Invoering. Verwerking van meetresultaten in de fysieke praktijk Metingen en meetfouten Analyse van directe meetresultaten

Willekeurige fouten hebben de volgende eigenschappen.

Bij een groot aantal metingen komen fouten van dezelfde grootte maar tegengesteld in teken even vaak voor.

Grote fouten komen minder vaak voor dan kleine. Van relaties (1), herschrijf ze in de vorm

X \u003d x 1 + x 1

X = x 2 + x 2

X = x n + x n

en optellen in een kolom, kunt u de werkelijke waarde van de gemeten waarde als volgt bepalen:

of
.

(2)

die. de werkelijke waarde van de gemeten grootheid is gelijk aan het rekenkundig gemiddelde van de meetresultaten, als er een oneindig aantal is. Bij een beperkt, en nog meer bij een klein aantal metingen, waar we in de praktijk meestal mee te maken hebben, is gelijkheid (2) bij benadering.

Laat de volgende waarden van de gemeten grootheid X worden verkregen als resultaat van verschillende metingen: 13.4; 13.2; 13.3; 13.4; 13.3; 13.2; 13.1; 13.3; 13.3; 13.2; 13.3; 13.1. Laten we een diagram maken van de verdeling van deze resultaten, waarbij we de meetwaarden van het instrument in oplopende volgorde langs de as van de abscis uitzetten. De afstanden tussen aangrenzende punten langs de as van de abscis zijn gelijk aan tweemaal de maximale afleesfout op het instrument. In ons geval wordt afgeteld tot 0,1. Dit is gelijk aan één deel van de schaal die op de x-as is aangegeven. Op de ordinaat-as plotten we waarden die evenredig zijn aan het relatieve aantal resultaten dat overeenkomt met een bepaalde uitlezing van het apparaat. Het relatieve aantal, of de relatieve frequentie van resultaten gelijk aan x k, wordt aangegeven met W(x k). In ons geval

We kennen elke x toe aan

(3)

waarbij A de evenredigheidscoëfficiënt is.

Het diagram, dat een histogram wordt genoemd, verschilt van de gebruikelijke grafiek doordat de punten niet zijn verbonden door een vloeiende gebogen lijn, maar er stappen doorheen worden getrokken. Het is duidelijk dat het gebied van de stap over een waarde van x k evenredig is met de relatieve frequentie van voorkomen van dit resultaat. Door de evenredigheidscoëfficiënt in uitdrukking (3) op de juiste manier te kiezen, kan dit gebied gelijk worden gemaakt aan de relatieve frequentie van het resultaat x k. Dan de som van de gebieden van alle stappen, als de som van de relatieve frequenties van alle resultaten, moet gelijk zijn aan één

Vanaf hier vinden we A=10. Voorwaarde (4) wordt de normalisatievoorwaarde voor functie (3) genoemd.

Als je een reeks metingen doet met n metingen in elke reeks, dan kunnen bij een kleine n de relatieve frequenties van dezelfde waarde x k gevonden uit verschillende reeksen aanzienlijk van elkaar verschillen. Naarmate het aantal metingen in de reeks toeneemt, nemen de fluctuaties in de waarden van W(x k) af en benaderen deze waarden een bepaald constant aantal, dat de waarschijnlijkheid van het resultaat x k wordt genoemd en wordt aangeduid met P (x k ).

Laten we aannemen dat we, terwijl we een experiment uitvoeren, het resultaat niet tellen tot hele schaalverdelingen of hun aandelen, maar we kunnen het punt bepalen waar de pijl stopte. Dan zal de pijl voor een oneindig groot aantal metingen elk punt op de schaal bezoeken. De verdeling van meetresultaten krijgt in dit geval een continu karakter en wordt in plaats van een getrapt histogram beschreven door een continue curve y=f(x). Op basis van de eigenschappen van toevallige fouten kan worden geconcludeerd dat de curve symmetrisch moet zijn en dat het maximum daarom valt op het rekenkundig gemiddelde van de meetresultaten, dat gelijk is aan de werkelijke waarde van de gemeten grootheid. Bij een continue verspreiding van meetresultaten is er geen

het is logisch om te praten over de waarschijnlijkheid van een van hun waarden, omdat er zijn waarden die willekeurig dicht bij die in kwestie liggen. Nu zouden we al de vraag moeten stellen naar de kans dat we tijdens metingen het resultaat tegenkomen in een bepaald interval rond de waarde van x k, gelijk aan
,
. Net zoals op het histogram de relatieve frequentie van het resultaat x gelijk was aan het gebied van de stap gebouwd over dit resultaat, op de grafiek voor een continue verdeling de kans om het resultaat in het interval te vinden (
,
) is gelijk aan de oppervlakte van het kromlijnige trapezium dat over dit interval is geconstrueerd en begrensd door de kromme f(x). De wiskundige notatie van dit resultaat is

indien
weinig, d.w.z. het gebied van het gearceerde kromlijnige trapezium wordt vervangen door het geschatte gebied van een rechthoek met dezelfde basis en een hoogte gelijk aan f(xk). De functie f(x) wordt de kansdichtheid van de verdeling van meetresultaten genoemd. De kans om x in een bepaald interval te vinden is gelijk aan de kansdichtheid voor het gegeven interval vermenigvuldigd met de lengte ervan.

De verdelingskromme van de meetresultaten die experimenteel zijn verkregen voor een bepaald deel van de instrumentschaal, als deze wordt voortgezet, asymptotisch de abscis-as van links en rechts benadert, wordt analytisch goed beschreven door een functie van de vorm

(5)

Net zoals het totale gebied van alle stappen op het histogram gelijk was aan één, het hele gebied tussen de f (x) curve en de abscis, wat de betekenis heeft van de waarschijnlijkheid om ten minste een waarde van x te ontmoeten tijdens metingen, is ook gelijk aan één. De verdeling die door deze functie wordt beschreven, wordt de normale verdeling genoemd. De belangrijkste parameter van de normale verdeling is de variantie 2 . De geschatte waarde van de spreiding kan worden gevonden in de meetresultaten met behulp van de formule:

(6)

Deze formule geeft alleen voor een groot aantal metingen een spreiding die dicht bij de werkelijke waarde ligt. Zo kan σ 2 gevonden uit de resultaten van 100 metingen een afwijking hebben van de werkelijke waarde van 15%, gevonden van 10 metingen al 40%. De variantie bepaalt de vorm van de normale verdelingscurve. Als de toevallige fouten klein zijn, is de spreiding, zoals volgt uit (6), klein. De curve f(x) is in dit geval smaller en scherper in de buurt van de werkelijke waarde van X en neigt sneller naar nul wanneer hij er vanaf beweegt dan bij grote fouten. De volgende afbeelding laat zien hoe de vorm van de curve f(x) voor een normale verdeling verandert afhankelijk van σ.

In de waarschijnlijkheidstheorie is bewezen dat als we niet de verdeling van meetresultaten beschouwen, maar de verdeling van rekenkundige gemiddelde waarden die zijn gevonden uit een reeks van n metingen in elke reeks, deze ook aan de normale wet gehoorzaamt, maar met een spreiding dat is n keer kleiner.

De kans dat het meetresultaat in een bepaald interval wordt gevonden (
) nabij de werkelijke waarde van de gemeten waarde is gelijk aan het oppervlak van het kromlijnige trapezium gebouwd over dit interval en van bovenaf begrensd door de curve f(x). Intervalwaarde
meestal gemeten in eenheden die evenredig zijn met de vierkantswortel van de variantie
Afhankelijk van de waarde van k per interval
er is een kromlijnig trapezium van een groter of kleiner gebied, d.w.z.

waarbij F(k) een functie is van k. Berekeningen laten zien dat for

k=1,

k=2,

k=3,

Dit toont aan dat in het interval
is goed voor ongeveer 95% van het gebied onder de curve f(x). Dit feit is volledig in overeenstemming met de tweede eigenschap van willekeurige fouten, die stelt dat grote fouten onwaarschijnlijk zijn. fouten groter dan
, komt voor met een kans van minder dan 5%. De uitdrukking (7) herschreven voor de verdeling van het rekenkundig gemiddelde van n metingen heeft de vorm

(8)

Waarde in (7) en (8) kan op basis van meetresultaten slechts bij benadering met formule (6) worden bepaald

Deze waarde vervangen in uitdrukking (8), we krijgen aan de rechterkant niet F (k), maar een nieuwe functie, niet alleen afhankelijk van de grootte van het beschouwde interval van waarden X, maar ook van het aantal uitgevoerde metingen
En

omdat alleen voor een zeer groot aantal metingen wordt formule (6) voldoende nauwkeurig.

Nadat we het systeem van twee ongelijkheden tussen haakjes aan de linkerkant van deze uitdrukking hebben opgelost met betrekking tot de werkelijke waarde van X, kunnen we het herschrijven in de vorm

Expressie (9) bepaalt de kans waarmee de werkelijke waarde van X in een bepaald lengte-interval ligt over waarde . Deze kans in de foutentheorie wordt betrouwbaarheid genoemd, en het interval dat daarmee overeenkomt voor de werkelijke waarde wordt het betrouwbaarheidsinterval genoemd. Functie
berekend afhankelijk van t n en n en hiervoor is een gedetailleerde tabel opgesteld. De tabel heeft 2 ingangen: pt n en n. Met zijn hulp is het voor een gegeven aantal metingen n mogelijk om, gegeven een bepaalde betrouwbaarheidswaarde P, de waarde van t n te vinden, de Student-coëfficiënt genoemd.

Een analyse van de tabel laat zien dat we voor een bepaald aantal metingen met de vereiste van toenemende betrouwbaarheid, groeiende waarden van t n verkrijgen, d.w.z. een toename van het betrouwbaarheidsinterval. Een betrouwbaarheid gelijk aan één zou overeenkomen met een betrouwbaarheidsinterval gelijk aan oneindig. Bij een zekere betrouwbaarheid kunnen we het betrouwbaarheidsinterval voor de werkelijke waarde smaller maken door het aantal metingen te vergroten, aangezien S n niet veel verandert, en neemt zowel af door de teller te verlagen als door de noemer te vergroten. Na voldoende experimenten te hebben uitgevoerd, is het mogelijk om een ​​betrouwbaarheidsinterval van elke kleine waarde te maken. Maar voor grote n verkleint een verdere toename van het aantal experimenten het betrouwbaarheidsinterval zeer langzaam en neemt de hoeveelheid rekenwerk veel toe. Soms is het in de praktijk handig om een ​​benaderingsregel te gebruiken: om het betrouwbaarheidsinterval dat wordt gevonden bij een klein aantal metingen meerdere keren te verkleinen, moet het aantal metingen met dezelfde factor worden verhoogd.

VOORBEELD VAN DIRECTE MEETRESULTATEN VERWERKING

Laten we als experimentele gegevens de eerste drie resultaten van de 12 nemen, volgens welke het histogram X is gebouwd: 13.4; 13.2; 13.3.

Laten we ons afvragen wat de betrouwbaarheid is, die in het onderwijslaboratorium meestal wordt geaccepteerd, P = 95%. Uit de tabel voor P = 0,95 en n = 3 vinden we t n = 4,3.

of

met 95% betrouwbaarheid. Het laatste resultaat wordt meestal geschreven als een gelijkheid

Als het betrouwbaarheidsinterval van een dergelijke waarde niet past (bijvoorbeeld in het geval dat de instrumentele fout 0,1 is), en we willen deze halveren, moeten we het aantal metingen verdubbelen.

Als we bijvoorbeeld de laatste 6 waarden van dezelfde 12 resultaten nemen (voor de eerste zes wordt voorgesteld om de berekening zelf te doen)

X: 13.1; 13.3; 13.3; 13.2; 13.3; 13.1,

dan

De waarde van de coëfficiënt t n wordt gevonden in de tabel voor Р = 0,95 en n = 6; tn = 2.6.

In dit geval
Laten we het betrouwbaarheidsinterval voor de werkelijke waarde in het eerste en tweede geval op de numerieke as uitzetten.

Het interval berekend uit 6 metingen ligt, zoals verwacht, binnen het interval gevonden uit drie metingen.

De instrumentele fout introduceert een systematische fout in de resultaten, die de betrouwbaarheidsintervallen op de as met 0,1 vergroot. Daarom hebben de resultaten die zijn geschreven rekening houdend met de instrumentele fout de vorm

1)
2)

In het algemene geval is de procedure voor het verwerken van de resultaten van directe metingen als volgt (aangenomen wordt dat er geen systematische fouten zijn).

Zaak 1 Het aantal metingen is minder dan vijf.

1) Volgens formule (6) wordt het gemiddelde resultaat gevonden x, gedefinieerd als het rekenkundig gemiddelde van de resultaten van alle metingen, d.w.z.

2) Volgens de formule (12) worden de absolute fouten van individuele metingen berekend

.

3) Volgens de formule (14) wordt de gemiddelde absolute fout bepaald

.

4) Volgens formule (15) wordt de gemiddelde relatieve fout van het meetresultaat berekend

.

5) Noteer het eindresultaat in de volgende vorm:

, Bij
.

Geval 2. Het aantal metingen is ruim vijf.

1) Volgens formule (6) wordt het gemiddelde resultaat gevonden

.

2) Volgens de formule (12) worden de absolute fouten van individuele metingen bepaald

.

3) Volgens formule (7) wordt de gemiddelde kwadratische fout van een enkele meting berekend

.

4) Bereken de standaarddeviatie voor de gemiddelde waarde van de gemeten waarde met de formule (9).

.

5) Het eindresultaat wordt vastgelegd in de volgende vorm

.

Soms kunnen willekeurige meetfouten kleiner blijken te zijn dan de waarde die het meetinstrument (instrument) kan registreren. In dit geval wordt voor een willekeurig aantal metingen hetzelfde resultaat verkregen. In dergelijke gevallen, als de gemiddelde absolute fout
neem de halve schaalverdeling van het instrument (tool). Deze waarde wordt soms de beperkende of instrumentele fout genoemd en wordt aangeduid met
(voor noniusinstrumenten en stopwatch)
gelijk aan de nauwkeurigheid van het instrument).

Beoordeling van de betrouwbaarheid van meetresultaten

In elk experiment is het aantal metingen van een fysieke grootheid om de een of andere reden altijd beperkt. Vanwege met dit kan de taak zijn om de betrouwbaarheid van het resultaat te beoordelen. Met andere woorden, bepaal met welke waarschijnlijkheid kan worden beweerd dat de gemaakte fout in dit geval de vooraf bepaalde waarde ε niet overschrijdt. Deze kans wordt de betrouwbaarheidskans genoemd. Laten we het aanduiden met een letter.

Er kan ook een omgekeerd probleem worden gesteld: om de grenzen van het interval te bepalen
zodat met een gegeven kans men zou kunnen stellen dat de werkelijke waarde van de metingen van de hoeveelheid niet verder gaan dan het gespecificeerde, zogenaamde betrouwbaarheidsinterval.

Het betrouwbaarheidsinterval kenmerkt de nauwkeurigheid van het verkregen resultaat en het betrouwbaarheidsinterval kenmerkt de betrouwbaarheid ervan. Methoden voor het oplossen van deze twee groepen problemen zijn beschikbaar en zijn speciaal ontwikkeld voor het geval dat de meetfouten worden verdeeld volgens de normale wet. Kansrekening biedt ook methoden voor het bepalen van het aantal experimenten (herhaalde metingen) die een bepaalde nauwkeurigheid en betrouwbaarheid van het verwachte resultaat opleveren. In dit werk worden deze methoden buiten beschouwing gelaten (we beperken ons tot het vermelden ervan), aangezien dergelijke taken meestal niet worden gesteld bij het uitvoeren van laboratoriumwerk.

Van bijzonder belang is echter het geval van het beoordelen van de betrouwbaarheid van het resultaat van metingen van fysieke grootheden met een zeer klein aantal herhaalde metingen. Bijvoorbeeld,
. Dit is precies het geval dat we vaak tegenkomen bij het uitvoeren van laboratoriumwerk in de natuurkunde. Bij het oplossen van dit soort problemen is het aan te raden om de methode te gebruiken op basis van Studentenverdeling (wet).

Voor het gemak van praktische toepassing van de beschouwde methode zijn er tabellen waarmee u het betrouwbaarheidsinterval kunt bepalen
overeenkomen met een bepaald betrouwbaarheidsniveau of het inverse probleem oplossen.

Hieronder vindt u de delen van de genoemde tabellen die nodig kunnen zijn bij het evalueren van de resultaten van metingen in laboratoriumklassen.

Laat bijvoorbeeld geproduceerd gelijke (onder dezelfde omstandigheden) metingen van een fysieke hoeveelheid en berekende de gemiddelde waarde . Het is vereist om het betrouwbaarheidsinterval te vinden overeenkomend met het gegeven betrouwbaarheidsniveau . Het probleem wordt over het algemeen op de volgende manier opgelost.

Volgens de formule, rekening houdend met (7), bereken

Dan voor gegeven waarden n en vind volgens de tabel (Tabel 2) de waarde . De waarde die u zoekt, wordt berekend op basis van de formule

(16)

Bij het oplossen van het inverse probleem wordt de parameter eerst berekend met formule (16). De gewenste waarde van de betrouwbaarheidskans is ontleend aan de tabel (tabel 3) voor een gegeven getal en berekende parameter .

Tafel 2. Parameterwaarde voor een bepaald aantal experimenten

en vertrouwensniveau

tafel 3 De waarde van de betrouwbaarheidskans voor een bepaald aantal experimenten n en parameter ε

De belangrijkste bepalingen van de methoden voor het verwerken van de resultaten van directe metingen met meerdere waarnemingen zijn gedefinieerd in GOST 8.207-76.

Neem als meetresultaat: gemiddeld gegevens n waarnemingen, waarvan systematische fouten zijn uitgesloten. Aangenomen wordt dat de resultaten van waarnemingen na uitsluiting van systematische fouten daarvan tot de normale verdeling behoren. Om het resultaat van de meting te berekenen, is het noodzakelijk om de systematische fout van elke waarneming uit te sluiten en als resultaat het gecorrigeerde resultaat te verkrijgen i-de waarneming. Het rekenkundig gemiddelde van deze gecorrigeerde resultaten wordt vervolgens berekend en als meetresultaat genomen. Het rekenkundig gemiddelde is een consistente, onbevooroordeelde en efficiënte schatting van een meetgrootheid onder een normale verdeling van waarnemingsgegevens.

Opgemerkt moet worden dat soms in de literatuur, in plaats van de term observatie resultaat de term wordt soms gebruikt enkel meetresultaat, waaruit systematische fouten zijn uitgesloten. Tegelijkertijd wordt de rekenkundige gemiddelde waarde opgevat als het meetresultaat in deze reeks van meerdere metingen. Dit verandert niets aan de essentie van de onderstaande resultatenverwerkingsprocedures.

Bij het statistisch verwerken van groepen observatieresultaten moet het volgende worden uitgevoerd: activiteiten :

1. Elimineer de bekende systematische fout van elke waarneming en verkrijg het gecorrigeerde resultaat van de individuele waarneming x.

2. Bereken het rekenkundig gemiddelde van de gecorrigeerde waarnemingsresultaten, genomen als meetresultaat:

3. Bereken de schatting van de standaarddeviatie

observatie groepen:

Beschikbaarheid controleren grove fouten – zijn er waarden die verder gaan dan ±3 S. Met een normale verdelingswet met een waarschijnlijkheid die praktisch gelijk is aan 1 (0,997), mag geen van de waarden van dit verschil de gespecificeerde limieten overschrijden. Als dit het geval is, moeten de bijbehorende waarden buiten beschouwing worden gelaten en moeten de berekeningen en evaluatie opnieuw worden herhaald. S.

4. Bereken de RMS-schatting van het meetresultaat (gemiddelde

rekenkundig)

5. Test de hypothese over de normale verdeling van de resultaten van waarnemingen.

Er zijn verschillende benaderingsmethoden om de normaliteit van de verdeling van waarnemingsresultaten te controleren. Sommigen van hen worden gegeven in GOST 8.207-76. Als het aantal waarnemingen kleiner is dan 15, wordt in overeenstemming met deze GOST niet gecontroleerd of ze tot de normale verdeling behoren. De betrouwbaarheidsgrenzen van de toevalsfout worden alleen bepaald als van tevoren bekend is dat de resultaten van de waarnemingen bij deze verdeling horen. Bij benadering kan de aard van de verdeling worden beoordeeld door een histogram van de resultaten van waarnemingen te construeren. Wiskundige methoden voor het controleren van de normaliteit van een verdeling worden besproken in de gespecialiseerde literatuur.

6. Bereken de betrouwbaarheidsgrenzen e van de willekeurige fout (willekeurige component van de fout) van het meetresultaat

waar tq- Studentcoëfficiënt, afhankelijk van het aantal waarnemingen en het betrouwbaarheidsniveau. Bijvoorbeeld, wanneer? n= 14, P= 0,95 tq= 2.16. De waarden van deze coëfficiënt worden gegeven in de bijlage bij de gespecificeerde norm.

7. Bereken de grenzen van de totale niet-uitgesloten systematische fout (TSE) van het meetresultaat Q (volgens de formules in paragraaf 4.6).

8. Analyseer de verhouding van Q en :

Als , dan wordt de NSP verwaarloosd in vergelijking met willekeurige fouten, en de foutlimiet van het resultaat D=e.. Als > 8, dan kan de willekeurige fout worden verwaarloosd en de foutlimiet van het resultaat D=Θ . Als niet aan beide ongelijkheden wordt voldaan, wordt de foutenmarge van het resultaat gevonden door een samenstelling van verdelingen van willekeurige fouten en NSP te construeren volgens de formule: , waarbij Tot– coëfficiënt afhankelijk van de verhouding tussen toevallige fouten en NSP; S e- beoordeling van de totale standaarddeviatie van het meetresultaat. De schatting van de totale standaarddeviatie wordt berekend met de formule:

.

De coëfficiënt K wordt berekend met de empirische formule:

.

Het betrouwbaarheidsniveau voor de berekening en moet hetzelfde zijn.

De fout bij het toepassen van de laatste formule voor de samenstelling van uniforme (voor NSP) en normale (voor willekeurige fouten) distributies bereikt 12% bij een betrouwbaarheidsniveau van 0,99.

9. Noteer het meetresultaat. Er zijn twee mogelijkheden voor het schrijven van het meetresultaat, aangezien het noodzakelijk is onderscheid te maken tussen metingen, wanneer het verkrijgen van de waarde van de gemeten grootheid het uiteindelijke doel is, en metingen, waarvan de resultaten zullen worden gebruikt voor verdere berekeningen of analyse.

In het eerste geval is het voldoende om de totale fout van het meetresultaat te kennen, en met een symmetrische betrouwbaarheidsfout worden de meetresultaten gepresenteerd in de vorm: , waarbij

waar is het meetresultaat.

In het tweede geval moeten de kenmerken van de componenten van de meetfout bekend zijn - de schatting van de standaarddeviatie van het meetresultaat, de grenzen van de NSP, het aantal gemaakte waarnemingen. Bij gebrek aan gegevens over de vorm van verdelingsfuncties van de foutcomponenten van het resultaat en de noodzaak voor verdere verwerking van de resultaten of analyse van fouten, worden de meetresultaten gepresenteerd in de vorm:

Als de grenzen van de NSP worden berekend in overeenstemming met artikel 4.6, wordt bovendien de betrouwbaarheidskans P aangegeven.

Schattingen en afgeleiden van hun waarde kunnen zowel in absolute vorm, dat wil zeggen in eenheden van de gemeten hoeveelheid, als relatief, dat wil zeggen als de verhouding van de absolute waarde van een bepaalde hoeveelheid tot het meetresultaat, worden uitgedrukt. In dit geval moeten berekeningen volgens de formules van deze sectie worden uitgevoerd met hoeveelheden die alleen in absolute of relatieve vorm worden uitgedrukt.

Natuurkunde is een experimentele wetenschap, wat betekent dat natuurkundige wetten worden vastgesteld en getest door het verzamelen en vergelijken van experimentele gegevens. Het doel van de fysieke workshop is dat studenten de fundamentele fysieke verschijnselen ervaren, leren hoe ze de numerieke waarden van fysieke grootheden correct kunnen meten en deze kunnen vergelijken met theoretische formules.

Alle metingen kunnen worden onderverdeeld in twee typen - Rechtdoor en indirecte.

Bij direct Bij metingen wordt de waarde van de gewenste hoeveelheid direct verkregen uit de meetwaarden van het meetinstrument. Dus lengte wordt bijvoorbeeld gemeten met een liniaal, tijd met de klok, etc.

Als de gewenste fysieke grootheid niet direct door het apparaat kan worden gemeten, maar door middel van een formule wordt uitgedrukt door de gemeten grootheden, dan worden dergelijke metingen genoemd indirecte.

Meting van een hoeveelheid geeft geen absoluut nauwkeurige waarde van deze hoeveelheid. Elke meting bevat altijd een fout (fout). De fout is het verschil tussen de gemeten waarde en de werkelijke waarde.

Fouten zijn onderverdeeld in: systematische en willekeurig.

systematische wordt de fout genoemd die constant blijft gedurende de hele reeks metingen. Dergelijke fouten zijn te wijten aan de imperfectie van het meetinstrument (bijvoorbeeld nulpuntverschuiving van het apparaat) of de meetmethode en kunnen in principe worden uitgesloten van het eindresultaat door een passende correctie in te voeren.

Onder systematische fouten valt ook de fout van meetinstrumenten. De nauwkeurigheid van elk apparaat is beperkt en wordt gekenmerkt door zijn nauwkeurigheidsklasse, die meestal wordt aangegeven op de meetschaal.

Willekeurig fout genoemd, die varieert in verschillende experimenten en zowel positief als negatief kan zijn. Willekeurige fouten zijn te wijten aan oorzaken die zowel afhankelijk zijn van het meetapparaat (wrijving, openingen, enz.) als van externe omstandigheden (trillingen, spanningsschommelingen in het netwerk, enz.).

Willekeurige fouten kunnen empirisch niet worden uitgesloten, maar hun invloed op het resultaat kan worden verminderd door herhaalde metingen.

Berekening van de fout in directe metingen, de gemiddelde waarde en de gemiddelde absolute fout.

Stel dat we een reeks metingen van X doen. Vanwege de aanwezigheid van willekeurige fouten verkrijgen we: n verschillende betekenissen:

X 1, X 2, X 3 ... X n

Als meetresultaat wordt meestal de gemiddelde waarde genomen

Verschil tussen gemiddelde en resultaat i- De meting wordt de absolute fout van deze meting genoemd

Als maat voor de fout van de gemiddelde waarde, kan men de gemiddelde waarde van de absolute fout van een enkele meting nemen

(2)

Waarde
wordt de rekenkundige gemiddelde (of gemiddelde absolute) fout genoemd.

Dan moet het meetresultaat worden geschreven in de vorm

(3)

Om de nauwkeurigheid van metingen te karakteriseren, wordt de relatieve fout gebruikt, die meestal wordt uitgedrukt als een percentage

(4)

In het algemene geval is de procedure voor het verwerken van de resultaten van directe metingen als volgt (aangenomen wordt dat er geen systematische fouten zijn).

Zaak 1 Het aantal metingen is minder dan vijf.

x, gedefinieerd als het rekenkundig gemiddelde van de resultaten van alle metingen, d.w.z.

2) Volgens de formule (12) worden de absolute fouten van individuele metingen berekend

3) Volgens de formule (14) wordt de gemiddelde absolute fout bepaald

.

4) Volgens formule (15) wordt de gemiddelde relatieve fout van het meetresultaat berekend

5) Noteer het eindresultaat in de volgende vorm:

Geval 2. Het aantal metingen is ruim vijf.

1) Volgens formule (6) wordt het gemiddelde resultaat gevonden

2) Volgens de formule (12) worden de absolute fouten van individuele metingen bepaald

3) Volgens formule (7) wordt de gemiddelde kwadratische fout van een enkele meting berekend

.

4) Bereken de standaarddeviatie voor de gemiddelde waarde van de gemeten waarde met de formule (9).

5) Het eindresultaat wordt vastgelegd in de volgende vorm

Soms kunnen willekeurige meetfouten kleiner blijken te zijn dan de waarde die het meetinstrument (instrument) kan registreren. In dit geval wordt voor een willekeurig aantal metingen hetzelfde resultaat verkregen. In dergelijke gevallen wordt de helft van de deelwaarde van de schaal van het apparaat (gereedschap) als de gemiddelde absolute fout genomen. Deze waarde wordt soms de beperkende of instrumentele fout genoemd en aangegeven (voor noniusinstrumenten en een stopwatch is deze gelijk aan de nauwkeurigheid van het instrument).

Beoordeling van de betrouwbaarheid van meetresultaten

In elk experiment is het aantal metingen van een fysieke grootheid om de een of andere reden altijd beperkt. Hierbij kan de taak worden gesteld om de betrouwbaarheid van het resultaat te beoordelen. Met andere woorden, bepaal met welke waarschijnlijkheid kan worden beweerd dat de gemaakte fout in dit geval de vooraf bepaalde waarde ε niet overschrijdt. Deze kans wordt de betrouwbaarheidskans genoemd. Laten we het aanduiden met een letter.

Er kan ook een omgekeerd probleem worden gesteld: het bepalen van de grenzen van het interval, zodat met een gegeven waarschijnlijkheid kan worden gesteld dat de werkelijke waarde van de metingen van de grootheid niet verder zal gaan dan het gespecificeerde, zogenaamde betrouwbaarheidsinterval.

Het betrouwbaarheidsinterval kenmerkt de nauwkeurigheid van het verkregen resultaat en het betrouwbaarheidsinterval kenmerkt de betrouwbaarheid ervan. Methoden voor het oplossen van deze twee groepen problemen zijn beschikbaar en zijn speciaal ontwikkeld voor het geval dat de meetfouten worden verdeeld volgens de normale wet. Kansrekening biedt ook methoden voor het bepalen van het aantal experimenten (herhaalde metingen) die een bepaalde nauwkeurigheid en betrouwbaarheid van het verwachte resultaat opleveren. In dit werk worden deze methoden buiten beschouwing gelaten (we beperken ons tot het vermelden ervan), aangezien dergelijke taken meestal niet worden gesteld bij het uitvoeren van laboratoriumwerk.

Van bijzonder belang is echter het geval van het beoordelen van de betrouwbaarheid van het resultaat van metingen van fysieke grootheden met een zeer klein aantal herhaalde metingen. Bijvoorbeeld, . Dit is precies het geval dat we vaak tegenkomen bij het uitvoeren van laboratoriumwerk in de natuurkunde. Bij het oplossen van dit soort problemen is het aan te raden om de methode te gebruiken op basis van Studentenverdeling (wet).

Voor het gemak van de praktische toepassing van de beschouwde methode zijn er tabellen waarmee u het betrouwbaarheidsinterval kunt bepalen dat overeenkomt met een bepaalde betrouwbaarheidskans of waarmee u het inverse probleem kunt oplossen.

Hieronder vindt u de delen van de genoemde tabellen die nodig kunnen zijn bij het evalueren van de resultaten van metingen in laboratoriumklassen.

Laten we bijvoorbeeld even nauwkeurige (onder dezelfde omstandigheden) metingen doen van een bepaalde fysieke grootheid en de gemiddelde waarde ervan berekenen. Er moet een betrouwbaarheidsinterval worden gevonden dat overeenkomt met een bepaald betrouwbaarheidsniveau. Het probleem wordt over het algemeen op de volgende manier opgelost.

Volgens de formule, rekening houdend met (7), bereken

Dan voor gegeven waarden n en vind de waarde volgens de tabel (tabel 2). De waarde die u zoekt, wordt berekend op basis van de formule

Bij het oplossen van het inverse probleem wordt de parameter eerst berekend met formule (16). De gewenste waarde van de betrouwbaarheidskans is ontleend aan de tabel (tabel 3) voor een gegeven getal en een berekende parameter.

Tafel 2. Parameterwaarde voor een bepaald aantal experimenten

en vertrouwensniveau

n	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0.98	0,99	0.995	0,999
	1,000	1,376	1,963	3,08	6,31	12,71	31,8	63,7	127,3	637,2
	0,816	1,061	1,336	1,886	2,91	4,30	6,96	9,92	14,1	31,6
	0,765	0,978	1,250	1,638	2,35	3,18	4,54	5,84	7,5	12,94
	0,741	0,941	1,190	1,533	2,13	2,77	3,75	4,60	5,6	8,61
	0,727	0,920	1,156	1,476	2,02	2,57	3,36	4,03	4,77	6,86
	0.718	0,906	1,134	1,440	1,943	2,45	3,14	3,71	4,32	5,96
	0,711	0,896	1,119	1,415	1,895	2,36	3,00	3,50	4,03	5,40
	0,706	0,889	1,108	1,397	1,860	2,31	2,90	3,36	3,83	5,04
	0,703	0,883	1,110	1,383	1,833	2,26	2,82	3,25	3,69	4,78

tafel 3 De waarde van de betrouwbaarheidskans voor een bepaald aantal experimenten n en parameter ε

n		2,5		3,5
	0,705	0,758	0,795	0,823
	0,816	0,870	0,905	0,928
	0,861	0,912	0,942	0,961
	0,884	0,933	0,960	0,975
b	0,898	0,946	0,970	0,983
	0,908	0,953	0,976	0,987
	0,914	0,959	0,980	0,990
	0,919	0.963	0,983	0,992
	0,923	0,969	0,985	0,993

Verwerking van de resultaten van indirecte metingen

Zeer zelden wordt de inhoud van een laboratoriumwerk of een wetenschappelijk experiment teruggebracht tot het verkrijgen van het resultaat van een directe meting. De gewenste hoeveelheid is voor het grootste deel een functie van verschillende andere hoeveelheden.

De taak van het verwerken van experimenten met indirecte metingen is om de meest waarschijnlijke waarde van de gewenste waarde te berekenen en de fout van indirecte metingen te schatten op basis van de resultaten van directe metingen van bepaalde grootheden (argumenten) geassocieerd met de gewenste waarde door een bepaalde functionele afhankelijkheid.

Er zijn verschillende manieren om indirecte metingen te verwerken. Overweeg de volgende twee methoden.

Laat een fysieke hoeveelheid worden bepaald door de methode van indirecte metingen.

De resultaten van directe metingen van de argumenten x, y, z worden gegeven in de tabel. 4.

Tabel 4

Ervaring nummer	x	ja	z	…
				…
				…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
n				…

De eerste manier om de resultaten te verwerken is als volgt. Met behulp van de berekende (17) formule wordt de gewenste waarde berekend op basis van de resultaten van elk experiment

(17)

De beschreven methode van verwerking van de resultaten is in principe zonder uitzondering toepasbaar in alle gevallen van indirecte metingen. Het is echter het meest geschikt om het te gebruiken wanneer het aantal herhaalde metingen van de argumenten klein is en de berekeningsformule voor de indirect gemeten waarde relatief eenvoudig is.

Bij de tweede methode voor het verwerken van de resultaten van experimenten, worden eerst, met behulp van de resultaten van directe metingen (tabel 4), eerst de rekenkundige gemiddelde waarden van elk van de argumenten berekend, evenals de fouten van hun meting. vervangen , , ,... in de berekeningsformule (17), bepaal de meest waarschijnlijke waarde van de gemeten grootheid

(17*)