Kopjevskaja landelijke middelbare school

10 manieren om op te lossen kwadratische vergelijkingen

Hoofd: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

wiskunde leraar

s.Kopyevo, 2007

1. Geschiedenis van de ontwikkeling van kwadratische vergelijkingen

1.1 Kwadratische vergelijkingen in het oude Babylon

1.2 Hoe Diophantus kwadratische vergelijkingen samenstelde en oploste

1.3 Kwadratische vergelijkingen in India

1.4 Kwadratische vergelijkingen in al-Khwarizmi

1.5 Kwadratische vergelijkingen in Europa XIII- XVII eeuw

1.6 Over de stelling van Vieta

2. Methoden voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen

Conclusie

Literatuur

1. Geschiedenis van de ontwikkeling van kwadratische vergelijkingen

1.1 Kwadratische vergelijkingen in het oude Babylon

De noodzaak om vergelijkingen op te lossen, niet alleen van de eerste, maar ook van de tweede graad in de oudheid, werd veroorzaakt door de noodzaak om problemen op te lossen met betrekking tot het vinden van gebieden percelen en met grondwerken van militaire aard, evenals met de ontwikkeling van de astronomie en wiskunde zelf. Kwadratische vergelijkingen waren in staat om ongeveer 2000 voor Christus op te lossen. e. Babyloniërs.

Met behulp van moderne algebraïsche notatie kunnen we zeggen dat in hun spijkerschriftteksten, naast onvolledige, dergelijke, bijvoorbeeld volledige kwadratische vergelijkingen voorkomen:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

De regel voor het oplossen van deze vergelijkingen, vermeld in de Babylonische teksten, valt in wezen samen met de moderne, maar het is niet bekend hoe de Babyloniërs tot deze regel kwamen. Bijna alle spijkerschriftteksten die tot nu toe zijn gevonden, geven alleen problemen met oplossingen in de vorm van recepten, zonder vermelding van hoe ze zijn gevonden.

Ondanks hoog niveau ontwikkeling van algebra in Babylon, in spijkerschriftteksten is er geen concept van een negatief getal en veelgebruikte methoden oplossingen van kwadratische vergelijkingen.

1.2 Hoe Diophantus kwadratische vergelijkingen samenstelde en oploste.

Diophantus' Arithmetic bevat geen systematische uiteenzetting van algebra, maar wel een systematische reeks problemen, vergezeld van verklaringen en opgelost door vergelijkingen van verschillende gradaties te formuleren.

Bij het samenstellen van vergelijkingen kiest Diophantus vakkundig onbekenden om de oplossing te vereenvoudigen.

Hier is bijvoorbeeld een van zijn taken.

Taak 11."Vind twee getallen wetende dat hun som 20 is en hun product 96"

Diophantus redeneert als volgt: uit de voorwaarde van het probleem volgt dat de gewenste getallen niet gelijk zijn, want als ze gelijk waren, dan zou hun product niet gelijk zijn aan 96, maar aan 100. Dus één van hen zal meer zijn dan de helft van hun som, d.w.z. . 10+x, de andere is kleiner, d.w.z. 10. Het verschil tussen hen 2x .

Vandaar de vergelijking:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Vanaf hier x = 2. Een van de gewenste nummers is 12 , ander 8 . Beslissing x = -2 want Diophantus bestaat niet, aangezien de Griekse wiskunde alleen positieve getallen kende.

Als we dit probleem oplossen door een van de gewenste getallen als het onbekende te kiezen, komen we tot de oplossing van de vergelijking

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Het is duidelijk dat Diophantus de oplossing vereenvoudigt door het halve verschil van de gewenste getallen als het onbekende te kiezen; hij slaagt erin het probleem terug te brengen tot het oplossen van een onvolledige kwadratische vergelijking (1).

1.3 Kwadratische vergelijkingen in India

Problemen voor kwadratische vergelijkingen zijn al gevonden in het astronomische traktaat "Aryabhattam", samengesteld in 499 door de Indiase wiskundige en astronoom Aryabhatta. Een andere Indiase geleerde, Brahmagupta (7e eeuw), legde uit: algemene regel oplossingen van kwadratische vergelijkingen teruggebracht tot een enkele canonieke vorm:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

In vergelijking (1) zijn de coëfficiënten, behalve a, kan ook negatief zijn. De regel van Brahmagupta valt in wezen samen met de onze.

BIJ oud india openbare wedstrijden bij het oplossen van moeilijke problemen waren heel gewoon. In een van de oude Indiase boeken wordt het volgende gezegd over dergelijke wedstrijden: “Zoals de zon de sterren overtreft met zijn schittering, zo wetenschapper man verduister de glorie van een ander in openbare bijeenkomsten, waarbij algebraïsche problemen worden voorgesteld en opgelost. Taken waren vaak in poëtische vorm gekleed.

Hier is een van de problemen van de beroemde Indiase wiskundige van de twaalfde eeuw. Bhaskara.

Opdracht 13.

"Een speelse kudde apen En twaalf in wijnstokken ...

Na macht te hebben gegeten, plezier gehad. Ze begonnen te springen, hangend ...

Deel acht van hen in een vierkant Hoeveel apen waren er,

Lekker in de wei. Vertel je me, in deze kudde?

Bhaskara's oplossing geeft aan dat hij op de hoogte was van de tweeledigheid van de wortels van kwadratische vergelijkingen (Fig. 3).

De vergelijking die overeenkomt met probleem 13 is:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara schrijft onder het mom van:

x 2 - 64x = -768

en om de linkerkant van deze vergelijking tot een vierkant te maken, voegt hij aan beide zijden toe 32 2 , krijg dan:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x1 = 16, x2 = 48.

1.4 Kwadratische vergelijkingen in al-Khorezmi

Al-Khorezmi's algebraïsche verhandeling geeft een classificatie van lineaire en kwadratische vergelijkingen. De auteur somt 6 soorten vergelijkingen op en drukt ze als volgt uit:

1) "Vierkanten zijn gelijk aan wortels", d.w.z. bijl 2 + c = b X.

2) "Vierkanten zijn gelijk aan nummer", d.w.z. bijl 2 = s.

3) "De wortels zijn gelijk aan het getal", d.w.z. ah = s.

4) "Vierkanten en getallen zijn gelijk aan wortels", d.w.z. bijl 2 + c = b X.

5) "Vierkanten en wortels zijn gelijk aan het getal", d.w.z. ah 2+ bx = s.

6) "Wortels en getallen zijn gelijk aan vierkanten", d.w.z. bx + c \u003d bijl 2.

Voor al-Khwarizmi, die het gebruik van negatieve getallen vermeed, zijn de termen van elk van deze vergelijkingen optellingen, geen aftrekkingen. In dit geval wordt er uiteraard geen rekening gehouden met vergelijkingen die geen positieve oplossingen hebben. De auteur schetst manieren om op te lossen de aangegeven vergelijkingen, met behulp van de technieken van al-jabr en al-muqabala. Zijn beslissingen vallen natuurlijk niet helemaal samen met de onze. Om nog maar te zwijgen van het feit dat het puur retorisch is, moet worden opgemerkt dat bijvoorbeeld bij het oplossen van een onvolledige kwadratische vergelijking van het eerste type

al-Khorezmi houdt, net als alle wiskundigen vóór de 17e eeuw, geen rekening met de nuloplossing, waarschijnlijk omdat het er niet toe doet in specifieke praktische problemen. Bij het oplossen van de volledige kwadratische vergelijkingen van al - Khorezmi op partiële numerieke voorbeelden zet de beslissingsregels uiteen, en vervolgens de geometrische bewijzen.

Opdracht 14.“Het vierkant en het getal 21 zijn gelijk aan 10 wortels. Zoek de wortel" (ervan uitgaande dat de wortel van de vergelijking x 2 + 21 = 10x).

De oplossing van de auteur gaat ongeveer als volgt: deel het aantal wortels doormidden, je krijgt 5, vermenigvuldig 5 met zichzelf, trek 21 af van het product, er blijven 4. Neem de wortel van 4, je krijgt 2. Trek 2 af van 5, je get 3, dit zal de gewenste root zijn. Of voeg 2 tot 5 toe, wat 7 geeft, dit is ook een wortel.

Verhandeling al - Khorezmi is het eerste boek dat tot ons is gekomen, waarin de classificatie van kwadratische vergelijkingen systematisch wordt vermeld en formules voor hun oplossing worden gegeven.

1.5 Kwadratische vergelijkingen in Europa XIII - XVII eeuwen

Formules voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen naar het model van al - Khorezmi in Europa werden voor het eerst uiteengezet in het "Book of the Abacus", geschreven in 1202 door de Italiaanse wiskundige Leonardo Fibonacci. Dit omvangrijke werk, dat de invloed van de wiskunde weerspiegelt, zowel in de landen van de islam als in Het oude Griekenland, verschilt zowel in volledigheid als duidelijkheid van presentatie. De auteur ontwikkelde onafhankelijk enkele nieuwe algebraïsche voorbeelden probleemoplossing en was de eerste in Europa die de introductie van negatieve getallen benaderde. Zijn boek droeg niet alleen bij aan de verspreiding van algebraïsche kennis in Italië, maar ook in Duitsland, Frankrijk en andere Europese landen. Veel taken uit het "Book of the Abacus" gingen over in bijna alle Europese leerboeken van de 16e - 17e eeuw. en gedeeltelijk XVIII.

De algemene regel voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen teruggebracht tot een enkele canonieke vorm:

x 2+ bx = met,

voor alle mogelijke combinaties van tekens van de coëfficiënten b , met werd pas in 1544 in Europa geformuleerd door M. Stiefel.

Afleiding van de formule voor het oplossen van een kwadratische vergelijking in algemeen beeld Viet heeft, maar Viet herkende alleen positieve wortels. De Italiaanse wiskundigen Tartaglia, Cardano, Bombelli behoorden tot de eersten in de 16e eeuw. Houd naast positieve ook rekening met negatieve wortels. Pas in de zeventiende eeuw. Dankzij het werk van Girard, Descartes, Newton en anderen wetenschappers manier het oplossen van kwadratische vergelijkingen neemt een moderne vorm aan.

1.6 Over de stelling van Vieta

De stelling die de relatie uitdrukt tussen de coëfficiënten van een kwadratische vergelijking en zijn wortels, die de naam Vieta draagt, werd door hem voor het eerst in 1591 als volgt geformuleerd: "Als B + D vermenigvuldigd met EEN - EEN 2 , is gelijk aan BD, dan EEN gelijk aan BIJ en gelijk D ».

Om Vieta te begrijpen, moet men onthouden dat MAAR, zoals elke klinker, betekende voor hem het onbekende (onze X), de klinkers BIJ, D- coëfficiënten voor het onbekende. In de taal van de moderne algebra betekent de bovenstaande formulering van Vieta: als

(een + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (een + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

De relatie tussen de wortels en coëfficiënten van de vergelijkingen uitdrukken algemene formules, geschreven met symbolen, bracht Viet uniformiteit tot stand in de methoden voor het oplossen van vergelijkingen. De symboliek van Vieta is echter nog verre van moderne uitstraling. Hij herkende geen negatieve getallen en daarom beschouwde hij bij het oplossen van vergelijkingen alleen gevallen waarin alle wortels positief zijn.

2. Methoden voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen

Kwadratische vergelijkingen zijn de basis waarop het majestueuze bouwwerk van de algebra rust. Kwadratische vergelijkingen worden veel gebruikt bij het oplossen van trigonometrische, exponentiële, logaritmische, irrationele en transcendente vergelijkingen en ongelijkheden. We weten allemaal hoe we kwadratische vergelijkingen moeten oplossen vanaf school (graad 8) tot het afstuderen.

Kwadratische vergelijkingen.

Kwadratische vergelijking- algebraïsche vergelijking algemeen beeld

waarbij x een vrije variabele is,

a, b, c, - coëfficiënten, en

Uitdrukking een vierkante trinominaal genoemd.

Methoden voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen.

1. METHODE: : Factorisatie van de linkerkant van de vergelijking.

Laten we de vergelijking oplossen x 2 + 10x - 24 = 0. Laten we de linkerkant ontbinden in factoren:

x 2 + 10x - 24 \u003d x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

Daarom kan de vergelijking worden herschreven als:

(x + 12)(x - 2) = 0

Aangezien het product nul is, is ten minste één van zijn factoren nul. Daarom verdwijnt de linkerkant van de vergelijking bij x = 2, evenals bij x = - 12. Dit betekent dat het nummer 2 en - 12 zijn de wortels van de vergelijking x 2 + 10x - 24 = 0.

2. METHODE: : Volledige vierkante selectiemethode.

Laten we de vergelijking oplossen x 2 + 6x - 7 = 0. Markeer aan de linkerkant vol plein.

Hiervoor schrijven we de uitdrukking x 2 + 6x in volgende vorm:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

In de resulterende uitdrukking is de eerste term het kwadraat van het getal x, en de tweede is dubbel product x met 3. Om een ​​volledig vierkant te krijgen, moet je daarom 3 2 optellen, aangezien

x 2+ 2 x 3 + 3 2 \u003d (x + 3) 2.

We transformeren nu de linkerkant van de vergelijking

x 2 + 6x - 7 = 0,

optellen en aftrekken 3 2 . We hebben:

x 2 + 6x - 7 = x 2+ 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Dus, gegeven vergelijking kan als volgt worden geschreven:

(x + 3) 2 - 16 = 0, (x + 3) 2 = 16.

Vandaar, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, of x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METHODE: :Oplossing van kwadratische vergelijkingen per formule.

Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking

ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0

op 4a en achtereenvolgens hebben we:

4a 2x2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac \u003d 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b \u003d ± √ b 2 - 4ac,

2ax \u003d - b ± √ b 2 - 4ac,

voorbeelden.

a) Laten we de vergelijking oplossen: 4x2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0 twee verschillende wortels;

Dus in het geval van een positieve discriminant, d.w.z. Bij

b 2 - 4ac >0, de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 heeft twee andere wortel.

b) Laten we de vergelijking oplossen: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a \u003d 4, b \u003d - 4, c \u003d 1, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 \u003d 0,

D=0één wortel;

Dus als de discriminant nul is, d.w.z. b 2 - 4ac = 0, dan de vergelijking

ax 2 + bx + c = 0 heeft een enkele wortel

in) Laten we de vergelijking oplossen: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Deze vergelijking heeft geen wortels.

Dus als de discriminant negatief is, d.w.z. b2-4ac< 0 , de vergelijking

ax 2 + bx + c = 0 heeft geen wortels.

Formule (1) van de wortels van de kwadratische vergelijking ax 2 + bx + c = 0 stelt u in staat om de wortels te vinden ieder kwadratische vergelijking (indien aanwezig), inclusief gereduceerd en onvolledig. Formule (1) wordt verbaal als volgt uitgedrukt: de wortels van een kwadratische vergelijking zijn gelijk aan een breuk waarvan de teller gelijk is aan de tweede coëfficiënt, genomen uit tegengesteld teken, plus minus de vierkantswortel van het kwadraat van deze coëfficiënt zonder verviervoudiging van het product van de eerste coëfficiënt en de vrije term, en de noemer is tweemaal de eerste coëfficiënt.

4. METHODE: Oplossing van vergelijkingen met de stelling van Vieta.

Zoals bekend heeft de gegeven kwadratische vergelijking de vorm

x 2 + px + c = 0.(1)

De wortels ervan voldoen aan de stelling van Vieta, die, wanneer een =1 heeft de vorm

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

Hieruit kunnen we de volgende conclusies trekken (de tekens van de wortels kunnen worden voorspeld uit de coëfficiënten p en q).

a) Als de samenvattende term q van de gereduceerde vergelijking (1) is positief ( q > 0), dan heeft de vergelijking twee wortels van hetzelfde teken en dit is de afgunst van de tweede coëfficiënt p. Als een R< 0 , dan zijn beide wortels negatief als R< 0 , dan zijn beide wortels positief.

Bijvoorbeeld,

x 2 - 3x + 2 = 0; x 1 = 2 en x 2 \u003d 1, als q = 2 > 0 en p=-3< 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 en x 2 \u003d - 1, als q = 7 > 0 en p=8 > 0.

b) Als een gratis lid q van de gereduceerde vergelijking (1) is negatief ( q< 0 ), dan heeft de vergelijking twee wortels van verschillend teken, en de grotere wortel in absolute waarde zal positief zijn als p< 0 , of negatief als p > 0 .

Bijvoorbeeld,

x 2 + 4x - 5 = 0; x 1 = - 5 en x 2 \u003d 1, als q= - 5< 0 en p = 4 > 0;

x 2 - 8x - 9 \u003d 0; x 1 = 9 en x 2 \u003d - 1, als q = - 9< 0 en p=-8< 0.

Voorbeelden.

1) Los de vergelijking op 345x 2 - 137x - 208 = 0.

Beslissing. Als a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), dan

x 1 = 1, x 2 = c / a = -208/345.

Antwoord 1; -208/345.

2) Los de vergelijking op 132x 2 - 247x + 115 = 0.

Beslissing. Als a + b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), dan

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 115/132.

Antwoord 1; 115/132.

B. Als de tweede coëfficiënt b = 2k een even getal is, dan is de formule van de wortels

Voorbeeld.

Laten we de vergelijking oplossen 3x2 - 14x + 16 = 0.

Beslissing. We hebben: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

D \u003d k 2 - ac \u003d (- 7) 2 - 3 16 \u003d 49 - 48 \u003d 1, D\u003e 0, twee verschillende wortels;

Antwoord: 2; 8/3

BIJ. gereduceerde vergelijking

x 2 + px + q \u003d 0

samenvalt met de algemene vergelijking, waarin: een = 1, b = p en c = q. Daarom, voor de gereduceerde kwadratische vergelijking, de formule voor de wortels

Heeft de vorm:

Formule (3) is vooral handig om te gebruiken wanneer: R- even getal.

Voorbeeld. Laten we de vergelijking oplossen x 2 - 14x - 15 = 0.

Beslissing. We hebben: x 1.2 \u003d 7 ±

Antwoord: x 1 = 15; x 2 \u003d -1.

5. METHODE: Vergelijkingen grafisch oplossen.

Voorbeeld. Los de vergelijking x2 - 2x - 3 = 0 op.

Laten we de functie y \u003d x2 - 2x - 3 . plotten

1) We hebben: a = 1, b = -2, x0 = 1, y0 = f(1)= 12 - 2 - 3= -4. Dit betekent dat het punt (1; -4) het hoekpunt van de parabool is en de rechte lijn x \u003d 1 de as van de parabool.

2) Neem twee punten op de x-as die symmetrisch zijn rond de as van de parabool, bijvoorbeeld de punten x \u003d -1 en x \u003d 3.

We hebben f(-1) = f(3) = 0. We construeren op coördinaatvlak punten (-1; 0) en (3; 0).

3) Door de punten (-1; 0), (1; -4), (3; 0) trekken we een parabool (Fig. 68).

De wortels van de vergelijking x2 - 2x - 3 = 0 zijn de abscis van de snijpunten van de parabool met de x-as; dus de wortels van de vergelijking zijn: x1 = - 1, x2 - 3.

Met dit wiskundeprogramma kun je kwadratische vergelijking oplossen.

Het programma geeft niet alleen het antwoord op het probleem, maar geeft ook het oplossingsproces op twee manieren weer:
- gebruik van de discriminant
- gebruik maken van de stelling van Vieta (indien mogelijk).

Bovendien wordt het antwoord exact weergegeven, niet bij benadering.
Voor de vergelijking \(81x^2-16x-1=0\) wordt het antwoord bijvoorbeeld in deze vorm weergegeven:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ in plaats van dit: \(x_1 = 0.247; \ quad x_2 = -0,05 \)

Dit programma Kan handig zijn voor middelbare scholieren scholen voor algemeen onderwijs ter voorbereiding op controle werk en examens, bij het testen van kennis voor het examen, ouders om de oplossing van veel problemen in wiskunde en algebra te beheersen. Of is het misschien te duur voor je om een ​​bijlesdocent in te huren of nieuwe studieboeken te kopen? Of wil je het gewoon zo snel mogelijk gedaan hebben? huiswerk wiskunde of algebra? In dit geval kunt u onze programma's ook gebruiken met een gedetailleerde oplossing.

Zo kunt u uw eigen opleiding en/of het trainen van hun jongere broers of zusters, terwijl het opleidingsniveau op het gebied van op te lossen taken stijgt.

Als u niet bekend bent met de regels voor het invoeren van een vierkante polynoom, raden we u aan er vertrouwd mee te raken.

Regels voor het invoeren van een vierkante veelterm

Elke Latijnse letter kan als variabele fungeren.
Bijvoorbeeld: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) enz.

Getallen kunnen worden ingevoerd als gehele getallen of breuken.
Bovendien, fractionele getallen kan niet alleen als decimaal worden ingevoerd, maar ook als een gewone breuk.

Regels voor het invoeren van decimale breuken.
In decimale breuken kan het breukdeel van het gehele getal worden gescheiden door een punt of een komma.
U kunt bijvoorbeeld decimalen dus: 2,5x - 3,5x^2

Regels voor het invoeren van gewone breuken.
Alleen een geheel getal kan fungeren als teller, noemer en geheel getal van een breuk.

De noemer kan niet negatief zijn.

Bij het invoeren van een numerieke breuk wordt de teller gescheiden van de noemer door een deelteken: /
hele deel gescheiden van de breuk door een ampersand: &
Invoer: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Resultaat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Bij het invoeren van een uitdrukking je kunt haakjes gebruiken. In dit geval wordt bij het oplossen van een kwadratische vergelijking eerst de geïntroduceerde uitdrukking vereenvoudigd.
Bijvoorbeeld: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Beslissen

Er is vastgesteld dat sommige scripts die nodig zijn om deze taak op te lossen, niet zijn geladen en dat het programma mogelijk niet werkt.
Mogelijk hebt u AdBlock ingeschakeld.
Schakel het in dit geval uit en vernieuw de pagina.

Je hebt JavaScript uitgeschakeld in je browser.
JavaScript moet zijn ingeschakeld om de oplossing te laten verschijnen.
Hier zijn instructies voor het inschakelen van JavaScript in uw browser.

Omdat Er zijn veel mensen die het probleem willen oplossen, uw verzoek staat in de wachtrij.
Na een paar seconden verschijnt de oplossing hieronder.
Wacht, alsjeblieft zie...

als jij merkte een fout op in de oplossing, dan kun je erover schrijven in het Feedback Form .
Vergeet niet aangeven welke taak jij bepaalt wat vul de velden in.

Onze spellen, puzzels, emulators:

Een beetje theorie.

Kwadratische vergelijking en zijn wortels. Onvolledige kwadratische vergelijkingen

Elk van de vergelijkingen
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
heeft de vorm
\(ax^2+bx+c=0, \)
waarbij x een variabele is, a, b en c getallen zijn.
In de eerste vergelijking a = -1, b = 6 en c = 1,4, in de tweede a = 8, b = -7 en c = 0, in de derde a = 1, b = 0 en c = 4/9. Dergelijke vergelijkingen worden genoemd kwadratische vergelijkingen.

Definitie.
kwadratische vergelijking een vergelijking van de vorm ax 2 +bx+c=0 wordt aangeroepen, waarbij x een variabele is, a, b en c enkele getallen, en \(a \neq 0 \).

De getallen a, b en c zijn de coëfficiënten van de kwadratische vergelijking. Het getal a wordt de eerste coëfficiënt genoemd, het getal b is de tweede coëfficiënt en het getal c is het snijpunt.

In elk van de vergelijkingen van de vorm ax 2 +bx+c=0, waarbij \(a \neq 0 \), is de grootste macht van de variabele x een vierkant. Vandaar de naam: kwadratische vergelijking.

Merk op dat een kwadratische vergelijking ook een vergelijking van de tweede graad wordt genoemd, omdat de linkerkant ervan een polynoom van de tweede graad is.

Een kwadratische vergelijking waarin de coëfficiënt bij x 2 gelijk is aan 1 heet gereduceerde kwadratische vergelijking. De gegeven kwadratische vergelijkingen zijn bijvoorbeeld de vergelijkingen
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Als in de kwadratische vergelijking ax 2 +bx+c=0 tenminste één van de coëfficiënten b of c gelijk is aan nul, dan heet zo'n vergelijking onvolledige kwadratische vergelijking. Dus de vergelijkingen -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 zijn onvolledige kwadratische vergelijkingen. In de eerste b=0, in de tweede c=0, in de derde b=0 en c=0.

Onvolledige kwadratische vergelijkingen zijn van drie soorten:
1) ax 2 +c=0, waarbij \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, waarbij \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Overweeg de oplossing van vergelijkingen van elk van deze typen.

Om een ​​onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 +c=0 voor \(c \neq 0 \) op te lossen, wordt de vrije term overgedragen naar rechter zijde en deel beide zijden van de vergelijking door a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rechts x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Aangezien \(c \neq 0 \), dan is \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Als \(-\frac(c)(a)>0 \), dan heeft de vergelijking twee wortels.

Als \(-\frac(c)(a) Om een ​​onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 +bx=0 op te lossen voor \(b \neq 0 \) ontbind je de linkerkant ervan en verkrijg je de vergelijking
\(x(ax+b)=0 \Rechterpijl \links\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \rechts. \Rechtspijl \links\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Een onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 +bx=0 voor \(b \neq 0 \) heeft dus altijd twee wortels.

Een onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 \u003d 0 is gelijk aan de vergelijking x 2 \u003d 0 en heeft daarom een ​​enkele wortel 0.

De formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking

Laten we nu eens kijken hoe kwadratische vergelijkingen worden opgelost waarin zowel de coëfficiënten van de onbekenden als de vrije term niet nul zijn.

We lossen de kwadratische vergelijking op in algemene vorm en als resultaat krijgen we de formule van de wortels. Dan kan deze formule worden toegepast om elke kwadratische vergelijking op te lossen.

Los de kwadratische vergelijking ax 2 +bx+c=0 . op

Door beide delen te delen door a, verkrijgen we de equivalente gereduceerde kwadratische vergelijking
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

We transformeren deze vergelijking door het kwadraat van de binomiaal te markeren:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Pijl naar rechts \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rechts x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rechterpijl \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

De worteluitdrukking heet discriminant van een kwadratische vergelijking ax 2 +bx+c=0 (“discriminant” in het Latijn - onderscheiding). Het wordt aangegeven met de letter D, d.w.z.
\(D = b^2-4ac\)

Nu, met behulp van de notatie van de discriminant, herschrijven we de formule voor de wortels van de kwadratische vergelijking:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), waarbij \(D= b^2-4ac \)

Het is duidelijk dat:
1) Als D>0, dan heeft de kwadratische vergelijking twee wortels.
2) Als D=0, dan heeft de kwadratische vergelijking één wortel \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Als D Dus, afhankelijk van de waarde van de discriminant, kan de kwadratische vergelijking twee wortels hebben (voor D > 0), één wortel (voor D = 0) of geen wortels (voor D Bij het oplossen van een kwadratische vergelijking met behulp van deze formule , is het raadzaam om op de volgende manier te handelen:
1) bereken de discriminant en vergelijk deze met nul;
2) als de discriminant positief of gelijk aan nul is, gebruik dan de wortelformule, als de discriminant negatief is, noteer dan dat er geen wortels zijn.

Stelling van Vieta

De gegeven kwadratische vergelijking ax 2 -7x+10=0 heeft wortels 2 en 5. De som van de wortels is 7 en het product is 10. We zien dat de som van de wortels gelijk is aan de tweede coëfficiënt, genomen met de tegengesteld teken, en het product van de wortels is gelijk aan de vrije term. Elke gereduceerde kwadratische vergelijking met wortels heeft deze eigenschap.

De som van de wortels van de gegeven kwadratische vergelijking is gelijk aan de tweede coëfficiënt, genomen met het tegenovergestelde teken, en het product van de wortels is gelijk aan de vrije term.

Die. De stelling van Vieta stelt dat de wortels x 1 en x 2 van de gereduceerde kwadratische vergelijking x 2 +px+q=0 de eigenschap hebben:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Eerste level

Kwadratische vergelijkingen. Uitgebreide gids (2019)

In de term "kwadratische vergelijking" is het sleutelwoord "kwadratisch". Dit betekent dat de vergelijking noodzakelijkerwijs een variabele (dezelfde X) in het kwadraat moet bevatten en tegelijkertijd geen X'en in de derde (of hogere) graad.

De oplossing van veel vergelijkingen wordt gereduceerd tot de oplossing van kwadratische vergelijkingen.

Laten we leren bepalen dat we een kwadratische vergelijking hebben, en niet een andere.

voorbeeld 1

Verwijder de noemer en vermenigvuldig elke term van de vergelijking met

Laten we alles naar de linkerkant verplaatsen en de termen rangschikken in aflopende volgorde van machten van x

Nu kunnen we met vertrouwen zeggen dat deze vergelijking kwadratisch is!

Voorbeeld 2

Vermenigvuldig de linker- en rechterkant met:

Deze vergelijking, hoewel hij er oorspronkelijk in zat, is geen vierkant!

Voorbeeld 3

Laten we alles vermenigvuldigen met:

Eng? De vierde en tweede graad ... Als we echter een vervanging maken, zullen we zien dat we een eenvoudige kwadratische vergelijking hebben:

Voorbeeld 4

Het lijkt zo te zijn, maar laten we het eens nader bekijken. Laten we alles naar de linkerkant verplaatsen:

Zie je, het is gekrompen - en nu is het een eenvoudige lineaire vergelijking!

Probeer nu voor jezelf te bepalen welke van de volgende vergelijkingen kwadratisch zijn en welke niet:

Voorbeelden:

antwoorden:

1. plein;
2. plein;
3. niet vierkant;
4. niet vierkant;
5. niet vierkant;
6. plein;
7. niet vierkant;
8. plein.

Wiskundigen verdelen voorwaardelijk alle kwadratische vergelijkingen in de volgende typen:

• Volledige kwadratische vergelijkingen- vergelijkingen waarin de coëfficiënten en, evenals de vrije term c, niet gelijk zijn aan nul (zoals in het voorbeeld). Bovendien zijn er onder de volledige kwadratische vergelijkingen: gegeven zijn vergelijkingen waarin de coëfficiënt (de vergelijking uit voorbeeld één is niet alleen compleet, maar ook gereduceerd!)

• Onvolledige kwadratische vergelijkingen- vergelijkingen waarin de coëfficiënt en/of vrije term c gelijk is aan nul:

  Ze zijn onvolledig omdat er een element in ontbreekt. Maar de vergelijking moet altijd x kwadraat bevatten !!! Anders is het niet langer een kwadratische vergelijking, maar een andere vergelijking.

Waarom hebben ze zo'n indeling bedacht? Het lijkt erop dat er een X-kwadraat is, en oké. Een dergelijke verdeling is te wijten aan de oplossingsmethoden. Laten we elk van hen in meer detail bekijken.

Onvolledige kwadratische vergelijkingen oplossen

Laten we ons eerst concentreren op het oplossen van onvolledige kwadratische vergelijkingen - ze zijn veel eenvoudiger!

Onvolledige kwadratische vergelijkingen zijn van het type:

1. , in deze vergelijking is de coëfficiënt gelijk.
2. , in deze vergelijking is de vrije term gelijk aan.
3. , in deze vergelijking zijn de coëfficiënt en de vrije term gelijk.

1. ik. Omdat we weten hoe we moeten extraheren Vierkantswortel, laten we dan uitdrukken vanuit deze vergelijking

De uitdrukking kan zowel negatief als positief zijn. Een gekwadrateerd getal kan niet negatief zijn, want als je twee negatieve of twee positieve getallen vermenigvuldigt, is het resultaat altijd positief nummer, dus: als, dan heeft de vergelijking geen oplossingen.

En als, dan krijgen we twee wortels. Deze formules hoeven niet te worden onthouden. Het belangrijkste is dat je altijd moet weten en onthouden dat het niet minder kan zijn.

Laten we proberen enkele voorbeelden op te lossen.

Voorbeeld 5:

Los De vergelijking op

Nu blijft het om de wortel uit de linker- en rechterdelen te extraheren. Weet je tenslotte nog hoe je de wortels moet extraheren?

Antwoord:

Vergeet nooit wortels met een negatief teken!!!

Voorbeeld 6:

Los De vergelijking op

Antwoord:

Voorbeeld 7:

Los De vergelijking op

Au! Het kwadraat van een getal kan niet negatief zijn, wat betekent dat de vergelijking

geen wortels!

Voor dergelijke vergelijkingen waarin geen wortels zijn, bedachten wiskundigen een speciaal pictogram - (lege set). En het antwoord kan als volgt worden geschreven:

Antwoord:

Deze kwadratische vergelijking heeft dus twee wortels. Er zijn hier geen beperkingen, omdat we de wortel niet hebben geëxtraheerd.
Voorbeeld 8:

Los De vergelijking op

Laten we de gemeenschappelijke factor tussen haakjes halen:

Dus,

Deze vergelijking heeft twee wortels.

Antwoord:

Het eenvoudigste type onvolledige kwadratische vergelijkingen (hoewel ze allemaal eenvoudig zijn, toch?). Het is duidelijk dat deze vergelijking altijd maar één wortel heeft:

Hier zullen we het doen zonder voorbeelden.

Volledige kwadratische vergelijkingen oplossen

We herinneren je eraan dat de volledige kwadratische vergelijking een vergelijking is van de vormvergelijking waarbij:

Het oplossen van volledige kwadratische vergelijkingen is een beetje ingewikkelder (een klein beetje) dan de gegeven.

Onthouden, elke kwadratische vergelijking kan worden opgelost met behulp van de discriminant! Zelfs onvolledig.

De rest van de methoden zal je helpen het sneller te doen, maar als je problemen hebt met kwadratische vergelijkingen, moet je eerst de oplossing beheersen met behulp van de discriminant.

1. Kwadratische vergelijkingen oplossen met behulp van de discriminant.

Het op deze manier oplossen van kwadratische vergelijkingen is heel eenvoudig, het belangrijkste is om de volgorde van acties en een aantal formules te onthouden.

Als, dan heeft de vergelijking een wortel Speciale aandacht een stap tekenen. De discriminant () vertelt ons het aantal wortels van de vergelijking.

• Als, dan wordt de formule bij de stap teruggebracht tot. De vergelijking heeft dus alleen een wortel.
• Als, dan zullen we niet in staat zijn om de wortel van de discriminant bij de stap te extraheren. Dit geeft aan dat de vergelijking geen wortels heeft.

Laten we teruggaan naar onze vergelijkingen en een paar voorbeelden bekijken.

Voorbeeld 9:

Los De vergelijking op

Stap 1 overslaan.

Stap 2

De discriminant vinden:

De vergelijking heeft dus twee wortels.

Stap 3

Antwoord:

Voorbeeld 10:

Los De vergelijking op

De vergelijking is in standaardvorm, dus Stap 1 overslaan.

Stap 2

De discriminant vinden:

De vergelijking heeft dus één wortel.

Antwoord:

Voorbeeld 11:

Los De vergelijking op

De vergelijking is in standaardvorm, dus Stap 1 overslaan.

Stap 2

De discriminant vinden:

Dit betekent dat we de wortel niet uit de discriminant kunnen halen. Er zijn geen wortels van de vergelijking.

Nu weten we hoe we dergelijke antwoorden correct moeten opschrijven.

Antwoord: geen wortels

2. Oplossing van kwadratische vergelijkingen met behulp van de stelling van Vieta.

Als je het je herinnert, is er zo'n type vergelijking dat gereduceerd wordt genoemd (wanneer de coëfficiënt a gelijk is aan):

Dergelijke vergelijkingen zijn heel eenvoudig op te lossen met de stelling van Vieta:

De som van de wortels gegeven kwadratische vergelijking is gelijk, en het product van de wortels is gelijk.

Voorbeeld 12:

Los De vergelijking op

Deze vergelijking is geschikt om op te lossen met de stelling van Vieta, omdat: .

De som van de wortels van de vergelijking is, d.w.z. krijgen we de eerste vergelijking:

En het product is:

Laten we het systeem maken en oplossen:

• en. De som is;
• en. De som is;
• en. Het bedrag is gelijk.

en zijn de oplossing van het systeem:

Antwoord: ; .

Voorbeeld 13:

Los De vergelijking op

Antwoord:

Voorbeeld 14:

Los De vergelijking op

De vergelijking wordt verminderd, wat betekent:

Antwoord:

KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN. MIDDEN NIVEAU

Wat is een kwadratische vergelijking?

Met andere woorden, een kwadratische vergelijking is een vergelijking van de vorm, waarbij - onbekend, - bovendien enkele getallen.

Het nummer heet het hoogste of eerste coëfficiënt kwadratische vergelijking, - tweede coëfficiënt, a - gratis lid.

Waarom? Omdat als, de vergelijking onmiddellijk lineair wordt, omdat zal verdwijnen.

In dit geval kan en gelijk zijn aan nul. In deze ontlasting wordt de vergelijking onvolledig genoemd. Als alle termen aanwezig zijn, is de vergelijking voltooid.

Oplossingen voor verschillende soorten kwadratische vergelijkingen

Methoden voor het oplossen van onvolledige kwadratische vergelijkingen:

Om te beginnen zullen we de methoden analyseren voor het oplossen van onvolledige kwadratische vergelijkingen - ze zijn eenvoudiger.

De volgende soorten vergelijkingen kunnen worden onderscheiden:

I. , in deze vergelijking zijn de coëfficiënt en de vrije term gelijk.

II. , in deze vergelijking is de coëfficiënt gelijk.

III. , in deze vergelijking is de vrije term gelijk aan.

Beschouw nu de oplossing van elk van deze subtypen.

Het is duidelijk dat deze vergelijking altijd maar één wortel heeft:

Een getal in het kwadraat kan niet negatief zijn, omdat bij het vermenigvuldigen van twee negatieve of twee positieve getallen het resultaat altijd een positief getal is. Dus:

als, dan heeft de vergelijking geen oplossingen;

als we twee wortels hebben

Deze formules hoeven niet te worden onthouden. Het belangrijkste om te onthouden is dat het niet minder kan zijn.

Voorbeelden:

Oplossingen:

Antwoord:

Vergeet nooit wortels met een negatief teken!

Het kwadraat van een getal kan niet negatief zijn, wat betekent dat de vergelijking

geen wortels.

Om kort te schrijven dat het probleem geen oplossingen heeft, gebruiken we het lege set-pictogram.

Antwoord:

Deze vergelijking heeft dus twee wortels: en.

Antwoord:

Laten we de gemeenschappelijke factor tussen haakjes halen:

Het product is gelijk aan nul als tenminste één van de factoren gelijk is aan nul. Dit betekent dat de vergelijking een oplossing heeft als:

Deze kwadratische vergelijking heeft dus twee wortels: en.

Voorbeeld:

Los De vergelijking op.

Beslissing:

We ontbinden de linkerkant van de vergelijking en vinden de wortels:

Antwoord:

Methoden voor het oplossen van volledige kwadratische vergelijkingen:

1. Discriminerend

Het op deze manier oplossen van kwadratische vergelijkingen is eenvoudig, het belangrijkste is om de volgorde van acties en een aantal formules te onthouden. Onthoud dat elke kwadratische vergelijking kan worden opgelost met behulp van de discriminant! Zelfs onvolledig.

Heb je de wortel van de discriminant opgemerkt in de wortelformule? Maar de discriminant kan negatief zijn. Wat moeten we doen? We moeten speciale aandacht besteden aan stap 2. De discriminant vertelt ons het aantal wortels van de vergelijking.

• Als, dan heeft de vergelijking een wortel:
• Als, dan heeft de vergelijking dezelfde wortel, maar in feite één wortel:

  Dergelijke wortels worden dubbele wortels genoemd.

• Als, dan wordt de wortel van de discriminant niet geëxtraheerd. Dit geeft aan dat de vergelijking geen wortels heeft.

Waarom is het mogelijk? ander bedrag wortels? Laten we naar gaan meetkundig gevoel kwadratische vergelijking. De grafiek van de functie is een parabool:

In een bepaald geval, dat een kwadratische vergelijking is, . En dit betekent dat de wortels van de kwadratische vergelijking de snijpunten zijn met de x-as (as). De parabool mag de as helemaal niet kruisen, of hij kan hem op één (wanneer de bovenkant van de parabool op de as ligt) of op twee punten snijden.

Bovendien is de coëfficiënt verantwoordelijk voor de richting van de takken van de parabool. Als, dan zijn de takken van de parabool naar boven gericht, en als - dan naar beneden.

Voorbeelden:

Oplossingen:

Antwoord:

Antwoord: .

Antwoord:

Dit betekent dat er geen oplossingen zijn.

Antwoord: .

2. Stelling van Vieta

Het gebruik van de Vieta-stelling is heel eenvoudig: je hoeft alleen maar een paar getallen te kiezen waarvan het product gelijk is aan de vrije term van de vergelijking, en de som is gelijk aan de tweede coëfficiënt, genomen met het tegenovergestelde teken.

Het is belangrijk om te onthouden dat de stelling van Vieta alleen kan worden toegepast op: gegeven kwadratische vergelijkingen ().

Laten we een paar voorbeelden bekijken:

Voorbeeld 1:

Los De vergelijking op.

Beslissing:

Deze vergelijking is geschikt om op te lossen met de stelling van Vieta, omdat: . Andere coëfficiënten: ; .

De som van de wortels van de vergelijking is:

En het product is:

Laten we zulke getallenparen selecteren, waarvan het product gelijk is, en controleren of hun som gelijk is:

• en. De som is;
• en. De som is;
• en. Het bedrag is gelijk.

en zijn de oplossing van het systeem:

Dus, en zijn de wortels van onze vergelijking.

Antwoord: ; .

Voorbeeld #2:

Beslissing:

We selecteren dergelijke getallenparen die het product opleveren en controleren vervolgens of hun som gelijk is:

en: totaal geven.

en: totaal geven. Om het te krijgen, hoeft u alleen maar de tekenen van de vermeende wortels te veranderen: en tenslotte het product.

Antwoord:

Voorbeeld #3:

Beslissing:

De vrije term van de vergelijking is negatief, en dus het product van de wortels - een negatief getal. Dit is alleen mogelijk als een van de wortels negatief is en de andere positief. Dus de som van de wortels is verschillen van hun modules.

We selecteren dergelijke paren getallen die het product opleveren en waarvan het verschil gelijk is aan:

en: hun verschil is - niet geschikt;

en: - niet geschikt;

en: - niet geschikt;

en: - geschikt. Het blijft alleen om te onthouden dat een van de wortels negatief is. Aangezien hun som gelijk moet zijn, moet de wortel, die kleiner is in absolute waarde, negatief zijn: . Wij controleren:

Antwoord:

Voorbeeld #4:

Los De vergelijking op.

Beslissing:

De vergelijking wordt verminderd, wat betekent:

De vrije term is negatief en daarom is het product van de wortels negatief. En dit is alleen mogelijk als de ene wortel van de vergelijking negatief is en de andere positief.

We selecteren dergelijke getallenparen waarvan het product gelijk is en bepalen vervolgens welke wortels een negatief teken moeten hebben:

Uiteraard zijn alleen wortels en geschikt voor de eerste voorwaarde:

Antwoord:

Voorbeeld #5:

Los De vergelijking op.

Beslissing:

De vergelijking wordt verminderd, wat betekent:

De som van de wortels is negatief, wat betekent dat ten minste één van de wortels negatief is. Maar omdat hun product positief is, betekent dit dat beide wortels min zijn.

We selecteren dergelijke paren getallen, waarvan het product gelijk is aan:

Uiteraard zijn de wortels de getallen en.

Antwoord:

Mee eens, het is erg handig - om wortels mondeling uit te vinden, in plaats van deze vervelende discriminant te tellen. Probeer de stelling van Vieta zo vaak mogelijk te gebruiken.

Maar de stelling van Vieta is nodig om het vinden van de wortels te vergemakkelijken en te versnellen. Om het voor u winstgevend te maken om het te gebruiken, moet u de acties automatiseren. En los hiervoor nog vijf voorbeelden op. Maar speel niet vals: je kunt de discriminant niet gebruiken! Alleen de stelling van Vieta:

Oplossingen voor taken voor zelfstandig werk:

Taak 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Volgens de stelling van Vieta:

Zoals gebruikelijk starten we de selectie met het product:

Niet geschikt vanwege de hoeveelheid;

: het bedrag is wat je nodig hebt.

Antwoord: ; .

Taak 2.

En nogmaals, onze favoriete stelling van Vieta: de som zou moeten kloppen, maar het product is gelijk.

Maar omdat het niet zo zou moeten zijn, veranderen we de tekens van de wortels: en (in totaal).

Antwoord: ; .

Taak 3.

Hmm... Waar is het?

Het is noodzakelijk om alle voorwaarden in één deel over te brengen:

De som van de wortels is gelijk aan het product.

Ja, hou op! De vergelijking wordt niet gegeven. Maar de stelling van Vieta is alleen van toepassing in de gegeven vergelijkingen. Dus eerst moet je de vergelijking brengen. Als je het niet naar voren kunt brengen, laat dit idee dan vallen en los het op een andere manier op (bijvoorbeeld via de discriminant). Laat me je eraan herinneren dat het brengen van een kwadratische vergelijking betekent dat de leidende coëfficiënt gelijk is aan:

Prima. Dan is de som van de wortels gelijk, en het product.

Het is hier makkelijker op te pikken: tenslotte - een priemgetal (sorry voor de tautologie).

Antwoord: ; .

Taak 4.

De vrije termijn is negatief. Wat is er zo speciaal aan? En het feit dat de wortels verschillende tekens zullen hebben. En nu, tijdens de selectie, controleren we niet de som van de wortels, maar het verschil tussen hun modules: dit verschil is gelijk, maar het product.

Dus de wortels zijn gelijk en, maar één ervan is met een min. De stelling van Vieta vertelt ons dat de som van de wortels gelijk is aan de tweede coëfficiënt met het tegenovergestelde teken, dat wil zeggen. Dit betekent dat de kleinere wortel een min heeft: en, sinds.

Antwoord: ; .

Opdracht 5.

Wat moet er eerst gebeuren? Dat klopt, geef de vergelijking:

Nogmaals: we selecteren de factoren van het getal en hun verschil moet gelijk zijn aan:

De wortels zijn gelijk en, maar één ervan is min. Die? Hun som moet gelijk zijn, wat betekent dat met een min er een grotere wortel zal zijn.

Antwoord: ; .

Laat me samenvatten:

1. De stelling van Vieta wordt alleen gebruikt in de gegeven kwadratische vergelijkingen.
2. Met behulp van de stelling van Vieta kun je de wortels vinden door selectie, mondeling.
3. Als de vergelijking niet wordt gegeven of er is geen geschikt paar factoren van de vrije term gevonden, dan zijn er geen gehele wortels en moet je deze op een andere manier oplossen (bijvoorbeeld via de discriminant).

3. Volledige vierkante selectiemethode

Als alle termen die het onbekende bevatten worden weergegeven als termen uit de formules van verkorte vermenigvuldiging - het kwadraat van de som of het verschil - dan kan de vergelijking na de verandering van variabelen worden weergegeven als een onvolledige kwadratische vergelijking van het type.

Bijvoorbeeld:

Voorbeeld 1:

Los De vergelijking op: .

Beslissing:

Antwoord:

Voorbeeld 2:

Los De vergelijking op: .

Beslissing:

Antwoord:

Over het algemeen ziet de transformatie er als volgt uit:

Dit houdt in: .

Doet het je nergens aan denken? Het is de discriminerende! Dat is precies hoe de discriminantformule werd verkregen.

KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN. KORT OVER DE HOOFDSTUK

Kwadratische vergelijking is een vergelijking van de vorm, waar is de onbekende, zijn de coëfficiënten van de kwadratische vergelijking, is de vrije term.

Volledige kwadratische vergelijking- een vergelijking waarin de coëfficiënten niet gelijk zijn aan nul.

Gereduceerde kwadratische vergelijking- een vergelijking waarin de coëfficiënt, dat wil zeggen: .

Onvolledige kwadratische vergelijking- een vergelijking waarin de coëfficiënt en/of vrije term c gelijk is aan nul:

• als de coëfficiënt, heeft de vergelijking de vorm: ,
• als het een vrije term is, heeft de vergelijking de vorm: ,
• als en, de vergelijking heeft de vorm: .

1. Algoritme voor het oplossen van onvolledige kwadratische vergelijkingen

1.1. Een onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm, waarbij:

1) Druk het onbekende uit: ,

2) Controleer het teken van de uitdrukking:

• als, dan heeft de vergelijking geen oplossingen,
• als, dan heeft de vergelijking twee wortels.

1.2. Een onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm, waarbij:

1) Laten we de gemeenschappelijke factor tussen haakjes halen: ,

2) Het product is gelijk aan nul als tenminste één van de factoren gelijk is aan nul. Daarom heeft de vergelijking twee wortels:

1.3. Een onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm, waarbij:

Deze vergelijking heeft altijd maar één wortel: .

2. Algoritme voor het oplossen van volledige kwadratische vergelijkingen van de vorm waarin

2.1. Oplossing met behulp van de discriminant

1) We brengen de vergelijking naar standaardweergave: ,

2) Bereken de discriminant met behulp van de formule: , die het aantal wortels van de vergelijking aangeeft:

3) Zoek de wortels van de vergelijking:

• als, dan heeft de vergelijking een wortel, die wordt gevonden door de formule:
• als, dan heeft de vergelijking een wortel, die wordt gevonden door de formule:
• als, dan heeft de vergelijking geen wortels.

2.2. Oplossing met behulp van de stelling van Vieta

De som van de wortels van de gereduceerde kwadratische vergelijking (een vergelijking van de vorm, waarbij) is gelijk, en het product van de wortels is gelijk, d.w.z. , a.

2.3. Volledige vierkante oplossing

Kwadratische vergelijkingen worden bestudeerd in groep 8, dus er is hier niets ingewikkelds. Het vermogen om ze op te lossen is essentieel.

Een kwadratische vergelijking is een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, waarbij de coëfficiënten a , b en c willekeurige getallen zijn, en a ≠ 0.

Voor het studeren specifieke methoden oplossingen, merken we op dat alle kwadratische vergelijkingen voorwaardelijk in drie klassen kunnen worden verdeeld:

1. Heb geen wortels;
2. Ze hebben precies één wortel;
3. Ze hebben twee verschillende wortels.

Dit is een belangrijk verschil tussen kwadratische en lineaire vergelijkingen, waarbij de wortel altijd bestaat en uniek is. Hoe bepaal je hoeveel wortels een vergelijking heeft? Hier is iets geweldigs voor - discriminerend.

discriminerend

Stel dat de kwadratische vergelijking ax 2 + bx + c = 0. Dan is de discriminant gewoon het getal D = b 2 − 4ac .

Deze formule moet je uit je hoofd kennen. Waar het vandaan komt is nu niet belangrijk. Een ander ding is belangrijk: aan het teken van de discriminant kun je bepalen hoeveel wortels een kwadratische vergelijking heeft. Namelijk:

1. Als D< 0, корней нет;
2. Als D = 0, is er precies één wortel;
3. Als D > 0, zijn er twee wortels.

Let op: de discriminant geeft het aantal wortels aan, en helemaal niet hun tekens, zoals veel mensen om de een of andere reden denken. Bekijk de voorbeelden en u begrijpt alles zelf:

Taak. Hoeveel wortels hebben kwadratische vergelijkingen:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

We schrijven de coëfficiënten voor de eerste vergelijking en vinden de discriminant:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Dus de discriminant is positief, dus de vergelijking heeft twee verschillende wortels. We analyseren de tweede vergelijking op dezelfde manier:
een = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

De discriminant is negatief, er zijn geen wortels. De laatste vergelijking blijft:
een = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

De discriminant is gelijk aan nul - de wortel zal één zijn.

Merk op dat voor elke vergelijking coëfficiënten zijn uitgeschreven. Ja, het is lang, ja, het is vervelend - maar je haalt de kansen niet door elkaar en maakt geen domme fouten. Kies zelf: snelheid of kwaliteit.

Trouwens, als je "je hand vult", hoef je na een tijdje niet meer alle coëfficiënten op te schrijven. Dergelijke operaties voer je in je hoofd uit. De meeste mensen beginnen dit ergens na 50-70 opgeloste vergelijkingen te doen - in het algemeen niet zo veel.

De wortels van een kwadratische vergelijking

Laten we nu verder gaan met de oplossing. Als de discriminant D > 0, kunnen de wortels worden gevonden met behulp van de formules:

De basisformule voor de wortels van een kwadratische vergelijking

Wanneer D = 0, kunt u elk van deze formules gebruiken - u krijgt hetzelfde getal, wat het antwoord zal zijn. Tot slot, als D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Eerste vergelijking:
x 2 - 2x - 3 = 0 a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ de vergelijking heeft twee wortels. Laten we ze zoeken:

Tweede vergelijking:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ de vergelijking heeft weer twee wortels. Laten we ze zoeken

\[\begin(uitlijnen) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(uitlijnen)\]

Ten slotte de derde vergelijking:
x 2 + 12x + 36 = 0 a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ de vergelijking heeft één wortel. Elke formule kan worden gebruikt. Bijvoorbeeld de eerste:

Zoals je aan de voorbeelden kunt zien, is alles heel eenvoudig. Als je de formules kent en kunt tellen, zijn er geen problemen. Meestal treden fouten op wanneer negatieve coëfficiënten in de formule worden vervangen. Ook hier zal de hierboven beschreven techniek helpen: kijk letterlijk naar de formule, schilder elke stap - en maak snel fouten.

Onvolledige kwadratische vergelijkingen

Het komt voor dat de kwadratische vergelijking enigszins afwijkt van wat in de definitie wordt gegeven. Bijvoorbeeld:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Het is gemakkelijk in te zien dat een van de termen in deze vergelijkingen ontbreekt. Dergelijke kwadratische vergelijkingen zijn zelfs gemakkelijker op te lossen dan standaardvergelijkingen: ze hoeven niet eens de discriminant te berekenen. Laten we daarom een ​​nieuw concept introduceren:

De vergelijking ax 2 + bx + c = 0 wordt een onvolledige kwadratische vergelijking genoemd als b = 0 of c = 0, d.w.z. de coëfficiënt van de variabele x of het vrije element is gelijk aan nul.

Natuurlijk is een heel moeilijk geval mogelijk wanneer beide coëfficiënten gelijk zijn aan nul: b \u003d c \u003d 0. In dit geval heeft de vergelijking de vorm ax 2 \u003d 0. Het is duidelijk dat zo'n vergelijking een enkele heeft wortel: x \u003d 0.

Laten we eens kijken naar andere gevallen. Laat b \u003d 0, dan krijgen we een onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 + c \u003d 0. Laten we het een beetje transformeren:

Aangezien de rekenkundige vierkantswortel alleen bestaat uit een niet-negatief getal, heeft de laatste gelijkheid alleen zin als (−c / a ) ≥ 0. Conclusie:

1. Als een onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 + c = 0 voldoet aan de ongelijkheid (−c / a ) ≥ 0, dan zijn er twee wortels. De formule is hierboven gegeven;
2. Als (−c / a )< 0, корней нет.

Zoals u kunt zien, was de discriminant niet vereist - er zijn helemaal geen complexe berekeningen in onvolledige kwadratische vergelijkingen. In feite is het niet eens nodig om de ongelijkheid (−c / a ) ≥ 0 te onthouden. Het is voldoende om de waarde van x 2 uit te drukken en te kijken wat er aan de andere kant van het gelijkteken staat. Als er een positief getal is, zijn er twee wortels. Als het negatief is, zullen er helemaal geen wortels zijn.

Laten we nu kijken naar vergelijkingen van de vorm ax 2 + bx = 0, waarin het vrije element gelijk is aan nul. Alles is hier eenvoudig: er zullen altijd twee wortels zijn. Het is voldoende om de veelterm te ontbinden:

De gemeenschappelijke factor uit de beugel halen

Het product is gelijk aan nul wanneer ten minste één van de factoren gelijk is aan nul. Hier komen de wortels vandaan. Tot slot zullen we verschillende van deze vergelijkingen analyseren:

Taak. Los kwadratische vergelijkingen op:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 7x = 0 x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Er zijn geen wortels, omdat het vierkant kan niet gelijk zijn aan een negatief getal.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1.5.