Coördinaten op het coördinatenvlak. Videoles "Coördinatenvlak

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 of x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Nu ik heb geleerd vergelijkingen van de eerste graad op te lossen, wil ik natuurlijk met anderen werken, in het bijzonder met vergelijkingen van de tweede graad, die ook wel kwadratisch worden genoemd.

Kwadratische vergelijkingen zijn vergelijkingen van het type ax² + bx + c = 0, waarbij de variabele x is, de getallen zijn - a, b, c, waarbij a niet gelijk is aan nul.

Als in een kwadratische vergelijking de ene of de andere coëfficiënt (c of b) gelijk is aan nul, dan verwijst deze vergelijking naar een onvolledige kwadratische vergelijking.

Hoe los je een onvolledige kwadratische vergelijking op als leerlingen tot nu toe alleen vergelijkingen van de eerste graad hebben kunnen oplossen? Overweeg onvolledige kwadratische vergelijkingen verschillende soorten en eenvoudige manieren om ze op te lossen.

a) Als de coëfficiënt c gelijk is aan 0, en de coëfficiënt b is niet gelijk aan nul, dan wordt ax ² + bx + 0 = 0 gereduceerd tot een vergelijking van de vorm ax ² + bx = 0.

Om zo'n vergelijking op te lossen, moet je de formule kennen voor het oplossen van een onvolledige kwadratische vergelijking, die erin bestaat de linkerkant ervan te ontbinden in factoren en later de voorwaarde te gebruiken dat het product gelijk is aan nul.

Bijvoorbeeld 5x ² - 20x \u003d 0. We ontleden de linkerkant van de vergelijking in factoren, terwijl we het gebruikelijke doen wiskundige operatie: de gemeenschappelijke factor tussen haakjes halen

5x (x - 4) = 0

We gebruiken de voorwaarde dat de producten gelijk zijn aan nul.

5 x = 0 of x - 4 = 0

Het antwoord is: de eerste wortel is 0; de tweede wortel is 4.

b) Als b \u003d 0, en de vrije term is niet gelijk aan nul, dan wordt de vergelijking ax ² + 0x + c \u003d 0 gereduceerd tot een vergelijking van de vorm ax ² + c \u003d 0. Los vergelijkingen in twee op manieren: a) ontbinden van de polynoom van de vergelijking aan de linkerkant in factoren; b) de eigenschappen van rekenkunde gebruiken vierkantswortel. Een dergelijke vergelijking wordt opgelost door een van de methoden, bijvoorbeeld:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Het antwoord is: de eerste wortel is 5/2; de tweede wortel is - 5/2.

c) Als b gelijk is aan 0 en c gelijk is aan 0, dan reduceert ax² + 0 + 0 = 0 tot een vergelijking van de vorm ax² = 0. In zo'n vergelijking zal x gelijk zijn aan 0.

Zoals je kunt zien, kunnen onvolledige kwadratische vergelijkingen niet meer dan twee wortels hebben.

Kwadratische vergelijking - eenvoudig op te lossen! *Verder in de tekst "KU". Vrienden, het lijkt erop dat het in de wiskunde gemakkelijker kan zijn dan zo'n vergelijking op te lossen. Maar iets vertelde me dat veel mensen problemen met hem hebben. Ik besloot te kijken hoeveel vertoningen Yandex per verzoek per maand geeft. Dit is wat er is gebeurd, kijk eens:

Wat betekent het? Dit betekent dat ongeveer 70.000 mensen per maand op zoek zijn naar deze informatie, wat heeft deze zomer ermee te maken, en wat gaat er gebeuren onder schooljaar- aanvragen worden twee keer zo groot. Dit is niet verwonderlijk, want die jongens en meisjes die al lang van school zijn afgestudeerd en zich voorbereiden op het examen, zijn op zoek naar deze informatie, en schoolkinderen proberen ook hun geheugen op te frissen.

Ondanks het feit dat er veel sites zijn die vertellen hoe deze vergelijking op te lossen, heb ik besloten om ook een bijdrage te leveren en het materiaal te publiceren. Ten eerste wil ik dat bezoekers op dit verzoek naar mijn site komen; ten tweede, in andere artikelen, wanneer de toespraak "KU" verschijnt, zal ik een link naar dit artikel geven; ten derde zal ik u iets meer vertellen over zijn oplossing dan gewoonlijk op andere sites wordt vermeld. Laten we beginnen! De inhoud van het artikel:

Een kwadratische vergelijking is een vergelijking van de vorm:

waar coëfficiënten a,ben met willekeurige getallen, met a≠0.

BIJ schoolcursus materiaal wordt gegeven volgende vorm– voorwaardelijk zijn de vergelijkingen verdeeld in drie klassen:

1. Heb twee wortels.

2. * Heb maar één wortel.

3. Heb geen wortels. Het is vermeldenswaard dat ze geen echte wortels hebben

Hoe worden wortels berekend? Alleen maar!

We berekenen de discriminant. Onder dit "verschrikkelijke" woord ligt een heel eenvoudige formule:

De basisformules zijn als volgt:

*Deze formules moeten uit het hoofd bekend zijn.

U kunt direct opschrijven en oplossen:

Voorbeeld:

1. Als D > 0, dan heeft de vergelijking twee wortels.

2. Als D = 0, dan heeft de vergelijking één wortel.

3. Als D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Laten we naar de vergelijking kijken:

Bij deze gelegenheid, wanneer de discriminant nul is, zegt de schoolcursus dat één wortel is verkregen, hier is deze gelijk aan negen. Dat klopt, dat is zo, maar...

Deze voorstelling is enigszins onjuist. In feite zijn er twee wortels. Ja, ja, wees niet verbaasd, het blijken er twee te zijn gelijke wortel, en om wiskundig precies te zijn, moeten twee wortels in het antwoord worden geschreven:

x 1 = 3 x 2 = 3

Maar dit is zo - een kleine uitweiding. Op school kun je opschrijven en zeggen dat er maar één wortel is.

Nu het volgende voorbeeld:

Zoals we weten, wordt de wortel van een negatief getal niet geëxtraheerd, dus de oplossingen in deze zaak nee.

Dat is het hele beslissingsproces.

Kwadratische functie.

Hier ziet u hoe de oplossing er geometrisch uitziet. Dit is uiterst belangrijk om te begrijpen (in de toekomst zullen we in een van de artikelen in detail de oplossing van een kwadratische ongelijkheid analyseren).

Dit is een functie van de vorm:

waarbij x en y variabelen zijn

a, b, c zijn getallen, waarbij a ≠ 0

De grafiek is een parabool:

Dat wil zeggen, het blijkt dat door het oplossen van een kwadratische vergelijking met "y" gelijk aan nul, we de snijpunten van de parabool met de x-as vinden. Er kunnen twee van deze punten zijn (de discriminant is positief), één (de discriminant is nul) of geen (de discriminant is negatief). Meer over de kwadratische functie U kunt bekijken artikel van Inna Feldman.

Denk aan voorbeelden:

Voorbeeld 1: Beslis 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(-192) = 64+1536 = 1600

Antwoord: x 1 = 8 x 2 = -12

* Je zou meteen kunnen vertrekken en rechter zijde deel de vergelijking door 2, dat wil zeggen, vereenvoudig het. De berekeningen zullen eenvoudiger zijn.

Voorbeeld 2: Beslissen x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

We hebben dat x 1 \u003d 11 en x 2 \u003d 11

In het antwoord is het toegestaan ​​om x = 11 te schrijven.

Antwoord: x = 11

Voorbeeld 3: Beslissen x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

De discriminant is negatief, er is geen oplossing in reële getallen.

Antwoord: geen oplossing

De discriminant is negatief. Er is een oplossing!

Hier zullen we praten over het oplossen van de vergelijking in het geval dat een negatieve discriminant wordt verkregen. Weet jij iets van? complexe getallen? Ik zal hier niet in detail treden over waarom en waar ze zijn ontstaan ​​en wat hun specifieke rol en noodzaak in de wiskunde is, dit is een onderwerp voor een groot apart artikel.

Het concept van een complex getal.

Een beetje theorie.

Een complex getal z is een getal van de vorm

z = a + bi

waar a en b zijn echte getallen, i is de zogenaamde imaginaire eenheid.

a+bi is een ENKEL NUMMER, geen toevoeging.

De denkbeeldige eenheid is gelijk aan de wortel van min één:

Beschouw nu de vergelijking:

Neem twee geconjugeerde wortels.

Onvolledige kwadratische vergelijking.

Overweeg speciale gevallen, dit is wanneer de coëfficiënt "b" of "c" gelijk is aan nul (of beide gelijk zijn aan nul). Ze zijn eenvoudig op te lossen zonder enige discriminant.

Geval 1. Coëfficiënt b = 0.

De vergelijking heeft de vorm:

Laten we transformeren:

Voorbeeld:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Geval 2. Coëfficiënt c = 0.

De vergelijking heeft de vorm:

Transformeren, ontbinden:

*Het product is gelijk aan nul wanneer ten minste één van de factoren gelijk is aan nul.

Voorbeeld:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 of x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Geval 3. Coëfficiënten b = 0 en c = 0.

Hier is het duidelijk dat de oplossing van de vergelijking altijd x = 0 zal zijn.

Nuttige eigenschappen en patronen van coëfficiënten.

Er zijn eigenschappen die het oplossen van vergelijkingen met grote coëfficiënten mogelijk maken.

ax 2 + bx+ c=0 gelijkwaardigheid

a + b+ c = 0, dan

— als voor de coëfficiënten van de vergelijking ax 2 + bx+ c=0 gelijkwaardigheid

a+ met =b, dan

Deze eigenschappen helpen om een bepaald soort vergelijkingen.

Voorbeeld 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

De som van de coëfficiënten is 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, dus

Voorbeeld 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Gelijkwaardigheid a+ met =b, middelen

Regelmatigheden van coëfficiënten.

1. Als in de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 de coëfficiënt "b" gelijk is aan (a 2 +1) en de coëfficiënt "c" numeriek is gelijk aan de coëfficiënt"a", dan zijn de wortels gelijk

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Voorbeeld. Beschouw de vergelijking 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Als in de vergelijking ax 2 - bx + c \u003d 0, de coëfficiënt "b" is (a 2 +1) en de coëfficiënt "c" numeriek gelijk is aan de coëfficiënt "a", dan zijn de wortels ervan

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Voorbeeld. Beschouw de vergelijking 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Als in de vergelijking ax 2 + bx - c = 0 coëfficiënt "b" is gelijk aan (een 2 – 1), en de coëfficiënt “c” numeriek gelijk aan de coëfficiënt "a", dan zijn de wortels gelijk

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Voorbeeld. Beschouw de vergelijking 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Als in de vergelijking ax 2 - bx - c \u003d 0, de coëfficiënt "b" gelijk is aan (a 2 - 1), en de coëfficiënt c numeriek gelijk is aan de coëfficiënt "a", dan zijn de wortels

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Voorbeeld. Beschouw de vergelijking 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

De stelling van Vieta.

De stelling van Vieta is vernoemd naar de beroemde Franse wiskundige François Vieta. Met behulp van de stelling van Vieta kan men de som en het product van de wortels van een willekeurige KU uitdrukken in termen van zijn coëfficiënten.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Kortom, het getal 14 geeft alleen 5 en 9. Dit zijn de wortels. Met een bepaalde vaardigheid, met behulp van de gepresenteerde stelling, kun je veel kwadratische vergelijkingen onmiddellijk mondeling oplossen.

De stelling van Vieta bovendien. handig omdat na het oplossen van de kwadratische vergelijking op de gebruikelijke manier (via de discriminant), de resulterende wortels kunnen worden gecontroleerd. Ik raad aan om dit altijd te doen.

OVERDRACHT METHODE:

Met deze methode wordt de coëfficiënt "a" vermenigvuldigd met de vrije term, alsof hij ernaar is "overgedragen", daarom wordt het genoemd overdracht methode. Deze methode wordt gebruikt wanneer het gemakkelijk is om de wortels van een vergelijking te vinden met behulp van de stelling van Vieta en, belangrijker nog, wanneer de discriminant een exact vierkant is.

Als een a± b+c≠ 0, dan wordt de overdrachtstechniek gebruikt, bijvoorbeeld:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Volgens de stelling van Vieta in vergelijking (2) is het gemakkelijk om te bepalen dat x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

De verkregen wortels van de vergelijking moeten worden gedeeld door 2 (aangezien de twee werden "gegooid" van x 2), krijgen we

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Wat is de reden? Kijk wat er gebeurt.

De discriminanten van vergelijkingen (1) en (2) zijn:

Als we naar de wortels van de vergelijkingen kijken, krijgen we alleen verschillende noemers, en het resultaat hangt af van de coëfficiënt bij x 2:

De tweede (gemodificeerde) wortels zijn 2 keer groter.

Daarom delen we het resultaat door 2.

*Als we three of a kind gooien, delen we het resultaat door 3, enzovoort.

Antwoord: x 1 = 5 x 2 = 0,5

vierkante meter ur-ie en het examen.

Ik zal kort iets zeggen over het belang ervan - JE MOET snel en zonder na te denken KUNNEN BESLISSEN, je moet de formules van de wortels en de discriminant uit je hoofd kennen. Veel van de taken die deel uitmaken van de USE-taken komen neer op het oplossen van een kwadratische vergelijking (inclusief geometrische).

Wat is het vermelden waard!

1. De vorm van de vergelijking kan "impliciet" zijn. De volgende invoer is bijvoorbeeld mogelijk:

15+ 9x 2 - 45x = 0 of 15x+42+9x 2 - 45x=0 of 15 -5x+10x 2 = 0.

Je moet het naar een standaardformulier brengen (om niet in de war te raken bij het oplossen).

2. Onthoud dat x een onbekende waarde is en kan worden aangegeven met elke andere letter - t, q, p, h en andere.

Meer op een eenvoudige manier. Haal hiervoor z uit de haakjes. Je krijgt: z(az + b) = 0. Factoren kunnen worden geschreven: z=0 en az + b = 0, aangezien beide kunnen resulteren in nul. In de notatie az + b = 0, verplaatsen we de tweede naar rechts met een ander teken. Van hier krijgen we z1 = 0 en z2 = -b/а. Dit zijn de wortels van het origineel.

als er is onvolledige vergelijking van de vorm az² + c = 0, in dit geval worden ze gevonden door simpelweg de vrije term over te brengen naar de rechterkant van de vergelijking. Verander ook het teken. Je krijgt het record az² \u003d -s. Express z² = -c/a. Neem de wortel en noteer twee oplossingen - positief en negatieve betekenis vierkantswortel.

Notitie

Indien aanwezig in de vergelijking fractionele kansen vermenigvuldig de hele vergelijking met de juiste factor om de breuken kwijt te raken.

Kennis van het oplossen van kwadratische vergelijkingen is noodzakelijk voor zowel schoolkinderen als studenten, soms kan het een volwassene helpen bij het het leven van alledag. Er zijn meerdere bepaalde methoden oplossingen.

Kwadratische vergelijkingen oplossen

Een kwadratische vergelijking van de vorm a*x^2+b*x+c=0. Coëfficiënt x is de gewenste variabele, a, b, c - numerieke coëfficiënten. Onthoud dat het "+" teken kan veranderen in het "-" teken.

Om deze vergelijking op te lossen, moet je de stelling van Vieta gebruiken of de discriminant vinden. De meest gebruikelijke manier is om de discriminant te vinden, omdat het voor sommige waarden van a, b, c niet mogelijk is om de Vieta-stelling te gebruiken.

Om de discriminant (D) te vinden, moet je de formule D=b^2 - 4*a*c schrijven. De waarde van D kan groter dan, kleiner dan of gelijk aan nul zijn. Als D groter of kleiner is dan nul, dan zijn er twee wortels, als D = 0, dan blijft er maar één wortel over, meer bepaald kunnen we zeggen dat D in dit geval twee equivalente wortels heeft. Vervang de bekende coëfficiënten a, b, c in de formule en bereken de waarde.

Nadat u de discriminant hebt gevonden, gebruikt u de formules om x te vinden: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a waarbij sqrt de functie is om de vierkantswortel te nemen van gegeven nummer. Na het berekenen van deze uitdrukkingen, vind je de twee wortels van je vergelijking, waarna de vergelijking als opgelost wordt beschouwd.

Als D kleiner is dan nul, heeft het nog steeds wortels. Op school deze sectie praktisch niet bestudeerd. Universitaire studenten moeten zich bewust zijn van wat er opkomt een negatief getal onder de wortel. We komen er vanaf door het denkbeeldige deel te scheiden, dat wil zeggen, -1 onder de wortel is altijd gelijk aan het denkbeeldige element "i", dat wordt vermenigvuldigd met de wortel met hetzelfde positieve getal. Als bijvoorbeeld D=sqrt(-20), wordt na de transformatie D=sqrt(20)*i verkregen. Na deze transformatie wordt de oplossing van de vergelijking teruggebracht tot dezelfde bevinding van de wortels, zoals hierboven beschreven.

De stelling van Vieta bestaat uit de selectie van x(1) en x(2)-waarden. Twee gebruikt identieke vergelijkingen: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. En erg belangrijk punt is het teken voor de coëfficiënt b, onthoud dat dit teken tegenovergesteld is aan dat in de vergelijking. Op het eerste gezicht lijkt het berekenen van x(1) en x(2) heel eenvoudig, maar bij het oplossen kom je erachter dat de getallen exact moeten worden gekozen.

Elementen voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen

Volgens de regels van de wiskunde kunnen sommige worden ontbonden: (a + x (1)) * (b-x (2)) \u003d 0, als het je is gelukt om deze kwadratische vergelijking op deze manier te transformeren met behulp van wiskundige formules, voel je dan vrij om schrijf het antwoord op. x(1) en x(2) zijn gelijk aan de aangrenzende coëfficiënten tussen haakjes, maar met het tegenovergestelde teken.

Vergeet ook niet onvolledige kwadratische vergelijkingen. Het kan zijn dat u enkele termen mist, als dat zo is, dan zijn alle coëfficiënten gewoon gelijk aan nul. Als x^2 of x door niets wordt voorafgegaan, dan zijn de coëfficiënten a en b gelijk aan 1.

Yakupova MI 1

Smirnova Yu.V. een

1 Gemeentelijke begroting onderwijsinstelling gemiddeld brede school № 11

De tekst van het werk is geplaatst zonder afbeeldingen en formules.
Volledige versie werk is beschikbaar in het tabblad "Bestanden van werk" in PDF-formaat

Geschiedenis van kwadratische vergelijkingen

Babylon

De noodzaak om vergelijkingen op te lossen, niet alleen van de eerste graad, maar ook van de tweede graad, werd in de oudheid veroorzaakt door de noodzaak om problemen op te lossen met betrekking tot het vinden van gebieden percelen, met de ontwikkeling van astronomie en wiskunde zelf. Kwadratische vergelijkingen waren in staat om ongeveer 2000 voor Christus op te lossen. e. Babyloniërs. De regels voor het oplossen van deze vergelijkingen, uiteengezet in de Babylonische teksten, vallen in wezen samen met moderne, maar deze teksten missen het concept van een negatief getal en veelgebruikte methoden oplossingen van kwadratische vergelijkingen.

Het oude Griekenland

De oplossing van kwadratische vergelijkingen werd ook uitgevoerd in Het oude Griekenland wetenschappers zoals Diophantus, Euclid en Heron. Diophantus Diophantus van Alexandrië was een oude Griekse wiskundige die vermoedelijk in de 3e eeuw na Christus leefde. Het belangrijkste werk van Diophantus is "Rekenen" in 13 boeken. Euclides. Euclid is een oude Griekse wiskundige, de auteur van de eerste theoretische verhandeling over wiskunde die tot ons is gekomen, Heron. Heron - Griekse wiskundige en ingenieur voor de eerste keer in Griekenland in de 1e eeuw na Christus. geeft een puur algebraïsche manier om de kwadratische vergelijking op te lossen

India

Problemen met kwadratische vergelijkingen worden al gevonden in de astronomische verhandeling "Aryabhattam", opgesteld in 499 door de Indiase wiskundige en astronoom Aryabhatta. Een andere Indiase geleerde, Brahmagupta (7e eeuw), legde uit: algemene regel oplossingen van kwadratische vergelijkingen teruggebracht tot een enkele canonieke vorm: ax2 + bх = с, a> 0. (1) In vergelijking (1) kunnen de coëfficiënten negatief zijn. De regel van Brahmagupta valt in wezen samen met de onze. In India waren openbare wedstrijden voor het oplossen van moeilijke problemen heel gewoon. In een van de oude Indiase boeken wordt het volgende gezegd over dergelijke wedstrijden: “Zoals de zon de sterren overtreft met zijn schittering, zo wetenschapper man eclips glorie in populaire vergaderingen, het aanbieden en oplossen van algebraïsche problemen. Taken waren vaak in poëtische vorm gekleed.

Hier is een van de problemen van de beroemde Indiase wiskundige van de twaalfde eeuw. Bhaskara.

"Een speelse kudde apen

En twaalf langs de wijnstokken

Ze begonnen te springen, hangend

Ze kwadraat deel acht

Hoeveel apen waren?

Lekker in de wei

Vertel je me, in deze kudde?

Bhaskara's oplossing geeft aan dat de auteur zich bewust was van de tweeledigheid van de wortels van kwadratische vergelijkingen. Bhaskar schrijft de vergelijking die overeenkomt met het probleem in de vorm x2 - 64x = - 768 en om de linkerkant van deze vergelijking tot een vierkant te maken, voegt hij 322 toe aan beide delen, en krijgt dan: x2 - b4x + 322 = - 768 + 1024, (x - 32) 2 \u003d 256, x - 32 \u003d ± 16, x1 \u003d 16, x2 \u003d 48.

kwadratische vergelijkingen in Europa XVII eeuw

Formules voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen naar het model van Al - Khorezmi in Europa werden voor het eerst uiteengezet in het "Book of the Abacus", geschreven in 1202 door de Italiaanse wiskundige Leonardo Fibonacci. Dit omvangrijke werk, dat de invloed van de wiskunde weerspiegelt, zowel de landen van de islam als het oude Griekenland, onderscheidt zich door zowel volledigheid als duidelijkheid van presentatie. De auteur ontwikkelde onafhankelijk enkele nieuwe algebraïsche voorbeelden probleemoplossing en was de eerste in Europa die de introductie van negatieve getallen benaderde. Zijn boek droeg niet alleen bij aan de verspreiding van algebraïsche kennis in Italië, maar ook in Duitsland, Frankrijk en andere Europese landen. Veel taken uit het "Book of the Abacus" gingen over in bijna alle Europese leerboeken van de 16e - 17e eeuw. en gedeeltelijk XVIII. Afleiding van de formule voor het oplossen van een kwadratische vergelijking in algemeen beeld Viet heeft, maar Viet herkende alleen positieve wortels. De Italiaanse wiskundigen Tartaglia, Cardano, Bombelli behoorden tot de eersten in de 16e eeuw. Houd naast positieve ook rekening met en negatieve wortels. Pas in de zeventiende eeuw. Dankzij het werk van Girard, Descartes, Newton en anderen wetenschappers manier het oplossen van kwadratische vergelijkingen neemt een moderne vorm aan.

Definitie van een kwadratische vergelijking

Een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, waarbij a, b, c getallen zijn, wordt een kwadratische vergelijking genoemd.

Coëfficiënten van een kwadratische vergelijking

De getallen a, b, c zijn de coëfficiënten van de kwadratische vergelijking, a is de eerste coëfficiënt (vóór x²), a ≠ 0; b is de tweede coëfficiënt (vóór x); c is de vrije term (zonder x).

Welke van deze vergelijkingen zijn niet kwadratisch??

1. 4x² + 4x + 1 \u003d 0; 2. 5x - 7 \u003d 0; 3. - x² - 5x - 1 \u003d 0; 4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 \u003d 0; 6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 \u003d 0; 8. x² - 1 / x \u003d 0; 9. 2x² - x \u003d 0; 10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8х²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Soorten kwadratische vergelijkingen

Naam	Algemeen beeld van de vergelijking	Feature (welke coëfficiënten)	Vergelijkingsvoorbeelden
	ax2 + bx + c = 0	a, b, c - andere getallen dan 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
Incompleet
			x 2 - 1/5x = 0
Gegeven	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Een gereduceerde kwadratische vergelijking wordt genoemd, waarin de leidende coëfficiënt gelijk aan één. Zo'n vergelijking kan worden verkregen door de hele uitdrukking te delen door de leidende coëfficiënt a:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Een kwadratische vergelijking is compleet als alle coëfficiënten niet nul zijn.

Zo'n kwadratische vergelijking wordt onvolledig genoemd als ten minste één van de coëfficiënten, behalve de hoogste (ofwel de tweede coëfficiënt, ofwel de vrije term), gelijk is aan nul.

Manieren om kwadratische vergelijkingen op te lossen

ik weg. Algemene formule voor het berekenen van wortels

De wortels van een kwadratische vergelijking vinden bijl 2 + b + c = 0 in algemeen geval het volgende algoritme moet worden gebruikt:

Bereken de waarde van de discriminant van de kwadratische vergelijking: dit is de uitdrukking ervoor D= b 2 - 4ac

Afleiding van de formule:

Opmerking: het is duidelijk dat de formule voor een wortel van multipliciteit 2 een speciaal geval is van de algemene formule, deze wordt verkregen door de gelijkheid D=0 erin te substitueren, en de conclusie over de afwezigheid van echte wortels op D0, en (displaystyle ( sqrt (-1))=i) = ik.

De beschreven methode is universeel, maar verre van de enige. De oplossing van één vergelijking kan op verschillende manieren worden benaderd, de voorkeuren zijn meestal afhankelijk van de oplosser zelf. Bovendien blijken sommige methoden hiervoor vaak veel eleganter, eenvoudiger en minder tijdrovend te zijn dan de standaardmethode.

II manier. De wortels van een kwadratische vergelijking met een even coëfficiënt b III manier. Onvolledige kwadratische vergelijkingen oplossen

IV manier. Gedeeltelijke verhoudingen van coëfficiënten gebruiken

Er zijn speciale gevallen van kwadratische vergelijkingen waarin de coëfficiënten in relatie tot elkaar staan, wat het veel gemakkelijker maakt om ze op te lossen.

De wortels van een kwadratische vergelijking waarin de som van de leidende coëfficiënt en de vrije term gelijk is aan de tweede coëfficiënt

Als in een kwadratische vergelijking bijl 2 + bx + c = 0 de som van de eerste coëfficiënt en de vrije term is gelijk aan de tweede coëfficiënt: a+b=c, dan zijn de wortels -1 en het getal het tegenovergestelde van vrije term naar de leidende coëfficiënt ( -c/a).

Daarom moet men, alvorens een kwadratische vergelijking op te lossen, de mogelijkheid nagaan om deze stelling erop toe te passen: vergelijk de som van de leidende coëfficiënt en de vrije term met de tweede coëfficiënt.

De wortels van een kwadratische vergelijking waarvan de som van alle coëfficiënten nul is

Als in een kwadratische vergelijking de som van al zijn coëfficiënten gelijk is aan nul, dan zijn de wortels van zo'n vergelijking 1 en de verhouding van de vrije term tot de leidende coëfficiënt ( c/a).

Daarom moet men, alvorens de vergelijking met standaardmethoden op te lossen, de toepasbaarheid van deze stelling erop controleren: voeg alle coëfficiënten toe gegeven vergelijking en kijk of deze som nul is.

V-manier. Ontbinding van een vierkante trinominaal in lineaire factoren

Als een trinominaal van de vorm (displaystyle ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) op de een of andere manier kan worden weergegeven als een product van lineaire factoren (displaystyle (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), dan kunnen we de wortels van de vergelijking vinden bijl 2 + bx + c = 0- ze zullen -m / k en n / l zijn, inderdaad, omdat (displaystyle (kx+m)(lx+n)=0Longlinksrechtspijl kx+m=0cup lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, en door het oplossen van de aangegeven lineaire vergelijkingen, krijgen we het bovenstaande. Let daar op vierkante trinominaal wordt niet altijd ontleed in lineaire factoren met reële coëfficiënten: dit is mogelijk als de bijbehorende vergelijking reële wortels heeft.

Overweeg enkele speciale gevallen

Met behulp van de formule voor het kwadraat van de som (verschil)

Als een vierkante trinominaal de vorm heeft (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , dan kunnen we de bovenstaande formule toepassen in lineaire factoren en, zoek daarom wortels:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Selectie vol plein bedragen (verschillen)

Ook wordt de genoemde formule gebruikt met behulp van de methode genaamd "selectie van het volledige kwadraat van de som (verschil)". Met betrekking tot de gegeven kwadratische vergelijking met de eerder geïntroduceerde notatie betekent dit het volgende:

Opmerking: als je merkt gegeven formule samenvalt met degene die is voorgesteld in de sectie "Wortels van de gereduceerde kwadratische vergelijking", die op zijn beurt kan worden verkregen uit de algemene formule (1) door de gelijkheid a=1 te vervangen. Dit feit is niet zomaar een toeval: door de beschreven methode, na wat aanvullende redenering, is het mogelijk om af te leiden en algemene formule:, evenals om de eigenschappen van de discriminant te bewijzen.

VI manier. Met behulp van directe en inverse Vieta-stelling

De directe stelling van Vieta (zie hieronder in de sectie met dezelfde naam) en zijn inverse stelling stellen ons in staat om de gereduceerde kwadratische vergelijkingen mondeling op te lossen zonder toevlucht te nemen tot nogal omslachtige berekeningen met formule (1).

Volgens omgekeerde stelling, elk paar getallen (getal) (displaystyle x_(1),x_(2)) x 1 , waarbij x 2 de oplossing is van het onderstaande stelsel vergelijkingen, zijn de wortels van de vergelijking

In het algemene geval, dat wil zeggen, voor een niet-gereduceerde kwadratische vergelijking ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 \u003d -b / a, x 1 * x 2 \u003d c / a

Een directe stelling helpt je bij het verbaal selecteren van getallen die aan deze vergelijkingen voldoen. Met zijn hulp kun je de tekenen van de wortels bepalen zonder de wortels zelf te kennen. Volg hiervoor de regel:

1) als de vrije term negatief is, dan hebben de wortels ander teken, en de grootste modulo van de wortels is het teken, tegengesteld teken de tweede coëfficiënt van de vergelijking;

2) als de vrije term positief is, dan hebben beide wortels hetzelfde teken, en dit is het tegenovergestelde teken van de tweede coëfficiënt.

7e manier. Overdrachtsmethode:

De zogenaamde "transfer"-methode maakt het mogelijk om de oplossing van niet-gereduceerde en niet-transformeerbare vergelijkingen te reduceren tot de vorm van vergelijkingen verminderd met gehele coëfficiënten door ze te delen door de leidende coëfficiënt van vergelijkingen tot de oplossing van vergelijkingen verminderd met geheel getal coëfficiënten. Het is als volgt:

Vervolgens wordt de vergelijking mondeling opgelost op de hierboven beschreven manier, dan keren ze terug naar de oorspronkelijke variabele en vinden de wortels van de vergelijkingen (displaystyle y_(1)=ax_(1)) ja 1 = bijl 1 en ja 2 = bijl 2 .(displaystyle y_(2)=ax_(2))

meetkundig gevoel

De grafiek van een kwadratische functie is een parabool. De oplossingen (wortels) van een kwadratische vergelijking zijn de abscis van de snijpunten van de parabool met de abscis-as. Als de beschreven parabool kwadratische functie, snijdt de x-as niet, de vergelijking heeft geen echte wortels. Als de parabool de x-as op één punt snijdt (op het hoekpunt van de parabool), heeft de vergelijking één echte wortel (de vergelijking zou ook twee samenvallende wortels hebben). Als de parabool de x-as op twee punten snijdt, heeft de vergelijking twee reële wortels (zie afbeelding rechts).

Als coëfficiënt (displaystijl a) a positief, de takken van de parabool zijn naar boven gericht en vice versa. Als de coëfficiënt (weergavestijl b) bpositief (indien positief (displaystyle a) a, indien negatief, vice versa), dan ligt het hoekpunt van de parabool in het linker halfvlak en vice versa.

Toepassing van kwadratische vergelijkingen in het leven

De kwadratische vergelijking is wijdverbreid. Het wordt gebruikt in veel berekeningen, constructies, sporten en ook om ons heen.

Overweeg en geef enkele voorbeelden van de toepassing van de kwadratische vergelijking.

Sport. Hoge sprongen: tijdens de aanloop van de springer voor de meest nauwkeurige slag op de afstotingsbalk en hoge vlucht gebruik de berekeningen die bij de parabool horen.

Ook zijn vergelijkbare berekeningen nodig bij het werpen. Het vliegbereik van een object hangt af van een kwadratische vergelijking.

Astronomie. De baan van de planeten kan worden gevonden met behulp van een kwadratische vergelijking.

Vliegtuig vlucht. Het opstijgen van een vliegtuig is het belangrijkste onderdeel van de vlucht. Hier wordt de berekening gemaakt voor een kleine weerstand en startversnelling.

Ook worden kwadratische vergelijkingen gebruikt in verschillende economische disciplines, in programma's voor het verwerken van geluid, video, vector- en rasterafbeeldingen.

Conclusie

Als resultaat van het verrichte werk bleek dat kwadratische vergelijkingen wetenschappers in de oudheid aantrokken, ze kwamen ze al tegen bij het oplossen van enkele problemen en probeerden ze op te lossen. Overwegen verschillende manieren toen ik kwadratische vergelijkingen oploste, kwam ik tot de conclusie dat ze niet allemaal eenvoudig zijn. Naar mijn mening het meest de beste manier het oplossen van kwadratische vergelijkingen is een oplossing met formules. Formules zijn makkelijk te onthouden, deze methode is universeel. De hypothese dat vergelijkingen veel worden gebruikt in het leven en de wiskunde werd bevestigd. Na het onderwerp te hebben bestudeerd, heb ik veel geleerd interessante feiten over kwadratische vergelijkingen, hun gebruik, toepassing, typen, oplossingen. En ik zal ze met plezier blijven bestuderen. Ik hoop dat dit me zal helpen om mijn examens goed te doen.

Lijst met gebruikte literatuur

Site materialen:

Wikipedia

Les.rf . openen

Handboek van elementaire wiskunde Vygodsky M. Ya.

ik hoop te studeren Dit artikel, leer je de wortels van een volledige kwadratische vergelijking te vinden.

Met behulp van de discriminant worden alleen volledige kwadratische vergelijkingen opgelost; om onvolledige kwadratische vergelijkingen op te lossen, worden andere methoden gebruikt, die u kunt vinden in het artikel "Onvolledige kwadratische vergelijkingen oplossen".

Welke kwadratische vergelijkingen worden compleet genoemd? Dit is vergelijkingen van de vorm ax 2 + b x + c = 0, waarbij de coëfficiënten a, b en c niet gelijk zijn aan nul. Dus om de volledige kwadratische vergelijking op te lossen, moet je de discriminant D berekenen.

D \u003d b 2 - 4ac.

Afhankelijk van welke waarde de discriminant heeft, schrijven we het antwoord op.

Als de discriminant een negatief getal is (D< 0),то корней нет.

Als de discriminant nul is, dan x \u003d (-b) / 2a. Wanneer de discriminant positief nummer(D > 0),

dan x 1 = (-b - √D)/2a, en x 2 = (-b + √D)/2a.

Bijvoorbeeld. los De vergelijking op x 2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Antwoord: 2.

Los vergelijking 2 . op x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Antwoord: geen wortels.

Los vergelijking 2 . op x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Antwoord: - 3,5; een.

Laten we ons dus de oplossing van volledige kwadratische vergelijkingen voorstellen volgens het schema in figuur 1.

Deze formules kunnen worden gebruikt om elke volledige kwadratische vergelijking op te lossen. Je moet gewoon voorzichtig zijn om de vergelijking is geschreven als een polynoom standaardweergave

a x 2 + bx + c, anders kunt u een fout maken. Als u bijvoorbeeld de vergelijking x + 3 + 2x 2 = 0 schrijft, kunt u ten onrechte besluiten dat

a = 1, b = 3 en c = 2. Dan

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 en dan heeft de vergelijking twee wortels. En dit is niet waar. (Zie voorbeeld 2 oplossing hierboven).

Daarom, als de vergelijking niet wordt geschreven als een polynoom van de standaardvorm, moet eerst de volledige kwadratische vergelijking worden geschreven als een polynoom van de standaardvorm (de monomiaal met de grootste exponent moet in de eerste plaats zijn, dat wil zeggen a x 2 , dan met minder – bx, en dan de vrije termijn met.

Bij het oplossen van de bovenstaande kwadratische vergelijking en de kwadratische vergelijking met een even coëfficiënt voor de tweede term, kunnen ook andere formules worden gebruikt. Laten we kennis maken met deze formules. Als in de volledige kwadratische vergelijking met de tweede term de coëfficiënt even is (b = 2k), dan kan de vergelijking worden opgelost met behulp van de formules in het diagram van figuur 2.

Een volledige kwadratische vergelijking wordt gereduceerd genoemd als de coëfficiënt at x 2 is gelijk aan eenheid en de vergelijking heeft de vorm x 2 + px + q = 0. Een dergelijke vergelijking kan worden gegeven om op te lossen, of wordt verkregen door alle coëfficiënten van de vergelijking te delen door de coëfficiënt a staan ​​bij x 2 .

Figuur 3 toont een diagram van de oplossing van het gereduceerde kwadraat
vergelijkingen. Overweeg het voorbeeld van de toepassing van de formules die in dit artikel worden besproken.

Voorbeeld. los De vergelijking op

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Laten we deze vergelijking oplossen met behulp van de formules in figuur 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Antwoord: -1 - √3; –1 + √3

Je kunt zien dat de coëfficiënt bij x in deze vergelijking een even getal is, dat wil zeggen b \u003d 6 of b \u003d 2k, vanwaar k \u003d 3. Laten we dan proberen de vergelijking op te lossen met behulp van de formules in het figuurdiagram D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Antwoord: -1 - √3; –1 + √3. Als we zien dat alle coëfficiënten in deze kwadratische vergelijking deelbaar zijn door 3 en delen, krijgen we de gereduceerde kwadratische vergelijking x 2 + 2x - 2 = 0 We lossen deze vergelijking op met behulp van de formules voor de gereduceerde kwadratische vergelijking
vergelijkingen figuur 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Antwoord: -1 - √3; –1 + √3.

Zoals je kunt zien, kregen we hetzelfde antwoord bij het oplossen van deze vergelijking met behulp van verschillende formules. Daarom kun je, als je de formules in het diagram van figuur 1 goed onder de knie hebt, altijd elke volledige kwadratische vergelijking oplossen.

site, bij volledige of gedeeltelijke kopie van het materiaal, is een link naar de bron vereist.