Taken voor het delen van gewone breuken. Deling van gewone breuken

BIJ laatste keer we leerden breuken optellen en aftrekken (zie de les "Optellen en aftrekken van breuken"). Het moeilijkste moment in die acties was om breuken tot een gemeenschappelijke noemer te brengen.

Nu is het tijd om te gaan met vermenigvuldigen en delen. Het goede nieuws is dat deze bewerkingen nog eenvoudiger zijn dan optellen en aftrekken. Overweeg om te beginnen: eenvoudigste geval: als er twee zijn positieve breuken zonder een toegewezen geheel getal.

Om twee breuken te vermenigvuldigen, moet u hun tellers en noemers afzonderlijk vermenigvuldigen. Het eerste getal is de teller van de nieuwe breuk en het tweede de noemer.

Om twee breuken te delen, moet je de eerste breuk vermenigvuldigen met de "omgekeerde" seconde.

Aanwijzing:

Uit de definitie volgt dat de deling van breuken wordt herleid tot vermenigvuldigen. Om een breuk om te draaien, verwissel je gewoon de teller en de noemer. Daarom zullen we de hele les voornamelijk vermenigvuldigen.

Als gevolg van vermenigvuldiging kan een verkleinde breuk ontstaan (en komt vaak voor) - die moet natuurlijk worden verkleind. Als na alle reducties de breuk niet correct bleek te zijn, moet het hele deel daarin worden onderscheiden. Maar wat er precies niet gebeurt met vermenigvuldigen is reductie tot een gemene deler: geen kruiselingse methoden, maximumfactoren en kleinste gemene veelvouden.

Per definitie hebben we:

Vermenigvuldiging van breuken met een geheel getal en negatieve breuken

Indien aanwezig in breuken hele deel, moeten ze worden omgezet in onjuiste - en pas daarna worden vermenigvuldigd volgens de hierboven geschetste schema's.

Als er een min in de teller van een breuk, in de noemer of ervoor staat, kan deze uit de limieten van vermenigvuldiging worden gehaald of helemaal worden verwijderd volgens de volgende regels:

Plus maal min geeft min;
Twee negatieven maken een bevestiging.

Tot nu toe zijn deze regels alleen aangetroffen bij het optellen en aftrekken van negatieve breuken, wanneer het nodig was om het hele deel te verwijderen. Voor een product kunnen ze worden gegeneraliseerd om meerdere minnen tegelijk te "verbranden":

We doorstrepen de minnen in paren totdat ze volledig verdwijnen. In het uiterste geval kan één min overleven - degene die geen match heeft gevonden;
Als er geen minnen meer zijn, is de bewerking voltooid - u kunt beginnen met vermenigvuldigen. Als het laatste minpuntje niet is doorgestreept, omdat het geen paar heeft gevonden, halen we het uit de limieten van vermenigvuldiging. Je krijgt een negatieve breuk.

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking:

We vertalen alle breuken in onechte, en dan halen we de minnen buiten de limieten van vermenigvuldiging. Wat overblijft wordt vermenigvuldigd volgens de gebruikelijke regels. We krijgen:

Laat me je er nogmaals aan herinneren dat de min die voor een breuk komt met een gemarkeerd geheel getal specifiek verwijst naar de hele breuk, en niet alleen naar het gehele deel ervan (dit geldt voor de laatste twee voorbeelden).

Let ook op negatieve getallen: Bij vermenigvuldiging staan ze tussen haakjes. Dit wordt gedaan om de minnen van de vermenigvuldigingstekens te scheiden en de hele notatie nauwkeuriger te maken.

Snel breuken verminderen

Vermenigvuldigen is een zeer arbeidsintensieve operatie. De getallen hier zijn vrij groot en om de taak te vereenvoudigen, kun je proberen de breuk nog meer te verkleinen voor vermenigvuldiging. In wezen zijn de tellers en noemers van breuken inderdaad gewone factoren en daarom kunnen ze worden verminderd met behulp van de basiseigenschap van een breuk. Bekijk de voorbeelden:

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking:

Per definitie hebben we:

In alle voorbeelden zijn de getallen die zijn verkleind en wat er nog van over is in rood gemarkeerd.

Let op: in het eerste geval zijn de vermenigvuldigers volledig verlaagd. Eenheden bleven op hun plaats, wat over het algemeen kan worden weggelaten. In het tweede voorbeeld was het niet mogelijk om een volledige reductie te realiseren, maar het totale aantal berekeningen nam toch af.

Gebruik deze techniek echter in geen geval bij het optellen en aftrekken van breuken! Ja, soms zijn er vergelijkbare aantallen die u gewoon wilt verminderen. Hier, kijk:

Dat kan je niet!

De fout treedt op vanwege het feit dat bij het optellen van een breuk de som verschijnt in de teller van een breuk, en niet in het product van getallen. Daarom is het onmogelijk om de hoofdeigenschap van een breuk toe te passen, aangezien in deze eigenschap we zijn aan het praten Het gaat om het vermenigvuldigen van getallen.

Er is gewoon geen andere reden om breuken te verminderen, dus de juiste oplossing voor het vorige probleem ziet er als volgt uit:

Juiste oplossing:

Zoals je kunt zien, bleek het juiste antwoord niet zo mooi te zijn. Wees in het algemeen voorzichtig.

Thema: Divisie gewone breuken.

Doel: leer hoe u de deling van gewone breuken uitvoert, herhaal en consolideer de regels voor het vermenigvuldigen van gewone breuken en het concept van wederzijds wederkerige getallen.

Soort les: nieuwe kennis opdoen.

Apparatuur: krijt, bord, interactieve apparatuur, kaarten met regels en testtaken.

Lesplan:

Kennis update.

1). Tijd organiseren

2). Frontaal onderzoek

Vorming van nieuwe kennis.

een). Probleemstelling.

2). Zoek een oplossing voor het probleem.

3) Opstellen van een algoritme voor het delen van breuken.

4). Fizkultminutka.

een). Oplossing van delingsvoorbeelden nr. 596

2). Doe-het-zelf-oplossing testen.

3). Reflectie.

4). Huiswerk.

Tijdens de lessen:

Kennis update.

Hallo jongens! Ik zal onze les vandaag beginnen met de volgende woorden:

Er zijn verschillende breuken nodig

Verschillende breuken zijn belangrijk

We moeten breuken leren!

We weten al wat gewone breuken zijn: goed en fout, met en zonder geheel getal. We weten hoe we enkele acties met deze breuken moeten uitvoeren. Vermeld deze activiteiten.

Wat anders kunnen we doen?

Antwoorden van leerlingen: Zoek wederzijds inverse breuken.

Wat heb je nog niet geleerd?

Antwoorden van cursisten: Deel gewone breuken.

Het blijft dus aan ons om alleen deling te bestuderen om alle rekenkundige bewerkingen met gewone breuken uit te kunnen voeren.

Ik stel voor dat je een "Reis naar de bergen" maakt. Om de top te veroveren, moeten we een lange weg gaan en verschillende problemen oplossen. We gaan op pad. Laten we beginnen.

Welke van de twee breuken is groter?

Noem de breuk groter dan 2 en kleiner dan 3.

Noem gelijke breuken.

Noem een getal dat geen inverse heeft. (0).

Noem het nummer wederkerig aan zichzelf. (een).

Noem een breuk gelijk aan 4.

Kies uit de voorgestelde getallen een paar van elkaar inverse. (.

Waar is het werk gelijk aan? (een)

De oppervlakte van de rechthoek is m2. Lengte van de ene kant Vind de lengte van de andere kant? (we weten het niet).

Hier zullen we onze les van vandaag wijden aan de studie van de deling van breuken. Laten we het onderwerp van de les formuleren en opschrijven:

Student antwoordt: "Deling van gewone breuken."

Vorming van nieuwe kennis.

Om deze moeilijkheid die zich op onze weg heeft voorgedaan te overwinnen, is het noodzakelijk om een manier te vinden om gewone breuken te delen. Wat worden de voorstellen? (Luister naar de reacties van studenten juiste keuze niet gevonden, raadpleeg dan de tutorial).

Laten we proberen het antwoord op deze vraag in het leerboek te vinden. Open de leerboeken op p.97 p.17 en zoek daar de regel voor het delen van breuken, lees die. (Kinderen openen leerboeken en lezen de regel voor het delen van gewone breuken).

Laten we het opschrijven in een notitieboekje.

REGEL: Om de ene breuk door de andere te delen, moet je het deeltal vermenigvuldigen met het omgekeerde van de deler!

Voorbeeld: .

Doe een verdeling.

(Moeilijk en zoeken naar een oplossing door leerlingen, de leraar luistert naar de voorgestelde oplossingen voor deze taak).

Verdeling .

Beslissen hoe te verdelen gemengde nummers. Vul de gaten op de kaarten in met de ontbrekende woorden. De kaarten liggen op uw tafels.

KAART:

Fizkultminutka.

Ik stel voor dat je een pauze neemt. Leg al je spullen opzij, sta op en strek je uit, adem de schone berglucht in. Dan gaan we een beetje spelen. Ik zal de uitspraken voorlezen, en als ze waar zijn, klap je in je handen, en zo niet, dan stamp je met je voeten. We warmen ons dus op en vervolgen onze weg naar de top van de berg.

A) is een juiste breuk.

B) is een onherleidbare breuk.

C) is geen juiste breuk.

D) is een onherleidbare breuk.

D) is een juiste breuk.

E) is een gereduceerde fractie.

Nou, pak nu je spullen en ga verder met klimmen.

Vorming van vaardigheden en capaciteiten.

We zullen beslissen bij het bestuur nr. 596 a); e); en); l); m).

Laatst de laatste fase om de top te overwinnen, raad ik je aan het zelf te doen.

TEST (Kies na het voltooien van de deling het juiste antwoord en omcirkel het).

Soort les: les in het ontdekken van nieuwe kennis

De doelen van de leraar: introduceer de deling van een breuk door een breuk; voorwaarden scheppen voor de ontwikkeling van vaardigheden om de regel van het vermenigvuldigen van een breuk met een breuk en het verkleinen van breuken in de praktijk toe te passen.

Onderwerp: de regel afleiden voor het delen van een breuk door een breuk; deling van gewone breuken uitvoeren; los problemen op voor het vinden van S en a door de formule voor het gebied van een rechthoek, volume.

Persoonlijk: blijk geven van een positieve houding ten opzichte van wiskundelessen, een brede interesse in nieuwe leermateriaal, manieren om nieuwe op te lossen leerdoelen, welwillende houding ten opzichte van leeftijdsgenoten; de beoordeling van de leraar adequaat waarnemen; de redenen voor succes in educatieve activiteiten begrijpen.

Metaonderwerp:

regulerend: het doel van de onderwijsactiviteit bepalen met de hulp van een leraar en zelfstandig zoeken naar een middel om dit te bereiken;
cognitief: in staat om inhoud in een gecomprimeerde of uitgebreide vorm over te brengen;
communicatief: ze brengen hun standpunt naar voren en proberen dit te onderbouwen, met argumenten.

Uitrusting: multimediaprojector, presentatie.

Tijdens de lessen

I. Organisatorisch moment. Motivatie voor leeractiviteiten - 1min

Ik wil de les beginnen met een vraag voor jou. Wat is volgens jou het meest waardevolle op aarde? (Er wordt naar de antwoorden van de kinderen geluisterd). Deze vraag houdt de mensheid al duizenden jaren bezig. Hier is het antwoord van de beroemde wetenschapper Al-Biruni: “Kennis is het meest voortreffelijke bezit. Iedereen streeft ernaar, maar het komt niet vanzelf.” Laat deze woorden het motto van onze les zijn.

2. Controleren of leerlingen klaar zijn voor de les

3. Een indicator van de vervulling van de psychologische taak van studenten: een vriendelijke houding, de snelle opname van de klas in een zakelijk ritme.

II. Praktische activiteiten studenten - 5 minuten

Snel tellen - 1 min (verplicht gedeelte)

Mondeling tellen - 4 min

1. Breuken verkleinen: ,, , ,

2. Onderneem actie:

III. Het stadium waarin studenten worden voorbereid op actieve bewuste assimilatie van kennis-7min

Frontale enquête van studenten over het behandelde materiaal, wederzijds inverse getallen

Wat zijn wederkerige getallen?

Twee getallen waarvan het product gelijk is aan één worden reciproke getallen genoemd.

Wat is het omgekeerde van een natuurlijk getal?

De breuk is de teller, die \u003d 1, en de noemer is zelf een natuurlijk getal (P \u003d 1 / n)

Wat is het omgekeerde van een gewone breuk?

Wissel teller en noemer a/b en b/a . om

Heeft elk getal een inverse?

Niet? Nul heeft geen inverse, want je kunt niet delen door nul!

- Kan het product van twee reciprocals groter zijn dan één?

Waarom? Kunt u zo vriendelijk zijn deze vraag voor mij te beantwoorden?

Ja! Twee getallen waarvan het product gelijk is aan één worden reciproke getallen genoemd.

Noem de tegenhangers van de volgende getallen:

Antwoord: ;;; een;

2) Open uw notitieboekjes. Schrijf de datum op en laat ruimte voor het onderwerp. En nu stel ik voor dat je de volgende vergelijkingen oplost. Ga naar samenwerken. Door in paren te werken, wordt het antwoord geaccepteerd, pas nadat het paar akkoord is gegaan en het paar tot een consensus is gekomen. Pas als het paar klaar is om te antwoorden, zal ik uw antwoord accepteren: (Een teken van de bereidheid van het paar - opgeheven handen gevouwen samen)

1) 3 * x \u003d 12.6 Antwoord: x \u003d 4.2

2) X * 0,5 \u003d 2 Antwoord: x \u003d 4

3) * x \u003d 2 antwoord: x \u003d 4

Er deden zich problemen voor bij het oplossen van de derde vergelijking? Hoe ben je met ze omgegaan?

Converteerde een gewone breuk naar een decimaal en kreeg de vergelijking onder nr. 2

Het blijft om de vergelijking onder nr. 4 op te lossen. Vind de wortel van deze vergelijking.

Het antwoord van de wortel van de vergelijking is x=5

Welke kennis heeft je geholpen om te beslissen?

Product van wederzijdse getallen = 1. We herinnerden ons dat dit de regel van wederzijdse getallen is.

Beschouw de volgende vergelijking en los deze op: *x=

a) Nieuwe kennis (concept) (ze gebruiken een bekende methode om een onbekende factor te vinden, maar voor acties met gewone breuken)

b) proefactie (proberen te beslissen)

Wat is de onbekende in deze vergelijking?

onbekende vermenigvuldiger. Om de onbekende factor te vinden, moet u het product delen door de bekende factor

Aan het werk bekende regel X=2/7:1/3

c) de moeilijkheid oplossen

Kun jij deze vergelijking oplossen?

Ik kan deze taak niet voltooien omdat we geen regel hebben om deze vergelijking op te lossen.

Wat is uw moeilijkheid? Je hebt alle voorgaande vergelijkingen met succes opgelost! En dit....

Kunnen we de wortel van de vergelijking niet vinden?

d) de oorzaak van de moeilijkheid

Wat hield ons werk tegen?

We weten niet hoe we gewone breuken moeten delen

e) formulering van het doel van de activiteit

Er was een probleem: we kennen de regel niet voor het delen van gewone breuken

Een probleemsituatie die ons bij het doel van onze les brengt

Lesdoel: De regel voor het delen van gewone breuken

IV. Het stadium van assimilatie van nieuwe kennis - 10 minuten (fixatie van nieuwe kennis)

Schrijf het onderwerp van de les op: Deling van gewone breuken

Kunt u een manier voorstellen om ons probleem op te lossen? (doelen stellen)

Leerlingen aanbieding verschillende opties antwoorden.

Open het leerboek op pagina 97, lees de regel voor het delen van breuken in het leerboek. Lees ook de tekst op blz. 98 onder het kopje ‘Spreek op de juiste manier’.

Studenten van de eerste optie vertellen deze regel aan studenten van de tweede optie.

Laten we nu de laatste vergelijking oplossen. Wie heeft het besloten?

1) Hoe heb je de vergelijking opgelost? Pas de regel toe voor het delen van breuken.

2) Door welke actie werd de divisie vervangen?

3) Wat is er veranderd? Wat is er niet veranderd?

4) 1/3 en 3. Hoe heten deze getallen?

Formuleer een regel voor het delen van gewone breuken.

Om een gewone breuk te delen door een gewone breuk, moet je het deeltal vermenigvuldigen met het omgekeerde van de deler

Fizminutka

V. Stadium van consolidatie van nieuwe kennis - 9 minuten

P.98 Los nr. 596 (a-e) op

c) 7/5=1 2/5,

e) 15/9=1 2/3

De oplossing wordt op het bord gepresenteerd door de regel met volledige opmerkingen in de oplossing uit te spreken. Nadat het werk is gedaan, stopt de leraar met oplossen en biedt aan om de vraag te beantwoorden.

Kan verdeeldheid gevaarlijk zijn? of vallen?

Je kunt niet delen door nul!

Werken aan een taak. P.98 Nr. 600

Antwoord: kg - gewicht 1 dm 3; 2 dm 3 - inhoud van 1 kg grenen bar

Je werkte aan onze ontdekking "De regel van deling van gewone breuken". In je werk ontmoette je niet alleen gewone breuken, maar ook met natuurlijke getallen, gemengde fracties. En je hebt het gedaan. Wat is jouw succes?

Omdat alle getallen behalve nul omgekeerde hebben, is deze regel ook geschikt voor het oplossen van natuurlijke en gemengde breuken.

VI. Stadium van het testen van nieuwe kennis - 6 minuten

Ik stel voor dat je onafhankelijk werk oplost, volgens de methode om gewone breuken te delen die we hebben gevonden:

Open je agenda en schrijf je huiswerk op: blz. 17 (pp. 99-100) leer de regel. nr. 633 (a-e), nr. 637 (p. 105). Open de boeken op deze pagina en bekijk de taak. Wie begrijpt wat niet? Als je vragen hebt, stel ze of je kunt tijdens de pauze bij de leerkracht terecht.

VIII Reflectiefase en het resultaat van de les - 1 minuut

Wat voor nieuws hebben we geleerd in de les?

We hebben een manier gevonden om gewone breuken te delen.

Is het doel van onze les bereikt?

Ja. We hebben zelf een manier gevonden om ons probleem op te lossen en onze ontdekking werd bevestigd.

Formuleer samen de ontdekking (zeg de regel in koor)

Om een gewone breuk te delen door een gewone breuk, moet u het deeltal vermenigvuldigen met het omgekeerde van de deler.

In de oudheid zeiden ze in Rusland: Vermenigvuldigen is een kwelling en deling is een probleem.” En vandaag hebben we de hele les het tegendeel bewezen. Steek je hand op als je het met me eens bent. Bedankt voor de les!

Gebruikte educatieve en methodische literatuur.

Mathematics.6 klasse: leerboek voor algemeen vormend onderwijs. instellingen / N.Ya. Vilenkin, VI Zhokhov, A.S. Chesnokov, SI Shvartsburd. Moskou: Mnemosyne, 2012.
Lesontwikkelingen wiskunde. Graad 6-Vygovskaya V.V.-M: VAKO, 2014
Website van de uitgeverij "Eerste september"

Vermenigvuldigen en delen van breuken.

Aandacht!
Er zijn extra
materiaal in speciale sectie 555.
Voor degenen die sterk "niet erg..."
En voor degenen die "heel veel ...")

Deze bewerking is veel leuker dan optellen-aftrekken! Omdat het makkelijker is. Ik herinner je eraan: om een breuk met een breuk te vermenigvuldigen, moet je de tellers (dit is de teller van het resultaat) en de noemers (dit wordt de noemer) vermenigvuldigen. D.w.z:

Bijvoorbeeld:

Alles is uiterst eenvoudig. En kijk alsjeblieft niet gemeenschappelijke noemer! Heb het hier niet nodig...

Om een breuk door een breuk te delen, moet je omdraaien tweede(dit is belangrijk!) breuk en vermenigvuldig ze, d.w.z.:

Bijvoorbeeld:

Als vermenigvuldigen of delen met gehele getallen en breuken wordt opgevangen, is het goed. Net als bij optellen maken we een breuk van een geheel getal met een eenheid in de noemer - en gaan! Bijvoorbeeld:

Op de middelbare school heb je vaak te maken met breuken van drie (of zelfs vier!) verdiepingen. Bijvoorbeeld:

Hoe deze fractie tot een fatsoenlijke vorm te brengen? Ja, heel gemakkelijk! Gebruik deling door twee punten:

Maar vergeet de deelvolgorde niet! In tegenstelling tot vermenigvuldigen is dit hier erg belangrijk! Natuurlijk zullen we 4:2 of 2:4 niet door elkaar halen. Maar in een fractie van drie verdiepingen is het gemakkelijk om een fout te maken. Let bijvoorbeeld op:

In het eerste geval (uitdrukking links):

In de tweede (uitdrukking aan de rechterkant):

Voel het verschil? 4 en 1/9!

Wat is de volgorde van deling? Of haakjes, of (zoals hier) de lengte van horizontale streepjes. Ontwikkel een oog. En als er geen haakjes of streepjes zijn, zoals:

dan delen-vermenigvuldigen in volgorde, van links naar rechts!

En nog een heel eenvoudige en belangrijke truc. Bij acties met diploma's komt dat goed van pas! Laten we de eenheid delen door een willekeurige breuk, bijvoorbeeld door 13/15:

Het schot is omgedraaid! En het gebeurt altijd. Als je 1 deelt door een breuk, is het resultaat dezelfde breuk, alleen omgekeerd.

Dat zijn alle acties met breuken. Het ding is vrij eenvoudig, maar geeft meer dan genoeg fouten. Opmerking praktisch advies, en ze (fouten) zullen minder zijn!

Praktische tips:

1. Het belangrijkste bij het werken met fractionele uitdrukkingen is nauwkeurigheid en aandacht! Is niet veelgebruikte woorden, geen goede wensen! Dit is een grote behoefte! Doe alle berekeningen op het examen als een volwaardige taak, met concentratie en duidelijkheid. Het is beter om twee extra regels in een concept te schrijven dan te verknoeien bij het rekenen in je hoofd.

2. In de voorbeelden met verschillende soorten breuken - ga naar gewone breuken.

3. We reduceren alle breuken tot de aanslag.

4. Meerdere verdiepingen fractionele uitdrukkingen we reduceren tot gewone met behulp van deling door twee punten (we volgen de volgorde van deling!).

5. We verdelen de eenheid in onze geest in een breuk, simpelweg door de breuk om te draaien.

Dit zijn de taken die u moet voltooien. Antwoorden worden gegeven na alle taken. Gebruik de materialen van dit onderwerp en praktisch advies. Schat hoeveel voorbeelden je goed zou kunnen oplossen. De eerste keer! Zonder rekenmachine! En trek de juiste conclusies...

Onthoud het juiste antwoord verkregen vanaf de tweede (vooral de derde) keer - telt niet! Zo is het harde leven.

Dus, oplossen in examenmodus ! Dit is trouwens een voorbereiding op het examen. We lossen een voorbeeld op, we controleren, we lossen het volgende op. We hebben alles besloten - we hebben het van de eerste tot de laatste opnieuw gecontroleerd. Enkel en alleen na kijk naar de antwoorden.

Berekenen:

Heb je besloten?

Op zoek naar antwoorden die overeenkomen met die van jou. Ik heb ze specifiek opgeschreven in een puinhoop, weg van de verleiding, om zo te zeggen ... Hier zijn ze, de antwoorden, opgeschreven met een puntkomma.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

En nu trekken we conclusies. Als alles gelukt is - blij voor jou! Elementaire berekeningen met breuken zijn niet jouw probleem! Kan meer doen serieuze dingen. Als niet...

Dus je hebt een van de twee problemen. Of beide tegelijk.) Gebrek aan kennis en (of) onoplettendheid. Maar dit oplosbaar Problemen.

Als je deze site leuk vindt...

Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)

U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau te weten komen. Testen met directe verificatie. Leren - met interesse!)

je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.