Hoe gemakkelijk is het om de gemeenschappelijke noemer van twee getallen te vinden. Manieren om het kleinste gemene veelvoud, nok is, en alle verklaringen te vinden

Overweeg drie manieren om het kleinste gemene veelvoud te vinden.

Zoeken door factoring

De eerste manier is om het kleinste gemene veelvoud te vinden door de gegeven getallen in priemfactoren te ontbinden.

Stel dat we de LCM van getallen moeten vinden: 99, 30 en 28. Om dit te doen, ontleden we elk van deze getallen in priemfactoren:

Om het gewenste getal deelbaar te maken door 99, 30 en 28, is het noodzakelijk en voldoende dat het alle priemfactoren van deze delers omvat. Om dit te doen, moeten we alle priemfactoren van deze getallen naar de hoogst voorkomende macht nemen en ze met elkaar vermenigvuldigen:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Dus LCM (99, 30, 28) = 13.860. Geen enkel ander getal kleiner dan 13.860 is deelbaar door 99, 30 of 28.

Om het kleinste gemene veelvoud van gegeven getallen te vinden, moet je ze ontbinden in priemfactoren, dan elke priemfactor nemen met de grootste exponent die voorkomt, en deze factoren met elkaar vermenigvuldigen.

Omdat coprime-getallen geen gemeenschappelijk hebben priemfactoren, dan is hun kleinste gemene veelvoud gelijk aan het product van deze getallen. Bijvoorbeeld drie getallen: 20, 49 en 33 zijn coprime. Dus

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Hetzelfde moet worden gedaan bij het zoeken naar het kleinste gemene veelvoud van verschillende priemgetallen. Bijvoorbeeld, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Zoeken op selectie

De tweede manier is om het kleinste gemene veelvoud te vinden door te passen.

Voorbeeld 1. Als het grootste van de gegeven getallen gelijkelijk deelbaar is door andere gegeven getallen, dan is de LCM van deze getallen gelijk aan het grootste ervan. Geef bijvoorbeeld vier getallen: 60, 30, 10 en 6. Elk van hen is deelbaar door 60, dus:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

In andere gevallen wordt de volgende procedure gebruikt om het kleinste gemene veelvoud te vinden:

Bepaal het grootste getal uit de gegeven getallen.
Zoek vervolgens getallen die veelvouden zijn het grootste aantal, vermenigvuldigen met gehele getallen in oplopende volgorde en controleren of de overige gegeven getallen deelbaar zijn door het resulterende product.

Voorbeeld 2. Gegeven drie getallen 24, 3 en 18. Bepaal de grootste daarvan - dit is het getal 24. Zoek vervolgens de veelvouden van 24 en controleer of elk ervan deelbaar is door 18 en door 3:

24 1 = 24 is deelbaar door 3 maar niet deelbaar door 18.

24 2 = 48 - deelbaar door 3 maar niet deelbaar door 18.

24 3 \u003d 72 - deelbaar door 3 en 18.

Dus LCM(24, 3, 18) = 72.

Zoeken door sequentieel zoeken LCM

De derde manier is om het kleinste gemene veelvoud te vinden door achtereenvolgens de LCM te vinden.

De LCM van twee gegeven getallen is gelijk aan het product van deze getallen gedeeld door hun grootste gemene deler.

Voorbeeld 1. Vind de LCM van twee gegeven getallen: 12 en 8. Bepaal hun grootste gemene deler: GCD (12, 8) = 4. Vermenigvuldig deze getallen:

We verdelen het product in hun GCD:

Dus LCM (12, 8) = 24.

Om de LCM van drie of meer getallen te vinden, wordt de volgende procedure gebruikt:

Eerst wordt de LCM van twee van de gegeven getallen gevonden.
Dan is de LCM van het gevonden kleinste gemene veelvoud en de derde gegeven nummer.
Dan de LCM van het resulterende kleinste gemene veelvoud en het vierde getal, enzovoort.
Zo gaat het LCM-zoeken door zolang er nummers zijn.

Voorbeeld 2. Zoek de LCM drie gegevens nummers: 12, 8 en 9. De LCM van de nummers 12 en 8 hebben we al gevonden in het vorige voorbeeld (dit is het nummer 24). Het blijft om het kleinste gemene veelvoud van 24 en het derde gegeven getal - 9 te vinden. Bepaal hun grootste gemene deler: ggd (24, 9) = 3. Vermenigvuldig LCM met het getal 9:

We verdelen het product in hun GCD:

Dus LCM (12, 8, 9) = 72.

Bij het optellen en aftrekken van algebraïsche breuken met verschillende noemers eerst leiden de breuken tot gemeenschappelijke noemer. Dit betekent dat ze zo'n enkele noemer vinden, die wordt gedeeld door de oorspronkelijke noemer van elke algebraïsche breuk die deel uitmaakt van deze uitdrukking.

Zoals u weet, als de teller en noemer van een breuk worden vermenigvuldigd (of gedeeld) met hetzelfde getal anders dan nul, verandert de waarde van de breuk niet. Dit is de belangrijkste eigenschap van een breuk. Daarom, wanneer breuken tot een gemeenschappelijke noemer leiden, wordt in feite de oorspronkelijke noemer van elke breuk vermenigvuldigd met de ontbrekende factor tot een gemeenschappelijke noemer. In dit geval is het noodzakelijk om te vermenigvuldigen met deze factor en de teller van de breuk (deze is verschillend voor elke breuk).

Bijvoorbeeld, gegeven de volgende som van algebraïsche breuken:

Het is nodig om de uitdrukking te vereenvoudigen, d.w.z. twee algebraïsche breuken optellen. Om dit te doen, is het allereerst noodzakelijk om de termen-breuken te reduceren tot een gemeenschappelijke noemer. De eerste stap is om een monomiaal te vinden die deelbaar is door zowel 3x als 2y. In dit geval is het wenselijk dat het de kleinste is, d.w.z. zoek het kleinste gemene veelvoud (LCM) voor 3x en 2y.

Voor numerieke coëfficiënten en variabelen wordt apart gezocht in de LCM. LCM(3, 2) = 6 en LCM(x, y) = xy. Verder worden de gevonden waarden vermenigvuldigd: 6xy.

Nu moeten we bepalen met welke factor we 3x moeten vermenigvuldigen om 6xy te krijgen:
6xy ÷ 3x = 2y

Dit betekent dat bij het reduceren van de eerste algebraïsche breuk tot een gemeenschappelijke noemer, de teller ervan moet worden vermenigvuldigd met 2y (de noemer is al vermenigvuldigd wanneer deze wordt teruggebracht tot een gemeenschappelijke noemer). Op dezelfde manier wordt gezocht naar de factor voor de teller van de tweede breuk. Het zal gelijk zijn aan 3x.

Zo krijgen we:

Dan kun je al handelen als met breuken met dezelfde noemers: tellers worden toegevoegd en één common wordt in de noemer geschreven:

Na transformaties wordt een vereenvoudigde uitdrukking verkregen, namelijk één algebraïsche breuk, wat de som is van twee originelen:

Algebraïsche breuken in de oorspronkelijke uitdrukking kunnen noemers bevatten die polynomen zijn in plaats van monomials (zoals in het bovenstaande voorbeeld). In dit geval, voordat u een gemeenschappelijke noemer vindt, ontbindt u de noemers (indien mogelijk). Verder wordt de gemeenschappelijke noemer verzameld uit verschillende factoren. Als de factor in meerdere beginnoemers staat, wordt deze één keer genomen. Als de vermenigvuldiger heeft verschillende graden in de oorspronkelijke noemers, dan wordt deze met een grotere genomen. Bijvoorbeeld:

Hier kan de polynoom a 2 - b 2 worden weergegeven als een product (a - b)(a + b). De factor 2a – 2b wordt uitgebreid als 2(a – b). De gemeenschappelijke noemer is dus gelijk aan 2(a - b)(a + b).

Om voorbeelden met breuken op te lossen, moet je de kleinste gemene deler kunnen vinden. Hieronder vindt u een gedetailleerde instructie.

Hoe de kleinste gemene deler te vinden - concept

Kleinste gemene deler (LCD) in simpele termen is het kleinste getal dat deelbaar is door de noemers van alle breuken dit voorbeeld. Met andere woorden, het wordt het Least Common Multiple (LCM) genoemd. NOZ wordt alleen gebruikt als de noemers van de breuken verschillend zijn.

Hoe de kleinste gemene deler te vinden - voorbeelden

Laten we eens kijken naar voorbeelden van het vinden van NOZ.

Bereken: 3/5 + 2/15.

Oplossing (volgorde van acties):

We kijken naar de noemers van breuken, zorgen dat ze verschillend zijn en de uitdrukkingen worden zoveel mogelijk gereduceerd.
We vinden kleiner aantal, die deelbaar is door zowel 5 als 15. Dit getal wordt 15. Dus 3/5 + 2/15 = ?/15.
We hebben de noemer gevonden. Wat zal er in de teller staan? Een extra vermenigvuldiger zal ons helpen dit uit te zoeken. Een extra factor is het getal dat wordt verkregen door de NOZ te delen door de noemer van een bepaalde breuk. Voor 3/5 is de bijkomende factor 3, aangezien 15/5 = 3. Voor de tweede breuk is de bijkomende factor 1, aangezien 15/15 = 1.
Nadat we de extra factor hebben ontdekt, vermenigvuldigen we deze met de tellers van de breuken en voegen we de resulterende waarden toe. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Antwoord: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Als in het voorbeeld niet 2, maar 3 of meer breuken worden opgeteld of afgetrokken, dan moet de NOZ op zoveel breuken worden gezocht als opgegeven.

Bereken: 1/2 - 5/12 + 3/6

Oplossing (volgorde van handelingen):

Het vinden van de kleinste gemene deler. Het minimum getal dat deelbaar is door 2, 12 en 6 is 12.
We krijgen: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12.
We zijn op zoek naar extra vermenigvuldigers. Voor 1/2 - 6; voor 5/12 - 1; voor 3/6 - 2.
We vermenigvuldigen met de tellers en kennen de bijbehorende tekens toe: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12.

Antwoord: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.

Vermenigvuldiging "kruiselings"

Gemeenschappelijke delermethode

Taak. Zoek uitdrukkingswaarden:

Als u wilt weten hoeveel winst de methode met de kleinste gemene veelvoud oplevert, kunt u proberen dezelfde voorbeelden te berekenen met behulp van de kriskrasmethode.

Gemene deler van breuken

Uiteraard zonder rekenmachine. Ik denk dat daarna commentaar overbodig zal zijn.

Zie ook:

Ik wilde oorspronkelijk de methodes van de gemeenschappelijke noemer opnemen in de paragraaf "Fracties optellen en aftrekken". Maar er bleek zoveel informatie te zijn, en het belang ervan is zo groot (tenslotte niet alleen .) numerieke breuken), dat het beter is om deze kwestie apart te bestuderen.

Dus laten we zeggen dat we twee breuken hebben met verschillende noemers. En we willen ervoor zorgen dat de noemers hetzelfde worden. De belangrijkste eigenschap van een breuk komt te hulp, die, laat me je eraan herinneren, als volgt klinkt:

Een breuk verandert niet als de teller en noemer worden vermenigvuldigd met hetzelfde getal dat niet nul is.

Dus als u de factoren correct kiest, zijn de noemers van de breuken gelijk - dit proces wordt genoemd. En de gewenste getallen, "nivellering" van de noemers, worden genoemd.

Waarom moet je breuken naar een gemeenschappelijke noemer brengen? Hier zijn slechts een paar redenen:

Optellen en aftrekken van breuken met verschillende noemers. Er is geen andere manier om deze bewerking uit te voeren;
Fractie vergelijking. Soms vereenvoudigt reductie tot een gemeenschappelijke noemer deze taak enorm;
Problemen met aandelen en percentages oplossen. Percentages zijn in feite gewone uitdrukkingen die breuken bevatten.

Er zijn veel manieren om getallen te vinden die de noemers gelijk maken wanneer ze worden vermenigvuldigd. We zullen er slechts drie bespreken - in volgorde van toenemende complexiteit en, in zekere zin, efficiëntie.

Vermenigvuldiging "kruiselings"

De eenvoudigste en meest betrouwbare manier, die gegarandeerd de noemers gelijk maakt. We zullen "vooruit" handelen: we vermenigvuldigen de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk en de tweede met de noemer van de eerste. Als resultaat worden de noemers van beide breuken gelijk aan het product oorspronkelijke noemers. Kijk eens:

Taak. Zoek uitdrukkingswaarden:

Overweeg als extra factoren de noemers van aangrenzende breuken. We krijgen:

Ja, zo simpel is het. Als je net begint met het leren van breuken, is het beter om met deze methode te werken - op deze manier ben je verzekerd tegen veel fouten en krijg je gegarandeerd het resultaat.

Het enige nadeel deze methode- je moet veel tellen, omdat de noemers "overal" worden vermenigvuldigd, en als resultaat kun je heel grote getallen. Dat is de prijs van betrouwbaarheid.

Gemeenschappelijke delermethode

Deze techniek helpt om de berekeningen aanzienlijk te verminderen, maar wordt helaas zelden gebruikt. De methode is als volgt:

Kijk naar de noemers voordat je "door" gaat (d.w.z. "kruiselings"). Misschien is een van hen (degene die groter is) deelbaar door de andere.
Het getal dat uit zo'n deling resulteert, zal een extra factor zijn voor een breuk met een kleinere noemer.
Tegelijkertijd hoeft een breuk met een grote noemer helemaal met niets te worden vermenigvuldigd - dit is de besparing. Tegelijkertijd wordt de kans op fouten sterk verminderd.

Taak. Zoek uitdrukkingswaarden:

Merk op dat 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Aangezien in beide gevallen de ene noemer deelbaar is door de andere zonder rest, passen we de methode van gemeenschappelijke factoren toe. We hebben:

Merk op dat de tweede breuk met helemaal niets is vermenigvuldigd. Sterker nog, we hebben het aantal berekeningen gehalveerd!

Overigens heb ik de breuken in dit voorbeeld niet voor niets genomen. Als je geïnteresseerd bent, probeer ze dan te tellen met behulp van de kriskrasmethode. Na de reductie zullen de antwoorden hetzelfde zijn, maar er zal veel meer werk zijn.

Dit is de kracht van de methode. gemeenschappelijke delers, maar, ik herhaal, het kan alleen worden gebruikt als een van de noemers wordt gedeeld door de andere zonder rest. Wat vrij zelden voorkomt.

Minst gemene veelvoud methode

Wanneer we breuken herleiden tot een gemeenschappelijke noemer, proberen we in wezen een getal te vinden dat deelbaar is door elk van de noemers. Dan brengen we de noemers van beide breuken naar dit getal.

Er zijn veel van dergelijke getallen, en de kleinste daarvan zal niet noodzakelijk gelijk zijn aan het directe product van de noemers van de oorspronkelijke breuken, zoals wordt aangenomen in de "crosswise"-methode.

Voor noemers 8 en 12 is het getal 24 bijvoorbeeld heel geschikt, aangezien 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Dit aantal is veel minder product 8 12 = 96.

Het kleinste getal dat deelbaar is door elk van de noemers wordt hun (LCM) genoemd.

Notatie: het kleinste gemene veelvoud van de getallen a en b wordt aangegeven met LCM(a; b). Bijvoorbeeld, LCM (16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Als het je lukt om zo'n getal te vinden, zal het totale aantal berekeningen minimaal zijn. Kijk naar de voorbeelden:

Hoe de kleinste gemene deler te vinden?

Zoek uitdrukkingswaarden:

Merk op dat 234 = 117 2; 351 = 117 3. De factoren 2 en 3 zijn coprime (ze hebben geen gemeenschappelijke delers behalve 1), en de factor 117 is gemeenschappelijk. Daarom LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Evenzo, 15 = 5 3; 20 = 5 4. Factoren 3 en 4 zijn co-prime en factor 5 is gebruikelijk. Daarom LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Laten we nu de breuken naar gemeenschappelijke noemers brengen:

Merk op hoe nuttig de factorisatie van de oorspronkelijke noemers bleek te zijn:

ontdekken dezelfde vermenigvuldigers, we bereikten meteen het kleinste gemene veelvoud, wat over het algemeen een niet-triviaal probleem is;
Uit de resulterende uitbreiding kun je achterhalen welke factoren voor elk van de breuken "ontbreken". Bijvoorbeeld 234 3 \u003d 702, daarom is voor de eerste breuk de extra factor 3.

Denk niet dat deze complexe breuken in de echte voorbeelden niet. Ze ontmoeten elkaar de hele tijd, en de bovenstaande taken zijn niet de limiet!

Het enige probleem is hoe je deze NOC kunt vinden. Soms is alles in een paar seconden te vinden, letterlijk "met het oog", maar over het algemeen is dit een complex rekenprobleem dat aparte aandacht vereist. Hier gaan we het niet over hebben.

Zie ook:

Breuken naar een gemeenschappelijke noemer brengen

Ik wilde oorspronkelijk de methodes van de gemeenschappelijke noemer opnemen in de paragraaf "Fracties optellen en aftrekken". Maar er was zoveel informatie, en het belang ervan is zo groot (niet alleen numerieke breuken hebben gemeenschappelijke noemers), dat het beter is om deze kwestie apart te bestuderen.

Een breuk verandert niet als de teller en noemer worden vermenigvuldigd met hetzelfde getal dat niet nul is.

Dus als u de factoren correct kiest, zijn de noemers van de breuken gelijk - dit proces wordt genoemd. En de gewenste getallen, "nivellering" van de noemers, worden genoemd.

Waarom moet je breuken naar een gemeenschappelijke noemer brengen?

Gemene deler, concept en definitie.

Hier zijn slechts een paar redenen:

Optellen en aftrekken van breuken met verschillende noemers. Er is geen andere manier om deze bewerking uit te voeren;
Fractie vergelijking. Soms vereenvoudigt reductie tot een gemeenschappelijke noemer deze taak enorm;
Problemen met aandelen en percentages oplossen. Percentages zijn in feite gewone uitdrukkingen die breuken bevatten.

Vermenigvuldiging "kruiselings"

De eenvoudigste en meest betrouwbare manier, die gegarandeerd de noemers gelijk maakt. We zullen "vooruit" handelen: we vermenigvuldigen de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk en de tweede met de noemer van de eerste. Hierdoor worden de noemers van beide breuken gelijk aan het product van de oorspronkelijke noemers. Kijk eens:

Taak. Zoek uitdrukkingswaarden:

Overweeg als extra factoren de noemers van aangrenzende breuken. We krijgen:

Het enige nadeel van deze methode is dat je veel moet tellen, omdat de noemers "vooruit" worden vermenigvuldigd en daardoor zeer grote getallen kunnen worden verkregen. Dat is de prijs van betrouwbaarheid.

Gemeenschappelijke delermethode

Deze techniek helpt om de berekeningen aanzienlijk te verminderen, maar wordt helaas zelden gebruikt. De methode is als volgt:

Kijk naar de noemers voordat je "door" gaat (d.w.z. "kruiselings"). Misschien is een van hen (degene die groter is) deelbaar door de andere.
Het getal dat uit zo'n deling resulteert, zal een extra factor zijn voor een breuk met een kleinere noemer.
Tegelijkertijd hoeft een breuk met een grote noemer helemaal met niets te worden vermenigvuldigd - dit is de besparing. Tegelijkertijd wordt de kans op fouten sterk verminderd.

Taak. Zoek uitdrukkingswaarden:

Merk op dat 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Aangezien in beide gevallen de ene noemer deelbaar is door de andere zonder rest, passen we de methode van gemeenschappelijke factoren toe. We hebben:

Merk op dat de tweede breuk met helemaal niets is vermenigvuldigd. Sterker nog, we hebben het aantal berekeningen gehalveerd!

Dit is de kracht van de methode van gemeenschappelijke delers, maar nogmaals, deze kan alleen worden toegepast wanneer een van de noemers wordt gedeeld door de andere zonder rest. Wat vrij zelden voorkomt.

Minst gemene veelvoud methode

Voor noemers 8 en 12 is het getal 24 bijvoorbeeld heel geschikt, aangezien 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Dit getal is veel kleiner dan het product van 8 12 = 96.

Het kleinste getal dat deelbaar is door elk van de noemers wordt hun (LCM) genoemd.

Notatie: het kleinste gemene veelvoud van de getallen a en b wordt aangegeven met LCM(a; b). Bijvoorbeeld, LCM (16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Als het je lukt om zo'n getal te vinden, zal het totale aantal berekeningen minimaal zijn. Kijk naar de voorbeelden:

Taak. Zoek uitdrukkingswaarden:

Evenzo, 15 = 5 3; 20 = 5 4. Factoren 3 en 4 zijn co-prime en factor 5 is gebruikelijk. Daarom LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Laten we nu de breuken naar gemeenschappelijke noemers brengen:

Merk op hoe nuttig de factorisatie van de oorspronkelijke noemers bleek te zijn:

Nadat we dezelfde factoren hadden gevonden, bereikten we onmiddellijk het kleinste gemene veelvoud, wat over het algemeen een niet-triviaal probleem is;
Uit de resulterende uitbreiding kun je achterhalen welke factoren voor elk van de breuken "ontbreken". Bijvoorbeeld 234 3 \u003d 702, daarom is voor de eerste breuk de extra factor 3.

Als u wilt weten hoeveel winst de methode met de kleinste gemene veelvoud oplevert, kunt u proberen dezelfde voorbeelden te berekenen met behulp van de kriskrasmethode. Uiteraard zonder rekenmachine. Ik denk dat daarna commentaar overbodig zal zijn.

Denk niet dat zulke complexe breuken niet in echte voorbeelden voorkomen. Ze ontmoeten elkaar de hele tijd, en de bovenstaande taken zijn niet de limiet!

Zie ook:

Breuken naar een gemeenschappelijke noemer brengen

Een breuk verandert niet als de teller en noemer worden vermenigvuldigd met hetzelfde getal dat niet nul is.

Dus als u de factoren correct kiest, zijn de noemers van de breuken gelijk - dit proces wordt genoemd. En de gewenste getallen, "nivellering" van de noemers, worden genoemd.

Waarom moet je breuken naar een gemeenschappelijke noemer brengen? Hier zijn slechts een paar redenen:

Optellen en aftrekken van breuken met verschillende noemers. Er is geen andere manier om deze bewerking uit te voeren;
Fractie vergelijking. Soms vereenvoudigt reductie tot een gemeenschappelijke noemer deze taak enorm;
Problemen met aandelen en percentages oplossen. Percentages zijn in feite gewone uitdrukkingen die breuken bevatten.

Vermenigvuldiging "kruiselings"

De eenvoudigste en meest betrouwbare manier, die gegarandeerd de noemers gelijk maakt. We zullen "vooruit" handelen: we vermenigvuldigen de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk en de tweede met de noemer van de eerste. Hierdoor worden de noemers van beide breuken gelijk aan het product van de oorspronkelijke noemers.

Kijk eens:

Taak. Zoek uitdrukkingswaarden:

Overweeg als extra factoren de noemers van aangrenzende breuken. We krijgen:

Gemeenschappelijke delermethode

Deze techniek helpt om de berekeningen aanzienlijk te verminderen, maar wordt helaas zelden gebruikt. De methode is als volgt:

Kijk naar de noemers voordat je "door" gaat (d.w.z. "kruiselings"). Misschien is een van hen (degene die groter is) deelbaar door de andere.
Het getal dat uit zo'n deling resulteert, zal een extra factor zijn voor een breuk met een kleinere noemer.
Tegelijkertijd hoeft een breuk met een grote noemer helemaal met niets te worden vermenigvuldigd - dit is de besparing. Tegelijkertijd wordt de kans op fouten sterk verminderd.

Taak. Zoek uitdrukkingswaarden:

Merk op dat 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Aangezien in beide gevallen de ene noemer deelbaar is door de andere zonder rest, passen we de methode van gemeenschappelijke factoren toe. We hebben:

Merk op dat de tweede breuk met helemaal niets is vermenigvuldigd. Sterker nog, we hebben het aantal berekeningen gehalveerd!

Minst gemene veelvoud methode

Voor noemers 8 en 12 is het getal 24 bijvoorbeeld heel geschikt, aangezien 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Dit getal is veel kleiner dan het product van 8 12 = 96.

Het kleinste getal dat deelbaar is door elk van de noemers wordt hun (LCM) genoemd.

Notatie: het kleinste gemene veelvoud van de getallen a en b wordt aangegeven met LCM(a; b). Bijvoorbeeld, LCM (16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Als het je lukt om zo'n getal te vinden, zal het totale aantal berekeningen minimaal zijn. Kijk naar de voorbeelden:

Taak. Zoek uitdrukkingswaarden:

Evenzo, 15 = 5 3; 20 = 5 4. Factoren 3 en 4 zijn co-prime en factor 5 is gebruikelijk. Daarom LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Laten we nu de breuken naar gemeenschappelijke noemers brengen:

Merk op hoe nuttig de factorisatie van de oorspronkelijke noemers bleek te zijn:

Nadat we dezelfde factoren hadden gevonden, bereikten we onmiddellijk het kleinste gemene veelvoud, wat over het algemeen een niet-triviaal probleem is;
Uit de resulterende uitbreiding kun je achterhalen welke factoren voor elk van de breuken "ontbreken". Bijvoorbeeld 234 3 \u003d 702, daarom is voor de eerste breuk de extra factor 3.

Denk niet dat zulke complexe breuken niet in echte voorbeelden voorkomen. Ze ontmoeten elkaar de hele tijd, en de bovenstaande taken zijn niet de limiet!

Zie ook:

Breuken naar een gemeenschappelijke noemer brengen

Een breuk verandert niet als de teller en noemer worden vermenigvuldigd met hetzelfde getal dat niet nul is.

Dus als u de factoren correct kiest, zijn de noemers van de breuken gelijk - dit proces wordt genoemd. En de gewenste getallen, "nivellering" van de noemers, worden genoemd.

Waarom moet je breuken naar een gemeenschappelijke noemer brengen? Hier zijn slechts een paar redenen:

Optellen en aftrekken van breuken met verschillende noemers. Er is geen andere manier om deze bewerking uit te voeren;
Fractie vergelijking. Soms vereenvoudigt reductie tot een gemeenschappelijke noemer deze taak enorm;
Problemen met aandelen en percentages oplossen. Percentages zijn in feite gewone uitdrukkingen die breuken bevatten.

Vermenigvuldiging "kruiselings"

De eenvoudigste en meest betrouwbare manier, die gegarandeerd de noemers gelijk maakt. We zullen "vooruit" handelen: we vermenigvuldigen de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk en de tweede met de noemer van de eerste. Hierdoor worden de noemers van beide breuken gelijk aan het product van de oorspronkelijke noemers. Kijk eens:

Taak. Zoek uitdrukkingswaarden:

Overweeg als extra factoren de noemers van aangrenzende breuken. We krijgen:

Het enige nadeel van deze methode is dat je veel moet tellen, omdat de noemers "vooruit" worden vermenigvuldigd en daardoor zeer grote getallen kunnen worden verkregen.

Breuken naar een gemeenschappelijke noemer brengen

Dat is de prijs van betrouwbaarheid.

Gemeenschappelijke delermethode

Deze techniek helpt om de berekeningen aanzienlijk te verminderen, maar wordt helaas zelden gebruikt. De methode is als volgt:

Kijk naar de noemers voordat je "door" gaat (d.w.z. "kruiselings"). Misschien is een van hen (degene die groter is) deelbaar door de andere.
Het getal dat uit zo'n deling resulteert, zal een extra factor zijn voor een breuk met een kleinere noemer.
Tegelijkertijd hoeft een breuk met een grote noemer helemaal met niets te worden vermenigvuldigd - dit is de besparing. Tegelijkertijd wordt de kans op fouten sterk verminderd.

Taak. Zoek uitdrukkingswaarden:

Merk op dat 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Aangezien in beide gevallen de ene noemer deelbaar is door de andere zonder rest, passen we de methode van gemeenschappelijke factoren toe. We hebben:

Merk op dat de tweede breuk met helemaal niets is vermenigvuldigd. Sterker nog, we hebben het aantal berekeningen gehalveerd!

Minst gemene veelvoud methode

Voor noemers 8 en 12 is het getal 24 bijvoorbeeld heel geschikt, aangezien 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Dit getal is veel kleiner dan het product van 8 12 = 96.

Het kleinste getal dat deelbaar is door elk van de noemers wordt hun (LCM) genoemd.

Notatie: het kleinste gemene veelvoud van de getallen a en b wordt aangegeven met LCM(a; b). Bijvoorbeeld, LCM (16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Als het je lukt om zo'n getal te vinden, zal het totale aantal berekeningen minimaal zijn. Kijk naar de voorbeelden:

Taak. Zoek uitdrukkingswaarden:

Evenzo, 15 = 5 3; 20 = 5 4. Factoren 3 en 4 zijn co-prime en factor 5 is gebruikelijk. Daarom LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Laten we nu de breuken naar gemeenschappelijke noemers brengen:

Merk op hoe nuttig de factorisatie van de oorspronkelijke noemers bleek te zijn:

Nadat we dezelfde factoren hadden gevonden, bereikten we onmiddellijk het kleinste gemene veelvoud, wat over het algemeen een niet-triviaal probleem is;
Uit de resulterende uitbreiding kun je achterhalen welke factoren voor elk van de breuken "ontbreken". Bijvoorbeeld 234 3 \u003d 702, daarom is voor de eerste breuk de extra factor 3.

Denk niet dat zulke complexe breuken niet in echte voorbeelden voorkomen. Ze ontmoeten elkaar de hele tijd, en de bovenstaande taken zijn niet de limiet!

Om breuken naar de kleinste gemene deler te brengen, moet je: 1) het kleinste gemene veelvoud van de noemers van deze breuken vinden, het zal de kleinste gemene deler zijn. 2) zoek een extra factor voor elk van de breuken, waarvoor we de nieuwe noemer delen door de noemer van elke breuk. 3) vermenigvuldig de teller en noemer van elke breuk met zijn extra factor.

Voorbeelden. Verklein de volgende breuken tot de kleinste gemene deler.

We vinden het kleinste gemene veelvoud van de noemers: LCM(5; 4) = 20, aangezien 20 het kleinste getal is dat deelbaar is door zowel 5 als 4. We vinden voor de 1e breuk een extra factor 4 (20 : 5=4). Voor de 2e breuk is de extra vermenigvuldiger 5 (20 : 4=5). We vermenigvuldigen de teller en noemer van de 1e breuk met 4, en de teller en noemer van de 2e breuk met 5. We hebben deze breuken teruggebracht tot de kleinste gemene deler ( 20 ).

De kleinste gemene deler van deze breuken is 8, aangezien 8 deelbaar is door 4 en door zichzelf. Er zal geen extra vermenigvuldiger zijn voor de 1e breuk (of je kunt zeggen dat het gelijk aan één), tot de 2e breuk is de extra factor 2 (8 : 4=2). We vermenigvuldigen de teller en noemer van de 2e breuk met 2. We hebben deze breuken teruggebracht tot de kleinste gemene deler ( 8 ).

Deze breuken zijn niet irreducibel.

We verminderen de 1e breuk met 4, en we verminderen de 2e breuk met 2. ( zie voorbeelden voor afkortingen gewone breuken: Sitemap → 5.4.2. Voorbeelden van reductie van gewone breuken). Vind LCM (16 .) ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. De extra vermenigvuldiger voor de 1e breuk is 5 (80 : 16=5). De extra vermenigvuldiger voor de 2e breuk is 4 (80 : 20=4). We vermenigvuldigen de teller en noemer van de 1e breuk met 5, en de teller en noemer van de 2e breuk met 4. We hebben deze breuken teruggebracht tot de kleinste gemene deler ( 80 ).

Zoek de kleinste gemene deler van de NOC (5 ; 6 en 15) = LCM(5 ; 6 en 15)=30. De extra vermenigvuldiger van de 1e breuk is 6 (30 : 5=6), de extra vermenigvuldiger van de 2e breuk is 5 (30 : 6=5), is de extra vermenigvuldiger van de 3e breuk 2 (30 : 15=2). We vermenigvuldigen de teller en noemer van de 1e breuk met 6, de teller en noemer van de 2e breuk met 5, de teller en noemer van de 3e breuk met 2. We hebben deze breuken teruggebracht tot de kleinste gemene deler ( 30 ).

Pagina 1 van 1 1