Om te begrijpen hoe u de LCM kunt berekenen, moet u eerst de betekenis van de term "meervoudig" bepalen.

Een veelvoud van A is een natuurlijk getal dat zonder rest deelbaar is door A. Dus 15, 20, 25, enzovoort kunnen worden beschouwd als veelvouden van 5.

Er kan een beperkt aantal delers van een bepaald getal zijn, maar er zijn oneindig veel veelvouden.

Een veelvoud van natuurlijke getallen is een getal dat zonder rest deelbaar is door deze getallen.

Hoe het kleinste gemene veelvoud van getallen te vinden

Het kleinste gemene veelvoud (LCM) van getallen (twee, drie of meer) is het kleinste natuurlijke getal dat deelbaar is door al deze getallen.

Om het NOC te vinden, kunt u verschillende methoden gebruiken.

Voor kleine getallen is het handig om alle veelvouden van deze getallen op een regel te schrijven totdat er een gemeenschappelijk getal tussen zit. Veelvouden worden in het record aangegeven met een hoofdletter K.

Veelvouden van 4 kunnen bijvoorbeeld als volgt worden geschreven:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

U kunt dus zien dat het kleinste gemene veelvoud van de getallen 4 en 6 het getal 24 is. Deze invoer wordt als volgt uitgevoerd:

LCM(4, 6) = 24

Als de getallen groot zijn, zoek dan het gemene veelvoud van drie of meer getallen, dan is het beter om een ​​andere manier te gebruiken om de LCM te berekenen.

Om de taak te voltooien, is het noodzakelijk om de voorgestelde getallen te ontleden in priemfactoren.

Eerst moet je de uitbreiding van de grootste van de getallen in een regel uitschrijven, en daaronder - de rest.

Bij de uitbreiding van elk nummer kan er een ander aantal factoren zijn.

Laten we bijvoorbeeld de getallen 50 en 20 ontbinden in priemfactoren.

Bij de ontleding van het kleinere getal moet men de factoren onderstrepen die afwezig zijn in de ontleding van het eerste grootste getal, en ze er dan aan toevoegen. In het gepresenteerde voorbeeld ontbreekt een deuce.

Nu kunnen we het kleinste gemene veelvoud van 20 en 50 berekenen.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Het product van de priemfactoren van het grotere getal en de factoren van het tweede getal, die niet zijn opgenomen in de ontleding van het grotere getal, zal dus het kleinste gemene veelvoud zijn.

Om de LCM van drie of meer getallen te vinden, moeten ze allemaal worden ontleed in priemfactoren, zoals in het vorige geval.

U kunt bijvoorbeeld het kleinste gemene veelvoud van de getallen 16, 24, 36 vinden.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Dus slechts twee deuces van de ontleding van zestien werden niet opgenomen in de ontbinding van een groter aantal (één is in de ontleding van vierentwintig).

Ze moeten dus worden toegevoegd aan de ontleding van een groter aantal.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Er zijn speciale gevallen van het bepalen van het kleinste gemene veelvoud. Dus als een van de getallen zonder rest kan worden gedeeld door een ander, dan is het grootste van deze getallen het kleinste gemene veelvoud.

NOC's van twaalf en vierentwintig zijn bijvoorbeeld vierentwintig.

Als het nodig is om het kleinste gemene veelvoud te vinden van priemgetallen die niet dezelfde delers hebben, dan is hun LCM gelijk aan hun product.

Bijvoorbeeld, LCM(10, 11) = 110.

De leerlingen krijgen veel rekenopdrachten. Onder hen zijn er heel vaak taken met de volgende formulering: er zijn twee waarden. Hoe vind je het kleinste gemene veelvoud van gegeven getallen? Het is noodzakelijk om dergelijke taken uit te voeren, omdat de verworven vaardigheden worden gebruikt om met breuken met verschillende noemers te werken. In het artikel zullen we analyseren hoe we de LCM en de basisconcepten kunnen vinden.

Voordat u het antwoord vindt op de vraag hoe u de LCM kunt vinden, moet u de term multiple definiëren. Meestal is de formulering van dit concept als volgt: een veelvoud van een waarde A is een natuurlijk getal dat zonder rest deelbaar is door A. Dus voor 4, 8, 12, 16, 20 enzovoort, tot de vereiste limiet.

In dit geval kan het aantal delers voor een bepaalde waarde worden beperkt en zijn er oneindig veel veelvouden. Ook voor natuurwaarden geldt dezelfde waarde. Dit is een indicator die door hen wordt gedeeld zonder rest. Nadat we het concept van de kleinste waarde voor bepaalde indicatoren hebben behandeld, gaan we verder met het vinden ervan.

Het NOC vinden

Het kleinste veelvoud van twee of meer exponenten is het kleinste natuurlijke getal dat volledig deelbaar is door alle gegeven getallen.

Er zijn verschillende manieren om een ​​dergelijke waarde te vinden. Laten we eens kijken naar de volgende methoden:

1. Als de getallen klein zijn, schrijf dan in de regel die er allemaal door deelbaar is. Blijf dit doen totdat je iets gemeenschappelijks tussen hen vindt. In het record worden ze aangegeven met de letter K. Voor 4 en 3 is het kleinste veelvoud bijvoorbeeld 12.
2. Als deze groot zijn of je moet een veelvoud vinden voor 3 of meer waarden, dan moet je hier een andere techniek gebruiken waarbij getallen worden ontbonden in priemfactoren. Leg eerst de grootste van de aangegeven kaarten neer en daarna de rest. Elk van hen heeft zijn eigen aantal vermenigvuldigers. Laten we als voorbeeld 20 (2*2*5) en 50 (5*5*2) ontleden. Onderstreep voor de kleinste de factoren en tel op bij de grootste. Het resultaat is 100, wat het kleinste gemene veelvoud is van de bovenstaande getallen.
3. Bij het vinden van 3 getallen (16, 24 en 36) zijn de principes hetzelfde als voor de andere twee. Laten we ze allemaal uitbreiden: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Slechts twee deuces van de ontleding van het getal 16 werden niet meegenomen in de uitbreiding van de grootste. We tellen ze op en krijgen 144, wat het kleinste resultaat is voor de eerder aangegeven numerieke waarden.

Nu weten we wat de algemene techniek is om de kleinste waarde voor twee, drie of meer waarden te vinden. Er zijn echter ook privémethoden, helpen bij het zoeken naar NOC's, als de vorige niet helpen.

Hoe GCD en NOC te vinden.

Privé manieren van zoeken

Zoals bij elke wiskundige sectie, zijn er speciale gevallen van het vinden van LCM's die in specifieke situaties helpen:

• als een van de getallen deelbaar is door de andere zonder rest, dan is het laagste veelvoud van deze getallen daaraan gelijk (NOC 60 en 15 is gelijk aan 15);
• Co-priemgetallen hebben geen gemeenschappelijke priemdelers. Hun kleinste waarde is gelijk aan het product van deze getallen. Dus voor de nummers 7 en 8 is dit 56;
• dezelfde regel werkt voor andere gevallen, inclusief speciale gevallen, waarover in gespecialiseerde literatuur kan worden gelezen. Dit zou ook gevallen van ontleding van samengestelde getallen moeten omvatten, die het onderwerp zijn van afzonderlijke artikelen en zelfs proefschriften.

Speciale gevallen komen minder vaak voor dan standaardvoorbeelden. Maar dankzij hen kun je leren werken met breuken van verschillende gradaties van complexiteit. Dit geldt vooral voor breuken., waar er verschillende noemers zijn.

Een paar voorbeelden

Laten we een paar voorbeelden bekijken, waardoor u het principe van het vinden van het kleinste veelvoud kunt begrijpen:

1. We vinden LCM (35; 40). We leggen eerst 35 = 5*7 uit, dan 40 = 5*8. We tellen 8 op bij het kleinste getal en krijgen de NOC 280.
2. NOC (45; 54). We leggen ze elk uit: 45 = 3*3*5 en 54 = 3*3*6. We tellen het getal 6 op bij 45. We krijgen de NOC gelijk aan 270.
3. Nou ja, het laatste voorbeeld. Er zijn 5 en 4. Er zijn geen eenvoudige veelvouden voor hen, dus het kleinste gemene veelvoud is in dit geval hun product, gelijk aan 20.

Dankzij voorbeelden kunt u begrijpen hoe het NOC zich bevindt, wat de nuances zijn en wat de betekenis is van dergelijke manipulaties.

Het vinden van het NOC is veel gemakkelijker dan het op het eerste gezicht lijkt. Hiervoor worden zowel een eenvoudige uitbreiding als de vermenigvuldiging van eenvoudige waarden met elkaar gebruikt.. Het vermogen om met dit deel van de wiskunde te werken, helpt bij de verdere studie van wiskundige onderwerpen, met name fracties van verschillende gradaties van complexiteit.

Vergeet niet om periodiek voorbeelden op te lossen met verschillende methoden, dit ontwikkelt het logische apparaat en stelt u in staat om tal van termen te onthouden. Leer methoden om zo'n indicator te vinden en je zult goed kunnen werken met de rest van de wiskundige secties. Veel plezier met het leren van wiskunde!

Video

Deze video helpt je te begrijpen en te onthouden hoe je het kleinste gemene veelvoud kunt vinden.

Laten we doorgaan met de discussie over het kleinste gemene veelvoud die we zijn begonnen in de sectie LCM - Kleinste gemene veelvoud, definitie, voorbeelden. In dit onderwerp zullen we manieren bekijken om de LCM voor drie of meer getallen te vinden, we zullen de vraag analyseren hoe we de LCM van een negatief getal kunnen vinden.

Yandex.RTB RA-339285-1

Berekening van het kleinste gemene veelvoud (LCM) via ggd

We hebben al de relatie gelegd tussen het kleinste gemene veelvoud en de grootste gemene deler. Laten we nu leren hoe we de LCM kunnen definiëren via de GCD. Laten we eerst eens kijken hoe we dit voor positieve getallen kunnen doen.

Definitie 1

U kunt het kleinste gemene veelvoud vinden via de grootste gemene deler met behulp van de formule LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

voorbeeld 1

Het is noodzakelijk om de LCM van de nummers 126 en 70 te vinden.

Beslissing

Laten we nemen a = 126 , b = 70 . Vervang de waarden in de formule voor het berekenen van het kleinste gemene veelvoud door de grootste gemene deler LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Vindt de GCD van de getallen 70 en 126. Hiervoor hebben we het Euclid-algoritme nodig: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , vandaar ggd (126 , 70) = 14 .

Laten we de LCM berekenen: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Antwoord: LCM (126, 70) = 630.

Voorbeeld 2

Zoek de nok van de nummers 68 en 34.

Beslissing

GCD is in dit geval gemakkelijk te vinden, aangezien 68 deelbaar is door 34. Bereken het kleinste gemene veelvoud met de formule: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Antwoord: LCM(68, 34) = 68.

In dit voorbeeld hebben we de regel gebruikt om het kleinste gemene veelvoud van positieve gehele getallen a en b te vinden: als het eerste getal deelbaar is door het tweede, dan is de LCM van deze getallen gelijk aan het eerste getal.

De LCM vinden door getallen in priemfactoren te factoriseren

Laten we nu kijken naar een manier om de LCM te vinden, die is gebaseerd op de ontleding van getallen in priemfactoren.

definitie 2

Om het kleinste gemene veelvoud te vinden, moeten we een aantal eenvoudige stappen uitvoeren:

• we vormen het product van alle priemfactoren van getallen waarvoor we de LCM moeten vinden;
• we sluiten alle priemfactoren uit van hun verkregen producten;
• het product dat wordt verkregen na het elimineren van de gemeenschappelijke priemfactoren zal gelijk zijn aan de LCM van de gegeven getallen.

Deze manier om het kleinste gemene veelvoud te vinden is gebaseerd op de gelijkheid LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Als je naar de formule kijkt, wordt het duidelijk: het product van de getallen a en b is gelijk aan het product van alle factoren die betrokken zijn bij de uitbreiding van deze twee getallen. In dit geval is de GCD van twee getallen gelijk aan het product van alle priemfactoren die gelijktijdig aanwezig zijn in de ontbinding van deze twee getallen.

Voorbeeld 3

We hebben twee nummers 75 en 210 . We kunnen ze als volgt uitsluiten: 75 = 3 5 5 en 210 = 2 3 5 7. Als je het product maakt van alle factoren van de twee originele getallen, krijg je: 2 3 3 5 5 5 7.

Als we de gemeenschappelijke factoren van zowel de nummers 3 als 5 uitsluiten, krijgen we een product van de volgende vorm: 2 3 5 5 7 = 1050. Dit product wordt onze LCM voor de nummers 75 en 210.

Voorbeeld 4

Vind de LCM van getallen 441 en 700 , ontbinden beide getallen in priemfactoren.

Beslissing

Laten we alle priemfactoren van de getallen in de voorwaarde vinden:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

We krijgen twee getallenreeksen: 441 = 3 3 7 7 en 700 = 2 2 5 5 7 .

Het product van alle factoren die hebben bijgedragen aan de uitbreiding van deze aantallen ziet er als volgt uit: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Laten we de gemeenschappelijke factoren zoeken. Dit aantal is 7. We sluiten het uit van het algemene product: 2 2 3 3 5 5 7 7. Het blijkt dat NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Antwoord: LCM (441, 700) = 44 100.

Laten we nog een formulering geven van de methode voor het vinden van de LCM door getallen in priemfactoren te ontbinden.

Definitie 3

Eerder hebben we uitgesloten van het totale aantal factoren dat beide getallen gemeen hebben. Nu gaan we het anders doen:

• Laten we beide getallen ontbinden in priemfactoren:
• tel bij het product van de priemfactoren van het eerste getal de ontbrekende factoren van het tweede getal op;
• we krijgen het product, dat de gewenste LCM van twee getallen zal zijn.

Voorbeeld 5

Laten we teruggaan naar de nummers 75 en 210, waarvoor we in een van de vorige voorbeelden al naar de LCM hebben gezocht. Laten we ze opsplitsen in eenvoudige factoren: 75 = 3 5 5 en 210 = 2 3 5 7. Naar het product van de factoren 3 , 5 en 5 nummer 75 voeg de ontbrekende factoren toe 2 en 7 nummers 210. We krijgen: 2 3 5 5 7 . Dit is de LCM van de nummers 75 en 210.

Voorbeeld 6

Het is noodzakelijk om de LCM van de getallen 84 en 648 te berekenen.

Beslissing

Laten we de getallen van de voorwaarde ontleden in priemfactoren: 84 = 2 2 3 7 en 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Optellen bij het product van de factoren 2 , 2 , 3 en 7 nummers 84 ontbrekende factoren 2 , 3 , 3 en
3 nummers 648. We krijgen het product 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Dit is het kleinste gemene veelvoud van 84 en 648.

Antwoord: LCM (84, 648) = 4536.

De LCM van drie of meer getallen vinden

Ongeacht met hoeveel getallen we te maken hebben, het algoritme van onze acties zal altijd hetzelfde zijn: we zullen achtereenvolgens de LCM van twee getallen vinden. Er is een stelling voor dit geval.

Stelling 1

Stel dat we gehele getallen hebben een 1 , een 2 , … , een k. NOC m k van deze getallen wordt gevonden in de sequentiële berekening m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k 1 , a k) .

Laten we nu eens kijken hoe de stelling kan worden toegepast op specifieke problemen.

Voorbeeld 7

U moet het kleinste gemene veelvoud van de vier getallen 140 , 9, 54 en berekenen 250 .

Beslissing

Laten we de notatie introduceren: een 1 \u003d 140, een 2 \u003d 9, een 3 \u003d 54, een 4 \u003d 250.

Laten we beginnen met het berekenen van m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9 ). Laten we het Euclidische algoritme gebruiken om de GCD van de getallen 140 en 9 te berekenen: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . We krijgen: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Daarom is m2 = 1 260 .

Laten we nu volgens hetzelfde algoritme m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) berekenen. Tijdens de berekeningen krijgen we m 3 = 3 780.

Het blijft voor ons om m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) te berekenen. We handelen volgens hetzelfde algoritme. We krijgen m 4 \u003d 94 500.

De LCM van de vier getallen uit de voorbeeldconditie is 94500 .

Antwoord: LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Zoals u kunt zien, zijn de berekeningen eenvoudig, maar behoorlijk arbeidsintensief. Om tijd te besparen, kunt u de andere kant op gaan.

Definitie 4

We bieden u het volgende algoritme van acties:

• ontbind alle getallen in priemfactoren;
• tel bij het product van de factoren van het eerste getal de ontbrekende factoren van het product van het tweede getal op;
• voeg de ontbrekende factoren van het derde getal toe aan het product verkregen in de vorige fase, enz.;
• het resulterende product is het kleinste gemene veelvoud van alle getallen van de voorwaarde.

Voorbeeld 8

Het is noodzakelijk om de LCM van vijf getallen 84, 6, 48, 7, 143 te vinden.

Beslissing

Laten we alle vijf getallen ontbinden in priemfactoren: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Priemgetallen, het getal 7, kunnen niet in priemfactoren worden verwerkt. Dergelijke getallen vallen samen met hun ontleding in priemfactoren.

Laten we nu het product van de priemfactoren 2, 2, 3 en 7 van het getal 84 nemen en daarbij de ontbrekende factoren van het tweede getal optellen. We hebben het getal 6 ontleed in 2 en 3. Deze factoren zitten al in het product van het eerste getal. Daarom laten we ze achterwege.

We blijven de ontbrekende vermenigvuldigers toevoegen. We gaan naar het getal 48, uit het product van priemfactoren waarvan we 2 en 2 nemen. Dan tellen we een simpele factor 7 op van het vierde getal en factoren van 11 en 13 van de vijfde. We krijgen: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Dit is het kleinste gemene veelvoud van de vijf originele getallen.

Antwoord: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Het kleinste gemene veelvoud van negatieve getallen vinden

Om het kleinste gemene veelvoud van negatieve getallen te vinden, moeten deze getallen eerst worden vervangen door getallen met het tegengestelde teken en vervolgens moeten de berekeningen worden uitgevoerd volgens de bovenstaande algoritmen.

Voorbeeld 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) en LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Dergelijke acties zijn toegestaan ​​vanwege het feit dat als wordt geaccepteerd dat: a en een- tegenovergestelde nummers
dan de reeks veelvouden a samenvalt met de verzameling veelvouden van een getal een.

Voorbeeld 10

Het is noodzakelijk om de LCM van negatieve getallen te berekenen − 145 en − 45 .

Beslissing

Laten we de cijfers veranderen − 145 en − 45 naar hun tegengestelde nummers 145 en 45 . Nu berekenen we met behulp van het algoritme de LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , nadat we eerder de GCD hebben bepaald met behulp van het Euclid-algoritme.

We krijgen dat de LCM van getallen − 145 en − 45 gelijk aan 1 305 .

Antwoord: LCM (− 145 , 45) = 1 305 .

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

Hoe LCM te vinden (kleinste gemene veelvoud)

Het gemene veelvoud van twee gehele getallen is het gehele getal dat deelbaar is door beide gegeven getallen zonder rest.

Het kleinste gemene veelvoud van twee gehele getallen is de kleinste van alle gehele getallen die gelijk en zonder rest deelbaar is door beide gegeven getallen.

Methode 1. Je kunt de LCM op zijn beurt vinden voor elk van de gegeven getallen, door in oplopende volgorde alle getallen op te schrijven die worden verkregen door ze te vermenigvuldigen met 1, 2, 3, 4, enzovoort.

Voorbeeld voor de nummers 6 en 9.
We vermenigvuldigen het getal 6 opeenvolgend met 1, 2, 3, 4, 5.
We krijgen: 6, 12, 18 , 24, 30
We vermenigvuldigen het getal 9, opeenvolgend, met 1, 2, 3, 4, 5.
Wij krijgen: 9, 18 , 27, 36, 45
Zoals je kunt zien, is de LCM voor de nummers 6 en 9 18.

Deze methode is handig wanneer beide getallen klein zijn en het gemakkelijk is om ze te vermenigvuldigen met een reeks gehele getallen. Er zijn echter gevallen waarin u de LCM moet vinden voor tweecijferige of driecijferige getallen, en ook wanneer er drie of zelfs meer begincijfers zijn.

Methode 2. U kunt de LCM vinden door de oorspronkelijke getallen te ontbinden in priemfactoren.
Na ontleding is het noodzakelijk om dezelfde getallen uit de resulterende reeks priemfactoren te schrappen. De resterende getallen van het eerste getal zijn de factor voor het tweede en de resterende getallen van het tweede getal zijn de factor voor het eerste.

Voorbeeld voor de nummers 75 en 60.
Het kleinste gemene veelvoud van de getallen 75 en 60 kan worden gevonden zonder veelvouden van deze getallen achter elkaar te schrijven. Om dit te doen, ontleden we 75 en 60 in priemfactoren:
75 = 3 * 5 * 5, en
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Zoals je ziet komen de factoren 3 en 5 in beide rijen voor. Mentaal "strepen" we ze door.
Laten we de resterende factoren opschrijven die zijn opgenomen in de uitbreiding van elk van deze getallen. Bij het ontbinden van het getal 75 lieten we het getal 5 achter, en bij het ontbinden van het getal 60 lieten we 2 * 2 achter
Dus om de LCM voor de getallen 75 en 60 te bepalen, moeten we de resterende getallen van de uitbreiding van 75 (dit is 5) vermenigvuldigen met 60, en de resterende getallen van de uitbreiding van het getal 60 (dit is 2 * 2 ) vermenigvuldigen met 75. Dat wil zeggen, voor het gemak zeggen we dat we "kruiselings" vermenigvuldigen.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Zo hebben we de LCM gevonden voor de nummers 60 en 75. Dit is het nummer 300.

Voorbeeld. Bepaal LCM voor nummers 12, 16, 24
In dit geval zullen onze acties iets gecompliceerder zijn. Maar eerst, zoals altijd, ontleden we alle getallen in priemfactoren
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Om de LCM correct te bepalen, selecteren we het kleinste van alle getallen (dit is het getal 12) en doorlopen we achtereenvolgens de factoren ervan, door ze door te strepen als ten minste een van de andere rijen getallen dezelfde vermenigvuldiger heeft die nog niet is overschreden uit.

Stap 1 . We zien dat 2 * 2 in alle getallenreeksen voorkomt. We kruisen ze door.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Stap 2. In de priemfactoren van het getal 12 blijft alleen het getal 3. Maar het is aanwezig in de priemfactoren van het getal 24. We schrappen het getal 3 uit beide rijen, terwijl er geen actie wordt verwacht voor het getal 16 .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Zoals je kunt zien, hebben we bij het ontbinden van het getal 12 alle getallen "doorgestreept". De vondst van het NOC is dus afgerond. Het blijft alleen om de waarde ervan te berekenen.
Voor het getal 12 nemen we de overige factoren van het getal 16 (het dichtst in oplopende volgorde)
12 * 2 * 2 = 48
Dit is het NOC

Zoals je kunt zien, was het vinden van de LCM in dit geval iets moeilijker, maar als je het voor drie of meer nummers moet vinden, kun je met deze methode het sneller doen. Beide manieren om de LCM te vinden zijn echter correct.

Definitie. Het grootste natuurlijke getal waardoor de getallen a en b deelbaar zijn zonder rest, heet grootste gemene deler (gg) deze nummers.

Laten we de grootste gemene deler van de getallen 24 en 35 vinden.
De delers van 24 zijn de getallen 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 en de delers van 35 zijn de getallen 1, 5, 7, 35.
We zien dat de getallen 24 en 35 maar één gemeenschappelijke deler hebben - het getal 1. Dergelijke getallen worden genoemd coprime.

Definitie. De natuurlijke getallen worden genoemd coprime als hun grootste gemene deler (ggd) 1 is.

Grootste gemene deler (GCD) kan worden gevonden zonder alle delers van de gegeven getallen op te schrijven.

Als we de getallen 48 en 36 in rekening brengen, krijgen we:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Van de factoren die zijn opgenomen in de uitbreiding van het eerste van deze getallen, verwijderen we de factoren die niet zijn opgenomen in de uitbreiding van het tweede getal (d.w.z. twee deuces).
De factoren 2 * 2 * 3. blijven bestaan. Hun product is 12. Dit getal is de grootste gemene deler van de getallen 48 en 36. De grootste gemene deler van drie of meer getallen wordt ook gevonden.

Vinden grootste gemene deler

2) van de factoren die zijn opgenomen in de uitbreiding van een van deze nummers, haal de factoren door die niet zijn opgenomen in de uitbreiding van andere nummers;
3) vind het product van de overige factoren.

Als alle gegeven getallen deelbaar zijn door een van hen, dan is dit getal grootste gemene deler gegeven nummers.
De grootste gemene deler van 15, 45, 75 en 180 is bijvoorbeeld 15, omdat het alle andere getallen deelt: 45, 75 en 180.

Kleinste gemene veelvoud (LCM)

Definitie. Kleinste gemene veelvoud (LCM) natuurlijke getallen a en b zijn het kleinste natuurlijke getal dat een veelvoud is van zowel a als b. Het kleinste gemene veelvoud (LCM) van de getallen 75 en 60 kan worden gevonden zonder veelvouden van deze getallen achter elkaar te schrijven. Om dit te doen, ontleden we 75 en 60 in eenvoudige factoren: 75 \u003d 3 * 5 * 5 en 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Laten we de factoren opschrijven die zijn opgenomen in de uitbreiding van het eerste van deze getallen, en daarbij de ontbrekende factoren 2 en 2 van de uitbreiding van het tweede getal toevoegen (dat wil zeggen, we combineren de factoren).
We krijgen vijf factoren 2 * 2 * 3 * 5 * 5, waarvan het product 300 is. Dit getal is het kleinste gemene veelvoud van de getallen 75 en 60.

Zoek ook het kleinste gemene veelvoud van drie of meer getallen.

Tot vind het kleinste gemene veelvoud verschillende natuurlijke getallen, je hebt nodig:
1) ontbind ze in priemfactoren;
2) schrijf de factoren op die zijn opgenomen in de uitbreiding van een van de getallen;
3) voeg de ontbrekende factoren van de uitbreidingen van de resterende nummers toe;
4) vind het product van de resulterende factoren.

Merk op dat als een van deze getallen deelbaar is door alle andere getallen, dit getal het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is.
Het kleinste gemene veelvoud van 12, 15, 20 en 60 zou bijvoorbeeld 60 zijn, omdat het deelbaar is door alle gegeven getallen.

Pythagoras (VI eeuw voor Christus) en zijn studenten bestudeerden de kwestie van de deelbaarheid van getallen. Een getal gelijk aan de som van al zijn delers (zonder het getal zelf), noemden ze het perfecte getal. De getallen 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) zijn bijvoorbeeld perfect. De volgende perfecte getallen zijn 496, 8128, 33.550.336. De Pythagoreeërs kenden alleen de eerste drie perfecte getallen. De vierde - 8128 - werd bekend in de 1e eeuw. n. e. De vijfde - 33 550 336 - werd gevonden in de 15e eeuw. In 1983 waren er al 27 perfecte getallen bekend. Maar tot nu toe weten wetenschappers niet of er oneven perfecte getallen zijn, of het grootste perfecte getal.
De belangstelling van oude wiskundigen voor priemgetallen is te wijten aan het feit dat elk getal een priemgetal is of kan worden weergegeven als een product van priemgetallen, dat wil zeggen dat priemgetallen zijn als stenen waaruit de rest van de natuurlijke getallen is opgebouwd.
Je hebt waarschijnlijk gemerkt dat priemgetallen in de reeks van natuurlijke getallen ongelijk voorkomen - in sommige delen van de reeks zijn er meer, in andere - minder. Maar hoe verder we langs de getallenreeks gaan, hoe zeldzamer de priemgetallen. De vraag rijst: bestaat het laatste (grootste) priemgetal? De oude Griekse wiskundige Euclid (3e eeuw voor Christus) bewees in zijn boek "Beginnings", dat tweeduizend jaar lang het belangrijkste leerboek van de wiskunde was, dat er oneindig veel priemgetallen zijn, dat wil zeggen dat achter elk priemgetal een even groter priemgetal.
Om priemgetallen te vinden, bedacht een andere Griekse wiskundige uit dezelfde tijd, Eratosthenes, een dergelijke methode. Hij noteerde alle getallen van 1 tot een getal, en schrapte vervolgens de eenheid, die geen priemgetal of samengesteld getal is, en doorstreepte vervolgens alle getallen na 2 (getallen die veelvouden zijn van 2, d.w.z. 4, 6, 8, enz.). Het eerste resterende getal na 2 was 3. Daarna, na twee, werden alle getallen na 3 doorgestreept (getallen die veelvouden zijn van 3, d.w.z. 6, 9, 12, enz.). uiteindelijk bleven alleen de priemgetallen niet doorgestreept.