Hoe de afgeleide van een functie in graad te vinden. Afgeleide van een logaritmische functie

Bewijs en afleiding van formules voor de afgeleide van de exponentiële (e naar de macht van x) en de exponentiële functie (a naar de macht van x). Voorbeelden van het berekenen van afgeleiden van e^2x, e^3x en e^nx. Formules voor afgeleiden van hogere ordes.

De afgeleide van de exponent is gelijk aan de exponent zelf (de afgeleide van e tot de macht van x is gelijk aan e tot de macht van x):
(1) (e x )′ = e x.

De afgeleide van een exponentiële functie met een grondtal van graad a is gelijk aan de functie zelf, vermenigvuldigd met de natuurlijke logaritme van a:
(2) .

Afleiding van de formule voor de afgeleide van de exponent, e naar de macht van x

De exponent is een exponentiële functie waarvan de exponentbasis gelijk is aan het getal e, wat de volgende limiet is:
.
Hier kan het een natuurlijk of een reëel getal zijn. Vervolgens leiden we formule (1) af voor de afgeleide van de exponent.

Afleiding van de formule voor de afgeleide van de exponent

Beschouw de exponent, e tot de macht van x :
y = e x .
Deze functie is gedefinieerd voor alle . Laten we de afgeleide ervan vinden met betrekking tot x . Per definitie is de afgeleide de volgende limiet:
(3) .

Laten we deze uitdrukking transformeren om hem terug te brengen tot bekende wiskundige eigenschappen en regels. Hiervoor hebben we de volgende feiten nodig:
MAAR) Exponenteigenschap:
(4) ;
B) Logaritme eigenschap:
(5) ;
BIJ) Continuïteit van de logaritme en eigenschap van limieten voor een continue functie:
(6) .
Hier is een functie met een limiet en deze limiet is positief.
G) De betekenis van de tweede wonderbaarlijke limiet:
(7) .

We passen deze feiten toe op onze limiet (3). We gebruiken eigenschap (4):
;
.

Laten we een vervanging maken. Dan ; .
Door de continuïteit van de exponent,
.
Daarom, op , . Als resultaat krijgen we:
.

Laten we een vervanging maken. Dan . Bij , . En we hebben:
.

We passen de eigenschap van de logaritme (5) toe:
. Dan
.

Laten we eigenschap (6) toepassen. Aangezien er een positieve limiet is en de logaritme continu is, geldt:
.
Hier gebruikten we ook de tweede opmerkelijke limiet (7). Dan
.

We hebben dus formule (1) verkregen voor de afgeleide van de exponent.

Afleiding van de formule voor de afgeleide van de exponentiële functie

Nu leiden we de formule (2) af voor de afgeleide van de exponentiële functie met als grondtal graad a. Wij geloven dat en . Dan de exponentiële functie
(8)
Gedefinieerd voor iedereen.

Laten we formule (8) transformeren. Hiervoor gebruiken we eigenschappen van de exponentiële functie en logaritme.
;
.
We hebben formule (8) dus omgezet in de volgende vorm:
.

Hogere orde afgeleiden van e tot de macht van x

Laten we nu derivaten van hogere ordes zoeken. Laten we eerst naar de exponent kijken:
(14) .
(1) .

We zien dat de afgeleide van de functie (14) gelijk is aan de functie (14) zelf. Als we (1) differentiëren, verkrijgen we afgeleiden van de tweede en derde orde:
;
.

Hieruit blijkt dat de afgeleide van de n-de orde ook gelijk is aan de oorspronkelijke functie:
.

Hogere orde afgeleiden van de exponentiële functie

Beschouw nu een exponentiële functie met een basis van graad a:
.
We hebben de afgeleide van de eerste orde gevonden:
(15) .

Differentiërend (15), verkrijgen we afgeleiden van de tweede en derde orde:
;
.

We zien dat elke differentiatie leidt tot de vermenigvuldiging van de oorspronkelijke functie met . Daarom heeft de n-de afgeleide de volgende vorm:
.

Definitie van exponentiële functie. Afleiding van een formule om de afgeleide te berekenen. Voorbeelden van het berekenen van afgeleiden van exponentiële functies worden in detail geanalyseerd.

exponentiële functie is een functie die de vorm heeft van een machtsfunctie
y = u v ,
waarvan de basis u en exponent v enkele functies zijn van de variabele x :
u = u (x); v=v (x).
Deze functie wordt ook wel exponentiële macht of .

Merk op dat de exponentiële functie kan worden weergegeven in exponentiële vorm:
.
Daarom wordt het ook wel complexe exponentiële functie.

Berekening met behulp van de logaritmische afgeleide

Vind de afgeleide van de exponentiële functie
(2) ,
waar en zijn functies van de variabele .
Om dit te doen, nemen we de logaritme van vergelijking (2), met behulp van de eigenschap van de logaritme:
.
Differentieer naar x :
(3) .
Toepassen regels voor het onderscheiden van een samengestelde functie en werkt:
;
.

Vervang in (3):
.
Vanaf hier
.

We hebben dus de afgeleide van de exponentiële functie gevonden:
(1) .
Als de exponent constant is, dan . Dan is de afgeleide gelijk aan de afgeleide van de samengestelde machtsfunctie:
.
Als de basis van de graad constant is, dan . Dan is de afgeleide gelijk aan de afgeleide van de samengestelde exponentiële functie:
.
Wanneer en zijn functies van x, dan is de afgeleide van de exponentiële functie gelijk aan de som van de afgeleiden van de samengestelde macht en exponentiële functies.

Berekening van de afgeleide door reductie tot een complexe exponentiële functie

Nu vinden we de afgeleide van de exponentiële functie
(2) ,
representeren als een complexe exponentiële functie:
(4) .

Laten we het product onderscheiden:
.
We passen de regel toe om de afgeleide van een complexe functie te vinden:

.
En we kregen weer de formule (1).

voorbeeld 1

Zoek de afgeleide van de volgende functie:
.

Beslissing

We rekenen met de logaritmische afgeleide. We nemen de logaritme van de oorspronkelijke functie:
(P1.1) .

Uit de tabel met afgeleiden vinden we:
;
.
Volgens de formule voor de afgeleide van een product hebben we:
.
We onderscheiden (A1.1):
.
Voor zover
,
dan
.

Antwoord

Voorbeeld 2

Vind de afgeleide van een functie
.

Beslissing

We nemen de logaritme van de oorspronkelijke functie:
(P2.1) .

De bewerking van het vinden van de afgeleide wordt differentiatie genoemd.

Als resultaat van het oplossen van problemen met het vinden van afgeleiden van de eenvoudigste (en niet erg eenvoudige) functies door de afgeleide te definiëren als de limiet van de verhouding van de toename tot de toename van het argument, verscheen een tabel met afgeleiden en nauwkeurig gedefinieerde differentiatieregels . Isaac Newton (1643-1727) en Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) waren de eersten die zich bezighielden met het vinden van derivaten.

Daarom is het in onze tijd, om de afgeleide van een functie te vinden, niet nodig om de bovengenoemde limiet van de verhouding van de toename van de functie tot de toename van het argument te berekenen, maar hoeft u alleen de tabel te gebruiken van derivaten en de regels van differentiatie. Het volgende algoritme is geschikt om de afgeleide te vinden.

De afgeleide vinden, je hebt een uitdrukking nodig onder het streekteken eenvoudige functies opsplitsen en bepaal welke acties (product, som, quotiënt) deze functies zijn gerelateerd. Verder vinden we de afgeleiden van elementaire functies in de tabel van afgeleiden, en de formules voor de afgeleiden van het product, som en quotiënt - in de differentiatieregels. De tabel met afgeleiden en differentiatieregels wordt gegeven na de eerste twee voorbeelden.

voorbeeld 1 Vind de afgeleide van een functie

Beslissing. Uit de differentiatieregels leren we dat de afgeleide van de som van functies de som is van de afgeleiden van functies, d.w.z.

Uit de tabel met afgeleiden ontdekken we dat de afgeleide van "X" gelijk is aan één en dat de afgeleide van de sinus cosinus is. We vervangen deze waarden in de som van afgeleiden en vinden de afgeleide die vereist is voor de toestand van het probleem:

Voorbeeld 2 Vind de afgeleide van een functie

Beslissing. We differentiëren als afgeleide van de som, waarbij de tweede term met een constante factor uit het teken van de afgeleide kan worden gehaald:

Als er nog vragen zijn over waar iets vandaan komt, worden deze in de regel duidelijk na het lezen van de tabel met afgeleiden en de eenvoudigste differentiatieregels. We gaan nu naar hen toe.

Tabel met afgeleiden van eenvoudige functies

1. Afgeleide van een constante (getal). Elk getal (1, 2, 5, 200...) dat in de functie-uitdrukking staat. Altijd nul. Dit is erg belangrijk om te onthouden, omdat het heel vaak nodig is
2. Afgeleide van de onafhankelijke variabele. Meestal "x". Altijd gelijk aan één. Dit is ook belangrijk om te onthouden
3. Afgeleide van graad. Bij het oplossen van problemen moet je niet-vierkantswortels omzetten in een macht.
4. Afgeleide van een variabele tot de macht -1
5. Afgeleide van de vierkantswortel
6. Sinusderivaat
7. Cosinusderivaat
8. Tangens afgeleide
9. Afgeleide van cotangens
10. Afgeleide van de arcsinus
11. Afgeleide van boogcosinus
12. Afgeleide van boogtangens
13. Afgeleide van de inverse tangens
14. Afgeleide van natuurlijke logaritme
15. Afgeleide van een logaritmische functie
16. Afgeleide van de exponent
17. Afgeleide van exponentiële functie

differentiatie regels

1. Afgeleide van de som of het verschil
2. Afgeleide van een product
2a. Afgeleide van een uitdrukking vermenigvuldigd met een constante factor
3. Afgeleide van het quotiënt
4. Afgeleide van een complexe functie

Regel 1Als functies

zijn op een bepaald punt differentieerbaar, dan zijn op hetzelfde punt de functies

en

die. de afgeleide van de algebraïsche som van functies is gelijk aan de algebraïsche som van de afgeleiden van deze functies.

Gevolg. Als twee differentieerbare functies een constante verschillen, dan zijn hun afgeleiden:, d.w.z.

Regel 2Als functies

op een bepaald punt differentieerbaar zijn, dan is hun product op hetzelfde punt ook differentieerbaar

en

die. de afgeleide van het product van twee functies is gelijk aan de som van de producten van elk van deze functies en de afgeleide van de andere.

Gevolg 1. De constante factor kan uit het teken van de afgeleide worden gehaald:

Gevolg 2. De afgeleide van het product van verschillende differentieerbare functies is gelijk aan de som van de producten van de afgeleide van elk van de factoren en alle andere.

Bijvoorbeeld voor drie vermenigvuldigers:

Regel 3Als functies

op een gegeven moment differentieerbaar en , dan is op dit punt hun quotiënt ook differentieerbaar.u/v , en

die. de afgeleide van een quotiënt van twee functies is gelijk aan een breuk waarvan de teller het verschil is tussen de producten van de noemer en de afgeleide van de teller en de teller en de afgeleide van de noemer, en de noemer is het kwadraat van de vorige teller .

Waar te zoeken op andere pagina's

Bij het vinden van de afgeleide van het product en het quotiënt in echte problemen, is het altijd nodig om meerdere differentiatieregels tegelijk toe te passen, dus meer voorbeelden van deze afgeleiden staan ​​in het artikel."De afgeleide van een product en een quotiënt".

Commentaar. Je moet een constante (dat wil zeggen een getal) niet verwarren als een term in de som en als een constante factor! In het geval van een term is de afgeleide gelijk aan nul en in het geval van een constante factor wordt deze uit het teken van de afgeleiden gehaald. Dit is een typische fout die optreedt in de beginfase van het bestuderen van afgeleiden, maar aangezien de gemiddelde student meerdere een-tweecomponentenvoorbeelden oplost, wordt deze fout niet meer gemaakt.

En als je bij het onderscheiden van een product of een quotiënt een term hebt? jij"v, waarin jij- een getal, bijvoorbeeld 2 of 5, dat wil zeggen een constante, dan is de afgeleide van dit getal gelijk aan nul en daarom zal de hele term gelijk zijn aan nul (een dergelijk geval wordt geanalyseerd in voorbeeld 10) .

Een andere veelgemaakte fout is de mechanische oplossing van de afgeleide van een complexe functie als de afgeleide van een eenvoudige functie. Dus afgeleide van een complexe functie aan een apart artikel gewijd. Maar eerst zullen we leren om afgeleiden van eenvoudige functies te vinden.

Onderweg kun je niet zonder transformaties van uitdrukkingen. Om dit te doen, moet u mogelijk in nieuwe Windows-handleidingen openen Acties met krachten en wortels en Acties met breuken .

Als u op zoek bent naar oplossingen voor afgeleiden met machten en wortels, dat wil zeggen, wanneer de functie eruitziet: , volg dan de les "Afgeleide van de som van breuken met machten en wortels".

Als je een taak hebt zoals , dan zit je in de les "Afgeleiden van eenvoudige trigonometrische functies".

Stap voor stap voorbeelden - hoe de afgeleide te vinden

Voorbeeld 3 Vind de afgeleide van een functie

Beslissing. We bepalen de delen van de uitdrukking van de functie: de hele uitdrukking vertegenwoordigt het product, en de factoren zijn sommen, in de tweede waarvan een van de termen een constante factor bevat. We passen de productdifferentiatieregel toe: de afgeleide van het product van twee functies is gelijk aan de som van de producten van elk van deze functies en de afgeleide van de andere:

Vervolgens passen we de differentiatieregel van de som toe: de afgeleide van de algebraïsche som van functies is gelijk aan de algebraïsche som van de afgeleiden van deze functies. In ons geval, in elke som, de tweede term met een minteken. In elke som zien we zowel een onafhankelijke variabele waarvan de afgeleide gelijk is aan één, als een constante (getal), waarvan de afgeleide gelijk is aan nul. Dus "x" verandert in één, en min 5 - in nul. In de tweede uitdrukking wordt "x" vermenigvuldigd met 2, dus vermenigvuldigen we twee met dezelfde eenheid als de afgeleide van "x". We krijgen de volgende waarden van derivaten:

We vervangen de gevonden afgeleiden door de som van producten en verkrijgen de afgeleide van de hele functie die vereist is voor de toestand van het probleem:

Voorbeeld 4 Vind de afgeleide van een functie

Beslissing. We moeten de afgeleide van het quotiënt vinden. We passen de formule toe om een ​​quotiënt te differentiëren: de afgeleide van een quotiënt van twee functies is gelijk aan een breuk waarvan de teller het verschil is tussen de producten van de noemer en de afgeleide van de teller en de teller en de afgeleide van de noemer, en de noemer is het kwadraat van de voormalige teller. We krijgen:

De afgeleide van de factoren in de teller hebben we in voorbeeld 2 al gevonden. Laten we ook niet vergeten dat het product, dat de tweede factor in de teller is, in het huidige voorbeeld met een minteken wordt genomen:

Als u op zoek bent naar oplossingen voor dergelijke problemen waarin u de afgeleide van een functie moet vinden, waarbij er een continue stapel wortels en graden is, zoals bijvoorbeeld dan welkom in de les "De afgeleide van de som van breuken met machten en wortels" .

Als u meer wilt weten over de afgeleiden van sinussen, cosinuslijnen, raaklijnen en andere trigonometrische functies, dat wil zeggen, wanneer de functie eruitziet , dan heb je een les "Afgeleiden van eenvoudige trigonometrische functies" .

Voorbeeld 5 Vind de afgeleide van een functie

Beslissing. In deze functie zien we een product waarvan een van de factoren de vierkantswortel is van de onafhankelijke variabele, met de afgeleide waarvan we ons vertrouwd hebben gemaakt in de tabel met afgeleiden. Volgens de productdifferentiatieregel en de tabelwaarde van de afgeleide van de vierkantswortel, krijgen we:

Voorbeeld 6 Vind de afgeleide van een functie

Beslissing. In deze functie zien we het quotiënt, waarvan het deeltal de vierkantswortel is van de onafhankelijke variabele. Volgens de differentiatieregel van het quotiënt, die we in voorbeeld 4 hebben herhaald en toegepast, en de tabelwaarde van de afgeleide van de vierkantswortel, krijgen we:

Om van de breuk in de teller af te komen, vermenigvuldig je de teller en de noemer met .

Waarop we de eenvoudigste afgeleiden hebben geanalyseerd, en ook kennis hebben gemaakt met de regels van differentiatie en enkele technieken voor het vinden van afgeleiden. Dus als je niet zo goed bent met afgeleiden van functies of sommige punten van dit artikel niet helemaal duidelijk zijn, lees dan eerst bovenstaande les. Stem alsjeblieft af op een serieuze bui - het materiaal is niet gemakkelijk, maar ik zal toch proberen het eenvoudig en duidelijk te presenteren.

In de praktijk heb je heel vaak te maken met de afgeleide van een complexe functie, ik zou zelfs bijna altijd zeggen, als je opdrachten krijgt om afgeleiden te vinden.

We kijken in de tabel naar de regel (nr. 5) voor het differentiëren van een complexe functie:

We begrijpen het. Laten we eerst eens kijken naar de notatie. Hier hebben we twee functies - en , en de functie, figuurlijk gesproken, is genest in de functie . Een dergelijke functie (wanneer de ene functie in een andere is genest) wordt een complexe functie genoemd.

Ik zal de functie aanroepen externe functie, en de functie – innerlijke (of geneste) functie.

! Deze definities zijn niet theoretisch en mogen niet voorkomen in het uiteindelijke ontwerp van opdrachten. Ik gebruik de informele uitdrukkingen "externe functie", "interne" functie alleen om het voor u gemakkelijker te maken om de stof te begrijpen.

Overweeg om de situatie te verduidelijken:

voorbeeld 1

Vind de afgeleide van een functie

Onder de sinus hebben we niet alleen de letter "x", maar de hele uitdrukking, dus het direct vinden van de afgeleide uit de tabel zal niet werken. We merken ook dat het onmogelijk is om de eerste vier regels hier toe te passen, er lijkt een verschil te zijn, maar feit is dat het onmogelijk is om de sinus "uit elkaar te scheuren":

In dit voorbeeld, al uit mijn uitleg, is het intuïtief duidelijk dat de functie een complexe functie is en dat de polynoom een ​​interne functie (inbedding) en een externe functie is.

Eerste stap, die moet worden uitgevoerd bij het vinden van de afgeleide van een complexe functie is to begrijpen welke functie intern is en welke extern.

In het geval van eenvoudige voorbeelden lijkt het duidelijk dat een polynoom onder de sinus is genest. Maar wat als het niet duidelijk is? Hoe bepaal je precies welke functie extern is en welke intern? Om dit te doen, stel ik voor om de volgende techniek te gebruiken, die mentaal of op een tocht kan worden uitgevoerd.

Laten we ons voorstellen dat we de waarde van de uitdrukking met een rekenmachine moeten berekenen (in plaats van één kan er elk getal zijn).

Wat berekenen we eerst? voornamelijk je moet de volgende actie uitvoeren: , dus de polynoom zal een interne functie zijn:

ten tweede je zult moeten vinden, dus de sinus - zal een externe functie zijn:

Nadat we BEGRIJPEN met innerlijke en uiterlijke functies is het tijd om de differentiatieregel voor samengestelde functies toe te passen .

We beginnen te beslissen. uit de les Hoe de afgeleide te vinden? we herinneren ons dat het ontwerp van de oplossing van elke afgeleide altijd zo begint - we zetten de uitdrukking tussen haakjes en zetten een streep rechtsboven:

Aanvankelijk we vinden de afgeleide van de externe functie (sinus), kijken naar de tabel met afgeleiden van elementaire functies en merken op dat . Alle tabelformules zijn van toepassing, zelfs als "x" wordt vervangen door een complexe uitdrukking, in dit geval:

Merk op dat de innerlijke functie is niet veranderd, we raken het niet aan.

Nou, het is vrij duidelijk dat

Het resultaat van het toepassen van de formule schoon ziet er als volgt uit:

De constante factor wordt meestal aan het begin van de uitdrukking geplaatst:

Als er een misverstand is, noteer dan de beslissing op papier en lees de uitleg opnieuw.

Voorbeeld 2

Vind de afgeleide van een functie

Voorbeeld 3

Vind de afgeleide van een functie

Zoals altijd schrijven we:

We zoeken uit waar we een externe functie hebben en waar een interne. Om dit te doen, proberen we (mentaal of op een concept) om de waarde van de uitdrukking voor te berekenen. Wat moet er eerst gebeuren? Allereerst moet je berekenen waar de basis gelijk aan is:, wat betekent dat de polynoom de interne functie is:

En alleen dan wordt machtsverheffing uitgevoerd, daarom is de machtsfunctie een externe functie:

Volgens de formule , moet je eerst de afgeleide van de externe functie vinden, in dit geval de graad. We zoeken de gewenste formule in de tabel:. We herhalen nogmaals: elke tabelformule is niet alleen geldig voor "x", maar ook voor een complexe uitdrukking. Dus het resultaat van het toepassen van de differentiatieregel van een complexe functie De volgende:

Ik benadruk nogmaals dat wanneer we de afgeleide van de uiterlijke functie nemen, de innerlijke functie niet verandert:

Nu moet je nog een heel eenvoudige afgeleide van de innerlijke functie vinden en het resultaat een beetje "kammen":

Voorbeeld 4

Vind de afgeleide van een functie

Dit is een voorbeeld om zelf op te lossen (antwoord aan het einde van de les).

Om het begrip van de afgeleide van een complexe functie te consolideren, zal ik een voorbeeld geven zonder opmerkingen, probeer het zelf uit te zoeken, reden, waar is de externe en waar is de interne functie, waarom worden de taken op die manier opgelost?

Voorbeeld 5

a) Vind de afgeleide van een functie

b) Vind de afgeleide van de functie

Voorbeeld 6

Vind de afgeleide van een functie

Hier hebben we een wortel, en om de wortel te differentiëren, moet deze worden weergegeven als een graad. Dus brengen we eerst de functie in de juiste vorm voor differentiatie:

Als we de functie analyseren, komen we tot de conclusie dat de som van drie termen een interne functie is en machtsverheffen een externe functie. We passen de differentiatieregel van een complexe functie toe :

De graad wordt weer weergegeven als een radicaal (wortel), en voor de afgeleide van de interne functie passen we een eenvoudige regel toe om de som te differentiëren:

Klaar. Je kunt de uitdrukking ook tussen haakjes naar een gemeenschappelijke noemer brengen en alles als één breuk schrijven. Het is natuurlijk mooi, maar wanneer omslachtige lange afgeleiden worden verkregen, is het beter om dit niet te doen (het is gemakkelijk om in de war te raken, een onnodige fout te maken en het zal lastig zijn voor de leraar om te controleren).

Voorbeeld 7

Vind de afgeleide van een functie

Dit is een voorbeeld om zelf op te lossen (antwoord aan het einde van de les).

Het is interessant op te merken dat men soms, in plaats van de regel voor het differentiëren van een complexe functie, de regel voor het differentiëren van een quotiënt kan gebruiken , maar zo'n oplossing zal eruitzien als een ongewone perversie. Hier is een typisch voorbeeld:

Voorbeeld 8

Vind de afgeleide van een functie

Hier kunt u de regel van differentiatie van het quotiënt gebruiken , maar het is veel winstgevender om de afgeleide te vinden via de differentiatieregel van een complexe functie:

We bereiden de functie voor differentiatie voor - we halen het minteken van de afgeleide weg en verhogen de cosinus tot de teller:

Cosinus is een interne functie, machtsverheffen is een externe functie.
Laten we onze regel gebruiken :

We vinden de afgeleide van de innerlijke functie, reset de cosinus terug naar beneden:

Klaar. In het weloverwogen voorbeeld is het belangrijk om niet in de war te raken in de tekens. Probeer het trouwens op te lossen met de regel , moeten de antwoorden overeenkomen.

Voorbeeld 9

Vind de afgeleide van een functie

Dit is een voorbeeld om zelf op te lossen (antwoord aan het einde van de les).

Tot nu toe hebben we gevallen overwogen waarin we slechts één nesting in een complexe functie hadden. In praktische taken kun je vaak afgeleiden vinden, waarbij, zoals het nestelen van poppen, de een in de ander, 3 of zelfs 4-5 functies tegelijk worden genest.

Voorbeeld 10

Vind de afgeleide van een functie

We begrijpen de bijlagen van deze functie. We proberen de expressie te evalueren met behulp van de experimentele waarde. Hoe zouden we rekenen op een rekenmachine?

Eerst moet je vinden, wat betekent dat de boogsinus de diepste nesting is:

Deze boogsinus van eenheid moet dan worden gekwadrateerd:

En tot slot verheffen we de zeven tot de macht:

Dat wil zeggen, in dit voorbeeld hebben we drie verschillende functies en twee nestingen, terwijl de binnenste functie de boogsinus is en de buitenste functie de exponentiële functie.

We beginnen te beslissen

Volgens de regel eerst moet je de afgeleide van de buitenste functie nemen. We kijken naar de tabel met afgeleiden en vinden de afgeleide van de exponentiële functie: Het enige verschil is dat we in plaats van "x" een complexe uitdrukking hebben, wat de geldigheid van deze formule niet ontkent. Dus het resultaat van het toepassen van de differentiatieregel van een complexe functie De volgende.

Afleiding van de formule voor de afgeleide van een machtsfunctie (x naar de macht van a). Afgeleiden van wortels van x worden beschouwd. De formule voor de afgeleide van een hogere orde machtsfunctie. Voorbeelden van het berekenen van afgeleiden.

De afgeleide van x naar de macht van a is a maal x naar de macht van een min één:
(1) .

De afgeleide van de n-de wortel van x naar de m-de macht is:
(2) .

Afleiding van de formule voor de afgeleide van een machtsfunctie

Geval x > 0

Beschouw een machtsfunctie van variabele x met exponent a :
(3) .
Hier is a een willekeurig reëel getal. Laten we eerst de zaak bekijken.

Om de afgeleide van de functie (3) te vinden, gebruiken we de eigenschappen van de machtsfunctie en transformeren deze in de volgende vorm:
.

Nu vinden we de afgeleide door toe te passen:
;
.
Hier .

Formule (1) is bewezen.

Afleiding van de formule voor de afgeleide van de wortel van de graad n van x naar de graad m

Beschouw nu een functie die de wortel is van de volgende vorm:
(4) .

Om de afgeleide te vinden, zetten we de wortel om in een machtsfunctie:
.
In vergelijking met formule (3) zien we dat:
.
Dan
.

Met formule (1) vinden we de afgeleide:
(1) ;
;
(2) .

In de praktijk is het niet nodig om formule (2) te onthouden. Het is veel handiger om eerst de wortels om te zetten in machtsfuncties en dan hun afgeleiden te vinden met formule (1) (zie voorbeelden aan het einde van de pagina).

Geval x = 0

Als , dan is de exponentiële functie ook gedefinieerd voor de waarde van de variabele x = 0 . Laten we de afgeleide van functie (3) vinden voor x = 0 . Hiervoor gebruiken we de definitie van een afgeleide:
.

Vervang x = 0 :
.
In dit geval bedoelen we met afgeleide de rechterlimiet waarvoor .

Dus we vonden:
.
Hieruit blijkt dat op , .
Bij , .
Bij , .
Dit resultaat wordt ook verkregen door formule (1):
(1) .
Daarom is formule (1) ook geldig voor x = 0 .

geval x< 0

Beschouw functie (3) nog eens:
(3) .
Voor sommige waarden van de constante a wordt deze ook gedefinieerd voor negatieve waarden van de variabele x. Laat a namelijk een rationaal getal zijn. Dan kan het worden weergegeven als een onherleidbare breuk:
,
waarbij m en n gehele getallen zijn zonder gemeenschappelijke deler.

Als n oneven is, dan is de exponentiële functie ook gedefinieerd voor negatieve waarden van de variabele x. Bijvoorbeeld, voor n = 3 en m = 1 we hebben de derdemachtswortel van x :
.
Het is ook gedefinieerd voor negatieve waarden van x .

Laten we de afgeleide van de machtsfunctie (3) vinden voor en voor rationale waarden van de constante a , waarvoor deze is gedefinieerd. Om dit te doen, stellen we x voor in de volgende vorm:
.
Dan ,
.
We vinden de afgeleide door de constante uit het teken van de afgeleide te nemen en de differentiatieregel van een complexe functie toe te passen:

.
Hier . Maar
.
Omdat dan
.
Dan
.
Dat wil zeggen, formule (1) is ook geldig voor:
(1) .

Derivaten van hogere orden

Nu vinden we de afgeleiden van hogere orde van de machtsfunctie
(3) .
De afgeleide van de eerste orde hebben we al gevonden:
.

Als we de constante a uit het teken van de afgeleide nemen, vinden we de afgeleide van de tweede orde:
.
Evenzo vinden we afgeleiden van de derde en vierde orde:
;

.

Vanaf hier is het duidelijk dat afgeleide van een willekeurige nde orde heeft de volgende vorm:
.

Let erop dat als a een natuurlijk getal is, , dan is de n-de afgeleide constant:
.
Dan zijn alle volgende afgeleiden gelijk aan nul:
,
Bij .

Afgeleide voorbeelden

Voorbeeld

Zoek de afgeleide van de functie:
.

Beslissing

Laten we de wortels omzetten in krachten:
;
.
De oorspronkelijke functie heeft dan de vorm:
.

We vinden afgeleiden van graden:
;
.
De afgeleide van een constante is nul:
.