Zoek een knoop en een knoop van drie. Knikken en knikken van getallen - de grootste gemene deler en het kleinste gemene veelvoud van meerdere getallen

Laten we beginnen met het bestuderen van het kleinste gemene veelvoud van twee of meer getallen. In de sectie zullen we een definitie van de term geven, een stelling beschouwen die een verband legt tussen het kleinste gemene veelvoud en de grootste gemene deler, en voorbeelden geven van het oplossen van problemen.

Veelvouden - definitie, voorbeelden

In dit onderwerp zijn we alleen geïnteresseerd in veelvouden van andere gehele getallen dan nul.

Definitie 1

Gemeenschappelijk veelvoud van gehele getallen is een geheel getal dat een veelvoud is van alle gegeven getallen. In feite is het elk geheel getal dat kan worden gedeeld door een van de gegeven getallen.

De definitie van gemeenschappelijke veelvouden verwijst naar twee, drie of meer gehele getallen.

voorbeeld 1

Volgens de hierboven gegeven definitie voor het getal 12 zijn de gemeenschappelijke veelvouden 3 en 2. Ook zal het getal 12 een veelvoud zijn van de getallen 2 , 3 en 4 . De getallen 12 en -12 zijn veelvouden van de getallen ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Tegelijkertijd is het gemeenschappelijke veelvoud voor de nummers 2 en 3 de nummers 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 en hele regel iemand anders.

Als we getallen nemen die deelbaar zijn door het eerste getal van een paar en niet deelbaar zijn door het tweede, dan zullen zulke getallen geen gemene veelvouden zijn. Dus voor de nummers 2 en 3 zullen de nummers 16 , − 27 , 5009 , 27001 geen gemene veelvouden zijn.

0 is een gemeenschappelijk veelvoud van een reeks gehele getallen die niet nul is.

Als we ons de eigenschap van deelbaarheid herinneren met betrekking tot tegengestelde nummers dan blijkt dat een geheel getal k een veelvoud van deze getallen zal zijn op dezelfde manier als het getal -k. Dit betekent dat gemeenschappelijke delers positief of negatief kunnen zijn.

Is het mogelijk om voor alle nummers een LCM te vinden?

Het gemeenschappelijke veelvoud kan worden gevonden voor alle gehele getallen.

Voorbeeld 2

Stel dat we worden gegeven k gehele getallen een 1 , een 2 , … , een k. Het getal dat we krijgen tijdens de vermenigvuldiging van getallen een 1 een 2 … een k volgens de deelbaarheidseigenschap wordt deze gedeeld door elk van de factoren die in het oorspronkelijke product waren opgenomen. Dit betekent dat het product van de getallen een 1 , een 2 , … , een k is het kleinste gemene veelvoud van deze getallen.

Hoeveel gemene veelvouden kunnen deze gehele getallen hebben?

Een groep gehele getallen kan hebben een groot aantal van gemeenschappelijke veelvouden. In feite is hun aantal oneindig.

Voorbeeld 3

Stel dat we een getal k hebben. Dan is het product van de getallen k · z , waarbij z een geheel getal is, een veelvoud van de getallen k en z . Aangezien het aantal getallen oneindig is, is het aantal gemeenschappelijke veelvouden oneindig.

Kleinste gemene veelvoud (LCM) - definitie, symbool en voorbeelden

Laten we het concept onthouden het kleinste getal van gegeven set getallen, die we hebben besproken in de sectie Vergelijking van gehele getallen. Laten we met dit concept in gedachten de definitie formuleren van het kleinste gemene veelvoud, dat de grootste praktische waarde heeft van alle gemene veelvouden.

Definitie 2

Kleinste gemene veelvoud van gegeven gehele getallen is het kleinste positieve gemene veelvoud van deze getallen.

Het kleinste gemene veelvoud bestaat voor een willekeurig aantal gegeven getallen. De afkorting NOK wordt in de referentieliteratuur het meest gebruikt om een begrip aan te duiden. Korte invoer kleinste gemene veelvoud voor getallen een 1 , een 2 , … , een k zal lijken op LCM (een 1 , een 2 , … , een k).

Voorbeeld 4

Het kleinste gemene veelvoud van 6 en 7 is 42. Die. LCM(6, 7) = 42. Het kleinste gemene veelvoud van vier getallen - 2, 12, 15 en 3 is gelijk aan 60. De afkorting is LCM (- 2 , 12 , 15 , 3) = 60 .

Niet voor alle groepen van gegeven getallen ligt het kleinste gemene veelvoud voor de hand. Vaak moet het worden berekend.

Relatie tussen NOC en NOD

Kleinste gemene veelvoud en grootste gemeenschappelijke deler onderling verbonden. De relatie tussen concepten wordt bepaald door de stelling.

Stelling 1

Het kleinste gemene veelvoud van twee positieve gehele getallen a en b is gelijk aan het product van de getallen a en b gedeeld door de grootste gemene deler van de getallen a en b , dat wil zeggen, LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) .

Bewijs 1

Stel dat we een getal M hebben dat een veelvoud is van de getallen a en b . Als het getal M deelbaar is door a , is er ook een geheel getal z , waaronder de gelijkheid M = een k. Volgens de definitie van deelbaarheid, als M ook deelbaar is door b, dus dan een k gedeeld door b.

Als we een nieuwe notatie introduceren voor ggd (a , b) as d, dan kunnen we de gelijkheden gebruiken a = een 1 d en b = b 1 · d. In dit geval zijn beide gelijkheden priemgetallen.

Dat hebben we hierboven al vastgesteld een k gedeeld door b. Nu kan deze voorwaarde als volgt worden geschreven:
een 1 d k gedeeld door b 1 d, wat gelijk is aan de voorwaarde een 1 k gedeeld door b 1 volgens de eigenschappen van deelbaarheid.

Volgens de eigendom wederzijdse priemgetallen, als een 1 en b 1 zijn onderling priemgetallen, een 1 niet deelbaar door b 1 ondanks het feit dat een 1 k gedeeld door b 1, dan b 1 zou moeten delen k.

In dit geval zou het gepast zijn om aan te nemen dat er een nummer is t, waarvoor k = b 1 t, en sindsdien b1=b:d, dan k = b: d t.

Nu in plaats van k in gelijkheid brengen M = een k uitdrukking van de vorm b: d t. Dit stelt ons in staat om tot gelijkheid te komen M = een b: d t. Bij t=1 we kunnen het kleinste positieve gemene veelvoud van a en b . krijgen , Gelijk een b: d, op voorwaarde dat de nummers a en b positief.

We hebben dus bewezen dat LCM (a , b) = a b: GCD (a,b).

Door een verbinding tot stand te brengen tussen LCM en GCD kunt u het kleinste gemene veelvoud vinden via de grootste gemene deler van twee of meer gegeven getallen.

Definitie 3

De stelling heeft twee belangrijke consequenties:

veelvouden van het kleinste gemene veelvoud van twee getallen zijn hetzelfde als gemeenschappelijke veelvouden van die twee getallen;
het kleinste gemene veelvoud van coprime positieve getallen a en b is gelijk aan hun product.

Het is niet moeilijk om deze twee feiten te onderbouwen. Elk gemeenschappelijk veelvoud van M-getallen a en b wordt gedefinieerd door de gelijkheid M = LCM (a, b) t voor een geheel getal t. Aangezien a en b coprime zijn, dan is ggd (a, b) = 1, dus LCM (a, b) = a b: ggd (a, b) = a b: 1 = a b.

Kleinste gemene veelvoud van drie of meer getallen

Om het kleinste gemene veelvoud van meerdere getallen te vinden, moet je achtereenvolgens de LCM van twee getallen vinden.

Stelling 2

Laten we doen alsof een 1 , een 2 , … , een k zijn enkele gehele getallen positieve getallen. De LCM berekenen m k deze getallen moeten we achtereenvolgens berekenen m2 = LCM(a 1 , a 2) , m3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(mk - 1 , a k) .

Bewijs 2

Het eerste gevolg van de eerste stelling die in dit onderwerp wordt besproken, zal ons helpen om de juistheid van de tweede stelling te bewijzen. Redeneren is gebouwd volgens het volgende algoritme:

veelvouden van getallen een 1 en een 2 samenvallen met veelvouden van hun LCM, in feite vallen ze samen met veelvouden van het getal m2;
veelvouden van getallen een 1, een 2 en een 3 m2 en een 3 m 3;
veelvouden van getallen een 1 , een 2 , … , een k samenvallen met veelvouden van getallen mk - 1 en een k, daarom samenvallen met veelvouden van het getal m k;
vanwege het feit dat het kleinste positieve veelvoud van het getal m k is het nummer zelf m k, dan het kleinste gemene veelvoud van de getallen een 1 , een 2 , … , een k is m k.

We hebben dus de stelling bewezen.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

Het kleinste gemene veelvoud (LCM) en de grootste gemene deler (GCD) van natuurlijke getallen vinden.

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) We schrijven de factoren op die zijn opgenomen in de uitbreiding van het eerste van deze getallen en voegen daarbij de ontbrekende factor 5 van de uitbreiding van het tweede getal. We krijgen: 2*2*3*5*5=300. NOC gevonden, d.w.z. deze som = 300. Vergeet de dimensie niet en schrijf het antwoord op:
Antwoord: Moeder geeft elk 300 roebel.

Definitie van GCD: Grootste gemene deler (GCD) natuurlijke getallen a en in noem het grootste natuurlijke getal c, waaraan en a, en b verdeeld zonder rest. Die. c is het kleinste natuurlijke getal waarvoor en a en b zijn veelvouden.

Herinnering: Er zijn twee benaderingen voor de definitie van natuurlijke getallen:

nummers gebruikt in: opsomming (nummering) van items (eerste, tweede, derde, ...); - op scholen, meestal.
met vermelding van het aantal items (geen pokemon - nul, één pokemon, twee pokemon, ...).

Negatieve en niet-gehele (rationeel, reëel, ...) getallen zijn niet natuurlijk. Sommige auteurs nemen nul op in de verzameling natuurlijke getallen, andere niet. De verzameling van alle natuurlijke getallen wordt meestal aangeduid met het symbool N

Herinnering: Deler van een natuurlijk getal a bel het nummer b, waaraan? a verdeeld zonder rest. Veelvoud van natuurlijk getal b een natuurlijk getal genoemd a, die wordt gedeeld door b zonder een spoor. Als nummer b- getaldeler a, dan a meerdere van b. Voorbeeld: 2 is een deler van 4 en 4 is een veelvoud van 2. 3 is een deler van 12 en 12 is een veelvoud van 3.
Herinnering: Natuurlijke getallen worden priemgetallen genoemd als ze zonder rest alleen door zichzelf en door 1 deelbaar zijn. Coprime zijn getallen die slechts één gemeenschappelijke deler gelijk aan 1 hebben.

Bepalen hoe u GCD kunt vinden in algemeen geval: Om GCD (Grootste Gemene Deler) te vinden Er zijn verschillende natuurlijke getallen nodig:
1) Verdeel ze in priemfactoren. (De priemgetalgrafiek kan hierbij zeer nuttig zijn.)
2) Schrijf de factoren op die zijn opgenomen in de uitbreiding van een van hen.
3) Verwijder de nummers die niet zijn opgenomen in de uitbreiding van de resterende nummers.
4) Vermenigvuldig de factoren verkregen in paragraaf 3).

Taak 2 op (NOK): Tegen het nieuwe jaar kocht Kolya Puzatov 48 hamsters en 36 koffiepotten in de stad. Fekla Dormidontova, als het meest eerlijke meisje van de klas, kreeg de taak om dit eigendom te verdelen in een zo groot mogelijk aantal cadeausets voor leraren. Wat is het aantal sets? Wat is de samenstelling van de sets?

Voorbeeld 2.1. het oplossen van het probleem van het vinden van GCD. GCD zoeken door selectie.
Oplossing: Elk van de getallen 48 en 36 moet deelbaar zijn door het aantal geschenken.
1) Schrijf de delers 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Schrijf de delers 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Kies de grootste gemene deler. Op-la-la! Gevonden, dit is het aantal sets van 12 stuks.
3) Deel 48 door 12, we krijgen 4, delen 36 door 12, we krijgen 3. Vergeet de dimensie niet en schrijf het antwoord op:
Antwoord: Je krijgt 12 sets van 4 hamsters en 3 koffiepotten in elke set.

Het hieronder gepresenteerde materiaal is een logisch vervolg op de theorie uit het artikel onder de kop LCM - kleinste gemene veelvoud, definitie, voorbeelden, relatie tussen LCM en GCD. Hier zullen we het over hebben het vinden van het kleinste gemene veelvoud (LCM), en Speciale aandacht Laten we de voorbeelden eens bekijken. Laten we eerst laten zien hoe de LCM van twee getallen wordt berekend in termen van de GCD van deze getallen. Overweeg vervolgens om het kleinste gemene veelvoud te vinden door getallen in priemfactoren te ontbinden. Daarna zullen we ons concentreren op het vinden van de LCM van drie en meer getallen, en let ook op de berekening van de LCM van negatieve getallen.

Paginanavigatie.

Berekening van het kleinste gemene veelvoud (LCM) via ggd

Een manier om het kleinste gemene veelvoud te vinden is gebaseerd op de relatie tussen LCM en GCD. De bestaande relatie tussen LCM en GCD stelt u in staat om het kleinste gemene veelvoud van twee positieve gehele getallen te berekenen via de bekende grootste gemene deler. De bijbehorende formule heeft de vorm LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Overweeg voorbeelden van het vinden van de LCM volgens de bovenstaande formule.

Voorbeeld.

Zoek het kleinste gemene veelvoud van de twee getallen 126 en 70 .

Oplossing.

In dit voorbeeld a=126 , b=70 . Laten we de relatie tussen LCM en GCD gebruiken, uitgedrukt door de formule LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Dat wil zeggen dat we eerst de grootste gemene deler van de getallen 70 en 126 moeten vinden, waarna we de LCM van deze getallen kunnen berekenen volgens de geschreven formule.

Vind ggd(126, 70) met behulp van het algoritme van Euclides: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , vandaar ggd(126, 70)=14 .

Nu vinden we het vereiste kleinste gemene veelvoud: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Antwoorden:

LCM(126, 70)=630 .

Voorbeeld.

Wat is LCM(68, 34)?

Oplossing.

Omdat 68 is gelijkelijk deelbaar door 34 , dan ggd(68, 34)=34 . Nu berekenen we het kleinste gemene veelvoud: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Antwoorden:

LCM(68, 34)=68 .

Merk op dat het vorige voorbeeld voldoet aan de volgende regel voor het vinden van de LCM voor positieve gehele getallen a en b: als het getal a deelbaar is door b, dan is het kleinste gemene veelvoud van deze getallen a.

De LCM vinden door getallen te factoriseren in priemfactoren

Een andere manier om het kleinste gemene veelvoud te vinden, is door getallen in priemfactoren te ontbinden. Als we van alle priemfactoren van deze getallen een product maken, en daarna alle gemeenschappelijke priemfactoren die in de uitbreidingen van deze getallen voorkomen van dit product uitsluiten, dan is het resulterende product gelijk aan het kleinste gemene veelvoud van deze getallen.

De aangekondigde regel voor het vinden van de LCM volgt uit de gelijkheid LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Inderdaad, het product van de getallen a en b is gelijk aan het product van alle factoren die betrokken zijn bij de uitbreidingen van de getallen a en b. Op zijn beurt, ggd(a, b) is gelijk aan het product alle priemfactoren die gelijktijdig aanwezig zijn in de uitbreidingen van de getallen a en b (die wordt beschreven in de sectie over het vinden van GCD met behulp van de ontleding van getallen in priemfactoren).

Laten we een voorbeeld nemen. Laten we weten dat 75=3 5 5 en 210=2 3 5 7 . Stel het product van alle factoren van deze uitbreidingen samen: 2 3 3 5 5 5 7 . Nu we van dit product alle factoren uitsluiten die aanwezig zijn zowel in de uitbreiding van het getal 75 als in de uitbreiding van het getal 210 (dergelijke factoren zijn 3 en 5), dan zal het product de vorm aannemen 2 3 5 5 7 . De waarde van dit product is gelijk aan het kleinste gemene veelvoud van de getallen 75 en 210, dat wil zeggen, LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Voorbeeld.

Nadat je de getallen 441 en 700 in priemfactoren hebt ontbonden, zoek je het kleinste gemene veelvoud van deze getallen.

Oplossing.

Laten we de getallen 441 en 700 ontleden in priemfactoren:

We krijgen 441=3 3 7 7 en 700=2 2 5 5 7 .

Laten we nu een product maken van alle factoren die betrokken zijn bij de uitbreidingen van deze getallen: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Laten we van dit product alle factoren uitsluiten die gelijktijdig aanwezig zijn in beide uitbreidingen (er is maar één zo'n factor - dit is het getal 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Op deze manier, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Antwoorden:

LCM(441, 700)= 44 100 .

De regel voor het vinden van de LCM met behulp van de ontleding van getallen in priemfactoren kan iets anders worden geformuleerd. Als we de ontbrekende factoren uit de uitbreiding van het getal b optellen bij de factoren uit de ontleding van het getal a, dan is de waarde van het resulterende product gelijk aan het kleinste gemene veelvoud van de getallen a en b.

Laten we bijvoorbeeld allemaal dezelfde getallen 75 en 210 nemen, hun uitbreidingen naar priemfactoren zijn als volgt: 75=3 5 5 en 210=2 3 5 7 . Bij de factoren 3, 5 en 5 uit de uitbreiding van het getal 75, tellen we de ontbrekende factoren 2 en 7 op uit de uitbreiding van het getal 210, we krijgen het product 2 3 5 5 7 , waarvan de waarde LCM(75 , 210).

Voorbeeld.

Zoek het kleinste gemene veelvoud van 84 en 648.

Oplossing.

We verkrijgen eerst de ontleding van de getallen 84 en 648 in priemfactoren. Ze zien eruit als 84=2 2 3 7 en 648=2 2 2 3 3 3 3 . Bij de factoren 2 , 2 , 3 en 7 uit de uitbreiding van het getal 84 tellen we de ontbrekende factoren 2 , 3 , 3 en 3 op uit de uitbreiding van het getal 648 , we krijgen het product 2 2 2 3 3 3 3 7 , wat gelijk is aan 4 536 . Het gewenste kleinste gemene veelvoud van de getallen 84 en 648 is dus 4.536.

Antwoorden:

LCM(84, 648)=4 536 .

De LCM van drie of meer getallen vinden

Het kleinste gemene veelvoud van drie of meer getallen kan worden gevonden door achtereenvolgens de LCM van twee getallen te vinden. Roep de bijbehorende stelling op, die een manier geeft om de LCM van drie of meer getallen te vinden.

Stelling.

Laat positieve gehele getallen a 1 , a 2 , …, a k gegeven worden, het kleinste gemene veelvoud m k van deze getallen wordt gevonden in de sequentiële berekening m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Overweeg de toepassing van deze stelling op het voorbeeld van het vinden van het kleinste gemene veelvoud van vier getallen.

Voorbeeld.

Zoek de LCM van de vier getallen 140, 9, 54 en 250.

Oplossing.

In dit voorbeeld een 1 =140 , een 2 =9 , een 3 =54 , een 4 =250 .

Eerst vinden we m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Om dit te doen, met behulp van het Euclidische algoritme, bepalen we ggd(140, 9) , we hebben 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , dus ggd( 140, 9)=1 , vanwaar LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Dat wil zeggen, m 2 = 1 260 .

Nu vinden we m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Laten we het berekenen via ggd(1 260, 54) , dat ook wordt bepaald door het Euclides-algoritme: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Dan ggd(1 260, 54)=18 , vandaar LCM(1 260, 54)= 1 260 54:ggcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Dat wil zeggen, m 3 \u003d 3 780.

Links te vinden m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Om dit te doen, vinden we GCD(3 780, 250) met behulp van het Euclid-algoritme: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Daarom ggd(3 780, 250)=10 , vandaar ggd(3 780, 250)= 3 780 250:ggd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Dat wil zeggen, m 4 \u003d 94 500.

Dus het kleinste gemene veelvoud van de oorspronkelijke vier getallen is 94.500.

Antwoorden:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

In veel gevallen wordt het kleinste gemene veelvoud van drie of meer getallen gemakkelijk gevonden met behulp van priemfactorisaties van gegeven getallen. In dit geval moet de volgende regel worden gevolgd. Het kleinste gemene veelvoud van meerdere getallen is gelijk aan het product, dat als volgt is samengesteld: de ontbrekende factoren van de uitbreiding van het tweede getal worden opgeteld bij alle factoren van de uitbreiding van het eerste getal, de ontbrekende factoren van de uitbreiding van het derde getal wordt opgeteld bij de verkregen factoren, enzovoort.

Overweeg een voorbeeld van het vinden van het kleinste gemene veelvoud met behulp van de ontleding van getallen in priemfactoren.

Voorbeeld.

Zoek het kleinste gemene veelvoud van vijf getallen 84, 6, 48, 7, 143.

Oplossing.

Eerst verkrijgen we de uitbreidingen van deze getallen in priemfactoren: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 priemfactoren) en 143=11 13 .

Om de LCM van deze getallen te vinden, moet je bij de factoren van het eerste getal 84 (het zijn 2 , 2 , 3 en 7 ) de ontbrekende factoren van de uitbreiding van het tweede getal 6 optellen. De uitbreiding van het getal 6 bevat geen ontbrekende factoren, aangezien zowel 2 als 3 al aanwezig zijn in de uitbreiding van het eerste getal 84 . Naast de factoren 2 , 2 , 3 en 7 tellen we de ontbrekende factoren 2 en 2 op uit de uitbreiding van het derde getal 48 , we krijgen een reeks factoren 2 , 2 , 2 , 2 , 3 en 7 . Het is niet nodig om in de volgende stap factoren aan deze set toe te voegen, aangezien 7 er al in zit. Tot slot tellen we bij de factoren 2 , 2 , 2 , 2 , 3 en 7 de ontbrekende factoren 11 en 13 uit de uitbreiding van het getal 143 . We krijgen het product 2 2 2 2 3 7 11 13 , wat gelijk is aan 48 048 .

Overweeg drie manieren om het kleinste gemene veelvoud te vinden.

Zoeken door factoring

De eerste manier is om het kleinste gemene veelvoud te vinden door de gegeven getallen in priemfactoren te ontbinden.

Stel dat we de LCM van getallen moeten vinden: 99, 30 en 28. Om dit te doen, ontleden we elk van deze getallen in priemfactoren:

Om het gewenste getal deelbaar te maken door 99, 30 en 28, is het noodzakelijk en voldoende dat het alle priemfactoren van deze delers omvat. Om dit te doen, moeten we alle priemfactoren van deze getallen naar de hoogst voorkomende macht nemen en ze met elkaar vermenigvuldigen:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Dus LCM (99, 30, 28) = 13.860. Geen enkel ander getal kleiner dan 13.860 is deelbaar door 99, 30 of 28.

Om het kleinste gemene veelvoud van gegeven getallen te vinden, moet je ze ontbinden in priemfactoren, dan elke priemfactor nemen met de grootste exponent waarmee het voorkomt, en deze factoren met elkaar vermenigvuldigen.

Omdat co-priemgetallen geen gemeenschappelijke priemfactoren hebben, is hun kleinste gemene veelvoud gelijk aan het product van deze getallen. Drie getallen: 20, 49 en 33 zijn bijvoorbeeld coprime. Dat is waarom

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Hetzelfde moet worden gedaan bij het zoeken naar het kleinste gemene veelvoud van verschillende priemgetallen. Bijvoorbeeld, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Zoeken op selectie

De tweede manier is om het kleinste gemene veelvoud te vinden door te passen.

Voorbeeld 1. Als het grootste van de gegeven getallen deelbaar is door andere gegeven getallen, dan is de LCM van deze getallen gelijk aan het grootste ervan. Geef bijvoorbeeld vier getallen: 60, 30, 10 en 6. Elk van hen is deelbaar door 60, dus:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

In andere gevallen wordt de volgende procedure gebruikt om het kleinste gemene veelvoud te vinden:

Bepaal het grootste getal uit de gegeven getallen.
Zoek vervolgens getallen die veelvouden zijn het grootste aantal, vermenigvuldigen met gehele getallen in oplopende volgorde en controleren of de overige gegeven getallen deelbaar zijn door het resulterende product.

Voorbeeld 2. Gegeven drie getallen 24, 3 en 18. Bepaal de grootste van hen - dit is het getal 24. Zoek vervolgens de veelvouden van 24 en controleer of elk van hen deelbaar is door 18 en door 3:

24 1 = 24 is deelbaar door 3 maar niet deelbaar door 18.

24 2 = 48 - deelbaar door 3 maar niet deelbaar door 18.

24 3 \u003d 72 - deelbaar door 3 en 18.

Dus LCM(24, 3, 18) = 72.

Zoeken door sequentieel zoeken LCM

De derde manier is om het kleinste gemene veelvoud te vinden door achtereenvolgens de LCM te vinden.

De LCM van twee gegeven getallen is gelijk aan het product van deze getallen gedeeld door hun grootste gemene deler.

Voorbeeld 1. Vind de LCM van twee gegeven getallen: 12 en 8. Bepaal hun grootste gemene deler: GCD (12, 8) = 4. Vermenigvuldig deze getallen:

We verdelen het product in hun GCD:

Dus LCM (12, 8) = 24.

Om de LCM van drie of meer getallen te vinden, wordt de volgende procedure gebruikt:

Eerst wordt de LCM van twee van de gegeven getallen gevonden.
Dan is de LCM van het gevonden kleinste gemene veelvoud en de derde gegeven nummer.
Dan de LCM van het resulterende kleinste gemene veelvoud en het vierde getal, enzovoort.
Zo gaat het LCM-zoeken door zolang er nummers zijn.

Voorbeeld 2. Zoek de LCM drie gegevens nummers: 12, 8 en 9. De LCM van de nummers 12 en 8 hebben we al gevonden in het vorige voorbeeld (dit is het nummer 24). Het blijft om het kleinste gemene veelvoud van 24 en het derde gegeven getal - 9 te vinden. Bepaal hun grootste gemene deler: ggd (24, 9) = 3. Vermenigvuldig LCM met het getal 9:

We verdelen het product in hun GCD:

Dus LCM (12, 8, 9) = 72.

GCD is de grootste gemene deler.

Om de grootste gemene deler van verschillende getallen te vinden:

bepaal de factoren die beide getallen gemeen hebben;
vind het product van gemeenschappelijke factoren.

Een voorbeeld van het vinden van een GCD:

Zoek de GCD van de nummers 315 en 245.

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. Schrijf de factoren op die beide getallen gemeen hebben:

3. Vind het product van gemeenschappelijke factoren:

ggd(315; 245) = 5 * 7 = 35.

Antwoord: GCD(315; 245) = 35.

Het NOC vinden

LCM is het kleinste gemene veelvoud.

Om het kleinste gemene veelvoud van verschillende getallen te vinden:

ontbind getallen in priemfactoren;
schrijf de factoren op die zijn opgenomen in de uitbreiding van een van de nummers;
voeg de ontbrekende factoren toe aan de uitbreiding van het tweede getal;
vind het product van de resulterende factoren.

Een voorbeeld van het vinden van het NOC:

Zoek de LCM van de nummers 236 en 328:

1. We ontleden de getallen in priemfactoren:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. Noteer de factoren die zijn opgenomen in de uitbreiding van een van de getallen en tel daarbij de ontbrekende factoren van de uitbreiding van het tweede getal op:

2; 2; 59; 2; 41.

3. Vind het product van de resulterende factoren:

LCM (236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.

Antwoord: LCM (236; 328) = 19352.

Om de GCD (grootste gemene deler) van twee getallen te vinden, heb je nodig:

2. Vind (onderstreep) alle veelvoorkomende priemfactoren in de verkregen uitbreidingen.

3. Vind het product van gemeenschappelijke priemfactoren.

Om de LCM (kleinste gemene veelvoud) van twee getallen te vinden, hebt u het volgende nodig:

1. Ontleed deze getallen in priemfactoren.

2. Vul de uitbreiding van een van hen aan met die factoren van de uitbreiding van het andere aantal, die niet in de uitbreiding van de eerste voorkomen.

3. Bereken het product van de verkregen factoren.