Berekening van een bepaalde integraal door de methode van rechthoeken. Numerieke integratie

Jekaterinenburg

Berekening van een bepaalde integraal

Invoering

De taak van numerieke integratie van functies is om de geschatte waarde van een bepaalde integraal te berekenen:

gebaseerd op een reeks waarden van de integrand.( f(x) |x=x k = f(x k) = y k).

Formules voor de numerieke berekening van een enkele integraal worden kwadratuurformules genoemd, dubbel en meer meervoudig - kubiek.

De gebruikelijke techniek voor het construeren van kwadratuurformules is om de integrand f(x) op een segment te vervangen door een interpolerende of benaderende functie g(x) van een relatief eenvoudige vorm, bijvoorbeeld een polynoom, gevolgd door analytische integratie. Dit leidt tot de presentatie

Als we de restterm R[f] verwaarlozen, krijgen we de benaderende formule

Geef met y i = f(x i) de waarde van de integrand op verschillende punten op . Kwadratuurformules zijn formules van het gesloten type als x 0 =a, x n =b.

Als benaderende functie g(x), beschouwen we de interpolatiepolynoom on in de vorm van de Lagrange-polynoom:

, waarin , waarbij de restterm van de Lagrange-interpolatieformule is.

Formule (1) geeft

, (2)

. (3)

In formule (2) worden de grootheden () knopen genoemd, () - gewichten, - de fout van de kwadratuurformule. Als de gewichten () van de kwadratuurformule worden berekend met formule (3), dan wordt de bijbehorende kwadratuurformule de kwadratuurformule van het interpolatietype genoemd.

Samenvatten.

1. De gewichten () van de kwadratuurformule (2) voor een gegeven rangschikking van knopen zijn niet afhankelijk van het type integrand.

2. In kwadratuurformules van het interpolatietype kan de restterm R n [f] worden weergegeven als de waarde van een bepaalde differentiaaloperator op de functie f(x). Voor

3. Voor veeltermen tot en met de orde n is de kwadratuurformule (2) exact, d.w.z. . De hoogste graad van een polynoom waarvoor de kwadratuurformule exact is, wordt de graad van de kwadratuurformule genoemd.

Beschouw speciale gevallen van formules (2) en (3): de methode van rechthoeken, trapezoïden, parabolen (Simpson's methode). De namen van deze methoden zijn te danken aan de geometrische interpretatie van de bijbehorende formules.

Rechthoekmethode:

De definitieve integraal van de functie van de functie f(x): is numeriek gelijk aan de oppervlakte van het kromlijnige trapezium begrensd door de krommen y=0, x=a, x=b, y=f(x) (Figuur 1).

Rijst. 1 Oppervlakte onder de kromme y=f(x) Om deze oppervlakte te berekenen, wordt het gehele integratie-interval verdeeld in n gelijke deelintervallen van lengte h=(b-a)/n. De oppervlakte onder de integrand wordt ongeveer vervangen door de som van de oppervlakten van de rechthoeken, zoals weergegeven in figuur (2).

Rijst. 2 De oppervlakte onder de kromme y=f(x) wordt benaderd door de som van de oppervlakten van de rechthoeken
De som van de oppervlakten van alle rechthoeken wordt berekend met de formule

De methode die wordt weergegeven door formule (4) wordt de linkervakmethode genoemd en de methode die wordt weergegeven door formule (5) wordt de rechtervakmethode genoemd:

De fout bij het berekenen van de integraal wordt bepaald door de waarde van de integratiestap h. Hoe kleiner de integratiestap, hoe nauwkeuriger de integrale som S de waarde van de integraal I benadert. Op basis hiervan wordt een algoritme gebouwd om de integraal met een bepaalde nauwkeurigheid te berekenen. Aangenomen wordt dat de integrale som S de waarde van de integraal I voorstelt met een nauwkeurigheid van eps, als het verschil in absolute waarde tussen de integrale sommen en berekend met respectievelijk de stap h en h/2 niet groter is dan eps.

Om een bepaalde integraal te vinden met behulp van de methode van middelste rechthoeken, wordt het gebied begrensd door lijnen a en b verdeeld in n rechthoeken met dezelfde basis h, de hoogten van de rechthoeken zijn de snijpunten van de functie f(x) met de middelpunten van de rechthoeken (h/2). De integraal zal numeriek gelijk zijn aan de som van de oppervlakten van n rechthoeken (Figuur 3).

Rijst. 3 De oppervlakte onder de kromme y=f(x) wordt benaderd door de som van de oppervlakten van de rechthoeken

n is het aantal partities van het segment .

Trapeziumvormige methode:

Om een definitieve integraal te vinden met behulp van de trapeziummethode, wordt het gebied van een kromlijnig trapezium ook verdeeld in n rechthoekige trapeziums met hoogten h en basen y 1, y 2, y 3,..y n, waarbij n het nummer is van de rechthoekig trapezium. De integraal zal numeriek gelijk zijn aan de som van de oppervlakten van rechthoekige trapezoïden (Figuur 4).

Rijst. 4 De oppervlakte onder de kromme y=f(x) wordt benaderd door de som van de oppervlakten van rechthoekige trapezoïden.

n is het aantal partities

(6)

De fout van de trapeziumformule wordt geschat door het getal

De fout van de trapeziumformule neemt sneller af met groei dan de fout van de rechthoekformule. Daarom kunt u met de trapeziumformule meer nauwkeurigheid krijgen dan de rechthoekmethode.

Simpson-formule

Als we voor elk paar segmenten een polynoom van de tweede graad construeren, dit vervolgens integreren op het segment en de optellingseigenschap van de integraal gebruiken, dan verkrijgen we de Simpson-formule.

In Simpson's methode voor het berekenen van de bepaalde integraal wordt het gehele integratie-interval verdeeld in deelintervallen van gelijke lengte h=(ba)/n. Het aantal partitiesegmenten is een even getal. Vervolgens wordt op elk paar aangrenzende subintervallen de subintegrale functie f(x) vervangen door een Lagrange-polynoom van de tweede graad (Figuur 5).

Rijst. 5 De functie y=f(x) op het segment wordt vervangen door een polynoom van de 2e orde

Beschouw de integrand op het interval . Laten we deze integrand vervangen door een tweedegraads Lagrange-interpolatiepolynoom die samenvalt met y= in de punten :

We integreren op het segment .:

We introduceren een verandering van variabelen:

Gezien de vervangingsformules,

Na integratie krijgen we de Simpson-formule:

De verkregen waarde voor de integraal valt samen met het gebied van een kromlijnig trapezium begrensd door de as , rechte lijnen en een parabool die door de punten gaat. Op het segment ziet de formule van Simpson er als volgt uit:

In de paraboolformule heeft de waarde van de functie f (x) op oneven splitspunten x 1, x 3, ..., x 2 n -1 een coëfficiënt van 4, op even punten x 2, x 4, .. ., x 2 n -2 - coëfficiënt 2 en op twee grenspunten x 0 \u003d a, x n \u003d b - coëfficiënt 1.

De geometrische betekenis van de formule van Simpson: de oppervlakte van een kromlijnig trapezium onder de grafiek van de functie f(x) op een segment wordt bij benadering vervangen door de som van de oppervlakten van de figuren die onder de parabolen liggen.

Als de functie f(x) een continue afgeleide heeft van de vierde orde, dan is de absolute waarde van de fout van de Simpson-formule niet meer dan

waarbij M de grootste waarde in het segment is. Aangezien n 4 sneller groeit dan n 2 , neemt de fout van de formule van Simpson af naarmate n veel sneller toeneemt dan de fout van de trapeziumformule.

We berekenen de integraal

Deze integraal is eenvoudig te berekenen:

Laten we n gelijk aan 10 nemen, h=0.1, bereken de waarden van de integrand op de partitiepunten, evenals half-gehele punten .

Volgens de formule van de middelste rechthoeken krijgen we I recht = 0,785606 (de fout is 0,027%), volgens de trapeziumformule I trap = 0,784981 (de fout is ongeveer 0,054. Bij gebruik van de methode van rechts en links rechthoeken, de fout is meer dan 3%.

Om de nauwkeurigheid van de benaderende formules te vergelijken, berekenen we nogmaals de integraal

maar nu door de Simpson-formule voor n=4. We verdelen het segment in vier gelijke delen met punten x 0 \u003d 0, x 1 \u003d 1/4, x 2 \u003d 1/2, x 3 \u003d 3/4, x 4 \u003d 1 en berekenen ongeveer de waarden van de functie f (x) \u003d 1 / ( 1+x) op deze punten: y 0 =1.0000, y 1 =0.8000, y 2 =0.6667, y 3 =0.5714, y 4 =0.5000.

Volgens de formule van Simpson krijgen we

Laten we de fout van het verkregen resultaat schatten. Voor de integrand f(x)=1/(1+x) geldt: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , waaruit volgt dat op het segment . Daarom kunnen we M=24 nemen, en de resultaatfout is niet groter dan 24/(2880× 4 4)=0,0004. Als we de geschatte waarde vergelijken met de exacte, concluderen we dat de absolute fout van het resultaat verkregen door de Simpson-formule kleiner is dan 0,00011. Dit is in overeenstemming met de hierboven gegeven foutschatting en geeft bovendien aan dat de Simpson-formule veel nauwkeuriger is dan de trapeziumformule. Daarom wordt de Simpson-formule voor de benaderende berekening van bepaalde integralen vaker gebruikt dan de trapeziumformule.

Vergelijking van methoden voor nauwkeurigheid

Laten we de methoden vergelijken in termen van nauwkeurigheid, hiervoor berekenen we de integraal van de functies y=x, y=x+2, y=x 2 , bij n=10 en n=60, a=0, b=10 . De exacte waarde van de integralen is respectievelijk: 50, 70, 333.(3)

tafel 1

Tabel 1 laat zien dat de meest nauwkeurige de integraal is gevonden door de Simpson-formule, bij het berekenen van de lineaire functies y=x, y=x+2, wordt de nauwkeurigheid ook bereikt door de methoden van middelste rechthoeken en de trapeziummethode, de methode van rechtse rechthoeken is minder nauwkeurig. Tabel 1 laat zien dat met een toename van het aantal partities n (een toename van het aantal integraties), de nauwkeurigheid van de benaderende berekening van de integralen toeneemt

Opdracht voor laboratoriumwerk

1) Schrijf programma's voor het berekenen van een bepaalde integraal met behulp van methoden: middelste, rechter rechthoeken, trapezium en de methode van Simpson. Voer de integratie van de volgende functies uit:

op een segment met een stap , ,

3. Voer een variant van een individuele taak uit (tabel 2)

Tabel 2 Individuele taakopties

	Functie f(x)	Segment van integratie

2) Voer een vergelijkende analyse van de methoden uit.

Berekening van een bepaalde integraal: Richtlijnen voor laboratoriumwerk in het vakgebied "Computationele wiskunde" / comp. IA Selivanova. Jekaterinenburg: GOU VPO USTU-UPI, 2006. 14 p.

De instructies zijn bedoeld voor studenten van alle vormen van onderwijs van de specialiteit 230101 - "Computers, complexen, systemen en netwerken" en bachelors van de richting 230100 - "Informatica en computertechnologie". Samengesteld door Selivanova Irina Anatolyevna

Grafische afbeelding:

Laten we de geschatte waarde van de integraal berekenen. Om de nauwkeurigheid te beoordelen, gebruiken we de berekening volgens de methode van linker- en rechterrechthoeken.

Bereken de stap bij het splitsen in 10 delen:

De splitpunten van het segment worden gedefinieerd als.

We berekenen de geschatte waarde van de integraal met behulp van de formules van de linker rechthoeken:

0.1(0.6288+0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924)0.5486

We berekenen de geschatte waarde van de integraal met behulp van de formules van de juiste rechthoeken:

0.1(0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924+0.4848)0.5342

Oplossing van een randwaardeprobleem voor een gewone differentiaalvergelijking door de sweep-methode.

Voor een benaderende oplossing van een gewone differentiaalvergelijking kan de sweep-methode worden gebruikt.

Overweeg een lineaire d.p.

y""+p(x)y"+q(x)y=f(x) (1)

met tweepunts lineaire randvoorwaarden

Laten we de notatie introduceren:

De sweep-methode bestaat uit een "voorwaartse beweging", waarbij de coëfficiënten worden bepaald:

Na het uitvoeren van de "voorwaartse beweging", gaan ze verder met de uitvoering van de "omgekeerde beweging", die bestaat uit het bepalen van de waarden van de gewenste functie volgens de formules:

Stel met behulp van de sweep-methode nauwkeurig een oplossing voor het randwaardeprobleem voor een gewone differentiaalvergelijking samen; Stap h=0.05

2; A=1; =0; B=1,2;

Het Dirichlet-probleem voor de Laplace-vergelijking volgens de rastermethode

Vind een continue functie u(x, y) die voldoet aan de Laplace-vergelijking in een rechthoekig gebied

en het aannemen van de grens van het gebied gegeven waarden, d.w.z.

waarbij f l , f 2 , f 3 , f 4 functies zijn gegeven.

Door de notatie in te voeren, benaderen we de partiële afgeleiden en bij elk intern rasterknooppunt met de tweede-orde centrale verschilderivaten

en vervang de Laplace-vergelijking door een eindige differentievergelijking

De fout bij het vervangen van een differentiaalvergelijking door een verschil is .

Vergelijkingen (1) vormen samen met de waarden op de grensknooppunten een stelsel van lineaire algebraïsche vergelijkingen voor de benaderende waarden van de functie u(x, y) op de rasterknooppunten. Dit systeem heeft de eenvoudigste vorm wanneer:

Bij het verkrijgen van rastervergelijkingen (2) werd het schema van knooppunten getoond in Fig. 1 gebruikt. 1. De set knooppunten die wordt gebruikt om de vergelijking in een punt te benaderen, wordt een sjabloon genoemd.

Foto 1

De numerieke oplossing van het Dirichlet-probleem voor de Laplace-vergelijking in een rechthoek bestaat uit het vinden van de geschatte waarden van de gewenste functie u(x, y) op de interne knooppunten van het raster. Om de grootheden te bepalen, is het nodig om het stelsel lineaire algebraïsche vergelijkingen (2) op te lossen.

In dit artikel wordt het opgelost door de Gauss-Seidel-methode, die bestaat uit het construeren van een reeks iteraties van de vorm

(het superscript s geeft het iteratienummer aan). Voor , de rij convergeert naar de exacte oplossing van systeem (2). Als voorwaarde voor het beëindigen van het iteratieve proces kan men nemen:

De fout van de benaderde oplossing verkregen door de rastermethode bestaat dus uit twee fouten: de fout bij het benaderen van de differentiaalvergelijking door verschil; fout die voortvloeit uit de benaderde oplossing van het stelsel van differentievergelijkingen (2).

Het is bekend dat het hier beschreven verschilschema de eigenschap heeft van stabiliteit en convergentie. De stabiliteit van het schema betekent dat kleine veranderingen in de initiële data leiden tot kleine veranderingen in de oplossing van het verschilprobleem. Alleen dergelijke schema's zijn zinvol om in reële berekeningen toe te passen. De convergentie van het schema betekent dat wanneer de rasterstap neigt naar nul (), de oplossing van het verschilprobleem in zekere zin neigt naar de oplossing van het oorspronkelijke probleem. Dus door een voldoende kleine stap h te kiezen, kan men het oorspronkelijke probleem willekeurig precies oplossen.

Stel met behulp van de rastermethode een benaderende oplossing van het Dirichlet-probleem op voor de Laplace-vergelijking in het vierkant ABCD met hoekpunten A(0;0) B(0;1) C(1;1) D(1;0); stap h=0,02. Gebruik bij het oplossen van het probleem het iteratieve Libman-middelingsproces totdat een antwoord is verkregen met een nauwkeurigheid van 0,01.

1) Bereken de waarden van de functie aan de zijkanten:

1. Aan de AB-kant: volgens de formule. u(0;0)=0 u(0;0,2)=9,6 u(0;0,4)=16,8 u(0;0,6)=19,2 u(0;0,8)=14,4 u(0;1)=0
2. BC-zijde = 0
3. Aan de zijkant CD=0

4. Aan de AD-kant: volgens de formule u(0;0)=0 u(0.2;0)=29.376 u(0.4;0)=47.542 u(0.6;0)=47.567 u(0.8;0)=29.44 u(1;0)=0
2) Om de waarden van de functie op de interne punten van het gebied te bepalen met behulp van de rastermethode, vervangen we de gegeven Laplace-vergelijking op elk punt door een eindige-verschilvergelijking volgens de formule

Met behulp van deze formule zullen we een vergelijking maken voor elk binnenpunt. Als resultaat krijgen we een stelsel vergelijkingen.

De oplossing van dit systeem wordt uitgevoerd door de iteratieve methode van het Liebman-type. Voor elke waarde stellen we een rij samen die we opbouwen tot convergentie in honderdsten. Laten we de relaties opschrijven met behulp waarvan we de elementen van alle reeksen zullen vinden:

Voor berekeningen met deze formules is het noodzakelijk om de beginwaarden te bepalen die op enigerlei wijze kunnen worden gevonden.

3) Om de initiële benadering van het probleem te verkrijgen, nemen we aan dat de functie u(x,y) uniform is verdeeld langs de horizontalen van het gebied.

Beschouw eerst een horizontale lijn met grenspunten (0;0.2) en (1;0.2).

Laten we de gewenste waarden van de functie op interne punten aanduiden.

Aangezien het segment in 5 delen is verdeeld, is de meetstap van de functie:

Dan krijgen we:

Evenzo vinden we de waarden van de functie op de binnenste punten van andere horizontalen. Voor een horizontaal, met grenspunten (0;0.4) en (1;0.4) hebben we

Voor een horizontaal met grenspunten (0;0.6) en (1;0.6) geldt:

Als laatste vinden we de waarden voor de horizontaal met de grenspunten (0;0.8) en (1;0.8).

We zullen alle verkregen waarden in de volgende tabel presenteren, die het nulpatroon wordt genoemd:

Schatting van de resterende looptijd van de formule:

Dienstopdracht. De service is bedoeld voor online berekening van een bepaalde integraal met behulp van de formule van rechthoeken.

Instructie. Voer de integrand f(x) in, klik op Oplossen. De resulterende oplossing wordt opgeslagen in een Word-bestand. Er wordt ook een oplossingssjabloon gemaakt in Excel. Hieronder vindt u een video-instructie.

Functie-invoerregels

Voorbeelden
≡ x^2/(x+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3) Dit is de eenvoudigste kwadratuurformule voor het berekenen van de integraal, die één waarde van de functie gebruikt

(8.5.1)
waar ; h=x 1 -x 0 .
Formule (8.5.1) is de centrale formule voor rechthoeken. Laten we de rest berekenen. Laten we de functie y=f(x) in het punt ε 0 uitbreiden tot een Taylorreeks:
(8.5.2)
waar ; . We integreren (8.5.2):

(8.5.3)

In de tweede term is de integrand oneven en zijn de integratiegrenzen symmetrisch ten opzichte van het punt ε 0 . Daarom is de tweede integraal gelijk aan nul. Dus, uit (8.5.3) volgt: .
Aangezien de tweede factor van de integrand niet van teken verandert, verkrijgen we door de gemiddelde waardestelling , waar . Na integratie krijgen we . (8.5.4)
Als we vergelijken met de restterm van de trapeziumformule, zien we dat de fout van de rechthoekformule twee keer kleiner is dan de fout van de trapeziumformule. Dit resultaat is waar als we in de formule van rechthoeken de waarde van de functie in het middelpunt nemen.
We krijgen de formule van rechthoeken en de restterm voor het interval . Laat het rooster x i =a+ih, i=0,1,...,n, . Beschouw het rooster ε i =ε 0 +ih, i=1,2,..,n, ε 0 =a-h/2. Dan . (8.5.5)
Resterende termijn .
Geometrisch kan de formule van rechthoeken worden weergegeven door de volgende figuur:

Als de functie f (x) in een tabel wordt gegeven, dan wordt ofwel de linkerformule van rechthoeken gebruikt (voor een uniform raster)

of de rechtse formule van rechthoeken

.
De fout van deze formules wordt geschat via de eerste afgeleide. Voor het interval is de fout

; .
Na integratie krijgen we .

Voorbeeld. Bereken de integraal voor n=5:
a) volgens de trapeziumformule;
b) volgens de formule van rechthoeken;
c) volgens de Simpson-formule;
d) volgens de Gauss-formule;
e) volgens de Chebyshev-formule.
Bereken de fout.
Beslissing. Voor 5 integratieknooppunten is de rasterstap 0,125.
Bij het oplossen gebruiken we de tabel met functiewaarden. Hier f(x)=1/x.

	x		f(x)
x0	0.5	y0	2
x1	0.625	y1	1.6
x2	0.750	y2	1.33
x3	0.875	y3	1.14
x4	1.0	y4	1

a) trapeziumformule:
ik=h/2×;
ik=(0.125/2)×= 0.696;
R= [-(b-a)/12]×h×y¢¢(x);
f¢¢(x)=2/(x 3).
De maximale waarde van de tweede afgeleide van de functie op het interval is 16: max (f¢¢(x)), xн=2/(0,5 3)=16, dus
R=[-(1-0,5)/12]×0,125×16=- 0.0833;
b) formule van rechthoeken:
voor de linker formule I=h×(y0+y1+y2+y3);
I=0.125×(2+1,6+1,33+1,14)= 0.759;
R=[(b-a)/6]×h 2×y¢¢(x);
R=[(1-0,5)/6]×0,125 2×16= 0.02;
c) De formule van Simpson:
I=(2u/6)×(y0+y4+4×(y1+y3)+2×y2);
I=(2×0.125)/6×(2+1+4×(1.6+1.14)+2×1.33)= 0.693;
R=[-(b-a)/180]×h 4×y (4) (x);
f(4)(x)=24/(x5)=768;
R=[-(1-0.5)/180]×(0.125) 4×768 = - 5.2 e-4;
d) Gauss-formule:
ik=(ba)/2×;
x ik =(b+a)/2+t ik (b-a)/2
(A i , t i - tabelwaarden).

				t (n=5)		een (n=5)
x1	0.9765	y1	1.02	t1	0.90617985	een 1	0.23692688
x2	0.8846	y2	1.13	t2	0.53846931	A2	0.47862868
x3	0.75	y3	1.33	t3	0	een 3	0.56888889
x4	0.61	y4	1.625	t4	-0.53846931	A4	0.47862868
x5	0.52	y5	1.91	t5	-0.90617985	A5	0.23692688

I=(1-0,5)/2×(0,2416+0,5408+0,7566+0,7777+0,4525)= 0.6923;
e) Chebyshev-formule:
I=[(ba)/n] ×S f(x i), i=1..n,
x i =(b+a)/2+[ t i (b-a)]/2 - noodzakelijke reductie van het integratie-interval tot het interval [-1;1].
Voor n=5

t1	0.832498
t2	0.374541
t3	0
t4	-0.374541
t5	-0.832498

Laten we x-waarden en functiewaarden zoeken op deze punten:

x1	0,958	f(x1)	1,043
x2	0,844	f(x2)	1,185
x3	0,75	f(x3)	1,333
x4	0,656	f(x4)	1,524
x5	0,542	f(x5)	1,845

De som van de functiewaarden is 6.927.
I=(1-0,5)/5×6,927=0,6927.

In het algemeen linker rechthoek formule op het segment als volgt (21) :

In deze formule x 0 =a, x n =b, aangezien elke integraal er in het algemeen als volgt uitziet: (zie de formule 18 ).

h kan worden berekend met behulp van de formule 19 .

ja 0 ,y 1 ,...,y n-1 x 0 , x 1 ,...,x n-1 (x i =x ik-1 +h).

Formule van rechte rechthoeken.

In het algemeen formule rechts rechthoek op het segment als volgt (22) :

In deze formule x 0 =a, x n =b(zie formule voor linker rechthoeken).

h kan worden berekend met dezelfde formule als in de formule voor de linker rechthoeken.

ja 1 ,y 2 ,...,y n zijn de waarden van de corresponderende functie f(x) op de punten x 1 , x 2 ,...,x n (x i =x ik-1 +h).

Medium rechthoek formule.

In het algemeen middelste rechthoek formule op het segment als volgt (23) :

Waar x i =x ik-1 +h.

In deze formule, zoals in de vorige, is h vereist om de som van de waarden van de functie f (x) te vermenigvuldigen, maar niet alleen door de overeenkomstige waarden te vervangen x 0 ,x 1 ,...,x n-1 in de functie f(x), en optellen bij elk van deze waarden h/2(x 0 +h/2, x 1 +h/2,..., x n-1 +h/2) en dan alleen substitueren in de gegeven functie.

h kan worden berekend met dezelfde formule als in de formule voor linker rechthoeken." [ 6 ]

In de praktijk worden deze methoden als volgt geïmplementeerd:

Mathcad ;

excelleren .

Mathcad ;

excelleren .

Om de integraal te berekenen met behulp van de formule van gemiddelde rechthoeken in Excel, moet u de volgende stappen uitvoeren:

Werk verder in hetzelfde document als bij het berekenen van de integraal met behulp van de formules van de linker- en rechterrechthoeken.

Typ de tekst xi+h/2 in cel E6 en f(xi+h/2) in cel F6.

Voer de formule =B7+$B$4/2 in cel E7 in, kopieer deze formule door deze naar het celbereik E8:E16 te slepen

Voer de formule =ROOT(E7^4-E7^3+8) in cel F7 in, kopieer deze formule door naar het celbereik F8:F16 te trekken

Voer de formule =SUM(F7:F16) in cel F18 in.

Voer de formule =B4*F18 in cel F19 in.

Voer de tekst van gemiddelden in cel F20 in.

Als resultaat krijgen we het volgende:

Antwoord: de waarde van de gegeven integraal is 13.40797.

Op basis van de verkregen resultaten kan worden geconcludeerd dat de formule voor de middelste rechthoeken nauwkeuriger is dan de formules voor de rechter en linker rechthoeken.

1. Monte Carlo-methode

"Het belangrijkste idee van de Monte Carlo-methode is om willekeurige tests vele malen te herhalen. Een kenmerkend kenmerk van de Monte Carlo-methode is het gebruik van willekeurige getallen (numerieke waarden van een willekeurige variabele). Dergelijke getallen kunnen worden verkregen met Willekeurige nummergeneratoren.De programmeertaal Turbo Pascal heeft bijvoorbeeld een standaardfunctie willekeurig, waarvan de waarden willekeurige getallen zijn die uniform zijn verdeeld over het interval . Dit betekent dat als u het gespecificeerde segment in een bepaald aantal gelijke intervallen verdeelt en de waarde van de willekeurige functie een groot aantal keren berekent, er ongeveer hetzelfde aantal willekeurige getallen in elk interval zal vallen. In de programmeertaal wastafel is een soortgelijke sensor de rnd-functie. In spreadsheet MS Excel is de functie RAND geeft een uniform verdeeld willekeurig getal groter dan of gelijk aan 0 en kleiner dan 1 (verandert bij herberekening)" [ 7 ].

Om het te berekenen, moet je de formule gebruiken: () :

Waarbij (i=1, 2, …, n) willekeurige getallen zijn die in het interval liggen .

Om dergelijke getallen te verkrijgen op basis van een reeks willekeurige getallen x i uniform verdeeld in het interval , volstaat het om de transformatie x i =a+(b-a)x i uit te voeren.

In de praktijk wordt deze methode als volgt geïmplementeerd:

Om de integraal te berekenen met de Monte Carlo-methode in Excel, moet u de volgende stappen uitvoeren:

Voer in cel B1 de tekst n= in.

Voer in cel B2 de tekst a= in.

Voer in cel B3 de tekst b= in.

Voer het getal 10 in cel C1 in.

Voer het getal 0 in cel C2 in.

Voer in cel C3 het getal 3.2 in.

Voer in cel A5 I in, in B5 - xi, in C5 - f (xi).

Cellen A6:A15 vullen met nummers 1,2,3, ..., 10 - sinds n=10.

Voer de formule =RAND()*3.2 in cel B6 in (getallen worden gegenereerd in het bereik van 0 tot 3.2), kopieer deze formule door naar het celbereik B7:B15 te trekken.

Voer de formule =ROOT(B6^4-B6^3+8) in cel C6 in, kopieer deze formule door deze naar het celbereik C7:C15 te slepen.

Voer de tekst "som" in cel B16, "(b-a)/n" in B17 en "I=" in B18 in.

Voer de formule =SUM(C6:C15) in cel C16 in.

Voer de formule =(C3-C2)/C1 in cel C17 in.

Voer de formule =C16*C17 in cel C18 in.

Als resultaat krijgen we:

Antwoord: de waarde van de gegeven integraal is 13.12416.