De eenvoudigste differentiaalvergelijkingen van de eerste orde zijn voorbeelden. Differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

Educatieve instelling "Wit-Russische staat

agrarische Academie"

Afdeling Hogere Wiskunde

EERSTE BESTELLING DIFFERENTIEELVERGELIJKINGEN

College samenvatting voor studenten boekhouding

correspondentie vorm van onderwijs (NISPO)

Gorki, 2013

Differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

Het concept van een differentiaalvergelijking. Algemene en bijzondere oplossingen

Bij het bestuderen van verschillende verschijnselen is het vaak niet mogelijk om een ​​wet te vinden die de onafhankelijke variabele en de gewenste functie direct verbindt, maar het is wel mogelijk om een ​​verband te leggen tussen de gewenste functie en zijn afgeleiden.

De relatie die de onafhankelijke variabele, de gewenste functie en zijn afgeleiden verbindt, heet differentiaalvergelijking :

Hier x is een onafhankelijke variabele, ja is de gewenste functie,
zijn de afgeleiden van de gewenste functie. In dit geval vereist relatie (1) de aanwezigheid van ten minste één afgeleide.

De volgorde van de differentiaalvergelijking is de orde van de hoogste afgeleide in de vergelijking.

Beschouw de differentiaalvergelijking

. (2)

Aangezien deze vergelijking alleen een afgeleide van de eerste orde bevat, wordt deze genoemd is een differentiaalvergelijking van de eerste orde.

Als vergelijking (2) kan worden opgelost met betrekking tot de afgeleide en geschreven als

, (3)

dan wordt zo'n vergelijking in normaalvorm een ​​differentiaalvergelijking van de eerste orde genoemd.

In veel gevallen is het raadzaam om een ​​vergelijking van de vorm te overwegen

Wat genoemd wordt als een differentiaalvergelijking van de eerste orde geschreven in differentiaalvorm.

Als
, dan kan vergelijking (3) worden geschreven als
of
, waar men kan tellen
en
. Dit betekent dat vergelijking (3) is omgezet in vergelijking (4).

We schrijven vergelijking (4) in de vorm
. Dan
,
,
, waar men kan tellen
, d.w.z. een vergelijking van de vorm (3) wordt verkregen. De vergelijkingen (3) en (4) zijn dus equivalent.

Door de differentiaalvergelijking op te lossen (2) of (3) elke functie wordt aangeroepen
, die, bij vervanging in vergelijking (2) of (3), het in een identiteit verandert:

of
.

Het proces van het vinden van alle oplossingen van een differentiaalvergelijking heet zijn integratie , en de oplossingsgrafiek
differentiaalvergelijking heet integrale kromme deze vergelijking.

Als de oplossing van de differentiaalvergelijking wordt verkregen in impliciete vorm
, dan heet het integraal gegeven differentiaalvergelijking.

Algemene oplossing differentiaalvergelijking van de eerste orde is een familie van functies van de vorm
, afhankelijk van een willekeurige constante Met, die elk een oplossing zijn van de gegeven differentiaalvergelijking voor elke toelaatbare waarde van een willekeurige constante Met. De differentiaalvergelijking heeft dus een oneindig aantal oplossingen.

privé beslissing differentiaalvergelijking wordt de oplossing genoemd die is verkregen uit de algemene oplossingsformule voor een specifieke waarde van een willekeurige constante Met, inclusief
.

Het Cauchy-probleem en zijn geometrische interpretatie

Vergelijking (2) heeft een oneindig aantal oplossingen. Om één oplossing uit deze verzameling te onderscheiden, die een bepaalde oplossing wordt genoemd, moeten enkele aanvullende voorwaarden worden gespecificeerd.

Het probleem van het vinden van een bepaalde oplossing voor vergelijking (2) onder gegeven omstandigheden heet Cauchy-probleem . Dit probleem is een van de belangrijkste in de theorie van differentiaalvergelijkingen.

Het Cauchy-probleem is als volgt geformuleerd: vind onder alle oplossingen van vergelijking (2) zo'n oplossing
, waarin de functie
neemt een bepaalde numerieke waarde aan als de onafhankelijke variabele x neemt een bepaalde numerieke waarde aan , d.w.z.

,
, (5)

waar D is het domein van de functie
.

Betekenis genaamd de beginwaarde van de functie , a – beginwaarde van de onafhankelijke variabele . Conditie (5) heet begintoestand of Cauchy conditie .

Geometrisch gezien kan het Cauchy-probleem voor differentiaalvergelijking (2) als volgt worden geformuleerd: selecteer uit de verzameling integrale krommen van vergelijking (2) degene die door een bepaald punt gaat
.

Differentiaalvergelijkingen met scheidbare variabelen

Een van de eenvoudigste soorten differentiaalvergelijkingen is een differentiaalvergelijking van de eerste orde die niet de gewenste functie bevat:

. (6)

Gezien het feit dat
, schrijven we de vergelijking in de vorm
of
. Als we beide zijden van de laatste vergelijking integreren, krijgen we:
of

. (7)

(7) is dus een algemene oplossing voor vergelijking (6).

voorbeeld 1 . Vind de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking
.

Beslissing . We schrijven de vergelijking in de vorm
of
. We integreren beide delen van de resulterende vergelijking:
,
. Laten we eindelijk opschrijven
.

Voorbeeld 2 . Vind een oplossing voor de vergelijking
gegeven dat
.

Beslissing . Laten we de algemene oplossing van de vergelijking zoeken:
,
,
,
. op voorwaarde
,
. Vervang in de algemene oplossing:
of
. We vervangen de gevonden waarde van een willekeurige constante in de formule voor de algemene oplossing:
. Dit is de specifieke oplossing van de differentiaalvergelijking die aan de gegeven voorwaarde voldoet.

De vergelijking

(8)

genaamd een differentiaalvergelijking van de eerste orde die geen onafhankelijke variabele bevat . We schrijven het in de vorm
of
. We integreren beide delen van de laatste vergelijking:
of
- algemene oplossing van vergelijking (8).

Voorbeeld . Vind een algemene oplossing voor de vergelijking
.

Beslissing . We schrijven deze vergelijking in de vorm:
of
. Dan
,
,
,
. Dus,
is de algemene oplossing van deze vergelijking.

Typ vergelijking

(9)

geïntegreerd met behulp van scheiding van variabelen. Om dit te doen, schrijven we de vergelijking in de vorm
, en dan, met behulp van de bewerkingen van vermenigvuldigen en delen, brengen we het in een zodanige vorm dat één deel alleen de functie van bevat X en differentieel dx, en in het tweede deel - een functie van Bij en differentieel verdorie. Om dit te doen, moeten beide zijden van de vergelijking worden vermenigvuldigd met dx en delen door
. Als resultaat krijgen we de vergelijking

, (10)

waarin de variabelen X en Bij gescheiden. We integreren beide delen van vergelijking (10):
. De resulterende relatie is de algemene integraal van vergelijking (9).

Voorbeeld 3 . Integreer vergelijking
.

Beslissing . Transformeer de vergelijking en scheid de variabelen:
,
. Laten we integreren:
,
of is de algemene integraal van deze vergelijking.
.

Laat de vergelijking worden gegeven in de vorm

Zo'n vergelijking heet differentiaalvergelijking van de eerste orde met scheidbare variabelen in symmetrische vorm.

Om de variabelen te scheiden, moeten beide zijden van de vergelijking worden gedeeld door
:

. (12)

De resulterende vergelijking heet gescheiden differentiaalvergelijking . We integreren vergelijking (12):

.(13)

Relatie (13) is een algemene integraal van differentiaalvergelijking (11).

Voorbeeld 4 . Integreer de differentiaalvergelijking.

Beslissing . We schrijven de vergelijking in de vorm

en verdeel beide delen in
,
. De resulterende vergelijking:
is een gescheiden variabele vergelijking. Laten we het integreren:

,
,

,
. De laatste gelijkheid is de algemene integraal van de gegeven differentiaalvergelijking.

Voorbeeld 5 . Zoek een bepaalde oplossing van een differentiaalvergelijking
, voldoet aan de voorwaarde
.

Beslissing . Gezien het feit dat
, schrijven we de vergelijking in de vorm
of
. Laten we de variabelen scheiden:
. Laten we deze vergelijking integreren:
,
,
. De resulterende relatie is de algemene integraal van deze vergelijking. op voorwaarde
. Substitueer in de algemene integraal en vind Met:
,Met=1. Dan de uitdrukking
is een bepaalde oplossing van de gegeven differentiaalvergelijking, geschreven als een bepaalde integraal.

Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

De vergelijking

(14)

genaamd lineaire differentiaalvergelijking van de eerste orde . onbekende functie
en zijn afgeleide voer deze vergelijking lineair in, en de functies
en
continu.

Als een
, dan de vergelijking

(15)

genaamd lineair homogeen . Als een
, dan heet vergelijking (14) lineair inhomogeen .

Om een ​​oplossing voor vergelijking (14) te vinden, gebruikt men gewoonlijk substitutiemethode (Bernoulli) , waarvan de essentie als volgt is.

De oplossing van vergelijking (14) wordt gezocht in de vorm van een product van twee functies

, (16)

waar
en
- enkele continue functies. Vervanging
en afgeleide
in vergelijking (14):

Functie v zal zodanig worden gekozen dat de voorwaarde
. Dan
. Om een ​​oplossing voor vergelijking (14) te vinden, is het dus noodzakelijk om het stelsel differentiaalvergelijkingen op te lossen

De eerste vergelijking van het systeem is een lineaire homogene vergelijking en kan worden opgelost door de methode van scheiding van variabelen:
,
,
,
,
. Als een functie
men kan een van de specifieke oplossingen van de homogene vergelijking nemen, d.w.z. Bij Met=1:
. Substitueer in de tweede vergelijking van het systeem:
of
.Dan
. De algemene oplossing van een lineaire differentiaalvergelijking van de eerste orde heeft dus de vorm
.

Voorbeeld 6 . los De vergelijking op
.

Beslissing . We zoeken de oplossing van de vergelijking in de vorm
. Dan
. Vervang in de vergelijking:

of
. Functie v kies op een zodanige manier dat de gelijkheid
. Dan
. We lossen de eerste van deze vergelijkingen op door de methode van scheiding van variabelen:
,
,
,
,. Functie v Substitueer in de tweede vergelijking:
,
,
,
. De algemene oplossing van deze vergelijking is
.

Vragen voor zelfbeheersing van kennis

Wat is een differentiaalvergelijking?

Wat is de volgorde van een differentiaalvergelijking?

Welke differentiaalvergelijking wordt een differentiaalvergelijking van de eerste orde genoemd?

Hoe wordt een differentiaalvergelijking van de eerste orde in differentiaalvorm geschreven?

Wat is de oplossing van een differentiaalvergelijking?

Wat is een integraalkromme?

Wat is de algemene oplossing van een differentiaalvergelijking van de eerste orde?

Wat is een bepaalde oplossing van een differentiaalvergelijking?

Hoe wordt het Cauchy-probleem geformuleerd voor een differentiaalvergelijking van de eerste orde?

Wat is de geometrische interpretatie van het Cauchy-probleem?

Hoe wordt een differentiaalvergelijking geschreven met scheidbare variabelen in symmetrische vorm?

Welke vergelijking wordt een lineaire differentiaalvergelijking van de eerste orde genoemd?

Welke methode kan worden gebruikt om een ​​lineaire differentiaalvergelijking van de eerste orde op te lossen en wat is de essentie van deze methode?

Taken voor zelfstandig werk

Los differentiaalvergelijkingen op met scheidbare variabelen:

a)
; b)
;

in)
; G)
.

2. Los eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen op:

a)
; b)
; in)
;

G)
; e)
.

Ofwel al opgelost met betrekking tot de afgeleide, of ze kunnen worden opgelost met betrekking tot de afgeleide .

Algemene oplossing van differentiaalvergelijkingen van het type op het interval X, die wordt gegeven, kan worden gevonden door de integraal van beide zijden van deze gelijkheid te nemen.

Krijgen .

Als we naar de eigenschappen van de onbepaalde integraal kijken, vinden we de gewenste algemene oplossing:

y = F(x) + C,

waar F(x)- een van de antiderivaten van de functie f(x) tussenin X, a Met een willekeurige constante is.

Houd er rekening mee dat bij de meeste taken het interval X niet aangeven. Dat betekent dat er voor iedereen een oplossing moet worden gevonden. x, waarvoor en de gewenste functie ja, en de oorspronkelijke vergelijking is logisch.

Als u een bepaalde oplossing van een differentiaalvergelijking moet berekenen die aan de beginvoorwaarde voldoet y(x0) = y0, dan na het berekenen van de algemene integraal y = F(x) + C, is het nog steeds nodig om de waarde van de constante te bepalen C=C0 met behulp van de beginvoorwaarde. Dat wil zeggen, een constante C=C0 bepaald uit de vergelijking F(x 0) + C = y 0, en de gewenste specifieke oplossing van de differentiaalvergelijking zal de vorm aannemen:

y = F(x) + C0.

Overweeg een voorbeeld:

Zoek de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking, controleer de juistheid van het resultaat. Laten we een bepaalde oplossing van deze vergelijking vinden die aan de beginvoorwaarde zou voldoen.

Beslissing:

Nadat we de gegeven differentiaalvergelijking hebben geïntegreerd, krijgen we:

.

We nemen deze integraal volgens de methode van integratie in delen:

Dat., is een algemene oplossing van de differentiaalvergelijking.

Laten we controleren of het resultaat correct is. Om dit te doen, vervangen we de oplossing die we hebben gevonden in de gegeven vergelijking:

.

Dat wil zeggen, bij de oorspronkelijke vergelijking verandert in een identiteit:

daarom werd de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking correct bepaald.

De oplossing die we hebben gevonden is de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking voor elke reële waarde van het argument x.

Er moet nog een bepaalde oplossing van de ODE worden berekend die aan de beginvoorwaarde zou voldoen. Met andere woorden, het is noodzakelijk om de waarde van de constante te berekenen Met, waarbij de gelijkheid waar zal zijn:

.

.

Dan, substitueren C = 2 in de algemene oplossing van de ODE, verkrijgen we een bepaalde oplossing van de differentiaalvergelijking die voldoet aan de beginvoorwaarde:

.

Gewone differentiaal vergelijking kan worden opgelost met betrekking tot de afgeleide door de 2 delen van de vergelijking te delen door f(x). Deze transformatie zal equivalent zijn als f(x) gaat voor geen enkele keer naar nul x van het integratie-interval van de differentiaalvergelijking X.

Situaties zijn waarschijnlijk wanneer, voor sommige waarden van het argument x ∈ X functies f(x) en g(x) draai tegelijkertijd naar nul. Voor vergelijkbare waarden x de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is elke functie ja, die daarin is gedefinieerd, omdat .

Als voor sommige waarden van het argument x ∈ X aan de voorwaarde is voldaan, wat betekent dat de ODE in dit geval geen oplossingen heeft.

Voor alle anderen x van interval X de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking wordt bepaald uit de getransformeerde vergelijking.

Laten we eens kijken naar voorbeelden:

voorbeeld 1

Laten we de algemene oplossing van de ODE vinden: .

Beslissing.

Uit de eigenschappen van de elementaire basisfuncties is het duidelijk dat de natuurlijke logaritmefunctie is gedefinieerd voor niet-negatieve waarden van het argument, daarom het domein van de uitdrukking log(x+3) er is een interval x > -3 . Daarom is de gegeven differentiaalvergelijking logisch voor x > -3 . Met deze waarden van het argument, de expressie x + 3 verdwijnt niet, dus men kan de ODE oplossen met betrekking tot de afgeleide door de 2 delen te delen door x + 3.

We krijgen .

Vervolgens integreren we de resulterende differentiaalvergelijking, opgelost met betrekking tot de afgeleide: . Om deze integraal te nemen, gebruiken we de methode van subsumeren onder het teken van het differentieel.

Gewone differentiaal vergelijking een vergelijking genoemd die een onafhankelijke variabele relateert, een onbekende functie van deze variabele en zijn afgeleiden (of differentiëlen) van verschillende orden.

De volgorde van de differentiaalvergelijking is de volgorde van de hoogste afgeleide die erin zit.

Naast gewone worden ook partiële differentiaalvergelijkingen bestudeerd. Dit zijn vergelijkingen die betrekking hebben op onafhankelijke variabelen, een onbekende functie van deze variabelen en de partiële afgeleiden ervan met betrekking tot dezelfde variabelen. Maar we zullen alleen overwegen: gewone differentiaalvergelijkingen en daarom zullen we het woord "gewoon" kortheidshalve weglaten.

Voorbeelden van differentiaalvergelijkingen:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Vergelijking (1) is van de vierde orde, vergelijking (2) is van de derde orde, vergelijkingen (3) en (4) zijn van de tweede orde, vergelijking (5) is van de eerste orde.

Differentiaalvergelijking n orde hoeft niet expliciet een functie te bevatten, al zijn afgeleiden van eerste naar n e orde en een onafhankelijke variabele. Het bevat mogelijk niet expliciet afgeleiden van sommige orden, een functie, een onafhankelijke variabele.

In vergelijking (1) zijn er bijvoorbeeld duidelijk geen afgeleiden van de derde en tweede orde, evenals functies; in vergelijking (2) - afgeleide van de tweede orde en functie; in vergelijking (4) - onafhankelijke variabele; in vergelijking (5) - functies. Alleen vergelijking (3) bevat expliciet alle afgeleiden, de functie en de onafhankelijke variabele.

Door de differentiaalvergelijking op te lossen elke functie wordt aangeroepen y = f(x), die in de vergelijking vervangt, verandert het in een identiteit.

Het proces van het vinden van een oplossing voor een differentiaalvergelijking heet zijn integratie.

voorbeeld 1 Zoek een oplossing voor de differentiaalvergelijking.

Beslissing. We schrijven deze vergelijking in de vorm . De oplossing is om de functie te vinden door zijn afgeleide. De oorspronkelijke functie, zoals bekend uit de integraalrekening, is de primitieve voor, d.w.z.

Dat is wat het is oplossing van de gegeven differentiaalvergelijking . erin veranderen C, we zullen verschillende oplossingen krijgen. We ontdekten dat er oneindig veel oplossingen zijn voor een differentiaalvergelijking van de eerste orde.

Algemene oplossing van de differentiaalvergelijking n e orde is de oplossing expliciet uitgedrukt met betrekking tot de onbekende functie en bevattende n onafhankelijke willekeurige constanten, d.w.z.

De oplossing van de differentiaalvergelijking in voorbeeld 1 is algemeen.

Gedeeltelijke oplossing van de differentiaalvergelijking de oplossing wordt genoemd, waarin specifieke numerieke waarden worden toegewezen aan willekeurige constanten.

Voorbeeld 2 Vind de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking en een bepaalde oplossing voor .

Beslissing. We integreren beide delen van de vergelijking zo vaak dat de volgorde van de differentiaalvergelijking gelijk is.

,

.

Als resultaat kregen we de algemene oplossing -

gegeven differentiaalvergelijking van de derde orde.

Laten we nu een bepaalde oplossing zoeken onder de gespecificeerde voorwaarden. Om dit te doen, vervangen we hun waarden in plaats van willekeurige coëfficiënten en verkrijgen

.

Als, naast de differentiaalvergelijking, de beginvoorwaarde wordt gegeven in de vorm , dan wordt zo'n probleem genoemd Cauchy-probleem . De waarden en worden gesubstitueerd in de algemene oplossing van de vergelijking en de waarde van een willekeurige constante wordt gevonden C, en dan een bepaalde oplossing van de vergelijking voor de gevonden waarde C. Dit is de oplossing voor het Cauchy-probleem.

Voorbeeld 3 Los het Cauchy-probleem op voor de differentiaalvergelijking uit voorbeeld 1 onder de voorwaarde .

Beslissing. We vervangen in de algemene oplossing de waarden uit de beginvoorwaarde ja = 3, x= 1. We krijgen

We noteren de oplossing van het Cauchy-probleem voor de gegeven differentiaalvergelijking van de eerste orde:

Het oplossen van differentiaalvergelijkingen, zelfs de eenvoudigste, vereist goede vaardigheden in het integreren en nemen van afgeleiden, inclusief complexe functies. Dit is te zien in het volgende voorbeeld.

Voorbeeld 4 Zoek de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking.

Beslissing. De vergelijking is zo geschreven dat beide zijden direct kunnen worden geïntegreerd.

.

We passen de methode van integratie toe door de variabele te veranderen (substitutie). Laat dan.

Vereist om mee te nemen dx en nu - aandacht - we doen het volgens de regels van differentiatie van een complexe functie, aangezien x en er is een complexe functie ("appel" - extractie van de vierkantswortel of, wat hetzelfde is - verheffen tot de macht "één seconde", en "gehakt" - de uitdrukking zelf onder de wortel):

We vinden de integraal:

Terugkeren naar de variabele x, we krijgen:

.

Dit is de algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking van de eerste graad.

Voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen zijn niet alleen vaardigheden uit de voorgaande secties van hogere wiskunde vereist, maar ook vaardigheden uit elementaire, dat wil zeggen schoolwiskunde. Zoals eerder vermeld, mag er in een differentiaalvergelijking van elke orde geen onafhankelijke variabele zijn, dat wil zeggen een variabele x. De kennis over verhoudingen die niet is vergeten (maar iedereen heeft het leuk) van de schoolbank zal helpen om dit probleem op te lossen. Dit is het volgende voorbeeld.

De inhoud van het artikel

DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN. Veel natuurkundige wetten die bepaalde verschijnselen beheersen, zijn geschreven in de vorm van een wiskundige vergelijking die een bepaald verband tussen sommige grootheden uitdrukt. Vaak hebben we het over de relatie tussen waarden die in de tijd veranderen, bijvoorbeeld het rendement van een motor, gemeten aan de afstand die een auto kan afleggen op één liter brandstof, is afhankelijk van de snelheid van de auto. De bijbehorende vergelijking bevat een of meer functies en hun afgeleiden en wordt een differentiaalvergelijking genoemd. (De mate van verandering van afstand in de tijd wordt bepaald door snelheid; daarom is snelheid een afgeleide van afstand; evenzo is versnelling een afgeleide van snelheid, aangezien versnelling de snelheid van verandering van snelheid in de tijd bepaalt.) Het belang dat differentiaalvergelijkingen hebben voor wiskunde en vooral voor de toepassingen ervan, worden verklaard door het feit dat de studie van veel fysieke en technische problemen wordt beperkt tot het oplossen van dergelijke vergelijkingen. Differentiaalvergelijkingen spelen een essentiële rol in andere wetenschappen, zoals biologie, economie en elektrotechniek; in feite ontstaan ​​ze overal waar behoefte is aan een kwantitatieve (numerieke) beschrijving van verschijnselen (zodra de omringende wereld in de tijd verandert en omstandigheden van de ene plaats naar de andere veranderen).

Voorbeelden.

De volgende voorbeelden geven een beter begrip van hoe verschillende problemen worden geformuleerd in termen van differentiaalvergelijkingen.

1) De vervalwet van sommige radioactieve stoffen is dat de vervalsnelheid evenredig is met de beschikbare hoeveelheid van deze stof. Als een x is de hoeveelheid materie op een bepaald moment t, dan kan deze wet als volgt worden geschreven:

waar dx/dt is de vervalsnelheid, en k is een positieve constante die de gegeven substantie kenmerkt. (Het minteken aan de rechterkant geeft aan dat x neemt af met de tijd; het plusteken, altijd geïmpliceerd wanneer het teken niet expliciet wordt vermeld, zou betekenen dat x neemt in de loop van de tijd toe.)

2) De container bevat aanvankelijk 10 kg zout opgelost in 100 m 3 water. Als zuiver water in een container wordt gegoten met een snelheid van 1 m 3 per minuut en gelijkmatig wordt gemengd met een oplossing, en de resulterende oplossing stroomt met dezelfde snelheid uit de container, hoeveel zout zal er dan in de container zitten volgend tijdstip? Als een x- de hoeveelheid zout (in kg) die op dat moment in het bakje zat t, dan op elk moment t 1 m 3 van de oplossing in de container bevat x/100 kg zout; dus de hoeveelheid zout neemt met een snelheid af x/100 kg/min, of

3) Laat de massa op het lichaam m opgehangen aan het uiteinde van een veer, werkt een herstelkracht evenredig met de hoeveelheid spanning in de veer. laten zijn x- de mate van afwijking van het lichaam van de evenwichtspositie. Dan, volgens de tweede wet van Newton, die stelt dat versnelling (de tweede afgeleide van x in de tijd, aangeduid d 2 x/dt 2) in verhouding tot sterkte:

De rechterkant is met een minteken omdat de terugstelkracht de uitzetting van de veer vermindert.

4) De wet van lichaamskoeling stelt dat de hoeveelheid warmte in het lichaam afneemt in verhouding tot het temperatuurverschil tussen het lichaam en de omgeving. Als een kopje koffie verwarmd tot een temperatuur van 90 ° C zich in een kamer bevindt met een temperatuur van 20 ° C, dan

waar T– koffietemperatuur op dat moment t.

5) De minister van Buitenlandse Zaken van de staat Blefuscu beweert dat het door Lilliput aangenomen bewapeningsprogramma zijn land dwingt de militaire uitgaven zoveel mogelijk te verhogen. Soortgelijke uitspraken worden gedaan door de minister van Buitenlandse Zaken van Lilliput. De resulterende situatie (in de eenvoudigste interpretatie) kan nauwkeurig worden beschreven door twee differentiaalvergelijkingen. laten zijn x en ja- de kosten van het bewapenen van Lilliput en Blefuscu. Ervan uitgaande dat Lilliputia haar bewapeningsuitgaven verhoogt in een tempo dat evenredig is aan het stijgingspercentage van Blefuscu's bewapeningsuitgaven, en vice versa, krijgen we:

waar zijn de leden? bijl en - door beschrijf de militaire uitgaven van elk land, k en ik zijn positieve constanten. (Dit probleem werd voor het eerst op deze manier geformuleerd in 1939 door L. Richardson.)

Nadat het probleem is geschreven in de taal van differentiaalvergelijkingen, moet men proberen ze op te lossen, d.w.z. vind hoeveelheden waarvan de veranderingssnelheden zijn opgenomen in de vergelijkingen. Soms worden de oplossingen gevonden in de vorm van expliciete formules, maar vaker kunnen ze alleen in een benaderende vorm worden weergegeven of er kwalitatieve informatie over verkrijgen. Het is vaak moeilijk om vast te stellen of er überhaupt een oplossing bestaat, laat staan ​​om er een te vinden. Een belangrijk onderdeel van de theorie van differentiaalvergelijkingen zijn de zogenaamde "existentiestellingen", die het bestaan ​​van een oplossing voor een of ander type differentiaalvergelijkingen bewijzen.

De oorspronkelijke wiskundige formulering van een natuurkundig probleem bevat meestal vereenvoudigende aannames; het criterium van hun redelijkheid kan de mate van consistentie zijn van de wiskundige oplossing met de beschikbare waarnemingen.

Oplossingen van differentiaalvergelijkingen.

Differentiaalvergelijking, bijvoorbeeld verdorie/dx = x/ja, voldoet niet aan een getal, maar aan een functie, in dit specifieke geval zodanig dat de grafiek ervan op elk punt, bijvoorbeeld op een punt met coördinaten (2,3), een raaklijn heeft met een helling gelijk aan de verhouding van de coördinaten (in ons voorbeeld 2/3). Dit is gemakkelijk te controleren als er een groot aantal punten is geconstrueerd en van elk een kort segment met een bijbehorende helling wordt getrokken. De oplossing is een functie waarvan de grafiek elk van zijn punten op het overeenkomstige segment raakt. Als er voldoende punten en segmenten zijn, kunnen we bij benadering het verloop van beslissingscurven schetsen (drie van dergelijke curven zijn weergegeven in figuur 1). Er gaat precies één oplossingskromme door elk punt met ja Nee. 0. Elke individuele oplossing wordt een bepaalde oplossing van de differentiaalvergelijking genoemd; als het mogelijk is om een ​​formule te vinden die alle specifieke oplossingen bevat (met de mogelijke uitzondering van enkele speciale), dan zeggen we dat er een algemene oplossing is verkregen. Een bepaalde oplossing is een enkele functie, terwijl een algemene oplossing een hele familie ervan is. Het oplossen van een differentiaalvergelijking betekent het vinden van de specifieke of algemene oplossing. In ons voorbeeld heeft de algemene oplossing de vorm ja 2 – x 2 = c, waar c- elk nummer; de specifieke oplossing die door het punt (1,1) gaat, heeft de vorm ja = x en wordt verkregen wanneer c= 0; de specifieke oplossing die door het punt (2.1) gaat, heeft de vorm ja 2 – x 2 = 3. De voorwaarde die vereist dat de oplossingskromme bijvoorbeeld door het punt (2,1) gaat, wordt de beginvoorwaarde genoemd (omdat deze het startpunt op de oplossingskromme specificeert).

Het kan worden aangetoond dat in voorbeeld (1) de algemene oplossing de vorm heeft x = ce –kt, waar c- een constante die bijvoorbeeld kan worden bepaald door de hoeveelheid stof aan te geven bij t= 0. De vergelijking uit voorbeeld (2) is een speciaal geval van de vergelijking uit voorbeeld (1), overeenkomend met k= 1/100. Begintoestand x= 10 bij t= 0 geeft een bepaalde oplossing x = 10e –t/100 . De vergelijking uit voorbeeld (4) heeft een algemene oplossing T = 70 + ce –kt en een bepaalde oplossing 70 + 130 – kt; om de waarde te bepalen k, zijn aanvullende gegevens nodig.

Differentiaalvergelijking verdorie/dx = x/ja wordt een vergelijking van de eerste orde genoemd, omdat deze de eerste afgeleide bevat (het is gebruikelijk om de orde van de hoogste afgeleide die erin is opgenomen als de orde van een differentiaalvergelijking te beschouwen). Voor de meeste (maar niet alle) differentiaalvergelijkingen van de eerste soort die in de praktijk voorkomen, gaat er maar één oplossingscurve door elk punt.

Er zijn verschillende belangrijke soorten differentiaalvergelijkingen van de eerste orde die oplossingen mogelijk maken in de vorm van formules die alleen elementaire functies bevatten - machten, exponenten, logaritmen, sinussen en cosinussen, enz. Deze vergelijkingen omvatten het volgende.

Vergelijkingen met scheidbare variabelen.

Vergelijkingen van de vorm verdorie/dx = f(x)/g(ja) kan worden opgelost door het in differentiëlen te schrijven g(ja)verdorie = f(x)dx en het integreren van beide delen. In het ergste geval kan de oplossing worden weergegeven als integralen van bekende functies. Bijvoorbeeld, in het geval van de vergelijking verdorie/dx = x/ja we hebben f(x) = x, g(ja) = ja. Door het in de vorm te schrijven ydy = xdx en integreren, krijgen we ja 2 = x 2 + c. De vergelijkingen met scheidbare variabelen omvatten de vergelijkingen uit voorbeelden (1), (2), (4) (ze kunnen worden opgelost met de hierboven beschreven methode).

Vergelijkingen in totale differentiëlen.

Als de differentiaalvergelijking de vorm heeft verdorie/dx = M(x,ja)/N(x,ja), waar M en N zijn twee gegeven functies, het kan worden weergegeven als M(x,ja)dx – N(x,ja)verdorie= 0. Als de linkerkant het differentieel is van een functie F(x,ja), dan kan de differentiaalvergelijking worden geschreven als dF(x,ja) = 0, wat gelijk is aan de vergelijking F(x,ja) = const. Dus vergelijkingsoplossingscurven zijn "lijnen van constante niveaus" van een functie, of puntenverzameling die voldoen aan de vergelijkingen F(x,ja) = c. De vergelijking ydy = xdx(Fig. 1) - met scheidbare variabelen, en het is hetzelfde - in totale differentiëlen: om dit laatste te verifiëren, schrijven we het in de vorm ydy – xdx= 0, d.w.z. d(ja 2 – x 2) = 0. Functie F(x,ja) is in dit geval gelijk aan (1/2)( ja 2 – x 2); enkele van zijn constante niveaulijnen worden getoond in Fig. een.

Lineaire vergelijkingen.

Lineaire vergelijkingen zijn "eerstegraads" vergelijkingen - de onbekende functie en zijn afgeleiden worden alleen in de eerste graad in dergelijke vergelijkingen opgenomen. De lineaire differentiaalvergelijking van de eerste orde heeft dus de vorm verdorie/dx + p(x) = q(x), waar p(x) en q(x) zijn functies die alleen afhankelijk zijn van x. De oplossing kan altijd worden geschreven met behulp van integralen van bekende functies. Veel andere soorten differentiaalvergelijkingen van de eerste orde worden opgelost met behulp van speciale technieken.

Vergelijkingen van hogere ordes.

Veel differentiaalvergelijkingen waarmee natuurkundigen te maken hebben, zijn vergelijkingen van de tweede orde (d.w.z. vergelijkingen die tweede afgeleiden bevatten). Dit is bijvoorbeeld de eenvoudige harmonische bewegingsvergelijking uit voorbeeld (3), md 2 x/dt 2 = –kx. Over het algemeen zou je verwachten dat een vergelijking van de tweede orde bepaalde oplossingen heeft die aan twee voorwaarden voldoen; men kan bijvoorbeeld eisen dat de oplossingskromme door een bepaald punt in een bepaalde richting gaat. In gevallen waarin de differentiaalvergelijking een parameter bevat (een getal waarvan de waarde afhangt van de omstandigheden), bestaan ​​​​oplossingen van het vereiste type alleen voor bepaalde waarden van deze parameter. Beschouw bijvoorbeeld de vergelijking md 2 x/dt 2 = –kx en dat hebben we nodig ja(0) = ja(1) = 0. Functie jaє 0 is zeker een oplossing, maar als is een geheel veelvoud p, d.w.z. k = m 2 n 2 p 2, waar? n is een geheel getal, en eigenlijk alleen in dit geval zijn er andere oplossingen, namelijk: ja= zonde npx. De parameterwaarden waarvoor de vergelijking speciale oplossingen heeft, worden karakteristiek of eigenwaarden genoemd; ze spelen een belangrijke rol bij veel taken.

De vergelijking van eenvoudige harmonische beweging is een voorbeeld van een belangrijke klasse van vergelijkingen, namelijk lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten. Een meer algemeen voorbeeld (ook tweede orde) is de vergelijking

waar a en b constanten krijgen, f(x) is een gegeven functie. Dergelijke vergelijkingen kunnen op verschillende manieren worden opgelost, bijvoorbeeld met behulp van de Laplace-integraaltransformatie. Hetzelfde kan gezegd worden over lineaire vergelijkingen van hogere ordes met constante coëfficiënten. Lineaire vergelijkingen met variabele coëfficiënten spelen ook een belangrijke rol.

Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen.

Vergelijkingen die onbekende functies bevatten en hun afgeleiden die hoger zijn dan de eerste of op een meer complexe manier, worden niet-lineair genoemd. De laatste jaren trekken ze steeds meer aandacht. Het punt is dat fysieke vergelijkingen meestal alleen lineair zijn in de eerste benadering; verder en nauwkeuriger onderzoek vereist in de regel het gebruik van niet-lineaire vergelijkingen. Bovendien zijn veel problemen inherent niet-lineair. Aangezien de oplossingen van niet-lineaire vergelijkingen vaak erg complex en moeilijk weer te geven zijn met eenvoudige formules, is een aanzienlijk deel van de moderne theorie gewijd aan een kwalitatieve analyse van hun gedrag, d.w.z. de ontwikkeling van methoden die het mogelijk maken om, zonder de vergelijkingen op te lossen, iets zinnigs te zeggen over de aard van de oplossingen als geheel: bijvoorbeeld dat ze allemaal beperkt zijn, of een periodiek karakter hebben, of op een bepaalde manier afhankelijk zijn van de coëfficiënten.

Geschatte oplossingen van differentiaalvergelijkingen kunnen numeriek worden gevonden, maar dit kost veel tijd. Met de komst van hogesnelheidscomputers is deze tijd aanzienlijk ingekort, wat nieuwe mogelijkheden heeft geopend voor de numerieke oplossing van veel problemen die voorheen niet voor een dergelijke oplossing vatbaar waren.

Bestaan ​​stellingen.

Een existentiestelling is een stelling die stelt dat onder bepaalde omstandigheden een gegeven differentiaalvergelijking een oplossing heeft. Er zijn differentiaalvergelijkingen die geen oplossingen hebben of meer oplossingen hebben dan verwacht. Het doel van de existentiestelling is om ons ervan te overtuigen dat een bepaalde vergelijking een oplossing heeft, en meestal om te verzekeren dat deze precies één oplossing van het vereiste type heeft. Bijvoorbeeld, de vergelijking die we al hebben ontmoet verdorie/dx = –2ja heeft precies één oplossing die door elk punt van het vlak gaat ( x,ja), en aangezien we al zo'n oplossing hebben gevonden, hebben we deze vergelijking volledig opgelost. Aan de andere kant, de vergelijking ( verdorie/dx) 2 = 1 – ja 2 heeft veel oplossingen. Onder hen zijn directe ja = 1, ja= –1 en curven ja= zonde( x + c). De oplossing kan bestaan ​​uit verschillende segmenten van deze rechte lijnen en bochten, die op de raakpunten in elkaar overgaan (Fig. 2).

Gedeeltelijke differentiaalvergelijkingen.

Een gewone differentiaalvergelijking is een uitspraak over de afgeleide van een onbekende functie van één variabele. Een partiële differentiaalvergelijking bevat een functie van twee of meer variabelen en de afgeleiden van die functie in ten minste twee verschillende variabelen.

In de natuurkunde zijn voorbeelden van dergelijke vergelijkingen de Laplace-vergelijking

X , ja) binnen de cirkel als de waarden jij worden gegeven op elk punt van de begrenzende cirkel. Aangezien problemen met meer dan één variabele in de natuurkunde eerder regel dan uitzondering zijn, is het gemakkelijk voor te stellen hoe breed het onderwerp van de theorie van partiële differentiaalvergelijkingen is.

Bij sommige natuurkundige problemen kan geen direct verband worden gelegd tussen de grootheden die het proces beschrijven. Maar er is een mogelijkheid om een ​​gelijkheid te verkrijgen die de afgeleiden van de onderzochte functies bevat. Dit is hoe differentiaalvergelijkingen ontstaan ​​en de noodzaak om ze op te lossen om een ​​onbekende functie te vinden.

Dit artikel is bedoeld voor diegenen die worden geconfronteerd met het probleem van het oplossen van een differentiaalvergelijking waarin de onbekende functie een functie is van één variabele. De theorie is zo opgebouwd dat je zonder enig begrip van differentiaalvergelijkingen je werk kunt doen.

Elk type differentiaalvergelijking is gekoppeld aan een oplossingsmethode met gedetailleerde uitleg en oplossingen van typische voorbeelden en problemen. U hoeft alleen maar het type differentiaalvergelijking van uw probleem te bepalen, een soortgelijk geanalyseerd voorbeeld te vinden en soortgelijke acties uit te voeren.

Om differentiaalvergelijkingen met succes op te lossen, moet je ook in staat zijn om sets van antiderivaten (onbepaalde integralen) van verschillende functies te vinden. Indien nodig raden we u aan de sectie te raadplegen.

Eerst bekijken we de soorten gewone differentiaalvergelijkingen van de eerste orde die kunnen worden opgelost met betrekking tot de afgeleide, dan gaan we verder met ODE's van de tweede orde, dan blijven we stilstaan ​​bij vergelijkingen van hogere orde en eindigen met stelsels van differentiaalvergelijkingen.

Bedenk dat als y een functie is van het argument x .

Differentiaalvergelijkingen van de eerste orde.

De eenvoudigste differentiaalvergelijkingen van de eerste orde van de vorm.

Laten we enkele voorbeelden van dergelijke DE . opschrijven .

Differentiaalvergelijkingen kan worden opgelost met betrekking tot de afgeleide door beide zijden van de gelijkheid te delen door f(x) . In dit geval komen we tot de vergelijking , die gelijk zal zijn aan de oorspronkelijke vergelijking voor f(x) ≠ 0 . Voorbeelden van dergelijke ODE's zijn .

Als er waarden zijn van het argument x waarvoor de functies f(x) en g(x) gelijktijdig verdwijnen, dan verschijnen er aanvullende oplossingen. Aanvullende oplossingen voor de vergelijking gegeven x zijn alle functies die zijn gedefinieerd voor die argumentwaarden. Voorbeelden van dergelijke differentiaalvergelijkingen zijn .

Differentiaalvergelijkingen van de tweede orde.

Tweede orde lineaire homogene differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten.

LODE met constante coëfficiënten is een veel voorkomend type differentiaalvergelijkingen. Hun oplossing is niet bijzonder moeilijk. Eerst worden de wortels van de karakteristieke vergelijking gevonden . Voor verschillende p en q zijn drie gevallen mogelijk: de wortels van de karakteristieke vergelijking kunnen reëel en verschillend zijn, reëel en samenvallend of complex geconjugeerd. Afhankelijk van de waarden van de wortels van de karakteristieke vergelijking, wordt de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking geschreven als , of , of respectievelijk.

Beschouw bijvoorbeeld een tweede-orde lineaire homogene differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten. De wortels van zijn karakteristieke vergelijking zijn k 1 = -3 en k 2 = 0. De wortels zijn reëel en verschillend, daarom is de algemene oplossing voor de LDE met constante coëfficiënten


Lineaire inhomogene differentiaalvergelijkingen van de tweede orde met constante coëfficiënten.

De algemene oplossing van de tweede-orde LIDE met constante coëfficiënten y wordt gezocht als de som van de algemene oplossing van de corresponderende LODE en een bepaalde oplossing van de oorspronkelijke inhomogene vergelijking, dat wil zeggen . De vorige paragraaf is gewijd aan het vinden van een algemene oplossing voor een homogene differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten. En een bepaalde oplossing wordt bepaald door de methode van onbepaalde coëfficiënten voor een bepaalde vorm van de functie f (x) , die aan de rechterkant van de oorspronkelijke vergelijking staat, of door de methode van variatie van willekeurige constanten.

Als voorbeelden van tweede-orde LIDE's met constante coëfficiënten, presenteren we:


Om de theorie te begrijpen en kennis te maken met de gedetailleerde oplossingen van voorbeelden, bieden we u op de pagina lineaire inhomogene differentiaalvergelijkingen van de tweede orde met constante coëfficiënten.

Lineaire homogene differentiaalvergelijkingen (LODE's) en tweede-orde lineaire inhomogene differentiaalvergelijkingen (LNDE's).

Een speciaal geval van differentiaalvergelijkingen van dit type zijn LODE en LODE met constante coëfficiënten.

De algemene oplossing van de LODE op een bepaald interval wordt weergegeven door een lineaire combinatie van twee lineair onafhankelijke bepaalde oplossingen y 1 en y 2 van deze vergelijking, dat wil zeggen, .

De grootste moeilijkheid ligt juist in het vinden van lineair onafhankelijke deeloplossingen van dit type differentiaalvergelijking. Meestal worden bepaalde oplossingen gekozen uit de volgende systemen van lineair onafhankelijke functies:


Bepaalde oplossingen worden echter niet altijd in deze vorm gepresenteerd.

Een voorbeeld van een LODU is .

De algemene oplossing van de LIDE wordt gezocht in de vorm , waarbij de algemene oplossing van de overeenkomstige LODE is, en is een bepaalde oplossing van de oorspronkelijke differentiaalvergelijking. We hebben net gesproken over vinden, maar het kan worden bepaald met behulp van de methode van variatie van willekeurige constanten.

Een voorbeeld van een LNDE is .

Differentiaalvergelijkingen van hogere orde.

Differentiaalvergelijkingen die ordevermindering toestaan.

Volgorde van differentiaalvergelijking , die niet de gewenste functie en zijn afgeleiden tot k-1 orde bevat, kan worden teruggebracht tot n-k door te vervangen.

In dit geval reduceert de oorspronkelijke differentiaalvergelijking tot . Na het vinden van de oplossing p(x), moet je terugkeren naar de vervanging en de onbekende functie y bepalen.

Bijvoorbeeld, de differentiaalvergelijking na de vervanging wordt een scheidbare vergelijking en wordt de volgorde teruggebracht van de derde naar de eerste.