Dezelfde vermenigvuldigers worden niet geannuleerd. Extractie van het gehele deel van een breuk

Dit artikel gaat verder met het thema van de transformatie van algebraïsche breuken: beschouw een dergelijke actie als de reductie van algebraïsche breuken. Laten we de term zelf definiëren, de afkortingsregel formuleren en praktijkvoorbeelden analyseren.

Yandex.RTB RA-339285-1

Betekenis van de afkorting van de algebraïsche breuk

In de materialen op de gewone fractie hebben we de reductie ervan overwogen. We hebben de reductie van een gemeenschappelijke breuk gedefinieerd als het delen van de teller en noemer door een gemeenschappelijke factor.

Het verkleinen van een algebraïsche breuk is een soortgelijke operatie.

Definitie 1

Algebraïsche breukreductie is de deling van de teller en noemer door een gemeenschappelijke factor. In dit geval kan, in tegenstelling tot de reductie van een gewone breuk (alleen een getal kan een gemeenschappelijke noemer zijn), een polynoom, in het bijzonder een monomiaal of een getal, dienen als een gemeenschappelijke factor voor de teller en noemer van een algebraïsche breuk.

Bijvoorbeeld, de algebraïsche breuk 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 kan worden verminderd met het getal 3, als resultaat krijgen we: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 . We kunnen dezelfde breuk verkleinen met de variabele x, en dit geeft ons de uitdrukking 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . Het is ook mogelijk om een ​​gegeven fractie te verminderen met een monomial 3x of een van de polynomen x + 2 jaar, 3 x + 6 jaar , x 2 + 2 x jaar of 3 x 2 + 6 x j.

Het uiteindelijke doel van het verkleinen van een algebraïsche breuk is een fractie van een eenvoudigere vorm, in het beste geval een onherleidbare breuk.

Zijn alle algebraïsche breuken onderhevig aan reductie?

Nogmaals, uit de materialen op gewone breuken weten we dat er herleidbare en onherleidbare breuken zijn. Onherleidbaar - dit zijn breuken die geen gemeenschappelijke factoren van de teller en noemer hebben, behalve 1.

Met algebraïsche breuken is alles hetzelfde: ze kunnen al dan niet gemeenschappelijke factoren van de teller en noemer hebben. Door de aanwezigheid van gemeenschappelijke factoren kunt u de oorspronkelijke breuk vereenvoudigen door middel van reductie. Als er geen gemeenschappelijke factoren zijn, is het onmogelijk om een ​​bepaalde fractie te optimaliseren met de reductiemethode.

In algemene gevallen is het voor een bepaald type breuk vrij moeilijk te begrijpen of het onderhevig is aan reductie. Natuurlijk is in sommige gevallen de aanwezigheid van een gemeenschappelijke factor van teller en noemer duidelijk. In de algebraïsche breuk 3 · x 2 3 · y is het bijvoorbeeld vrij duidelijk dat de gemeenschappelijke factor het getal 3 is.

In een breuk - x · y 5 · x · y · z 3 begrijpen we ook meteen dat het mogelijk is om het te verkleinen met x, of y, of met x · y. En toch komen voorbeelden van algebraïsche breuken veel vaker voor, wanneer de gemeenschappelijke factor van de teller en noemer niet zo gemakkelijk te zien is, en zelfs vaker - hij is gewoon afwezig.

We kunnen bijvoorbeeld de breuk x 3 - 1 x 2 - 1 verkleinen met x - 1, terwijl de opgegeven gemene deler niet in het record staat. Maar de breuk x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 kan niet worden verkleind, omdat teller en noemer geen gemeenschappelijke factor hebben.

De vraag om de samentrekbaarheid van een algebraïsche breuk te achterhalen is dus niet zo eenvoudig, en het is vaak gemakkelijker om met een breuk van een bepaalde vorm te werken dan te proberen uit te vinden of deze samentrekbaar is. In dit geval vinden zulke transformaties plaats dat we in bepaalde gevallen de gemeenschappelijke factor van teller en noemer kunnen bepalen of kunnen concluderen dat de breuk irreducibel is. We zullen dit probleem in detail analyseren in de volgende paragraaf van het artikel.

Reductieregel voor algebraïsche breuken

Reductieregel voor algebraïsche breuken bestaat uit twee opeenvolgende stappen:

• het vinden van de gemeenschappelijke factoren van de teller en noemer;
• in het geval van het vinden van dergelijke, de uitvoering van de directe actie van het verminderen van de fractie.

De handigste methode voor het vinden van gemeenschappelijke noemers is om de veeltermen die aanwezig zijn in de teller en noemer van een gegeven algebraïsche breuk te factoriseren. Hierdoor kun je direct visueel de aan- of afwezigheid van gemeenschappelijke factoren zien.

De actie van het reduceren van een algebraïsche breuk is gebaseerd op de hoofdeigenschap van een algebraïsche breuk, uitgedrukt door de gelijkheid undefined , waarbij a , b , c enkele veeltermen zijn en b en c niet nul zijn. De eerste stap is om de breuk te verkleinen tot de vorm a c b c , waarbij we meteen de gemeenschappelijke factor c opmerken. De tweede stap is het uitvoeren van de reductie, d.w.z. overgang naar een fractie van de vorm a b .

typische voorbeelden

Ondanks enige voor de hand liggende, laten we verduidelijken over het speciale geval waarin de teller en noemer van een algebraïsche breuk gelijk zijn. Vergelijkbare breuken zijn identiek gelijk aan 1 op de gehele ODZ van de variabelen van deze breuk:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 jaar 1 2 x - x 2 jaar;

Aangezien gewone breuken een speciaal geval zijn van algebraïsche breuken, laten we ons herinneren hoe ze worden gereduceerd. De natuurlijke getallen geschreven in de teller en noemer worden ontleed in priemfactoren, waarna de gemeenschappelijke factoren worden verminderd (indien aanwezig).

Bijvoorbeeld 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Het product van eenvoudige identieke factoren kan worden geschreven als graden, en in het proces van breukreductie, gebruik de eigenschap van het delen van graden met dezelfde basen. Dan zou de bovenstaande oplossing zijn:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(teller en noemer gedeeld door een gemeenschappelijke factor) 2 2 3). Of, voor de duidelijkheid, op basis van de eigenschappen van vermenigvuldigen en delen, geven we de oplossing de volgende vorm:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Naar analogie wordt de reductie van algebraïsche breuken uitgevoerd, waarbij de teller en noemer monomials hebben met gehele coëfficiënten.

voorbeeld 1

Gegeven een algebraïsche breuk - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Het moet worden verminderd.

Beslissing

Het is mogelijk om de teller en noemer van een gegeven breuk te schrijven als een product van priemfactoren en variabelen, en dan te verminderen:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c c z = = - 3 3 a a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Een meer rationele manier zou echter zijn om de oplossing te schrijven als een uitdrukking met bevoegdheden:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6 .

Antwoord:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Wanneer er fractionele numerieke coëfficiënten in de teller en noemer van een algebraïsche breuk zijn, zijn er twee mogelijke manieren van verdere acties: ofwel deze fractionele coëfficiënten afzonderlijk delen, of eerst de fractionele coëfficiënten verwijderen door de teller en noemer te vermenigvuldigen met een natuurlijk getal . De laatste transformatie wordt uitgevoerd vanwege de hoofdeigenschap van een algebraïsche breuk (u kunt erover lezen in het artikel "Een algebraïsche breuk reduceren tot een nieuwe noemer").

Voorbeeld 2

Gegeven een breuk 2 5 x 0 , 3 x 3 . Het moet worden verminderd.

Beslissing

Het is mogelijk om de breuk op deze manier te verkleinen:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Laten we proberen het probleem anders op te lossen, nadat we eerder de fractionele coëfficiënten hebben verwijderd - we vermenigvuldigen de teller en noemer met het kleinste gemene veelvoud van de noemers van deze coëfficiënten, d.w.z. per LCM (5, 10) = 10. Dan krijgen we:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Antwoord: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Wanneer we algemene algebraïsche breuken verkleinen, waarbij de tellers en noemers zowel monomials als polynomen kunnen zijn, ontstaat er een probleem wanneer de gemeenschappelijke factor niet altijd direct zichtbaar is. Of meer dan dat, het bestaat gewoon niet. Om vervolgens de gemeenschappelijke factor te bepalen of het feit van zijn afwezigheid vast te stellen, worden de teller en noemer van de algebraïsche breuk ontbonden.

Voorbeeld 3

Gegeven een rationale breuk 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3-49 · b 3 . Het moet worden ingekort.

Beslissing

Laten we de veeltermen in teller en noemer ontbinden in factoren. Laten we de haakjes doen:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

We zien dat de uitdrukking tussen haakjes kan worden omgezet met behulp van de verkorte vermenigvuldigingsformules:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Het is duidelijk te zien dat het mogelijk is om de fractie te verminderen met een gemeenschappelijke factor b2 (a + 7). Laten we een reductie maken:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

We schrijven een korte oplossing zonder uitleg als een keten van gelijkheden:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Antwoord: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3-49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Het komt voor dat de gemeenschappelijke factoren worden verborgen door numerieke coëfficiënten. Bij het verkleinen van breuken is het dan optimaal om de numerieke factoren bij hogere machten van de teller en noemer weg te nemen.

Voorbeeld 4

Gegeven een algebraïsche breuk 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . Het moet indien mogelijk worden verminderd.

Beslissing

Op het eerste gezicht hebben teller en noemer geen gemeenschappelijke noemer. Laten we echter proberen de gegeven breuk om te zetten. Laten we de factor x uit de teller halen:

1 5 x - 2 7 x 3 jaar 5 x 2 jaar - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 jaar 5 x 2 jaar - 3 1 2

Nu kun je enige overeenkomst zien tussen de uitdrukking tussen haakjes en de uitdrukking in de noemer vanwege x 2 y . Laten we de numerieke coëfficiënten bij hogere machten van deze polynomen eruit halen:

x 1 5 - 2 7 x 2 jaar 5 x 2 jaar - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 jaar 5 x 2 jaar - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 jaar 5 x 2 jaar - 7 10

Nu de gemeenschappelijke vermenigvuldiger zichtbaar wordt, voeren we de reductie uit:

2 7 x - 7 10 + x 2 jaar 5 x 2 jaar - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Antwoord: 1 5 x - 2 7 x 3 jaar 5 x 2 jaar - 3 1 2 = - 2 35 x .

Laten we benadrukken dat de vaardigheid om rationale breuken te verkleinen afhangt van het vermogen om veeltermen te ontbinden.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

In dit artikel zullen we in detail analyseren hoe: breuk reductie. Laten we het eerst hebben over wat breukreductie wordt genoemd. Laten we het daarna hebben over het reduceren van een herleidbare breuk tot een onherleidbare vorm. Vervolgens krijgen we de regel voor het verminderen van breuken en ten slotte bekijken we voorbeelden van de toepassing van deze regel.

Paginanavigatie.

Wat betekent het om een ​​breuk te verkleinen?

We weten dat gewone breuken zijn onderverdeeld in herleidbare en onherleidbare breuken. Uit de namen kun je raden dat de herleidbare breuken kunnen worden verminderd, maar de onherleidbare niet.

Wat betekent het om een ​​breuk te verkleinen? breuk verkleinen- dit betekent de teller en noemer delen door hun positieve en niet-één. Het is duidelijk dat als gevolg van breukreductie een nieuwe breuk wordt verkregen met een kleinere teller en noemer, en vanwege de hoofdeigenschap van de breuk is de resulterende breuk gelijk aan de oorspronkelijke.

Laten we bijvoorbeeld de gewone breuk 8/24 verkleinen door de teller en noemer te delen door 2. Met andere woorden, laten we de breuk 8/24 verkleinen met 2. Aangezien 8:2=4 en 24:2=12 wordt door deze reductie de breuk 4/12 verkregen, die gelijk is aan de oorspronkelijke breuk 8/24 (zie gelijke en ongelijke breuken). Als gevolg hiervan hebben we.

Reductie van gewone breuken tot onherleidbare vorm

Gewoonlijk is het einddoel van breukreductie het verkrijgen van een onherleidbare breuk die gelijk is aan de oorspronkelijke herleidbare breuk. Dit doel kan worden bereikt door de oorspronkelijke gereduceerde breuk met zijn teller en noemer te verminderen. Deze reductie resulteert altijd in een onherleidbare fractie. inderdaad, breuk is onherleidbaar, omdat bekend is dat en - . Hier zeggen we dat de grootste gemene deler van de teller en noemer van een breuk het grootste getal is waarmee deze breuk kan worden verminderd.

Dus, reductie van een gewone breuk tot een onherleidbare vorm bestaat uit het delen van de teller en noemer van de oorspronkelijke gereduceerde breuk door hun GCD.

Laten we een voorbeeld analyseren, waarvoor we terugkeren naar de breuk 8/24 en deze verkleinen met de grootste gemene deler van de getallen 8 en 24, die gelijk is aan 8. Aangezien 8:8=1 en 24:8=3 komen we uit op de onherleidbare breuk 1/3. Dus, .

Merk op dat de uitdrukking "de breuk verkleinen" vaak betekent dat de oorspronkelijke breuk wordt teruggebracht tot een onherleidbare vorm. Met andere woorden, breukreductie wordt vaak aangeduid als het delen van de teller en noemer door hun grootste gemene deler (en niet door een van hun gemeenschappelijke delers).

Hoe een breuk verkleinen? Regel en voorbeelden van breukreductie

Het blijft alleen om de regel voor het verminderen van breuken te analyseren, waarin wordt uitgelegd hoe deze breuk kan worden verminderd.

Regel voor breukvermindering bestaat uit twee stappen:

• eerst wordt de GCD van de teller en noemer van de breuk gevonden;
• ten tweede worden de teller en noemer van de breuk gedeeld door hun GCD, wat een onherleidbare breuk oplevert die gelijk is aan de oorspronkelijke.

Laten we analyseren voorbeeld van breukreductie volgens de gegeven regel.

Voorbeeld.

Verklein de breuk 182/195.

Beslissing.

Laten we beide stappen uitvoeren die zijn voorgeschreven door de regel voor het verminderen van breuken.

Eerst vinden we ggd (182, 195) . Het is het handigst om het Euclid-algoritme te gebruiken (zie): 195=182 1+13 , 182=13 14 , dat wil zeggen, ggd(182, 195)=13 .

Nu delen we de teller en noemer van de breuk 182/195 door 13, terwijl we de onherleidbare breuk 14/15 krijgen, die gelijk is aan de oorspronkelijke breuk. Hiermee is de fractiereductie voltooid.

In het kort kan de oplossing als volgt worden geschreven:

Antwoord:

Hierop, met de reductie van breuken, kunt u eindigen. Maar om het plaatje compleet te maken, overweeg nog twee manieren om breuken te verminderen, die meestal in milde gevallen worden gebruikt.

Soms is de teller en noemer van een gereduceerde breuk eenvoudig. Het verkleinen van de breuk is in dit geval heel eenvoudig: je hoeft alleen maar alle gemeenschappelijke factoren van de teller en noemer te verwijderen.

Het is vermeldenswaard dat deze methode rechtstreeks voortvloeit uit de regel van breukreductie, aangezien het product van alle gemeenschappelijke priemfactoren van de teller en noemer gelijk is aan hun grootste gemene deler.

Laten we een voorbeeldoplossing bekijken.

Voorbeeld.

Verklein de breuk 360/2940.

Beslissing.

Laten we de teller en noemer ontleden in priemfactoren: 360=2 2 2 3 3 5 en 2 940=2 2 3 5 7 7 . Dus, .

Nu schrappen we de gemeenschappelijke factoren in de teller en noemer, voor het gemak schrappen we ze gewoon door: .

Ten slotte vermenigvuldigen we de resterende factoren: , en de reductie van de breuk is voltooid.

Hier is een samenvatting van de oplossing: .

Antwoord:

Overweeg een andere manier om een ​​breuk te verkleinen, namelijk sequentiële reductie. Hier wordt bij elke stap de breuk verminderd met een gemeenschappelijke deler van de teller en noemer, wat ofwel duidelijk is of gemakkelijk kan worden bepaald met behulp van

Wanneer een student naar de middelbare school gaat, wordt wiskunde verdeeld in 2 vakken: algebra en meetkunde. Er zijn steeds meer concepten, taken worden moeilijker. Sommige mensen hebben moeite met het begrijpen van breuken. De eerste les over dit onderwerp gemist, en voila. breuken? Een vraag die het hele schoolleven zal kwellen.

Het concept van algebraïsche breuk

Laten we beginnen met een definitie. Onder algebraïsche breuk P/Q-uitdrukkingen worden begrepen, waarbij P de teller is en Q de noemer. Een getal, een numerieke uitdrukking, een numeriek-alfabetische uitdrukking kan worden verborgen onder een alfabetische invoer.

Voordat je je afvraagt ​​hoe je algebraïsche breuken moet oplossen, moet je eerst begrijpen dat zo'n uitdrukking deel uitmaakt van een geheel.

In de regel is het geheel 1. Het getal in de noemer geeft aan in hoeveel delen de eenheid was verdeeld. De teller is nodig om te weten hoeveel elementen er zijn. De breukstreep komt overeen met het deelteken. Het is toegestaan ​​om een ​​fractionele uitdrukking op te nemen als een wiskundige bewerking "Delen". In dit geval is de teller het deeltal, de noemer de deler.

De basisregel voor gewone breuken

Als leerlingen dit onderwerp op school doornemen, krijgen ze voorbeelden ter bekrachtiging. Om ze correct op te lossen en verschillende manieren te vinden om uit moeilijke situaties te komen, moet je de basiseigenschap van breuken toepassen.

Het klinkt als volgt: als je zowel de teller als de noemer vermenigvuldigt met hetzelfde getal of dezelfde uitdrukking (anders dan nul), dan verandert de waarde van een gewone breuk niet. Een speciaal geval van deze regel is de verdeling van beide delen van de uitdrukking in hetzelfde getal of polynoom. Dergelijke transformaties worden identieke gelijkheden genoemd.

Hieronder zullen we bekijken hoe we optellen en aftrekken van algebraïsche breuken kunnen oplossen, om vermenigvuldiging, deling en reductie van breuken uit te voeren.

Wiskundige bewerkingen met breuken

Overweeg hoe u de hoofdeigenschap van een algebraïsche breuk kunt oplossen en hoe u deze in de praktijk kunt toepassen. Als u twee breuken moet vermenigvuldigen, optellen, door elkaar delen of aftrekken, moet u altijd de regels volgen.

Dus voor de bewerking van optellen en aftrekken moet een extra factor worden gevonden om de uitdrukkingen tot een gemeenschappelijke noemer te brengen. Als de breuken aanvankelijk met dezelfde uitdrukkingen Q worden gegeven, moet u dit item weglaten. Als een gemeenschappelijke noemer wordt gevonden, hoe los je dan algebraïsche breuken op? Tellers optellen of aftrekken. Maar! Houd er rekening mee dat als er een "-" teken voor de breuk staat, alle tekens in de teller omgekeerd zijn. Soms moet u geen vervangingen en wiskundige bewerkingen uitvoeren. Het volstaat om het teken voor de breuk te veranderen.

De term wordt vaak gebruikt als: breuk reductie. Dit betekent het volgende: als de teller en noemer worden gedeeld door een andere uitdrukking dan eenheid (hetzelfde voor beide delen), dan wordt een nieuwe breuk verkregen. Het deeltal en de deler zijn kleiner dan voorheen, maar door de basisregel van breuken blijven ze gelijk aan het originele voorbeeld.

Het doel van deze operatie is om een ​​nieuwe onherleidbare uitdrukking te verkrijgen. Dit probleem kan worden opgelost door de teller en de noemer te verminderen met de grootste gemene deler. Het bewerkingsalgoritme bestaat uit twee punten:

1. De GCD vinden voor beide delen van een breuk.
2. De teller en noemer delen door de gevonden uitdrukking en een onherleidbare breuk verkrijgen die gelijk is aan de vorige.

In onderstaande tabel staan ​​de formules weergegeven. Voor het gemak kunt u het uitprinten en meenemen in een notitieboekje. Om ervoor te zorgen dat er in de toekomst bij het oplossen van een toets of examen geen problemen ontstaan ​​met de vraag hoe algebraïsche breuken moeten worden opgelost, moeten deze formules uit het hoofd worden geleerd.

Enkele voorbeelden met oplossingen

Vanuit theoretisch oogpunt wordt de vraag beschouwd hoe algebraïsche breuken moeten worden opgelost. De voorbeelden in het artikel zullen u helpen het materiaal beter te begrijpen.

1. Zet breuken om en breng ze naar een gemeenschappelijke noemer.

2. Zet breuken om en breng ze naar een gemeenschappelijke noemer.

Na bestudering van het theoretische gedeelte en het overwegen van de praktische zaken, zouden er geen vragen meer mogen rijzen.

Divisie en de teller en noemer van de breuk op hun gemeenschappelijke deler, wat anders is dan eenheid, heet breuk reductie.

Om een ​​gewone breuk te verkleinen, moet je de teller en noemer delen door hetzelfde natuurlijke getal.

Dit getal is de grootste gemene deler van de teller en de noemer van de gegeven breuk.

Het volgende is mogelijk: beslissingsformulieren Voorbeelden voor de reductie van gewone breuken.

De student heeft het recht om elke vorm van opname te kiezen.

Voorbeelden. Vereenvoudig breuken.

Verklein de breuk met 3 (deel de teller door 3;

deel de noemer door 3).

We verkleinen de breuk met 7.

We voeren de aangegeven acties uit in de teller en noemer van de breuk.

De resulterende fractie wordt verminderd met 5.

Laten we deze breuk verkleinen 4) op de 5 7³- de grootste gemene deler (GCD) van teller en noemer, die bestaat uit de gemeenschappelijke factoren van teller en noemer tot de macht met de kleinste exponent.

Laten we de teller en noemer van deze breuk ontbinden in eenvoudige factoren.

We krijgen: 756=2² 3³ 7 en 1176=2³ 3 7².

Bepaal de GCD (grootste gemene deler) van de teller en noemer van de breuk 5) .

Dit is het product van de gemeenschappelijke factoren met de kleinste exponenten.

ggd(756; 1176)= 2² 3 7.

We delen de teller en noemer van deze breuk door hun GCD, d.w.z. door 2² 3 7 we krijgen een onherleidbare breuk 9/14 .

En het was mogelijk om de uitbreidingen van de teller en noemer te schrijven als een product van priemfactoren, zonder het concept van graad te gebruiken, en vervolgens de breuk te verkleinen door dezelfde factoren in de teller en noemer door te strepen. Als er geen identieke factoren meer zijn, vermenigvuldigen we de resterende factoren afzonderlijk in de teller en afzonderlijk in de noemer en schrijven de resulterende breuk uit 9/14 .

En tot slot was het mogelijk om deze fractie te verminderen 5) geleidelijk, de tekens van deling van getallen toepassen op zowel de teller als de noemer van de breuk. Denk als volgt: cijfers 756 en 1176 eindigen op een even getal, dus beide deelbaar door 2 . We verkleinen de breuk met 2 . De teller en noemer van de nieuwe breuk zijn getallen 378 en 588 ook onderverdeeld in 2 . We verkleinen de breuk met 2 . We merken dat het nummer 294 - even, en 189 is oneven en reductie met 2 is niet meer mogelijk. Laten we het teken van deelbaarheid van getallen controleren 189 en 294 op de 3 .

(1+8+9)=18 is deelbaar door 3 en (2+9+4)=15 is deelbaar door 3, vandaar de getallen zelf 189 en 294 zijn verdeeld in 3 . We verkleinen de breuk met 3 . Verder, 63 is deelbaar door 3 en 98 - Nee. Herhaal andere priemfactoren. Beide getallen zijn deelbaar door 7 . We verkleinen de breuk met 7 en krijg de onherleidbare breuk 9/14 .

In dit artikel zullen we kijken naar basisbewerkingen met algebraïsche breuken:

• breuk reductie
• vermenigvuldiging van breuken
• deling van breuken

Laten we beginnen met afkortingen van algebraïsche breuken.

Schijnbaar, algoritme voor de hand liggend.

Tot algebraïsche breuken verminderen, behoefte

1. Factoriseer de teller en noemer van een breuk.

2. Verlaag dezelfde vermenigvuldigers.

Schoolkinderen maken echter vaak de fout om niet de factoren te "verminderen", maar de voorwaarden. Er zijn bijvoorbeeld amateurs die met breuken "verminderen" en als resultaat krijgen, wat natuurlijk niet waar is.

Denk aan voorbeelden:

1. breuk verkleinen:

1. We ontbinden de teller volgens de formule van het kwadraat van de som, en de noemer volgens de formule van het verschil van kwadraten

2. Deel de teller en noemer door

2. breuk verkleinen:

1. Factoriseer de teller. Omdat de teller vier termen bevat, passen we de groepering toe.

2. Factor de noemer. Hetzelfde geldt voor het groeperen.

3. Laten we de breuk opschrijven die we hebben en dezelfde factoren verminderen:

Vermenigvuldiging van algebraïsche breuken.

Bij het vermenigvuldigen van algebraïsche breuken vermenigvuldigen we de teller met de teller en vermenigvuldigen we de noemer met de noemer.

Belangrijk! U hoeft zich niet te haasten om vermenigvuldiging in de teller en noemer van een breuk uit te voeren. Nadat we het product van de tellers van breuken in de teller hebben geschreven, en het product van de noemers in de noemer, moeten we elke factor ontbinden en de breuk verkleinen.

Denk aan voorbeelden:

3. Vereenvoudig de uitdrukking:

1. Laten we het product van breuken schrijven: in de teller het product van de tellers, en in de noemer het product van de noemers:

2. We ontbinden elke beugel:

Nu moeten we dezelfde vermenigvuldigers verlagen. Merk op dat de uitdrukkingen en alleen in teken verschillen: en als resultaat van het delen van de eerste uitdrukking door de tweede, krijgen we -1.

Dus,

We voeren de deling van algebraïsche breuken uit volgens de volgende regel:

D.w.z Om te delen door een breuk, moet je vermenigvuldigen met de "omgekeerde" breuk.

We zien dat de deling van breuken wordt gereduceerd tot vermenigvuldiging, en vermenigvuldiging komt uiteindelijk neer op het verkleinen van breuken.

Overweeg een voorbeeld:

4. Vereenvoudig de uitdrukking: