Oplossing van eenvoudige lineaire vergelijkingen. Meer complexe voorbeelden van vergelijkingen

Een vergelijking is een wiskundige uitdrukking die een vergelijking is die een onbekende bevat. Als de gelijkheid waar is voor alle toelaatbare waarden van de onbekenden die erin zijn opgenomen, dan wordt het een identiteit genoemd; bijvoorbeeld: een relatie als (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) geldt voor alle waarden van x.

Als een vergelijking met een onbekende x alleen geldt voor bepaalde waarden van x, en niet voor alle waarden van x, zoals in het geval van een identiteit, dan kan het nuttig zijn om die waarden van x te bepalen waarvoor de vergelijking is geldig. Dergelijke waarden van x worden wortels of oplossingen van de vergelijking genoemd. Het getal 5 is bijvoorbeeld de wortel van de vergelijking 2x + 7= 17.

In de tak van de wiskunde die de theorie van vergelijkingen wordt genoemd, is het belangrijkste onderwerp van studie de methoden voor het oplossen van vergelijkingen. BIJ schoolcursus algebravergelijkingen krijgen veel aandacht.

De geschiedenis van de studie van vergelijkingen gaat vele eeuwen terug. De beroemdste wiskundigen die hebben bijgedragen aan de ontwikkeling van de theorie van vergelijkingen waren:

Archimedes (circa 287-212 v.Chr.) - Oude Griekse wetenschapper, wiskundige en monteur. Bij de studie van één probleem, wat terugloopt tot kubieke vergelijking, ontdekte Archimedes de rol van het kenmerk, dat later bekend werd als de discriminant.

François Viet leefde in de 16e eeuw. Hij heeft een geweldige bijdrage geleverd aan de studie verschillende problemen wiskunde. Hij introduceerde met name de letterlijke notatie voor de coëfficiënten van een vergelijking en legde een verband tussen de wortels van een kwadratische vergelijking.

Leonhard Euler (1707 - 1783) - wiskundige, monteur, natuurkundige en astronoom. De auteur van st. 800 artikelen over wiskundige analyse, differentiaalvergelijkingen, meetkunde, getaltheorie, benaderende berekeningen, hemelmechanica, wiskunde, optica, ballistiek, scheepsbouw, muziektheorie, enz. Hij had een aanzienlijke invloed op de ontwikkeling van de wetenschap. Hij leidde formules (Euler-formules) af die trigonometrische functies variabele x via een exponentiële functie.

Lagrange Joseph Louis (1736 - 1813), Franse wiskundige en monteur. Hij bezit uitmuntend onderzoek, waaronder onderzoek naar algebra (de symmetrische functie van de wortels van een vergelijking, naar differentiaalvergelijkingen (de theorie van singuliere oplossingen, de methode van variatie van constanten).

J. Lagrange en A. Vandermonde - Franse wiskundigen. In 1771 werd voor het eerst de methode voor het oplossen van stelsels van vergelijkingen (de substitutiemethode) gebruikt.

Gauss Karl Friedrich (1777-1855) - Duitse wiskundige. Schreef een boek dat de theorie van cirkeldelingsvergelijkingen schetst (d.w.z. vergelijkingen xn - 1 = 0), dat in veel opzichten een prototype was van de Galois-theorie. Losstaand van veelgebruikte methoden het oplossen van deze vergelijkingen, legde een verband tussen hen en de constructie van regelmatige veelhoeken. Hij maakte, voor het eerst na de oude Griekse wetenschappers, een belangrijke stap voorwaarts in deze kwestie, namelijk: hij vond al die waarden van n waarvoor regelmatige n-gon kan worden gebouwd met een kompas en een liniaal. Heb geleerd hoe je moet toevoegen. Hij concludeerde dat stelsels van vergelijkingen onderling kunnen worden opgeteld, gedeeld en vermenigvuldigd.

O. I. Somov - verrijkte verschillende delen van de wiskunde met belangrijke en talrijke werken, waaronder de theorie van bepaalde algebraïsche vergelijkingen hogere graden.

Galois Evariste (1811-1832), Franse wiskundige. Zijn belangrijkste verdienste is de formulering van een reeks ideeën, waartoe hij kwam in verband met de voortzetting van het onderzoek naar de oplosbaarheid van algebraïsche vergelijkingen, begonnen door J. Lagrange, N. Abel en anderen, en creëerde de theorie van algebraïsche vergelijkingen van hogere graden met een onbekende.

A. V. Pogorelov (1919 - 1981) - In zijn werk worden geometrische methoden geassocieerd met analytische methodes theorie van differentiaalvergelijkingen met partiële afgeleiden. Zijn werk had ook een belangrijke invloed op de theorie van niet-lineaire differentiaalvergelijkingen.

P. Ruffini - Italiaanse wiskundige. Hij wijdde een aantal werken aan het bewijs van de onoplosbaarheid van de vergelijking van de 5e graad, maakt systematisch gebruik van de geslotenheid van de reeks substituties.

Ondanks het feit dat wetenschappers al heel lang vergelijkingen bestuderen, weet de wetenschap niet hoe en wanneer mensen de behoefte kregen om vergelijkingen te gebruiken. Het is alleen bekend dat problemen die leiden tot de oplossing van de eenvoudigste vergelijkingen door mensen zijn opgelost sinds de tijd dat ze mensen werden. Nog 3 - 4 duizend jaar voor Christus. e. de Egyptenaren en Babyloniërs wisten hoe ze vergelijkingen moesten oplossen. De regel voor het oplossen van deze vergelijkingen valt samen met de moderne, maar het is niet bekend hoe ze op dit punt zijn gekomen.

BIJ Het oude Egypte en Babylon, werd de valse-positiemethode gebruikt. Een vergelijking van de eerste graad met één onbekende is altijd te herleiden tot de vorm ax + b = c, waarin a, b, c gehele getallen zijn. Volgens de regels rekenkundige bewerkingen bijl \u003d c - b,

Als b > c, dan is c b een negatief getal. Negatieve getallen waren onbekend bij de Egyptenaren en vele andere latere volkeren (op gelijke voet met positieve getallen ze werden pas in de zeventiende eeuw in de wiskunde gebruikt). Om de problemen op te lossen die we nu oplossen met vergelijkingen van de eerste graad, werd de valse-positiemethode uitgevonden. In de papyrus van Ahmes worden met deze methode 15 problemen opgelost. De Egyptenaren hadden een speciaal teken om aan te duiden onbekend nummer, die tot voor kort werd gelezen als "hoe" en vertaald met het woord "hoop" ("hoop" of "onbekend aantal" eenheden). Nu lezen ze iets minder onnauwkeurig: "aha." De oplossingsmethode die door Ahmes wordt gebruikt, wordt de methode van één valse positie genoemd. Met deze methode worden vergelijkingen van de vorm ax = b opgelost. Deze methode bestaat uit het delen van elke zijde van de vergelijking door a. Het werd zowel door de Egyptenaren als de Babyloniërs gebruikt. Bij verschillende volkeren de methode van twee valse posities werd gebruikt. De Arabieren hebben deze methode gemechaniseerd en de vorm verkregen waarin ze in de leerboeken van Europese volkeren terechtkwam, waaronder Magnitsky's Rekenkunde. Magnitsky noemt de methode om de "valse regel" op te lossen en schrijft in het deel van zijn boek dat deze methode uiteenzet:

Zelo bo sluw is dit deel, alsof je er alles mee kunt doen. Niet alleen wat in burgerschap is, Maar ook de hogere wetenschappen in de ruimte, Zelfs in de sfeer van de hemel worden vermeld, Zoals de wijzen is er behoefte.

De inhoud van Magnitsky's gedichten kan als volgt worden samengevat: dit deel van rekenen is erg lastig. Met zijn hulp kun je niet alleen berekenen wat nodig is in de dagelijkse praktijk, maar het lost ook de "hogere" vragen op waarmee de "wijzen" worden geconfronteerd. Magnitsky gebruikt een 'valse regel' in de vorm die de Arabieren eraan hebben gegeven, en noemde het de 'rekenkunde van twee fouten' of de 'methode van gewichten'. Indiase wiskundigen gaven vaak problemen in verzen. Lotus-uitdaging:

Boven het stille meer, een halve maat boven het water, was de lotuskleur zichtbaar. Hij groeide alleen op, en de wind in een golf dreef hem opzij, en niet langer...

Bloemen boven het water. Vond zijn vissersoog Twee maten van waar hij opgroeide. Hoeveel meren hier is het water diep? Ik zal je een vraag stellen.

Soorten vergelijkingen

Lineaire vergelijkingen

Lineaire vergelijkingen zijn vergelijkingen van de vorm: ax + b = 0, waarbij a en b enkele constanten zijn. Als a niet gelijk is aan nul, heeft de vergelijking één enkele wortel: x \u003d - b: a (ax + b; ax \u003d - b; x \u003d - b: a.).

Bijvoorbeeld: los een lineaire vergelijking op: 4x + 12 = 0.

Oplossing: T. naar a \u003d 4, en b \u003d 12, dan x \u003d - 12: 4; x = - 3.

Controle: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.

Aangezien k 0 = 0, dan is -3 de wortel van de oorspronkelijke vergelijking.

Antwoorden. x = -3

Als a nul is en b nul, dan is de wortel van de vergelijking ax + b = 0 een willekeurig getal.

Bijvoorbeeld:

0 = 0. Aangezien 0 0 is, is de wortel van de vergelijking 0x + 0 = 0 een willekeurig getal.

Als a nul is en b niet nul, dan heeft de vergelijking ax + b = 0 geen wortels.

Bijvoorbeeld:

0 \u003d 6. Aangezien 0 niet gelijk is aan 6, heeft 0x - 6 \u003d 0 geen wortels.

Stelsels lineaire vergelijkingen.

Een stelsel lineaire vergelijkingen is een stelsel waarin alle vergelijkingen lineair zijn.

Een systeem oplossen betekent al zijn oplossingen vinden.

Voordat u een stelsel lineaire vergelijkingen oplost, kunt u het aantal oplossingen bepalen.

Laat het stelsel vergelijkingen worden gegeven: (а1х + b1y = с1, (а2х + b2y = c2.

Als a1 gedeeld door a2 niet gelijk is aan b1 gedeeld door b2, dan heeft het systeem één unieke oplossing.

Als a1 gedeeld door a2 gelijk is aan b1 gedeeld door b2, maar gelijk aan c1 gedeeld door c2, dan heeft het systeem geen oplossingen.

Als a1 gedeeld door a2 gelijk is aan b1 gedeeld door b2 en gelijk is aan c1 gedeeld door c2, dan heeft het systeem oneindig veel oplossingen.

Een stelsel vergelijkingen dat ten minste één oplossing heeft, wordt compatibel genoemd.

Een gezamenlijk systeem wordt definitief genoemd als het: eindig getal oplossingen, en onbepaald als de verzameling van zijn oplossingen oneindig is.

Een systeem dat geen enkele oplossing heeft, wordt inconsistent of inconsistent genoemd.

Manieren om lineaire vergelijkingen op te lossen

Er zijn verschillende manieren om lineaire vergelijkingen op te lossen:

1) Selectiemethode. Dit is het meeste eenvoudigste manier. Het bestaat uit het feit dat ze alles selecteren toegestane waarden bij optelling onbekend.

Bijvoorbeeld:

Los De vergelijking op.

Laat x = 1. Dan

4 = 6. Aangezien 4 niet gelijk is aan 6, was onze aanname dat x = 1 onjuist.

Laat x = 2.

6 = 6. Aangezien 6 gelijk is aan 6, was onze aanname dat x = 2 correct.

Antwoord: x = 2.

2) Manier om te vereenvoudigen

Deze methode ligt in het feit dat alle leden die het onbekende bevatten naar de linkerkant worden overgebracht en naar de rechterkant worden bekend met tegengesteld teken, geef soortgelijke en deel beide zijden van de vergelijking door de coëfficiënt van de onbekende.

Bijvoorbeeld:

Los De vergelijking op.

5x - 4 \u003d 11 + 2x;

5x - 2x \u003d 11 + 4;

3x = 15; : (3) x = 5.

Antwoorden. x = 5.

3) Grafische manier.

Het bestaat uit het feit dat een grafiek van functies wordt gebouwd gegeven vergelijking. Omdat in de lineaire vergelijking y \u003d 0 de grafiek evenwijdig is aan de y-as. Het snijpunt van de grafiek met de x-as is de oplossing van deze vergelijking.

Bijvoorbeeld:

Los De vergelijking op.

Zij y = 7. Dan is y = 2x + 3.

Laten we een grafiek maken van de functies van beide vergelijkingen:

Manieren om stelsels lineaire vergelijkingen op te lossen

In de zevende klas worden drie manieren bestudeerd om stelsels van vergelijkingen op te lossen:

1) Vervangingsmethode.

Deze methode bestaat uit het feit dat in een van de vergelijkingen de ene onbekende wordt uitgedrukt in termen van een andere. De resulterende uitdrukking wordt gesubstitueerd in een andere vergelijking, die vervolgens verandert in een vergelijking met één onbekende, en vervolgens wordt deze opgelost. De resulterende waarde van deze onbekende wordt gesubstitueerd in een vergelijking van het oorspronkelijke systeem en de waarde van de tweede onbekende wordt gevonden.

Bijvoorbeeld.

Los het stelsel vergelijkingen op.

5x - 2j - 2 = 1.

3x + y = 4; y \u003d 4 - 3x.

Vervang de resulterende uitdrukking in een andere vergelijking:

5x - 2 (4 - 3x) -2 \u003d 1;

5x - 8 + 6x \u003d 1 + 2;

11x = 11; : (11) x = 1.

Vervang de resulterende waarde in de vergelijking 3x + y \u003d 4.

3 1 + y = 4;

3 + y = 4; y \u003d 4 - 3; y = 1.

Inspectie.

/3 1 + 1 = 4,

\5 1 - 2 1 - 2 = 1;

Antwoord: x = 1; y = 1.

2) Methode van toevoeging.

Deze methode is dat als dit systeem bestaat uit vergelijkingen die, wanneer ze term voor term worden toegevoegd, een vergelijking vormen met één onbekende, en door deze vergelijking op te lossen, krijgen we de waarde van een van de onbekenden. De resulterende waarde van deze onbekende wordt gesubstitueerd in een vergelijking van het oorspronkelijke systeem en de waarde van de tweede onbekende wordt gevonden.

Bijvoorbeeld:

Los het stelsel vergelijkingen op.

/ 3j - 2x \u003d 5,

\5x - 3j \u003d 4.

Laten we de resulterende vergelijking oplossen.

3x = 9; : (3) x = 3.

Laten we de verkregen waarde vervangen door de vergelijking 3y - 2x = 5.

3j - 2 3 = 5;

3j = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.

Dus x = 3; y = 3 2/3.

Inspectie.

/3 11/3 - 2 3 = 5,

\5 3 - 3 11/ 3 = 4;

Antwoorden. x = 3; y = 3 2/3

3) Grafische manier.

Deze methode is gebaseerd op het feit dat grafieken van vergelijkingen in één coördinatensysteem worden uitgezet. Als de grafieken van de vergelijking elkaar snijden, dan zijn de coördinaten van het snijpunt de oplossing van dit stelsel. Als de grafieken van een vergelijking evenwijdige lijnen zijn, dan heeft het gegeven systeem geen oplossingen. Als de grafieken van de vergelijkingen samenvloeien tot één rechte lijn, dan heeft het systeem oneindig veel oplossingen.

Bijvoorbeeld.

Los het stelsel vergelijkingen op.

18x + 3j - 1 = 8.

2x - y \u003d 5; 18x + 3j - 1 = 8;

Y \u003d 5 - 2x; 3j \u003d 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.

We construeren grafieken van functies y \u003d 2x - 5 en y \u003d 3 - 6x op hetzelfde coördinatensysteem.

De grafieken van de functies y \u003d 2x - 5 en y \u003d 3 - 6x snijden elkaar in punt A (1; -3).

Daarom is de oplossing van dit stelsel van vergelijkingen x = 1 en y = -3.

Inspectie.

2 1 - (- 3) = 5,

18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.

18 - 9 – 1 = 8;

Antwoorden. x = 1; y = -3.

Conclusie

Op basis van al het bovenstaande kunnen we concluderen dat vergelijkingen nodig zijn in moderne wereld niet alleen voor het oplossen van praktische problemen, maar ook als wetenschappelijk hulpmiddel. Daarom hebben zoveel wetenschappers dit probleem bestudeerd en blijven ze studeren.

De vergelijking die vertegenwoordigt vierkante trinominaal, wordt gewoonlijk een kwadratische vergelijking genoemd. Vanuit het oogpunt van algebra wordt het beschreven door de formule a*x^2+b*x+c=0. In deze formule is x de onbekende die gevonden moet worden (dit wordt de vrije variabele genoemd); a, b en c zijn numerieke coëfficiënten. Er zijn een aantal beperkingen op de componenten van deze: de coëfficiënt a mag bijvoorbeeld niet gelijk zijn aan 0.

De vergelijking oplossen: het concept van de discriminant

De waarde van de onbekende x, waarbij kwadratische vergelijking verandert in een echte gelijkheid, wordt de wortel van een dergelijke vergelijking genoemd. Om een ​​kwadratische vergelijking op te lossen, moet je eerst de waarde van een speciale coëfficiënt vinden - de discriminant, die het aantal wortels van de beschouwde gelijkheid laat zien. De discriminant wordt berekend met de formule D=b^2-4ac. Het resultaat van de berekening kan positief, negatief of gelijk aan nul zijn.

In dit geval moet er rekening mee worden gehouden dat het concept vereist dat alleen de coëfficiënt a strikt verschilt van 0. Daarom kan de coëfficiënt b gelijk zijn aan 0, en de vergelijking zelf is in dit geval a*x^2+ c=0. In een dergelijke situatie moet de coëfficiëntwaarde gelijk aan 0 worden gebruikt in de formules voor het berekenen van de discriminant en wortels. Dus de discriminant wordt in dit geval berekend als D=-4ac.

Oplossing van de vergelijking met een positieve discriminant

Als de discriminant van de kwadratische vergelijking positief blijkt te zijn, kunnen we hieruit concluderen dat deze gelijkheid twee wortels heeft. Deze wortels kunnen worden berekend met de volgende formule: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-b±√D)/2a. Dus, om de waarde van de wortels van de kwadratische vergelijking te berekenen voor positieve waarde discriminant gebruikt bekende waarden coëfficiënten beschikbaar in . Dankzij het gebruik van de som en het verschil in de formule voor het berekenen van de wortels, zal het resultaat van de berekeningen twee waarden zijn die de betreffende gelijkheid in de juiste veranderen.

Oplossing van de vergelijking met nul en negatieve discriminant

Als de discriminant van de kwadratische vergelijking gelijk aan 0 blijkt te zijn, kunnen we concluderen dat zei vergelijking heeft één wortel. Strikt genomen heeft de vergelijking in deze situatie nog steeds twee wortels, maar vanwege de nuldiscriminant zullen ze gelijk zijn aan elkaar. In dit geval x=-b/2a. Als in de loop van berekeningen de waarde van de discriminant negatief blijkt te zijn, moet worden geconcludeerd dat de beschouwde kwadratische vergelijking geen wortels heeft, dat wil zeggen dergelijke waarden van x waarbij deze in een echte gelijkheid verandert.

En zo verder, het is logisch om kennis te maken met vergelijkingen van andere typen. Volgende in de rij zijn lineaire vergelijkingen, waarvan de doelgerichte studie begint in algebralessen in klas 7.

Het is duidelijk dat je eerst moet uitleggen wat een lineaire vergelijking is, een definitie van een lineaire vergelijking moet geven, de coëfficiënten ervan, het moet laten zien algemene vorm. Dan kun je uitzoeken hoeveel oplossingen een lineaire vergelijking heeft, afhankelijk van de waarden van de coëfficiënten, en hoe de wortels worden gevonden. Hierdoor kunt u doorgaan met het oplossen van voorbeelden en daarmee de bestudeerde theorie consolideren. In dit artikel zullen we dit doen: we zullen in detail stilstaan ​​​​bij alle theoretische en praktische punten met betrekking tot lineaire vergelijkingen en hun oplossing.

Laten we meteen zeggen dat we hier alleen lineaire vergelijkingen met één variabele zullen beschouwen, en in een apart artikel zullen we de principes van het oplossen bestuderen lineaire vergelijkingen in twee variabelen.

Paginanavigatie.

Wat is een lineaire vergelijking?

De definitie van een lineaire vergelijking wordt gegeven door de vorm van de notatie. Bovendien hebben de formuleringen van de definities van lineaire vergelijkingen in verschillende leerboeken over wiskunde en algebra enkele verschillen die de essentie van het probleem niet beïnvloeden.

In een algebra-leerboek voor klas 7 door Yu. N. Makarycheva en anderen, wordt een lineaire vergelijking bijvoorbeeld als volgt gedefinieerd:

Definitie.

Typ vergelijking ax=b, waarbij x een variabele is, a en b enkele getallen zijn, heet lineaire vergelijking met één variabele.

Laten we voorbeelden geven van lineaire vergelijkingen die overeenkomen met de stemdefinitie. Bijvoorbeeld, 5 x=10 is een lineaire vergelijking met één variabele x , hier is de coëfficiënt a 5 , en het getal b is 10 . Nog een voorbeeld: −2.3 y=0 is ook een lineaire vergelijking, maar met de variabele y , waarbij a=−2.3 en b=0 . En in de lineaire vergelijkingen zijn x=−2 en −x=3.33 a niet expliciet aanwezig en zijn respectievelijk gelijk aan 1 en −1, terwijl in de eerste vergelijking b=−2 en in de tweede - b=3.33 .

En een jaar eerder, in het leerboek wiskunde van N. Ya Vilenkin, werden lineaire vergelijkingen met één onbekende, naast vergelijkingen van de vorm a x = b, ook beschouwd als vergelijkingen die tot deze vorm kunnen worden teruggebracht door termen van één deel van de vergelijking naar een ander met het tegenovergestelde teken, evenals door soortgelijke termen te verminderen. Volgens deze definitie kunnen vergelijkingen van de vorm 5 x=2 x+6, enz. zijn ook lineair.

Op zijn beurt wordt de volgende definitie gegeven in het algebra-leerboek voor 7 klassen door A. G. Mordkovich:

Definitie.

Lineaire vergelijking met één variabele x is een vergelijking van de vorm a x+b=0 , waarbij a en b enkele getallen zijn, de coëfficiënten van de lineaire vergelijking genoemd.

Dergelijke lineaire vergelijkingen zijn bijvoorbeeld 2 x−12=0, hier is de coëfficiënt a gelijk aan 2, en b is gelijk aan -12, en 0,2 y+4,6=0 met coëfficiënten a=0,2 en b =4,6. Maar tegelijkertijd zijn er voorbeelden van lineaire vergelijkingen die niet de vorm hebben a x+b=0 , maar a x=b , bijvoorbeeld 3 x=12 .

Laten we, zodat we in de toekomst geen discrepanties hebben, onder een lineaire vergelijking met één variabele x en coëfficiënten a en b een vergelijking van de vorm a x+b=0 begrijpen. Dit type lineaire vergelijking lijkt het meest gerechtvaardigd, aangezien lineaire vergelijkingen zijn algebraïsche vergelijkingen eerste graad. En alle andere vergelijkingen hierboven, evenals vergelijkingen die, met behulp van equivalente transformaties worden teruggebracht tot de vorm a x+b=0 , noemen we vergelijkingen reduceren tot lineaire vergelijkingen. Met deze benadering is de vergelijking 2 x+6=0 een lineaire vergelijking, en 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12, enz. zijn lineaire vergelijkingen.

Hoe lineaire vergelijkingen op te lossen?

Nu is het tijd om uit te zoeken hoe de lineaire vergelijkingen a x+b=0 worden opgelost. Met andere woorden, het is tijd om uit te zoeken of de lineaire vergelijking wortels heeft, en zo ja, hoeveel en hoe ze te vinden.

De aanwezigheid van wortels van een lineaire vergelijking hangt af van de waarden van de coëfficiënten a en b. In dit geval heeft de lineaire vergelijking a x+b=0

• de enige wortel op a≠0 ,
• heeft geen wortels voor a=0 en b≠0 ,
• heeft oneindig veel wortels voor a=0 en b=0 , in welk geval elk getal een wortel is van een lineaire vergelijking.

Laten we uitleggen hoe deze resultaten zijn verkregen.

We weten dat om vergelijkingen op te lossen, het mogelijk is om van de oorspronkelijke vergelijking naar equivalente vergelijkingen te gaan, dat wil zeggen naar vergelijkingen met dezelfde wortels of, zoals de originele, zonder wortels. Om dit te doen, kunt u de volgende equivalente transformaties gebruiken:

• overdracht van een term van het ene deel van de vergelijking naar het andere met het tegenovergestelde teken,
• en ook door beide zijden van de vergelijking te vermenigvuldigen of te delen door hetzelfde getal dat niet nul is.

Dus, in een lineaire vergelijking met één type variabele a x+b=0 we kunnen de term b van de linkerkant verplaatsen naar rechter zijde met het tegenovergestelde teken. In dit geval heeft de vergelijking de vorm a x=−b.

En dan suggereert de deling van beide delen van de vergelijking door het getal a zichzelf. Maar er is één ding: het getal a kan gelijk zijn aan nul, in welk geval een dergelijke deling onmogelijk is. Om dit probleem op te lossen, zullen we eerst aannemen dat het getal a anders is dan nul, en wat later het geval van nul a afzonderlijk beschouwen.

Dus als a niet gelijk is aan nul, dan kunnen we beide delen van de vergelijking a x=−b delen door a , daarna wordt het omgezet in de vorm x=(−b):a , dit resultaat kan worden geschreven met a ononderbroken lijn als .

Dus voor a≠0 is de lineaire vergelijking a·x+b=0 gelijk aan de vergelijking , waarvan de wortel zichtbaar is.

Het is gemakkelijk aan te tonen dat deze wortel uniek is, dat wil zeggen dat de lineaire vergelijking geen andere wortels heeft. Dit stelt u in staat om de tegenovergestelde methode te doen.

Laten we de wortel aanduiden als x 1 . Stel dat er nog een wortel is van de lineaire vergelijking, die we x 2 aangeven, en x 2 ≠ x 1, die, vanwege definities gelijke aantallen door het verschil is gelijk aan de voorwaarde x 1 x 2 ≠0 . Aangezien x 1 en x 2 de wortels zijn van de lineaire vergelijking a x+b=0, vinden de numerieke gelijkheden a x 1 +b=0 en a x 2 +b=0 plaats. We kunnen de corresponderende delen van deze gelijkheden aftrekken, wat de eigenschappen van numerieke gelijkheden ons toelaten, we hebben a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , vandaar a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 en dan a (x 1 − x 2)=0 . En deze gelijkheid is onmogelijk, aangezien zowel a≠0 als x 1 − x 2 ≠0. We zijn dus tot een contradictie gekomen, die de uniciteit van de wortel van de lineaire vergelijking a·x+b=0 voor a≠0 bewijst.

We hebben dus de lineaire vergelijking a x+b=0 opgelost met a≠0 . Het eerste resultaat dat aan het begin van deze paragraaf is gegeven, is gerechtvaardigd. Er zijn er nog twee die voldoen aan de voorwaarde a=0 .

Voor a=0 wordt de lineaire vergelijking a·x+b=0 0·x+b=0 . Uit deze vergelijking en de eigenschap van het vermenigvuldigen van getallen met nul, volgt dat ongeacht welk getal we als x nemen, wanneer we het in de vergelijking 0 x+b=0 substitueren, we de numerieke gelijkheid b=0 krijgen. Deze gelijkheid is waar wanneer b=0 , en in andere gevallen wanneer b≠0 is deze gelijkheid onwaar.

Daarom is voor a=0 en b=0 elk getal de wortel van de lineaire vergelijking a x+b=0, omdat onder deze omstandigheden het vervangen van een willekeurig getal in plaats van x de juiste numerieke gelijkheid 0=0 geeft. En voor a=0 en b≠0 heeft de lineaire vergelijking a x+b=0 geen wortels, omdat onder deze omstandigheden het vervangen van een willekeurig getal in plaats van x leidt tot een onjuiste numerieke gelijkheid b=0.

De bovenstaande rechtvaardigingen maken het mogelijk om een ​​reeks acties te vormen waarmee elke lineaire vergelijking kan worden opgelost. Dus, algoritme voor het oplossen van een lineaire vergelijking is:

• Door eerst een lineaire vergelijking te schrijven, vinden we de waarden van de coëfficiënten a en b.
• Als a=0 en b=0 , dan heeft deze vergelijking oneindig veel wortels, namelijk elk getal is een wortel van deze lineaire vergelijking.
• Als a anders is dan nul, dan
• de coëfficiënt b wordt overgebracht naar de rechterkant met het tegenovergestelde teken, terwijl de lineaire vergelijking wordt omgezet in de vorm a x=−b ,
• waarna beide delen van de resulterende vergelijking worden gedeeld door een niet-nul getal a, dat de gewenste wortel van de oorspronkelijke lineaire vergelijking geeft.

Het geschreven algoritme is een uitputtend antwoord op de vraag hoe lineaire vergelijkingen moeten worden opgelost.

Ter afsluiting van deze paragraaf is het de moeite waard om te zeggen dat een soortgelijk algoritme wordt gebruikt om vergelijkingen van de vorm a x=b op te lossen. Het verschil ligt in het feit dat wanneer a≠0, beide delen van de vergelijking onmiddellijk worden gedeeld door dit getal, hier bevindt b zich al in het gewenste deel van de vergelijking en hoeft het niet te worden overgedragen.

Om vergelijkingen van de vorm a x=b op te lossen, wordt het volgende algoritme gebruikt:

• Als a=0 en b=0 , dan heeft de vergelijking oneindig veel wortels, dit zijn willekeurige getallen.
• Als a=0 en b≠0 , dan heeft de oorspronkelijke vergelijking geen wortels.
• Als a niet nul is, worden beide zijden van de vergelijking gedeeld door een niet-nul getal a, waaruit de enige wortel van de vergelijking die gelijk is aan b / a wordt gevonden.

Voorbeelden van het oplossen van lineaire vergelijkingen

Laten we verder gaan met oefenen. Laten we analyseren hoe het algoritme voor het oplossen van lineaire vergelijkingen wordt toegepast. Laten we oplossingen presenteren van typische voorbeelden die overeenkomen met verschillende betekenissen coëfficiënten van lineaire vergelijkingen.

Voorbeeld.

Los de lineaire vergelijking 0 x−0=0 op.

Oplossing.

In deze lineaire vergelijking, a=0 en b=−0 , wat hetzelfde is als b=0 . Daarom heeft deze vergelijking oneindig veel wortels, elk getal is de wortel van deze vergelijking.

Antwoorden:

x is een willekeurig getal.

Voorbeeld.

Heeft de lineaire vergelijking 0 x+2,7=0 oplossingen?

Oplossing.

BIJ deze zaak de coëfficiënt a is gelijk aan nul, en de coëfficiënt b van deze lineaire vergelijking is gelijk aan 2,7, dat wil zeggen, het is verschillend van nul. Daarom heeft de lineaire vergelijking geen wortels.

Lineaire vergelijkingen. Oplossing, voorbeelden.

Aandacht!
Er zijn extra
materiaal in speciale sectie 555.
Voor degenen die sterk "niet erg..."
En voor degenen die "heel veel ...")

Lineaire vergelijkingen.

Lineaire vergelijkingen zijn niet de beste moeilijk onderwerp school wiskunde. Maar er zijn enkele trucs die zelfs een getrainde student in verwarring kunnen brengen. Zullen we het uitzoeken?)

Een lineaire vergelijking wordt meestal gedefinieerd als een vergelijking van de vorm:

bijl + b = 0 waar a en b- eventuele nummers.

2x + 7 = 0. Hier een=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Hier a=0.1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Hier een = 12, b=1/2

Niets ingewikkelds, toch? Vooral als je de woorden niet opmerkt: "waar a en b een willekeurig getal zijn"... En als je het opmerkt, maar er achteloos over nadenkt?) een=0, b=0(alle getallen zijn mogelijk?), dan krijgen we een grappige uitdrukking:

Maar dat is niet alles! Als, zeg, een=0, a b=5, het blijkt iets heel absurds:

Wat het vertrouwen in wiskunde ondermijnt en ondermijnt, ja...) Vooral bij examens. Maar van deze vreemde uitdrukkingen moet je ook X vinden! Wat helemaal niet bestaat. En verrassend genoeg is deze X heel gemakkelijk te vinden. We zullen leren hoe het moet. In deze les.

Hoe herken je een lineaire vergelijking in uiterlijk? Het hangt ervan af wat uiterlijk.) De truc is dat lineaire vergelijkingen niet alleen vergelijkingen van de vorm worden genoemd bijl + b = 0 , maar ook alle vergelijkingen die door transformaties en vereenvoudigingen tot deze vorm zijn herleid. En wie weet of het verminderd is of niet?)

Een lineaire vergelijking is in sommige gevallen duidelijk te herkennen. Stel, als we een vergelijking hebben waarin er alleen onbekenden zijn in de eerste graad, ja getallen. En de vergelijking niet breuken gedeeld door onbekend , Het is belangrijk! En deling door nummer, of een numerieke breuk - dat is het! Bijvoorbeeld:

Dit is een lineaire vergelijking. Er zijn hier breuken, maar er zijn geen x-en in het vierkant, in de kubus, enz., en er zijn geen x-en in de noemers, d.w.z. Nee deling door x. En hier is de vergelijking

kan niet lineair worden genoemd. Hier zijn x'en allemaal in de eerste graad, maar er is deling door uitdrukking met x. Na vereenvoudigingen en transformaties kun je een lineaire vergelijking krijgen, en een kwadratische vergelijking, en wat je maar wilt.

Het blijkt dat het onmogelijk is om een ​​lineaire vergelijking te vinden in een ingewikkeld voorbeeld totdat je het bijna oplost. Het is verontrustend. Maar in opdrachten vragen ze in de regel niet naar de vorm van de vergelijking, toch? In taken worden vergelijkingen geordend beslissen. Dit maakt me blij.)

Oplossing van lineaire vergelijkingen. Voorbeelden.

De gehele oplossing van lineaire vergelijkingen bestaat uit identieke transformaties van vergelijkingen. Trouwens, deze transformaties (maar liefst twee!) liggen ten grondslag aan de oplossingen alle vergelijkingen van de wiskunde. Met andere woorden, de beslissing elk De vergelijking begint met dezelfde transformaties. In het geval van lineaire vergelijkingen eindigt het (de oplossing) op deze transformaties met een volwaardig antwoord. Het is logisch om de link te volgen, toch?) Bovendien zijn er ook voorbeelden van het oplossen van lineaire vergelijkingen.

Laten we beginnen met het eenvoudigste voorbeeld. Zonder enige valkuil. Laten we zeggen dat we de volgende vergelijking moeten oplossen.

x - 3 = 2 - 4x

Dit is een lineaire vergelijking. X'en zijn allemaal tot de eerste macht, er is geen deling door X. Maar eigenlijk maakt het ons niet uit wat de vergelijking is. We moeten het oplossen. Het schema is hier eenvoudig. Verzamel alles met x'en aan de linkerkant van de vergelijking, alles zonder x'en (getallen) aan de rechterkant.

Om dit te doen, moet u overstappen - 4x naar links, met een verandering van bord natuurlijk, maar - 3 - naar rechts. Dit is trouwens eerste identieke transformatie van vergelijkingen. Verrast? Dus ze hebben de link niet gevolgd, maar tevergeefs ...) We krijgen:

x + 4x = 2 + 3

We geven vergelijkbaar, we beschouwen:

Waaraan missen we? volledig geluk? Ja, zodat er links een schone X staat! Vijf staan ​​in de weg. Weg met de vijf met tweede identieke transformatie van vergelijkingen. We delen namelijk beide delen van de vergelijking door 5. We krijgen een kant-en-klaar antwoord:

Een elementair voorbeeld natuurlijk. Dit is voor een warming-up.) Het is niet erg duidelijk waarom ik me hier identieke transformaties herinner? OKÉ. We vatten de koe bij de horens.) Laten we iets indrukwekkenders beslissen.

Hier is bijvoorbeeld deze vergelijking:

Waar beginnen we? Met X - naar links, zonder X - naar rechts? Zou zo kunnen zijn. In kleine stappen lange weg. En dat kan meteen, op een universele en krachtige manier. Tenzij er natuurlijk in je arsenaal identieke transformaties van vergelijkingen zijn.

ik vraag je sleutel vraag: Wat vind je niet leuk aan deze vergelijking?

95 van de 100 mensen zullen antwoorden: breuken ! Het antwoord is juist. Dus laten we ze kwijtraken. Dus we beginnen meteen met tweede identieke transformatie. Wat heb je nodig om de breuk links te vermenigvuldigen zodat de noemer helemaal verkleind is? Dat klopt, 3. En aan de rechterkant? Met 4. Maar wiskunde stelt ons in staat om beide zijden te vermenigvuldigen met hetzelfde nummer. Hoe komen we eruit? Laten we beide zijden met 12 vermenigvuldigen! Die. op de gemeenschappelijke noemer. Dan worden de drie verminderd, en de vier. Vergeet niet dat je elk deel moet vermenigvuldigen geheel. Zo ziet de eerste stap eruit:

De haakjes uitbreiden:

Opmerking! Teller (x+2) Ik nam tussen haakjes! Dit komt omdat bij het vermenigvuldigen van breuken de teller wordt vermenigvuldigd met het geheel, volledig! En nu kunt u breuken verminderen en verminderen:

De resterende haakjes openen:

Geen voorbeeld, maar puur plezier!) Nu herinneren we ons de spreuk van lagere cijfers: met x - naar links, zonder x - naar rechts! En pas deze transformatie toe:

Hier zijn enkele zoals:

En we delen beide delen door 25, d.w.z. pas de tweede transformatie opnieuw toe:

Dat is alles. Antwoorden: X=0,16

Let op: om de oorspronkelijke verwarrende vergelijking in een prettige vorm te brengen, hebben we twee (slechts twee!) identieke transformaties- translatie links-rechts met verandering van teken en vermenigvuldiging-deling van de vergelijking door hetzelfde getal. het universele manier! Zo gaan we te werk elk vergelijkingen! Absoluut geen. Daarom blijf ik deze identieke transformaties de hele tijd herhalen.)

Zoals je kunt zien, is het principe van het oplossen van lineaire vergelijkingen eenvoudig. We nemen de vergelijking en vereenvoudigen deze met identieke transformaties alvorens een reactie te ontvangen. De belangrijkste problemen hier zitten in de berekeningen, en niet in het principe van de oplossing.

Maar ... Er zijn zulke verrassingen in het proces van het oplossen van de meest elementaire lineaire vergelijkingen dat ze tot een sterke verdoving kunnen leiden ...) Gelukkig kunnen er maar twee van dergelijke verrassingen zijn. Laten we ze speciale gevallen noemen.

Speciale gevallen bij het oplossen van lineaire vergelijkingen.

Eerst verrassen.

Stel dat je hebt elementaire vergelijking, zoiets als:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Een beetje verveeld, verplaatsen we met X naar links, zonder X - naar rechts ... Met een verandering van teken is alles chin-chinar ... We krijgen:

2x-5x+3x=5-2-3

Wij geloven, en... oh my! We krijgen:

Op zich is deze gelijkheid niet verwerpelijk. Nul is echt nul. Maar X is weg! En we moeten in het antwoord schrijven, waar x gelijk aan is. Anders telt de oplossing niet, ja...) Een doodlopende weg?

Kalm! In dergelijke twijfelachtige gevallen slaan de meest algemene regels op. Hoe vergelijkingen op te lossen? Wat betekent het om een ​​vergelijking op te lossen? Dit betekent, vind alle waarden van x die, wanneer ze in de oorspronkelijke vergelijking worden gesubstitueerd, ons de juiste gelijkheid zullen geven.

Maar we hebben de juiste gelijkheid al gebeurd! 0=0, waar eigenlijk?! Het blijft om uit te zoeken bij welke x's dit wordt verkregen. Welke waarden van x kunnen worden vervangen door? voorletter vergelijking als deze x's nog steeds tot nul krimpen? Kom op?)

Ja!!! X's kunnen worden vervangen elk! Wat wil je. Minimaal 5, minimaal 0,05, minimaal -220. Ze zullen nog krimpen. Als je me niet gelooft, kun je het controleren.) Vervang eventuele x-waarden in voorletter vergelijken en berekenen. De hele tijd zal de zuivere waarheid worden verkregen: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 enzovoort.

Hier is je antwoord: x is een willekeurig getal.

Het antwoord kan in verschillende wiskundige symbolen worden geschreven, de essentie verandert niet. Dit is een volledig correct en volledig antwoord.

Verrassing tweede.

Laten we dezelfde elementaire lineaire vergelijking nemen en er slechts één getal in veranderen. Dit gaan we beslissen:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Na dezelfde identieke transformaties krijgen we iets intrigerends:

Soortgelijk. Een lineaire vergelijking opgelost, kreeg een vreemde gelijkheid. praten wiskundige taal, wij hebben verkeerde gelijkheid. en spreken duidelijke taal, dit is niet waar. Raaskallen. Maar toch, deze onzin is best een goede reden voor juiste keuze vergelijkingen.)

Nogmaals, we denken vanuit algemene regels. Wat x, wanneer gesubstitueerd in de oorspronkelijke vergelijking, ons zal geven juist gelijkwaardigheid? Ja, geen! Zulke x'en zijn er niet. Wat je ook vervangt, alles zal worden verminderd, onzin zal blijven.)

Hier is je antwoord: er zijn geen oplossingen.

Dit is ook een volkomen valide antwoord. In de wiskunde komen dergelijke antwoorden vaak voor.

Soortgelijk. Nu hoop ik dat het verlies van X's bij het oplossen van een (niet alleen lineaire) vergelijking je helemaal niet zal storen. De zaak is bekend.)

Nu we alle valkuilen in lineaire vergelijkingen hebben behandeld, is het zinvol om ze op te lossen.

Als je deze site leuk vindt...

Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)

U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau te weten komen. Testen met directe verificatie. Leren - met interesse!)

je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.

In deze video analyseren we een hele reeks lineaire vergelijkingen die met hetzelfde algoritme zijn opgelost - daarom worden ze de eenvoudigste genoemd.

Laten we om te beginnen definiëren: wat is een lineaire vergelijking en welke moet de eenvoudigste worden genoemd?

Een lineaire vergelijking is er een waarin er slechts één variabele is, en alleen in de eerste graad.

De eenvoudigste vergelijking betekent de constructie:

Alle andere lineaire vergelijkingen worden gereduceerd tot de eenvoudigste met behulp van het algoritme:

1. Open haakjes, indien aanwezig;
2. Verplaats termen die een variabele bevatten naar de ene kant van het gelijkteken, en termen zonder een variabele naar de andere;
3. Lood gelijkaardige termen links en rechts van het isgelijkteken;
4. Deel de resulterende vergelijking door de coëfficiënt van de variabele $x$ .

Natuurlijk helpt dit algoritme niet altijd. Feit is dat na al deze machinaties soms de coëfficiënt van de variabele $x$ gelijk aan nul blijkt te zijn. In dit geval zijn er twee opties mogelijk:

1. De vergelijking heeft helemaal geen oplossingen. Als u bijvoorbeeld iets krijgt als $0\cdot x=8$, d.w.z. aan de linkerkant is nul, en aan de rechterkant is een niet-nul getal. In de onderstaande video bekijken we verschillende redenen waarom deze situatie mogelijk is.
2. De oplossing is alle getallen. Het enige geval waarin dit mogelijk is, is wanneer de vergelijking is teruggebracht tot de constructie $0\cdot x=0$. Het is vrij logisch dat het niet uitmaakt welke $ x $ we vervangen, het zal nog steeds blijken "nul is gelijk aan nul", d.w.z. juiste numerieke gelijkheid.

En laten we nu eens kijken hoe het allemaal werkt aan de hand van het voorbeeld van echte problemen.

Voorbeelden van het oplossen van vergelijkingen

Vandaag hebben we te maken met lineaire vergelijkingen, en alleen met de eenvoudigste. In het algemeen betekent een lineaire vergelijking elke gelijkheid die precies één variabele bevat, en deze gaat alleen naar de eerste graad.

Dergelijke constructies worden op ongeveer dezelfde manier opgelost:

1. Allereerst moet u de eventuele haakjes openen (zoals in onze laatste voorbeeld);
2. Breng dan soortgelijke
3. Isoleer ten slotte de variabele, d.w.z. alles wat met de variabele te maken heeft - de termen waarin het is opgenomen - wordt naar de ene kant overgebracht, en alles wat er zonder blijft, wordt naar de andere kant overgebracht.

Dan moet je in de regel gelijkaardig aan elke kant van de resulterende gelijkheid brengen, en daarna blijft het alleen om te delen door de coëfficiënt bij "x", en we zullen het definitieve antwoord krijgen.

In theorie ziet dit er mooi en eenvoudig uit, maar in de praktijk kunnen zelfs ervaren middelbare scholieren aanstootgevende fouten maken in vrij eenvoudige lineaire vergelijkingen. Meestal worden fouten gemaakt bij het openen van haakjes of bij het tellen van "plussen" en "minnen".

Bovendien komt het voor dat een lineaire vergelijking helemaal geen oplossingen heeft, of dat de oplossing de gehele getallenlijn is, d.w.z. elk nummer. We zullen deze subtiliteiten analyseren in de les van vandaag. Maar we beginnen, zoals je al begreep, met de meeste eenvoudige taken.

Schema voor het oplossen van eenvoudige lineaire vergelijkingen

Laat me om te beginnen nogmaals het hele schema schrijven voor het oplossen van de eenvoudigste lineaire vergelijkingen:

1. Vouw de haakjes uit, indien aanwezig.
2. Sluit variabelen af, d.w.z. alles dat "x" bevat, wordt naar de ene kant overgebracht en zonder "x" naar de andere kant.
3. We presenteren vergelijkbare termen.
4. We delen alles door de coëfficiënt bij "x".

Natuurlijk werkt dit schema niet altijd, het heeft bepaalde subtiliteiten en trucs, en nu zullen we ze leren kennen.

Echte voorbeelden van eenvoudige lineaire vergelijkingen oplossen

Taak 1

In de eerste stap moeten we de haakjes openen. Maar in dit voorbeeld staan ​​ze niet, dus slaan we over dit stadium. In de tweede stap moeten we de variabelen isoleren. Opmerking: we zijn aan het praten alleen over individuele termen. Laten we schrijven:

We geven links en rechts soortgelijke termen, maar dat is hier al gedaan. Daarom gaan we naar de vierde stap: delen door een factor:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Hier hebben we het antwoord.

Taak #2

In deze taak kunnen we de haakjes observeren, dus laten we ze uitbreiden:

Zowel links als rechts zien we ongeveer dezelfde constructie, maar laten we handelen volgens het algoritme, d.w.z. sekwester variabelen:

Hier zijn enkele zoals:

Bij welke wortels werkt dit? Antwoord: voor elk. Daarom kunnen we schrijven dat $x$ een willekeurig getal is.

Taak #3

De derde lineaire vergelijking is al interessanter:

\[\links(6-x \rechts)+\links(12+x \rechts)-\links(3-2x \rechts)=15\]

Er zijn hier een paar haakjes, maar ze worden met niets vermenigvuldigd, ze staan ​​er gewoon voor verschillende tekens. Laten we ze opsplitsen:

We voeren de tweede stap uit die ons al bekend is:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Laten we berekenen:

We voeren de laatste stap uit - we delen alles door de coëfficiënt bij "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Dingen om te onthouden bij het oplossen van lineaire vergelijkingen

Als we te eenvoudige taken negeren, zou ik het volgende willen zeggen:

• Zoals ik hierboven al zei, heeft niet elke lineaire vergelijking een oplossing - soms zijn er gewoon geen wortels;
• Zelfs als er wortels zijn, kan er nul tussen komen - daar is niets mis mee.

Nul is hetzelfde getal als de rest, je moet het op de een of andere manier niet discrimineren of aannemen dat als je nul krijgt, je iets verkeerd hebt gedaan.

Een ander kenmerk houdt verband met de uitbreiding van haakjes. Let op: als er een "min" voor staat, verwijderen we deze, maar tussen haakjes veranderen we de tekens in tegenovergestelde. En dan kunnen we het openen volgens standaardalgoritmen: we krijgen wat we in de bovenstaande berekeningen hebben gezien.

Dit begrijpen simpel feit zal je ervan weerhouden domme en pijnlijke fouten te maken op de middelbare school als zulke dingen als vanzelfsprekend worden beschouwd.

Complexe lineaire vergelijkingen oplossen

Laten we verder gaan met meer complexe vergelijkingen. Nu worden de constructies ingewikkelder en verschijnt er een kwadratische functie bij het uitvoeren van verschillende transformaties. Je moet hier echter niet bang voor zijn, want als we, volgens de bedoeling van de auteur, een lineaire vergelijking oplossen, dan zullen tijdens het transformatieproces alle monomialen die een kwadratische functie bevatten noodzakelijkerwijs worden verminderd.

Voorbeeld 1

Uiteraard is de eerste stap het openen van de haakjes. Laten we dit heel voorzichtig doen:

Laten we nu privacy nemen:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Hier zijn enkele zoals:

Het is duidelijk dat deze vergelijking geen oplossingen heeft, dus in het antwoord schrijven we als volgt:

\[\verscheidenheid \]

of geen wortels.

Voorbeeld #2

We voeren dezelfde stappen uit. Eerste stap:

Laten we alles met een variabele naar links verplaatsen, en zonder - naar rechts:

Hier zijn enkele zoals:

Het is duidelijk dat deze lineaire vergelijking geen oplossing heeft, dus we schrijven het als volgt:

\[\varniets\],

of geen wortels.

Nuances van de oplossing

Beide vergelijkingen zijn volledig opgelost. Met het voorbeeld van deze twee uitdrukkingen hebben we er nogmaals voor gezorgd dat zelfs in de eenvoudigste lineaire vergelijkingen alles niet zo eenvoudig kan zijn: er kan één zijn, of geen, of oneindig veel. In ons geval hebben we twee vergelijkingen overwogen, in beide zijn er gewoon geen wortels.

Maar ik wil uw aandacht vestigen op een ander feit: hoe u met haakjes werkt en hoe u ze opent als er een minteken voor staat. Beschouw deze uitdrukking:

Voordat u begint, moet u alles vermenigvuldigen met "x". Let op: vermenigvuldigen elke individuele term. Binnen zijn er twee termen - respectievelijk twee termen en is vermenigvuldigd.

En pas nadat deze schijnbaar elementaire, maar zeer belangrijke en gevaarlijke transformaties zijn voltooid, kan het haakje worden geopend vanuit het oogpunt dat er een minteken achter staat. Ja, ja: pas nu, als de transformaties klaar zijn, herinneren we ons dat er een minteken voor de haakjes staat, wat betekent dat alles naar beneden gewoon van teken verandert. Tegelijkertijd verdwijnen de beugels zelf en, belangrijker nog, de voorste "min" verdwijnt ook.

We doen hetzelfde met de tweede vergelijking:

Het is geen toeval dat ik aandacht schenk aan deze kleine, schijnbaar onbeduidende feiten. Omdat het oplossen van vergelijkingen altijd een reeks is elementaire transformaties waar het onvermogen om duidelijk en competent te presteren eenvoudige stappen leidt ertoe dat middelbare scholieren bij mij komen en weer leren om zulke simpele vergelijkingen op te lossen.

Natuurlijk komt er een dag dat je deze vaardigheden gaat aanscherpen tot automatisme. Je hoeft niet meer elke keer zoveel transformaties uit te voeren, je schrijft alles op één regel. Maar terwijl u net aan het leren bent, moet u elke actie afzonderlijk schrijven.

Nog complexere lineaire vergelijkingen oplossen

Wat we nu gaan oplossen kan nauwelijks de eenvoudigste opgave genoemd worden, maar de betekenis blijft hetzelfde.

Taak 1

\[\links(7x+1 \rechts)\links(3x-1 \rechts)-21((x)^(2))=3\]

Laten we alle elementen in het eerste deel vermenigvuldigen:

Laten we een retraite doen:

Hier zijn enkele zoals:

Laten we de laatste stap doen:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Hier is ons laatste antwoord. En ondanks het feit dat we tijdens het oplossen coëfficiënten hadden met een kwadratische functie, vernietigden ze elkaar, wat de vergelijking precies lineair maakt, niet vierkant.

Taak #2

\[\links(1-4x \rechts)\links(1-3x \rechts)=6x\links(2x-1 \rechts)\]

Laten we de eerste stap voorzichtig doen: vermenigvuldig elk element in de eerste haak met elk element in de tweede. In totaal zouden na transformaties vier nieuwe termen moeten worden verkregen:

En voer nu zorgvuldig de vermenigvuldiging uit in elke term:

Laten we de termen met "x" naar links verplaatsen en zonder - naar rechts:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Hier zijn vergelijkbare termen:

We hebben een definitief antwoord gekregen.

Nuances van de oplossing

De belangrijkste opmerking over deze twee vergelijkingen is deze: zodra we beginnen met het vermenigvuldigen van haakjes waarin meer dan een term staat, dan gebeurt dit volgens de volgende regel: we nemen de eerste term van de eerste en vermenigvuldigen met elk element van de tweede; dan nemen we het tweede element van het eerste en vermenigvuldigen we op dezelfde manier met elk element van het tweede. Als resultaat krijgen we vier termen.

Op de algebraïsche som

In het laatste voorbeeld wil ik de leerlingen eraan herinneren wat is algebraïsche som. In de klassieke wiskunde bedoelen we met $ 1-7 $ een eenvoudige constructie: we trekken zeven af ​​van één. In de algebra bedoelen we hiermee het volgende: aan het getal "een" voegen we een ander getal toe, namelijk "min zeven". Deze algebraïsche som verschilt van de gebruikelijke rekenkundige som.

Zodra je bij het uitvoeren van alle transformaties, elke optelling en vermenigvuldiging, constructies begint te zien die lijken op de hierboven beschreven constructies, zul je eenvoudigweg geen problemen hebben in de algebra bij het werken met veeltermen en vergelijkingen.

Laten we tot slot nog een paar voorbeelden bekijken die nog complexer zullen zijn dan degene die we net hebben bekeken, en om ze op te lossen, zullen we ons standaardalgoritme iets moeten uitbreiden.

Vergelijkingen oplossen met een breuk

Om dergelijke taken op te lossen, moet er nog een stap aan ons algoritme worden toegevoegd. Maar eerst zal ik ons ​​algoritme eraan herinneren:

1. Haakjes openen.
2. Aparte variabelen.
3. Gelijkaardig meenemen.
4. Deel door een factor.

Helaas is dit prachtige algoritme, ondanks al zijn efficiëntie, niet helemaal geschikt als we breuken voor ons hebben. En in wat we hieronder zullen zien, hebben we een breuk links en rechts in beide vergelijkingen.

Hoe te werk in dit geval? Ja, het is heel eenvoudig! Om dit te doen, moet u nog een stap aan het algoritme toevoegen, die zowel vóór de eerste actie als daarna kan worden uitgevoerd, namelijk breuken verwijderen. Het algoritme zal dus als volgt zijn:

1. Weg met breuken.
2. Haakjes openen.
3. Aparte variabelen.
4. Gelijkaardig meenemen.
5. Deel door een factor.

Wat betekent het om "van breuken af ​​te komen"? En waarom is het mogelijk om dit zowel na als voor de eerste standaardstap te doen? In ons geval zijn in feite alle breuken numeriek in termen van de noemer, d.w.z. overal is de noemer slechts een getal. Daarom, als we beide delen van de vergelijking met dit getal vermenigvuldigen, zullen we breuken verwijderen.

Voorbeeld 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Laten we de breuken in deze vergelijking weglaten:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot vier\]

Let op: alles wordt een keer met "vier" vermenigvuldigd, d.w.z. alleen omdat je twee haakjes hebt, wil nog niet zeggen dat je ze allemaal met "vier" moet vermenigvuldigen. Laten we schrijven:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Laten we het nu openen:

We voeren afzondering van een variabele uit:

We voeren de reductie van vergelijkbare termen uit:

\[-4x=-1\links| :\links(-4 \rechts) \rechts.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Wij hebben laatste beslissing, gaan we naar de tweede vergelijking.

Voorbeeld #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Hier voeren we allemaal dezelfde acties uit:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Probleem opgelost.

Dat is eigenlijk alles wat ik vandaag wilde vertellen.

Belangrijkste punten:

De belangrijkste bevindingen zijn als volgt:

• Ken het algoritme voor het oplossen van lineaire vergelijkingen.
• Mogelijkheid om haakjes te openen.
• Maak je geen zorgen als je ergens hebt kwadratische functies, hoogstwaarschijnlijk zullen ze tijdens het proces van verdere transformaties worden verminderd.
• De wortels in lineaire vergelijkingen, zelfs de eenvoudigste, zijn van drie soorten: één enkele wortel, de hele getallenlijn is een wortel, er zijn helemaal geen wortels.

Ik hoop dat deze les je zal helpen een eenvoudig, maar zeer belangrijk onderwerp onder de knie te krijgen voor een beter begrip van alle wiskunde. Als er iets niet duidelijk is, ga dan naar de site, los de daar gepresenteerde voorbeelden op. Blijf ons volgen, er wachten nog veel meer interessante dingen op je!