Gemiddelde waarden in statistieken. Gemiddelde waarden

Gemiddelde waarden verwijzen naar generaliserende statistische indicatoren die een samenvattend (laatste) kenmerk geven van massale sociale verschijnselen, omdat ze zijn gebouwd op basis van een groot aantal individuele waarden van een variërend attribuut. Om de essentie van de gemiddelde waarde te verduidelijken, is het noodzakelijk om rekening te houden met de kenmerken van de vorming van de waarden van de tekens van die verschijnselen, volgens welke de gemiddelde waarde wordt berekend.

Het is bekend dat de eenheden van elk massaverschijnsel talrijke kenmerken hebben. Welke van deze tekens we ook nemen, de waarden voor individuele eenheden zullen anders zijn, ze veranderen, of, zoals ze in statistieken zeggen, variëren van de ene eenheid naar de andere. Het salaris van een werknemer wordt bijvoorbeeld bepaald door zijn kwalificaties, de aard van het werk, de duur van het dienstverband en een aantal andere factoren, en varieert daarom over een zeer breed bereik. De cumulatieve invloed van alle factoren bepaalt het inkomen van elke werknemer, maar we kunnen praten over het gemiddelde maandloon van werknemers in verschillende sectoren van de economie. Hier werken we met een typische, karakteristieke waarde van een variabel attribuut, verwezen naar een eenheid van een grote populatie.

Het gemiddelde weerspiegelt dat algemeen, wat typisch is voor alle eenheden van de bestudeerde populatie. Tegelijkertijd balanceert het de invloed van alle factoren die inwerken op de grootte van het attribuut van individuele eenheden van de bevolking, alsof ze ze wederzijds opheffen. Het niveau (of de omvang) van een sociaal fenomeen wordt bepaald door de werking van twee groepen factoren. Sommigen van hen zijn algemeen en belangrijk, constant actief, nauw verwant aan de aard van het fenomeen of proces dat wordt bestudeerd, en vormen die typisch voor alle eenheden van de onderzochte populatie, wat tot uiting komt in de gemiddelde waarde. Andere zijn individueel, hun actie is minder uitgesproken en is episodisch, willekeurig. Ze werken in de tegenovergestelde richting, veroorzaken verschillen tussen de kwantitatieve kenmerken van individuele eenheden van de populatie en proberen de constante waarde van de kenmerken die worden bestudeerd te veranderen. De actie van individuele tekens wordt gedoofd in de gemiddelde waarde. In de cumulatieve invloed van typische en individuele factoren, die in evenwicht is en wederzijds teniet wordt gedaan in generaliserende kenmerken, is de fundamentele wet van de grote getallen.

In totaal versmelten de individuele waarden van de tekens tot een gemeenschappelijke massa en lossen ze als het ware op. vandaar en gemiddelde waarde fungeert als "onpersoonlijk", wat kan afwijken van de individuele waarden van kenmerken, kwantitatief niet samenvallend met een van hen. De gemiddelde waarde weerspiegelt het algemene, karakteristieke en typische voor de hele populatie vanwege de onderlinge opheffing daarin van willekeurige, atypische verschillen tussen de tekens van zijn individuele eenheden, aangezien de waarde ervan als het ware wordt bepaald door de gemeenschappelijke resultante van alle oorzaken.

Om ervoor te zorgen dat de gemiddelde waarde de meest typische waarde van een eigenschap weerspiegelt, mag deze echter niet voor populaties worden bepaald, maar alleen voor populaties die uit kwalitatief homogene eenheden bestaan. Deze eis is de belangrijkste voorwaarde voor de wetenschappelijk onderbouwde toepassing van gemiddelden en impliceert een nauw verband tussen de methode van gemiddelden en de methode van groeperingen bij de analyse van sociaal-economische verschijnselen. Daarom is de gemiddelde waarde een generaliserende indicator die het typische niveau van een variabele eigenschap per eenheid van een homogene populatie karakteriseert in specifieke omstandigheden van plaats en tijd.

Om dus de essentie van gemiddelde waarden te bepalen, moet worden benadrukt dat de juiste berekening van elke gemiddelde waarde inhoudt dat aan de volgende vereisten wordt voldaan:

kwalitatieve homogeniteit van de populatie waarop de gemiddelde waarde wordt berekend. Dit betekent dat de berekening van gemiddelde waarden gebaseerd moet zijn op de groeperingsmethode, die zorgt voor de selectie van homogene fenomenen van hetzelfde type;
uitsluiting van de invloed op de berekening van de gemiddelde waarde van willekeurige, puur individuele oorzaken en factoren. Dit wordt bereikt wanneer de berekening van het gemiddelde is gebaseerd op voldoende massief materiaal waarin de werking van de wet van de grote getallen zich manifesteert, en alle ongevallen elkaar opheffen;
bij het berekenen van de gemiddelde waarde is het belangrijk om het doel van de berekening vast te stellen en de zogenaamde indicator-tel definiëren(eigendom) waarop het gericht moet zijn.

De bepalende indicator kan fungeren als de som van de waarden van het gemiddelde kenmerk, de som van zijn reciprocals, het product van zijn waarden, enz. De relatie tussen de bepalende indicator en de gemiddelde waarde wordt als volgt uitgedrukt: als alle waarden van het gemiddelde kenmerk worden vervangen door de gemiddelde waarde, dan zal hun som of product in dit geval de bepalende indicator niet veranderen. Op basis van deze verbinding van de bepalende indicator met de gemiddelde waarde wordt een initiële kwantitatieve verhouding gebouwd voor de directe berekening van de gemiddelde waarde. Het vermogen van gemiddelden om de eigenschappen van statistische populaties te behouden wordt genoemd eigenschap definiëren.

De gemiddelde waarde berekend voor de populatie als geheel heet algemeen gemiddelde; gemiddelde waarden berekend voor elke groep - groepsgemiddelden. Het algemeen gemiddelde geeft de algemene kenmerken van het bestudeerde fenomeen weer, het groepsgemiddelde geeft een beschrijving van het fenomeen dat zich ontwikkelt onder de specifieke omstandigheden van deze groep.

Berekeningsmethoden kunnen verschillen, daarom worden in de statistieken verschillende soorten gemiddelden onderscheiden, waarvan de belangrijkste het rekenkundige gemiddelde, het harmonische gemiddelde en het geometrische gemiddelde zijn.

In economische analyse is het gebruik van gemiddelden het belangrijkste instrument voor het beoordelen van de resultaten van wetenschappelijke en technologische vooruitgang, sociale maatregelen en het zoeken naar reserves voor economische ontwikkeling. Tegelijkertijd moet worden bedacht dat een te grote focus op gemiddelden kan leiden tot vertekende conclusies bij het uitvoeren van economische en statistische analyses. Dit is te wijten aan het feit dat gemiddelde waarden, die generaliserende indicatoren zijn, die verschillen in de kwantitatieve kenmerken van individuele eenheden van de bevolking die werkelijk bestaan en die van onafhankelijk belang kunnen zijn, opheffen en negeren.

Soorten gemiddelden

In statistieken worden verschillende soorten gemiddelden gebruikt, die zijn onderverdeeld in twee grote klassen:

vermogensgemiddelden (harmonisch gemiddelde, geometrisch gemiddelde, rekenkundig gemiddelde, gemiddeld vierkant, gemiddeld kubisch);
structurele gemiddelden (modus, mediaan).

Rekenen macht betekent: alle beschikbare karakteristieke waarden moeten worden gebruikt. Mode en mediaan- worden alleen bepaald door de distributiestructuur, daarom worden ze structurele, positionele gemiddelden genoemd. De mediaan en modus worden vaak gebruikt als een gemiddelde eigenschap in die populaties waar de berekening van de gemiddelde exponentieel onmogelijk of onpraktisch is.

Het meest voorkomende type gemiddelde is het rekenkundig gemiddelde. Onder rekenkundig gemiddelde wordt opgevat als een zodanige waarde van een kenmerk dat elke eenheid van de populatie zou hebben als het totaal van alle waarden van het kenmerk gelijk zou zijn verdeeld over alle eenheden van de populatie. De berekening van deze waarde wordt teruggebracht tot de optelling van alle waarden van het variabele kenmerk en de verdeling van het resulterende bedrag door het totale aantal populatie-eenheden. Vijf arbeiders voltooiden bijvoorbeeld een bestelling voor de vervaardiging van onderdelen, terwijl de eerste 5 onderdelen produceerde, de tweede - 7, de derde - 4, de vierde - 10, de vijfde - 12. Aangezien de waarde van elke optie slechts één keer voorkwam in de initiële gegevens, om de gemiddelde output van één werknemer te bepalen, moet de eenvoudige rekenkundige gemiddelde formule worden toegepast:

d.w.z. in ons voorbeeld is de gemiddelde output van één arbeider gelijk aan

Samen met het eenvoudige rekenkundige gemiddelde bestuderen ze gewogen rekenkundig gemiddelde. Laten we bijvoorbeeld de gemiddelde leeftijd berekenen van studenten in een groep van 20 mensen wiens leeftijd varieert van 18 tot 22 jaar, waarbij xi- varianten van de gemiddelde functie, fi- frequentie, die aangeeft hoe vaak het voorkomt ik-deze waarde in totaal (tabel 5.1).

Tabel 5.1

Gemiddelde leeftijd van studenten

Als we de formule van het gewogen rekenkundig gemiddelde toepassen, krijgen we:

Er is een bepaalde regel voor het kiezen van een gewogen rekenkundig gemiddelde: als er een reeks gegevens is over twee indicatoren, waarvan er één moet worden berekend

de gemiddelde waarde en tegelijkertijd de numerieke waarden van de noemer van de logische formule zijn bekend en de waarden van de teller zijn onbekend, maar kunnen worden gevonden als het product van deze indicatoren, dan moet de gemiddelde waarde worden berekend met behulp van de rekenkundig gewogen gemiddelde formule.

In sommige gevallen is de aard van de initiële statistische gegevens zodanig dat de berekening van het rekenkundig gemiddelde zijn betekenis verliest en de enige generaliserende indicator alleen een ander type gemiddelde waarde kan zijn - gemiddelde harmonische. Op dit moment hebben de computationele eigenschappen van het rekenkundig gemiddelde hun relevantie verloren bij de berekening van generaliserende statistische indicatoren als gevolg van de wijdverbreide introductie van elektronische computers. De gemiddelde harmonische waarde, die ook eenvoudig en gewogen is, heeft een groot praktisch belang gekregen. Als de numerieke waarden van de teller van de logische formule bekend zijn en de waarden van de noemer onbekend zijn, maar kunnen worden gevonden als een privédeling van de ene indicator door de andere, dan wordt de gemiddelde waarde berekend door de gewogen harmonische gemiddelde formule.

Laat bijvoorbeeld weten dat de auto de eerste 210 km aflegde met een snelheid van 70 km/u en de resterende 150 km met een snelheid van 75 km/u. Het is onmogelijk om met de rekenkundig gemiddelde formule de gemiddelde snelheid van de auto over de hele reis van 360 km te bepalen. Omdat de opties de snelheden in afzonderlijke secties zijn xj= 70 km/u en x2= 75 km/u, en gewichten (fi) zijn de corresponderende segmenten van het pad, dan hebben de producten van opties door gewichten geen fysieke of economische betekenis. In dit geval is het zinvol om de segmenten van het pad te verdelen in de overeenkomstige snelheden (opties xi), d.w.z. de tijd die wordt besteed aan het passeren van afzonderlijke secties van het pad (bijv. / xi). Als de segmenten van het pad worden aangeduid met fi, dan wordt het hele pad uitgedrukt als Σfi en wordt de tijd besteed aan het hele pad uitgedrukt als Σ fi / xi , Dan is de gemiddelde snelheid te vinden als het quotiënt van de totale afstand gedeeld door de totale bestede tijd:

In ons voorbeeld krijgen we:

Als bij gebruik van het gemiddelde harmonische gewicht van alle opties (f) gelijk zijn, dan kunt u in plaats van het gewogen gewicht gebruiken eenvoudig (ongewogen) harmonisch gemiddelde:

waar xi - individuele opties; n- het aantal varianten van het gemiddelde kenmerk. In het voorbeeld met snelheid zou een eenvoudig harmonisch gemiddelde kunnen worden toegepast als de segmenten van het pad met verschillende snelheden gelijk waren.

Elke gemiddelde waarde moet zo worden berekend dat wanneer deze elke variant van het gemiddelde kenmerk vervangt, de waarde van een definitieve, generaliserende indicator, die is gekoppeld aan de gemiddelde indicator, niet verandert. Dus bij het vervangen van de werkelijke snelheden op afzonderlijke delen van het pad door hun gemiddelde waarde (gemiddelde snelheid), zou de totale afstand niet moeten veranderen.

De vorm (formule) van de gemiddelde waarde wordt bepaald door de aard (mechanisme) van de relatie van deze eindindicator met de gemiddelde, dus de definitieve indicator, waarvan de waarde niet zou moeten veranderen wanneer de opties worden vervangen door hun gemiddelde waarde , wordt genoemd bepalende indicator. Om de gemiddelde formule af te leiden, moet u een vergelijking opstellen en oplossen met behulp van de relatie van de gemiddelde indicator met de bepalende. Deze vergelijking wordt geconstrueerd door de varianten van het gemiddelde kenmerk (indicator) te vervangen door hun gemiddelde waarde.

Naast het rekenkundig gemiddelde en het harmonische gemiddelde worden in de statistiek ook andere typen (vormen) van het gemiddelde gebruikt. Het zijn allemaal speciale gevallen. graad gemiddeld. Als we alle soorten machtswetgemiddelden voor dezelfde gegevens berekenen, dan zijn de waarden

ze zullen hetzelfde zijn, de regel is hier van toepassing overwicht medium. Naarmate de exponent van het gemiddelde toeneemt, neemt ook het gemiddelde zelf toe. De meest gebruikte formules in praktisch onderzoek voor het berekenen van verschillende soorten vermogensgemiddelden worden weergegeven in de tabel. 5.2.

Tabel 5.2

Het geometrische gemiddelde wordt toegepast indien beschikbaar. n groeifactoren, terwijl de individuele waarden van het kenmerk in de regel relatieve waarden van de dynamiek zijn, gebouwd in de vorm van kettingwaarden, als een verhouding tot het vorige niveau van elk niveau in de dynamiekreeks. Het gemiddelde kenmerkt dus het gemiddelde groeitempo. geometrisch gemiddelde eenvoudig berekend door de formule

Formule geometrisch gemiddelde gewogen heeft de volgende vorm:

De bovenstaande formules zijn identiek, maar de ene wordt toegepast op de huidige coëfficiënten of groeisnelheden, en de tweede - op de absolute waarden van de niveaus van de reeks.

vierkantswortel wordt gebruikt bij het berekenen met de waarden van vierkante functies, wordt gebruikt om de mate van fluctuatie van de individuele waarden van een eigenschap rond het rekenkundig gemiddelde in de distributiereeks te meten en wordt berekend met de formule

Gemiddeld vierkant gewogen berekend met een andere formule:

Gemiddeld kubieke wordt gebruikt bij het berekenen met de waarden van kubieke functies en wordt berekend met de formule

gewogen gemiddelde kubieke:

Alle bovenstaande gemiddelde waarden kunnen worden weergegeven als een algemene formule:

waar is de gemiddelde waarde; - individuele waarde; n- het aantal eenheden van de onderzochte populatie; k- exponent, die het type gemiddelde bepaalt.

Bij gebruik van dezelfde brongegevens, hoe meer k in de algemene formule voor het machtsgemiddelde, hoe groter de gemiddelde waarde. Hieruit volgt dat er een regelmatige relatie is tussen de waarden van machtsmiddelen:

De hierboven beschreven gemiddelde waarden geven een algemeen beeld van de bestudeerde populatie, en vanuit dit oogpunt is hun theoretische, toegepaste en cognitieve betekenis onbetwistbaar. Maar het komt voor dat de waarde van het gemiddelde niet samenvalt met een van de echt bestaande opties, daarom is het, naast de overwogen gemiddelden, in statistische analyse raadzaam om de waarden te gebruiken van specifieke opties die een put bezetten -gedefinieerde positie in een geordende (gerangschikte) reeks attribuutwaarden. Van deze hoeveelheden zijn de meest gebruikte: structureel, of beschrijvend, gemiddeld- modus (Mo) en mediaan (Me).

Mode- de waarde van de eigenschap die het meest voorkomt in deze populatie. Met betrekking tot de variatiereeks is de modus de meest voorkomende waarde van de gerangschikte reeks, d.w.z. de variant met de hoogste frequentie. Mode kan worden gebruikt om de meest bezochte winkels te bepalen, de meest voorkomende prijs voor elk product. Het toont de grootte van het kenmerk dat kenmerkend is voor een aanzienlijk deel van de populatie en wordt bepaald door de formule

waarbij x0 de ondergrens van het interval is; h- intervalwaarde; fm- intervalfrequentie; fm_ 1 - frequentie van het vorige interval; fm+ 1 - frequentie van het volgende interval.

mediaan- de variant die zich in het midden van de gerangschikte rij bevindt, wordt genoemd. De mediaan verdeelt de reeks in twee gelijke delen zodanig dat er aan beide zijden hetzelfde aantal populatie-eenheden is. Tegelijkertijd is in de ene helft van de populatie-eenheden de waarde van het variabele kenmerk kleiner dan de mediaan, in de andere helft groter. De mediaan wordt gebruikt bij het onderzoeken van een element waarvan de waarde groter is dan of gelijk is aan of tegelijkertijd kleiner is dan of gelijk is aan de helft van de elementen van de distributiereeks. De mediaan geeft een algemeen beeld van waar de waarden van het kenmerk zijn geconcentreerd, met andere woorden, waar is hun centrum.

Het beschrijvende karakter van de mediaan komt tot uiting in het feit dat het de kwantitatieve grens kenmerkt van de waarden van het variërende kenmerk, dat wordt bezeten door de helft van de populatie-eenheden. Het probleem van het vinden van de mediaan voor een discrete variatiereeks is eenvoudig opgelost. Als alle eenheden van de serie serienummers krijgen, dan wordt het serienummer van de mediaanvariant gedefinieerd als (n + 1) / 2 met een oneven aantal leden n. Als het aantal leden van de serie een even getal is, dan is de mediaan het gemiddelde van twee varianten met serienummers n/ 2 en n / 2 + 1.

Bij het bepalen van de mediaan in intervalvariatiereeksen wordt eerst bepaald in welk interval deze zich bevindt (het mediaaninterval). Dit interval wordt gekenmerkt door het feit dat de geaccumuleerde som van frequenties gelijk is aan of groter is dan de helft van de som van alle frequenties van de reeks. De berekening van de mediaan van de intervalvariatiereeks wordt uitgevoerd volgens de formule

waar X0- de ondergrens van het interval; h- intervalwaarde; fm- intervalfrequentie; f- het aantal leden van de serie;

∫m-1 - de som van de geaccumuleerde termen van de reeks die hieraan voorafgaat.

Naast de mediaan worden voor een meer complete karakterisering van de structuur van de bestudeerde populatie ook andere waarden van opties gebruikt, die een vrij duidelijke positie innemen in de gerangschikte reeks. Waaronder kwartielen en decielen. Kwartielen verdelen de reeks door de som van frequenties in 4 gelijke delen, en decielen - in 10 gelijke delen. Er zijn drie kwartielen en negen decielen.

De mediaan en modus heffen, in tegenstelling tot het rekenkundig gemiddelde, individuele verschillen in de waarden van een variabel attribuut niet op en zijn daarom aanvullende en zeer belangrijke kenmerken van een statistische populatie. In de praktijk worden ze vaak gebruikt in plaats van het gemiddelde of erbij. Het is vooral handig om de mediaan en de modus te berekenen in die gevallen waarin de bestudeerde populatie een bepaald aantal eenheden bevat met een zeer grote of zeer kleine waarde van het variabele kenmerk. Deze waarden van opties, die niet erg kenmerkend zijn voor de populatie, terwijl ze de waarde van het rekenkundig gemiddelde beïnvloeden, hebben geen invloed op de waarden van de mediaan en modus, waardoor deze laatste zeer waardevolle indicatoren zijn voor economische en statistische analyse .

Variatie-indicatoren

Het doel van een statistisch onderzoek is om de belangrijkste eigenschappen en patronen van de bestudeerde statistische populatie te identificeren. In het proces van samenvattende verwerking van statistische observatiegegevens bouwen we: distributie lijnen. Er zijn twee soorten distributiereeksen - attributief en variabel, afhankelijk van of het attribuut dat als basis voor de groepering wordt genomen, kwalitatief of kwantitatief is.

variabel distributiereeksen genoemd die op kwantitatieve basis zijn gebouwd. De waarden van kwantitatieve kenmerken voor individuele eenheden van de bevolking zijn niet constant, ze verschillen min of meer van elkaar. Dit verschil in de waarde van een eigenschap heet variaties. Afzonderlijke numerieke waarden van de eigenschap die voorkomt in de bestudeerde populatie worden genoemd waarde opties. De aanwezigheid van variatie in individuele eenheden van de populatie is te wijten aan de invloed van een groot aantal factoren op de vorming van het kenmerkniveau. De studie van de aard en mate van variatie van tekens in individuele eenheden van de bevolking is de belangrijkste kwestie van elk statistisch onderzoek. Variatie-indicatoren worden gebruikt om de mate van eigenschapvariabiliteit te beschrijven.

Een andere belangrijke taak van statistisch onderzoek is het bepalen van de rol van individuele factoren of hun groepen in de variatie van bepaalde kenmerken van de populatie. Om een dergelijk probleem in de statistiek op te lossen, worden speciale methoden voor het bestuderen van variatie gebruikt, gebaseerd op het gebruik van een systeem van indicatoren die variatie meten. In de praktijk wordt de onderzoeker geconfronteerd met een voldoende groot aantal opties voor de waarden van het attribuut, wat geen idee geeft van de verdeling van eenheden volgens de waarde van het attribuut in het totaal. Om dit te doen, worden alle varianten van de attribuutwaarden in oplopende of aflopende volgorde gerangschikt. Dit proces heet rij rangschikking. De gerangschikte reeks geeft meteen een algemeen beeld van de waarden die de functie in totaal aanneemt.

De ontoereikendheid van de gemiddelde waarde voor een uitputtende karakterisering van de populatie maakt het noodzakelijk om de gemiddelde waarden aan te vullen met indicatoren die het mogelijk maken om de typischheid van deze gemiddelden te beoordelen door de fluctuatie (variatie) van het onderzochte kenmerk te meten. Het gebruik van deze variatie-indicatoren maakt het mogelijk om de statistische analyse completer en zinvoller te maken en zo de essentie van de bestudeerde sociale fenomenen beter te begrijpen.

De eenvoudigste tekenen van variatie zijn: minimum en maximaal - dit is de kleinste en grootste waarde van het kenmerk in de populatie. Het aantal herhalingen van individuele varianten van kenmerkwaarden wordt genoemd herhalingsfrequentie. Laten we de frequentie van herhaling van de kenmerkwaarde aanduiden vb, de som van frequenties gelijk aan het volume van de bestudeerde populatie zal zijn:

waar k- aantal varianten van attribuutwaarden. Het is handig om frequenties te vervangen door frequenties - met Frequentie- relatieve frequentie-indicator - kan worden uitgedrukt in fracties van een eenheid of een percentage en stelt u in staat variatiereeksen te vergelijken met een ander aantal waarnemingen. Formeel hebben we:

Om de variatie van een eigenschap te meten, worden verschillende absolute en relatieve indicatoren gebruikt. De absolute indicatoren van variatie omvatten de gemiddelde lineaire afwijking, het variatiebereik, variantie, standaarddeviatie.

Span variatie(R) is het verschil tussen de maximale en minimale waarden van de eigenschap in de bestudeerde populatie: R= Xmax - Xmin. Deze indicator geeft alleen het meest algemene idee van de fluctuatie van de eigenschap die wordt bestudeerd, omdat deze alleen het verschil laat zien tussen de extreme waarden van de varianten. Het staat volledig los van de frequenties in de variatiereeks, dat wil zeggen met de aard van de verdeling, en de afhankelijkheid ervan kan het alleen een onstabiel, willekeurig karakter geven van de extreme waarden van het kenmerk. Het variatiebereik geeft geen informatie over de kenmerken van de bestudeerde populaties en stelt ons niet in staat om de mate van typischheid van de verkregen gemiddelde waarden te beoordelen. De reikwijdte van deze indicator is beperkt tot redelijk homogene populaties, meer precies, het kenmerkt de variatie van een eigenschap, een indicator gebaseerd op het in aanmerking nemen van de variabiliteit van alle waarden van de eigenschap.

Om de variatie van een eigenschap te karakteriseren, is het noodzakelijk om de afwijkingen van alle waarden te generaliseren van elke waarde die typisch is voor de onderzochte populatie. dergelijke indicatoren

variaties, zoals de gemiddelde lineaire afwijking, variantie en standaarddeviatie, zijn gebaseerd op de overweging van afwijkingen van de waarden van het attribuut van individuele eenheden van de populatie van het rekenkundig gemiddelde.

Gemiddelde lineaire afwijking is het rekenkundig gemiddelde van de absolute waarden van de afwijkingen van individuele opties van hun rekenkundig gemiddelde:

De absolute waarde (modulus) van de variantafwijking van het rekenkundig gemiddelde; f- frequentie.

De eerste formule wordt toegepast als elk van de opties in totaal slechts één keer voorkomt, en de tweede - in serie met ongelijke frequenties.

Er is een andere manier om de afwijkingen van opties van het rekenkundig gemiddelde te middelen. Deze methode, die heel gebruikelijk is in statistieken, wordt gereduceerd tot het berekenen van de kwadratische afwijkingen van opties van de gemiddelde waarde met hun daaropvolgende middeling. In dit geval krijgen we een nieuwe indicator van variatie: de variantie.

Spreiding(σ 2) - het gemiddelde van de gekwadrateerde afwijkingen van de varianten van de eigenschapwaarden van hun gemiddelde waarde:

De tweede formule wordt gebruikt als de varianten hun eigen gewichten (of frequenties van de variatiereeks) hebben.

In economische en statistische analyse is het gebruikelijk om de variatie van een attribuut het vaakst te evalueren met behulp van de standaarddeviatie. Standaardafwijking(σ) is de vierkantswortel van de variantie:

De gemiddelde lineaire en gemiddelde kwadratische afwijkingen laten zien hoeveel de waarde van het attribuut gemiddeld fluctueert voor de eenheden van de onderzochte populatie en worden uitgedrukt in dezelfde eenheden als de varianten.

In de statistische praktijk wordt het vaak nodig om de variatie van verschillende kenmerken te vergelijken. Het is bijvoorbeeld van groot belang om variaties in de leeftijd van het personeel en hun kwalificaties, dienstjaren en lonen, enz. te vergelijken. Voor dergelijke vergelijkingen zijn indicatoren van de absolute variabiliteit van tekens - de gemiddelde lineaire en standaarddeviatie - niet geschikt . Het is namelijk onmogelijk om de fluctuatie van werkervaring, uitgedrukt in jaren, te vergelijken met de fluctuatie van de lonen, uitgedrukt in roebels en kopeken.

Bij het vergelijken van de variabiliteit van verschillende eigenschappen in het totaal, is het handig om relatieve variatie-indicatoren te gebruiken. Deze indicatoren worden berekend als de verhouding van absolute indicatoren tot het rekenkundig gemiddelde (of mediaan). Gebruikmakend van het variatiebereik, de gemiddelde lineaire afwijking, de standaarddeviatie als een absolute indicator van variatie, verkrijgt men de relatieve indicatoren van fluctuatie:

De meest gebruikte indicator van relatieve volatiliteit, kenmerkend voor de homogeniteit van de bevolking. De set wordt als homogeen beschouwd als de variatiecoëfficiënt niet hoger is dan 33% voor verdelingen die bijna normaal zijn.

De gemiddelde waarde is het meest waardevol vanuit analytisch oogpunt en een universele uitdrukkingsvorm van statistische indicatoren. Het meest voorkomende gemiddelde - het rekenkundig gemiddelde - heeft een aantal wiskundige eigenschappen die bij de berekening kunnen worden gebruikt. Tegelijkertijd is het bij het berekenen van een specifiek gemiddelde altijd raadzaam om te vertrouwen op de logische formule, die de verhouding is tussen het volume van het attribuut en het volume van de populatie. Voor elk gemiddelde is er slechts één echte referentieverhouding, die, afhankelijk van de beschikbare gegevens, verschillende vormen van middelen kan vereisen. In alle gevallen waarin de aard van de gemiddelde waarde de aanwezigheid van gewichten impliceert, is het echter onmogelijk om hun ongewogen formules te gebruiken in plaats van de gewogen gemiddelde formules.

De gemiddelde waarde is de meest karakteristieke waarde van het attribuut voor de populatie en de grootte van het attribuut van de populatie, verdeeld in gelijke delen over de eenheden van de populatie.

Het kenmerk waarvoor de gemiddelde waarde wordt berekend heet gemiddeld .

De gemiddelde waarde is een indicator die wordt berekend door absolute of relatieve waarden te vergelijken. De gemiddelde waarde is

De gemiddelde waarde weerspiegelt de invloed van alle factoren die het bestudeerde fenomeen beïnvloeden en is de resultante ervan. Met andere woorden, door individuele afwijkingen terug te betalen en de invloed van gevallen te elimineren, fungeert de gemiddelde waarde, die de algemene maatstaf van de resultaten van deze actie weerspiegelt, als een algemeen patroon van het onderzochte fenomeen.

Voorwaarden voor het gebruik van gemiddelden:

Ø homogeniteit van de bestudeerde populatie. Als sommige elementen van de populatie die onderhevig zijn aan de invloed van een willekeurige factor, significant andere waarden van de bestudeerde eigenschap hebben dan de rest, dan zullen deze elementen de grootte van het gemiddelde voor deze populatie beïnvloeden. In dit geval zal het gemiddelde niet de meest typische waarde van het kenmerk voor de populatie uitdrukken. Als het bestudeerde fenomeen heterogeen is, moet het worden opgesplitst in groepen die homogene elementen bevatten. In dit geval worden groepsgemiddelden berekend - groepsgemiddelden die de meest karakteristieke waarde van het fenomeen in elke groep uitdrukken, en vervolgens wordt de algemene gemiddelde waarde voor alle elementen berekend, die het fenomeen als geheel karakteriseren. Het wordt berekend als het gemiddelde van de groepsgemiddelden, gewogen op basis van het aantal populatie-elementen in elke groep;

Ø een voldoende aantal eenheden in totaal;

Ø de maximale en minimale waarden van de eigenschap in de bestudeerde populatie.

Gemiddelde waarde (indicator)- dit is een gegeneraliseerd kwantitatief kenmerk van een eigenschap in een systematische populatie onder specifieke omstandigheden van plaats en tijd.

In de statistiek worden de volgende vormen (soorten) gemiddelden gebruikt, macht en structureel genoemd:

Ø rekenkundig gemiddelde(eenvoudig en gewogen);

gemakkelijk

De meest voorkomende vorm van statistische indicatoren is de gemiddelde waarde, die een algemeen kwantitatief kenmerk is van een kenmerk in een statistische populatie onder specifieke omstandigheden van plaats en tijd. De indicator in de vorm van een gemiddelde waarde drukt typische kenmerken uit en geeft een algemene beschrijving van hetzelfde type verschijnselen volgens een van de verschillende tekens. Het wijdverbreide gebruik van gemiddelden wordt verklaard door het feit dat ze een aantal positieve eigenschappen hebben die ze tot een onmisbaar instrument maken voor het analyseren van fenomenen en processen in de economie.

De belangrijkste eigenschap van de gemiddelde waarde is dat deze de common weerspiegelt die inherent is aan alle eenheden van de bestudeerde populatie. De waarden van het attribuut van individuele eenheden van de bevolking fluctueren in de ene of de andere richting onder invloed van vele factoren, waaronder zowel basaal als willekeurig kunnen zijn. Zo wordt de aandelenkoers van een onderneming voornamelijk bepaald door de financiële resultaten van haar activiteiten. Tegelijkertijd kunnen deze aandelen op bepaalde dagen en op bepaalde beurzen door de heersende omstandigheden tegen een hogere of lagere koers worden verkocht. De essentie van het gemiddelde ligt in het feit dat het de afwijkingen van de waarden van het attribuut van individuele eenheden van de populatie, als gevolg van de werking van willekeurige factoren, opheft en rekening houdt met de veranderingen veroorzaakt door de actie van de belangrijkste factoren. Hierdoor kan het gemiddelde het typische niveau van het attribuut weerspiegelen en abstraheren van de individuele kenmerken van individuele eenheden.

De typischheid van het gemiddelde houdt rechtstreeks verband met de homogeniteit van de bevolking. De gemiddelde waarde geeft alleen het typische niveau van het attribuut weer als het wordt berekend op basis van een kwalitatief homogene populatie. Dus als we de gemiddelde koers berekenen voor de aandelen van alle ondernemingen die op een bepaalde dag op een bepaalde beurs zijn verkocht, krijgen we een fictief gemiddelde. Dit wordt verklaard door het feit dat de populatie die voor de berekening wordt gebruikt extreem heterogeen is. In deze en vergelijkbare gevallen wordt de gemiddelde methode gebruikt in combinatie met de groeperingsmethode: als de populatie heterogeen is, moeten de algemene gemiddelden worden vervangen of aangevuld door groepsgemiddelden, d.w.z. gemiddelden berekend voor kwalitatief homogene groepen.

De volgende conventies worden gebruikt in de theorie van gemiddelden.

1. Het teken waarmee het gemiddelde wordt bepaald heet gemiddelde eigenschap en wordt aangeduid.

2. De waarde van het gemiddelde attribuut voor elke eenheid van de populatie wordt zijn . genoemd individuele waarde en wordt aangeduid.

3. De herhaalbaarheid van individuele waarden wordt frequentie genoemd en wordt aangeduid met f .

4. De totale waarde van het kenmerk wordt aangegeven W .

Elk kwantitatief kenmerk van een statistische populatie heeft één enkele gemiddelde waarde. Het kan op verschillende manieren worden berekend, afhankelijk van de uitdrukkingsvorm van het gemiddelde kenmerk (absoluut, relatief en gemiddeld) en de beschikbare informatie. Afhankelijk van de graad k verschillende soorten gemiddelden worden verkregen.

1.eenvoudig rekenkundig gemiddelde - het meest voorkomende type medium

k =1

2.Rekenkundig gewogen gemiddelde – wordt gebruikt als de individuele waarden van de eigenschap en hun frequenties bekend zijn f . Elke optie wordt "gewogen" door zijn frequentie, d.w.z. ermee vermenigvuldigen. Frequenties f worden statistische gewichten genoemd of gewoon gewichten van het gemiddelde .

Voorbeeld. Op basis van de beschikbare gegevens berekenen we de gemiddelde werkervaring van medewerkers

3.Gemiddelde harmonische eenvoudig wordt gebruikt als het nodig is dat de som van de reciproke waarden van de afzonderlijke waarden van het attribuut ongewijzigd blijft tijdens middeling.

waar is de som van de wederzijdse waarden van het attribuut.

Voorbeeld. Een auto met een lading van de onderneming naar het magazijn reed met een snelheid van 40 km/u en leeg terug met een snelheid van 60 km/u. Wat is de gemiddelde snelheid van de auto voor beide ritten?

Laat de transportafstand S km zijn. S speelt geen rol bij de berekening van de gemiddelde snelheid. Bij het wijzigen van individuele snelheidswaarden tot de gemiddelde waarde, is het noodzakelijk dat de tijd die aan beide reizen wordt besteed ongewijzigd blijft, anders kan de gemiddelde snelheid van alles zijn - van de snelheid van een schildpad tot de snelheid van het licht. Reistijden zijn hetzelfde. Dus,

Door alle termen van de gelijkheid met S te verminderen, krijgen we i.e. aan de voorwaarde van het harmonische gemiddelde is voldaan. Substitueren en , we krijgen

Het rekenkundig gemiddelde van 50 km/u is niet correct, want resulteert in een andere bewegingstijd dan deze in werkelijkheid is. Als de afstand 96 km is, dan is de werkelijke reistijd

In de statistische praktijk wordt vaker het harmonisch gewogen gemiddelde gebruikt.

4.Gemiddelde harmonische gewogen wordt gebruikt als de individuele waarden van het kenmerk en de totale waarden van het kenmerk bekend zijn.

Voorbeeld

5.Gemiddeld aggregaat wordt gebruikt als de totale waarden van de eigenschap en hun frequenties bekend zijn.

Voorbeeld. Bepaal de gemiddelde productiekosten, indien bekend

6.vierkantswortel gebruikt om de standaarddeviatie te berekenen, die een indicator is voor variatie, evenals in engineering

k =2

Gemiddeld vierkant gewogen

7.Geometrisch gemiddelde gebruikt om de gemiddelde groeisnelheid te berekenen volgens het kettingschema k= 0

Bij k= 1 we krijgen het rekenkundig gemiddelde, k= 2 - kwadratisch, met k= 3 - kubiek, met k= 0 - geometrisch, k= -1 is het harmonische gemiddelde. Hoe hoger de exponent k , hoe groter de gemiddelde waarde. Als alle beginwaarden van een kenmerk gelijk zijn, dan zijn alle gemiddelden gelijk aan const. We hebben dus de volgende relatie, die wordt genoemd de heerschappij van de middelen :

Met behulp van deze regel kan statistiek, afhankelijk van de stemming en de wens van zijn "expert", een student "verdrinken" of "redden" die in een sessie de cijfers 2 en 5 heeft gekregen. Wat is zijn gemiddelde score?

Afgaande op het rekenkundig gemiddelde is de gemiddelde score 3,5. Maar als de decaan de ongelukkige wil “verdrinken” en het harmonisch gemiddelde berekent, dan blijft de student een gemiddelde verliezer die de top drie niet haalde.

De studentenraad kan echter bezwaar maken tegen de decaan en de gemiddelde kubieke waarde presenteren . De student ziet er al "goed" uit en vraagt zelfs een beurs aan.

Structurele gemiddelden - modus en mediaan - in tegenstelling tot machtsgemiddelden, die grotendeels een abstract kenmerk van de populatie zijn, fungeren als specifieke grootheden die samenvallen met goed gedefinieerde varianten van de populatie. Dit maakt ze onmisbaar bij het oplossen van praktische problemen.

Mode- dit is de meest voorkomende waarde van het attribuut in eenheden van deze populatie. Voor een discrete distributiereeks wordt de modus bepaald zonder berekening, door door de frequentiekolom te kijken, en komt overeen met de kenmerkwaarde met de hoogste frequentie. Uit voorbeeld nr. 1, de hoogste frequentie f=20, wat overeenkomt met de 4e tariefcategorie, dus M o =4.

Voor een intervalverdelingsreeks wordt de modus bepaald door de formule

waar is de ondergrens van het modale interval;

– de waarde van het modale interval;

– frequenties van het interval, respectievelijk voorafgaand aan het modaal, modaal en volgend op het modaal.

Modaal komt overeen met het interval met de hoogste frequentie.

Laten we de modus berekenen voor bijvoorbeeld nr. 2. De modal komt overeen met het interval 130-140. Voor hem , = 140-130=10, =20,

Meestal is het productietempo van arbeiders 134%, meestal wordt het plan met 34% te veel uitgevoerd.

Mediaan- de waarde van het kenmerk dat in het midden van de gerangschikte reeks ligt en deze in tweeën deelt. Gerangschikte serie - een serie gerangschikt in oplopende of aflopende volgorde van een kenmerk. Voor discrete variatiereeksen wordt de mediaan niet berekend, maar bepaald door naar de reeks te kijken. Voor vijf arbeiders is de dagelijkse productie van onderdelen respectievelijk 10, 12, 15, 16 en 18 stuks. Mij is de output van de derde werknemer en is gelijk aan 15 delen. Bij een even aantal attribuutwaarden wordt de mediaan genomen als de halve som van de attribuutwaarden die de mediaanwaarde innemen. Bijvoorbeeld bij 10 waarden, de halve som van de 5e en 6e waarde van het attribuut.

Voor een intervalreeks wordt de mediaan bepaald door de formule

waar – de ondergrens van het mediane interval;

– de waarde van het mediane interval;

– halve som van het volume van de variatiereeks;

– geaccumuleerde frequentie van het interval voorafgaand aan de mediaan;

– frequentie van het mediane interval.

De mediaan is het interval dat overeenkomt met de helft van het volume van de reeks. Om het mediane interval te vinden, is het noodzakelijk frequenties te accumuleren totdat een interval is gevonden dat de helft van het volume van de reeks bevat.

Laten we de mediaan berekenen voor bijvoorbeeld nr. 2. Het mediane interval is 120-130, omdat de cumulatieve frequentie die ermee overeenkomt, bevat de helft van het volume van de reeks. Voor hem

– De helft van de werknemers haalt het outputpercentage van minder dan 129% en de andere helft van de werknemers haalt het outputpercentage van meer dan 129%.

De gemiddelde waarde geeft het algemeen weer dat kenmerkend is voor alle eenheden van de onderzochte populatie. Tegelijkertijd balanceert het de invloed van alle factoren die inwerken op de grootte van het attribuut van individuele eenheden van de bevolking, alsof ze ze wederzijds opheffen.

Om ervoor te zorgen dat de gemiddelde waarde de meest typische waarde van een eigenschap weerspiegelt, mag deze echter niet voor populaties worden bepaald, maar alleen voor populaties die uit kwalitatief homogene eenheden bestaan. Deze eis is de belangrijkste voorwaarde voor de wetenschappelijk onderbouwde toepassing van gemiddelde waarden van grootheden en impliceert een nauw verband tussen de methode van gemiddelden en de methode van groeperingen bij de analyse van sociaal-economische verschijnselen.

De gemiddelde waarde is een algemene indicator die het typische niveau van een variabele eigenschap per eenheid van een homogene populatie karakteriseert in specifieke omstandigheden van plaats en tijd.

Het gemiddelde dat voor de populatie als geheel wordt berekend, wordt het algemeen gemiddelde genoemd, de gemiddelden die voor elke groep worden berekend, worden groepsgemiddelden genoemd. Het algemeen gemiddelde geeft de algemene kenmerken van het bestudeerde fenomeen weer, het groepsgemiddelde geeft een kenmerk van de omvang van het fenomeen dat zich ontwikkelt onder de specifieke omstandigheden van deze groep.

In statistieken worden verschillende soorten gemiddelden gebruikt, die zijn onderverdeeld in twee grote klassen:

1) vermogensgemiddelden (harmonisch gemiddelde, geometrisch gemiddelde, rekenkundig gemiddelde, gemiddeld vierkant, gemiddeld kubisch);

2) structurele gemiddelden (modus, mediaan).

Het meest voorkomende type gemiddelde is het rekenkundig gemiddelde. Eenvoudige rekenkundige gemiddelde formule:

Rekenkundig gewogen gemiddelde:

waar x i– varianten van het gemiddelde kenmerk; f - frequentie, die aangeeft hoe vaak de i-de waarde in de populatie voorkomt.

Eenvoudige harmonische gemiddelde formule:

waar x i- aparte opties; n is het aantal varianten van het gemiddelde kenmerk. Het geometrische eenvoudige gemiddelde wordt berekend met de formule:

De formule voor het geometrisch gewogen gemiddelde is:

Wortelgemiddelde vierkantsformule:

Gewogen gemiddelde vierkante formule:

Gemiddelde kubieke formule:

Gemiddeld kubieke gewogen:

3. Structurele gemiddelden: modus en mediaan

Mode is de waarde van een kenmerk dat het vaakst voorkomt in een bepaalde populatie. Met betrekking tot de variatiereeksen is de modus de meest voorkomende waarde van de gerangschikte reeksen. Het toont de grootte van het kenmerk, kenmerkend voor een aanzienlijk deel van de bevolking, en wordt bepaald door de formule:

h is de waarde van het interval;

f m– intervalfrequentie;

f m-1– frequentie van het vorige interval;

f m+1– frequentie van het volgende interval.

De mediaan is de variant in het midden van de gerangschikte reeks. De mediaan verdeelt de reeks in twee gelijke delen zodanig dat er aan beide zijden hetzelfde aantal populatie-eenheden is. Tegelijkertijd is in de ene helft van de populatie-eenheden de waarde van het variabele kenmerk kleiner dan de mediaan, terwijl deze in de andere helft groter is.

waarbij x0 de ondergrens van het interval is;

h is de waarde van het interval;

f m– intervalfrequentie;

f is het aantal leden van de reeks;

sm- 1 - de som van de verzamelde leden van de reeks die hieraan voorafgaat.

Naast de mediaan worden voor een meer complete karakterisering van de structuur van de bestudeerde populatie ook andere waarden van opties gebruikt, die een vrij duidelijke positie innemen in de gerangschikte reeks. Deze omvatten kwartielen en decielen. Kwartielen verdelen de reeks door de som van frequenties in vier gelijke delen en decielen in tien gelijke delen. Er zijn drie kwartielen en negen decielen.

De mediaan en modus doven, in tegenstelling tot het rekenkundig gemiddelde, geen individuele verschillen in de waarden van een variabel attribuut uit en zijn daarom aanvullende en zeer belangrijke kenmerken van een statistische populatie. In de praktijk worden ze vaak gebruikt in plaats van het gemiddelde of erbij. Het is vooral handig om de mediaan en de modus te berekenen in die gevallen waarin de bestudeerde populatie een bepaald aantal eenheden bevat met een zeer grote of zeer kleine waarde van het variabele kenmerk.

De relatieve afmetingen van een constructie zijn de verhouding tussen de afmetingen van een onderdeel en het geheel. Ze kenmerken de samenstelling, structuur van de bevolking. De vorm van presentatie is soortelijk gewicht of percentage. De som van de relatieve waarden van de structuur is gelijk aan 1 of 100%. Het verschil tussen de respectieve aandelen van de twee populaties wordt een procentpunt genoemd.

Absolute waarden in statistieken zijn het aantal eenheden en de sommen voor groepen en voor de hele populatie, die het directe resultaat zijn van het samenvatten en groeperen van gegevens.

Absolute waarden worden getallen genoemd, dat wil zeggen dat ze hun eigen meeteenheden hebben (bijvoorbeeld stuks, tonnen, hryvnia's). Als onderdeel van absolute indicatoren worden indicatoren van de bevolkingsomvang (aantal ondernemingen) en het volume van kenmerken (producten, winsten) onderscheiden. Er zijn drie groepen functiemeters - natuurlijk, arbeid en waarde.

natuurlijke meters weerspiegelen de fysieke eigenschappen die inherent zijn aan verschijnselen (maten van gewicht, lengte, tijd). Soms worden gecombineerde eenheden gebruikt, die het product zijn van waarden van verschillende afmetingen (elektriciteitsproductie in kWh).

Het is niet altijd mogelijk om rechtstreeks absolute waarden te verkrijgen door de waarden van het attribuut voor afzonderlijke eenheden op te tellen. In dit geval leiden de afzonderlijke termen die in de absolute waarde zijn opgenomen tot een vergelijkbare uitdrukking. Hiervoor gebruiken ze vaak voorwaardelijk natuurlijke meters. Dus, bijvoorbeeld, bij het berekenen van de hoeveelheid verbruikte brandstof, worden de verschillende typen, in overeenstemming met hun calorische waarde, uitgedrukt in eenheden standaardbrandstof, waarvan de calorische waarde 7000 cal / kg is.

Arbeidsmeters (manuur, manploeg) worden gebruikt bij het meten van arbeidskosten voor de productie van producten of voor de uitvoering van individuele werken, om de arbeidsproductiviteit te bepalen en ook om arbeidsmiddelen te meten.

Kostenmeters maken het mogelijk om verschillende fenomenen te generaliseren en te vergelijken. Ze worden gebruikt bij het bepalen van belangrijke indicatoren als omzet, winst, kapitaalinvesteringen.

Vaak wordt de absolute waarde van de indicator berekend volgens een bepaalde regel op basis van andere indicatoren. De brutowinst wordt bijvoorbeeld berekend als het verschil tussen het bruto-inkomen en de brutokosten.

Veel absolute waarden worden gepresenteerd in de vorm van een saldo, dat voorziet in de berekening van de indicator in twee secties: door bronnen van vorming (opbrengstgedeelte van de balans) en door gebruiksaanwijzingen (uitgavengedeelte). Het is ook mogelijk om absolute indicatoren in een dynamische balansvorm te presenteren. De toename van het aantal apparaten in een onderneming gedurende een jaar kan bijvoorbeeld worden weergegeven als het verschil in het aantal apparaten aan het eind en begin van het jaar, of het kan worden weergegeven als het verschil tussen de aantal eenheden nieuw geïntroduceerde en gepensioneerde apparatuur.

Hoofdstuk 4.3. Relatieve waarden.

Relatieve waarden weerspiegelen de kwantitatieve relaties van sociaal-economische verschijnselen. Hun algebraïsche vorm is het quotiënt van de deling van twee gelijkaardige of ongelijksoortige grootheden. De noemer van de verhouding wordt beschouwd als de vergelijkingsbasis of de basis van de relatieve waarde.

De vergelijkingsbasis kan 100, 1000, 10.000 of 100.000 eenheden zijn. De relatieve waarde wordt dan respectievelijk uitgedrukt als een percentage (%), in ppm (% o), prodecimille (% oo), prosantimille (% ooo).

Er worden relatieve waarden van verschillende inhoud en aard gebruikt.

Relatie tussen verschillende namen absolute waarden geeft de relatieve grootte van de intensiteit . Dit is een benoemde waarde die de eenheden van de teller en noemer combineert. Bijvoorbeeld de productie per hoofd van de bevolking. Relatieve intensiteitswaarden karakteriseren de mate van verspreiding of ontwikkeling van een fenomeen in een bepaalde omgeving. Ze omvatten ook demografische coëfficiënten (vruchtbaarheid, sterfte, intensiteit van migratiestromen), die worden berekend door de verhouding van het aantal gebeurtenissen (overlijden, geboorte) voor een bepaalde periode tot de gemiddelde bevolking voor dezelfde periode.

Vergelijking naamgenoot waarden stelt u in staat om de volgende soorten relatieve waarden te onderscheiden: structuur, coördinatie, dynamiek, plantaak, planuitvoering, vergelijking van objectkenmerken.

Relatieve waarden van coördinatie - dit zijn de relaties tussen de afzonderlijke delen van het geheel of de relatie van de individuele delen van de bevolking tot een ervan, als basis voor vergelijking genomen. Voorbeeld, het aantal stadsbewoners per 100 plattelandsbewoners; het aantal vrouwen per 100 mannen. Deze waarden worden uitgedrukt in percentages, ppm of veelvouden (er zijn bijvoorbeeld 114 vrouwen per 100 mannen).

Om de intensiteit van de ontwikkeling te beoordelen, gebruik de relatieve omvang van de dynamiek, die wordt berekend als de verhouding van de niveaus van het bestudeerde fenomeen gedurende twee perioden.

Relatieve vergelijkingswaarden worden berekend als verhoudingen van vergelijkbare indicatoren die verschillende objecten of territoria kenmerken en dezelfde temporele zekerheid hebben.

Sommige processen zijn gepland en voor de indicatoren die ze weerspiegelen, worden plandoelen gesteld. Door de geplande en werkelijke waarden van de indicatoren te vergelijken, worden de relatieve waarden berekend: plan doel en plan uitvoering.

Als we het werkelijke niveau van de huidige periode aanduiden y1, basis y0 en gepland niveau jawel, dan de relatieve waarde:

Kd= y1 / y0,

2) gepland doel

Kpz \u003d ypl / y0,

3) uitvoering van het plan

Kvp \u003d y1 / ypl .

Hoofdstuk 4.4. Soorten en vormen van gemiddelde waarden.

Gemiddelde waarde wordt een statistische indicator genoemd die een algemene beschrijving geeft van het variërende kenmerk van homogene eenheden van de bevolking in specifieke omstandigheden van plaats en tijd. De waarde van het gemiddelde karakteriseert de gehele populatie en karakteriseert deze in relatie tot één bepaald attribuut.

gemiddelde waarde weerspiegelt het gemeenschappelijke dat inherent is aan alle eenheden van de bestudeerde populatie.

Zo geeft het gemiddelde loon bijvoorbeeld een algemeen kwantitatief kenmerk van de beloningstoestand van de beschouwde groep arbeiders.

De essentie van het midden ligt in het feit dat het willekeurige afwijkingen van de attribuutwaarden opheft en rekening houdt met de veranderingen veroorzaakt door de belangrijkste factor.

Statistische verwerking door middel van gemiddelden bestaat uit het vervangen van de individuele waarden van een variabel attribuut door een uitgebalanceerd gemiddelde X.

De individuele output van 5 operators van een commerciële bank per dag was bijvoorbeeld 136, 140, 154 en 162 operaties. Om het gemiddelde aantal transacties per dag door één baliemedewerker te krijgen, moet u deze individuele indicatoren bij elkaar optellen en het resulterende bedrag delen door het aantal baliemedewerkers:

Zoals uit het bovenstaande voorbeeld blijkt, komt het gemiddelde aantal transacties niet overeen met de individuele transacties, aangezien geen enkele operator 150 transacties heeft uitgevoerd. Maar als we ons voorstellen dat elke operator 150 bewerkingen heeft uitgevoerd, dan zal hun totale bedrag niet veranderen, maar ook gelijk zijn aan 750. We zijn dus bij de belangrijkste eigenschap van gemiddelde waarden gekomen: de som van de individuele waarden van de attribuut is gelijk aan de som van de gemiddelde waarden.

Deze eigenschap benadrukt nogmaals dat de gemiddelde waarde een generaliserend kenmerk is van de gehele statistische populatie.

Gemiddelde waarden zijn onderverdeeld in twee grote klassen:

Vermogen gemiddelden:

Rekenkundig

harmonische

Geometrisch

kwadratisch

Structurele gemiddelden:

Mode

Mediaan

Het meest voorkomende type gemiddelde is het rekenkundig gemiddelde:

eenvoudig rekenkundig gemiddelde

Rekenkundig gewogen gemiddelde

Rekenkundig gemiddelde voor een intervalreeks.

eenvoudig rekenkundig gemiddelde vertegenwoordigt de gemiddelde term, om te bepalen welke het totale volume van een bepaald attribuut in de dataset gelijkelijk is verdeeld over alle eenheden die in deze set zijn opgenomen.

De gemiddelde jaarlijkse output per werknemer is dus zo'n waarde van het productievolume dat op elke werknemer zou vallen als het volledige outputvolume gelijk zou worden verdeeld over alle werknemers van de organisatie. De rekenkundige gemiddelde eenvoudige waarde wordt berekend met de formule.