Een antiderivaat van een functie en een algemeen beeld.
a)Directe integratie.
Het vinden van integralen van functies op basis van de directe toepassing van de eigenschappen van onbepaalde integralen en een tabel met basisintegratieformules. Beschouw een voorbeeld van het vinden van de integraal van een functie door directe integratie.
Voorbeeld:
∫(X–3) 2d X= ∫(X 2 –6X+9)d X= ∫X 2d X- 6∫X d X+9∫d X=X 3 ∕3 -3X 2 +9X+C.
In de overgrote meerderheid van de gevallen hebben we te maken met integralen van functies die niet kunnen worden gevonden door directe integratie. In dit geval is het noodzakelijk om een substitutie uit te voeren (vervang de variabele).
b)Integratie door substitutie (verandering van variabele).
Substitutie-integratie, of zoals het vaak wordt genoemd, de methode van verandering van variabele, is een van de efficiëntere en meest voorkomende methoden van integratie. De substitutiemethode is om van een bepaalde integratievariabele naar een andere variabele over te gaan om de subintegrale uitdrukking te vereenvoudigen en naar een van de tabelintegralen te brengen. In dit geval wordt de keuze voor vervanging door de uitvoerder individueel bepaald, omdat: er zijn geen algemene regels die specificeren welke vervanging in deze zaak nemen.
Voorbeeld: Vind de integraal ∫ e 2x+3d X.
Laten we een nieuwe variabele t introduceren die geassocieerd is met X volgende afhankelijkheid 2 X+ 3 =t.
Neem de differentiëlen van de linker- en rechterkant van deze gelijkheid: 2d X=dt;d X=dt/2.
Nu in plaats van 2 X+ 3 en d X we vervangen hun waarden in de integrand. Dan krijgen we: e 2x+3d X=∫e tdt= e t + C. Terugkerend naar de vorige variabele, verkrijgen we uiteindelijk de uitdrukking:
∫e 2x+3d X=e 2x+3 + C.
Om ervoor te zorgen dat de integraal correct wordt genomen, is het noodzakelijk om de antiderivatieve functie te gebruiken e 2x+ 3 differentiëren en controleren of of de afgeleide gelijk is aan de integrand:
(e 2x+ 3)" =e 2x+ 3 (2 X+3)" =e 2x+ 3 .
3. Bepaalde integraal en zijn eigenschappen.
Het concept van een bepaalde integraal wordt veel gebruikt in veel gebieden van wetenschap en technologie. Met zijn hulp worden gebieden begrensd door krommen, volumes van willekeurige vorm, kracht en arbeid van een variabele kracht, het pad van een bewegend lichaam, traagheidsmomenten en vele andere grootheden berekend.
BIJ 
In de overgrote meerderheid van de gevallen wordt het concept van een bepaalde integraal geïntroduceerd bij het oplossen van problemen bij het bepalen van het gebied van een kromlijnig trapezium. Laat er een continue functie zijn y =f( X) op het segment [ een, c]. Het cijfer begrensd door de curve y \u003d f ( X) coördinaten a Ah oh in MAAR P en segmenteren [ een, c] de abscis wordt een kromlijnig trapezium genoemd (Fig. 1).
Laten we onszelf de taak stellen: het gebied S van een kromlijnig trapezium bepalen a A o A P in. Om dit te doen, splitsen we het segment [ een, c] op de P niet nodig Gelijke delen en geef de deelpunten als volgt aan: a=X over < X een < X 2 ‹ … ‹ X P = in.
Vanuit de deelpunten herstellen we de loodlijnen naar het snijpunt met de curve y \u003d f ( X). We hebben dus het hele gebied dat door de curve wordt begrensd, verdeeld in: P elementaire kromlijnige trapezoïden. Laten we herstellen van willekeurige punten elk segment X i ordinatenf(C i) totdat het de kromme y =f( X). Vervolgens construeren we een getrapte figuur bestaande uit rechthoeken met basis ∆ X i en hoogte f(C i). elementair gebied ie rechthoek zal S . zijn i =f(C i)(X i -X i -1 ), en het hele gebied S P de resulterende getrapte figuur is gelijk aan de som van de oppervlakten van de rechthoeken:
S P=f(Co)( X 1 -X o) + f (C 1) ( X 2 -X 1 ) + … +f(С P- 1)(X P -X P- 1).
Om het record van dit bedrag in te korten, voert u het symbool in 
(sigma) - een teken dat de optelling van hoeveelheden betekent. Dan
S P
=
.
Deze som S P, die de integrale som wordt genoemd, kan groter of kleiner zijn dan de werkelijke waarde van het gegeven gebied. De waarde die het dichtst bij de werkelijke waarde van het gebied ligt, is de somlimiet, op voorwaarde dat de elementaire segmenten worden gesplitst ( p→
), en de lengte van de groot segment ∆X max zal neigen naar nul, d.w.z.:
S=
(4)
Deze limiet van de integrale som (als deze bestaat) wordt genoemd bepaalde integraal van functie f( X) op het segment [ a,in] en geven aan: 
=
(5)
(lees - "definitieve integraal van" a voordat in ef ot x de x").
Cijfers a en in worden respectievelijk de onder- en bovengrenzen van integratie genoemd, f( X) is een integrand; X is de integratievariabele. Het toepassen van formules (4) en (5) kan worden geschreven. Dat de oppervlakte van een kromlijnig trapezium numeriek gelijk is aan de integraal van de functie die het trapezium begrenst, genomen over het integratie-interval [a,in]:
.
Dit feit drukt de geometrische betekenis van de bepaalde integraal uit.
Overweeg de eigenschappen van de bepaalde integraal.
1. De definitieve integraal is niet afhankelijk van de aanduiding van de variabele, d.w.z.: 
=
.
2. De bepaalde integraal van de algebraïsche som is gelijk aan de algebraïsche som van de bepaalde integralen van elke term:
=
f1 ( X)d x +
f 2 ( X)d X+ ….
We hebben gezien dat de afgeleide talloze toepassingen heeft: de afgeleide is de bewegingssnelheid (of, meer in het algemeen, de snelheid van elk proces); afgeleide is helling raaklijn aan de grafiek van de functie; met behulp van de afgeleide kun je de functie voor monotoniciteit en extrema onderzoeken; De afgeleide helpt bij het oplossen van optimalisatieproblemen.
Maar in echte leven moet beslissen en omgekeerde problemen: naast het probleem van het vinden van de snelheid van een bekende bewegingswet, is er bijvoorbeeld ook het probleem van het herstellen van de bewegingswet van een bekende snelheid. Laten we eens kijken naar een van deze problemen.
voorbeeld 1 Beweegt in een rechte lijn materieel punt, wordt de snelheid van zijn beweging op tijdstip t gegeven door de formule u = tg. Zoek de wet van beweging.
Beslissing. Laat s = s(t) de gewenste bewegingswet zijn. Het is bekend dat s"(t) = u"(t). Dus om het probleem op te lossen, moeten we kiezen: functie s = s(t), waarvan de afgeleide gelijk is aan tg. Dat is gemakkelijk te raden
We merken meteen dat het voorbeeld correct is opgelost, maar onvolledig. We hebben verkregen dat het probleem in feite oneindig veel oplossingen heeft: elke functie van de vorm 
willekeurige constante, kan dienen als bewegingswet, omdat
Om de taak specifieker te maken, moesten we de beginsituatie vastleggen: geef de coördinaat van het bewegende punt op een bepaald moment aan, bijvoorbeeld op t=0. Als, zeg, s (0) \u003d s 0, dan verkrijgen we uit de gelijkheid s (0) \u003d 0 + C, d.w.z. S 0 \u003d C. Nu is de bewegingswet uniek gedefinieerd:
In de wiskunde worden wederkerige bewerkingen toegewezen verschillende namen, bedenk een speciale notatie: bijvoorbeeld kwadrateren (x 2) en extraheren vierkantswortel sinus (sinx) en boogsinus(arcsin x), enz. Het proces van het vinden van de afgeleide met betrekking tot een bepaalde functie wordt differentiatie genoemd, en de inverse operatie, d.w.z. het proces van het vinden van een functie door een gegeven afgeleide - door integratie.
De term "afgeleide" kan worden gerechtvaardigd "op een wereldse manier": de functie y - f (x) "brengt in de wereld" nieuwe functie y "= f" (x) De functie y \u003d f (x) fungeert als een "ouder", maar wiskundigen noemen het natuurlijk geen "ouder" of "producent", ze zeggen dat dit is, in relatie tot de functie y"=f"(x), de primaire afbeelding, of kortom de primitieve.
Definitie 1. De functie y \u003d F (x) wordt het antiderivaat genoemd voor de functie y \u003d f (x) op een bepaald interval X, als voor alle x van X de gelijkheid F "(x) \u003d f (x) waar is .
In de praktijk wordt het interval X meestal niet gespecificeerd, maar geïmpliceerd (als het natuurlijke domein van de functie).
Hier zijn enkele voorbeelden:
1) De functie y \u003d x 2 is een antiderivaat voor de functie y \u003d 2x, aangezien voor alle x de gelijkheid (x 2) "\u003d 2x waar is.
2) de functie y - x 3 is de primitieve voor de functie y-3x 2, aangezien voor alle x de gelijkheid (x 3)" \u003d 3x 2 waar is.
3) De functie y-sinx is een primitieve voor de functie y=cosx, aangezien voor alle x de gelijkheid (sinx) "=cosx geldt.
4) De functie is een anti-afgeleide voor de functie op het interval, aangezien voor alle x > 0 de gelijkheid waar is
Over het algemeen is het, als u de formules voor het vinden van derivaten kent, niet moeilijk om een tabel met formules samen te stellen voor het vinden van antiderivaten.
We hopen dat je begrijpt hoe deze tabel is samengesteld: de afgeleide van de functie die is geschreven in de tweede kolom is gelijk aan de functie die is geschreven in de corresponderende regel van de eerste kolom (check it out, wees niet lui, het is zeer nuttig). Bijvoorbeeld, voor de functie y \u003d x 5 is het primitieve, zoals u vaststelt, de functie (zie de vierde rij van de tabel).
Opmerkingen: 1. Hieronder bewijzen we de stelling dat als y = F(x) een antiderivaat is voor een functie y = f(x), dan heeft de functie y = f(x) oneindig veel antiderivaten en ze hebben allemaal de vorm y = F (x ) + C. Daarom zou het juister zijn om de term C overal in de tweede kolom van de tabel toe te voegen, waar C een willekeurig reëel getal is.
2. Kortheidshalve zeggen ze soms in plaats van de zin "de functie y = F(x) is de primitieve voor de functie y = f(x)", F(x) is de primitieve voor f(x) ".
2. Regels voor het vinden van antiderivaten
Bij het zoeken naar antiderivaten, maar ook bij het zoeken naar afgeleiden, worden niet alleen formules gebruikt (ze staan vermeld in de tabel op p. 196), maar ook enkele regels. Ze houden rechtstreeks verband met de overeenkomstige regels voor het berekenen van afgeleiden.
We weten dat de afgeleide van een som gelijk is aan de som van de afgeleiden. Deze regel genereert een overeenkomstige regel voor het vinden van antiderivaten.
Regel 1 De primitieve van een som is gelijk aan de som van de antiderivaten.
We vestigen uw aandacht op enige "lichtheid" van deze formulering. In feite zou het nodig zijn om een stelling te formuleren: als de functies y = f(x) en y=g(x) antiderivaten hebben op respectievelijk het interval X, y-F(x) en y-G(x), dan is de som van de functies y = f(x) + g(x) heeft een primitieve op het interval X, en deze primitieve is de functie y = F(x) + G(x). Maar meestal, bij het formuleren van regels (en niet stellingen), gaat men alleen weg trefwoorden- dus het is handiger om de regel in de praktijk toe te passen
Voorbeeld 2 Vind de primitieve voor de functie y = 2x + cos x.
Beslissing. Het primitieve voor 2x is x "; het primitieve voor cosx is sin x. Daarom is het primitieve voor de functie y \u003d 2x + cos x de functie y \u003d x 2 + sin x (en in het algemeen elke functie van de vorm Y \u003d x 1 + sinx + C) .
We weten dat de constante factor uit het teken van de afgeleide kan worden gehaald. Deze regel genereert een overeenkomstige regel voor het vinden van antiderivaten.
Regel 2 De constante factor kan uit het primitieve teken worden gehaald.
Voorbeeld 3
Beslissing. a) Het primitieve voor sin x is -cos x; daarom is voor de functie y \u003d 5 sin x de antiderivaat de functie y \u003d -5 cos x.
b) Het primitieve voor cos x is sin x; daarom zal er voor de antiderivaatfunctie een functie zijn
c) Het primitieve voor x 3 is het primitieve voor x is het primitieve voor de functie y \u003d 1 is de functie y \u003d x. Met behulp van de eerste en tweede regel voor het vinden van antiderivaten, krijgen we dat het antiderivaat voor de functie y \u003d 12x 3 + 8x-1 de functie is
Commentaar. Zoals je weet, is de afgeleide van een product niet gelijk aan het product van afgeleiden (de regel om een product te differentiëren is ingewikkelder) en de afgeleide van een quotiënt is niet gelijk aan het quotiënt van afgeleiden. Daarom zijn er geen regels voor het vinden van de primitieve van het product of de primitieve van het quotiënt van twee functies. Doe voorzichtig!
We krijgen nog een regel voor het vinden van antiderivaten. We weten dat de afgeleide van de functie y \u003d f (kx + m) wordt berekend met de formule
Deze regel genereert een overeenkomstige regel voor het vinden van antiderivaten.
Regel 3 Als y \u003d F (x) het primitieve voor de functie y \u003d f (x) is, dan is het primitieve voor de functie y \u003d f (kx + m) de functie
Inderdaad,
Dit betekent dat het een antiderivaat is voor de functie y \u003d f (kx + m).
De betekenis van de derde regel is als volgt. Als je weet dat het primitieve voor de functie y \u003d f (x) de functie y \u003d F (x) is, en je moet het primitieve van de functie y \u003d f (kx + m) vinden, ga dan verder als volgt: neem dezelfde functie F, maar vervang in plaats van het argument x de uitdrukking xx+m; vergeet bovendien niet om de "correctiefactor" voor het teken van de functie te schrijven
Voorbeeld 4 Vind antiderivaten voor bepaalde functies:
Beslissing, a) Het primitieve voor sin x is -cos x; dit betekent dat voor de functie y \u003d sin2x, de primitieve de functie zal zijn
b) Het primitieve voor cos x is sin x; daarom zal er voor de antiderivaatfunctie een functie zijn
c) Het primitieve voor x 7 is daarom, voor de functie y \u003d (4-5x) 7 is het primitieve de functie
3. Onbepaalde integraal
We hebben hierboven al opgemerkt dat het probleem van het vinden van een primitieve voor een bepaalde functie y = f(x) meer dan één oplossing heeft. Laten we dit probleem in meer detail bespreken.
Bewijs. 1. Laat y \u003d F (x) de primitieve zijn voor de functie y \u003d f (x) op het interval X. Dit betekent dat voor alle x van X de gelijkheid x "(x) \u003d f (x) is Vind de afgeleide van elke functie van de vorm y \u003d F (x) + C:
(F (x) + C) \u003d F "(x) + C \u003d f (x) + 0 \u003d f (x).
Dus, (F(x)+C) = f(x). Dit betekent dat y \u003d F (x) + C een primitieve is voor de functie y \u003d f (x).
We hebben dus bewezen dat als de functie y \u003d f (x) een antiderivaat y \u003d F (x) heeft, de functie (f \u003d f (x) oneindig veel antiderivaten heeft, bijvoorbeeld elke functie van de vorm y \u003d F (x) +C is een antiderivaat.
2. Laten we nu bewijzen dat gespecificeerd type: functies, is de hele set van antiderivaten uitgeput.
Zij y=F 1 (x) en y=F(x) twee antiderivaten voor de functie Y = f(x) op het interval X. Dit betekent dat voor alle x uit het interval X de volgende relaties gelden: F^( x) = f (X); F "(x) \u003d f (x).
Overweeg de functie y \u003d F 1 (x) -.F (x) en vind de afgeleide: (F, (x) -F (x)) "\u003d F [(x) - F (x) \u003d f (x) - f(x) = 0.
Het is bekend dat als de afgeleide van een functie op een interval X identiek gelijk is aan nul, de functie constant is op het interval X (zie Stelling 3 in § 35). Vandaar, F 1 (x) -F (x) \u003d C, d.w.z. Fx) \u003d F (x) + C.
De stelling is bewezen.
Voorbeeld 5 De wet van verandering van snelheid vanaf tijd v = -5sin2t is ingesteld. Vind de bewegingswet s = s(t) als bekend is dat op het tijdstip t=0 de coördinaat van het punt gelijk was aan het getal 1,5 (d.w.z. s(t) = 1,5).
Beslissing. Aangezien de snelheid de afgeleide is van de coördinaat als functie van de tijd, moeten we eerst de primitieve van de snelheid vinden, d.w.z. antiderivaat voor de functie v = -5sin2t. Een van dergelijke antiderivaten is de functie , en de verzameling van alle antiderivaten heeft de vorm:
Om een specifieke waarde van de constante C te vinden, gebruiken we begincondities, volgens welke s(0) = 1,5. Vervangen in formule (1) de waarden t=0, S = 1.5, we krijgen:
Door de gevonden waarde C in formule (1) te vervangen, verkrijgen we de bewegingswet die voor ons van belang is:
Definitie 2. Als een functie y = f(x) een primitieve y = F(x) heeft op het interval X, dan is de verzameling van alle primitieven, d.w.z. de reeks functies van de vorm y \u003d F (x) + C, wordt de onbepaalde integraal van de functie y \u003d f (x) genoemd en aangeduid als:
(ze lezen: “de onbepaalde integraal ef van x de x”).
In de volgende sectie zullen we ontdekken wat is verborgen betekenis de aangegeven aanduiding.
Op basis van de tabel met antiderivaten die beschikbaar zijn in deze paragraaf, zullen we een tabel samenstellen met onbepaalde basisintegralen:
Op basis van de bovenstaande drie regels voor het vinden van antiderivaten kunnen we de bijbehorende integratieregels formuleren.
Regel 1 Integraal van de som van functies is gelijk aan de som integralen van deze functies:
Regel 2 De constante factor kan uit het integraalteken worden gehaald:
Regel 3 Als een
Voorbeeld 6 Vind onbepaalde integralen:
Beslissing, a) Met behulp van de eerste en tweede integratieregels krijgen we:
Nu gebruiken we de 3e en 4e integratieformules:
Als resultaat krijgen we:
b) Met behulp van de derde integratieregel en formule 8 krijgen we:
c) Voor de directe bepaling van de gegeven integraal hebben we noch de overeenkomstige formule, noch de overeenkomstige regel. In dergelijke gevallen, soms vooraf uitgevoerd identieke transformaties uitdrukking onder het integraalteken.
Laten we gebruiken trigonometrische formule downgraden:
Dan vinden we achtereenvolgens:
AG Mordkovich Algebra Grade 10
Kalender-thematische planning in de wiskunde, video- in wiskunde online, wiskunde op school
Deze les is de eerste in een reeks video's over integratie. Daarin zullen we begrijpen wat is antiderivaat van een functie, en we zullen ook de elementaire methoden bestuderen voor het berekenen van deze antiderivaten.
In feite is hier niets ingewikkelds: in wezen komt alles neer op het concept van een derivaat, waarmee je al bekend zou moeten zijn. :)
Ik constateer meteen dat, aangezien dit de allereerste les in onze nieuw onderwerp, vandaag zullen er geen complexe berekeningen en formules zijn, maar wat we vandaag zullen bestuderen, zal de basis vormen van veel complexere berekeningen en structuren bij het berekenen complexe integralen en vierkanten.
Bovendien gaan we er bij aanvang van met name integratie- en integralenstudie impliciet van uit dat de student al op zijn minst bekend is met de concepten van de afgeleide en op zijn minst elementaire vaardigheden heeft om deze te berekenen. Zonder een duidelijk begrip hiervan is er helemaal niets aan de hand met integratie.
Hier ligt echter een van de meest voorkomende en verraderlijke problemen. Het feit is dat veel studenten, die hun eerste antiderivaten beginnen te berekenen, ze verwarren met derivaten. Als gevolg hiervan, in examens en onafhankelijk werk domme en beledigende fouten worden gemaakt.
Daarom zal ik nu geen duidelijke definitie van antiderivaat geven. En in ruil daarvoor stel ik voor dat je kijkt naar hoe het wordt beschouwd aan de hand van een eenvoudig concreet voorbeeld.
Wat is primitief en hoe wordt het beschouwd?
We kennen deze formule:
\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Deze afgeleide wordt als elementair beschouwd:
\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]
Laten we de resulterende uitdrukking eens nader bekijken en $((x)^(2))$ uitdrukken:
\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]
Maar we kunnen het ook zo schrijven, volgens de definitie van de afgeleide:
\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]
En nu aandacht: wat we zojuist hebben opgeschreven is de definitie van het antiderivaat. Maar om het correct te schrijven, moet u het volgende schrijven:
Laten we de volgende uitdrukking op dezelfde manier schrijven:
Als we deze regel generaliseren, kunnen we de volgende formule afleiden:
\[((x)^(n))\naar \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Nu kunnen we een duidelijke definitie formuleren.
Een antiderivaat van een functie is een functie waarvan de afgeleide gelijk is aan de oorspronkelijke functie.
Vragen over de anti-afgeleide functie
Het lijkt vrij eenvoudig en duidelijke definitie. Bij het horen ervan zal de oplettende student echter onmiddellijk een aantal vragen hebben:
- Laten we zeggen, nou, deze formule is correct. In dit geval, wanneer $n=1$, hebben we echter problemen: "nul" verschijnt in de noemer en het is onmogelijk om te delen door "nul".
- De formule is alleen beperkt tot bevoegdheden. Hoe de antiderivaat te berekenen, bijvoorbeeld sinus, cosinus en elke andere trigonometrie, evenals constanten.
- Een existentiële vraag: is het altijd mogelijk om een antiderivaat te vinden? Zo ja, hoe zit het met de primitieve som, het verschil, het product, etc.?
Ik zal de laatste vraag meteen beantwoorden. Helaas wordt het antiderivaat, in tegenstelling tot het derivaat, niet altijd overwogen. Er is niet zo'n universele formule, volgens welke we uit elke initiële constructie een functie zullen verkrijgen die gelijk zal zijn aan deze vergelijkbare constructie. Wat betreft krachten en constanten, daar zullen we het nu over hebben.
Problemen met stroomfuncties oplossen
\[((x)^(-1))\naar \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]
Zoals we zien, gegeven formule voor $((x)^(-1))$ werkt niet. De vraag rijst: wat werkt dan? Kunnen we $((x)^(-1))$ niet tellen? Natuurlijk kunnen we. Laten we beginnen met dit:
\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]
Laten we nu eens nadenken: de afgeleide van welke functie gelijk is aan $\frac(1)(x)$. Het is duidelijk dat elke student die zich op zijn minst een beetje met dit onderwerp heeft beziggehouden, zich zal herinneren dat deze uitdrukking gelijk is aan de afgeleide van de natuurlijke logaritme:
\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]
Daarom kunnen we vol vertrouwen het volgende schrijven:
\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\naar \ln x\]
Deze formule moet bekend zijn, net als de afgeleide van een machtsfunctie.
Dus wat we tot nu toe weten:
- Voor een machtsfunctie — $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
- Voor een constante - $=const\to \cdot x$
- Een speciaal geval van een machtsfunctie - $\frac(1)(x)\to \ln x$
En als we beginnen met het vermenigvuldigen en delen van de eenvoudigste functies, hoe bereken je dan de primitieve van een product of een quotiënt. Helaas werken analogieën met de afgeleide van een product of een quotiënt hier niet. Ieder standaard formule bestaat niet. Voor sommige gevallen zijn er lastige speciale formules - we zullen ze leren kennen in toekomstige videozelfstudies.
Onthoud echter: algemene formule:, is er geen vergelijkbare formule voor het berekenen van de afgeleide van een quotiënt en een product.
Echte problemen oplossen
Taak 1
Laten we elk machtsfuncties apart tellen:
\[((x)^(2))\naar \frac(((x)^(3)))(3)\]
Terugkerend naar onze uitdrukking, schrijven we de algemene constructie:
Taak #2
Zoals ik al zei, worden primitieve werken en privé "doorgebladerd" niet in aanmerking genomen. Hier kunt u echter het volgende doen:
We hebben de breuk opgedeeld in de som van twee breuken.
Laten we berekenen:
Het goede nieuws is dat als je eenmaal de formules voor het berekenen van voorderivaten kent, je al in staat bent om complexere structuren te berekenen. Laten we echter doorgaan en onze kennis een beetje verder uitbreiden. Feit is dat veel constructies en uitdrukkingen die op het eerste gezicht niets te maken hebben met $((x)^(n))$ kunnen worden weergegeven als een macht met rationele indicator, namelijk:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]
\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]
\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]
Al deze technieken kunnen en moeten worden gecombineerd. Krachtuitdrukkingen kan
- vermenigvuldigen (de bevoegdheden worden toegevoegd);
- delen (graden worden afgetrokken);
- vermenigvuldigen met een constante;
- enzovoort.
Uitdrukkingen oplossen met een graad met een rationale exponent
Voorbeeld 1
Laten we elke wortel afzonderlijk tellen:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))\naar \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4))\naar \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]
In totaal kan onze gehele constructie als volgt worden geschreven:
Voorbeeld #2
\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]
Daarom krijgen we:
\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\naar \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]
In totaal kunnen we, door alles in één uitdrukking te verzamelen, schrijven:
Voorbeeld #3
Merk eerst op dat we $\sqrt(x)$ al hebben berekend:
\[\sqrt(x)\naar \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]
\[((x)^(\frac(3)(2)))\naar \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]
Laten we herschrijven:
Ik hoop dat ik niemand zal verbazen als ik zeg dat wat we zojuist hebben bestudeerd alleen de eenvoudigste berekeningen van voorderivaten zijn, de meest elementaire constructies. Laten we nu een beetje meer kijken complexe voorbeelden, waarin, naast tabulaire antiderivaten, ook moet worden herinnerd aan schoolcurriculum, namelijk de formules van gereduceerde vermenigvuldiging.
Complexere voorbeelden oplossen
Taak 1
Denk aan de formule voor het kwadraat van het verschil:
\[((\links(a-b \rechts))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]
Laten we onze functie herschrijven:
We moeten nu de primitieve van zo'n functie vinden:
\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]
\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]
We verzamelen alles in een gemeenschappelijk ontwerp:
Taak #2
In dit geval moeten we de verschilkubus openen. Laat ons herdenken:
\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]
Gezien dit feit kan het als volgt worden geschreven:
Laten we onze functie een beetje aanpassen:
We beschouwen, zoals altijd, voor elke term afzonderlijk:
\[((x)^(-3))\naar \frac((((x)^(-2)))(-2)\]
\[((x)^(-2))\naar \frac((((x)^(-1)))(-1)\]
\[((x)^(-1))\naar \ln x\]
Laten we de resulterende constructie schrijven:
Taak #3
Bovenaan hebben we het kwadraat van de som, laten we het openen:
\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\links(\sqrt(x) \rechts))^(2)))(x)=\]
\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]
\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
Laten we de uiteindelijke oplossing schrijven:
En nu aandacht! Zeer belangrijk ding, waarmee het leeuwendeel van de fouten en misverstanden wordt geassocieerd. Het feit is dat we tot nu toe, bij het tellen van antiderivaten met behulp van derivaten, het geven van transformaties, niet hebben nagedacht over waar de afgeleide van een constante gelijk aan is. Maar de afgeleide van een constante is gelijk aan "nul". En dit betekent dat u de volgende opties kunt schrijven:
- $((x)^(2))\naar \frac(((x)^(3)))(3)$
- $((x)^(2))\naar \frac(((x)^(3)))(3)+1$
- $((x)^(2))\naar \frac(((x)^(3)))(3)+C$
Dit is heel belangrijk om te begrijpen: als de afgeleide van een functie altijd hetzelfde is, dan heeft dezelfde functie een oneindig aantal tegenderivaten. We kunnen eenvoudig alle constante getallen aan onze primitieven toevoegen en nieuwe krijgen.
Het is geen toeval dat in de uitleg van de taken die we zojuist hebben opgelost, stond "Schrijf op" algemene vorm primitieven." Die. er wordt bij voorbaat al aangenomen dat het er niet één is, maar een hele veelheid. Maar in feite verschillen ze alleen in de constante $C$ aan het eind. Daarom zullen we in onze taken corrigeren wat we niet hebben voltooid.
Nogmaals, we herschrijven onze constructies:
In dergelijke gevallen moet men toevoegen dat $C$ een constante is - $C=const$.
In onze tweede functie krijgen we de volgende constructie:
En de laatste:
En nu kregen we echt wat er van ons werd gevraagd in de beginsituatie van het probleem.
Problemen oplossen bij het vinden van antiderivaten met een bepaald punt
Nu we weten over constanten en over de eigenaardigheden van het schrijven van antiderivaten, doet zich logischerwijs het volgende soort problemen voor, wanneer uit de verzameling van alle antiderivaten het vereist is om er één te vinden die door de gegeven punt. Wat is deze taak?
Het feit is dat alle initiatieven van een bepaalde functie alleen verschillen doordat ze verticaal met een getal zijn verschoven. En dit betekent dat ongeacht welk punt op coördinaatvlak we hebben het niet genomen, één primitief zal zeker passeren, en bovendien slechts één.
De taken die we nu zullen oplossen, zijn dus als volgt geformuleerd: het is niet gemakkelijk om de primitieve te vinden, de formule van de oorspronkelijke functie kennende, maar om er precies één van te kiezen die door een bepaald punt gaat, waarvan de coördinaten worden gegeven in de toestand van het probleem.
Voorbeeld 1
Laten we eerst elke term berekenen:
\[((x)^(4))\naar \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((x)^(3))\naar \frac(((x)^(4)))(4)\]
Nu vervangen we deze uitdrukkingen in onze constructie:
Deze functie moet door het punt $M\left(-1;4 \right)$ gaan. Wat betekent het dat het door een punt gaat? Dit betekent dat als we in plaats van $x$ overal $-1$ plaatsen, en in plaats van $F\left(x \right)$ - $-4$, we de juiste numerieke gelijkheid moeten krijgen. Laten we dit doen:
We zien dat we een vergelijking hebben voor $C$, dus laten we proberen deze op te lossen:
Laten we de oplossing opschrijven waar we naar op zoek waren:
Voorbeeld #2
Allereerst is het noodzakelijk om het kwadraat van het verschil te openen met behulp van de verkorte vermenigvuldigingsformule:
\[((x)^(2))\naar \frac(((x)^(3)))(3)\]
De oorspronkelijke structuur wordt als volgt geschreven:
Laten we nu $C$ zoeken: vervang de coördinaten van het punt $M$:
\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]
We drukken $C$ uit:
Het blijft om de laatste uitdrukking weer te geven:
Trigonometrische problemen oplossen
Als slotakkoord Naast wat we zojuist hebben geanalyseerd, stel ik voor om er nog twee te overwegen: uitdagende taken trigonometrie bevatten. In hen zal het op dezelfde manier nodig zijn om antiderivaten voor alle functies te vinden en vervolgens uit deze set de enige te kiezen die door het punt $M$ op het coördinatenvlak gaat.
Vooruitkijkend, zou ik willen opmerken dat de techniek die we nu zullen gebruiken om antiderivaten te vinden van trigonometrische functies is in feite universele ontvangst voor zelftest.
Taak 1
Laten we de volgende formule onthouden:
\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]
Op basis hiervan kunnen we schrijven:
Laten we de coördinaten van punt $M$ in onze uitdrukking vervangen:
\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]
Laten we de uitdrukking herschrijven met dit feit in gedachten:
Taak #2
Hier zal het wat moeilijker zijn. Nu zul je zien waarom.
Laten we deze formule onthouden:
\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
Om van de "min" af te komen, moet u het volgende doen:
\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
Hier is ons ontwerp:
Vervang de coördinaten van het punt $M$:
Laten we de uiteindelijke constructie opschrijven:
Dat is alles wat ik je vandaag wilde vertellen. We hebben de term antiderivaten bestudeerd, hoe ze te tellen vanaf elementaire functies, evenals hoe u de antiderivaat kunt vinden die door een specifiek punt op het coördinatenvlak gaat.
Ik hoop dat deze les je een beetje zal helpen dit te begrijpen moeilijk onderwerp. In ieder geval zijn het op de antiderivaten dat onbepaalde en onbepaalde integralen worden gebouwd, dus het is absoluut noodzakelijk om ze te overwegen. Dat is alles voor mij. Tot ziens!
Ege in natuurkunde resultaten
Hoe het examen voor afgestudeerden van voorgaande jaren aanvragen
Wat zijn de kansen om in het budget te komen: door het aantal punten, per universiteit, per specialiteit