De traagheidskracht van een materieel punt. Bestaan ​​van inertiële referentiekaders

luiheid - het vermogen om je toestand onveranderd te houden is een intrinsieke eigenschap van alle materiële lichamen.

traagheidskracht - kracht die voortkomt uit versnelling of vertraging van een lichaam (materiële punt) en gericht in de tegenovergestelde richting van versnelling. De traagheidskracht kan worden gemeten, het wordt toegepast op "verbindingen" - lichamen die zijn verbonden met een versnellend of vertragend lichaam.

Er wordt berekend dat de traagheidskracht gelijk is aan

F in = | m*a|

Dus de krachten die op materiële punten inwerken m 1 en m2(Fig. 14.1), bij het overklokken van het platform zijn respectievelijk gelijk

F in1 \u003d m 1 * a; F in2 \u003d m 2 * a

Versnellingsbak (platform met massa) t(Fig. 14.1)) neemt de traagheidskracht niet waar, anders zou de versnelling van het platform helemaal niet mogelijk zijn.

Bij roterende (kromlijnige) beweging wordt de resulterende versnelling meestal weergegeven in de vorm van twee componenten: normaal een p en raaklijn Bij(Afb. 14.2).

Daarom kunnen bij het overwegen van een kromlijnige beweging twee componenten van de traagheidskracht optreden: normaal en tangentieel

een = een t + een n;

Bij uniforme beweging langs een boog treedt altijd een normale versnelling op, de tangentiële versnelling is nul, daarom werkt alleen de normale component van de traagheidskracht, gericht langs de straal vanaf het midden van de boog (Fig. 14.3).

Het principe van kinetostatica (principe van d'Alembert)

Het principe van kinetostatica wordt gebruikt om de oplossing van een aantal technische problemen te vereenvoudigen.

In werkelijkheid worden de traagheidskrachten uitgeoefend op de lichamen die verbonden zijn met het versnellende lichaam (op de bindingen).

d'Alembert stelde voor voorwaardelijk toepassen traagheidskracht naar een actief versnellend lichaam. Dan wordt het systeem van krachten dat op het materiële punt wordt uitgeoefend, in evenwicht en is het mogelijk om de statische vergelijkingen te gebruiken bij het oplossen van dynamische problemen.

Het principe van d'Alembert:

Een materieel punt onder de werking van actieve krachten, reacties van bindingen en een voorwaardelijk uitgeoefende traagheidskracht is in evenwicht;

Einde van het werk -

Dit onderwerp hoort bij:

theoretische mechanica

Theoretische mechanica.. hoorcollege.. onderwerp basisconcepten en axioma's van statica..

Als u meer materiaal over dit onderwerp nodig heeft, of als u niet hebt gevonden wat u zocht, raden we u aan de zoekopdracht in onze database met werken te gebruiken:

Wat doen we met het ontvangen materiaal:

Als dit materiaal nuttig voor u bleek te zijn, kunt u het opslaan op uw pagina op sociale netwerken:

tweeten

Alle onderwerpen in deze sectie:

Problemen van theoretische mechanica
Theoretische mechanica is de wetenschap van de mechanische beweging van materiële vaste stoffen en hun interactie. Mechanische beweging wordt begrepen als de beweging van een lichaam in ruimte en tijd mee

derde axioma
Zonder de mechanische toestand van het lichaam te schenden, kun je een uitgebalanceerd krachtenstelsel toevoegen of verwijderen (het principe van het weggooien van een krachtenstelsel gelijk aan nul) (Fig. 1.3). P,=P2 P,=P.

Gevolg van het tweede en derde axioma
De kracht die op een stijf lichaam inwerkt, kan langs zijn werklijn worden verplaatst (Fig. 1.6).

Obligaties en reacties van obligaties
Alle wetten en stellingen van statica zijn geldig voor een vrij star lichaam. Alle lichamen zijn verdeeld in vrij en gebonden. Vrije lichamen zijn lichamen waarvan de beweging niet beperkt is.

Stijve staaf
In de diagrammen zijn de staven weergegeven met een dikke ononderbroken lijn (Fig. 1.9). rod mozhe

vast scharnier
Het bevestigingspunt kan niet worden verplaatst. De staaf kan vrij rond de scharnieras draaien. De reactie van zo'n steun gaat door de scharnieras, maar

Planair systeem van convergerende krachten
Het krachtenstelsel, waarvan de werklijnen elkaar in één punt kruisen, wordt convergent genoemd (Fig. 2.1).

Resultaat van convergerende krachten
De resultante van twee snijdende krachten kan worden bepaald met behulp van een parallellogram of een driehoek van krachten (4e axioma) (Vis. 2.2).

Evenwichtsvoorwaarde voor een plat systeem van convergerende krachten
Wanneer het krachtensysteem in evenwicht is, moet de resultante gelijk zijn aan nul, daarom moet in een geometrische constructie het einde van de laatste vector samenvallen met het begin van de eerste. Als een

Evenwichtsproblemen op een geometrische manier oplossen
Het is handig om de geometrische methode te gebruiken als er drie krachten in het systeem zijn. Bij het oplossen van evenwichtsproblemen wordt het lichaam als absoluut vast (gestold) beschouwd. De volgorde van het oplossen van problemen:

Beslissing
1. De krachten die optreden in de bevestigingsstangen zijn even groot als de krachten waarmee de stangen de last dragen (5e axioma van de statica) (Fig. 2.5a). We bepalen de mogelijke richtingen van de reacties van de binding

Projectie van kracht op de as
De projectie van de kracht op de as wordt bepaald door het segment van de as, afgesneden door loodlijnen, neergelaten op de as vanaf het begin en einde van de vector (Fig. 3.1).

Krachten op een analytische manier
De waarde van de resultante is gelijk aan de vector (geometrische) som van de vectoren van het krachtenstelsel. De resultante bepalen we geometrisch. We kiezen een coördinatensysteem, bepalen de projecties van alle taken

Convergerende krachten in analytische vorm
Op basis van het feit dat de resultante gelijk is aan nul, krijgen we: Voorwaarde

Paar krachten, moment van een paar krachten
Een paar krachten is een systeem van twee krachten die gelijk zijn in modulus, evenwijdig en in verschillende richtingen gericht. Beschouw een systeem van krachten (P; B") dat een paar vormt.

Moment van kracht rond een punt
Een kracht die niet door het bevestigingspunt van het lichaam gaat, zorgt ervoor dat het lichaam roteert ten opzichte van het punt, dus het effect van zo'n kracht op het lichaam wordt geschat als een moment. Moment van kracht rel.

Stelling van Poinsot over parallelle overdracht van krachten
Een kracht kan evenwijdig aan zijn werklijn worden overgedragen door een krachtenpaar op te tellen met een moment gelijk aan het product van de modulus van de kracht en de afstand waarover de kracht is overgedragen.

gelokaliseerde krachten
De werklijnen van een willekeurig systeem van krachten kruisen elkaar niet op één punt, daarom moet een dergelijk systeem worden vereenvoudigd om de toestand van het lichaam te beoordelen. Om dit te doen, worden alle krachten van het systeem willekeurig naar één overgebracht

Invloed van het referentiepunt
Het referentiepunt wordt willekeurig gekozen. Wanneer u de positie van het reductiepunt wijzigt, verandert de waarde van de hoofdvector niet. De waarde van het hoofdmoment waarop het reductiepunt wordt verplaatst verandert,

Plat krachtsysteem
1. Bij evenwicht is de hoofdvector van het systeem gelijk aan nul. De analytische definitie van de hoofdvector leidt tot de conclusie:

Soorten ladingen
Volgens de toepassingsmethode zijn belastingen verdeeld in geconcentreerd en verdeeld. Als in werkelijkheid de overdracht van de belasting plaatsvindt op een verwaarloosbaar gebied (op een punt), wordt de belasting geconcentreerd genoemd

Moment van kracht om de as
Het krachtmoment om de as is gelijk aan het moment van de projectie van de kracht op een vlak loodrecht op de as, ten opzichte van het snijpunt van de as met het vlak (Fig. 7.1a). MA

Vector in de ruimte
In de ruimte wordt de krachtvector geprojecteerd op drie onderling loodrechte coördinaatassen. De projecties van de vector vormen de randen van een rechthoekig parallellepipedum, de krachtvector valt samen met de diagonaal (Fig. 7.2

Ruimtelijk convergent systeem van krachten
Een ruimtelijk convergerend krachtenstelsel is een krachtenstelsel dat niet in hetzelfde vlak ligt en waarvan de werklijnen elkaar in één punt kruisen. Het resulterende ruimtelijke systeem si

Een willekeurig ruimtelijk krachtenstelsel naar het centrum brengen O
Er wordt een ruimtelijk krachtenstelsel gegeven (Fig. 7.5a). Laten we het naar het centrum O brengen. Krachten moeten parallel worden verplaatst en er ontstaat een systeem van krachtparen. Het moment van elk van deze paren is

Zwaartepunt van homogene platte lichamen
(platte figuren) Heel vaak is het nodig om het zwaartepunt van verschillende platte lichamen en geometrische platte figuren met een complexe vorm te bepalen. Voor platte lichamen kunnen we schrijven: V =

Bepaling van de coördinaten van het zwaartepunt van platte figuren
Opmerking. Het zwaartepunt van een symmetrische figuur ligt op de symmetrieas. Het zwaartepunt van de stang ligt in het midden van de hoogte. De posities van de zwaartepunten van eenvoudige geometrische vormen kunnen

Punt kinematica
Een idee hebben over ruimte, tijd, traject, pad, snelheid en versnelling Weet hoe je de beweging van een punt (natuurlijk en coördinaat) kunt instellen. Ken de notatie

Afgelegde afstand
Het pad wordt gemeten langs het pad in de rijrichting. Benaming - S, meeteenheden - meters. Punt bewegingsvergelijking: vergelijking definiëren

Reis snelheid
De vectorwaarde die op het moment de snelheid en de bewegingsrichting langs het traject kenmerkt, wordt snelheid genoemd. Snelheid is een vector gericht langs k

punt versnelling
De vectorgrootheid die de snelheidsverandering in grootte en richting kenmerkt, wordt de versnelling van een punt genoemd. Puntsnelheid bij verplaatsing vanaf punt M1

Uniforme beweging
Uniforme beweging is beweging met constante snelheid: v = const. Voor rechtlijnige uniforme beweging (Fig. 10.1 a)

Gelijk-variabele beweging
Gelijk-variabele beweging is beweging met constante tangentiële versnelling: at = const. Voor rechtlijnige uniforme beweging:

translatiebeweging
Translationeel is zo'n beweging van een star lichaam, waarbij elke rechte lijn op het lichaam tijdens beweging evenwijdig blijft aan zijn oorspronkelijke positie (Fig. 11.1, 11.2). Bij

roterende beweging
Tijdens rotatiebeweging beschrijven alle punten van het lichaam cirkels rond een gemeenschappelijke vaste as. De vaste as waaromheen alle punten van het lichaam draaien, wordt de rotatie-as genoemd.

Bijzondere gevallen van roterende beweging
Uniforme rotatie (de hoeksnelheid is constant): ω = const De vergelijking (wet) van uniforme rotatie heeft in dit geval de vorm:

Snelheden en versnellingen van punten van een roterend lichaam
Het lichaam draait rond het punt O. Laten we de bewegingsparameters van het punt bepalen. Gelegen op een afstand RA van de rotatie-as (Fig. 11.6, 11.7). Manier

Beslissing
1. Sectie 1 - ongelijkmatige versnelde beweging, ω \u003d φ '; ε = ω’ 2. Sectie 2 - de snelheid is constant - de beweging is uniform, . ω = const 3.

Basisdefinities
Een complexe beweging is een beweging die kan worden ontleed in verschillende eenvoudige bewegingen. Eenvoudige bewegingen zijn translatie en rotatie. Om de complexe beweging van punten te overwegen

Vlak-parallelle beweging van een star lichaam
Plane-parallel, of plat, is zo'n beweging van een star lichaam waarin alle punten van het lichaam evenwijdig aan een vast punt in het betreffende referentieframe bewegen

translatie en rotatie
Vlak-parallelle beweging wordt ontleed in twee bewegingen: translatie samen met een pool en rotatie ten opzichte van deze pool. Ontleding wordt gebruikt om te bepalen:

Centrum van snelheden
De snelheid van elk punt van het lichaam kan worden bepaald met behulp van het momentane centrum van snelheden. In dit geval wordt een complexe beweging weergegeven als een ketting van rotaties rond verschillende centra. Taak

Axioma's van dynamiek
De wetten van de dynamiek vatten de resultaten van talrijke experimenten en waarnemingen samen. De wetten van de dynamiek, die gewoonlijk als axioma's worden beschouwd, werden geformuleerd door Newton, maar de eerste en vierde wet waren ook

Het begrip wrijving. Soorten wrijving
Wrijving is de weerstand die optreedt wanneer een ruw lichaam over het oppervlak van een ander beweegt. Wanneer lichamen glijden, ontstaat er glijdende wrijving; bij het rollen treedt rollende wrijving op. De aard van weerstand

rollende wrijving
De rolweerstand is gerelateerd aan de onderlinge vervorming van de grond en het wiel en is veel minder dan de schuifwrijving. Meestal wordt de grond als zachter beschouwd dan het wiel, dan is de grond voornamelijk vervormd, en

Gratis en niet-gratis punten
Een materieel punt waarvan de beweging in de ruimte niet door enige beperkingen wordt beperkt, wordt vrij genoemd. Problemen worden opgelost met behulp van de basiswet van de dynamiek. Materiaal dan

Beslissing
Actieve krachten: aandrijfkracht, wrijvingskracht, zwaartekracht. Reactie in de ondersteuning R. We passen de traagheidskracht toe in de tegenovergestelde richting van de versnelling. Volgens het d'Alembert-principe, het systeem van krachten die op het platform werken

Het werk van de resulterende kracht
Onder invloed van een systeem van krachten beweegt een punt van massa m van positie M1 naar positie M 2 (Fig. 15.7). In het geval van beweging onder invloed van een systeem van krachten,

Stroom
Om de prestatie en snelheid van het werk te karakteriseren, wordt het begrip macht geïntroduceerd. Vermogen is de arbeid die per tijdseenheid wordt verricht:

Roterende kracht:
Rijst. 16.2 Het lichaam beweegt langs een boog met een straal van punt M1 naar punt M2 M1M2 = φr Arbeidskracht

efficiëntie
Elke machine en elk mechanisme dat aan het werk is, besteedt een deel van de energie aan het overwinnen van schadelijke weerstanden. Zo verricht de machine (mechanisme), naast nuttig werk, ook een extra

Stelling over de verandering in momentum
Het momentum van een materieel punt is een vectorgrootheid gelijk aan het product van de massa van het punt en zijn snelheid mv. De momentumvector valt samen met

Stelling van kinetische energieverandering
Energie is het vermogen van een lichaam om mechanisch werk uit te voeren. Er zijn twee vormen van mechanische energie: potentiële energie, of positionele energie, en kinetische energie,

Grondbeginselen van de dynamiek van het systeem van materiële punten
Een reeks materiële punten die onderling door interactiekrachten zijn verbonden, wordt een mechanisch systeem genoemd. Elk materieel lichaam in de mechanica wordt beschouwd als een mechanisch

De basisvergelijking van de dynamiek van een roterend lichaam
Laat een star lichaam rond de Oz-as draaien onder invloed van externe krachten met een hoeksnelheid

Spanning
De sectiemethode maakt het mogelijk om de grootte van de interne krachtfactor in de sectie te bepalen, maar maakt het niet mogelijk om de wet van verdeling van interne krachten over de sectie vast te stellen. Om de sterkte van n . te beoordelen

Interne krachtfactoren, spanningen. plotten
Heb een idee over langskrachten, over normaalspanningen in dwarsdoorsneden. Ken de regels voor het construeren van diagrammen van langskrachten en normaalspanningen, de wet van verdeling

langskrachten
Beschouw een balk geladen met externe krachten langs de as. De balk wordt in de muur bevestigd (bevestiging "inbedding") (Fig. 20.2a). We verdelen de balk in secties van belasting. Laadruimte met

Geometrische kenmerken van vlakke secties
Een idee hebben over de fysieke betekenis en procedure voor het bepalen van de axiale, centrifugale en polaire traagheidsmomenten, over de belangrijkste centrale assen en de belangrijkste centrale traagheidsmomenten.

Statisch moment van doorsnede:
Overweeg een willekeurige sectie (Fig. 25.1). Als we de sectie in oneindig kleine gebieden dA verdelen en elk gebied vermenigvuldigen met de afstand tot de coördinatenas en de verkregen

centrifugaal traagheidsmoment
Het centrifugale traagheidsmoment van een sectie is de som van de producten van elementaire oppervlakten genomen door de totale oppervlakte en beide coördinaten:

Axiale traagheidsmomenten
Het axiale traagheidsmoment van een sectie ten opzichte van een el die in hetzelfde vlak ligt, is de som van de producten van elementaire gebieden per vierkant van hun afstand genomen over het gehele gebied

Polair traagheidsmoment van de sectie
Het polaire traagheidsmoment van een sectie ten opzichte van een bepaald punt (pool) is de som van de producten van elementaire gebieden genomen over het hele gebied en het kwadraat van hun afstand tot dit punt:

Traagheidsmomenten van de eenvoudigste secties
Axiale traagheidsmomenten van een rechthoek (Fig. 25.2) Laten we ons direct voorstellen

Polair traagheidsmoment van een cirkel
Voor een cirkel wordt eerst het polaire traagheidsmoment berekend en daarna de axiale. Stel je een cirkel voor als een reeks oneindig dunne ringen (Fig. 25.3).

Torsievervormingen
De torsie van een ronde balk treedt op wanneer deze wordt belast door paren van krachten met momenten in vlakken loodrecht op de lengteas. In dit geval wordt de bundel-generatrix gebogen en gedraaid over een hoek γ,

Hypothesen in torsie
1. De hypothese van vlakke doorsneden is vervuld: de dwarsdoorsnede van de balk, die vlak is en loodrecht op de lengteas, blijft vlak en loodrecht op de lengteas na vervorming.

Interne krachtfactoren bij torsie
Torsie wordt belasting genoemd, waarbij slechts één interne krachtfactor optreedt in de dwarsdoorsnede van de balk - koppel. Externe belastingen zijn ook twee pro

Koppelgrafieken
Koppels kunnen variëren langs de as van de balk. Na het bepalen van de waarden van de momenten langs de secties, bouwen we een plot van koppels langs de as van de staaf.

Torsiespanningen
We tekenen een raster van longitudinale en transversale lijnen op het oppervlak van de balk en beschouwen het patroon gevormd op het oppervlak na Fig. 27.1a vervorming (Fig. 27.1a). Knal

Maximale torsiespanningen
Uit de formule voor het bepalen van de spanningen en de grafiek van de verdeling van schuifspanningen tijdens torsie, blijkt dat de maximale spanningen optreden op het oppervlak. Bepaal de maximale spanning

Soorten sterkteberekeningen
Er zijn twee soorten sterkteberekeningen 1. Ontwerpberekening - de diameter van de balk (schacht) in het gevaarlijke gedeelte wordt bepaald:

Stijfheidsberekening
Bij het berekenen van de stijfheid wordt de vervorming bepaald en vergeleken met de toelaatbare. Beschouw de vervorming van een ronde staaf onder invloed van een extern krachtenpaar met een moment t (Fig. 27.4).

Basisdefinities
Een buiging is een soort belasting waarbij een interne krachtfactor ontstaat in de dwarsdoorsnede van de balk - een buigend moment. Bar bezig met

Interne krachtfactoren bij buigen
Voorbeeld 1. Laten we eens kijken naar een balk waarop een krachtenpaar werkt met een moment t en een externe kracht F (Fig. 29.3a). Om de interne krachtfactoren te bepalen, gebruiken we de methode met

Buigmomenten
De dwarskracht in de doorsnede wordt als positief beschouwd als deze de neiging heeft om de te draaien

Differentiële afhankelijkheden voor directe dwarse buiging
De constructie van diagrammen van afschuifkrachten en buigmomenten wordt sterk vereenvoudigd wanneer differentiële relaties tussen het buigmoment, de afschuifkracht en de uniforme intensiteit worden gebruikt.

Sectiemethode De resulterende uitdrukking kan worden gegeneraliseerd
De dwarskracht in de beschouwde sectie is gelijk aan de algebraïsche som van alle krachten die op de balk werken tot aan de beschouwde sectie: Q = ΣFi Aangezien we het hebben over

Spanning
Beschouw het buigen van een balk die aan de rechterkant is geknepen en belast met een geconcentreerde kracht F (Fig. 33.1).

Stresstoestand op een bepaald moment
De spanningstoestand op een punt wordt gekenmerkt door normaal- en schuifspanningen die optreden op alle gebieden (secties) die door het gegeven punt gaan. Het is meestal voldoende om te definiëren:

Het concept van een complexe vervormde toestand
De reeks vervormingen die in verschillende richtingen en in verschillende vlakken door een punt voorkomen, bepalen de vervormde toestand op dit punt. complexe misvorming

Berekening van een ronde staaf voor buigen met torsie
In het geval van het berekenen van een ronde balk onder invloed van buiging en torsie (Fig. 34.3), moet rekening worden gehouden met normale en schuifspanningen, aangezien de maximale spanningswaarden in beide gevallen voorkomen

Het concept van stabiel en onstabiel evenwicht
Relatief korte en massieve hengels zijn afhankelijk van compressie, omdat. ze falen als gevolg van vernietiging of resterende vervormingen. Lange staven met een kleine doorsnede onder de actie

Duurzaamheidsberekening
De stabiliteitsberekening bestaat uit het bepalen van de toelaatbare drukkracht en, in vergelijking daarmee, de werkende kracht:

Berekening met de Euler-formule
Het probleem van het bepalen van de kritische kracht werd wiskundig opgelost door L. Euler in 1744. Voor een staaf die aan beide zijden scharniert (Fig. 36.2), heeft de Euler-formule de vorm

Kritieke spanningen
Kritische spanning is de drukspanning die overeenkomt met de kritische kracht. De spanning van de drukkracht wordt bepaald door de formule

Toepasbaarheidsgrenzen van de Euler-formule
De Euler-formule is alleen geldig binnen de grenzen van elastische vervormingen. De kritische spanning moet dus kleiner zijn dan de elastische limiet van het materiaal. Vorige

BIJ klassieke mechanica ideeën over krachten en hun eigenschappen zijn gebaseerd op De wetten van Newton en zijn onlosmakelijk verbonden met het concept inertiaal referentiekader.

Inderdaad, de fysieke hoeveelheid die kracht wordt genoemd, wordt in aanmerking genomen door de tweede wet van Newton, terwijl de wet zelf alleen is geformuleerd voor inertiële referentiekaders. Dienovereenkomstig blijkt het begrip kracht aanvankelijk alleen voor dergelijke referentiekaders te zijn gedefinieerd.

Newton's tweede wet vergelijking met betrekking tot versnelling en massa- materieel punt met de kracht die erop werkt, wordt geschreven in de vorm

Uit de vergelijking volgt direct dat alleen krachten de oorzaak zijn van versnelling van lichamen, en vice versa: de werking van niet-gecompenseerde krachten op een lichaam veroorzaakt noodzakelijkerwijs de versnelling ervan.

De derde wet van Newton is een aanvulling en uitwerking van wat er in de tweede wet over krachten werd gezegd.

kracht is een maat voor de mechanische actie op een gegeven stoffelijk lichaam van andere lichamen

in overeenstemming met de derde wet van Newton kunnen krachten alleen in paren bestaan, en de aard van de krachten in elk zo'n paar is hetzelfde.

elke kracht die op een lichaam inwerkt, heeft een oorsprong in de vorm van een ander lichaam. Met andere woorden, krachten zijn noodzakelijkerwijs het resultaat interacties tel.

Er worden geen andere krachten in de mechanica in aanmerking genomen of gebruikt. De mogelijkheid van het bestaan ​​van krachten die onafhankelijk zijn ontstaan, zonder op elkaar inwerkende lichamen, wordt door de mechanica niet toegestaan.

Hoewel de namen van de Euler- en d'Alembert-traagheidskrachten het woord bevatten: kracht, zijn deze fysieke grootheden geen krachten in de zin die in de mechanica wordt geaccepteerd.

34. Het concept van planparallelle beweging van een star lichaam

De beweging van een star lichaam wordt vlak-parallel genoemd als alle punten van het lichaam in vlakken parallel aan een vast vlak (het hoofdvlak) bewegen. Laat een lichaam V een vliegtuigbeweging maken, π - het hoofdvlak. Van definities vlakparallelle beweging en de eigenschappen van een absoluut stijf lichaam, volgt hieruit dat elk segment van de rechte lijn AB, loodrecht op het vlak π, een translatiebeweging zal uitvoeren. Dat wil zeggen, de banen, snelheden en versnellingen van alle punten van het segment AB zullen hetzelfde zijn. Dus de beweging van elk punt van de sectie s evenwijdig aan het vlak π bepaalt de beweging van alle punten van het lichaam V die op het segment loodrecht op de sectie op dit punt liggen. Voorbeelden van planparallelle beweging zijn: wiel dat langs een recht segment rolt, aangezien alle punten ervan bewegen in vlakken evenwijdig aan het vlak loodrecht op de wielas; een speciaal geval van een dergelijke beweging is rotatie van een star lichaam rond een vaste as In feite bewegen alle punten van het roterende lichaam in vlakken evenwijdig aan een vast vlak loodrecht op de rotatie-as.

35. Traagheidskrachten in de rechtlijnige en kromlijnige beweging van een materieel punt

De kracht waarmee een punt een verandering in beweging weerstaat, wordt de traagheidskracht van een materieel punt genoemd. De traagheidskracht is tegengesteld gericht aan de versnelling van het punt en is gelijk aan de massa maal de versnelling.

In een rechte lijn de richting van de versnelling valt samen met het traject. De traagheidskracht is gericht in de richting tegengesteld aan versnelling, en de numerieke waarde wordt bepaald door de formule:

Bij versnelde beweging vallen de richtingen van versnelling en snelheid samen en wordt de traagheidskracht gericht in de richting tegengesteld aan de beweging. In slow motion, wanneer de versnelling in de richting tegengesteld aan de snelheid is gericht, werkt de traagheidskracht in de bewegingsrichting.

Bijkromlijnig en ongelijkbeweging versnelling kan worden ontleed in normaal een en raaklijn Bij componenten. Evenzo bestaat de traagheidskracht van een punt ook uit twee componenten: normaal en tangentieel.

normaal de component van de traagheidskracht is gelijk aan het product van de massa van het punt en de normale versnelling en is tegengesteld gericht aan deze versnelling:

Raaklijn de component van de traagheidskracht is gelijk aan het product van de massa van het punt en de tangentiële versnelling en is tegengesteld gericht aan deze versnelling:

Het is duidelijk dat de totale traagheidskracht van het punt M gelijk is aan de geometrische som van de normaal- en raakcomponenten, d.w.z.

Aangezien de raaklijn en de normaalcomponenten onderling loodrecht staan, is de totale traagheidskracht.

Nadat we hebben vastgesteld dat de individuele punten in de Newtoniaanse absolute ruimte geen fysieke realiteit zijn, moeten we ons nu afvragen wat er nog in zit

dit concept überhaupt? Blijft over: de weerstand van alle lichamen tegen versnelling moet in Newtoniaanse zin worden geïnterpreteerd als een actie van absolute ruimte. De locomotief die de trein in beweging zet, overwint de weerstand van traagheid. Een projectiel dat een muur neerhaalt, haalt zijn vernietigende kracht uit traagheid. De werking van traagheid manifesteert zich telkens wanneer versnellingen plaatsvinden, en de laatste zijn niets meer dan veranderingen in snelheid in absolute ruimte (we kunnen de laatste uitdrukking gebruiken, aangezien de verandering in snelheid dezelfde grootte heeft in alle traagheidsframes). Referentiekaders, die zelf met versnelling bewegen ten opzichte van traagheidsframes, zijn dus niet gelijkwaardig aan laatstgenoemde of aan elkaar. Het is natuurlijk mogelijk om de wetten van de mechanica in dergelijke systemen te bepalen, maar ze zullen een complexere vorm aannemen. Zelfs de baan van een vrij lichaam blijkt in een versneld systeem niet meer uniform en rechtlijnig te zijn (zie hoofdstuk p. 59). Dit laatste kan worden uitgedrukt in de vorm van een verklaring dat er in een versneld systeem, naast echte krachten, schijnbare of traagheidskrachten zijn. Het lichaam, dat niet wordt beïnvloed door echte krachten, is nog steeds onderhevig aan de werking van deze traagheidskrachten, dus de beweging ervan in het algemeen blijkt ongelijk en niet-rechtlijnig te zijn. Een auto die begint te rijden of vertraagt, is bijvoorbeeld zo'n versneld systeem. Iedereen kent de duw van een rijdende of stoppende trein; het is niets anders dan de actie van de traagheidskracht waar we het over hebben.

Laten we dit fenomeen in detail bekijken aan de hand van het voorbeeld van een systeem dat rechtlijnig beweegt met versnelling. Als we de versnelling van een lichaam meten ten opzichte van een dergelijk bewegend systeem, dan zal zijn versnelling ten opzichte van de absolute ruimte uiteraard groter zijn met. Daarom zal de fundamentele wet van de mechanica in deze ruimte heeft de vorm

Als we het in de vorm schrijven

dan kunnen we zeggen dat aan de bewegingswet in de Newtoniaanse vorm wordt voldaan in het versnelde systeem, namelijk

behalve dat nu de kracht moet worden ingesteld op K, wat gelijk is aan

waarbij K de werkelijke kracht is, en de schijnbare kracht, of de traagheidskracht.

Dus deze kracht werkt op een vrij lichaam. De werking ervan kan worden geïllustreerd door de volgende redenering: we weten dat de zwaartekracht op aarde - de zwaartekracht - wordt bepaald door de formule G = mg, waarbij een constante versnelling door de zwaartekracht is. De traagheidskracht werkt in dit geval als de zwaartekracht; het minteken betekent dat de traagheidskracht tegengesteld is gericht aan de versnelling van het referentiekader dat als basis wordt gebruikt. De grootte van de schijnbare zwaartekrachtversnelling y valt samen met de versnelling van het referentiekader.De beweging van een vrij lichaam in het frame is dus eenvoudig een beweging van het type dat we kennen als de val of beweging van een geworpen lichaam.

Deze relatie tussen traagheidskrachten in versnelde systemen en de zwaartekracht lijkt hier nog enigszins kunstmatig. In feite bleef het tweehonderd jaar onopgemerkt. We moeten er echter al in dit stadium op wijzen dat het de basis vormt van Einsteins algemene relativiteitstheorie.

KRACHT VAN INERTIA

KRACHT VAN INERTIA

Een vectorgrootheid die numeriek gelijk is aan het product van de massa m van een stoffelijk punt en zijn w en tegengesteld gericht is aan de versnelling. Bij kromlijnige beweging van S. en. kan worden ontleed in een raaklijn of tangentiële component Jt, tegengesteld gericht aan de raaklijn. versnelling wt , en op de normaalcomponent Jn gericht langs de normaal op het traject vanaf het krommingscentrum; numeriek Jt=mwt, Jn=mv2/r, waarbij v - punten, r - kromtestraal van het traject. Bij het bestuderen van beweging in relatie tot het inertiaalstelsel, S. en. geïntroduceerd om een ​​formele mogelijkheid te krijgen om dynamische vergelijkingen op te stellen in de vorm van eenvoudigere statische vergelijkingen (zie). Het concept van S. en. wordt ook geïntroduceerd in de studie van relatieve beweging. In dit geval stelt de toevoeging van krachten van interactie met andere lichamen die inwerken op een materieel punt S. en - draagbare Jper en Coriolis-krachten Jkor - je in staat om bewegingsvergelijkingen van dit punt samen te stellen in een bewegend (niet-inertiaal) frame van referentie op dezelfde manier als in inertial.

Fysiek encyclopedisch woordenboek. - M.: Sovjet-encyclopedie. . 1983 .

KRACHT VAN INERTIA

Een vectorgrootheid die numeriek gelijk is aan het product van de massa t materieel punt op zijn versnelling met wie en gericht tegen de versnelling. Bij kromlijnige beweging van S. en. kan worden ontleed in een raaklijn of tangentiële component die tegengesteld is aan de raaklijn. versnelling, en op de normale of centrifugale component, gericht langs Ch. trajectnormalen vanaf het krommingscentrum; numeriek , , waar v- de snelheid van het punt is de kromtestraal van het traject. Bij het bestuderen van beweging in relatie tot: inertiaal referentiekader S. ik. geïntroduceerd om een ​​formele mogelijkheid te krijgen om dynamische vergelijkingen op te stellen in de vorm van eenvoudigere statische vergelijkingen (zie. D "Alamberprincipe, Kinetostatica).

Het concept van S. en. ook geïntroduceerd in de studie relatieve beweging. In dit geval, door de overdrachtskracht J nep toe te voegen aan de krachten van interactie met andere lichamen die op het materiële punt werken en Corioliskracht traagheid, Targ.

Fysieke encyclopedie. In 5 delen. - M.: Sovjet-encyclopedie. Hoofdredacteur A. M. Prokhorov. 1988 .

Zie wat de "POWER OF INERTIA" is in andere woordenboeken:

- (ook traagheidskracht) een term die veel wordt gebruikt in verschillende betekenissen in de exacte wetenschappen, en ook, als metafoor, in de filosofie, geschiedenis, journalistiek en fictie. In de exacte wetenschappen is de traagheidskracht meestal een concept ... Wikipedia

Moderne Encyclopedie

Een vectorgrootheid die numeriek gelijk is aan het product van de massa m van een stoffelijk punt en de module van zijn versnelling? en gericht tegen de versnelling... Groot encyclopedisch woordenboek

traagheidskracht- Een vectorgrootheid waarvan de module gelijk is aan het product van de massa van een stoffelijk punt en de module van zijn versnelling en tegengesteld gericht is aan deze versnelling. [Verzameling van aanbevolen termen. Nummer 102. Theoretische mechanica. USSR Academie van Wetenschappen. Het comite… … Technisch vertalershandboek

traagheidskracht- INERTIEKRACHT, een vectorgrootheid die numeriek gelijk is aan het product van de massa m van een stoffelijk punt en zijn versnelling u en gericht tegengesteld aan de versnelling. Het ontstaat door de niet-traagheid van het referentiesysteem (rotatie of rechtlijnige beweging met ... ... Geïllustreerd encyclopedisch woordenboek

traagheidskracht- inercijos jėga statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Vektorinis dydis, lygus materialiojo taško arba kūno masės ir pagreičio sandaugai; kryptis priešinga pagreičiui. atitikmenys: engl. traagheidskracht vok. Tragheitskraft, v;… … Penkiakalbis aiskinamasis metrologijos terminų žodynas

Een vectorgrootheid die numeriek gelijk is aan het product van de massa m van een stoffelijk punt en de modulus van zijn versnelling w en tegengesteld gericht is aan de versnelling. * * * Traagheidskracht Traagheidskracht, een vectorgrootheid, numeriek gelijk aan het product van de massa m van het materiaal ... ... encyclopedisch woordenboek

traagheidskracht- inercijos jėga statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. traagheidskracht vok. Tragheitskraft, fr rus. traagheidskracht, fpranc. force d inertie, f … Automatikos terminų žodynas

traagheidskracht- inercijos jėga statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. traagheidskracht vok. Tragheitskraft, fr rus. traagheidskracht, fpranc. force d'inertie, f ... Fizikos terminų žodynas

traagheidskracht- een waarde die numeriek gelijk is aan het product van de lichaamsmassa en zijn versnelling en tegengesteld gericht is aan de versnelling; Zie ook: kracht kracht van wrijving kracht van licht kracht van weerstand kracht van interne wrijving ... Encyclopedisch woordenboek van metallurgie

Traagheidskrachten en de basiswet van de mechanica

Bernikov Vasili Ruslanovich,

ingenieur.

Voorwoord

Interne krachten zijn in sommige gevallen de oorzaak van het verschijnen van externe krachten die op het systeem worden uitgeoefend , , , . Traagheidskrachten zijn altijd extern in relatie tot elk bewegend systeem van materiële lichamen , , , . De traagheidskrachten werken op dezelfde manier als de krachten van interactie, ze zijn heel reëel, ze kunnen werk doen, versnelling geven , , , . Met een groot aantal theoretische vereisten in de mechanica leidde de mogelijkheid om traagheidskrachten als translatiekracht te gebruiken bij het creëren van structuren niet tot een positief resultaat. Slechts enkele bekende ontwerpen met een lage efficiëntie van het gebruik van traagheidskrachten kunnen worden opgemerkt: Tolchin's inertsoïde, Frolov's vortex vloeibare voortstuwing, Thornson's voortstuwing. De langzame ontwikkeling van traagheidsaandrijving wordt verklaard door het ontbreken van een fundamentele theoretische onderbouwing van het waargenomen effect. Op basis van de gebruikelijke klassieke concepten van de fysische mechanica is in dit werk een theoretische basis gecreëerd voor het gebruik van traagheidskrachten als translatiekracht.

§een. Basiswet van de mechanica en de gevolgen ervan.

Laten we eens kijken naar de wetten van transformatie van krachten en versnellingen in verschillende referentiekaders. Laten we een willekeurig onbeweeglijk traagheidsreferentiekader kiezen en het erover eens zijn dat de beweging ten opzichte daarvan als absoluut moet worden beschouwd. In zo'n referentiekader is de basisbewegingsvergelijking van een materieel punt de vergelijking die de tweede wet van Newton uitdrukt.

m met wie buikspieren = F, (1.1)

waar F- de kracht van interactie van lichamen.

Een lichaam in rust in een bewegend referentiekader wordt door dit laatste meegesleept in zijn beweging ten opzichte van het vaste referentiekader. Deze beweging wordt draagbaar genoemd. De beweging van een lichaam ten opzichte van het referentiesysteem wordt relatief genoemd. De absolute beweging van een lichaam bestaat uit zijn relatieve en figuurlijke bewegingen. In niet-inertiële referentiekaders (referentiekaders die met versnelling bewegen), heeft de wet van transformatie van versnellingen voor translatiebeweging de volgende vorm

met wie buikspieren = met wie rel +w per. (1.2)

Rekening houdend met (1.1) voor krachten, schrijven we de vergelijking van relatieve beweging voor een materieel punt in een referentiekader dat beweegt met translatieversnelling

mw rel = F - mw baan, (1.3)

waar mw per is de translatiekracht van traagheid, die niet ontstaat door de interactie van lichamen, maar door de versnelde beweging van het referentieframe. De beweging van lichamen onder invloed van traagheidskrachten is vergelijkbaar met de beweging in externe krachtvelden [2, p.359] . Het momentum van het massamiddelpunt van het systeem [ 3, p.198] kan worden veranderd door het interne rotatiemomentum of het interne translatiemomentum te veranderen. Traagheidskrachten zijn altijd extern [2, p.359] in relatie tot elk bewegend systeem van materiële lichamen.

Laten we nu aannemen dat het referentiekader vrij willekeurig beweegt ten opzichte van het vaste referentiekader. Deze beweging kan in tweeën worden verdeeld: translatiebeweging met een snelheid v o, gelijk aan de bewegingssnelheid van de oorsprong, en rotatiebeweging rond de momentane as die door deze oorsprong gaat. We geven de hoeksnelheid van deze rotatie aan met wie, en de afstand van de oorsprong van de coördinaten van het bewegende referentiesysteem tot het bewegende punt daarin door r. Bovendien heeft het bewegende punt een snelheid ten opzichte van het bewegende referentiekader v rel. Dan kennen we voor de absolute versnelling [2, p.362] de relatie

met wie buikspieren = met wie rel - 2[ v rel met wie] + (d v o /dt) - w 2 r ^ + [ (d met dt) r] ,. (1.4)

waar r ^ - component van de straal-vector r, loodrecht op de momentane rotatie-as. We brengen de relatieve versnelling over naar de linkerkant en de absolute versnelling naar de rechterkant en vermenigvuldigen alles met de massa van het lichaam, we krijgen de basisvergelijking van de krachten van relatieve beweging [ 2, p.364] van een materieel punt in een willekeurig bewegend referentiekader

mw rel = mw buikspieren + 2m[ v rel met wie] - m(d v o /dt) + mw 2 r ^ – m[ (d met dt) r] . (1.5)

Of respectievelijk

mw rel = F + F naar + F n+ F c + F, (1.6)

waar: F- kracht van interactie van lichamen; F k is de Coriolis-traagheidskracht; F p is de translatiekracht van traagheid; F c - middelpuntvliedende traagheid; F f is de fasetraagheidskracht.

De richting van de kracht van interactie van lichamen F samenvalt met de versnellingsrichting van het lichaam. Coriolis-traagheidskracht F k is gericht volgens het vectorproduct van de radiale en hoeksnelheid, dat wil zeggen, loodrecht op beide vectoren. Translationele traagheidskracht F n is tegengesteld gericht aan de versnelling van het lichaam. Centrifugaalkracht van traagheid F q is gericht langs de straal vanaf het rotatiecentrum van het lichaam. Fase traagheidskracht Fφ is gericht tegengesteld aan het vectorproduct van de hoekversnelling en de straal van het rotatiecentrum loodrecht op deze vectoren.

Het is dus voldoende om de grootte en richting van de traagheidskrachten en interactie te kennen om de baan van het lichaam ten opzichte van een referentiekader te bepalen.

Naast de traagheidskrachten en de interactie van lichamen, zijn er krachten van variabele massa, die het resultaat zijn van de werking van traagheidskrachten. Overweeg de tweede wet van Newton in differentiële vorm [2, p.77]

d P/dt = F, (1.7)

waar: P is het momentum van het systeem van lichamen; F is de som van externe krachten.

Het is bekend dat het momentum van een systeem van lichamen in het algemeen afhangt van de tijd en dienovereenkomstig gelijk is aan

P(t) = m(t) v(t), (1.8)

waarin: m(t) de massa is van het stelsel van lichamen; v(t) is de snelheid van het systeem van lichamen.

Aangezien de snelheid de afgeleide van de tijd is van de coördinaten van het systeem, dan:

v(t) = d r(t)/dt, (1.9)

waar r is de straalvector.

In de toekomst zullen we de afhankelijkheid van tijd bedoelen: massa, snelheid en straalvector. Vervanging van (1.9) en (1.8) in (1.7) verkrijgen we

d(m (d r/dt))/dt = F. (1.10)

We introduceren de massa m onder het teken van het differentieel [ 1, p.295] , dan

d[ (d(m r)/dt) – r(dm/dt)]/dt = F.

De afgeleide van het verschil is gelijk aan het verschil van de afgeleiden

d [ (d(m r)/dt) ] dt – d [ r(dm/dt)] /dt =∑ F.

Laten we een gedetailleerde differentiatie van elke term uitvoeren volgens de regels voor het onderscheiden van producten

m(d2 r/dt 2) + (dm/dt)(d r/dt) + (dm/dt)(d r/dt) +

+ r(d 2 m/dt 2) – r(d 2 m/dt 2)- (dm/dt)(d r/dt) = F. (1.11)

We presenteren vergelijkbare termen en schrijven vergelijking (1.11) in de volgende vorm:

m(d2 r/dt 2) = F- (dm/dt)(d r/dt). (1.12)

Aan de rechterkant van vergelijking (1.12) staat de som van alle externe krachten. De laatste term wordt de variabele massakracht genoemd, dat wil zeggen

F pm = - (dm/dt)(d r/dt). (1.13)

Er wordt dus nog een externe kracht toegevoegd aan de externe krachten - de kracht van variabele massa. De uitdrukking in de eerste haak aan de rechterkant van vergelijking (1.13) is de snelheid van massaverandering, en de uitdrukking in de tweede haak is de snelheid van scheiding (aanhechting) van deeltjes. Deze kracht werkt dus wanneer de massa (reactieve kracht) [2, p.120] van een systeem van lichamen verandert met de scheiding (aanhechting) van deeltjes met een overeenkomstige snelheid ten opzichte van dit systeem van lichamen. Vergelijking (1.12) is de Meshchersky-vergelijking [2, p.120], het minteken geeft aan dat de vergelijking is afgeleid onder de aanname van de werking van interne krachten (deeltjesscheiding). Aangezien vergelijking (1.12) werd afgeleid onder de aanname van een verandering in het momentum van het systeem van lichamen onder invloed van interne krachten die externe krachten genereren, door een exacte wiskundige methode, dus toen het werd afgeleid in uitdrukking (1.11), nog twee krachten verschenen die niet deelnemen aan de verandering in het momentum van het systeem van lichamen, omdat ze opheffen wanneer vergelijkbare termen worden verminderd. Laten we vergelijking (1.11) herschrijven, rekening houdend met vergelijking (1.13), zonder gelijke termen te annuleren, als volgt

m(d2 r/dt 2) + r(d 2 m/dt 2) +(dm/dt)(d r/dt) = F + F pm + r(d 2 m/dt 2) +(dm/dt)(d r/dt). (1.14)

Laten we de voorlaatste uitdrukkingsterm (1.14) aanduiden met F m , en de laatste door F d, dan

m(d2 r/dt 2) + r(d 2 m/dt 2) + (dm/dt)(d r/dt) = F + F pm + F m + F d. (1.15)

sinds de kracht F m niet deelneemt aan de verandering in momentum, dan kan het worden geschreven als een afzonderlijke vergelijking

F m = r(d 2 m/dt 2). (1.16)

Overweeg de fysieke betekenis van vergelijking (1.16), hiervoor herschrijven we het in de volgende vorm:

r = F m /(d 2 m/dt 2). (1.17)

De verhouding van kracht tot de versnelde groei van massa in een bepaald volume is een constante waarde, of de ruimte die wordt ingenomen door een bepaalde hoeveelheid van een soort stof wordt gekenmerkt door een minimaal volume. Kracht F m is statisch en vervult de functie van druk.

Kracht F q neemt ook niet deel aan de verandering in het momentum van het systeem van lichamen, dus we schrijven het als een afzonderlijke vergelijking en beschouwen de fysieke betekenis ervan

F d = (dm/dt)(d r/dt). (1.18)

Kracht F d is de drukkracht die een stof in vloeibare of gasvormige toestand uitoefent op de omringende ruimte. Het wordt gekenmerkt door het aantal, de massa en de snelheid van deeltjes die druk uitoefenen in een bepaalde richting. Opgemerkt moet worden dat de druk F q valt samen met de variabele massakracht F pm en hun onderscheid wordt alleen gemaakt om de aard van de actie in verschillende omstandigheden te bepalen. Dus vergelijking (1.15) beschrijft de toestand van de materie volledig. Dat wil zeggen, als we vergelijking (1.15) beschouwen, kunnen we concluderen dat de stof wordt gekenmerkt door massa als een maat voor traagheid, de minimale ruimte die een bepaalde hoeveelheid stof kan innemen zonder de eigenschappen ervan te veranderen, en de druk die door de stof in de vloeibare en gasvormige toestand op de omringende ruimte.

§2. Kenmerken van de werking van traagheidskrachten en variabele massa.

De translatie versnelde beweging van een lichaam vindt plaats onder de werking van een kracht volgens de tweede wet van Newton. Dat wil zeggen, een verandering in de grootte van de snelheid van het lichaam vindt plaats in aanwezigheid van versnelling en de kracht die deze versnelling veroorzaakte.

Het gebruik van de middelpuntvliedende traagheidskracht voor translatiebeweging is alleen mogelijk met een toename van de lineaire snelheid van de bronnen van deze krachten, aangezien bij een versnelde beweging van het systeem de traagheidskrachten van de bronnen in de richting van het verhogen van de snelheid van het systeem afnemen totdat ze volledig verdwijnen. Bovendien moet het veld van traagheidskrachten niet-uniform zijn en een maximale waarde hebben in het deel van het systeem in de richting van de translatiebeweging.

Beschouw de beweging van een lichaam (Fig. 2.1) met massa m langs een cirkel met straal R.

Rijst. 2.1.

Centrifugale kracht F c, waarmee het lichaam op de cirkel drukt, wordt bepaald door de formule

F c \u003d m ω 2 R. (2.1)

Gebruikmakend van de bekende relatie ω = v /R, waarbij v de lineaire snelheid is van het lichaam loodrecht op de straal R, schrijven we formule (2.1) in de volgende vorm

F c \u003d m v 2 / R. (2.2)

De middelpuntvliedende kracht werkt in de richting van de straal R. Laten we nu meteen de cirkel doorbreken waarlangs het lichaam beweegt. De ervaring leert dat het lichaam tangentieel in de richting van de lineaire snelheid zal vliegen v in plaats van in de richting van de middelpuntvliedende kracht. Dat wil zeggen, bij afwezigheid van ondersteuning verdwijnt de middelpuntvliedende kracht onmiddellijk.

Laat een lichaam met massa m bewegen langs een element van een halve cirkel (Fig. 2.2) met een straal R, en de halve cirkel beweegt met versnelling w P loodrecht op de diameter.

Rijst. 2.2.

Met een uniforme beweging van het lichaam (lineaire snelheid verandert niet in grootte), en een versnelde halve cirkel, verdwijnt de ondersteuning in de vorm van een halve cirkel onmiddellijk en zal de middelpuntvliedende kracht gelijk zijn aan nul. Als het lichaam met een positieve lineaire versnelling beweegt, zal het de halve cirkel inhalen en zal de middelpuntvliedende kracht werken. Laten we de lineaire versnelling w van het lichaam vinden, waarop de middelpuntvliedende kracht werkt, dat wil zeggen, het drukt op de halve cirkel. Om dit te doen, moet de tijd die het lichaam doorbrengt op het tangentiële pad naar het snijpunt met de stippellijn evenwijdig aan de diameter en getrokken door punt B (Fig. 2.2) kleiner zijn dan of gelijk zijn aan de tijd die de halve cirkel zal doorbrengen in de richting loodrecht op de diameter. Stel dat de beginsnelheden van het lichaam en de halve cirkel gelijk zijn aan nul en de verstreken tijd gelijk zijn, dan is het pad S AC dat het lichaam aflegt

S AC = w t 2 /2, (2,3)

en het pad dat wordt afgelegd door de halve cirkel S AB zal zijn

S AB \u003d w P t 2 / 2. (2.4)

We delen vergelijking (2.3) door (2.4) en verkrijgen

S AC / S AB \u003d met / w P.

Dan de versnelling van het lichaam w, rekening houdend met de voor de hand liggende relatie S AC / S AB = 1/ cosΨ

w = w /cosΨ, (2,5)

waarbij 0 £ Ψ £ π/2.

De projectie van de versnelling van het lichaam in een cirkelelement in een bepaalde richting (Fig. 2.2) moet dus altijd groter zijn dan of gelijk zijn aan de versnelling van het systeem in dezelfde richting om de middelpuntvliedende kracht in actie te houden. Dat wil zeggen, de middelpuntvliedende kracht werkt alleen als een drijvende kracht voor translatie in de aanwezigheid van een positieve versnelling die de waarde van de lineaire snelheid van het lichaam in het systeem verandert

Evenzo wordt de verhouding voor het tweede kwart van de halve cirkel verkregen (Fig. 2.3).

Rijst. 2.3.

Alleen het pad dat het lichaam langs de raaklijn aflegt, begint vanaf een punt op de halve cirkel dat met versnelling beweegt totdat het een onderbroken lijn snijdt die evenwijdig is aan de diameter en door punt A van de beginpositie van de halve cirkel gaat. De hoek wordt in dit geval bepaald door het interval π/2 ³ Ψ ³ 0.

Voor een systeem waarin het lichaam uniform of met vertraging in een cirkel beweegt, zal de middelpuntvliedende kracht geen translatieversnelde beweging van het systeem veroorzaken, aangezien de lineaire versnelling van het lichaam nul zal zijn of het lichaam achterblijft bij de versnelde beweging van het systeem.

Als het lichaam roteert met een hoeksnelheid ω en nadert tegelijkertijd het middelpunt van de cirkel met een snelheid v, dan is er een Corioliskracht

F k = 2m [ v]. (2.6)

Een typisch trajectelement wordt getoond in figuur 2.4.

Rijst. 2.4.

Alle formules (2.3), (2.4), (2.5) en conclusies om de middelpuntvliedende kracht van het circulerende medium in actie te houden, zullen ook gelden voor de Coriolis-kracht, aangezien tijdens de versnelde beweging van het systeem het lichaam met een positieve lineaire beweging versnelling zal gelijke tred houden met de versnelling van het systeem en, respectievelijk, om langs een gebogen pad te bewegen, en niet langs een raaklijn, wanneer er geen Coriolis-kracht is. De curve moet in twee helften worden verdeeld. In de eerste helft van de curve (Fig. 4) verandert de hoek van het beginpunt naar het onderste in het interval -π/2 £ Ψ £ π/2, en in de tweede helft van het laagste punt naar het midden van de cirkel π/2 ³ Ψ ³ 0. Evenzo werkt de Coriolis-kracht voor rotatie van het lichaam en de gelijktijdige verwijdering (Fig. 2.5) van het centrum als een translatiekracht met een positieve versnelling van de lineaire snelheid van het lichaam .

Rijst. 2.5.

Het interval van hoeken in de eerste helft van het middelpunt van de cirkel tot het onderste punt 0 £ Ψ £ π/2, en in de tweede helft van het onderste punt tot het eindpunt π/2 ³ Ψ ³ -π/2.

Overweeg de translatiekracht van traagheid F n (Fig. 2.6), die wordt bepaald door de formule

F n = -m w,(2.7)

waar met wie is de versnelling van het lichaam.

Rijst. 2.6.

Bij een positieve versnelling van het lichaam werkt het tegen de beweging in en bij een negatieve versnelling (vertraging) werkt het in de richting van de beweging van het lichaam. Wanneer een element van versnelling of vertraging (Fig. 2.6) inwerkt op het systeem waarmee de elementen zijn verbonden, moet de versnelling van het lichaam van het element in absolute waarde uiteraard groter zijn dan de module van de versnelling van het systeem, veroorzaakt door de translatie. kracht van de traagheid van het lichaam. Dat wil zeggen, de translatiekracht van traagheid werkt als een drijvende kracht in de aanwezigheid van positieve of negatieve versnelling.

Fase traagheidskracht F f (de traagheidskracht veroorzaakt door ongelijkmatige rotatie) wordt bepaald door de formule

F f = -m [(d ω /dt) R]. (2.8)

Laat de straal R loodrecht op de hoeksnelheidsvector ω , dan heeft formule (2.8) in scalaire vorm de vorm

F f \u003d -m (dω / dt) R. (2.9)

Bij een positieve hoekversnelling van het lichaam (fig. 1.7) werkt het tegen de beweging in en bij een negatieve hoekversnelling (vertraging) werkt het in de richting van de beweging van het lichaam.

Rijst. 2.7.

Gebruikmakend van de bekende relatie ω = v /R, waarin v de lineaire snelheid is van het lichaam loodrecht op de straal R, schrijven we de formule (2.9) in de volgende vorm

F f \u003d -m (dv / dt). (2.10)

Aangezien dv/dt = w , waarbij w de lineaire versnelling van het lichaam is, heeft vergelijking (2.10) de vorm

Ff = -mw (2,11)

Dus formule (2.11) is vergelijkbaar met formule (2.7) voor de translatietraagheidskracht, alleen de versnelling w moet worden ontleed in parallelle α II en loodrechte α ┴ componenten (Fig. 2.8) met betrekking tot de diameter van het halve cirkelelement.

Rijst. 2.8.

Het is duidelijk dat de loodrechte component van de versnelling w ┴ een koppel creëert, omdat deze in het bovenste deel van de halve cirkel naar links is gericht en in het onderste deel naar rechts. De parallelle component van de versnelling w II creëert een translatiekracht van traagheid F f II , aangezien deze in de bovenste en onderste delen van de halve cirkel in één richting is gericht, die samenvalt met de richting w II .

F fII \u003d -m w II. (2.12)

Gebruikmakend van de relatie w II = w cosΨ, verkrijgen we

F ФII = -mw cosΨ, (2,13)

waarbij de hoek Ψ ligt in het interval -π/2 £ Ψ £ π/2.

Zo wordt formule (2.13) verkregen voor het berekenen van het element van de fasetraagheidskracht voor translatiebeweging. Dat wil zeggen, de fasetraagheidskracht werkt als een drijvende kracht in de aanwezigheid van positieve of negatieve lineaire versnelling.

Er worden dus vier elementen van de translatietraagheidskracht onderscheiden: centrifugaal, Coriolis, translatie, fase. Door afzonderlijke elementen op een bepaalde manier met elkaar te verbinden, is het mogelijk om systemen van translatietraagheidsdrijfkracht te creëren.

Beschouw de kracht van een variabele massa gedefinieerd door de formule

F pm = - (dm/dt)(d r/dt). (2.14)

Aangezien de snelheid van losraken (aanhechting) van deeltjes ten opzichte van het systeem van lichamen gelijk is aan

jij=d r/dt, (2.15)

dan kan vergelijking (2.14) worden geschreven als

F pm = - jij(dm/dt). (2.16)

In vergelijking (2.16) is de variabele massakracht de waarde van de kracht die door het scheidende deeltje wordt geproduceerd tijdens de verandering in zijn snelheid van nul naar jij of de waarde geproduceerd door het opkomende deeltje tijdens de verandering in zijn snelheid van jij naar nul. De variabele massakracht werkt dus op het moment van versnelling of vertraging van deeltjes, dat wil zeggen, het is een translatietraagheidskracht, maar berekend door andere parameters. Gezien het bovenstaande wordt het noodzakelijk om de afleiding van de Tsiolkovsky-formule te verduidelijken. We herschrijven vergelijking (1.12) in scalaire vorm en stellen ∑ F= 0, dan

m(d 2 r/dt 2) = - (dm/dt)(dr/dt). (2.17)

Sinds de versnelling van het systeem

d 2 r / dt 2 \u003d dv / dt,

waarbij v de snelheid van het systeem is, dan zal vergelijking (2.17), rekening houdend met vergelijking (2.15), zijn

m(dv/dt) = - (dm/dt)u. (2.18)

Door vergelijking (2.17) te vermenigvuldigen met dt krijgen we

mdv = -udm, (2.19)

dat wil zeggen, als we de maximale snelheid kennen u = u O van deeltjesscheiding, die we als constant beschouwen, is het mogelijk om de uiteindelijke snelheid van het systeem v te bepalen door de verhouding van de initiële m O en de uiteindelijke massa m

v = -u O ∫ dm /m = u O ln(m O /m). (2.20)

m O / m \u003d e v / uo. (2.21)

Vergelijking (2.21) is de Tsiolkovsky-vergelijking.

§3. De omtrek van het circulerende medium van de middelpuntvliedende traagheid.

Beschouw de circulatie van een medium langs een torus (Fig. 3.1) met een gemiddelde straal R, bewegend met een hoeksnelheid ω ten opzichte van het centrum O . De modulus van middelpuntvliedende kracht die werkt op een puntelement van de stroming met massa m zal gelijk zijn aan

∆ F= ∆m ω 2 R.

In elk deel van de ring voor identieke elementen, zal de middelpuntvliedende kracht dezelfde grootte hebben en langs de straal vanuit het midden gericht zijn, waardoor de ring wordt uitgerekt. De middelpuntvliedende kracht is niet afhankelijk van de draairichting.

Rijst. 3.1.

Laten we nu de totale middelpuntvliedende kracht berekenen die loodrecht op de diameter van de bovenste halve cirkel werkt (Fig. 3.2). Het is duidelijk dat in de richting van het midden van de diameter de loodrechte projectie van de kracht maximaal zal zijn, geleidelijk afnemend naar de randen van de halve cirkel, vanwege de symmetrie van de curve ten opzichte van de middellijn. Bovendien zal de resultante van de projecties van centrifugaalkrachten die evenwijdig aan de diameter werken gelijk zijn aan nul, omdat ze gelijk en tegengesteld gericht zijn.

Rijst. 3.2.

We schrijven de elementaire functie van de middelpuntvliedende kracht die werkt op een puntsegment met een massa ∆ m en lengte ∆ ℓ:

∆ F= ∆ m ω 2 R. (3.1)

De massa van een puntelement is gelijk aan de fluxdichtheid vermenigvuldigd met het volume

∆ m=ρ ∆ v. (3.2)

Lengte van halve torus langs de middellijn

waarbij π het getal pi is.

Volume van een halve torus

V = π 2 Rr 2 = πR π r 2 = ℓ π r 2 ,

waarbij r de straal van de torusbuis is.

Voor een elementair volume schrijven we:

∆ V = ∆ r 2 .

Het is bekend dat voor een cirkel

∆ ℓ= R ∆ Ψ,

∆ V = π r 2 R ∆ . (3.3)

Als we uitdrukking (3.3) in (3.2) vervangen, krijgen we:

∆ m=ρ π r 2 R ∆ . (3.4)

Nu vervangen we (3.4) in (3.1), dan

∆ F= ρ π r 2 ω 2 R 2 ∆ Ψ.

Centrifugaalkracht die in een loodrechte richting werkt (Fig. 2)

∆ F┴ = ∆ Fcos((π/2)-Ψ).

Het is bekend dat cos((π/2)- Ψ)=sin Ψ, dan

∆ F┴ = ∆ F zonde .

Vervang de waarde voor ∆ F we krijgen

∆ F┴ = ρ π r 2 ω 2 R 2 zonde Ψ ∆ Ψ.

Vind de totale middelpuntvliedende kracht die in de loodrechte richting werkt in het bereik van 0 tot Ψ

F ┴ = ∫ ρ π r 2 ω 2 R 2 sin ΨdΨ.

We integreren deze uitdrukking, dan krijgen we

F ┴ = - ρ π r 2 ω 2 R 2 cosΨ│. (3.5)

Laten we aannemen dat de versnelling w van het circulerende medium tien keer groter is dan de versnelling van het systeem w c, d.w.z.

In dit geval krijgen we volgens formule (2.5)

Bereken de werkhoek van de traagheidskrachten in radialen

Ψ ≈ 0,467 π,

wat overeenkomt met een hoek van 84 graden.

Dus het hoekinterval van actie van traagheidskrachten is

0 £ Ψ £ 84° in de linker contourhelft en symmetrisch 96° £ Ψ £ 180° in de rechterhelft van de contour. Dat wil zeggen, het interval van afwezigheid van actieve traagheidskrachten in het hele circuit is ongeveer 6,7% (in feite is de versnelling van het circulerende medium veel groter dan de versnelling van het systeem, dus het interval van afwezigheid van actieve traagheidskrachten zal minder zijn dan 1% en kan worden genegeerd). Om de totale middelpuntvliedende kracht te bepalen, in deze intervallen van hoeken, volstaat het om het eerste interval in formule (3.5) te vervangen en, vanwege symmetrie, vermenigvuldigen met 2, krijgen we

F ┴ = - 2ρ π r 2 ω 2 R 2 cosΨ│. (3.6)

Na eenvoudige berekeningen krijgen we

F ┴ \u003d 1.8 ρ π r 2 ω 2 R 2.

Het is bekend dat de hoeksnelheid

F ┴ \u003d 1.8 ρ π r 2 v 2.

Aangezien het circulerende medium met versnelling moet bewegen om de traagheidskracht te laten werken, daarom drukken we de lineaire snelheid uit in termen van versnelling, ervan uitgaande dat de beginsnelheid nul is

F ┴ \u003d 1.8 ρ π r 2 (w t) 2. (3.8)

De gemiddelde waarde voor de duur van de positieve versnelling, die we als constant beschouwen, zal zijn

F ┴CP \u003d ((1.8ρ π r 2 w 2) / t) ∫t 2 dt.

Na berekeningen krijgen we:

F ┴CP \u003d 0.6ρ π r 2 w 2 t 2. (3.9).

Zo werd de contour van het circulerende medium geïdentificeerd, van waaruit het mogelijk is om een ​​gesloten circuit te maken en hun middelpuntvliedende krachten op te tellen.

Laten we een gesloten circuit samenstellen van vier contouren van verschillende secties (Fig. 3.3): twee bovenste contouren met een straal R. met een sectie S en twee onderste contouren met een straal R 1 met een sectie S 1, waarbij we de randeffecten verwaarlozen wanneer het circulerende medium gaat van de ene sectie naar de andere. Laten we< S 1 и радиус

R1< R. Плотность циркулирующей среды одинакова. Тогда согласно уравнению неразрывности отношение скоростей потока в разных сечениях обратно пропорционально их сечениям, то есть

v/v 1 = S 1 /S = r 1 2 /r 2 , (3.10)

waarbij r 1 en r de stralen zijn van de stroming van het circulerende medium van de overeenkomstige sectie.

Daarnaast noteren we de voor de hand liggende relatie voor snelheden en versnellingen

v/v 1 = w / w 1 . (3.11)

Laten we de versnelling van het medium van de onderste contour vinden, met behulp van vergelijkingen (3.10) en (3.11) voor berekeningen

w 1 = w r 2 / r 1 2 . (3.12)

Nu, volgens vergelijking (3.9), bepalen we de middelpuntvliedende kracht voor het onderste circuit, rekening houdend met vergelijking (3.12) en na berekeningen krijgen we

F ┴СР1 = 0,6 ρ π r 1 2 w 1 2 = 0,6ρ π r 2 w 2 t 2 (r 2 / r 1 2) = F ┴СР (r 2 / r 1 2) (3.13)

Bij het vergelijken van de uitdrukking voor de middelpuntvliedende kracht van de bovenste contour (3.9) en de onderste contour (3.13), volgt dat ze verschillen met de waarde (r 2 / r 1 2).

Dat wil zeggen, voor r< r 1 центробежная сила верхнего контура больше, чем нижнего.

Rijst. 3.3.

De resultante van centrifugaalkrachten die inwerken op twee contouren in het bovenste halve vlak (de grens van de bovenste en onderste halve vlakken wordt weergegeven door een dunne lijn) is tegengesteld gericht aan de resultante van centrifugaalkrachten die inwerken op twee contouren in de onderste helft -vliegtuig. Het is duidelijk dat de totale F c-centrifugaalkracht in de richting zal werken, zoals weergegeven in figuur 3.3, laten we deze richting als positief beschouwen. Bereken de totale F C middelpuntvliedende kracht

F C \u003d 2 F ┴SR - 2F ┴SR1 \u003d 1.2ρ π r 2 w 2 t 2 (1- (r 2 / r 1 2)) (3.14)

Zoals je kunt zien, hangt de totale middelpuntvliedende kracht af van de dichtheid van de stroming, de secties van de tegenovergestelde contouren en de versnelling van de stroming. De totale middelpuntvliedende kracht is niet afhankelijk van de straal van de contouren. Voor een systeem waarin het circulerende medium gelijkmatig of met vertraging in een cirkel beweegt, zal de middelpuntvliedende kracht geen translatieversnelde beweging van het systeem veroorzaken.

Zo werd de basiscontour van het circulerende medium geïdentificeerd, de mogelijkheid om de contouren van het circulerende medium van verschillende secties te gebruiken om de middelpuntvliedende kracht in een bepaalde richting op te tellen en het totale momentum van een gesloten systeem van lichamen onder invloed van externe traagheidskrachten veroorzaakt door interne krachten werd getoond.

Laat r = 0,025m; r 1 \u003d 0,05 m; ρ \u003d 1000 kg / m3; w \u003d 5m / s 2, t = 1s, dan tijdens de positieve versnelling de gemiddelde waarde totale middelpuntvliedende kracht F C.≈ 44N.

§4. De omtrek van het circulerende medium van de Coriolis-traagheidskracht.

Het is bekend dat de Coriolis-traagheidskracht ontstaat wanneer een lichaam met massa m rond een cirkel draait en het tegelijkertijd radiaal beweegt, en het staat loodrecht op de hoeksnelheid ω en snelheid van radiale beweging v. Richting van de Corioliskracht F valt samen met de richting van het vectorproduct in de formule F= 2m[ vmet wie].

Rijst. 4.1.

Figuur 4.1 toont de richting van de Coriolis-kracht wanneer het lichaam in een cirkel tegen de klok in draait en het in de eerste halve cyclus radiaal naar het middelpunt van de cirkel beweegt. en Fig.4.2 toont de richting van de Coriolis-kracht wanneer het lichaam ook tegen de klok in rond de cirkel draait en het in de tweede halve cyclus radiaal vanuit het middelpunt van de cirkel beweegt.

Rijst. 4.2.

Laten we het linkerdeel van de lichaamsbeweging in Fig.4.1 en het rechterdeel in Fig.4.2 combineren. dan komen we in Fig. 4.3 variant van het traject van de beweging van het lichaam voor de periode.

Rijst. 4.3.

Beschouw de beweging van een circulerend medium (vloeistof) door pijpen die gebogen zijn volgens het traject. De Coriolis-krachten van de linker- en rechterkrommen werken in een sector van 180 graden in radiale richting wanneer ze van punt B naar punt O bewegen naar respectievelijk links en rechts ten opzichte van de X-as. links en rechts bochten F| | AC evenwijdig aan de rechte lijn compenseren elkaar, omdat ze hetzelfde zijn, tegengesteld gericht en symmetrisch rond de as X. De symmetrische componenten van de Coriolis-kracht van de linker en rechter F^-krommen loodrecht op de rechte lijn AC worden opgeteld, aangezien ze zijn in één richting gericht.

Laten we de waarde berekenen van de Coriolis-kracht die langs de X-as op de linkerhelft van het traject werkt. Omdat het opstellen van de baanvergelijking een moeilijke taak is, zoeken we een oplossing voor het vinden van de Coriolis-kracht met behulp van een benaderingsmethode. Laat v de snelheid zijn van de vloeistofconstante langs het hele traject. De radiale snelheid v p en de lineaire rotatiesnelheid v l, volgens de parallellogramstelling van snelheden, drukken we uit (Fig. 3) door de snelheid v en de hoek α

v p \u003d v cosα, v l \u003d v sinα.

Het bewegingstraject (Fig. 4.3) is opgebouwd rekening houdend met het feit dat in punt B de radiale snelheid v p gelijk is aan nul en de lineaire snelheid v l gelijk is aan v. In het middelpunt van de cirkel O, met straal Ro, is de radiale snelheid v p gelijk aan v, en de lineaire snelheid v l is gelijk aan nul, en de raaklijn van het traject in het midden van de cirkel staat loodrecht op de raaklijn van de traject aan het begin (punt B). De straal neemt monotoon af van Ro naar nul. De hoek α verandert van 90° in punt B naar 0° in het middelpunt van de cirkel. Vervolgens kiezen we uit grafische constructies de lengte van het traject 1/4 van de omtrek van de cirkel met straal R 0 . Nu kun je de massa van een vloeistof berekenen met de formule voor het volume van een torus. Dat wil zeggen, de massa van het circulerende medium zal gelijk zijn aan 1/4 van de massa van de torus met een gemiddelde straal R 0 en een binnenstraal van de pijp r

m = ρπ 2 r 2 R 0 /2, (4.1)

waarbij ρ de dichtheid van de vloeistof is.

De module van de projectie van de Coriolis-kracht op elk punt van het traject op de X-as wordt gevonden door de formule

F^ = 2m v р ср ω ср cos b , (4.2)

waarbij v p cf de gemiddelde waarde is van de radiale snelheid; ω cf is de gemiddelde waarde van de hoeksnelheid; b is de hoek tussen de Coriolis-kracht F en de X-as (-90° £ b £ 90°).

Voor technische berekeningen is het mogelijk om geen rekening te houden met het interval van afwezigheid van de werking van traagheidskrachten, aangezien de versnelling van het circulerende medium veel groter is dan de versnelling van het systeem. Dat wil zeggen, we kiezen het hoekinterval tussen de Coriolis-kracht F en de X-as (-90° £ b £ 90°). De hoek α verandert van 90° in punt B naar 0° in het middelpunt van de cirkel, dan wordt de gemiddelde waarde van de radiale snelheid

v p cf = 1 / (0 - π/2) ∫ v cos α dα = 2 v / π. (4.3)

De gemiddelde waarde van de hoeksnelheid is gelijk aan

ω cf = (1/ ((v π /2Rо) - v Rо))) ∫ ω dω = (v /2Rо) ((π /2.) +1). (4.4)

De ondergrens van de hoeksnelheid van de integraal in formule (4.4) wordt bepaald bij het startpunt B. Deze is uiteraard gelijk aan v / Rо. De bovenste waarde van de integraal wordt gedefinieerd als de limiet van de verhouding

ℓim (v l /R) = ℓim (v sinα /R), (4,5)

v l ® 0 ® 0

R ® 0 R ® 0

waarbij R de huidige straal is.

Laten we de bekende methode [7, p.410] gebruiken om limieten te vinden voor functies van verschillende variabelen: de functie vsinα /R op het punt (R= 0, α = 0) op elke lijn R = kα die door de oorsprong gaat heeft een limiet. In dit geval bestaat de limiet niet, maar is er wel een limiet voor een bepaalde regel. Laten we de coëfficiënt k zoeken in de vergelijking van een rechte lijn die door de oorsprong gaat.

Bij α = 0 ® R= 0, bij α = π /2 ® R= Rо (Fig. 3), dus k = 2Rо/π , dan wordt formule (5) omgezet in een vorm die de eerste opmerkelijke limiet bevat

ℓim (v π sinα /2Rо α) = (v π/2Rо) ℓim sinα/α = v π/2Rо. (4.6)

α ® 0 α ® 0

Nu vervangen we de waarde verkregen uit formules (4.1), (4.3) en (4.4) in (4.2) en verkrijgen

F^ = ρ π r 2 v 2 ((π /2.) +1) cos b .

Laten we de som vinden van de projecties van de Coriolis-kracht in het interval (-90° £ b £ 90°) voor de linkercurve.

90°

F^ = ρ π r 2 v 2 ((π /2.) +1) ∫ cos b db = 2 ρ π r 2 v 2 ((π /2.) +1).

90°

Ten slotte, de som van de projecties van de Coriolis-kracht voor de linker- en rechtercurve

∑F^ = 4ρ r 2 v 2 ((π /2.) +1). (4.7)

Volgens relatie (3.7) herschrijven we vergelijking (4.7) in de vorm

∑F^ = 4ρ r 2 (w t) 2 ((π /2.) +1). (4.8)

Laten we de gemiddelde waarde van de Coriolis-kracht in de tijd berekenen, ervan uitgaande dat de versnelling constant is

Fc = ∑F^ cp = 4ρ r 2 w 2 ((π /2.) +1) / t) ∫t 2 dt.

Na berekeningen krijgen we:

Fc ≈ 1.3ρ r 2 w 2 ((π /2.) +1)t 2 . (4.9)

Laat r = 0,02m; w \u003d 5m / s 2; ρ \u003d 1000 kg / m3; t = 1c, dan is de totale gemiddelde Coriolis-traagheidskracht tijdens de actie van de positieve versnelling van het circulerende medium Fk ≈ 33N.

In het midden van de cirkel in het traject bevindt zich een verbuiging (Fig. 4.3), die kan worden geïnterpreteerd, om berekeningen te vereenvoudigen, als een halve cirkel met een kleine straal. Voor de duidelijkheid verdelen we het traject in twee helften en voegen we een halve cirkel in het onderste deel en een rechte lijn in het bovenste deel in, zoals weergegeven in Fig. 4.4, en leiden we het circulerende medium langs een pijp met straal r, gebogen in de vorm van het traject.

Rijst. 4.4.

In formule (3.5) stellen we de hoek Ψ = 180° in, vervolgens de totale centrifugaalkracht Fc die in de loodrechte richting werkt voor het circuit van het circulerende medium

Fc = 2 r 2 v 2 . (4.10)

De middelpuntvliedende kracht is dus niet afhankelijk van de straal R, maar alleen van de integratiehoek (zie formule (3.5)) bij een constante fluxdichtheid ρ, straal r en snelheid van het circulerende medium v ​​op elk punt van het traject. Aangezien de straal R van alles kan zijn, kan worden geconcludeerd dat voor elke convexe kromme met randen loodrecht op de rechte lijn AOB (Fig. 3.2), de middelpuntvliedende kracht wordt bepaald door uitdrukking (4.10). Als gevolg daarvan moet worden opgemerkt dat elke rand van een convexe kromme loodrecht kan staan ​​op zijn eigen lijn, die evenwijdig is en niet op dezelfde lijn ligt.

De som van projecties van centrifugaalkrachten (Fig. 4) die tegen de richting van de X-as in werken, ontstaan ​​in een halve cirkel en twee helften van een convexe curve (de rechte lijn draagt ​​niet bij aan de middelpuntvliedende kracht) boven een onderbroken lijn en projecties werkend langs de X-as, ontstaan ​​in twee convexe krommen onder onderbroken lijnen, worden gecompenseerd, omdat ze hetzelfde zijn en in tegengestelde richtingen gericht zijn. Dus. middelpuntvliedende kracht draagt ​​niet bij aan translatiebeweging.

§5. Solid-state rotatiesystemen. Centrifugale krachten van traagheid.

1. De vector van de eigen hoeksnelheid van de staven staat loodrecht op de vector van de hoeksnelheid van het zwaartepunt van de staaf en de straal van de gemeenschappelijke rotatie-as van de staven.

De energie van translatiebeweging kan worden omgezet in energie van rotatiebeweging en vice versa. Beschouw een paar tegenovergestelde staven van lengte ℓ met puntgewichten van dezelfde massa aan de uiteinden, uniform roterend rond hun eigen massamiddelpunt en rond een gemeenschappelijk middelpunt O met straal R met hoeksnelheid ω (Fig. 5.1): een halve slag van de staaf in één omwenteling om een ​​gemeenschappelijke as. Laat R/2. Voor een volledige beschrijving van het proces volstaat het om rotatie in het bereik van hoeken 0 . te beschouwen£ α £ /2. We rangschikken de krachten die evenwijdig werken aan de X-as die door het gemeenschappelijke middelpunt O gaan en de positie van de staven onder een hoekα = 45 graden, in het vlak van de X-as en de gemeenschappelijke rotatie-as, zoals weergegeven in figuur 5.1.

Rijst. 5.1.

De hoek α is gerelateerd aan frequentie ω en tijd t by

α = ωt/2, (5.1.1)

omdat een halve slag van de staaf in één omwenteling rond een gemeenschappelijke as plaatsvindt. Het is duidelijk dat de middelpuntvliedende kracht luiheid er zullen meer verre ladingen uit het centrum zijn dan nabije. Projecties van middelpuntvliedende krachten traagheid op de X-as zal zijn

Fц1 = mω 2 (R - (ℓ/2) cos α) sin 2α (5.1.2)

Fц2 = mω 2 (R + (ℓ/2) cos α) sin 2α (5.1.3)

Fц3 = - mω 2 (R + (ℓ/2) sin α) sin 2α (5.1.4)

Fц4 = - mω 2 (R - (ℓ/2) sin α) sin 2α (5.1.5)

We schrijven het verschil middelpuntvliedende kracht luiheid werken op externe belastingen. Verschil middelpuntvliedende kracht: traagheid op de tweede belasting

Fц2-1 = mω 2 ℓ cosα sin2α. (5.1.6)

Verschil middelpuntvliedende kracht: traagheid op de derde belasting

Fц3-4 = - mω 2 ℓ sinα sin2α. (5.1.7)

Gemiddelde waarde van differentiële centrifugaalkrachten luiheid voor een halve draai

Fav c2-1 = (1/(π/2))∫mω 2 ℓ cosα sin2αdα = 4mω 2 ℓ/3 π » 0,4mω 2 ℓ, (5.1.8)

Fav c3-4 = (1/(π/2))∫mω 2 ℓ sinα sin2αdα = -4mω 2 ℓ/3 π "-0.4mω 2 ℓ. (5.1.9)

Kreeg twee tegengestelde en gelijke middelpuntvliedende krachten in absolute waarde traagheid die extern zijn. Daarom kunnen ze worden weergegeven als twee identieke oneindig ver verwijderde lichamen (niet inbegrepen in het systeem) die gelijktijdig met het systeem interageren: de tweede belasting trekt het systeem naar het eerste lichaam en de derde belasting duwt het systeem weg van het tweede lichaam.

De gemiddelde waarde van de kracht van gedwongen actie op het systeem per halve slag langs de X-as is gelijk aan de som van de krachten van het trekken van Fav c2-1 en afstoting Fav c3-4 van externe lichamen

Fp = | Fcp c2-1 | + | Fav ts3-4 | = 0,8 mω 2 ℓ. (5.1.10)

Om het koppel van het systeem van twee staven in het verticale vlak (Fig. 5.2) te elimineren, is het noodzakelijk om nog een paar tegenovergestelde staven toe te passen die synchroon in hetzelfde vlak in de tegenovergestelde richting roteren.

Rijst. 5.2.

Om het koppel van het systeem langs een gemeenschappelijke as met het centrum O te elimineren, gebruiken we hetzelfde paar van vier staven, maar roteren in de tegenovergestelde richting ten opzichte van de gemeenschappelijke as (Fig. 5.3).

Rijst. 5.3.

Ten slotte, voor een systeem van vier paar roterende staven (Fig. 5.3), zal de trekkracht zijn

Ft \u003d 4Fp \u003d 3.2mω 2 ℓ. (5.1.11)

Laat m = 0,1 kg; ω =2 f, waarbij f = 10r/s; ℓ = 0,5 m, dan Ft ≈ 632N.

2. De vector van de eigen hoeksnelheid van de staven staat loodrecht op de vector van de hoeksnelheid van het zwaartepunt van de staaf en is evenwijdig aan de straal van de gemeenschappelijke rotatie-as van de staven.

Laten we een paar staven met lengte ℓ beschouwen, loodrecht op elkaar, met puntgewichten van dezelfde massa aan de uiteinden, uniform roterend rond hun eigen massamiddelpunt en rond een gemeenschappelijk middelpunt O met straal R met hoeksnelheid ω (Fig. 5.4): een halve slag van de staaf in één omwenteling om een ​​gemeenschappelijke as.

Rijst. 5.4.

Voor de berekening kiezen we alleen m1 en m2, aangezien de oplossing vergelijkbaar is voor m3 en m4. Laten we de hoeksnelheden van de belastingen ten opzichte van het gemeenschappelijke middelpunt O bepalen. De modules van de projecties van de lineaire snelheid van de belastingen ten opzichte van hun eigen massamiddelpunt evenwijdig aan het rotatievlak ten opzichte van het gemeenschappelijke middelpunt O zullen zijn ( Afb. 5.5)

v1 = v2 = (ωℓ/4) sin (Ψ/2), (5.2.1)

waarbij Ψ = t.

We onderscheiden de projecties van de tangens van deze snelheden loodrecht op de stralen r1 en r2 respectievelijk ten opzichte van het centrum O krijgen we

v1R = v2R = (ωℓ/4) zonde ( Ψ /2) omdatb, (5.2.2)

omdatb= R /r1 = R /r2 =R/Ö (R 2 +(ℓ 2 /4) cos 2 (Ψ /2)), (5.2.3)

R is de afstand van het middelpunt O tot het zwaartepunt van de belastingen, r1, r2 is de afstand van de belastingen tot het middelpunt O, en r1 = r2.

Rijst. 5.5.

De modules van de lineaire snelheid van de belastingen ten opzichte van het gemeenschappelijke middelpunt O zonder rekening te houden met hun lineaire snelheid ten opzichte van hun eigen massamiddelpunt, zijn

vR1 = ω r1, (5.2.4)

vR2 = ω r2. (5.2.5)

Laten we de totale hoeksnelheid van elke belasting vinden ten opzichte van de gemeenschappelijke rotatie-as, aangezien de lineaire snelheden tegengesteld gericht zijn voor de eerste belasting en hetzelfde voor de tweede, dan

ω 1 = (vR1 - v1R)/r1 = ω [ 1– (ℓR sin (Ψ / 2)) / 4 (R 2 + (ℓ 2 / 4) cos 2 (Ψ / 2)) ] , (5.2.6)

ω 2 = (vR2 + v2R)/r2 = ω [ 1+ (ℓR] . (5.2.7)

Dienovereenkomstig zullen de middelpuntvliedende krachten

F 1 = mω 1 2 r1

F 2 \u003d mω 2 2 r2

Of in detail

F 1 \u003d mω 2 [ (1– (ℓR .) sin(Ψ/2))/4(R 2 +(ℓ 2 /4)cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (R 2 + (ℓ 2 / 4) cos 2 (Ψ/2)), (5.2.8)

F 2 \u003d mω 2 [ (1+ (ℓR .) sin(Ψ/2))/4(R 2 +(ℓ 2 /4)cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (R 2 + (ℓ 2 / 4) cos 2 (/2)). (5.2.9)

Overweeg het geval wanneer: ℓ=4R. In dit geval bijΨ=180° hoekfrequentie van het eerste gewicht ω 1 = 0 en het verandert niet van richting, de tweede belasting heeft ω 2 = 2ω (Fig.5.6).

Rijst. 5.6.

Laten we verder gaan met de definitie van centrifugaalkrachten in de richting van de X-as bij ℓ= 4R

F 1 \u003d mω 2 R [ (1+ 4cos 2 (Ψ/2)–sin(Ψ/2))/(1+4cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (1 + 4cos 2 (Ψ/2)), (5.2.10)

F 2 \u003d mω 2 R [ (1+ 4cos 2 (Ψ/2)+ sin(Ψ/2))/(1+4cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (1 + 4cos 2 (/2)). (5.2.11)

Opgemerkt moet worden dat met toenemende hoekΨ van 0 tot 180 ° op puntΨ = b= 60 ° middelpuntvliedende krachtprojectie F 2 verandert het teken van negatief naar positief.

Eerst voegen we de gemiddelde waarden van de projectie toe aan de X-as van de middelpuntvliedende kracht van de eerste belasting en de gemiddelde waarde van de projectie van de tweede in het hoekinterval

0 £ Ψ £60° , rekening houdend met de tekens, aangezien ze tegengesteld gericht zijn

F СР 1-2 = (1/(π /3))∫ (F 1 sin( b+Ψ) - F 2 sin( b-Ψ))dΨ ≈ 0,6mω 2 R, (5.2.12)

waar b= arccos(1/ Ö (1 +4 uit 2 (Ψ /2))) wordt bepaald uit formule (5.2.3).

Centrifugale kracht F СР 1-2 in de formule (5.2.12) is positief, dat wil zeggen, het is gericht langs de X-as. Nu voegen we de gelijk gerichte gemiddelde waarde van de projectie op de X-as van de middelpuntvliedende kracht van de eerste belasting en de gemiddelde waarde van de projectie van de tweede in het hoekinterval 60° £ Ψ £ 180°

F СР 1+2 = (1/(π-(π/3)))∫(F 1 sin(Ψ + b)+ F 2 sin(Ψ- b))dΨ ≈ 1.8mω 2 R, (5.2.13)

Gemiddelde waarde in het interval 0° £ Ψ £ 180° zal duidelijk zijn

F СР = (F СР 1-2 + 2F СР 1+2)/3 ≈ 1,4 mω 2 R. (5.2.14)

Voor m3 en m4 zal de gemiddelde waarde van de projectie op de X-as van de middelpuntvliedende kracht hetzelfde zijn, maar in de tegenovergestelde richting werken.

F T \u003d 4 F СР \u003d 5.6mω 2 R. (5.2.15)

Laat m = 0,1 kg; ω =2 f, waarbij f = 10r/s; ℓ= 4R, waarbij R = 0,1m, dan FT ≈ 220N.

3. De vector van de eigen hoeksnelheid van de staven is evenwijdig en gelijk gericht met de vector van de hoeksnelheid van het zwaartepunt van de staaf die om een ​​gemeenschappelijke as draait.

Laten we een paar tegenovergestelde, op het watervlak liggende, staven met lengte ℓ met puntgewichten van dezelfde massa aan de uiteinden beschouwen, uniform roterend rond hun eigen massamiddelpunt en rond een gemeenschappelijk middelpunt O met straal R met hoeksnelheid ω (Fig. 5.7): een halve slag van de staaf in één omwenteling om een ​​gemeenschappelijke as.

Rijst. 5.7.

Net als in het vorige geval kiezen we alleen m1 en m2 voor de berekening, omdat de oplossing voor m3 en m4 vergelijkbaar is. We zullen een geschatte schatting maken van de werkende traagheidskrachten bij ℓ = 2R met behulp van de gemiddelde waarden van de hoeksnelheid ten opzichte van het centrum O, evenals de gemiddelde waarden van de afstand van de belastingen tot het centrum O Het is duidelijk dat de hoeksnelheid van de eerste belasting aan het begin 1,5ω van de tweede belasting 0,5ω zal zijn, en een halve slag voor beide ω. De afstand van het eerste gewicht tot het centrum O aan het begin van 2R van het tweede gewicht is 0, en na een halve draai van elke R2.

Rijst. 5.8.

En in het interval 0° £ Ψ £ 36° (Fig. 5.8) centrifugaalkrachten tellen op in de richting van de X-as, in het interval 36° £ Ψ £ 72° (Fig. 5.8, Fig. 5.9) de kracht van het tweede lichaam wordt afgetrokken van de kracht van het eerste lichaam en hun verschil werkt langs de X-as, in het interval 72° £ Ψ £90° (Fig. 5.9) krachten tellen op en werken tegengesteld aan de X-as.

Rijst. 5.9.

Laten we de gemiddelde waarden van de hoeksnelheid en stralen van de belastingen per halve slag bepalen.

Gemiddelde hoeksnelheid van de eerste belasting

ω СР 1 = (ω + 0,5ω + ω)/2 = 1,25ω. (5.3.1)

Gemiddelde hoeksnelheid van de tweede belasting

ω СР 2 = (ω - 0,5ω + ω)/2 = 0,75ω. (5.3.2)

Gemiddelde straal van de eerste lading

RSR 1 = (2R + R Ö 2)/2 = R(2 + 2)/2.(5.3.3)

Gemiddelde straal van de tweede lading

R 2 =(0 + R Ö 2)/2 = (R2)/2.(5.3.4)

De projectie van de middelpuntvliedende kracht die inwerkt op het eerste gewicht in de richting van de X-as zal zijn

F 1 = mω 2 СР 1 R СР 1 cos(Ψ /2)sin2Ψ » 2.67mω 2 R cos(Ψ /2)sin2Ψ. (5.3.5)

De projectie van de middelpuntvliedende kracht die inwerkt op het tweede gewicht in de richting van de X-as zal zijn

F 2 = mω 2 СР 2 R СР 2 sin(Ψ /2)sin2Ψ » 0,4mω 2 R sin(Ψ /2)sin2Ψ. (5.3.6)

° £ Ψ £ 36° zal zijn

0.2p

F СР 1 + 2 = (1/0.2 π) ∫ (F 1 + F 2)dΨ » 1.47mω 2 R. (5.3.7)

De gemiddelde waarde van het verschil tussen de projecties van de middelpuntvliedende krachten van de eerste en tweede belasting in het interval 36° £ Ψ £ 72° zal zijn

0,4 p

F СР 1 - 2 = (1/0.2 π) ∫ (F 1 - F 2) dΨ » 1.95mω 2 R. (5.3.8)

0.2p

De gemiddelde waarde van de som van de projecties van de middelpuntvliedende krachten van de eerste en tweede belastingen in het interval 72° £ Ψ £90° zal zijn

0,5 p

F СР- (1 + 2) \u003d - (1 / 0.1 π) ∫ (F 1 + F 2)dΨ "-3.72mω 2 R. (5.3.9)

0,4 p

De gemiddelde waarde van de som van de projecties van de middelpuntvliedende krachten van de eerste en tweede belastingen in het interval 0° £ Ψ £90° zal zijn

F СР = (2F СР 1 + 2 + 2F СР 1 – 2 + F СР- (1 + 2))/5 » 0.62mω 2 R. (5.3.10)

Evenzo wordt de som van projecties van centrifugaalkrachten voor de derde en vierde belasting berekend.

Om het koppel te elimineren, is het noodzakelijk om nog een paar staven toe te passen, maar die in de tegenovergestelde richting draaien ten opzichte van hun eigen massamiddelpunt en ten opzichte van de gemeenschappelijke rotatie-as, dan zal de uiteindelijke stuwkracht zijn

F T \u003d 4F СР \u003d 2.48mω 2 R. (5.3.11)

Laat m = 0,1 kg; ω =2 f, waarbij f = 10r/s; R = 0,25 m, dan is FT ≈ 245N.

§6. Fase traagheidskracht.

Om de fasetraagheidskracht te implementeren, gebruiken we een twee-crank gelede vier-link als een translatie om de uniforme rotatie van de motor om te zetten in een ongelijkmatige rotatie van belastingen volgens een bepaalde modus met optimalisatie van de aard van de beweging van goederen voor het effectieve gebruik van traagheidskrachten, en door de juiste keuze van de relatieve positie van de belastingen, compenseren voor de omgekeerde impuls

De gelede schakel met vier staven zal dubbel zwengelen zijn als de hartafstand van de AG (Fig.6.1) zal kleiner zijn dan de lengte van een beweegbare schakel, en de som van de hart-op-hart afstand en de lengte van de grootste van de beweegbare schakels zal kleiner zijn dan de som van de lengtes van de andere twee schakels.

Rijst. 6.1.

Schakel VG (hefboom), waarop een belasting van massa m is bevestigd, is een aangedreven kruk op een vaste as G, en schakel AB is de leidende. Schakel A is de motoras. De BV-schakel is een drijfstang. De verhouding van de lengtes van de drijfstang en de aandrijfkruk is zo gekozen dat wanneer de belasting het uiterste punt D bereikt, er een rechte hoek is tussen de drijfstang en de aandrijfkruk, wat zorgt voor maximale efficiëntie. Vervolgens, met gelijkmatige rotatie van de motoras A met de aangedreven kruk AB met een hoeksnelheid w, brengt de drijfstang BV de beweging over op de aangedreven kruk VG, waardoor deze wordt vertraagd. De belasting vertraagt ​​dus van punt E naar punt D langs de bovenste halve cirkel. In dit geval werkt de traagheidskracht in de bewegingsrichting van de last. Overweeg de beweging van de lading in de tegenovergestelde halve cirkel (Fig. 6.2), waar de drijfstang, die recht komt, de lading versnelt.

Rijst. 6.2.

In dit geval werkt de traagheidskracht tegen de bewegingsrichting van de last in, die samenvalt met de richting van de traagheidskracht in de eerste halve cirkel. Het geïntegreerde voortstuwingsschema is weergegeven in figuur 6.3.

Rijst. 6.3.

De aangedreven krukken AB en A¢B¢ zijn star met elkaar verbonden in een rechte lijn op de motoras, en de aangedreven krukken (hefbomen) draaien onafhankelijk van elkaar op een vaste as. De longitudinale componenten van de traagheidskrachten in de richting van punt E naar punt D van de bovenste en onderste belastingen worden opgeteld, waardoor translatiebeweging wordt verkregen. Er is geen omgekeerde impuls, omdat de gewichten in dezelfde richting draaien en gemiddeld symmetrisch tegenovergesteld zijn.

Laten we de werkende fasekracht van traagheid schatten.

Laat AB = BV = r, GV = R.

Stel dat in de uiterst rechtse positie de hoek Ψ tussen de straal R en de middelste lijn DE 0° is (Fig.6.4) en

r + r - AG = R, (6.1)

en ook in de uiterst linkse positie bij Ψ =180° (Fig.6.5) de hoek

ABV = 90° . (6.2)

Op basis van deze voorwaarden is het dan gemakkelijk om te bepalen dat aan de veronderstellingen is voldaan voor de volgende waarden:

r = 2R/(2+r 2), (6,3)

AG = (3 - 2Ö 2)R. (6.4)

Laten we nu de hoeksnelheden in de extreem rechtse en linkse posities bepalen. Het is duidelijk dat in de juiste positie de hoeksnelheden van de AG en GV samenvallen en gelijk zijn aan w .

Rijst. 6.4.

In de linkerpositie is de hoeksnelheid w van de GW uiteraard gelijk aan

w HW = (180° /225 °) w . (6.5)

De toename van de hoeksnelheid ∆w gedurende de tijd ∆t = 225° /w = 5π/4w zal

∆w = w GW - w = - 0.2w . (6.6)

Laat de hoekversnelling even langzaam zijn, dan

dω / dt \u003d ∆w / ∆t \u003d - 0.16w 2 / π. (6.7)

Laten we de formule van de fasetraagheidskracht (2,8) in scalaire vorm gebruiken

F f \u003d -m [(dω / dt) R] \u003d 0,16 mw 2 R / π. (6.8)

Rijst. 6.5.

De projectie van de fasetraagheidskracht in de richting van ED zal zijn

F FED \u003d 0,16mw 2 RsinΨ / π. (6.9)

De gemiddelde waarde van de projectie van de fasetraagheidskracht voor een halve cyclus

F СР = 0,16 mω 2 R/ π 2) ∫ sinΨdΨ = 0,32 mω 2 R/ π 2 . (6.10)

Bij twee lasten (Fig. 6.3) wordt de kracht verdubbeld. Om het koppel te elimineren, is het noodzakelijk om nog een paar gewichten toe te passen, maar in de tegenovergestelde richting te draaien. Ten slotte zal de trekkracht voor vier ladingen zijn:

F T \u003d 4F СР \u003d 1,28mω 2 R / π 2. (6.11)

Laat m = 0,1 kg; ω =2 f, waarbij f = 10r/s; R = 0,5 m, dan FT = 25,6 N.

§7. Gyroscoop. Coriolis en middelpuntvliedende traagheid.

Beschouw de oscillerende beweging van een belasting met massa m langs een halve cirkel (Fig. 7.1) met straal R met een lineaire snelheid v. De centrifugale traagheidskracht Fc die inwerkt op een belasting van massa m zal gelijk zijn aan m v 2 / R, gericht langs de straal vanaf het middelpunt O. De projectie van de middelpuntvliedende kracht op de X-as is gelijk aan

F c׀׀ \u003d (m v 2 / R) zonde α. (7.1)

De last moet met versnelling bewegen met wie rond de omtrek zodat de middelpuntvliedende kracht effectief is voor de translatiebeweging van het systeem, en aangezien v = wt, dan

F c׀׀ = (m w 2 t 2 /R) sin α, (7,2)

waarbij t tijd is.

Rijst. 7.1.

Door de traagheid van de belasting verschijnt er een omgekeerde impuls aan de randen van de halve cirkel, die de voorwaartse beweging van het systeem in de richting van de X-as verhindert.

Het is bekend dat deze onder invloed van een kracht die de richting van de gyroscoop-as verandert, voortgaat onder invloed van de Coriolis-kracht, en deze beweging is traagheidsloos. Dat wil zeggen, met de onmiddellijke toepassing van een kracht die de richting van de rotatie-as verandert, begint de gyroscoop onmiddellijk te preceseren en stopt hij net zo onmiddellijk wanneer deze kracht verdwijnt. In plaats van een last gebruiken we een gyroscoop die roteert met een hoeksnelheid ω. Nu oefenen we kracht F loodrecht op de rotatie-as van de gyroscoop uit (Fig. 7.2) en werken op de as zodat de houder met de gyroscoop een traagheidsoscillerende beweging (precessen) uitvoert in een bepaalde sector (in het optimale geval met een eindwaarde van α = 180 °). De onmiddellijke stop van de precessie van de houder met de gyroscoop en zijn hervatting in de tegenovergestelde richting vindt plaats wanneer de richting van de kracht F verandert in de tegenovergestelde. Er is dus een oscillerende traagheidsloze beweging van de houder met een gyroscoop, die de omgekeerde impuls elimineert die translatiebeweging langs de X-as voorkomt.

Rijst. 7.2.

Hoeksnelheid van precessie

dα /dt = M / I Z , (7,3)

waarbij: M - moment van kracht; I Z is het traagheidsmoment van de gyroscoop; ω is de hoeksnelheid van de gyroscoop.

Moment van kracht (ervan uitgaande dat ℓ loodrecht op F staat)

M = ℓF, (7,4)

waarbij: ℓ de afstand is van het aangrijpingspunt van de kracht F tot het traagheidscentrum van de gyroscoop; F is de kracht die wordt uitgeoefend op de as van de gyroscoop.

Als we (7.4) in (7.3) plaatsen, krijgen we

dα /dt = ℓ F / I Z , (7,5)

Aan de rechterkant van formule (7.5) staan ​​de componenten ℓ , I Z , ω worden als constant beschouwd, en de kracht F, afhankelijk van de tijd t, laat deze veranderen volgens een stuksgewijs lineaire wet (Fig. 7.3).

Rijst. 7.3.

Het is bekend dat de lineaire snelheid gerelateerd is aan de hoeksnelheid door de volgende relatie:

v = R (dα /dt). (7.6)

Differentiërende formule (7.6) met betrekking tot tijd, we verkrijgen de versnelling

w = R (d 2 /dt 2). (7,7)

We vervangen formule (7.5) door formule (7.7) en verkrijgen

w = (R /I Zω ) (dF/dt). (7.8)

De versnelling hangt dus af van de veranderingssnelheid van de kracht F, waardoor de middelpuntvliedende kracht werkt voor de translatiebeweging van het systeem.

Opgemerkt moet worden dat bij hoge hoeksnelheid ω en dα /dt<< ω , возникающий гироскопический момент уравновешивает момент силы F, поэтому движения в направлении воздействия этой силы не происходит .

Om de loodrechte projectie van de middelpuntvliedende kracht Fц ┴ te compenseren, gebruiken we dezelfde tweede gyroscoop, die synchroon in tegenfase oscilleert met de eerste gyroscoop (Fig. 7.4). De projectie van de middelpuntvliedende kracht Fc ┴ bij de tweede gyroscoop zal tegengesteld zijn gericht aan de projectie bij de eerste. Het is duidelijk dat de loodrechte componenten Fц ┴ zullen worden gecompenseerd, en de parallelle Fц׀׀ zullen optellen.

Rijst. 7.4.

Als de oscillatiesector van de gyroscopen niet meer dan een halve cirkel is, zal er geen tegengestelde middelpuntvliedende kracht zijn, waardoor de middelpuntvliedende kracht in de richting van de X-as afneemt.

Om het koppel van het apparaat, dat optreedt als gevolg van de geforceerde rotatie van de as van de gyroscopen, te elimineren, is het noodzakelijk om nog een paar van dezelfde gyroscopen te installeren, waarvan de assen in de tegenovergestelde richting draaien. Sectoren van oscillerende beweging van houders met gyroscopen in een paar, waarvan de gyroscoopassen in één richting draaien, moeten symmetrisch in één richting worden gericht met sectoren van houders met gyroscopen, waarvan de gyroscoopassen in de tegenovergestelde richting draaien (Fig. 7.5 ).

Rijst. 7.5.

Laten we de gemiddelde waarde berekenen van de middelpuntvliedende krachtprojectie Fц׀׀ voor één gyroscoop (Fig. 7.2) op de houder, oscillerend in de sector van de halve cirkel van 0 tot π en deze waarde aanduiden met Fп

Fп = (1/ π) ∫ (m w 2 t 2 / R) sin α dα = 2m w 2 t 2 / Rπ. (7.9)

Voor vier gyroscopen op houders is de gemiddelde waarde van de translatiekracht Fp voor elke halve cyclus:

Fп = 8m w 2 t 2 / Rπ. (7.10)

Laat de massa van de houder veel kleiner zijn dan de massa van de gyroscoop, en de massa van de gyroscoop m = 1 kg. Versnelling w = 5 m/s 2, en de versnelling van de gyroscoop is een orde van grootte groter dan de versnelling van het systeem, dan kunnen we een klein interval van afwezigheid van de middelpuntvliedende kracht in het centrum negeren. Versnellingstijd t = 1s. Radius (lengte) van de houder R = 0,5 m. Volgens formule (7.10) is de translatiekracht dan Fп = 8∙ 1∙ 5 2 ∙1 2 /0.5 π ≈ 127N.

Literatuur

1. Vygodsky M. Ya. Handboek voor hogere wiskunde, 14e druk, - M.: LLC "Big Bear", APP "Dzhangar", 2001, 864s.

2. Sivukhin DV Algemene cursus natuurkunde downloaden. T.1. Mechanica. 5e druk, stereo. - M.: FIZMATLIT., 2010, 560s.

3. Shipov G.I. Theorie van fysiek vacuüm. Theorie experimenten en technologieën. 2e druk, - M.: Nauka, 1996, 456s.

4.Olkhovsky II Cursus theoretische mechanica voor natuurkundigen: leerboek. 4e druk, ster. - St. Petersburg: Uitgeverij "Lan", 2009, 576s.

5. Een gids voor natuurkunde voor ingenieurs en universiteitsstudenten / B.M. Yavorsky, A.A. Detlaf, A.K. Lebedev. - 8e druk, herzien. en juist. - M.: Onyx Publishing House LLC, Mir en Education Publishing House, 2008, 1056s.

6. Khaikin SE Physical Foundations of Mechanics, 2e ed., gecorrigeerd. en extra Zelfstudie. De belangrijkste editie van fysieke en wiskundige literatuur. M.: Nauka, 1971, 752d.

7. Zorich VA Wiskundige analyse. Deel 1. Red. 2e, herz. en extra M.: FAZIS, 1997, 554s.

8. Aleksandrov N.V. en Yashkin A.Ya. Cursus algemene natuurkunde. Mechanica. Proc. toelage voor deeltijdstudenten fiz.-mat. nep. ped. kameraad. M., "Verlichting", 1978, 416s.

9. Geronimus Ya. L. Theoretische mechanica (essays over de belangrijkste bepalingen): De hoofdeditie van de fysieke en wiskundige literatuur van de uitgeverij Nauka, 1973, 512p.

10. Cursus theoretische mechanica: leerboek / AA Yablonsky, VM Nikiforova. - 15e druk, gewist. – M.: KNORUS, 2010, 608s.

11. Turyshev M.V., Over de beweging van gesloten systemen, of onder welke voorwaarden niet wordt voldaan aan de wet van behoud van momentum, "Natuurlijke en technische wetenschappen", nr. 3 (29), 2007, ISSN 1684-2626.

12. Aizerman MA Klassieke mechanica: leerboek. - 2e druk, herzien. – M.: Wetenschap. Hoofdeditie van fysische en wiskundige literatuur, 1980, 368s.

13. Yavorsky VM, Pinsky AA Grondbeginselen van de natuurkunde: leerboek. In 2 delen T.1. Mechanica, Moleculaire fysica. Elektrodynamica / Ed. Yu.I.Dika. - 5e druk, stereo. – M.: FIZMATLIT. 2003. - 576s.

14. Kittel Ch., Knight V., Ruderman M. Mechanica: Leerboek: Per. uit het Engels / Uitg. A.I. Shalnikova en A.S. Akhmatova. - 3e druk, ds. – M.: Wetenschap. De belangrijkste editie van fysieke en wiskundige literatuur. 1983. - (Berkeley Natuurkunde Cursus, Deel 1). - 448s.

15. Tolchin VN, Inertsoid, Traagheidskrachten als bron van translatiebeweging. Perm. Perm boekuitgeverij, 1977, jaren 99.

16. Frolov AV Vortex mover, New Energy, nr. 3 (18), 2004, ISSN 1684-7288.

17. Bernikov VR Enkele gevolgen van de fundamentele wet van de mechanica, "Journal of wetenschappelijke publicaties van afgestudeerde studenten en doctoraatsstudenten", nr. 5 (71), 2012, ISSN 1991-3087.

18. Bernikov VR Traagheidskrachten en versnelling, wetenschappelijk perspectief, nr. 4, 2012, ISSN 2077-3153.

19. Bernikov VR Traagheidskrachten en hun toepassing, "Journal of wetenschappelijke publicaties van afgestudeerde studenten en doctoraatsstudenten", nr. 11 (65), 2011, ISSN 1991-3087.