Al in basisschool leerlingen werken met breuken. En dan verschijnen ze in elk onderwerp. Het is onmogelijk om acties met deze nummers te vergeten. Daarom moet u alle informatie over gewone en decimale breuken kennen. Deze concepten zijn eenvoudig, het belangrijkste is om alles op volgorde te begrijpen.

Waarom zijn breuken nodig?

De wereld om ons heen bestaat uit hele objecten. Er zijn dus geen aandelen nodig. Maar alledaagse leven dwingt mensen voortdurend om met delen van objecten en dingen te werken.

Chocolade bestaat bijvoorbeeld uit meerdere plakjes. Beschouw de situatie waarin de tegel wordt gevormd door twaalf rechthoeken. Als je het in tweeën deelt, krijg je 6 delen. Het zal goed in drieën worden verdeeld. Maar de vijf zullen geen heel aantal plakjes chocolade kunnen geven.

Trouwens, deze plakjes zijn al breuken. En hun verdere verdeling leidt tot het verschijnen van complexere getallen.

Wat is een "fractie"?

Dit is een getal dat bestaat uit delen van één. Uiterlijk ziet het eruit als twee getallen gescheiden door een horizontale of schuine streep. Deze functie wordt fractioneel genoemd. Het getal bovenaan (links) wordt de teller genoemd. De onderste (rechts) is de noemer.

In feite blijkt de gebroken balk een deelteken te zijn. Dat wil zeggen, de teller kan een deeltal worden genoemd en de noemer kan een deler worden genoemd.

Wat zijn de breuken?

In de wiskunde zijn er maar twee soorten: gewone en decimale breuken. Schoolkinderen maken voor het eerst kennis met basisschool, noemen ze gewoon "fracties". De tweede leren in het 5e leerjaar. Dat is wanneer deze namen verschijnen.

Veelvoorkomende breuken zijn alle breuken die zijn geschreven als twee getallen, gescheiden door een balk. Bijvoorbeeld 4/7. Decimaal is een getal waarin het breukdeel een positionele notatie heeft en van het gehele getal wordt gescheiden door een komma. Bijvoorbeeld 4.7. Het moet de leerlingen duidelijk zijn dat de twee gegeven voorbeelden totaal verschillende getallen zijn.

Elk eenvoudige breuk kan worden geschreven als een decimaal. Deze bewering is bijna altijd waar in tegengestelde richting. Er zijn regels waarmee u een decimale breuk als een gewone breuk kunt schrijven.

Welke ondersoorten hebben dit soort breuken?

Beter beginnen bij chronologische volgorde zoals ze worden bestudeerd. eerst gaan gewone breuken. Onder hen kunnen 5 ondersoorten worden onderscheiden.

Juist. De teller is altijd kleiner dan de noemer.

Mis. De teller is groter dan of gelijk aan de noemer.

Reduceerbaar / onreduceerbaar. Het kan goed of fout zijn. Een ander ding is belangrijk, of de teller en noemer gemeenschappelijke factoren hebben. Als dat het geval is, moeten ze beide delen van de breuk delen, dat wil zeggen, verminderen.

Gemengd. Een geheel getal wordt toegewezen aan het gebruikelijke correcte (onjuiste) breukdeel. En het staat altijd aan de linkerkant.

Composiet. Het wordt gevormd uit twee fracties die in elkaar zijn verdeeld. Dat wil zeggen, het heeft drie fractionele functies tegelijk.

Decimalen hebben slechts twee ondersoorten:

definitief, dat wil zeggen, een waarin het fractionele deel beperkt is (heeft een einde);

oneindig - een getal waarvan de cijfers achter de komma niet eindigen (ze kunnen eindeloos worden geschreven).

Hoe decimaal naar gewoon te converteren?

Als dit eindig getal, dan wordt een associatie op basis van de regel toegepast - zoals ik hoor, dus ik schrijf. Dat wil zeggen, u moet het correct lezen en opschrijven, maar zonder een komma, maar met een gebroken lijn.

Als een hint over de vereiste noemer, onthoud dat het altijd een één en een paar nullen is. De laatste moeten zoveel worden geschreven als de cijfers in het fractionele deel van het nummer in kwestie.

Hoe decimale breuken naar gewone breuken te converteren als ze hele deel afwezig, d.w.z. gelijk aan nul? Bijvoorbeeld 0,9 of 0,05. Na het toepassen van de opgegeven regel, blijkt dat u nul gehele getallen moet schrijven. Maar het is niet aangegeven. Het blijft om alleen de fractionele delen op te schrijven. Voor het eerste getal is de noemer 10, voor het tweede - 100. Dat wil zeggen, de aangegeven voorbeelden hebben getallen als antwoorden: 9/10, 5/100. Bovendien blijkt dit laatste mogelijk te verminderen met 5. Daarom moet het resultaat ervoor worden geschreven 1/20.

Like van decimale fractie om een ​​gewone te maken als het gehele deel ervan verschilt van nul? Bijvoorbeeld 5,23 of 13,00108. Beide voorbeelden lezen het gehele deel en schrijven de waarde ervan. In het eerste geval is dit 5, in het tweede geval 13. Dan moet je verder gaan met het fractionele deel. Met hen is het noodzakelijk om dezelfde operatie uit te voeren. Het eerste getal heeft 23/100, het tweede heeft 108/100000. De tweede waarde moet opnieuw worden verlaagd. Het antwoord is gemengde breuken: 5 23/100 en 13 27/25000.

Hoe converteer je een oneindig decimaal naar een gewone breuk?

Als het niet-periodiek is, kan een dergelijke operatie niet worden uitgevoerd. Dit feit is te wijten aan het feit dat elke decimale breuk altijd wordt geconverteerd naar definitief of periodiek.

Het enige dat met zo'n breuk mag worden gedaan, is deze af te ronden. Maar dan zal het decimaalteken ongeveer gelijk zijn aan dat oneindige. Het kan al worden omgezet in een gewone. Maar het omgekeerde proces: converteren naar decimaal - zal nooit geven beginwaarde. Dat wil zeggen, eindeloos niet-periodieke breuken worden niet omgezet in gewoon. Dit moet onthouden worden.

Hoe schrijf je een oneindige periodieke breuk in de vorm van een gewone?

In deze getallen verschijnen altijd een of meer cijfers achter de komma, die worden herhaald. Ze worden perioden genoemd. Bijvoorbeeld 0,3 (3). Hier "3" in de periode. Ze worden geclassificeerd als rationeel, omdat ze kunnen worden omgezet in gewone breuken.

Degenen die periodieke fracties zijn tegengekomen, weten dat ze puur of gemengd kunnen zijn. In het eerste geval begint de punt onmiddellijk vanaf de komma. In de tweede begint het fractionele deel met willekeurige getallen, en dan begint de herhaling.

De regel waarmee u een oneindig decimaalteken in de vorm van een gewone breuk moet schrijven, zal voor deze twee soorten getallen anders zijn. Het is vrij eenvoudig om zuivere periodieke breuken als gewone breuken te schrijven. Net als bij de laatste, moeten ze worden geconverteerd: schrijf de punt in de teller en het getal 9 is de noemer, net zo vaak herhalend als er cijfers in de punt zijn.

Bijvoorbeeld 0, (5). Het getal heeft geen geheel getal, dus u moet onmiddellijk doorgaan naar het breukgedeelte. Schrijf 5 in de teller en schrijf in de noemer 9. Dat wil zeggen dat het antwoord de breuk 5/9 zal zijn.

Een regel voor het schrijven van een gewone decimale breuk die een gemengde breuk is.

Kijk naar de lengte van de periode. Zoveel 9 zal een noemer hebben.

Schrijf de noemer op: eerst negens, dan nullen.

Om de teller te bepalen, moet u het verschil van twee getallen schrijven. Alle cijfers achter de komma worden verminderd, samen met de punt. Aftrekbaar - het is zonder punt.

Bijvoorbeeld 0,5(8) - schrijf de periodieke decimale breuk als een gewone breuk. Het breukdeel voor de punt is één cijfer. Dus nul wordt één. Er is ook maar één cijfer in de periode - 8. Dat wil zeggen, er is maar één negen. Dat wil zeggen, u moet 90 in de noemer schrijven.

Om de teller van 58 te bepalen, moet je 5 aftrekken. Het wordt 53. Je moet bijvoorbeeld 53/90 als antwoord schrijven.

Hoe worden gewone breuken omgezet in decimalen?

door de meesten eenvoudige optie het blijkt dat het getal in de noemer het getal 10, 100 enzovoort is. Vervolgens wordt de noemer gewoon weggegooid en wordt een komma tussen de fractionele en integere delen geplaatst.

Er zijn situaties waarin de noemer gemakkelijk verandert in 10, 100, enz. Bijvoorbeeld de getallen 5, 20, 25. Het is voldoende om ze respectievelijk met 2, 5 en 4 te vermenigvuldigen. Alleen is het nodig om niet alleen de noemer, maar ook de teller met hetzelfde getal te vermenigvuldigen.

Voor alle andere gevallen is een eenvoudige regel handig: deel de teller door de noemer. In dit geval kunt u twee antwoorden krijgen: een definitieve of een periodieke decimale breuk.

Bewerkingen met gewone breuken

Optellen en aftrekken

Studenten leren hen eerder kennen dan anderen. En eerst met breuken dezelfde noemers en dan anders. Algemene regels kunnen worden teruggebracht tot een dergelijk plan.

Zoek het kleinste gemene veelvoud van de noemers.

Schrijf extra factoren op bij alle gewone breuken.

Vermenigvuldig de tellers en noemers met de factoren die voor hen zijn gedefinieerd.

Tel de tellers van breuken op (aftrek) en laat de gemeenschappelijke noemer ongewijzigd.

Als de teller van de minuend kleiner is dan de subtrahend, moet je uitzoeken of we een gemengd getal of een echte breuk hebben.

In het eerste geval moet het gehele deel één hebben. Voeg een noemer toe aan de teller van een breuk. En doe dan de aftrekking.

In de tweede - het is noodzakelijk om de regel van aftrekken van toe te passen minder meer. Dat wil zeggen, trek de modulus van de minuend af van de modulus van de aftrekking en plaats het "-" teken als reactie.

Kijk goed naar het resultaat van optellen (aftrekken). Als het bleek onechte breuk, dan is het noodzakelijk om het hele deel te selecteren. Dat wil zeggen, deel de teller door de noemer.

Vermenigvuldiging en deling

Voor hun implementatie hoeven breuken niet te worden gereduceerd tot gemeenschappelijke noemer. Dit maakt het makkelijker om actie te ondernemen. Maar ze moeten zich nog steeds aan de regels houden.

Bij het vermenigvuldigen van gewone breuken is het noodzakelijk om rekening te houden met de getallen in de tellers en noemers. Als een teller en noemer een gemeenschappelijke factor hebben, kunnen ze worden verminderd.

Tellers vermenigvuldigen.

Vermenigvuldig de noemers.

Als je een reduceerbare breuk krijgt, moet deze opnieuw worden vereenvoudigd.

Bij delen moet je eerst deling vervangen door vermenigvuldiging en de deler (tweede breuk) door een omgekeerde (verwissel de teller en noemer).

Ga dan te werk zoals bij vermenigvuldigen (vanaf punt 1).

Bij taken waarbij je moet vermenigvuldigen (delen) door een geheel getal, wordt verondersteld dat de laatste als een oneigenlijke breuk wordt geschreven. Dat wil zeggen, met een noemer van 1. Ga dan verder zoals hierboven beschreven.



Bewerkingen met decimalen

Optellen en aftrekken

Je kunt natuurlijk altijd een decimaal in een gewone breuk veranderen. En handel volgens het reeds beschreven plan. Maar soms is het handiger om zonder deze vertaling te handelen. Dan zijn de regels voor het optellen en aftrekken precies hetzelfde.

Egaliseer het aantal cijfers in het fractionele deel van het getal, dat wil zeggen na de komma. Wijs het ontbrekende aantal nullen erin toe.

Schrijf breuken zo dat de komma onder de komma staat.

Optellen (aftrekken) zoals natuurlijke getallen.

Verwijder de komma.

Vermenigvuldiging en deling

Het is belangrijk dat u hier geen nullen hoeft toe te voegen. Breuken moeten worden gelaten zoals ze in het voorbeeld worden gegeven. En ga dan volgens plan.

Voor vermenigvuldiging moet u breuken onder elkaar schrijven, zonder aandacht te besteden aan komma's.

Vermenigvuldigen als natuurlijke getallen.

Zet een komma in het antwoord, tel vanaf de rechterkant van het antwoord zoveel cijfers als ze zijn in de fractionele delen van beide factoren.

Om te delen, moet je eerst de deler omrekenen: maak er een natuurlijk getal van. Dat wil zeggen, vermenigvuldig het met 10, 100, enz., afhankelijk van het aantal cijfers in het fractionele deel van de deler.

Vermenigvuldig het dividend met hetzelfde getal.

Deel een decimaal getal door een natuurlijk getal.

Zet een komma in het antwoord op het moment dat de deling van het hele deel eindigt.



Wat als er beide soorten breuken in één voorbeeld voorkomen?

Ja, in de wiskunde zijn er vaak voorbeelden waarin je bewerkingen moet uitvoeren op gewone en decimale breuken. Er zijn twee mogelijke oplossingen voor deze problemen. U moet de cijfers objectief wegen en de beste kiezen.

Eerste manier: vertegenwoordigen gewone decimalen

Het is geschikt als u bij het splitsen of vertalen: eindige breuken. Als ten minste één cijfer een periodiek deel geeft, is deze techniek verboden. Daarom, zelfs als u niet graag met gewone breuken werkt, moet u ze tellen.

De tweede manier: schrijf decimale breuken als gewoon

Deze techniek is handig als er 1-2 cijfers achter de komma staan. Als er meer van zijn, kan een zeer grote gewone breuk blijken en decimale invoer stelt u in staat om de taak sneller en gemakkelijker te berekenen. Daarom is het altijd nodig om de taak nuchter te evalueren en de eenvoudigste oplossingsmethode te kiezen.

§ 102. Voorafgaande verduidelijkingen.

In het vorige deel hebben we breuken met alle mogelijke noemers bekeken en ze gewone breuken genoemd. We waren geïnteresseerd in elke breuk die ontstond tijdens het meten of delen, ongeacht wat voor noemer we kregen.

Nu zullen we uit de hele reeks breuken breuken met noemers selecteren: 10, 100, 1.000, 10.000, enz., d.w.z. dergelijke breuken waarvan de noemers alleen getallen zijn die worden weergegeven door eenheid (1) gevolgd door nullen meerdere). Dergelijke breuken worden genoemd decimale.

Hier zijn voorbeelden van decimalen:

We hebben eerder decimale breuken ontmoet, maar hebben geen speciale eigenschappen aangegeven die eraan inherent zijn. Nu zullen we laten zien dat ze enkele opmerkelijke eigenschappen hebben, wat alle berekeningen met breuken vereenvoudigt.

§ 103. Afbeelding van een decimale breuk zonder noemer.

Decimale breuken worden meestal niet op dezelfde manier geschreven als gewone breuken, maar volgens de regels waarmee hele getallen worden geschreven.

Om te begrijpen hoe je een decimaal schrijft zonder noemer, moet je onthouden hoe je moet schrijven decimaal systeem elk geheel getal. Als we bijvoorbeeld schrijven: driecijferig nummer met alleen het cijfer 2, d.w.z. het cijfer 222, dan heeft elk van deze tweeën speciale betekenis afhankelijk van de plaats die het inneemt in het nummer. De eerste twee van rechts staan ​​voor eenheden, de tweede voor tientallen en de derde voor honderden. Dus elk cijfer links van elk ander cijfer geeft eenheden aan die tien keer groter zijn dan die aangegeven door het vorige cijfer. Als er een cijfer ontbreekt, wordt er nul op zijn plaats geschreven.

Dus in een geheel getal staan ​​eenheden op de eerste plaats rechts, tientallen op de tweede plaats, enz.

Laten we nu de vraag stellen welke categorie eenheden wordt verkregen als we bijvoorbeeld in het getal 222 staan ​​met Rechtsaf kant zullen we nog een nummer toevoegen. Om deze vraag te beantwoorden, moet u er rekening mee houden dat de laatste twee (de eerste van rechts) eenheden aanduiden.

Daarom, als we na de deuce, die eenheden aangeeft, een beetje terugtrekken, een ander getal schrijven, bijvoorbeeld 3, dan zal het eenheden aanduiden, tien keer kleiner dan de vorige, met andere woorden, het zal duiden op tienden eenheden; het resultaat is een getal met 222 hele eenheden en 3 tienden van een eenheid.

Het is gebruikelijk om een ​​komma te plaatsen tussen de gehele en fractionele delen van het getal, d.w.z. schrijf als volgt:

Als we na de triple in dit getal nog een getal toevoegen, bijvoorbeeld 4, dan betekent dit 4 honderdsten fracties van een eenheid; nummer ziet er als volgt uit:

en wordt uitgesproken: tweehonderd tweeëntwintig punten, vierendertig honderdsten.

Een nieuw cijfer, bijvoorbeeld 5, dat aan dit nummer wordt toegewezen, geeft ons duizendsten: 222.345 (tweehonderdtweeëntwintig punten,te).

Voor meer duidelijkheid kan de rangschikking in het aantal gehele en gebroken cijfers worden weergegeven in de vorm van een tabel:

We hebben dus uitgelegd hoe decimale breuken worden geschreven zonder een noemer. Laten we enkele van deze breuken opschrijven.

Om een ​​breuk zonder noemer 5/10 te schrijven, moet u er rekening mee houden dat deze geen gehele getallen heeft en daarom moet de plaats van gehele getallen worden ingenomen door nul, d.w.z. 5/10 = 0,5.

De breuk 2 9/100 zonder noemer wordt als volgt geschreven: 2,09, dat wil zeggen, nul moet in plaats van de tienden worden gezet. Als we deze 0 zouden overslaan, zouden we een heel andere breuk krijgen, namelijk 2,9, dat wil zeggen twee hele punten en negen tienden.

Dus, bij het schrijven van decimale breuken, moet u het ontbrekende gehele getal en fractionele cijfers met nul aangeven:

0.325 - geen gehele getallen,
0,012 - geen gehele getallen en geen tienden,
1.208 - geen honderdsten,
0.20406 - geen gehele getallen, geen honderdsten en geen tienduizendsten.

De getallen rechts van de komma worden decimalen genoemd.

Om fouten bij het schrijven van decimale breuken te voorkomen, moet je onthouden dat er na de komma in de afbeelding van een decimale breuk evenveel cijfers moeten staan ​​als er nullen in de noemer staan ​​als we deze breuk met een noemer zouden schrijven, d.w.z.

0,1 \u003d 1 / 10 (de noemer heeft één nul en één cijfer achter de komma);

§ 104. Nullen toekennen aan een decimale breuk.

In de vorige paragraaf is beschreven hoe decimale breuken zonder noemers worden weergegeven. Groot belang bij het schrijven van decimale breuken heeft het een nul. Elke gewone decimale breuk heeft een nul in plaats van gehele getallen om aan te geven dat zo'n breuk geen gehele getallen heeft. We gaan nu verschillende decimalen schrijven met de getallen: 0, 3 en 5.

0,35 - 0 gehele getallen, 35 honderdsten,
0,035 - 0 gehele getallen, 35 duizendsten,
0,305 - 0 gehele getallen, 305 duizendsten,
0,0035 - 0 gehele getallen, 35 tienduizendsten.

Laten we nu eens kijken wat de betekenis is van de nullen aan het einde van de decimale breuk, d.w.z. aan de rechterkant.

Als we een geheel getal nemen, bijvoorbeeld 5, er een komma achter zetten en dan nul achter de komma schrijven, dan betekent deze nul nul tienden. Daarom heeft deze nul die aan de rechterkant is toegewezen geen invloed op de waarde van het nummer, d.w.z.

Laten we nu het getal 6.1 nemen en er rechts nul bij optellen, we krijgen 6.10, d.w.z. we hadden 1/10 achter de komma, en het werd 10/100, maar 10/100 is gelijk aan 1/10. Dit betekent dat de waarde van het getal niet is veranderd en dat vanaf de toewijzing rechts van nul alleen de vorm van het getal en de uitspraak zijn veranderd (6,1 - zes komma een tiende; 6,10 - zes komma tien honderdsten).

Door een vergelijkbare redenering kunnen we ervoor zorgen dat het toewijzen van nullen aan de rechterkant van een decimale breuk de waarde ervan niet verandert. Daarom kunnen we de volgende gelijkheden schrijven:

1 = 1,0,
2,3 = 2,300,
6,7 = 6,70000 enz.

Als we nullen links van de decimale breuk toekennen, hebben ze geen betekenis. Inderdaad, als we nul links van het getal 4.6 schrijven, dan zal het getal de vorm 04.6 aannemen. Waar is nul? Het staat op de plaats van tientallen, dat wil zeggen, het laat zien dat er geen tientallen in dit getal zijn, maar dit is ook duidelijk zonder nul.

Houd er echter rekening mee dat soms nullen worden toegewezen aan decimale breuken aan de rechterkant. Er zijn bijvoorbeeld vier breuken: 0,32; 2,5; 13.1023; 5.238. We kennen nullen aan de rechterkant toe aan die breuken met minder decimalen achter de komma: 0,3200; 2.5000; 13.1023; 5.2380.

Waar is het voor? Door nullen aan de rechterkant toe te wijzen, kregen we vier cijfers achter de komma voor elk getal, wat betekent dat elke breuk een noemer heeft van 10.000, en voordat nullen worden toegewezen, was de noemer van de eerste breuk 100, de tweede 10, de derde 10.000 en de vierde 1000. Dus door nullen toe te kennen, hebben we het aantal decimalen van onze breuken gelijk gemaakt, d.w.z. ze tot een gemeenschappelijke noemer gebracht. Daarom wordt de reductie van decimale breuken tot een gemeenschappelijke noemer uitgevoerd door nullen aan deze breuken toe te kennen.

Aan de andere kant, als een decimale breuk nullen aan de rechterkant heeft, kunnen we ze weggooien zonder de waarde ervan te wijzigen, bijvoorbeeld: 2,60 = 2,6; 3,150 = 3,15; 4.200 = 4.2.

Hoe moet men zo'n weggooien van nullen rechts van de decimale breuk begrijpen? Het is gelijk aan de reductie ervan, en dit is te zien als we deze decimale breuken met een noemer schrijven:

§ 105. Vergelijking van decimale breuken in grootte.

Bij het gebruik van decimale breuken is het erg belangrijk om breuken met elkaar te kunnen vergelijken en de vraag te kunnen beantwoorden welke gelijk zijn, welke groter en welke kleiner. Het vergelijken van decimalen gaat anders dan het vergelijken van gehele getallen. Bijvoorbeeld een geheel getal tweecijferig nummer altijd groter dan één cijfer, ongeacht hoeveel eenheden er in één cijfer zitten; een getal van drie cijfers is meer dan een getal van twee cijfers, en nog meer een nummer van één cijfer. Maar bij het vergelijken van decimale breuken zou het een vergissing zijn om alle tekens te tellen waarmee breuken worden geschreven.

Laten we twee breuken nemen: 3,5 en 2,5, en ze in grootte vergelijken. Ze hebben dezelfde decimalen, maar de eerste breuk heeft 3 gehele getallen en de tweede heeft 2. De eerste breuk is groter dan de tweede, d.w.z.

Laten we andere breuken nemen: 0,4 en 0,38. Om deze breuken te vergelijken, is het handig om rechts van de eerste breuk nul toe te kennen. Vervolgens vergelijken we de breuken 0,40 en 0,38. Elk van hen heeft twee cijfers achter de komma, wat betekent dat deze breuken dezelfde noemer 100 hebben.

We hoeven alleen hun tellers te vergelijken, maar de teller 40 is groter dan 38. Dus de eerste breuk is groter dan de tweede, d.w.z.

De eerste breuk heeft meer tienden dan de tweede, maar de tweede breuk heeft 8 meer honderdsten, maar ze zijn minder dan een tiende, omdat 1/10 \u003d 10/100.

Laten we nu dergelijke breuken vergelijken: 1,347 en 1,35. We kennen nul toe aan de rechterkant van de tweede breuk en vergelijken de decimale breuken: 1.347 en 1.350. De gehele delen zijn hetzelfde, dus je hoeft alleen de breukdelen te vergelijken: 0,347 en 0,350. De noemer van deze breuken is gebruikelijk, maar de teller van de tweede breuk is groter dan de teller van de eerste, wat betekent dat de tweede breuk groter is dan de eerste, d.w.z. 1.35\u003e 1.347.

Laten we tot slot nog twee breuken vergelijken: 0,625 en 0,62473. We voegen twee nullen toe aan de eerste breuk zodat de cijfers gelijk zijn, en vergelijken de resulterende breuken: 0,62500 en 0,62473. Hun noemers zijn hetzelfde, maar de teller van de eerste breuk 62500 is groter dan de teller van de tweede breuk 62473. Daarom is de eerste breuk groter dan de tweede, d.w.z. 0,625 > 0,62473.

Op basis van het voorgaande kunnen we de volgende conclusie trekken: van twee decimale breuken is die met meer gehele getallen groter; als de gehele getallen gelijk zijn, is die breuk groter, waarin het aantal tienden groter is; als gehele getallen en tienden gelijk zijn, is die breuk groter, waarin het aantal honderdsten groter is, enz.

§ 106. Verhogen en verlagen van een decimale breuk met 10, 100, 1.000, enz. keer.

We weten al dat het toevoegen van nullen aan een decimaalteken geen invloed heeft op de waarde ervan. Toen we gehele getallen bestudeerden, zagen we dat elke nul die aan de rechterkant werd toegewezen, het getal met 10 keer verhoogde. Het is niet moeilijk te begrijpen waarom dit is gebeurd. Als we een geheel getal nemen, bijvoorbeeld 25, en rechts daarvan nul toevoegen, dan zal het getal 10 keer toenemen, het getal 250 is 10 keer groter dan 25. Toen rechts nul verscheen, het getal 5, dat gebruikt om eenheden aan te duiden, begon nu tientallen aan te duiden, en het getal 2, dat vroeger voor tientallen stond, staat nu voor honderden. Dus, dankzij het verschijnen van nul, werden de oude cijfers vervangen door nieuwe, ze werden groter, ze verhuisden een plaats naar links. Als het nodig is om een ​​decimale breuk bijvoorbeeld 10 keer te vergroten, dan moeten we de cijfers ook een plaats naar links opschuiven, maar een dergelijke verplaatsing kan niet worden bereikt met nul. Een decimale breuk bestaat uit een geheel getal en een breuk, gescheiden door een komma. Links van de komma staat het laagste gehele getal, rechts het hoogste breukcijfer. Overweeg een breuk:

Hoe kunnen we de cijfers erin verplaatsen, tenminste met één plaats, dat wil zeggen, met andere woorden, hoe kunnen we het 10 keer vergroten? Als we de komma één plaats naar rechts verplaatsen, zal dit in de eerste plaats het lot van de vijf beïnvloeden: het komt uit de regio fractionele getallen valt in het rijk van gehele getallen. Het nummer heeft dan de vorm: 12345.678. De verandering gebeurde met alle andere nummers, en niet alleen met de vijf. Alle nummers in het nummer begonnen te spelen nieuwe rol, gebeurde het volgende (zie tabel):

Alle rangen veranderden van naam en alle rangen-eenheden stegen als het ware één plaats. Hieruit is het hele aantal met 10 keer toegenomen. Door de komma één teken naar rechts te verplaatsen, wordt het getal dus 10 keer groter.

Laten we nog enkele voorbeelden bekijken:

1) Neem de breuk 0,5 en verplaats de komma één plaats naar rechts; we krijgen het getal 5, wat 10 keer meer is dan 0,5, omdat vijf tienden van een eenheid betekende, en nu betekent het hele eenheden.

2) Verplaats de komma in het getal 1.234 twee cijfers naar rechts; het getal wordt 123.4. Dit getal is 100 keer groter dan het vorige, omdat daarin het getal 3 eenheden begon aan te duiden, het getal 2 - tientallen en het getal 1 - honderden.

Dus om de decimale breuk met 10 te vergroten, moet je de komma erin één plaats naar rechts verplaatsen; om het met 100 keer te verhogen, moet je de komma twee plaatsen naar rechts verplaatsen; om 1.000 keer te verhogen - drie cijfers naar rechts, enz.

Als er tegelijkertijd niet genoeg tekens voor het nummer zijn, worden er nullen aan de rechterkant toegewezen. Laten we bijvoorbeeld de breuk 1,5 met 100 keer vergroten door de komma met twee cijfers te verplaatsen; we krijgen 150. Laten we de breuk 0,6 met 1.000 keer vergroten; wij krijgen 600.

terug indien nodig kleiner worden decimale breuk van 10, 100, 1.000, enz. keer, dan moet u de komma daarin een, twee, drie, enz. tekens naar links verplaatsen. Laat de breuk 20.5 worden gegeven; laten we het met 10 keer verminderen; Om dit te doen, verplaatst u de komma één teken naar links, de breuk krijgt de vorm 2.05. Laten we de breuk 0,015 met 100 keer verkleinen; we krijgen 0,00015. Laten we het getal 334 10 keer verkleinen; we krijgen 33.4.

In dit artikel zullen we analyseren hoe: gewone breuken converteren naar decimalen, en houd ook rekening met het omgekeerde proces - de conversie van decimale breuken naar gewone breuken. Hier zullen we de regels uitspreken voor het omkeren van breuken en geven gedetailleerde oplossingen typische voorbeelden.

Paginanavigatie.

Gewone breuken converteren naar decimalen

Laten we de volgorde aangeven waarin we zullen behandelen gewone breuken converteren naar decimalen.

Eerst zullen we kijken hoe gewone breuken met noemers 10, 100, 1000, ... als decimale breuken kunnen worden weergegeven. Dit komt omdat decimale breuken in wezen een compacte vorm zijn van gewone breuken met noemers 10, 100, ....

Daarna gaan we verder en laten we zien hoe elke gewone breuk (niet alleen met noemers 10, 100, ...) kan worden geschreven als een decimale breuk. Met deze conversie van gewone breuken worden zowel eindige decimale breuken als oneindig periodieke decimale breuken verkregen.

Nu ongeveer alles in orde.

Gewone breuken met noemers 10, 100, ... converteren naar decimale breuken

Sommige reguliere breuken hebben een "voorbereiding" nodig voordat ze naar decimalen kunnen worden omgezet. Dit geldt voor gewone breuken waarvan het aantal cijfers in de teller kleiner is dan het aantal nullen in de noemer. Zo moet de gewone breuk 2/100 eerst worden voorbereid voor conversie naar een decimale breuk, maar de breuk 9/10 hoeft niet te worden voorbereid.

De "voorbereiding" van de juiste gewone breuken voor conversie naar decimale breuken bestaat uit het toevoegen van zoveel nullen aan de linkerkant in de teller dat er totaal cijfers werd gelijk aan het aantal nullen in de noemer. Een breuk na het toevoegen van nullen ziet er bijvoorbeeld uit als .

Nadat u de juiste gewone breuk hebt voorbereid, kunt u beginnen met het converteren naar een decimale breuk.

Laten we het geven regel voor het omzetten van een goede gemeenschappelijke breuk met een noemer van 10, of 100, of 1.000, ... in een decimale breuk. Het bestaat uit drie stappen:

• schrijf 0 op;
• zet er een komma achter;
• noteer het getal van de teller (samen met toegevoegde nullen, als we ze hebben toegevoegd).

Overweeg de toepassing van deze regel bij het oplossen van voorbeelden.

Voorbeeld.

Converteer de juiste breuk 37/100 naar decimaal.

Oplossing.

De noemer bevat het getal 100, dat twee nullen bevat. De teller bevat het getal 37, er zijn twee cijfers in zijn record, daarom hoeft deze breuk niet te worden voorbereid voor conversie naar een decimale breuk.

Nu schrijven we 0, zetten een decimaalteken en schrijven het getal 37 van de teller, terwijl we de decimale breuk 0,37 krijgen.

Antwoorden:

0,37 .

Om de vaardigheden van het vertalen van gewone gewone breuken met tellers 10, 100, ... in decimale breuken te consolideren, zullen we de oplossing van een ander voorbeeld analyseren.

Voorbeeld.

Schrijf op juiste breuk 107/10.000.000 als een decimaal.

Oplossing.

Het aantal cijfers in de teller is 3 en het aantal nullen in de noemer is 7, dus deze gewone breuk moet worden voorbereid voor conversie naar decimaal. We moeten 7-3=4 nullen links in de teller optellen zodat het totale aantal cijfers daar gelijk wordt aan het aantal nullen in de noemer. We krijgen .

Het blijft om de gewenste decimale breuk te vormen. Om dit te doen, schrijven we eerst 0 op, ten tweede plaatsen we een komma, ten derde schrijven we het getal van de teller samen met nullen 0000107 , als resultaat hebben we een decimale breuk 0,0000107 .

Antwoorden:

0,0000107 .

Onjuiste gewone breuken hebben geen voorbereiding nodig bij het converteren naar decimale breuken. Het volgende moet worden nageleefd: regels voor het converteren van oneigenlijke gewone breuken met noemers 10, 100, ... naar decimale breuken:

• noteer het getal van de teller;
• we scheiden met een decimaal net zoveel cijfers aan de rechterkant als er nullen in de noemer van de oorspronkelijke breuk staan.

Laten we de toepassing van deze regel analyseren bij het oplossen van een voorbeeld.

Voorbeeld.

Converteer oneigenlijke gewone breuk 56 888 038 009/100 000 naar decimaal.

Oplossing.

Ten eerste noteren we het getal van de teller 56888038009 en ten tweede scheiden we 5 cijfers aan de rechterkant met een decimaalteken, aangezien er 5 nullen in de noemer van de oorspronkelijke breuk staan. Als resultaat hebben we een decimale breuk 568 880.38009.

Antwoorden:

568 880,38009 .

Om een ​​gemengd getal om te zetten in een decimale breuk, waarvan de noemer van het breukdeel het getal 10, of 100, of 1.000, ... is, kun je het gemengde getal omzetten in een onechte gewone breuk, waarna de resulterende breuk kan worden omgezet in een decimale breuk. Maar je kunt ook het volgende gebruiken: de regel voor het omzetten van gemengde getallen met een noemer van het breukdeel 10, of 100, of 1.000, ... in decimale breuken:

• indien nodig voeren we een "voorbereiding" uit van het fractionele deel van het oorspronkelijke gemengde getal door . toe te voegen benodigde hoeveelheid nullen aan de linkerkant in de teller;
• noteer het gehele deel van het originele gemengde getal;
• zet een komma;
• we schrijven het getal van de teller samen met de toegevoegde nullen.

Laten we een voorbeeld bekijken, waarbij we bij het oplossen alle noodzakelijke stappen zullen uitvoeren om een ​​gemengd getal als een decimale breuk weer te geven.

Voorbeeld.

Converteer gemengd getal naar decimaal.

Oplossing.

Er zijn 4 nullen in de noemer van het fractionele deel, en het getal 17 in de teller, bestaande uit 2 cijfers, daarom moeten we twee nullen links in de teller optellen zodat het aantal tekens daar gelijk wordt aan de aantal nullen in de noemer. Door dit te doen, wordt de teller 0017 .

Nu schrijven we het gehele deel van het oorspronkelijke getal op, dat wil zeggen het getal 23, plaatsen een decimaalteken, waarna we het getal van de teller samen met de toegevoegde nullen schrijven, dat wil zeggen 0017, terwijl we het gewenste decimaalteken krijgen fractie 23.0017.

Laten we de hele oplossing kort opschrijven: .

Het was ongetwijfeld mogelijk om het gemengde getal eerst als een oneigenlijke breuk weer te geven en het vervolgens om te zetten in een decimale breuk. Met deze aanpak ziet de oplossing er als volgt uit:

Antwoorden:

23,0017 .

Gewone breuken converteren naar eindige en oneindige periodieke decimale breuken

Niet alleen gewone breuken met noemers 10, 100, ... kunnen omgezet worden in een decimale breuk, maar ook gewone breuken met andere noemers. Nu zullen we uitzoeken hoe dit wordt gedaan.

In sommige gevallen kan de oorspronkelijke gewone breuk gemakkelijk worden teruggebracht tot een van de noemers 10, of 100, of 1.000, ... (zie de reductie van een gewone breuk tot een nieuwe noemer), waarna het niet moeilijk is om de resulterende breuk als een decimale breuk. Het is bijvoorbeeld duidelijk dat de breuk 2/5 kan worden teruggebracht tot een breuk met een noemer 10, hiervoor moet je de teller en noemer met 2 vermenigvuldigen, wat een breuk 4/10 geeft, die volgens de regels die in de vorige paragraaf zijn besproken, kunnen eenvoudig worden omgezet in een decimale breuk 0, vier .

In andere gevallen moet u een andere manier gebruiken om een ​​gewone breuk om te zetten in een decimaal, wat we nu zullen bekijken.

Om een ​​gewone breuk om te zetten in een decimale breuk, wordt de teller van de breuk gedeeld door de noemer, de teller is eerder vervangen door een decimale breuk die er gelijk aan is met een willekeurig aantal nullen achter de komma (we hebben hierover gesproken in de sectie gelijke en ongelijke decimale breuken). In dit geval wordt deling op dezelfde manier uitgevoerd als deling door een kolom met natuurlijke getallen, en wordt een decimale punt in het quotiënt geplaatst wanneer de deling van het gehele deel van het deeltal eindigt. Dit alles zal duidelijk worden uit de oplossingen van de onderstaande voorbeelden.

Voorbeeld.

Converteer de gewone breuk 621/4 naar decimaal.

Oplossing.

We stellen het getal in de teller 621 voor als een decimale breuk door een decimaalteken en een paar nullen erachter toe te voegen. Om te beginnen zullen we 2 cijfers 0 toevoegen, later, indien nodig, kunnen we altijd meer nullen toevoegen. We hebben dus 621,00 .

Laten we nu het getal 621.000 delen door 4 door een kolom. De eerste drie stappen verschillen niet van delen door een kolom natuurlijke getallen, waarna we tot het volgende beeld komen:

Dus we kwamen tot de komma in het deeltal, en de rest is anders dan nul. In dit geval plaatsen we een decimaalteken in het quotiënt en gaan we verder met de deling door een kolom, waarbij we de komma's negeren:

Deze deling is voltooid en als resultaat hebben we de decimale breuk 155,25, wat overeenkomt met de oorspronkelijke gewone breuk.

Antwoorden:

155,25 .

Overweeg de oplossing van een ander voorbeeld om het materiaal te consolideren.

Voorbeeld.

Converteer de gewone breuk 21/800 naar decimaal.

Oplossing.

Om deze gewone breuk om te zetten in een decimaal, delen we de decimale breuk 21.000 ... door 800 door een kolom. Na de eerste stap moeten we een decimaalteken in het quotiënt plaatsen en vervolgens doorgaan met delen:

Uiteindelijk hebben we de rest 0 gekregen, hiermee is de conversie van de gewone breuk 21/400 naar de decimale breuk voltooid, en zijn we gekomen tot de decimale breuk 0.02625.

Antwoorden:

0,02625 .

Het kan gebeuren dat we bij het delen van de teller door de noemer van een gewone breuk nooit een rest van 0 krijgen. In deze gevallen kan de splitsing zo lang als gewenst worden voortgezet. Vanaf een bepaalde stap beginnen de restanten zich echter periodiek te herhalen, terwijl de cijfers in het quotiënt zich ook herhalen. Dit betekent dat de oorspronkelijke gemeenschappelijke breuk zich vertaalt naar een oneindig periodiek decimaalteken. Laten we dit met een voorbeeld laten zien.

Voorbeeld.

Schrijf de gewone breuk 19/44 als een decimaal.

Oplossing.

Om een ​​gewone breuk om te zetten in een decimaal, voeren we deling door een kolom uit:

Het is al duidelijk dat bij het delen de resten 8 en 36 zich begonnen te herhalen, terwijl in het quotiënt de getallen 1 en 8 herhaald werden. Zo wordt de oorspronkelijke gewone breuk 19/44 vertaald in een periodieke decimale breuk 0,43181818…=0,43(18) .

Antwoorden:

0,43(18) .

Ter afsluiting van deze paragraaf zullen we uitzoeken welke gewone breuken kunnen worden omgezet in definitieve decimale breuken en welke alleen kunnen worden omgezet in periodieke breuken.

Laten we een onherleidbare gewone breuk voor ons hebben (als de breuk herleidbaar is, dan voeren we eerst de reductie van de breuk uit), en we moeten uitzoeken naar welke decimale breuk het kan worden omgezet - eindig of periodiek.

Het is duidelijk dat als een gewone breuk kan worden teruggebracht tot een van de noemers 10, 100, 1000, ..., de resulterende breuk eenvoudig kan worden omgezet in een definitieve decimale breuk volgens de regels die in de vorige paragraaf zijn besproken. Maar naar de noemers 10, 100, 1.000, enz. niet alle gewone breuken worden gegeven. Zulke noemers kunnen alleen herleid worden tot breuken waarvan de noemers minstens één van de getallen 10, 100, ... zijn En welke getallen kunnen delers zijn van 10, 100, ...? Met de getallen 10, 100, … kunnen we deze vraag beantwoorden, en ze zijn als volgt: 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … . Hieruit volgt dat de delers van 10, 100, 1.000, enz. er kunnen alleen nummers zijn waarvan de uitbreidingen naar priemfactoren bevatten alleen de cijfers 2 en (of) 5 .

Nu kunnen we een algemene conclusie trekken over de conversie van gewone breuken naar decimale breuken:

• als alleen de getallen 2 en (of) 5 aanwezig zijn in de ontleding van de noemer in priemfactoren, dan kan deze breuk worden omgezet in een definitieve decimale breuk;
• als er naast twee en vijven nog andere zijn in de uitbreiding van de noemer priemgetallen, dan wordt deze breuk vertaald naar een oneindige decimale periodieke breuk.

Voorbeeld.

Zonder gewone breuken om te zetten in decimalen, vertel me welke van de breuken 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 kan worden omgezet in een definitieve decimale breuk, en welke alleen kan worden omgezet in een periodieke.

Oplossing.

De priemfactorisatie van de noemer van de breuk 47/20 heeft de vorm 20=2 2 5 . Er zijn slechts tweeën en vijfen in deze uitbreiding, dus deze breuk kan worden teruggebracht tot een van de noemers 10, 100, 1000, ... (in dit voorbeeld tot de noemer 100), daarom kan het worden omgezet in een definitieve decimale fractie.

De priemfactorisatie van de noemer van de breuk 7/12 heeft de vorm 12=2 2 3 . Omdat het een eenvoudige factor 3 bevat die verschilt van 2 en 5, kan deze breuk niet worden weergegeven als een eindige decimale breuk, maar kan deze worden omgezet in een periodieke decimale breuk.

Fractie 21/56 - contracteerbaar, na reductie heeft het de vorm 3/8. De ontleding van de noemer in priemfactoren bevat drie factoren gelijk aan 2, daarom kan de gewone breuk 3/8, en dus de breuk gelijk aan 21/56, worden vertaald in een definitieve decimale breuk.

Ten slotte is de uitbreiding van de noemer van de breuk 31/17 zelf 17, daarom kan deze breuk niet worden omgezet in een eindige decimale breuk, maar wel in een oneindig periodieke breuk.

Antwoorden:

47/20 en 21/56 kunnen worden omgezet naar een laatste decimaal, terwijl 7/12 en 31/17 alleen kunnen worden omgezet naar een periodieke decimaal.

Veelvoorkomende breuken worden niet geconverteerd naar oneindige niet-repeterende decimalen

De informatie van de vorige paragraaf roept de vraag op: "Kan een oneindige niet-periodieke breuk worden verkregen bij het delen van de teller van een breuk door de noemer"?

Antwoord: nee. Bij het vertalen van een gewone breuk kan ofwel een eindige decimale breuk of een oneindige periodieke decimale breuk worden verkregen. Laten we uitleggen waarom dit zo is.

Uit de deelbaarheidsstelling met rest is het duidelijk dat de rest altijd is minder deler, dat wil zeggen, als we de deling van een geheel getal door een geheel getal q uitvoeren, dan kan de rest slechts een van de getallen 0, 1, 2, ..., q−1 zijn. Hieruit volgt dat nadat de kolom het gehele deel van de teller van een gewone breuk deelt door de noemer q, na niet meer dan q stappen, een van de volgende twee situaties zal optreden:

• ofwel krijgen we de rest 0 , dit zal de deling beëindigen, en we zullen de laatste decimale breuk krijgen;
• of we krijgen een rest die al eerder is verschenen, waarna de resten zich herhalen zoals in het vorige voorbeeld (sinds bij het delen gelijke aantallen op q worden gelijke resten verkregen, die volgt uit de reeds genoemde deelbaarheidsstelling), zodat een oneindige periodieke decimale breuk wordt verkregen.

Er kunnen geen andere opties zijn, daarom kan bij het converteren van een gewone breuk naar een decimale breuk geen oneindige niet-periodieke decimale breuk worden verkregen.

Uit de in deze paragraaf gegeven redenering volgt ook dat de lengte van de punt van een decimale breuk altijd kleiner is dan de waarde van de noemer van de overeenkomstige gewone breuk.

Converteer decimalen naar gewone breuken

Laten we nu eens kijken hoe we een decimale breuk naar een gewone kunnen converteren. Laten we beginnen met het converteren van definitieve decimalen naar gewone breuken. Overweeg daarna de methode om oneindige periodieke decimale breuken om te keren. Laten we tot slot zeggen over de onmogelijkheid om oneindige niet-periodieke decimale breuken om te zetten in gewone breuken.

Einddecimaaltekens converteren naar gewone breuken

Het verkrijgen van een gewone breuk, die wordt geschreven als een laatste decimale breuk, is vrij eenvoudig. De regel voor het converteren van een laatste decimale breuk naar een gewone breuk bestaat uit drie stappen:

• schrijf eerst de gegeven decimale breuk in de teller, nadat u eerder de komma en alle nullen aan de linkerkant hebt weggegooid, indien aanwezig;
• ten tweede, noteer één in de noemer en voeg er zoveel nullen aan toe als er cijfers achter de komma staan ​​in de oorspronkelijke decimale breuk;
• ten derde, indien nodig, de resulterende fractie verminderen.

Laten we eens kijken naar de oplossingen van de voorbeelden.

Voorbeeld.

Converteer de decimale 3.025 naar een gewone breuk.

Oplossing.

Als we de komma in de oorspronkelijke decimale breuk verwijderen, krijgen we het getal 3025. Het heeft geen nullen aan de linkerkant die we zouden weggooien. Dus in de teller van de vereiste breuk schrijven we 3025.

We schrijven het getal 1 in de noemer en voegen er 3 nullen aan de rechterkant van toe, aangezien er 3 cijfers in de oorspronkelijke decimale breuk achter de komma staan.

Dus we kregen een gewone breuk 3 025/1 000. Deze breuk kan met 25 worden verminderd, we krijgen .

Antwoorden:

.

Voorbeeld.

Converteer decimaal 0,0017 naar gewone breuk.

Oplossing.

Zonder een decimaalteken ziet de oorspronkelijke decimale breuk eruit als 00017, met nullen aan de linkerkant, krijgen we het getal 17, wat de teller is van de gewenste gewone breuk.

In de noemer schrijven we een eenheid met vier nullen, aangezien er in de oorspronkelijke decimale breuk 4 cijfers achter de komma staan.

Als resultaat hebben we een gewone breuk 17/10.000. Deze breuk is onherleidbaar en de conversie van een decimale breuk naar een gewone is voltooid.

Antwoorden:

.

Wanneer het gehele deel van de oorspronkelijke definitieve decimale breuk verschilt van nul, kan het onmiddellijk worden omgezet in een gemengd getal, waarbij de gewone breuk wordt omzeild. Laten we het geven regel voor het converteren van een laatste decimaal naar een gemengd getal:

• het getal voor de komma moet worden geschreven als het gehele deel van het gewenste gemengde getal;
• in de teller van het breukdeel moet je het getal schrijven dat is verkregen uit het breukdeel van de oorspronkelijke decimale breuk nadat je alle nullen aan de linkerkant erin hebt weggegooid;
• in de noemer van het breukdeel moet u het getal 1 schrijven, waaraan rechts zoveel nullen worden toegevoegd als er cijfers zijn in de invoer van de oorspronkelijke decimale breuk na de komma;
• Verminder indien nodig het fractionele deel van het resulterende gemengde getal.

Overweeg een voorbeeld van het converteren van een decimale breuk naar een gemengd getal.

Voorbeeld.

Druk decimaal 152.06005 uit als een gemengd getal

Breuken

Aandacht!
Er zijn extra
materiaal in speciale sectie 555.
Voor degenen die sterk "niet erg..."
En voor degenen die "heel veel ...")

Breuken op de middelbare school zijn niet erg vervelend. Voorlopig. Tot je diploma's tegenkomt met rationele indicatoren ja logaritmen. En daar…. Je drukt op, je drukt op de rekenmachine en het toont het volledige scorebord van sommige nummers. Je moet met je hoofd denken, zoals in de derde klas.

Laten we eindelijk beginnen met breuken! Nou, hoeveel kun je er in de war raken!? Bovendien is het allemaal simpel en logisch. Dus, wat zijn breuken?

Soorten breuken. Transformaties.

Breuken gebeuren drie soorten.

1. Gemeenschappelijke breuken , bijvoorbeeld:

Soms zetten ze in plaats van een horizontale lijn een schuine streep: 1/2, 3/4, 19/5, nou ja, enzovoort. Hier zullen we deze spelling vaak gebruiken. Het bovenste nummer wordt gebeld teller, lager - noemer. Als je deze namen constant door elkaar haalt (het gebeurt ...), vertel jezelf dan de zin met de uitdrukking: " Zzzzz herinneren! Zzzzz noemer - uit zzz u!" Kijk, alles zal onthouden worden.)

Een streepje, dat horizontaal is, dat schuin is, betekent: divisie bovenste getal (teller) naar onderste getal (noemer). En dat is het! In plaats van een streepje is het heel goed mogelijk om een ​​delingsteken te plaatsen - twee stippen.

Wanneer de verdeling volledig mogelijk is, moet het worden gedaan. Dus in plaats van de breuk "32/8" is het veel prettiger om het getal "4" te schrijven. Die. 32 wordt gewoon gedeeld door 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Ik heb het niet over de breuk "4/1". Wat ook gewoon "4" is. En als het niet volledig wordt gedeeld, laten we het als een breuk. Soms moet je het omgekeerde doen. Maak een breuk van een geheel getal. Maar daarover later meer.

2. Decimalen , bijvoorbeeld:

Het is in deze vorm dat het nodig is om de antwoorden op taken "B" op te schrijven.

3. gemengde nummers , bijvoorbeeld:

Gemengde cijfers worden praktisch niet gebruikt op de middelbare school. Om ermee te werken, moeten ze worden omgezet in gewone breuken. Maar je moet zeker weten hoe je het moet doen! En dan komt zo'n nummer in de puzzel tegen en hangt... Van nul. Maar we herinneren ons deze procedure! Iets lager.

Meest veelzijdig gewone breuken. Laten we met hen beginnen. Trouwens, als er allerlei logaritmen, sinussen en andere letters in de breuk zitten, verandert dit niets. In de zin dat alles acties met breuken zijn niet anders dan acties met gewone breuken!

Basiseigenschap van een breuk.

Dus laten we gaan! Allereerst zal ik je verrassen. De hele verscheidenheid aan breuktransformaties wordt geleverd door een enkele eigenschap! Zo heet het basiseigenschap van een breuk. Herinneren: Als de teller en noemer van een breuk worden vermenigvuldigd (gedeeld) door hetzelfde getal, verandert de breuk niet. Die:

Het is duidelijk dat je verder kunt schrijven, totdat je blauw in het gezicht bent. Laat sinussen en logaritmen u niet verwarren, we zullen ze verder behandelen. Het belangrijkste om te begrijpen is dat al deze verschillende uitdrukkingen zijn: dezelfde breuk . 2/3.

En we hebben het nodig, al deze transformaties? En hoe! Nu zul je het zelf zien. Laten we eerst de basiseigenschap van een breuk gebruiken voor: breuk afkortingen. Het lijkt erop dat het ding elementair is. We delen de teller en noemer door hetzelfde getal en dat is alles! Het is onmogelijk om fout te gaan! Maar... de mens is een creatief wezen. Je kunt overal fouten maken! Vooral als je niet een fractie zoals 5/10 moet verminderen, maar fractionele uitdrukking met allerlei letters.

Hoe u breuken correct en snel kunt verkleinen zonder onnodig werk te doen, kunt u vinden in speciale sectie 555.

Een normale student neemt niet de moeite om teller en noemer door hetzelfde getal (of uitdrukking) te delen! Hij doorstreept gewoon alles hetzelfde van boven en onder! Dit is waar het zich verbergt typische fout, blooper als je wilt.

U moet bijvoorbeeld de uitdrukking vereenvoudigen:

Er is niets om over na te denken, we schrappen de letter "a" van bovenaf en de deuce van onderaf! We krijgen:

Alles is correct. Maar je hebt echt gedeeld het geheel teller en het geheel noemer "a". Als je gewend bent om gewoon door te strepen, dan kun je snel de "a" in de uitdrukking doorstrepen

en krijg weer

Wat absoluut fout zou zijn. Omdat hier het geheel teller op "a" al niet gedeeld! Deze fractie kan niet worden verminderd. Trouwens, zo'n afkorting is, eh... een serieuze uitdaging voor de leraar. Dit is niet vergeven! Herinneren? Bij het verminderen is het nodig om te delen het geheel teller en het geheel noemer!

Het verminderen van breuken maakt het leven een stuk eenvoudiger. Je krijgt ergens een breuk, bijvoorbeeld 375/1000. En hoe nu met haar te werken? Zonder rekenmachine? Vermenigvuldigen, zeg, optellen, kwadraat!? En als je niet te lui bent, maar voorzichtig verminderen met vijf, en zelfs met vijf, en zelfs ... terwijl het wordt verminderd, kortom. We krijgen 3/8! Veel leuker, toch?

Met de basiseigenschap van een breuk kunt u gewone breuken converteren naar decimalen en vice versa zonder rekenmachine! Dit is toch belangrijk voor het examen?

Hoe breuken van de ene vorm naar de andere te converteren.

Het is gemakkelijk met decimalen. Zoals het wordt gehoord, zo staat het geschreven! Laten we zeggen 0,25. Het is nulpunt, vijfentwintig honderdsten. We schrijven dus: 25/100. We verminderen (delen de teller en noemer door 25), we krijgen de gebruikelijke breuk: 1/4. Alles. Het gebeurt en er wordt niets verminderd. Zoals 0,3. Dit is drie tienden, d.w.z. 3/10.

Wat als gehele getallen niet nul zijn? Het is ok. Schrijf de hele breuk op zonder komma's in de teller en in de noemer - wat wordt gehoord. Bijvoorbeeld: 3.17. Dit is drie hele, zeventien honderdsten. We schrijven 317 in de teller en 100 in de noemer.We krijgen 317/100. Niets wordt verminderd, dat betekent alles. Dit is het antwoord. Elementaire Watson! Uit al het bovenstaande een nuttige conclusie: elke decimale breuk kan worden omgezet in een gewone breuk .

Maar inverse transformatie, van gewoon tot decimaal, sommige kunnen zonder rekenmachine niet. Maar je moet! Hoe schrijf je het antwoord op het examen!? We lezen en beheersen dit proces aandachtig.

Wat is een decimale breuk? Ze heeft in de noemer altijd is 10 of 100 of 1000 of 10000 waard enzovoort. Als uw gebruikelijke breuk zo'n noemer heeft, is er geen probleem. Bijvoorbeeld 4/10 = 0,4. Of 7/100 = 0,07. Of 12/10 = 1,2. En als het in het antwoord op de taak van sectie "B" 1/2 bleek te zijn? Wat zullen we als reactie schrijven? Decimalen zijn vereist...

Wij herinneren basiseigenschap van een breuk ! Wiskunde stelt u gunstig in staat om de teller en noemer met hetzelfde getal te vermenigvuldigen. Voor iedereen trouwens! Behalve nul natuurlijk. Laten we deze functie in ons voordeel gebruiken! Waarmee kan de noemer worden vermenigvuldigd, d.w.z. 2 zodat het 10, of 100, of 1000 wordt (kleiner is natuurlijk beter...)? 5, duidelijk. Voel je vrij om de noemer te vermenigvuldigen (dit is ons noodzakelijk) met 5. Maar dan moet de teller ook met 5 vermenigvuldigd worden. Dit is al wiskunde eisen! We krijgen 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. Dat is alles.

Er komen echter allerlei noemers tegen. De breuk 3/16 zal bijvoorbeeld vallen. Probeer het, zoek uit waarmee je 16 moet vermenigvuldigen om 100 te krijgen, of 1000... Werkt het niet? Dan kun je 3 eenvoudig delen door 16. Bij afwezigheid van een rekenmachine, moet je delen met een hoek, op een stuk papier, zoals in lagere cijfers onderwezen. We krijgen 0,1875.

En er zijn een aantal zeer slechte noemers. De breuk 1/3 kan bijvoorbeeld niet worden omgezet in een goede decimaal. Zowel op een rekenmachine als op een stuk papier krijgen we 0,3333333 ... Dit betekent dat 1/3 in een exacte decimale breuk vertaalt niet. Net als 1/7, 5/6 enzovoort. Velen van hen zijn onvertaalbaar. Vandaar nog een nuttige conclusie. Niet elke gewone breuk wordt omgezet in een decimaal. !

Trouwens, dit bruikbare informatie voor zelftest. In sectie "B" moet u als reactie een decimale breuk opschrijven. En je hebt bijvoorbeeld 4/3. Deze breuk wordt niet omgezet naar decimaal. Dit betekent dat je ergens onderweg een fout hebt gemaakt! Kom terug, controleer de oplossing.

Dus, met gewone en decimale breuken gesorteerd. Het blijft om te gaan met gemengde nummers. Om ermee te werken, moeten ze allemaal worden omgezet in gewone breuken. Hoe je dat doet? Je kunt een zesdeklasser pakken en het hem vragen. Maar er zal niet altijd een zesdeklasser bij de hand zijn... We zullen het zelf moeten doen. Dit is niet moeilijk. Vermenigvuldig de noemer van het breukdeel met het gehele deel en tel de teller van het breukdeel op. Dit wordt de teller gewone breuk. Hoe zit het met de noemer? De noemer blijft hetzelfde. Het klinkt ingewikkeld, maar het is eigenlijk heel simpel. Laten we een voorbeeld bekijken.

Laat in het probleem dat je met afschuw het nummer zag:

Rustig, zonder paniek, begrijpen we. Het hele deel is 1. Een. Het fractionele deel is 3/7. Daarom is de noemer van het breukdeel 7. Deze noemer wordt de noemer van de gewone breuk. We tellen de teller. We vermenigvuldigen 7 met 1 (het gehele deel) en tellen 3 op (de teller van het breukdeel). We krijgen 10. Dit is de teller van een gewone breuk. Dat is alles. Het ziet er nog eenvoudiger uit in wiskundige notatie:

Duidelijk? Stel dan uw succes veilig! Converteren naar gewone breuken. Je zou 10/7, 7/2, 23/10 en 21/4 moeten krijgen.

De omgekeerde bewerking - een oneigenlijke breuk omzetten in een gemengd getal - is zelden nodig op de middelbare school. Nou, als... En als je - niet op de middelbare school - kunt kijken naar de speciale sectie 555. Op dezelfde plaats leer je trouwens over oneigenlijke breuken.

Nou ja, bijna alles. Je herinnerde de soorten breuken en begreep hoe converteer ze van het ene type naar het andere. De vraag blijft: waarom doe het? Waar en wanneer deze diepgaande kennis toepassen?

Ik antwoord. Elk voorbeeld suggereert zelf de nodige acties. Als in het voorbeeld gewone breuken, decimalen en even gemengde nummers, zetten we alles om in gewone breuken. Het kan altijd. Welnu, als er zoiets als 0,8 + 0,3 is geschreven, dan denken we van wel, zonder enige vertaling. Waarom hebben we extra werk nodig? We kiezen de oplossing die handig is ons !

Als de taak vol is met decimale breuken, maar eh ... een soort van slechte, ga dan naar gewone, probeer het! Kijk, alles komt goed. U moet bijvoorbeeld het getal 0,125 kwadrateren. Niet zo gemakkelijk als je de gewoonte van de rekenmachine niet bent kwijtgeraakt! U moet niet alleen de getallen in een kolom vermenigvuldigen, maar ook nadenken over waar u de komma moet plaatsen! Het werkt zeker niet in mijn hoofd! En als je naar een gewone breuk gaat?

0,125 = 125/1000. We verminderen met 5 (dit is om te beginnen). We krijgen 25/200. Nogmaals op 5. We krijgen 5/40. O, het krimpt! Terug naar 5! We krijgen 1/8. Gemakkelijk vierkant (in gedachten!) en krijg 1/64. Alles!

Laten we deze les samenvatten.

1. Er zijn drie soorten breuken. Gewone, decimale en gemengde getallen.

2. Decimalen en gemengde getallen altijd kunnen worden omgezet in gewone breuken. Omgekeerde vertaling niet altijd verkrijgbaar.

3. De keuze van het type breuken om met de taak te werken hangt af van deze taak. In de aanwezigheid van verschillende soorten breuken in één taak, het meest betrouwbare is om over te schakelen naar gewone breuken.

Nu kun je oefenen. Converteer eerst deze decimale breuken naar gewone breuken:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Je zou dit soort antwoorden moeten krijgen (in een puinhoop!):

Hierop zullen we eindigen. In deze les hebben we de belangrijkste punten over breuken opgepoetst. Het komt echter voor dat er niets bijzonders is om op te frissen...) Als iemand het helemaal vergeten is, of het nog niet onder de knie heeft... Die kunnen naar een speciale sectie 555 gaan. Alle basisprincipes zijn daar gedetailleerd. Veel plotseling begrijp alles beginnen. En ze lossen breuken on the fly op).

Als je deze site leuk vindt...

Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)

U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau te weten komen. Testen met directe verificatie. Leren - met interesse!)

je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.

Decimale breuken zijn dezelfde gewone breuken, maar dan in de zogenaamde decimale notatie. Decimale notatie gebruikt voor breuken met noemers 10, 100, 1000, enz. In dit geval in plaats van breuken 1/10; 1/100; 1/1000; ... schrijf 0.1; 0,01; 0,001;... .

Bijvoorbeeld 0,7 ( nul punt zeven) is een breuk 7/10; 5.43 ( vijf komma drieënveertig honderdsten) is een gemengde breuk 5 43/100 (of, equivalent, een oneigenlijke breuk 543/100).

Het kan voorkomen dat er direct na de komma één of meerdere nullen staan: 1.03 is de breuk 1 3/100; 17.0087 is de breuk 1787/10000. Algemene regel is dit: er moeten evenveel nullen in de noemer van een gewone breuk staan ​​als er cijfers achter de komma in de decimale breuk staan.

Een decimaal kan eindigen op een of meer nullen. Het blijkt dat deze nullen "extra" zijn - ze kunnen eenvoudig worden verwijderd: 1,30 = 1,3; 5,4600 = 5,46; 3.000 = 3. Kun je achterhalen waarom dit zo is?

Decimalen ontstaan ​​van nature bij het delen door "ronde" getallen - 10, 100, 1000, ... Zorg ervoor dat u de volgende voorbeelden begrijpt:

27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;

579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;

33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;

34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;

6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.

Zie je hier een patroon? Probeer het te formuleren. Wat gebeurt er als je een decimaal vermenigvuldigt met 10, 100, 1000?

Om een ​​gewone breuk naar een decimaal te converteren, moet je deze naar een soort "ronde" noemer brengen:

2/5 = 4/10 = 0,4; 11/20 = 55/100 = 0,55; 9/2 = 45/10 = 4,5 enz.

Het toevoegen van decimalen is veel eenvoudiger dan het toevoegen van gewone breuken. Optellen gebeurt op dezelfde manier als bij gewone getallen - volgens de bijbehorende cijfers. Wanneer u een kolom toevoegt, moeten de termen zo worden geschreven dat hun komma's op dezelfde verticaal staan. De somkomma verschijnt ook op dezelfde verticaal. Het aftrekken van decimale breuken gebeurt op precies dezelfde manier.

Als bij het optellen of aftrekken in een van de breuken het aantal cijfers achter de komma kleiner is dan in de andere, dan moet aan het einde van deze breuk het vereiste aantal nullen worden toegevoegd. Je kunt deze nullen niet toevoegen, maar stel je ze gewoon voor in je hoofd.

Bij het vermenigvuldigen van decimale breuken moeten ze opnieuw worden vermenigvuldigd als gewone getallen (in dit geval is het niet langer nodig om een ​​komma onder een komma te schrijven). In het verkregen resultaat moet u met een komma het aantal tekens scheiden dat gelijk is aan het totale aantal decimalen in beide factoren.

Bij het delen van decimale breuken kun je de komma tegelijkertijd met hetzelfde aantal cijfers in het deeltal en deler naar rechts verplaatsen: het quotiënt verandert hierdoor niet:

2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;

4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;

6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.

Leg uit waarom dit zo is?

1. Teken een vierkant van 10x10. Verf over een deel ervan gelijk aan: a) 0,02; b) 0,7; c) 0,57; d) 0,91; e) 0,135 van de oppervlakte van het hele vierkant.
2. Wat is 2,43 vierkanten? Teken in de afbeelding.
3. Verdeel 37 door 10; 795; vier; 2.3; 65,27; 0,48 en schrijf het resultaat als een decimale breuk. Deel deze getallen door 100 en 1000.
4. Vermenigvuldig met 10 de getallen 4,6; 6,52; 23.095; 0.01999. Vermenigvuldig deze getallen met 100 en 1000.
5. Druk het decimaalteken uit als een breuk en verklein het:
   a) 0,5; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8;
   b) 0,25; 0,75; 0,05; 0,35; 0,025;
   c) 0,125; 0,375; 0,625; 0,875;
   d) 0,44; 0,26; 0,92; 0,78; 0,666; 0,848.
6. Stel je voor in de vorm gemengde fractie: 1,5; 3,2; 6,6; 2,25; 10,75; 4,125; 23,005; 7,0125.
7. Schrijf een gewone breuk als een decimaal:
   a) 1/2; 3/2; 7/2; 15/2; 1/5; 3/5; 4/5; 18/5;
   b) 1/4; 3/4; 5/4; 19/4; 1/20; 7/20; 49/20; 1/25; 13/25; 77/25; 1/50; 17/50; 137/50;
   c) 1/8; 3/8; 5/8; 7/8; 11/8; 125/8; 1/16; 5/16; 9/16; 23/16;
   d) 1/500; 3/250; 71/200; 9/125; 27/2500; 1999/2000.
8. Zoek de som: a) 7,3 + 12,8; b) 65,14+49,76; c) 3,762 + 12,85; d) 85,4+129.756; e) 1,44+2,56.
9. Beschouw een eenheid als de som van twee decimalen. Vind nog twintig manieren om dit te doen.
10. Zoek het verschil: a) 13,4–8,7; b) 74,52-27,04; c) 49,736-43,45; d) 127,24–93,883; e) 67-52,07; f) 35,24-34,9975.
11. Zoek het product: a) 7,6 3,8; b) 4,8 12,5; c) 2,39 7,4; d) 3,74 9,65.