Gemiddeld in wiskunde rekenkundige waarde getallen (of alleen het gemiddelde) is de som van alle getallen in deze set gedeeld door hun aantal. Dit is het meest algemene en wijdverbreide concept. middelgroot. Zoals je al hebt begrepen, moet je om te vinden alle getallen die je hebt gekregen optellen en het resultaat delen door het aantal termen.

Wat is de rekenkundige betekenis?

Laten we naar een voorbeeld kijken.

voorbeeld 1. Getallen worden gegeven: 6, 7, 11. Je moet hun gemiddelde waarde vinden.

Oplossing.

Laten we eerst de som van alle gegeven getallen zoeken.

Nu delen we de resulterende som door het aantal termen. Omdat we respectievelijk drie termen hebben, delen we door drie.

Daarom is het gemiddelde van 6, 7 en 11 8. Waarom 8? Ja, want de som van 6, 7 en 11 is hetzelfde als drie achten. Dit is duidelijk te zien in de afbeelding.

De gemiddelde waarde doet enigszins denken aan de "uitlijning" van een reeks getallen. Zoals je kunt zien, zijn de stapels potloden één niveau geworden.

Beschouw een ander voorbeeld om de opgedane kennis te consolideren.

Voorbeeld 2 Getallen worden gegeven: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Je moet hun rekenkundig gemiddelde vinden.

Oplossing.

We vinden de som.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Deel door het aantal termen (in dit geval 15).

Daarom is de gemiddelde waarde van deze reeks getallen 22.

Overweeg nu: negatieve getallen. Laten we onthouden hoe we ze moeten samenvatten. U hebt bijvoorbeeld twee nummers 1 en -4. Laten we hun som vinden.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

Als u dit weet, overweeg dan een ander voorbeeld.

Voorbeeld 3 Zoek de gemiddelde waarde van een reeks getallen: 3, -7, 5, 13, -2.

Oplossing.

De som van getallen vinden.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Omdat er 5 termen zijn, delen we de resulterende som door 5.

Daarom is het rekenkundig gemiddelde van de getallen 3, -7, 5, 13, -2 2,4.

In onze tijd van technologische vooruitgang is het veel handiger om de gemiddelde waarde te vinden computerprogramma's. Microsoft Office Excel is er daar één van. Het gemiddelde vinden in Excel is snel en eenvoudig. Bovendien zit dit programma in het softwarepakket van Microsoft Office. Beschouwen korte instructies, waarde met behulp van dit programma.

Om de gemiddelde waarde van een reeks getallen te berekenen, moet u de functie GEMIDDELDE gebruiken. De syntaxis voor deze functie is:
=Gemiddelde(argument1, argument2, ... argument255)
waarbij argument1, argument2, ... argument255 getallen of celverwijzingen zijn (cellen betekenen bereiken en arrays).

Laten we, om het duidelijker te maken, de opgedane kennis testen.

1. Voer de nummers 11, 12, 13, 14, 15, 16 in de cellen C1 - C6 in.
2. Selecteer cel C7 door erop te klikken. In deze cel geven we de gemiddelde waarde weer.
3. Klik op het tabblad "Formules".
4. Selecteer Meer functies > Statistisch om te openen
5. Selecteer GEMIDDELDE. Daarna zou een dialoogvenster moeten openen.
6. Selecteer en sleep cellen C1-C6 daar om het bereik in het dialoogvenster in te stellen.
7. Bevestig uw acties met de knop "OK".
8. Als je alles goed hebt gedaan, zou je in cel C7 het antwoord moeten hebben - 13.7. Wanneer u op cel C7 klikt, wordt de functie (=Gemiddelde(C1:C6)) weergegeven in de formulebalk.

Het is erg handig om deze functie te gebruiken voor boekhouding, facturen of wanneer u gewoon het gemiddelde van een zeer lange reeks getallen moet vinden. Daarom wordt het vaak gebruikt in kantoren en grote bedrijven. Zo houd je de administratie op orde en kun je snel iets uitrekenen (bijvoorbeeld het gemiddelde inkomen per maand). Ook met met behulp van Excel je kunt de gemiddelde waarde van de functie vinden.

Hoe het gemiddelde van getallen in Excel te berekenen

Vind het gemiddelde rekenkundige getallen in Excel kunt u de .

Syntaxis GEMIDDELDE

=GEMIDDELDE(getal1,[getal2],...) - Russische versie

Argumenten GEMIDDELDE

• nummer 1- het eerste getal of de reeks getallen, voor het berekenen van het rekenkundig gemiddelde;
• nummer 2(Optioneel) – tweede getal of reeks getallen om het rekenkundig gemiddelde te berekenen. Maximaal aantal functieargumenten - 255.

Voer de volgende stappen uit om te berekenen:

• Selecteer een cel;
• Schrijf er een formule in =GEMIDDELDE(
• Selecteer het cellenbereik waarvoor u een berekening wilt maken;
• Druk op de "Enter"-toets op het toetsenbord

De functie berekent de gemiddelde waarde in het opgegeven bereik tussen de cellen die getallen bevatten.

Hoe de gemiddelde waarde van de tekst te vinden?

Als er lege regels of tekst in het gegevensbereik staan, behandelt de functie deze als "nul". Als de gegevens bevatten: booleaanse uitdrukkingen ONWAAR of WAAR, dan behandelt de functie ONWAAR als “nul” en WAAR als “1”.

Hoe het rekenkundig gemiddelde te vinden op voorwaarde

De functie wordt gebruikt om het gemiddelde te berekenen op basis van een voorwaarde of criterium. Laten we bijvoorbeeld zeggen dat we productverkoopgegevens hebben:

Het is onze taak om de gemiddelde verkoop van pennen te berekenen. Hiervoor nemen we de volgende stappen:

• In een cel A13 schrijf de naam van het product "Pennen";
• In een cel B13 laten we de formule invoeren:

=GEMIDDELDEALS(A2:A10,A13,B2:B10)

celbereik “ A2:A10” verwijst naar de lijst met producten waarin we zullen zoeken naar het woord “Pennen”. Argument A13 dit is een link naar een cel met tekst waarnaar we zullen zoeken in de volledige lijst met producten. celbereik “ B2:B10” is een reeks met productverkoopgegevens, waaronder de functie "Pennen" zal vinden en de gemiddelde waarde zal berekenen.

De gemiddelde waarde is een generaliserende indicator die het typische niveau van het fenomeen kenmerkt. Het drukt de waarde van het attribuut uit, gerelateerd aan de eenheid van de populatie.

De gemiddelde waarde is:

1) de meest typische waarde van het attribuut voor de populatie;

2) het volume van het teken van de bevolking, gelijk verdeeld over de eenheden van de bevolking.

Het kenmerk waarvoor de gemiddelde waarde wordt berekend, wordt in de statistieken 'gemiddeld' genoemd.

Het gemiddelde generaliseert altijd de kwantitatieve variatie van het kenmerk, d.w.z. terugbetaald in gemiddelde bedragen individuele verschillen bevolkingseenheden als gevolg van willekeurige omstandigheden. In tegenstelling tot het gemiddelde absolute waarde, die het niveau van het attribuut van een afzonderlijke populatie-eenheid kenmerkt, staat het niet toe om de waarden van het attribuut te vergelijken voor eenheden die tot verschillende populaties behoren. Dus als u de beloningsniveaus van werknemers van twee ondernemingen moet vergelijken, kunt u op deze basis niet twee werknemers van verschillende ondernemingen vergelijken. De lonen van de werknemers die ter vergelijking zijn geselecteerd, zijn mogelijk niet typerend voor deze ondernemingen. Als we de omvang van de loonfondsen bij de betreffende ondernemingen vergelijken, dan wordt er geen rekening gehouden met het aantal werknemers en kan dus niet worden vastgesteld waar het loonniveau hoger is. Uiteindelijk kunnen alleen gemiddelden worden vergeleken, d.w.z. Hoeveel verdient een werknemer gemiddeld in elk bedrijf? Het is dus nodig om de gemiddelde waarde te berekenen als een generaliserend kenmerk van de populatie.

Het is belangrijk op te merken dat tijdens het middelingsproces de totale waarde van de attribuutniveaus of de uiteindelijke waarde (in het geval van het berekenen van gemiddelde niveaus in een tijdreeks) ongewijzigd moet blijven. Met andere woorden, bij het berekenen van de gemiddelde waarde mag het volume van de eigenschap die wordt bestudeerd niet worden vervormd, en de uitdrukkingen die worden gemaakt bij het berekenen van het gemiddelde moeten noodzakelijkerwijs logisch zijn.

Het berekenen van het gemiddelde is een veelgebruikte generalisatietechniek; gemiddeld ontkent wat gemeenschappelijk (typisch) is voor alle eenheden van de bestudeerde populatie, maar negeert tegelijkertijd de verschillen tussen individuele eenheden. In elk fenomeen en zijn ontwikkeling is er een combinatie van toeval en noodzaak. Bij het berekenen van gemiddelden op grond van de werking van de wet grote getallen ongevallen worden wederzijds teniet gedaan, gebalanceerd, daarom is het mogelijk om abstractie te maken van de onbeduidende kenmerken van het fenomeen, van kwantitatieve waarden functie in elk afzonderlijk geval. In het vermogen om te abstraheren van de willekeur van individuele waarden, fluctuaties en leugens wetenschappelijke waarde gemiddelden als generaliserende kenmerken van populaties.

Om ervoor te zorgen dat het gemiddelde echt typerend is, moet het worden berekend met inachtneming van bepaalde principes.

Laten we stilstaan ​​bij wat algemene principes het gebruik van gemiddelden.

1. Het gemiddelde dient te worden bepaald voor populaties bestaande uit kwalitatief homogene eenheden.

2. Het gemiddelde dient te worden berekend voor een populatie bestaande uit een voldoende groot aantal eenheden.

3. Het gemiddelde moet worden berekend voor de populatie, waarvan de eenheden zich in een normale, natuurlijke staat bevinden.

4. Bij de berekening van het gemiddelde moet rekening worden gehouden met de economische inhoud van de onderzochte indicator.

5.2. Soorten gemiddelden en methoden om ze te berekenen

Laten we nu eens kijken naar de soorten gemiddelden, de kenmerken van hun berekening en toepassingsgebieden. Gemiddelde waarden zijn onderverdeeld in twee grote klassen: vermogensgemiddelden, structurele gemiddelden.

Power-law-gemiddelden omvatten de meest bekende en meest gebruikte typen, zoals het geometrische gemiddelde, het rekenkundige gemiddelde en het gemiddelde kwadraat.

De modus en mediaan worden beschouwd als structurele gemiddelden.

Laten we stilstaan ​​​​bij machtsgemiddelden. Vermogensgemiddelden, afhankelijk van de presentatie van de initiële gegevens, kunnen eenvoudig en gewogen zijn. eenvoudig gemiddelde wordt berekend op basis van niet-gegroepeerde gegevens en heeft de volgende algemene vorm:

,

waarbij X i de variant (waarde) is van het gemiddelde kenmerk;

n is het aantal opties.

Gewogen gemiddelde wordt berekend door gegroepeerde gegevens en heeft een algemene vorm

,

waarbij X i de variant (waarde) is van het gemiddelde kenmerk of de middelste waarde van het interval waarin de variant wordt gemeten;

m is de exponent van het gemiddelde;

f i - frequentie die aangeeft hoe vaak het voorkomt i-de waarde gemiddeld teken.

Als we alle soorten gemiddelden voor dezelfde initiële gegevens berekenen, zullen hun waarden niet hetzelfde zijn. Hier geldt de belangrijkste regel van gemiddelden: met een toename van de exponent m, neemt ook de bijbehorende gemiddelde waarde toe:

In de statistische praktijk worden vaker dan andere typen gewogen gemiddelden rekenkundige en harmonisch gewogen gemiddelden gebruikt.

Soorten machtsmiddelen

Type stroom midden-	Inhoudsopgave graden (m)	Rekenformule
		Gemakkelijk	gewogen
harmonische
Geometrisch
Rekenkundig
kwadratisch
kubieke

Het harmonische gemiddelde heeft een complexere structuur dan het rekenkundig gemiddelde. Het harmonische gemiddelde wordt gebruikt voor berekeningen wanneer de gewichten niet de eenheden van de populatie zijn - de dragers van de eigenschap, maar de producten van deze eenheden en de waarden van de eigenschap (d.w.z. m = Xf). De gemiddelde harmonische uitvaltijd moet worden gebruikt bij het bepalen van bijvoorbeeld de gemiddelde kosten van arbeid, tijd, materialen per eenheid output, per onderdeel voor twee (drie, vier, enz.) ondernemingen, werknemers die betrokken zijn bij de vervaardiging van de hetzelfde type product, hetzelfde onderdeel, product.

De belangrijkste vereiste voor de formule voor het berekenen van de gemiddelde waarde is dat alle fasen van de berekening een echt zinvolle rechtvaardiging hebben; het resulterende gemiddelde zou moeten vervangen individuele waarden een teken voor elk object zonder de verbinding tussen individuele en samenvattende indicatoren te verbreken. Met andere woorden, de gemiddelde waarde moet zo worden berekend dat wanneer elke individuele waarde van de gemiddelde indicator wordt vervangen door zijn gemiddelde waarde, een definitieve samenvattende indicator ongewijzigd blijft, verwant of op een andere manier met het gemiddelde. Dit resultaat heet bepalend omdat de aard van de relatie met individuele waarden de specifieke formule bepaalt voor het berekenen van de gemiddelde waarde. Laten we deze regel laten zien aan de hand van het voorbeeld van het geometrische gemiddelde.

Geometrisch gemiddelde formule

meestal gebruikt bij het berekenen van de gemiddelde waarde van individuele relatieve waarden van de dynamiek.

Het geometrische gemiddelde wordt gebruikt als een reeks relatieve kettingwaarden van dynamiek wordt gegeven, wat bijvoorbeeld een toename van de output aangeeft in vergelijking met het niveau vorig jaar: ik 1 , ik 2 , ik 3 ,…, ik n . Het is duidelijk dat het productievolume afgelopen jaar wordt bepaald door het initiële niveau (q 0) en de daaropvolgende groei door de jaren heen:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n .

Door q n als bepalende indicator te nemen en de individuele waarden van de dynamische indicatoren te vervangen door gemiddelde, komen we tot de relatie

Vanaf hier

Een speciaal type gemiddelden - structurele gemiddelden - wordt gebruikt om te studeren interne structuur distributiereeks van karakteristieke waarden, evenals voor het schatten van de gemiddelde waarde (power-law-type), als, volgens de beschikbare statistische gegevens, de berekening ervan niet kan worden uitgevoerd (bijvoorbeeld als er in het beschouwde voorbeeld geen gegevens waren over beide het productievolume en het bedrag van de kosten door groepen ondernemingen) .

Indicatoren worden meestal gebruikt als structurele gemiddelden. mode - de meest herhaalde kenmerkwaarde - en mediaan - de waarde van een functie die de geordende reeks van zijn waarden in twee gelijke delen verdeelt. Als gevolg hiervan overschrijdt in de ene helft van de populatie-eenheden de waarde van het attribuut het mediaanniveau niet, en in de andere helft is het niet minder dan het.

Als de eigenschap die wordt bestudeerd, discrete waarden, dan zijn er geen bijzondere moeilijkheden bij het berekenen van de modus en de mediaan. Als de gegevens over de waarden van het attribuut X worden gepresenteerd in de vorm van geordende intervallen van verandering (intervalreeks), wordt de berekening van de modus en mediaan iets gecompliceerder. Omdat de mediane waarde verdeelt de gehele populatie in twee gelijke delen, deze blijkt in een van de intervallen van het teken X te liggen. Met interpolatie wordt de mediane waarde in dit mediane interval gevonden:

,

waarbij X Me de ondergrens van het mediane interval is;

h Mij is de waarde ervan;

(Sum m) / 2 - de helft van het totale aantal waarnemingen of de helft van het volume van de indicator die wordt gebruikt als weging in de formules voor het berekenen van de gemiddelde waarde (in absolute of relatieve termen);

S Me-1 is de som van waarnemingen (of het volume van de wegingsfunctie) die zijn verzameld vóór het begin van het mediane interval;

m Me is het aantal waarnemingen of het volume van het weegkenmerk in het mediane interval (ook in absolute of relatieve termen).

Bij het berekenen van de modale waarde van een kenmerk volgens de gegevens interval serie het is noodzakelijk om erop te letten dat de intervallen hetzelfde zijn, omdat de indicator van de frequentie van de waarden van het attribuut X hiervan afhangt. Voor een intervalreeks met met gelijke tussenpozen de moduswaarde is gedefinieerd als

,

waarbij X Mo de laagste waarde is van het modale interval;

m Mo is het aantal waarnemingen of het volume van het wegingskenmerk in het modale interval (in absolute of relatieve termen);

m Mo-1 - hetzelfde voor het interval voorafgaand aan de modale;

m Mo+1 - hetzelfde voor het interval dat volgt op de modale;

h is de waarde van het interval van verandering van de eigenschap in groepen.

TAAK 1

De groep heeft de volgende gegevens: industriële ondernemingen voor het verslagjaar

№ ondernemingen	Productievolume, miljoen roebel		Gemiddeld aantal medewerkers, pers.	Winst, duizend roebel
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

Het is vereist om een ​​groepering van ondernemingen uit te voeren voor de uitwisseling van producten, met de volgende intervallen:

tot 200 miljoen roebel


van 200 tot 400 miljoen roebel


1. van 400 tot 600 miljoen roebel
   

   Bepaal voor elke groep en voor alles samen het aantal ondernemingen, het productievolume, het gemiddelde aantal werknemers, de gemiddelde output per werknemer. De groepsresultaten moeten worden gepresenteerd in de vorm van een statistische tabel. Formuleer een conclusie.
   

   OPLOSSING
   

   Laten we een groepering van ondernemingen maken voor de uitwisseling van producten, de berekening van het aantal ondernemingen, het productievolume, het gemiddelde aantal werknemers volgens de formule van een eenvoudig gemiddelde. De resultaten van groepering en berekeningen zijn samengevat in een tabel.
   

   Groepen op productievolume	№ ondernemingen	Productievolume, miljoen roebel	Gemiddelde jaarlijkse kosten van vaste activa, miljoen roebel	gemiddelde slaap sappig aantal medewerkers, pers.	Winst, duizend roebel	Gemiddelde output per werknemer
   1 groep tot 200 miljoen roebel	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
   			28,2	2567	74,8	0,23
   Gemiddeld niveau		198,3			24,9
   2 groep van 200 tot 400 miljoen roebel	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
   		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
   Gemiddeld niveau		282,3	37,6	1530	64,0
   3 groep van 400 tot 600 miljoen	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
   		3590	240,8	9974	846,5	0,36
   Gemiddeld niveau		512,9	34,4	1421	120,9
   Totaal in totaal		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
   Totaal gemiddelde		379,6	59,9	1223,6	79,5

   Conclusie. In het beschouwde totaal viel dus het grootste aantal ondernemingen in termen van output in de derde groep - zeven of de helft van de ondernemingen. De waarde van de gemiddelde jaarlijkse waarde van vaste activa is ook in deze groep, evenals de grote waarde van het gemiddelde aantal werknemers - 9974 mensen, de ondernemingen van de eerste groep zijn het minst winstgevend.
   

   TAAK 2
   

   We hebben de volgende gegevens over de ondernemingen van het bedrijf:
   

   Nummer van de onderneming die tot de onderneming behoort	ik kwartier		II kwartaal
   	Uitgang, duizend roebel		Gewerkt door mandagen	Gemiddelde output per werknemer per dag, wrijven.
   	59390,13

Onderwerp 5. Gemiddelden als statistische indicatoren

Het concept van gemiddelde. Reikwijdte van gemiddelde waarden in een statistisch onderzoek

Gemiddelde waarden worden gebruikt in het stadium van verwerking en samenvatting van de verkregen primaire statistische gegevens. De noodzaak om de gemiddelde waarden te bepalen is te wijten aan het feit dat voor verschillende eenheden van de bestudeerde populaties de individuele waarden van hetzelfde kenmerk in de regel niet hetzelfde zijn.

Gemiddelde waarde noem een ​​indicator die de gegeneraliseerde waarde van een kenmerk of een groep kenmerken in de onderzoekspopulatie kenmerkt.

Als we een populatie bestuderen met kwalitatief homogene kenmerken, dan verschijnt de gemiddelde waarde hier als typisch gemiddelde. Voor groepen werknemers in een bepaalde bedrijfstak met een vast inkomensniveau wordt bijvoorbeeld een typische gemiddelde besteding aan basisbehoeften bepaald, d.w.z. het typische gemiddelde generaliseert de kwalitatief homogene waarden van het attribuut in de gegeven populatie, wat het aandeel is van de uitgaven van werknemers in deze groep aan essentiële goederen.

In de studie van een populatie met kwalitatief heterogene kenmerken kunnen de atypische gemiddelde indicatoren naar voren komen. Dat zijn bijvoorbeeld de gemiddelde indicatoren van het geproduceerde nationale inkomen per hoofd van de bevolking (verschillende leeftijdsgroepen), gemiddelde opbrengsten van graangewassen in heel Rusland (gebieden met verschillende klimaatzones en verschillende graangewassen), gemiddelde geboortecijfers van de bevolking in alle regio's van het land, gemiddelde temperaturen boven bepaalde periode enz. Hier generaliseren gemiddelde waarden kwalitatief heterogene waarden van kenmerken of systemische ruimtelijke aggregaten (internationale gemeenschap, continent, staat, regio, district, etc.) of dynamische aggregaten uitgebreid in de tijd (eeuw, decennium, jaar, seizoen, etc. ) . Deze gemiddelden heten systeemgemiddelden.

De betekenis van gemiddelde waarden bestaat dus uit hun generaliserende functie. Het gemiddelde vervangt groot aantal individuele waarden van de eigenschap, onthullend algemene eigenschappen, inherent aan alle eenheden van de bevolking. Dit stelt u op zijn beurt in staat om willekeurige oorzaken te vermijden en te identificeren: algemene patronen vanwege veelvoorkomende oorzaken.

Soorten gemiddelde waarden en methoden voor hun berekening

Op het podium statistische verwerking Er kunnen verschillende onderzoeksproblemen worden ingesteld, voor de oplossing waarvan het juiste gemiddelde moet worden gekozen. In dit geval moet u zich laten leiden door de volgende regel: de waarden die de teller en noemer van het gemiddelde vertegenwoordigen, moeten logisch aan elkaar gerelateerd zijn.

macht gemiddelden;

structurele gemiddelden.

Laten we de volgende notatie introduceren:

De waarden waarvoor het gemiddelde wordt berekend;

Gemiddeld, waarbij de regel hierboven aangeeft dat de middeling van individuele waarden plaatsvindt;

Frequentie (herhaalbaarheid van individuele eigenschapswaarden).

Verschillende gemiddelden zijn afgeleid van algemene formule: macht betekenen:

(5.1)

voor k = 1 - rekenkundig gemiddelde; k = -1 - harmonisch gemiddelde; k = 0 - geometrisch gemiddelde; k = -2 - wortelgemiddelde kwadraat.

Gemiddelden zijn eenvoudig of gewogen. gewogen gemiddelden worden hoeveelheden genoemd die er rekening mee houden dat sommige varianten van de waarden van het attribuut verschillende getallen kunnen hebben, en daarom moet elke variant met dit getal worden vermenigvuldigd. Met andere woorden, de "gewichten" zijn het aantal bevolkingseenheden in verschillende groepen, d.w.z. elke optie wordt "gewogen" door zijn frequentie. De frequentie f heet statistisch gewicht of gewichtsgemiddelde.

rekenkundig gemiddelde- het meest voorkomende type medium. Het wordt gebruikt wanneer de berekening wordt uitgevoerd op niet-gegroepeerde statistische gegevens, waarbij u de gemiddelde som wilt krijgen. Het rekenkundig gemiddelde is zo'n gemiddelde waarde van een kenmerk, bij ontvangst waarvan het totale volume van het kenmerk in de populatie ongewijzigd blijft.

De rekenkundige gemiddelde formule (eenvoudig) heeft de vorm

waarbij n de populatiegrootte is.

Het gemiddelde salaris van werknemers van een onderneming wordt bijvoorbeeld berekend als het rekenkundig gemiddelde:

De bepalende indicatoren zijn hierbij het loon van elke werknemer en het aantal werknemers van de onderneming. Bij de berekening van het gemiddelde bleef het totale loonbedrag gelijk, maar als het ware gelijk verdeeld over alle arbeiders. Het is bijvoorbeeld noodzakelijk om het gemiddelde salaris te berekenen van werknemers van een klein bedrijf waar 8 mensen werkzaam zijn:

Bij het berekenen van gemiddelde waarden individuele waarden van het kenmerk dat wordt gemiddeld kan worden herhaald, zodat de berekening van de gemiddelde waarde wordt gemaakt op basis van gegroepeerde gegevens. In dit geval we zijn aan het praten over het gebruik van rekenkundig gemiddelde gewogen, die eruitziet als

(5.3)

We moeten dus de gemiddelde aandelenkoers van een naamloze vennootschap op de beurs berekenen. Het is bekend dat transacties binnen 5 dagen (5 transacties) werden uitgevoerd, het aantal verkochte aandelen tegen de verkoopkoers was als volgt verdeeld:

1 - 800 ac. - 1010 roebel

2 - 650 wisselstroom. - 990 roebel.

3 - 700 ak. - 1015 roebel.

4 - 550 wisselstroom. - 900 roebel.

5 - 850 ak. - 1150 roebel.

De initiële ratio voor het bepalen van de gemiddelde aandelenkoers is de ratio totaalbedrag transacties (OSS) naar het aantal verkochte aandelen (KPA):

OSS = 1010 800+990 650+1015 700+900 550+1150 850= 3 634 500;

CPA = 800+650+700+550+850=3550.

In dit geval was de gemiddelde koers van het aandeel gelijk aan

Het is noodzakelijk om de eigenschappen van het rekenkundig gemiddelde te kennen, wat erg belangrijk is, zowel voor het gebruik als voor de berekening. Er zijn er drie te onderscheiden basiseigenschappen, wat vooral leidde tot het wijdverbreide gebruik van het rekenkundig gemiddelde in statistische en economische berekeningen.

Eigenschap één (nul): de som van positieve afwijkingen van de individuele waarden van het kenmerk van de gemiddelde waarde is gelijk aan de som negatieve afwijkingen. Dit is een zeer belangrijke eigenschap, omdat het laat zien dat eventuele afwijkingen (zowel met + als met -) door willekeurige oorzaken onderling worden opgeheven.

Een bewijs:

De tweede eigenschap (minimum): de som van de gekwadrateerde afwijkingen van de individuele waarden van het attribuut van het rekenkundig gemiddelde is kleiner dan van enig ander getal (a), d.w.z. is het minimum aantal.

Een bewijs.

Stel de som van de gekwadrateerde afwijkingen van de variabele a samen:

(5.4)

Om het extremum van deze functie te vinden, is het noodzakelijk om zijn afgeleide met betrekking tot a gelijk te stellen aan nul:

Vanaf hier krijgen we:

(5.5)

Daarom wordt het uiterste van de som van de gekwadrateerde afwijkingen bereikt bij . Dit extremum is het minimum, aangezien de functie geen maximum kan hebben.

Eigenschap drie: rekenkundig gemiddelde constante waarde is gelijk aan deze constante: voor a = const.

Naast deze drie de belangrijkste eigenschappen rekenkundig gemiddelde, er zijn zogenaamde ontwerp eigenschappen, die door het gebruik van elektronische computers geleidelijk aan hun betekenis verliezen:

als de individuele waarde van het attribuut van elke eenheid wordt vermenigvuldigd of gedeeld door constant getal, dan zal het rekenkundig gemiddelde met hetzelfde bedrag toenemen of afnemen;

het rekenkundig gemiddelde verandert niet als het gewicht (frequentie) van elke kenmerkwaarde wordt gedeeld door een constant getal;

als de individuele waarden van het attribuut van elke eenheid met hetzelfde bedrag worden verlaagd of verhoogd, dan zal het rekenkundig gemiddelde met hetzelfde bedrag afnemen of toenemen.

gemiddelde harmonische. Dit gemiddelde wordt het reciproke rekenkundige gemiddelde genoemd, omdat deze waarde wordt gebruikt als k = -1.

Eenvoudig harmonisch gemiddelde wordt gebruikt wanneer de gewichten van de karakteristieke waarden hetzelfde zijn. De formule kan worden afgeleid van basis formule, in de plaats van k = -1:

We moeten bijvoorbeeld berekenen: gemiddelde snelheid twee auto's die hetzelfde pad hebben afgelegd, maar met verschillende snelheden: de eerste - met een snelheid van 100 km / u, de tweede - 90 km / u. Met behulp van de harmonisch gemiddelde methode berekenen we de gemiddelde snelheid:

In de statistische praktijk wordt vaker harmonisch gewogen gebruikt, waarvan de formule de vorm heeft

Deze formule wordt gebruikt in gevallen waarin de gewichten (of volumes van verschijnselen) voor elk attribuut niet gelijk zijn. In de oorspronkelijke verhouding is bekend dat de teller het gemiddelde berekent, maar de noemer is onbekend.

Een eenvoudig rekenkundig gemiddelde is de gemiddelde term om te bepalen welke het totale volume van een bepaald attribuut in aggregaten gegevens worden gelijkelijk verdeeld over alle eenheden in deze set. Dus de gemiddelde jaarlijkse productie-output per werknemer is zo'n waarde van het productievolume dat op elke werknemer zou vallen als het volledige outputvolume gelijk zou worden verdeeld over alle werknemers van de organisatie. De rekenkundige gemiddelde eenvoudige waarde wordt berekend met de formule:

eenvoudig rekenkundig gemiddelde- Gelijk aan de verhouding van de som van individuele waarden van een kenmerk tot het aantal kenmerken in het totaal

voorbeeld 1. Een team van 6 werknemers ontvangt 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 duizend roebel per maand.

Zoek het gemiddelde loon Oplossing: (3 + 3.2 + 3.3 +3.5 + 3.8 + 3.1) / 6 = 3.32 duizend roebel.

Rekenkundig gewogen gemiddelde

Als het volume van de dataset groot is en een distributiereeks vertegenwoordigt, wordt een gewogen rekenkundig gemiddelde berekend. Dit is hoe de gewogen gemiddelde prijs per productie-eenheid wordt bepaald: de totale productiekosten (de som van de producten van de hoeveelheid en de prijs van een productie-eenheid) wordt gedeeld door de totale hoeveelheid productie.

We geven dit weer in de vorm van de volgende formule:

Gewogen rekenkundig gemiddelde- is gelijk aan de verhouding van (de som van de producten van de attribuutwaarde tot de herhalingsfrequentie van dit attribuut) tot (de som van de frequenties van alle attributen) Het wordt gebruikt wanneer de varianten van de bestudeerde populatie een ongelijk aantal keren.

Voorbeeld 2. Vind het gemiddelde loon van winkelpersoneel per maand

Salaris van een arbeider duizend roebel; X	Aantal arbeiders F

Het gemiddelde loon kan worden verkregen door het totale loon te delen door totaal aantal arbeiders:

Antwoord: 3,35 duizend roebel.

Rekenkundig gemiddelde voor een intervalreeks

Bij het berekenen van het rekenkundig gemiddelde voor een intervalvariatiereeks wordt het gemiddelde voor elk interval eerst bepaald als de halve som van de boven- en ondergrenzen en vervolgens het gemiddelde van de hele reeks. In het geval van open intervallen wordt de waarde van het onderste of bovenste interval bepaald door de waarde van de aangrenzende intervallen.

Uit intervalreeksen berekende gemiddelden zijn bij benadering.

Voorbeeld 3. Definiëren gemiddelde leeftijd avond studenten.

Leeftijd in jaren!!x??	Aantal leerlingen	Intervalgemiddelde	Het product van het midden van het interval (leeftijd) en het aantal studenten
		(18 + 20) / 2 \u003d 19 18 inch deze zaak onderste intervallimiet. Berekend als 20 - (22-20)
		(20 + 22) / 2 = 21
		(22 + 26) / 2 = 24
		(26 + 30) / 2 = 28
30 of meer		(30 + 34) / 2 = 32

Uit intervalreeksen berekende gemiddelden zijn bij benadering. De mate van hun benadering hangt af van de mate waarin de feitelijke verdeling van populatie-eenheden binnen het interval uniform benadert.

Bij het berekenen van gemiddelden, niet alleen absoluut, maar ook relatieve waarden(frequentie).