles is eenvoudig, zoals in een sprookje. Voorlopig... En als je goed kijkt naar gemeenschappelijk record ax + b = 0 nader, maar een beetje attent? Omdat a en b alle nummers! En als we bijvoorbeeld a = 0 en b = 0 hebben (alle getallen kunnen worden genomen!), wat krijgen we dan?

0 = 0

Maar dat is niet allemaal leuk! En als bijvoorbeeld a = 0, b = -10? Dan blijkt het nogal wat onzin:

0 = 10.

Dat is heel erg vervelend en ondermijnt het met zweet en bloed gewonnen vertrouwen in wiskunde... Vooral bij toetsen en examens. Maar van deze onbegrijpelijke en vreemde gelijkheden moet je ook x vinden! Wat helemaal niet bestaat! En hier kunnen zelfs goed voorbereide studenten soms, zoals ze zeggen, in een verdoving vallen ... Maar maak je geen zorgen! BIJ deze les we zullen ook rekening houden met al dergelijke verrassingen. En x van dergelijke gelijkheden zal ook zeker worden gevonden.) Bovendien wordt deze x heel, heel eenvoudig gezocht. Ja Ja! Verrassend maar waar.)

Oké, dat is begrijpelijk. Maar hoe kun je aan het uiterlijk van de taak weten dat we een lineaire vergelijking hebben, en niet een andere? Helaas is het lang niet altijd mogelijk om het type vergelijking alleen aan het uiterlijk te herkennen. Het punt is dat niet alleen vergelijkingen van de vorm ax + b = 0 lineair worden genoemd, maar ook alle andere vergelijkingen die, door identieke transformaties, op de een of andere manier tot deze vorm worden teruggebracht. Hoe weet je of het past of niet? Totdat je het voorbeeld bijna oplost - bijna niets. Het is verontrustend. Maar voor sommige soorten vergelijkingen is het mogelijk om in één oogopslag meteen met zekerheid te zeggen of het lineair is of niet.

Om dit te doen, wenden we ons opnieuw tot algemene structuur elke lineaire vergelijking:

bijl + b = 0

Merk op dat in een lineaire vergelijking altijd er is alleen variabele x in de eerste graad en wat cijfers! En dat is het! Niks anders. Tegelijkertijd zijn er geen x-kwadraat, in blokjes, onder de wortel, onder de logaritme en andere exoten. En (het allerbelangrijkste!) geen breuken met x in de noemers! Maar breuken met getallen in de noemers of delen per nummer- gemakkelijk!

Bijvoorbeeld:

Dit is een lineaire vergelijking. De vergelijking bevat alleen x'en tot de eerste macht en getallen. En er zijn geen X's in meer hoge graden- in een vierkant, in een kubus enzovoort. Ja, er zijn breuken hier, maar tegelijkertijd zitten ze in de noemers van breuken alleen getallen. Namelijk twee en drie. Met andere woorden, er is geen deling door x.

En hier is de vergelijking

Het is niet langer lineair te noemen, hoewel ook hier alleen getallen en x'en tot de eerste graad voorkomen. Want er zijn onder andere ook breuken met x'en in de noemers. En na vereenvoudigingen en transformaties kan zo'n vergelijking alles worden: lineair en vierkant - iedereen.

Hoe lineaire vergelijkingen op te lossen? Voorbeelden.

Dus hoe los je lineaire vergelijkingen op? Lees verder en laat je verrassen.) De hele oplossing van lineaire vergelijkingen is gebaseerd op slechts twee belangrijke dingen. Laten we ze opsommen.

1) Een reeks elementaire acties en regels van de wiskunde.

Dit is het gebruik van haakjes, haakjes openen, werken met breuken, werken met negatieve getallen, de vermenigvuldigingstabel, enzovoort. Deze kennis en vaardigheden zijn niet alleen nodig voor het oplossen van lineaire vergelijkingen, maar voor alle wiskunde in het algemeen. En als dit een probleem is, onthoud dan junior klassen. Anders krijg je het moeilijk...

2)

Er zijn er maar twee. Ja Ja! Bovendien liggen deze zeer fundamentele identieke transformaties ten grondslag aan de oplossing van niet alleen lineaire, maar in het algemeen alle wiskundige vergelijkingen! Kortom, de oplossing van elke andere vergelijking - kwadratisch, logaritmisch, trigonometrisch, irrationeel, enz. - begint in de regel met deze zeer basale transformaties. Maar de oplossing van precies lineaire vergelijkingen eindigt in feite op hen (transformaties). Kant-en-klaar antwoord.) Dus wees niet lui en loop eens door de link.) Bovendien worden daar ook lineaire vergelijkingen in detail geanalyseerd.

Welnu, ik denk dat het tijd is om de analyse van voorbeelden te starten.

Overweeg om te beginnen, als warming-up, enkele elementaire. Zonder breuken en andere toeters en bellen. Bijvoorbeeld deze vergelijking:

x - 2 \u003d 4 - 5x

Dit is een klassieke lineaire vergelijking. Alle x'en zijn maximaal tot de eerste macht en er is nergens een deling door x. Het oplossingsschema in dergelijke vergelijkingen is altijd hetzelfde en eenvoudig tot horror: alle termen met x moeten aan de linkerkant worden verzameld en alle termen zonder x (d.w.z. getallen) moeten aan de rechterkant worden verzameld. Dus laten we beginnen met verzamelen.

Om dit te doen, lanceren we de eerste identieke transformatie. We moeten -5x naar links en -2 naar rechts verplaatsen. Met een verandering van teken natuurlijk.) Dus we dragen over:

x + 5x = 4 + 2

We zullen. Het halve werk is gedaan: de x'en liggen op een stapel, de cijfers ook. Nu geven we soortgelijke aan de linkerkant, en we tellen aan de rechterkant. We krijgen:

6x = 6

Wat missen we nu? volledig geluk? Ja, zodat links een schone X blijft! En de zes komt tussenbeide. Hoe er vanaf te komen? Nu beginnen we met de tweede identieke transformatie - we delen beide zijden van de vergelijking door 6. En - voila! Antwoord klaar.)

x = 1

Het voorbeeld is natuurlijk vrij primitief. Tot algemeen idee vangst. Laten we iets wezenlijkers doen. Beschouw bijvoorbeeld de volgende vergelijking:

Laten we het in detail analyseren.) Dit is ook een lineaire vergelijking, hoewel het lijkt alsof er hier breuken zijn. Maar in breuken is er een deling door twee en er is een deling door drie, maar er is geen deling door een uitdrukking met een x! Dus we beslissen. Met dezelfde identieke transformaties, ja.)

Wat gaan we eerst doen? Met X - naar links, zonder X - naar rechts? In principe is het mogelijk en zo. Vlieg naar Sochi via Vladivostok.) Of je neemt de kortste weg, direct via de universele en krachtige methode. Als je de identieke transformaties kent natuurlijk.)

Om te beginnen vraag ik: sleutel vraag: Wat valt je het meest op en wat vind je niet leuk aan deze vergelijking? 99 van de 100 mensen zeggen: breuken! En ze zullen gelijk hebben.) Dus laten we ze eerst kwijtraken. Veilig voor de vergelijking zelf.) Dus laten we meteen beginnen met: tweede identieke transformatie- van vermenigvuldiging. Waarmee moet de linkerkant worden vermenigvuldigd zodat de noemer veilig wordt verkleind? Juist, dubbel. En de rechterkant? Voor drie! Maar... Wiskunde is een grillige dame. Zij, weet je, vereist alleen het vermenigvuldigen van beide delen voor hetzelfde nummer! Vermenigvuldig elk deel met zijn eigen aantal - het werkt niet ... Wat gaan we doen? Iets... Zoek een compromis. Om aan onze wensen te voldoen (breuken weg te werken) en de wiskunde niet te beledigen.) En laten we beide delen met zes vermenigvuldigen!) Dat wil zeggen, door gemeenschappelijke noemer alle breuken in de vergelijking. Dan, in één klap, worden de twee verminderd, en de drie!)

Hier vermenigvuldigen we. De hele linkerkant en de hele rechterkant helemaal! Daarom gebruiken we haakjes. Zo ziet de procedure eruit:

Laten we nu deze haakjes openen:

Nu, vertegenwoordigend 6 als 6/1, vermenigvuldig de zes met elk van de breuken aan de linker- en rechterkant. Dit is de gebruikelijke vermenigvuldiging van breuken, maar het zij zo, ik zal in detail schrijven:

En hier - aandacht! Ik nam de teller (x-3) tussen haakjes! Dit komt allemaal omdat bij het vermenigvuldigen van breuken de teller in zijn geheel, volledig en volledig wordt vermenigvuldigd! En bij de uitdrukking x-3 is het nodig om te werken als met één solide constructie. Maar als je de teller als volgt schrijft:

6x - 3,

Maar we hebben alles goed en we moeten het afmaken. Wat te doen? Haakjes openen in de teller aan de linkerkant? In geen geval! Jij en ik vermenigvuldigden beide delen met 6 om breuken kwijt te raken, en niet om een ​​stoombad te nemen met openingshaakjes. Op de dit stadium wij hebben nodig onze breuken verkleinen. Met een gevoel van diepe tevredenheid verkleinen we alle noemers en krijgen de vergelijking zonder breuken in een liniaal:

3(x-3) + 6x = 30 - 4x

En nu kunnen de resterende haakjes worden geopend:

3x - 9 + 6x = 30 - 4x

De vergelijking wordt alleen maar beter en beter! Nu herinneren we ons weer de eerste identieke transformatie. Met een stenen gezicht herhalen we de spreuk van lagere cijfers: met x - naar links, zonder x - naar rechts. En pas deze transformatie toe:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

We geven links soortgelijke en tellen rechts:

13x = 39

Het blijft om beide delen door 13 te delen. Dat wil zeggen, de tweede transformatie opnieuw toepassen. We delen en krijgen het antwoord:

x = 3

De klus is geklaard. Zoals je kunt zien, in gegeven vergelijking we moesten de eerste transformatie (vertaling van termen) één keer toepassen en de tweede twee keer: aan het begin van de oplossing gebruikten we vermenigvuldiging (met 6) om breuken te verwijderen, en aan het einde van de oplossing gebruikten we delen (door 13) om de coëfficiënt voor x te verwijderen. En de oplossing van elke (ja, elke!) lineaire vergelijking bestaat uit een combinatie van dezelfde transformaties in een of andere reeks. Waar precies te beginnen, hangt af van de specifieke vergelijking. Ergens is het voordeliger om te beginnen met een overdracht, en ergens (zoals in dit voorbeeld) - met vermenigvuldigen (of delen).

Wij werken van eenvoudig tot complex. Overweeg nu frank tin. Met een heleboel breuken en haakjes. En ik zal je vertellen hoe je niet te overspannen.)

Hier is bijvoorbeeld een vergelijking:

We kijken even naar de vergelijking, we zijn geschokt, maar toch komen we bij elkaar! Het grootste probleem is waar te beginnen? U kunt breuken aan de rechterkant toevoegen. U kunt breuken tussen haakjes aftrekken. Je kunt beide delen met iets vermenigvuldigen. Of delen... Dus wat is er nog mogelijk? Antwoord: alles is mogelijk! Wiskunde verbiedt geen van de vermelde acties. En welke reeks acties en transformaties je ook kiest, het antwoord zal altijd hetzelfde zijn - de juiste. Tenzij je natuurlijk bij een bepaalde stap de identiteit van je transformaties niet schendt en daardoor geen fouten maakt ...

En om geen fouten te maken, in zulke mooie voorbeelden als deze, is het altijd het nuttigst om het te evalueren verschijning en denk in gedachten: wat kan er in het voorbeeld worden gedaan zodat maximum in één stap vereenvoudigen?

Hier zijn we aan het gissen. Links staan ​​de zessen in de noemers. Persoonlijk vind ik ze niet mooi, maar ze zijn heel gemakkelijk te verwijderen. Laat me beide kanten van de vergelijking met 6 vermenigvuldigen! Dan worden de zessen aan de linkerkant veilig verkleind, de breuken tussen haakjes gaan nog nergens heen. Nou, niet erg. We zullen ze wat later behandelen.) Maar aan de rechterkant zullen de noemers 2 en 3 afnemen.Het is met deze actie (vermenigvuldiging met 6) dat we maximale vereenvoudigingen in één stap bereiken!

Na vermenigvuldiging wordt onze hele kwade vergelijking als volgt:

Als je niet precies begrijpt hoe deze vergelijking is verlopen, heb je de analyse van het vorige voorbeeld niet goed begrepen. En ik heb het trouwens geprobeerd...

Dus laten we het openen:

Nu zou de meest logische stap zijn om de breuken aan de linkerkant te isoleren en 5x naar de rechterkant te sturen. Tegelijkertijd geven we soortgelijke aan de rechterkant. We krijgen:

Al veel beter. Nu heeft de linkerkant zich voorbereid op vermenigvuldiging. Wat moet met de linkerkant worden vermenigvuldigd, zodat zowel de vijf als de vier onmiddellijk worden verminderd? Op 20! Maar we hebben ook nadelen aan beide kanten van de vergelijking. Daarom is het het handigst om beide zijden van de vergelijking niet met 20 te vermenigvuldigen, maar met -20. Dan verdwijnen in één klap de minnen en de breuken.

Hier vermenigvuldigen we:

Voor degenen die deze stap nog steeds niet begrijpen, betekent dit dat de problemen niet in de vergelijkingen zitten. Problemen staan ​​centraal! We herinneren het ons weer gouden regel uitbreiding van haakjes:

Als het getal wordt vermenigvuldigd met een uitdrukking tussen haakjes, dan moet dit getal achtereenvolgens worden vermenigvuldigd met elke term van deze uitdrukking. Bovendien, als het getal positief is, blijven de tekens van de uitdrukkingen na uitbreiding behouden. Indien negatief, worden ze omgekeerd:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

De minnen verdwenen na vermenigvuldiging van beide delen met -20. En nu vermenigvuldigen we de haakjes met breuken aan de linkerkant met onszelf positief nummer 20. Daarom blijven bij het openen van deze haakjes alle tekens die erin stonden bewaard. Maar waar komen de haakjes in de tellers van breuken vandaan, heb ik in het vorige voorbeeld al uitgebreid uitgelegd.

En nu kun je breuken verkleinen:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

Vouw de resterende haakjes uit. Nogmaals, we openen correct. De eerste haakjes worden vermenigvuldigd met een positief getal 4 en daarom blijven alle tekens behouden wanneer ze worden geopend. Maar de tweede haakjes worden vermenigvuldigd met negatief het getal is -5 en daarom zijn alle tekens omgekeerd:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

Er zijn nog lege plekken. Met x naar links, zonder x naar rechts:

-20x - 15x = 20 - 10 - 12

-35x = -2

Dat is bijna alles. Aan de linkerkant heb je een schone X nodig, en het getal -35 staat in de weg. Dus we delen beide delen door (-35). Ik herinner je eraan dat de tweede identiteitstransformatie ons in staat stelt om beide delen te vermenigvuldigen en te delen door wat dan ook nummer. Inclusief het negatieve.) Al was het maar niet tot nul! Voel je vrij om te delen en het antwoord te krijgen:

X=2/35

Deze keer bleek X fractioneel te zijn. Het is ok. Zo'n voorbeeld.)

Zoals we kunnen zien, is het principe van het oplossen van lineaire vergelijkingen (zelfs de meest verdraaide) vrij eenvoudig: we nemen de oorspronkelijke vergelijking en, door identieke transformaties, vereenvoudigen we deze sequentieel tot aan het antwoord. Met de basis natuurlijk! De belangrijkste problemen hier zijn precies in strijd met de basis (zeg, er staat een min voor de haakjes en ze zijn vergeten de tekens te veranderen bij het openen), evenals in banale rekenkunde. Verwaarloos dus de basis niet! Ze vormen de basis van de rest van de wiskunde!

Enkele trucs bij het oplossen van lineaire vergelijkingen. Of speciale gelegenheden.

Alles zou niets zijn. Maar ... Onder de lineaire vergelijkingen zijn er ook zulke grappige parels die, tijdens het oplossen ervan, ze tot een sterke verdoving kunnen drijven. Zelfs een uitstekende student.)

Hier is bijvoorbeeld een onschuldig ogende vergelijking:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

Breed geeuwen en een beetje verveeld, verzamelen we alle X's aan de linkerkant en alle nummers aan de rechterkant:

7x-4x-3x = 5-2-3

We geven soortgelijke, overwegen en krijgen:

0 = 0

Dat is het! Uitgegeven primerchik focus! Op zich roept deze gelijkheid geen bezwaar op: nul is inderdaad gelijk aan nul. Maar X is weg! Zonder een spoor! En we moeten in het antwoord schrijven, wat is gelijk aan x . Anders wordt de beslissing niet overwogen, ja.) Wat te doen?

Geen paniek! In dergelijke niet-standaard gevallen zijn de meest algemene concepten en principes van de wiskunde. Wat is een vergelijking? Hoe vergelijkingen op te lossen? Wat betekent het om een ​​vergelijking op te lossen?

Een vergelijking oplossen betekent vinden alle waarden van de variabele x, die, wanneer gesubstitueerd in voorletter vergelijking geeft ons de juiste gelijkheid (identiteit)!

Maar we hebben de juiste gelijkheid al gedaan! 0=0, of liever nergens!) Het blijft gissen bij welke x'en we deze gelijkheid krijgen. In wat voor soort x's kan worden gesubstitueerd? voorletter vergelijking als, bij vervanging, ze allemaal nog steeds tot nul krimpen? Ben je er nog niet uit?

Ja natuurlijk! X's kunnen worden vervangen ieder!!! Absoluut geen. Wat je ook wilt, zet ze erin. Minstens 1, minstens -23, minstens 2,7 - wat dan ook! Ze zullen nog steeds worden verminderd en als resultaat zal de pure waarheid blijven. Probeer het, vervang het en ontdek het zelf.)

Hier is je antwoord:

x is een willekeurig getal.

In wetenschappelijke notatie wordt deze gelijkheid als volgt geschreven:

Dit bericht luidt als volgt: "X is een willekeurig reëel getal."

Of in een andere vorm, met tussenpozen:

Regel het zoals je wilt. Dit is het juiste en volledig volledige antwoord!

En nu ga ik slechts één getal in onze oorspronkelijke vergelijking veranderen. Laten we deze vergelijking nu oplossen:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x - 2

We dragen de voorwaarden opnieuw over, tellen en krijgen:

7x - 4x - 3x = 5 - 2 - 2

0 = 1

En wat vind je van deze grap? Er was een gewone lineaire vergelijking, maar er was een onbegrijpelijke gelijkheid

0 = 1…

praten wetenschappelijke taal, wij hebben verkeerde gelijkheid. Maar in het Russisch is het niet waar. onzin. Onzin.) Want nul is niet gelijk aan één!

En nu denken we weer wat voor x bij vervanging in de oorspronkelijke vergelijking ons zal geven juiste gelijkheid? Die? Maar geen! Welke X je ook vervangt, alles zal nog steeds worden verminderd en er zal onzin zijn.)

Hier is het antwoord: geen oplossingen.

In wiskundige notatie wordt zo'n antwoord als volgt opgesteld:

Er staat: "X behoort tot de lege verzameling."

Dergelijke antwoorden in de wiskunde zijn ook heel gewoon: niet altijd heeft een vergelijking in principe wortels. Sommige vergelijkingen hebben misschien helemaal geen wortels. Helemaal niet.

Hier zijn twee verrassingen. Ik hoop dat de plotselinge verdwijning van X's in de vergelijking je niet voor altijd in verwarring zal brengen. De zaak is heel bekend.)

En dan hoor ik een logische vraag: komen ze in de OGE of in de USE? Op het examen, op zichzelf als een taak - nee. Te eenvoudig. Maar in de OGE of in tekstproblemen - gemakkelijk! Dus nu - we trainen en beslissen:

Antwoorden (in wanorde): -2; -een; elk nummer; 2; geen oplossingen; 7/13.

Alles gelukt? Prima! Je hebt goede kansen op het examen.

Past er iets niet? Hmm... Verdriet natuurlijk. Er zijn dus ergens gaten. Ofwel in de basis of identieke transformaties. Of het is een kwestie van banale onoplettendheid. Herlees de les nog eens. Want dit is niet een onderwerp waar men zo gemakkelijk zonder kan in de wiskunde ...

Veel geluk! Ze zal zeker naar je glimlachen, geloof me!)

De lineaire vergelijking is algebraïsche vergelijking, waarvan de totale graad van polynomen gelijk is aan één. Lineaire vergelijkingen oplossen - deel schoolcurriculum, en niet de moeilijkste. Sommigen ondervinden echter nog steeds moeilijkheden bij het doornemen van dit onderwerp. We hopen te lezen gegeven materiaal, zullen alle moeilijkheden voor u in het verleden blijven. Dus laten we het uitzoeken. hoe lineaire vergelijkingen op te lossen.

Algemene vorm

De lineaire vergelijking wordt weergegeven als:

• ax + b = 0, waarbij a en b willekeurige getallen zijn.

Hoewel a en b elk willekeurig getal kunnen zijn, hebben hun waarden invloed op het aantal oplossingen van de vergelijking. Er zijn verschillende speciale gevallen van oplossing:

• Als a=b=0, heeft de vergelijking oneindige reeks beslissingen;
• Als a=0, b≠0, heeft de vergelijking geen oplossing;
• Als a≠0, b=0, heeft de vergelijking een oplossing: x = 0.

In het geval dat beide nummers geen null-waarden, moet de vergelijking worden opgelost om de uiteindelijke uitdrukking voor de variabele af te leiden.

Hoe beslissen?

Het oplossen van een lineaire vergelijking betekent vinden waar een variabele gelijk aan is. Hoe je dat doet? Ja, het is heel eenvoudig - met behulp van eenvoudige algebraïsche bewerkingen en het volgen van de overdrachtsregels. Als de vergelijking in algemene vorm voor je verscheen, heb je geluk, het enige wat je hoeft te doen is:

1. Verplaats b naar de rechterkant van de vergelijking en vergeet niet het teken te veranderen (overdrachtsregel!). Dus, uit een uitdrukking van de vorm ax + b = 0, zou een uitdrukking van de vorm ax = -b moeten worden verkregen.
2. Pas de regel toe: om een ​​van de factoren (x - in ons geval) te vinden, moet je het product (-b in ons geval) delen door een andere factor (a - in ons geval). Er moet dus een uitdrukking van de vorm worden verkregen: x \u003d -b / a.

Dat is alles - de oplossing is gevonden!

Laten we nu naar een specifiek voorbeeld kijken:

1. 2x + 4 = 0 - overdracht b gelijk aan deze zaak 4, rechterkant
2. 2x = -4 - deel b door a (vergeet het minteken niet)
3. x=-4/2=-2

Dat is alles! Onze oplossing: x = -2.

Zoals je kunt zien, is het vinden van een oplossing voor een lineaire vergelijking met één variabele vrij eenvoudig, maar alles is zo eenvoudig als we het geluk hebben om de vergelijking in een algemene vorm te ontmoeten. In de meeste gevallen is het, alvorens de vergelijking in de twee hierboven beschreven stappen op te lossen, ook nodig om de bestaande uitdrukking in een algemene vorm te brengen. Dit is echter ook geen ontmoedigende opgave. Laten we eens kijken naar enkele speciale gevallen met voorbeelden.

Speciale gevallen oplossen

Laten we eerst eens kijken naar de gevallen die we aan het begin van het artikel hebben beschreven en uitleggen wat het betekent om een ​​oneindig aantal oplossingen te hebben en geen oplossing.

• Als a=b=0, ziet de vergelijking er als volgt uit: 0x + 0 = 0. Als we de eerste stap uitvoeren, krijgen we: 0x = 0. Wat betekent deze onzin, roept u uit! Het maakt immers niet uit met welk getal je vermenigvuldigt met nul, je krijgt altijd nul! Rechts! Daarom zeggen ze dat de vergelijking een oneindig aantal oplossingen heeft - welk getal je ook neemt, de gelijkheid zal waar zijn, 0x \u003d 0 of 0 \u003d 0.
• Als a=0, b≠0, ziet de vergelijking er als volgt uit: 0x + 3 = 0. We voeren de eerste stap uit, we krijgen 0x = -3. Weer onzin! Het is duidelijk dat deze gelijkheid nooit waar zal zijn! Daarom zeggen ze dat de vergelijking geen oplossingen heeft.
• Als a≠0, b=0, ziet de vergelijking er als volgt uit: 3x + 0 = 0. Als we de eerste stap nemen, krijgen we: 3x = 0. Wat is de oplossing? Het is gemakkelijk, x = 0.

Moeilijkheden bij het vertalen

De beschreven specifieke gevallen zijn niet het enige waarmee lineaire vergelijkingen ons kunnen verrassen. Soms is de vergelijking op het eerste gezicht over het algemeen moeilijk te identificeren. Laten we een voorbeeld nemen:

• 12x - 14 = 2x + 6

Is dit een lineaire vergelijking? Maar hoe zit het met de nul aan de rechterkant? We zullen niet overhaast conclusies trekken, we zullen handelen - we zullen alle componenten van onze vergelijking overbrengen naar linkerkant. We krijgen:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Nu we like van like aftrekken, krijgen we:

• 10x - 20 = 0

Geleerd? De meest lineaire vergelijking ooit! Wiens oplossing: x = 20/10 = 2.

Wat als we dit voorbeeld hebben:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Ja, dit is ook een lineaire vergelijking, alleen moeten er meer transformaties worden gedaan. Laten we eerst de haakjes uitbreiden:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - voer nu de overdracht uit:
4. 25x - 4 = 0 - het blijft om een ​​oplossing te vinden volgens het reeds bekende schema:
5. 25x=4
6. x = 4/25 = 0,16

Zoals je kunt zien, is alles opgelost, het belangrijkste is niet om je zorgen te maken, maar om te handelen. Onthoud dat als uw vergelijking alleen variabelen van de eerste graad en getallen bevat, dit een lineaire vergelijking is, die, hoe deze er in eerste instantie ook uitziet, kan worden teruggebracht tot een algemene vorm en kan worden opgelost. We hopen dat alles goed komt voor je! Veel geluk!

Stelsels van vergelijkingen worden veel gebruikt in economische industrie Bij wiskundige modellering verschillende processen. Bijvoorbeeld bij het oplossen van problemen met management en productieplanning, logistieke routes ( transporttaak) of plaatsing van apparatuur.

Vergelijkingssystemen worden niet alleen gebruikt op het gebied van wiskunde, maar ook in natuurkunde, scheikunde en biologie, bij het oplossen van problemen met het vinden van de populatieomvang.

Een stelsel lineaire vergelijkingen is een term voor twee of meer vergelijkingen met meerdere variabelen waarvoor een gemeenschappelijke oplossing moet worden gevonden. Zo'n reeks getallen waarvan alle vergelijkingen echte gelijkheden worden of bewijzen dat de reeks niet bestaat.

Lineaire vergelijking

Vergelijkingen van de vorm ax+by=c worden lineair genoemd. De aanduidingen x, y zijn de onbekenden waarvan de waarde moet worden gevonden, b, a zijn de coëfficiënten van de variabelen, c is de vrije term van de vergelijking.
Het oplossen van de vergelijking door de grafiek ervan te plotten, ziet eruit als een rechte lijn, waarvan alle punten de oplossing zijn van een polynoom.

Soorten stelsels lineaire vergelijkingen

De eenvoudigste zijn voorbeelden van stelsels lineaire vergelijkingen met twee variabelen X en Y.

F1(x, y) = 0 en F2(x, y) = 0, waarbij F1,2 functies zijn en (x, y) functievariabelen.

Los een stelsel vergelijkingen op - het betekent om zulke waarden (x, y) te vinden waarvoor het systeem een ​​echte gelijkheid wordt, of om vast te stellen dat er geen geschikte waarden van x en y zijn.

Een paar waarden (x, y), geschreven als puntcoördinaten, wordt een oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen genoemd.

Als de systemen één gemeenschappelijke oplossing hebben of als er geen oplossing is, worden ze equivalent genoemd.

Homogene systemen van lineaire vergelijkingen zijn systemen rechter deel wat gelijk is aan nul. Als het rechterdeel na het "gelijk"-teken een waarde heeft of wordt uitgedrukt door een functie, is zo'n systeem niet homogeen.

Het aantal variabelen kan veel meer zijn dan twee, dan moeten we het hebben over een voorbeeld van een stelsel lineaire vergelijkingen met drie variabelen of meer.

Geconfronteerd met systemen gaan schoolkinderen ervan uit dat het aantal vergelijkingen noodzakelijkerwijs moet samenvallen met het aantal onbekenden, maar dat is niet zo. Het aantal vergelijkingen in het systeem is niet afhankelijk van de variabelen, er kan een willekeurig groot aantal zijn.

Eenvoudige en complexe methoden voor het oplossen van stelsels van vergelijkingen

Er is geen algemene analytische manier om op te lossen vergelijkbare systemen, alle methoden zijn gebaseerd op numerieke oplossingen. BIJ schoolcursus wiskunde, methoden zoals permutatie, algebraïsche optelling, substitutie, evenals grafische en matrix methode:, oplossing volgens de Gauss-methode.

De belangrijkste taak bij het aanleren van oplossingsmethoden is om te leren hoe het systeem correct te analyseren en te vinden optimaal algoritme oplossingen voor elk voorbeeld. Het belangrijkste is niet om voor elke methode een systeem van regels en acties te onthouden, maar om de principes van het toepassen van een bepaalde methode te begrijpen.

Voorbeelden van stelsels van lineaire vergelijkingen van de 7e klasse van het programma oplossen middelbare school vrij eenvoudig en tot in detail uitgelegd. In elk leerboek over wiskunde krijgt dit onderdeel voldoende aandacht. De oplossing van voorbeelden van stelsels van lineaire vergelijkingen volgens de methode van Gauss en Cramer wordt in meer detail bestudeerd in de eerste cursussen van instellingen voor hoger onderwijs.

Oplossing van systemen door de substitutiemethode

De acties van de substitutiemethode zijn gericht op het uitdrukken van de waarde van de ene variabele via de tweede. De uitdrukking wordt in de resterende vergelijking gesubstitueerd en vervolgens teruggebracht tot een enkele variabele. De actie wordt herhaald afhankelijk van het aantal onbekenden in het systeem

Laten we een voorbeeld geven van een stelsel lineaire vergelijkingen van de 7e klasse volgens de substitutiemethode:

Zoals te zien is in het voorbeeld, werd de variabele x uitgedrukt door F(X) = 7 + Y. De resulterende uitdrukking, gesubstitueerd in de 2e vergelijking van het systeem in plaats van X, hielp om één variabele Y in de 2e vergelijking te verkrijgen . Beslissing dit voorbeeld veroorzaakt geen problemen en stelt u in staat om de waarde Y te krijgen. De laatste stap is het controleren van de ontvangen waarden.

Het is niet altijd mogelijk om een ​​voorbeeld van een stelsel lineaire vergelijkingen op te lossen door middel van substitutie. De vergelijkingen kunnen complex zijn en de uitdrukking van de variabele in termen van de tweede onbekende zal te omslachtig zijn voor verdere berekeningen. Wanneer er meer dan 3 onbekenden in het systeem zijn, is de vervangingsoplossing ook onpraktisch.

Oplossing van een voorbeeld van een stelsel lineaire inhomogene vergelijkingen:

Oplossing met behulp van algebraïsche optelling

Bij het zoeken naar een oplossing voor systemen door de optelmethode, term-voor-term optellen en vermenigvuldigen van vergelijkingen met verschillende nummers. Het uiteindelijke doel van wiskundige bewerkingen is een vergelijking met één variabele.

Voor toepassingen deze methode het vergt oefening en observatie. Het is niet eenvoudig om een ​​stelsel lineaire vergelijkingen op te lossen met de optelmethode met het aantal variabelen 3 of meer. Algebraïsche optelling is handig wanneer de vergelijkingen breuken en decimale getallen bevatten.

Algoritme voor oplossingsactie:

1. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met een getal. Als gevolg rekenkundige bewerking een van de coëfficiënten van de variabele moet gelijk worden aan 1.
2. Voeg de resulterende uitdrukking term voor term toe en zoek een van de onbekenden.
3. Vervang de resulterende waarde in de 2e vergelijking van het systeem om de resterende variabele te vinden.

Oplossingsmethode door een nieuwe variabele te introduceren

Een nieuwe variabele kan worden ingevoerd als het systeem een ​​oplossing moet vinden voor niet meer dan twee vergelijkingen, het aantal onbekenden mag ook niet meer dan twee zijn.

De methode wordt gebruikt om een ​​van de vergelijkingen te vereenvoudigen door een nieuwe variabele in te voeren. De nieuwe vergelijking wordt opgelost met betrekking tot de ingevoerde onbekende, en de resulterende waarde wordt gebruikt om de oorspronkelijke variabele te bepalen.

Het voorbeeld laat zien dat door de introductie van een nieuwe variabele t, het mogelijk was om de eerste vergelijking van het systeem tot de standaard te reduceren vierkante trinominaal. Je kunt een polynoom oplossen door de discriminant te vinden.

Het is noodzakelijk om de waarde van de discriminant te vinden door: bekende formule: D = b2 - 4*a*c, waarbij D de gewenste discriminant is, b, a, c de vermenigvuldigers van de polynoom. BIJ gegeven voorbeeld a=1, b=16, c=39, dus D=100. Als de discriminant Boven nul, dan zijn er twee oplossingen: t = -b±√D / 2*a, als de discriminant kleiner is dan nul, dan is er maar één oplossing: x= -b / 2*a.

De oplossing voor de resulterende systemen wordt gevonden door de additiemethode.

Een visuele methode om systemen op te lossen

Geschikt voor systemen met 3 vergelijkingen. De methode is om op voort te bouwen coördinaatas grafieken van elke vergelijking in het systeem. De coördinaten van de snijpunten van de krommen en zullen zijn gemeenschappelijke oplossing: systemen.

De grafische methode kent een aantal nuances. Overweeg verschillende voorbeelden van het visueel oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen.

Zoals uit het voorbeeld blijkt, zijn er voor elke lijn twee punten geconstrueerd, de waarden van de variabele x zijn willekeurig gekozen: 0 en 3. Op basis van de waarden van x werden de waarden voor y gevonden: 3 en 0. Punten met coördinaten (0, 3) en (3, 0) werden gemarkeerd op de grafiek en verbonden door een lijn.

De stappen moeten worden herhaald voor de tweede vergelijking. Het snijpunt van de lijnen is de oplossing van het stelsel.

Het volgende voorbeeld moet vinden grafische oplossing stelsels lineaire vergelijkingen: 0,5x-y+2=0 en 0,5x-y-1=0.

Zoals uit het voorbeeld blijkt, heeft het systeem geen oplossing, omdat de grafieken evenwijdig zijn en elkaar niet over hun gehele lengte snijden.

De systemen uit voorbeelden 2 en 3 zijn vergelijkbaar, maar wanneer ze worden geconstrueerd, wordt het duidelijk dat hun oplossingen verschillend zijn. Houd er rekening mee dat het niet altijd mogelijk is om te zeggen of het systeem een ​​oplossing heeft of niet, het is altijd nodig om een ​​grafiek te bouwen.

Matrix en zijn variëteiten

Matrices worden gebruikt voor: afkorting stelsels lineaire vergelijkingen. Een tabel wordt een matrix genoemd. speciale soort gevuld met cijfers. n*m heeft n - rijen en m - kolommen.

Een matrix is ​​vierkant als het aantal kolommen en rijen gelijk is. Een matrix - een vector is een matrix van één kolom met oneindig mogelijk aantal lijnen. Een matrix met eenheden langs een van de diagonalen en andere nulelementen wordt identiteit genoemd.

Een inverse matrix is ​​​​zo'n matrix, wanneer vermenigvuldigd waarmee de oorspronkelijke in een eenheid verandert, bestaat zo'n matrix alleen voor de oorspronkelijke vierkante.

Regels voor het transformeren van een stelsel vergelijkingen in een matrix

Met betrekking tot stelsels van vergelijkingen worden de coëfficiënten en vrije leden van de vergelijkingen geschreven als getallen van de matrix, één vergelijking is één rij van de matrix.

Een matrixrij wordt niet-nul genoemd als ten minste één element van de rij niet gelijk is aan nul. Daarom, als in een van de vergelijkingen het aantal variabelen verschilt, is het noodzakelijk om nul in te voeren in plaats van de ontbrekende onbekende.

De kolommen van de matrix moeten strikt overeenkomen met de variabelen. Dit betekent dat de coëfficiënten van de variabele x alleen in één kolom kunnen worden geschreven, bijvoorbeeld de eerste, de coëfficiënt van de onbekende y - alleen in de tweede.

Bij het vermenigvuldigen van een matrix worden alle matrixelementen sequentieel vermenigvuldigd met een getal.

Opties voor het vinden van de inverse matrix

De formule voor het vinden van de inverse matrix is ​​vrij eenvoudig: K -1 = 1 / |K|, waarbij K -1 - inverse matrix, en |K| - matrixdeterminant. |K| mag niet gelijk zijn aan nul, dan heeft het systeem een ​​oplossing.

De determinant is eenvoudig te berekenen voor een twee-bij-twee matrix, het is alleen nodig om de elementen diagonaal met elkaar te vermenigvuldigen. Voor de optie "drie bij drie" is er een formule |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . U kunt de formule gebruiken, of u kunt onthouden dat u uit elke rij en elke kolom één element moet nemen, zodat de kolom- en rijnummers van de elementen niet in het product worden herhaald.

Oplossing van voorbeelden van stelsels lineaire vergelijkingen door de matrixmethode

De matrixmethode voor het vinden van een oplossing maakt het mogelijk om omslachtige notaties te verminderen bij het oplossen van systemen met: grote hoeveelheid variabelen en vergelijkingen.

In het voorbeeld zijn a nm de coëfficiënten van de vergelijkingen, de matrix een vector x n zijn de variabelen, en b n zijn de vrije termen.

Oplossing van systemen volgens de Gauss-methode

BIJ hogere wiskunde de Gauss-methode wordt samen met de Cramer-methode bestudeerd en het proces van het vinden van een oplossing voor systemen wordt de Gauss-Cramer-oplossingsmethode genoemd. Deze methoden worden gebruikt om systeemvariabelen met veel lineaire vergelijkingen.

De Gauss-methode lijkt erg op oplossingen met substituties en algebraïsche optelling maar systematischer. In de schoolcursus wordt de Gauss-oplossing gebruikt voor stelsels van 3 en 4 vergelijkingen. Het doel van de methode is om het systeem in de vorm van een omgekeerd trapezium te brengen. Door algebraïsche transformaties en substituties wordt de waarde van één variabele gevonden in een van de vergelijkingen van het systeem. De tweede vergelijking is een uitdrukking met 2 onbekenden, en 3 en 4 - met respectievelijk 3 en 4 variabelen.

Nadat het systeem in de beschreven vorm is gebracht, wordt de verdere oplossing teruggebracht tot de sequentiële vervanging van bekende variabelen in de vergelijkingen van het systeem.

In schoolboeken voor groep 7 wordt een voorbeeld van een Gauss-oplossing als volgt beschreven:

Zoals uit het voorbeeld blijkt, werden bij stap (3) twee vergelijkingen verkregen 3x 3 -2x 4 =11 en 3x 3 +2x 4 =7. Door een van de vergelijkingen op te lossen, kun je een van de variabelen x n vinden.

Stelling 5, die in de tekst wordt genoemd, zegt dat als een van de vergelijkingen van het systeem wordt vervangen door een equivalente, het resulterende systeem ook gelijk zal zijn aan het oorspronkelijke.

De Gauss-methode is voor studenten moeilijk te begrijpen middelbare school, maar is een van de meest interessante manieren om de vindingrijkheid van kinderen die deelnemen aan het programma te ontwikkelen diepgaande studie in de lessen wiskunde en natuurkunde.

Om het vastleggen van berekeningen te vergemakkelijken, is het gebruikelijk om het volgende te doen:

Vergelijkingscoëfficiënten en vrije termen worden geschreven in de vorm van een matrix, waarbij elke rij van de matrix overeenkomt met een van de vergelijkingen van het systeem. scheidt de linkerkant van de vergelijking van de rechterkant. Romeinse cijfers geven het aantal vergelijkingen in het systeem aan.

Eerst schrijven ze de matrix op waarmee ze moeten werken en vervolgens alle acties die met een van de rijen zijn uitgevoerd. De resulterende matrix wordt geschreven na het "pijl" -teken en blijft de nodige algebraïsche bewerkingen uitvoeren totdat het resultaat is bereikt.

Als resultaat moet een matrix worden verkregen waarin een van de diagonalen 1 is en alle andere coëfficiënten gelijk zijn aan nul, dat wil zeggen dat de matrix wordt teruggebracht tot een enkele vorm. We mogen niet vergeten berekeningen te maken met de getallen van beide kanten van de vergelijking.

Deze notatie is minder omslachtig en zorgt ervoor dat u niet wordt afgeleid door het opsommen van talloze onbekenden.

De gratis toepassing van elke oplossingsmethode vereist zorgvuldigheid en een zekere hoeveelheid ervaring. Niet alle methoden worden toegepast. Sommige manieren om oplossingen te vinden hebben meer de voorkeur op een bepaald gebied van menselijke activiteit, terwijl andere er zijn om te leren.