De regel voor het vermenigvuldigen van een geheel getal met een decimaal. Een decimaal vermenigvuldigen met een natuurlijk getal

In deze les gaan we kijken naar het converteren van breuken naar gemeenschappelijke noemer en los problemen over dit onderwerp op. Laten we het concept van een gemeenschappelijke noemer en een extra factor definiëren, denk aan de wederzijdse priemgetallen. Laten we het concept van de kleinste gemene deler (LCD) definiëren en een aantal problemen oplossen om het te vinden.

Onderwerp: Breuken met verschillende noemers optellen en aftrekken

Les: Breuken reduceren tot een gemeenschappelijke noemer

Herhaling. Basiseigenschap van een breuk.

Als de teller en noemer van een breuk worden vermenigvuldigd of gedeeld door dezelfde natuurlijk nummer, dan krijg je een breuk die er gelijk aan is.

De teller en noemer van een breuk kunnen bijvoorbeeld worden gedeeld door 2. We krijgen een breuk. Deze bewerking wordt fractiereductie genoemd. Kan worden gedaan en inverse transformatie, door de teller en noemer van de breuk met 2 te vermenigvuldigen. In dit geval zeggen we dat we de breuk hebben teruggebracht tot een nieuwe noemer. Het getal 2 wordt een extra factor genoemd.

Conclusie. Een breuk kan worden teruggebracht tot elke noemer die een veelvoud is van de noemer van de gegeven breuk. Om een breuk naar een nieuwe noemer te brengen, worden de teller en noemer vermenigvuldigd met een extra factor.

1. Breng de breuk naar de noemer 35.

Het getal 35 is een veelvoud van 7, dat wil zeggen, 35 is deelbaar door 7 zonder rest. Deze transformatie is dus mogelijk. Laten we een extra factor zoeken. Om dit te doen, delen we 35 door 7. We krijgen 5. We vermenigvuldigen de teller en noemer van de oorspronkelijke breuk met 5.

2. Breng de breuk naar de noemer 18.

Laten we een extra factor zoeken. Om dit te doen, delen we de nieuwe noemer door de oorspronkelijke. We krijgen 3. We vermenigvuldigen de teller en noemer van deze breuk met 3.

3. Breng de breuk naar de noemer 60.

Door 60 te delen door 15, krijgen we een extra vermenigvuldiger. Het is gelijk aan 4. Laten we de teller en noemer vermenigvuldigen met 4.

4. Breng de breuk naar de noemer 24

In eenvoudige gevallen wordt de reductie tot een nieuwe noemer in de geest uitgevoerd. Het is gebruikelijk om een extra factor achter het haakje alleen iets naar rechts en boven de oorspronkelijke breuk aan te geven.

Een breuk kan worden teruggebracht tot een noemer van 15 en een breuk kan worden teruggebracht tot een noemer van 15. Breuken hebben een gemeenschappelijke noemer van 15.

De gemeenschappelijke noemer van breuken kan een willekeurig veelvoud van hun noemers zijn. Voor de eenvoud worden breuken teruggebracht tot de kleinste gemene deler. Het is gelijk aan het kleinste gemene veelvoud van de noemers van de gegeven breuken.

Voorbeeld. Reduceer tot de kleinste gemene deler van de breuk en .

Zoek eerst het kleinste gemene veelvoud van de noemers van deze breuken. Dit getal is 12. Laten we een extra factor zoeken voor de eerste en tweede breuk. Om dit te doen, delen we 12 door 4 en door 6. Drie is een extra factor voor de eerste breuk, en twee voor de tweede. We brengen de breuken naar de noemer 12.

We hebben breuken teruggebracht tot een gemeenschappelijke noemer, dat wil zeggen, we hebben breuken gevonden die gelijk zijn aan hen, die dezelfde noemer hebben.

Regel. Om breuken naar de kleinste gemene deler te brengen,

Zoek eerst het kleinste gemene veelvoud van de noemers van deze breuken, wat hun kleinste gemene deler zal zijn;

Ten tweede, deel de kleinste gemene deler door de noemers van deze breuken, dat wil zeggen, zoek een extra factor voor elke breuk.

Ten derde, vermenigvuldig de teller en noemer van elke breuk met de extra factor.

a) Verklein de breuken en tot een gemeenschappelijke noemer.

De kleinste gemene deler is 12. De extra factor voor de eerste breuk is 4, voor de tweede - 3. We brengen de breuken naar de noemer 24.

b) Verklein de breuken en tot een gemeenschappelijke noemer.

De kleinste gemene deler is 45. Als we 45 delen door 9 door 15, krijgen we respectievelijk 5 en 3. We brengen de breuken naar de noemer 45.

c) Verklein de breuken en tot een gemeenschappelijke noemer.

De gemene deler is 24. De extra factoren zijn respectievelijk 2 en 3.

Soms is het moeilijk om verbaal het kleinste gemene veelvoud te vinden voor de noemers van gegeven breuken. Vervolgens worden de gemene deler en aanvullende factoren gevonden door uit te breiden naar priemfactoren.

Reduceer tot een gemeenschappelijke noemer van de breuk en .

Laten we de getallen 60 en 168 ontleden in priemfactoren. Laten we de uitbreiding van het getal 60 uitschrijven en de ontbrekende factoren 2 en 7 van de tweede uitbreiding toevoegen. Vermenigvuldig 60 met 14 en krijg een gemeenschappelijke noemer van 840. De extra factor voor de eerste breuk is 14. De extra factor voor de tweede breuk is 5. Laten we de breuken reduceren tot een gemeenschappelijke noemer van 840.

Bibliografie

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S. en anderen. Wiskunde 6. - M.: Mnemozina, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Wiskunde 6e leerjaar. - Gymnasium, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Achter de pagina's van een wiskundeboek. - Verlichting, 1989.

4. Rurukin A.N., Tsjajkovski I.V. Taken voor de cursus wiskunde rang 5-6 downloaden. - ZSH MEPHI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Chaikovsky K.G. Wiskunde 5-6. Een handleiding voor leerlingen van het 6de leerjaar van de MEPhI correspondentieschool. - ZSH MEPHI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. etc. Wiskunde: gesprekspartner leerboek voor de rangen 5-6 middelbare school. Bibliotheek van de leraar wiskunde. - Verlichting, 1989.

U kunt de in clausule 1.2 genoemde boeken downloaden. deze les.

Huiswerk

Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S. e.a. Wiskunde 6. - M.: Mnemozina, 2012. (zie link 1.2)

Huiswerk: nr. 297, nr. 298, nr. 300.

Andere taken: #270, #290

Laten we eens kijken naar specifieke voorbeelden om te begrijpen hoe u decimalen kunt vermenigvuldigen.

Decimale vermenigvuldigingsregel

1) We vermenigvuldigen en negeren de komma.

2) Als resultaat scheiden we evenveel cijfers na de komma als er zijn na de komma's in beide factoren samen.

Voorbeelden.

Vind het product van decimalen:

Om decimalen te vermenigvuldigen, vermenigvuldigen we zonder aandacht te besteden aan komma's. Dat wil zeggen, we vermenigvuldigen niet 6,8 en 3,4, maar 68 en 34. Als resultaat scheiden we evenveel cijfers achter de komma als er achter de komma's staan in beide factoren samen. In de eerste factor na de komma is er één cijfer, in de tweede is er ook één. In totaal scheiden we twee cijfers achter de komma, zodat we het uiteindelijke antwoord hebben: 6,8∙3,4=23,12.

Decimaal vermenigvuldigen zonder rekening te houden met de komma. Dat wil zeggen, in plaats van 36,85 met 1,14 te vermenigvuldigen, vermenigvuldigen we 3685 met 14. We krijgen 51590. In dit resultaat moeten we zoveel cijfers scheiden met een komma als er in beide factoren samen zijn. Het eerste getal heeft twee cijfers achter de komma, het tweede heeft er één. In totaal scheiden we drie cijfers met een komma. Aangezien er aan het einde van de invoer na de komma een nul staat, schrijven we deze niet als antwoord: 36.85∙1.4=51.59.

Om deze decimalen te vermenigvuldigen, vermenigvuldigen we de getallen zonder op de komma's te letten. Dat wil zeggen, we vermenigvuldigen de natuurlijke getallen 2315 en 7. We krijgen 16205. In dit getal moeten vier cijfers worden gescheiden achter de komma - zoveel als er in beide factoren samen zijn (twee in elk). Eindantwoord: 23.15∙0.07=1.6205.

Het vermenigvuldigen van een decimale breuk met een natuurlijk getal gaat op dezelfde manier. We vermenigvuldigen de getallen zonder aandacht te besteden aan de komma, dat wil zeggen, we vermenigvuldigen 75 met 16. In het verkregen resultaat, na de komma, moeten er evenveel tekens zijn als er in beide factoren samen zijn - één. Dus 75-1,6 = 120,0 = 120.

We beginnen de vermenigvuldiging van decimale breuken door natuurlijke getallen te vermenigvuldigen, omdat we geen aandacht besteden aan komma's. Daarna scheiden we zoveel cijfers na de komma als er in beide factoren samen zijn. Het eerste getal heeft twee decimalen en het tweede heeft twee decimalen. In totaal zouden er dus vier cijfers achter de komma moeten staan: 4.72∙5.04=23.7888.

decimale vermenigvuldiging gebeurt in drie fasen.

Decimalen worden in een kolom geschreven en vermenigvuldigd als gewone getallen.

We tellen het aantal decimalen voor de eerste decimaal en de tweede. We voegen hun nummer toe.

In het verkregen resultaat tellen we van rechts naar links zoveel cijfers als ze in de bovenstaande paragraaf zijn gebleken en plaatsen we een komma.

Hoe decimalen te vermenigvuldigen

We schrijven decimale breuken in een kolom en vermenigvuldigen ze als natuurlijke getallen, waarbij we de komma's negeren. Dat wil zeggen, we beschouwen 3,11 als 311 en 0,01 als 1.

Ontvangen 311 . Nu tellen we voor beide breuken het aantal tekens (cijfers) achter de komma. De eerste decimaal heeft twee cijfers en de tweede heeft er twee. Totaal aantal cijfers na komma's:

We tellen van rechts naar links 4 karakters (cijfers) van het resulterende getal. Het resultaat bevat minder cijfers dan u met een komma moet scheiden. In dat geval heb je nodig links het ontbrekende aantal nullen toewijzen.

We missen één cijfer, dus schrijven we één nul toe aan de linkerkant.

Bij het vermenigvuldigen van een decimale breuk op 10; 100; 1000 enz. de komma schuift evenveel cijfers naar rechts als er nullen achter de ene staan.

70.1 10 = 701

0,023 100 = 2,3

5,6 1000 = 5600

Een decimaal vermenigvuldigen met 0,1; 0,01; 0,001, enz., moet de komma in deze breuk met zoveel cijfers naar links worden verplaatst als er nullen voor de eenheid staan.

We tellen nul gehele getallen!

12 0,1 = 1,2
0,05 0,1 = 0,005
1.256 0.01 = 0.012 56

Laten we eens kijken naar specifieke voorbeelden om te begrijpen hoe u decimalen kunt vermenigvuldigen.

Decimale vermenigvuldigingsregel

1) We vermenigvuldigen en negeren de komma.

2) Als resultaat scheiden we evenveel cijfers na de komma als er zijn na de komma's in beide factoren samen.

Vind het product van decimalen:

Om decimalen te vermenigvuldigen, vermenigvuldigen we zonder aandacht te besteden aan komma's. Dat wil zeggen, we vermenigvuldigen 6,8 en 3,4 niet, maar 68 en 34. Als resultaat scheiden we evenveel cijfers achter de komma als er achter de komma's staan in beide factoren samen. In de eerste vermenigvuldiger staat één cijfer achter de komma, in de tweede is er ook één. In totaal scheiden we twee cijfers achter de komma, zodat we het uiteindelijke antwoord hebben: 6,8∙3,4=23,12.

En nog een paar voorbeelden voor het vermenigvuldigen van decimale breuken:

www.for6cl.uznateshe.ru

Vermenigvuldiging van decimale breuken, regels, voorbeelden, oplossingen.

Laten we naar de volgende stap gaan met decimalen, zullen we nu eens nader bekijken decimalen vermenigvuldigen. Laten we eerst bespreken algemene principes decimalen vermenigvuldigen. Laten we daarna verder gaan met het vermenigvuldigen van een decimale breuk met een decimale breuk, laten zien hoe de vermenigvuldiging van decimale breuken met een kolom wordt uitgevoerd, overweeg de oplossingen van voorbeelden. Vervolgens analyseren we de vermenigvuldiging van decimale breuken met natuurlijke getallen, in het bijzonder met 10, 100, enz. Laten we het tot slot hebben over het vermenigvuldigen van decimale breuken met gewone breuken en gemengde getallen.

Laten we meteen zeggen dat we in dit artikel alleen zullen praten over het vermenigvuldigen van positieve decimale breuken (zie positieve en negatieve getallen). De overige gevallen worden besproken in de artikelvermenigvuldiging rationele nummers en vermenigvuldiging van reële getallen.

Paginanavigatie.

Algemene principes voor het vermenigvuldigen van decimalen

Laten we de algemene principes bespreken die moeten worden gevolgd bij het uitvoeren van vermenigvuldiging met decimale breuken.

Aangezien decimale decimalen en oneindige periodieke breuken de decimale vorm zijn van gewone breuken, is het vermenigvuldigen van dergelijke decimalen in wezen het vermenigvuldigen van gewone breuken. Met andere woorden, vermenigvuldiging van de laatste decimalen, vermenigvuldiging van laatste en periodieke decimale breuken, net zoals periodieke decimalen vermenigvuldigen komt neer op het vermenigvuldigen van gewone breuken na het converteren van decimale breuken naar gewone breuken.

Overweeg voorbeelden van de toepassing van het stemhebbende principe van het vermenigvuldigen van decimale breuken.

Voer de vermenigvuldiging van de decimalen 1,5 en 0,75 uit.

Laten we de vermenigvuldigde decimale breuken vervangen door de overeenkomstige gewone breuken. Sinds 1,5=15/10 en 0,75=75/100, dus. U kunt de breuk verkleinen en vervolgens het hele deel selecteren uit onechte breuk, maar handiger verkregen gemeenschappelijke breuk 1 125/1 000 schrijf als een decimale breuk 1.125.

Opgemerkt moet worden dat het handig is om de laatste decimale breuken in een kolom te vermenigvuldigen, we zullen in de volgende paragraaf over deze methode voor het vermenigvuldigen van decimale breuken praten.

Overweeg een voorbeeld van het vermenigvuldigen van periodieke decimale breuken.

Bereken het product van de periodieke decimalen 0,(3) en 2,(36) .

Laten we periodieke decimale breuken converteren naar gewone breuken:

Dan. U kunt de resulterende gewone breuk converteren naar een decimale breuk:

Als er oneindige niet-periodieke breuken zijn onder de vermenigvuldigde decimale breuken, dan moeten alle vermenigvuldigde breuken, inclusief eindige en periodieke breuken, naar boven worden afgerond op een bepaald cijfer (zie getallen afronden), en voer vervolgens de vermenigvuldiging uit van de uiteindelijke decimale breuken die na afronding zijn verkregen.

Vermenigvuldig de decimalen 5,382… en 0,2.

Eerst ronden we een oneindige niet-periodieke decimale breuk af, afronding kan op honderdsten, we hebben 5,382 ... ≈5,38. De laatste decimale breuk 0.2 hoeft niet te worden afgerond op honderdsten. Dus 5,382... 0,2-5,38 0,2. Het blijft om het product van de uiteindelijke decimale breuken te berekenen: 5,38 0,2 \u003d 538 / 100 2 / 10 \u003d 1,076/1.000 \u003d 1,076.

Vermenigvuldiging van decimale breuken met een kolom

Vermenigvuldiging van eindige decimale breuken kan worden uitgevoerd met een kolom, vergelijkbaar met vermenigvuldiging met een kolom met natuurlijke getallen.

Laten we formuleren vermenigvuldigingsregel voor decimale breuken. Om decimale breuken met een kolom te vermenigvuldigen, hebt u het volgende nodig:

negeer komma's, voer vermenigvuldiging uit volgens alle regels van vermenigvuldiging met een kolom met natuurlijke getallen;
scheid in het resulterende getal zoveel cijfers aan de rechterkant met een decimaalteken als er decimale cijfers zijn in beide factoren samen, en als er niet genoeg cijfers in het product zijn, moet u aan de linkerkant toevoegen juiste hoeveelheid nullen.

Overweeg voorbeelden van het vermenigvuldigen van decimale breuken met een kolom.

Vermenigvuldig de decimalen 63,37 en 0,12.

Laten we de vermenigvuldiging van decimale breuken met een kolom uitvoeren. Eerst vermenigvuldigen we de getallen, waarbij we de komma's negeren:

Het blijft om een komma in het resulterende product te plaatsen. Ze moet 4 cijfers aan de rechterkant scheiden, aangezien er vier decimalen zijn in de factoren (twee in de breuk 3.37 en twee in de breuk 0.12). Er zijn genoeg cijfers, dus je hoeft geen nullen aan de linkerkant toe te voegen. Laten we de plaat afmaken:

Als resultaat hebben we 3,37 0,12 = 7,6044.

Bereken het product van de decimalen 3.2601 en 0.0254 .

Nadat we vermenigvuldiging met een kolom hebben uitgevoerd zonder rekening te houden met komma's, krijgen we het volgende beeld:

Nu moet je in het werk de 8 cijfers aan de rechterkant scheiden met een komma, aangezien totaal decimalen van vermenigvuldigde breuken is acht. Maar er zijn slechts 7 cijfers in het product, daarom moet u zoveel nullen aan de linkerkant toewijzen, zodat 8 cijfers kunnen worden gescheiden door een komma. In ons geval moeten we twee nullen toewijzen:

Dit voltooit de vermenigvuldiging van decimale breuken met een kolom.

Decimaaltekens vermenigvuldigen met 0,1, 0,01, enz.

Heel vaak moet je decimalen vermenigvuldigen met 0,1, 0,01, enzovoort. Daarom is het raadzaam om een regel te formuleren voor het vermenigvuldigen van een decimale breuk met deze getallen, die volgt uit de hierboven besproken principes van vermenigvuldiging van decimale breuken.

Dus, een gegeven decimaal vermenigvuldigen met 0,1, 0,01, 0,001, enzovoort geeft een breuk, die wordt verkregen uit de originele, als in de invoer de komma respectievelijk 1, 2, 3 enzovoort cijfers naar links wordt verplaatst, en als er niet genoeg cijfers zijn om de komma te verplaatsen, dan moet toevoegen benodigde hoeveelheid nullen.

Als u bijvoorbeeld de decimale breuk 54,34 met 0,1 wilt vermenigvuldigen, moet u de komma naar links verplaatsen met 1 cijfer in de breuk 54,34, en u krijgt de breuk 5.434, dat wil zeggen 54,34 0,1 \u003d 5.434. Laten we nog een voorbeeld nemen. Vermenigvuldig de decimale breuk 9,3 met 0,0001. Om dit te doen, moeten we de komma 4 cijfers naar links verplaatsen in de vermenigvuldigde decimale breuk 9.3, maar het record van de breuk 9.3 bevat niet zo'n aantal tekens. Daarom moeten we zoveel nullen toewijzen in het record van de breuk 9.3 aan de linkerkant, zodat we de komma gemakkelijk naar 4 cijfers kunnen verplaatsen, we hebben 9.3 0.0001 \u003d 0.00093.

Merk op dat de aangekondigde regel voor het vermenigvuldigen van een decimale breuk met 0,1, 0,01, ... ook geldt voor oneindige decimale breuken. Bijvoorbeeld 0, (18) 0,01=0,00 (18) of 93,938… 0,1=9,3938… .

Een decimaal vermenigvuldigen met een natuurlijk getal

In de kern decimalen vermenigvuldigen met natuurlijke getallen is niet anders dan een decimaal vermenigvuldigen met een decimaal.

Het is het handigst om een eindige decimale breuk te vermenigvuldigen met een natuurlijk getal met een kolom, terwijl u de regels voor vermenigvuldigen met een kolom met decimale breuken moet volgen die in een van de vorige paragrafen zijn besproken.

Bereken het product 15 2.27 .

Laten we de vermenigvuldiging van een natuurlijk getal met een decimale breuk in een kolom uitvoeren:

Bij het vermenigvuldigen van een periodieke decimale breuk met een natuurlijk getal, periodieke breuk vervangen door een gewone breuk.

Vermenigvuldig de decimale breuk 0, (42) met het natuurlijke getal 22.

Laten we eerst de periodieke decimaal omzetten in een gewone breuk:

Laten we nu de vermenigvuldiging doen: . Dit decimale resultaat is 9, (3) .

En als je een oneindige niet-periodieke decimale breuk vermenigvuldigt met een natuurlijk getal, moet je eerst afronden.

Doe de vermenigvuldiging 4 2.145….

Door de oorspronkelijke oneindige decimale breuk naar boven af te ronden, komen we tot de vermenigvuldiging van een natuurlijk getal en een uiteindelijke decimale breuk. We hebben 4 2,145…≈4 2,15=8,60.

Een decimaal vermenigvuldigen met 10, 100, ...

Heel vaak moet je decimale breuken vermenigvuldigen met 10, 100, ... Daarom is het raadzaam om in detail op deze gevallen in te gaan.

Laten we stemmen regel voor het vermenigvuldigen van een decimaal met 10, 100, 1.000, enz. Wanneer u een decimale breuk vermenigvuldigt met 10, 100, ... in de invoer, moet u de komma naar rechts verplaatsen met respectievelijk 1, 2, 3, ... cijfers en extra nullen aan de linkerkant weggooien; als er niet genoeg cijfers in het record van de vermenigvuldigde breuk zijn om de komma over te brengen, moet u het vereiste aantal nullen aan de rechterkant toevoegen.

Vermenigvuldig het decimaalteken 0,0783 met 100.

Laten we de breuk 0,0783 twee cijfers naar rechts overzetten naar het record, en we krijgen 007,83. Als we twee nullen aan de linkerkant laten vallen, krijgen we de decimale breuk 7,38. Dus 0,0783 100=7,83.

Vermenigvuldig de decimale breuk 0,02 met 10.000.

Om 0,02 met 10.000 te vermenigvuldigen, moeten we de komma 4 cijfers naar rechts verplaatsen. Het is duidelijk dat er in het record van de breuk 0.02 niet genoeg cijfers zijn om de komma over te zetten naar 4 cijfers, dus zullen we rechts een paar nullen toevoegen zodat de komma kan worden overgedragen. In ons voorbeeld is het voldoende om drie nullen toe te voegen, we hebben 0,02000. Na het verplaatsen van de komma krijgen we de invoer 00200.0 . Als we de nullen aan de linkerkant laten vallen, hebben we het getal 200,0, wat gelijk is aan het natuurlijke getal 200, het is het resultaat van het vermenigvuldigen van de decimale breuk 0,02 met 10.000.

De genoemde regel is ook geldig voor het vermenigvuldigen van oneindige decimale breuken met 10, 100, ... Bij het vermenigvuldigen van periodieke decimale breuken moet u voorzichtig zijn met de punt van de breuk die het resultaat is van vermenigvuldiging.

Vermenigvuldig de periodieke decimaal 5.32(672) met 1000 .

Voor vermenigvuldiging schrijven we de periodieke decimale breuk als 5.32672672672 ..., hierdoor kunnen we fouten voorkomen. Laten we nu de komma 3 cijfers naar rechts verplaatsen, we hebben 5 326.726726 ... . Zo wordt na vermenigvuldiging een periodieke decimale breuk verkregen 5 326, (726).

5,32(672) 1000=5326,(726) .

Bij oneindig vermenigvuldigen niet-periodieke breuken voor 10, 100, ... moet je eerste ronde oneindige breuk tot een bepaald cijfer, waarna vermenigvuldiging moet worden uitgevoerd.

Een decimaal vermenigvuldigen met een gewone breuk of een gemengd getal

Een eindig decimaal of een oneindig periodiek decimaal vermenigvuldigen met een breuk of gemengd getal, moet u de decimale breuk voorstellen als een gewone breuk en vervolgens de vermenigvuldiging uitvoeren.

Vermenigvuldig de decimale breuk 0,4 met het gemengde getal.

Sinds 0,4=4/10=2/5 en toen. Het resulterende getal kan worden geschreven als een periodieke decimale breuk 1.5(3) .

Bij het vermenigvuldigen van een oneindige niet-periodieke decimale breuk met een gewone breuk of een gemengd getal, moet de gewone breuk of het gemengde getal worden vervangen door een decimale breuk, rond de vermenigvuldigde breuken af en voltooi de berekening.

Sinds 2/3 \u003d 0.6666 ..., dan. Na het afronden van de vermenigvuldigde breuken op duizendsten, komen we tot het product van twee definitieve decimale breuken 3,568 en 0,667. Laten we de vermenigvuldiging in een kolom doen:

Het verkregen resultaat moet worden afgerond op duizendsten, aangezien de vermenigvuldigde breuken met een nauwkeurigheid van duizendsten zijn genomen, hebben we 2,379856-2,380.

www.cleverstudents.ru

29. Vermenigvuldiging van decimale breuken. reglement

Vind de oppervlakte van een rechthoek met gelijke zijden
1,4 dm en 0,3 dm. Converteren decimeters naar centimeters:

1,4 dm = 14 cm; 0,3 dm = 3 cm.

Laten we nu de oppervlakte in centimeters berekenen.

S \u003d 14 3 \u003d 42 cm 2.

Converteren vierkante centimeter naar vierkant
decimeters:

d m 2 \u003d 0,42 d m 2.

Vandaar, S \u003d 1.4 dm 0.3 dm \u003d 0.42 dm 2.

Het vermenigvuldigen van twee decimalen gaat als volgt:
1) getallen worden vermenigvuldigd zonder rekening te houden met komma's.
2) de komma in het product is zo geplaatst dat deze aan de rechterkant van elkaar gescheiden is
zoveel tekens als gescheiden in beide factoren
bij elkaar genomen. Bijvoorbeeld:

1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

Voorbeelden van het vermenigvuldigen van decimale breuken in een kolom:

In plaats van een willekeurig getal met 0,1 te vermenigvuldigen; 0,01; 0,001
je kunt dit getal delen door 10; 100; of 1000 respectievelijk.
Bijvoorbeeld:

22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

Wanneer we een decimale breuk vermenigvuldigen met een natuurlijk getal, moeten we:

1) vermenigvuldig de getallen, negeer de komma;

2) plaats in het resulterende product een komma zodat aan de rechterkant
daaruit waren evenveel cijfers als in een decimale breuk.

Laten we het product zoeken 3.12 10 . Volgens de bovenstaande regel:
vermenigvuldig eerst 312 met 10 . We krijgen: 312 10 \u003d 3120.
En nu scheiden we de twee cijfers aan de rechterkant met een komma en krijgen:

3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

Dus bij het vermenigvuldigen van 3.12 met 10, hebben we de komma met één verplaatst
nummer naar rechts. Als we 3.12 vermenigvuldigen met 100, krijgen we 312, dat wil zeggen
de komma is twee cijfers naar rechts verplaatst.

3,12 100 = 312,00 = 312 .

Wanneer u een decimale breuk vermenigvuldigt met 10, 100, 1000, enz., moet u:
verplaats in deze breuk de komma naar rechts zoveel tekens als er nullen zijn
zit in de vermenigvuldiger. Bijvoorbeeld:

0,065 1000 = 0065, = 65 ;

2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

Taken over het onderwerp "Vermenigvuldiging van decimale breuken"

school-assistent.ru

Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van decimalen

Het optellen en aftrekken van decimalen is vergelijkbaar met het optellen en aftrekken van natuurlijke getallen, maar met bepaalde voorwaarden.

Regel. wordt gemaakt door de cijfers van de gehele en fractionele delen als natuurlijke getallen.

wanneer geschreven decimalen optellen en aftrekken de komma die het gehele deel scheidt van het fractionele deel moet in de termen en de som of in het minteken, aftrekteken en verschil in één kolom staan (een komma onder een komma van de voorwaarde tot het einde van de berekening).

Optellen en aftrekken van decimalen naar de regel:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

Optellen en aftrekken van decimalen in een kolom:

Het toevoegen van decimale breuken vereist een bovenste extra regel om getallen te schrijven wanneer de som van het cijfer door een tien gaat. Voor het aftrekken van decimalen is de bovenste extra regel nodig om het cijfer te markeren waarin de 1 wordt geleend.

Als er niet genoeg cijfers van het breukdeel rechts van de term of verminderd zijn, dan kunnen er net zoveel nullen worden toegevoegd aan de rechterkant in het breukdeel (verhoog de bitdiepte van het breukdeel) als er cijfers zijn in een andere term of verminderd.

decimale vermenigvuldiging wordt op dezelfde manier uitgevoerd als de vermenigvuldiging van natuurlijke getallen, volgens dezelfde regels, maar in het product wordt een komma geplaatst volgens de som van de cijfers van de factoren in het fractionele deel, geteld van rechts naar links (de som van de cijfers van de factoren is het aantal cijfers achter de komma voor de factoren samen).

Bij decimalen vermenigvuldigen in een kolom wordt het eerste significante cijfer aan de rechterkant ondertekend onder het eerste significante cijfer aan de rechterkant, zoals in natuurlijke getallen:

Opnemen decimalen vermenigvuldigen in een kolom:

Opnemen decimale deling in een kolom:

De onderstreepte tekens zijn komma-omlooptekens omdat de deler een geheel getal moet zijn.

Regel. Bij deling van breuken de deler van een decimale breuk neemt toe met zoveel cijfers als er cijfers zijn in het breukdeel. Om ervoor te zorgen dat de breuk niet verandert, wordt het deeltal met hetzelfde aantal cijfers verhoogd (in het deeltal en de deler wordt de komma overgebracht naar hetzelfde aantal tekens). De komma wordt in het quotiënt geplaatst in het stadium van deling wanneer: hele deel breuken zijn verdeeld.

Voor decimale breuken, evenals voor natuurlijke getallen, blijft de regel behouden: Je kunt een decimaal niet delen door nul!

In de laatste les hebben we geleerd hoe je decimale breuken kunt optellen en aftrekken (zie de les "Optellen en aftrekken van decimale breuken"). Tegelijkertijd schatten ze hoeveel de berekeningen zijn vereenvoudigd in vergelijking met de gebruikelijke "twee verdiepingen tellende" breuken.

Helaas treedt dit effect niet op bij vermenigvuldiging en deling van decimale breuken. In sommige gevallen bemoeilijkt de decimale notatie deze bewerkingen zelfs.

Laten we eerst een nieuwe definitie introduceren. We zullen hem heel vaak ontmoeten, en niet alleen in deze les.

Het significante deel van een getal is alles tussen het eerste en laatste cijfer dat niet nul is, inclusief de trailers. Het gaat over alleen over getallen, er wordt geen rekening gehouden met de komma.

De cijfers in het significante deel van het getal worden significante cijfers genoemd. Ze kunnen worden herhaald en zelfs gelijk zijn aan nul.

Overweeg bijvoorbeeld verschillende decimale breuken en schrijf de bijbehorende significante delen op:

91,25 → 9125 (significante cijfers: 9; 1; 2; 5);
0,008241 → 8241 (significante cijfers: 8; 2; 4; 1);
15.0075 → 150075 (significante cijfers: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
0,0304 → 304 (significante cijfers: 3; 0; 4);
3000 → 3 (er is maar één significant cijfer: 3).

Let op: nullen in het significante deel van het getal gaan nergens heen. We zijn al iets soortgelijks tegengekomen toen we leerden om decimale breuken om te zetten in gewone breuken (zie de les “Decimale breuken”).

Dit punt is zo belangrijk en er worden hier zo vaak fouten gemaakt dat ik in de nabije toekomst een test over dit onderwerp zal publiceren. Oefen zeker! En wij, gewapend met het concept van een aanzienlijk deel, zullen in feite overgaan tot het onderwerp van de les.

decimale vermenigvuldiging

De vermenigvuldiging bestaat uit drie opeenvolgende stappen:

Schrijf voor elke breuk het significante deel op. U krijgt twee gewone gehele getallen - zonder noemers en decimale punten;
Vermenigvuldig deze getallen op een handige manier. Direct, als de aantallen klein zijn, of in een kolom. We krijgen het significante deel van de gewenste fractie;
Zoek uit waar en met hoeveel cijfers de komma in de oorspronkelijke breuken is verschoven om het corresponderende significante deel te verkrijgen. Voer omgekeerde verschuivingen uit op het significante deel dat in de vorige stap is verkregen.

Laat me je er nogmaals aan herinneren dat nullen aan de zijkanten van het significante deel nooit in aanmerking worden genomen. Het negeren van deze regel leidt tot fouten.

0,28 12,5;

6,3 1,08;

132,5 0,0034;

0,0108 1600,5;

5,25 10.000.

We werken met de eerste uitdrukking: 0.28 12.5.

Laten we de significante delen voor de getallen uit deze uitdrukking opschrijven: 28 en 125;
Hun product: 28 125 = 3500;
In de eerste vermenigvuldiger wordt de komma 2 cijfers naar rechts verschoven (0,28 → 28), en in de tweede - met nog eens 1 cijfer. In totaal is een verschuiving naar links met drie cijfers nodig: 3500 → 3.500 = 3,5.

Laten we nu de uitdrukking 6.3 1.08 behandelen.

Laten we de significante delen opschrijven: 63 en 108;
Hun product: 63 108 = 6804;
Nogmaals, twee verschuivingen naar rechts: met respectievelijk 2 en 1 cijfers. In totaal - weer 3 cijfers naar rechts, dus de omgekeerde verschuiving is 3 cijfers naar links: 6804 → 6.804. Deze keer zijn er geen nullen aan het einde.

We kwamen bij de derde uitdrukking: 132,5 0,0034.

Belangrijke onderdelen: 1325 en 34;
Hun product: 1325 34 = 45.050;
In de eerste breuk gaat de komma 1 cijfer naar rechts en in de tweede - met maar liefst 4. Totaal: 5 naar rechts. We voeren een verschuiving van 5 naar links uit: 45050 → .45050 = 0.4505. Nul werd aan het einde verwijderd en aan de voorkant toegevoegd om geen "kale" decimale punt achter te laten.

De volgende uitdrukking: 0,0108 1600,5.

We schrijven significante delen: 108 en 16 005;
We vermenigvuldigen ze: 108 16 005 = 1 728 540;
We tellen de getallen achter de komma: in het eerste getal zijn er 4, in het tweede - 1. In totaal - weer 5. We hebben: 1.728.540 → 17.28540 = 17.2854. Aan het einde werd de "extra" nul verwijderd.

Tot slot de laatste uitdrukking: 5,25 10.000.

Belangrijke onderdelen: 525 en 1;
We vermenigvuldigen ze: 525 1 = 525;
De eerste breuk wordt 2 cijfers naar rechts verschoven en de tweede breuk wordt 4 cijfers naar links verschoven (10.000 → 1.0000 = 1). Totaal 4 − 2 = 2 cijfers naar links. We voeren een omgekeerde verschuiving uit met 2 cijfers naar rechts: 525, → 52 500 (we moesten nullen toevoegen).

Let op laatste voorbeeld: aangezien de komma in verschillende richtingen beweegt, is de totale verschuiving door het verschil. Dit is erg belangrijk punt! Hier is nog een voorbeeld:

Beschouw de getallen 1,5 en 12 500. We hebben: 1,5 → 15 (verschuiving 1 naar rechts); 12 500 → 125 (shift 2 naar links). We "stappen" 1 cijfer naar rechts en dan 2 cijfers naar links. Als resultaat zijn we 2 − 1 = 1 cijfer naar links gestapt.

decimale deling

Verdeling is misschien wel het meest complexe operatie. Natuurlijk kun je hier handelen naar analogie met vermenigvuldigen: deel de significante delen en "verplaats" vervolgens de komma. Maar in dit geval zijn er veel subtiliteiten die de potentiële besparingen tenietdoen.

Laten we dus kijken naar een generiek algoritme dat iets langer is, maar veel betrouwbaarder:

Converteer alle decimalen naar gewone breuken. Met een beetje oefening duurt deze stap een kwestie van seconden;
Verdeel de resulterende breuken op de klassieke manier. Met andere woorden, vermenigvuldig de eerste breuk met de "omgekeerde" seconde (zie de les "Vermenigvuldigen en delen van numerieke breuken");
Retourneer het resultaat indien mogelijk als een decimaal. Ook deze stap is snel, want vaak heeft de noemer al een macht van tien.

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking:

3,51: 3,9;

1,47: 2,1;

6,4: 25,6:

0,0425: 2,5;

0,25: 0,002.

We beschouwen de eerste uitdrukking. Laten we eerst obi-breuken naar decimalen converteren:

We doen hetzelfde met de tweede uitdrukking. De teller van de eerste breuk wordt weer ontleed in factoren:

Er is een belangrijk punt in het derde en vierde voorbeeld: na het wegwerken van de decimale notatie verschijnen verwijderbare breuken. We zullen deze verlaging echter niet uitvoeren.

Het laatste voorbeeld is interessant omdat de teller van de tweede breuk een priemgetal is. Er valt hier gewoon niets te factoriseren, dus we beschouwen het als "blanco":

Soms resulteert deling in een geheel getal (ik heb het over het laatste voorbeeld). In dit geval wordt de derde stap helemaal niet uitgevoerd.

Bovendien verschijnen bij het delen vaak "lelijke" breuken die niet kunnen worden omgezet in decimalen. Dit is waar deling verschilt van vermenigvuldiging, waarbij de resultaten altijd in decimale vorm worden uitgedrukt. Natuurlijk wordt in dit geval de laatste stap opnieuw niet uitgevoerd.

Let ook op het 3e en 4e voorbeeld. Daarin verminderen we bewust niet gewone breuken afgeleid van decimalen. Anders wordt het moeilijker omgekeerd probleem- weergave van het uiteindelijke antwoord in decimale vorm.

Onthoud: de basiseigenschap van een breuk (zoals elke andere regel in de wiskunde) op zich betekent niet dat het overal en altijd moet worden toegepast, bij elke gelegenheid.