Hoe een logaritme naar een gemeenschappelijke basis te converteren. Eigenschappen van logaritmen en voorbeelden van hun oplossingen

Uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben we een privacybeleid ontwikkeld dat beschrijft hoe we uw informatie gebruiken en opslaan. Lees ons privacybeleid en laat het ons weten als je vragen hebt.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een specifieke persoon te identificeren of ermee in contact te komen.

U kunt op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken wanneer u contact met ons opneemt.

Hieronder volgen enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie we verzamelen:

Wanneer u een aanvraag indient op de site, kunnen we verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer, adres E-mail enzovoort.

Hoe we uw persoonlijke informatie gebruiken:

Door ons opgehaald persoonsgegevens stelt ons in staat om contact met u op te nemen en u te informeren over unieke aanbiedingen, acties en andere evenementen en aankomende evenementen.
Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om u belangrijke mededelingen en berichten te sturen.
We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, gegevensanalyse en verschillende onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en om u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
Als u meedoet aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke incentive, kunnen we de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking aan derden

Wij verstrekken geen informatie die wij van u hebben ontvangen aan derden.

Uitzonderingen:

Indien nodig - in overeenstemming met de wet, gerechtelijk bevel, in gerechtelijke procedures, en/of op basis van openbare verzoeken of verzoeken van overheidsinstellingen op het grondgebied van de Russische Federatie - geef uw persoonlijke gegevens vrij. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is om veiligheidsredenen, wetshandhaving of andere redenen van algemeen belang.
In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop, kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de relevante derde partij opvolger.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke informatie te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Behoud van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingspraktijken met onze medewerkers en handhaven we strikt de privacypraktijken.

\(a^(b)=c\) \(\Pijl naar rechts\) \(\log_(a)(c)=b\)

Laten we het makkelijker uitleggen. Bijvoorbeeld \(\log_(2)(8)\) gelijk aan de graad, waarnaar \(2\) moet worden verheven om \(8\) te krijgen. Hieruit blijkt dat \(\log_(2)(8)=3\).

Voorbeelden:	\(\log_(5)(25)=2\)	omdat \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	omdat \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	omdat \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument en grondtal van de logaritme

Elke logaritme heeft de volgende "anatomie":

Het argument van de logaritme wordt meestal op zijn niveau geschreven en de basis wordt geschreven in subscript dichter bij het teken van de logaritme. En deze invoer wordt als volgt gelezen: "de logaritme van vijfentwintig tot de basis van vijf."

Hoe de logaritme te berekenen?

Om de logaritme te berekenen, moet je de vraag beantwoorden: in welke mate moet de basis worden verhoogd om het argument te krijgen?

bijvoorbeeld, bereken de logaritme: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Tot welke macht moet \(4\) worden verheven om \(16\) te krijgen? Duidelijk de tweede. Dus:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Tot welke macht moet \(\sqrt(5)\) worden verheven om \(1\) te krijgen? En welke graad maakt van een getal een eenheid? Nul natuurlijk!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Tot welke macht moet \(\sqrt(7)\) worden verheven om \(\sqrt(7)\) te krijgen? In de eerste - elk getal in de eerste graad is gelijk aan zichzelf.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Tot welke macht moet \(3\) worden verheven om \(\sqrt(3)\) te krijgen? Van we weten wat is fractionele graad, en dus is de vierkantswortel de macht van \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Voorbeeld : Bereken de logaritme \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Beslissing :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		We moeten de waarde van de logaritme vinden, laten we het aanduiden als x. Laten we nu de definitie van de logaritme gebruiken: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Wat verbindt \(4\sqrt(2)\) en \(8\)? Twee, omdat beide getallen door tweeën kunnen worden weergegeven: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Links gebruiken we de graden-eigenschappen: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) en \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		De bases zijn gelijk, we gaan verder met de gelijkheid van indicatoren
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met \(\frac(2)(5)\)
		De resulterende wortel is de waarde van de logaritme

Antwoord : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Waarom is de logaritme uitgevonden?

Laten we, om dit te begrijpen, de vergelijking oplossen: \(3^(x)=9\). Zoek gewoon \(x\) om de gelijkheid te laten werken. Natuurlijk, \(x=2\).

Los nu de vergelijking op: \(3^(x)=8\). is gelijk aan x? Dat is het punt.

De meest ingenieuze zal zeggen: "X is iets minder dan twee." Hoe moet dit nummer precies worden geschreven? Om deze vraag te beantwoorden, bedachten ze de logaritme. Dankzij hem kan het antwoord hier worden geschreven als \(x=\log_(3)(8)\).

Ik wil benadrukken dat \(\log_(3)(8)\), evenals elke logaritme is slechts een getal. Ja, het ziet er ongewoon uit, maar het is kort. Want als we het in de vorm wilden schrijven decimale fractie, dan ziet het er als volgt uit: \(1.892789260714.....\)

Voorbeeld : Los de vergelijking \(4^(5x-4)=10\) op

Beslissing :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) en \(10\) kunnen niet worden herleid tot hetzelfde grondtal. Hier kun je dus niet zonder de logaritme. Laten we de definitie van de logaritme gebruiken: \(a^(b)=c\) \(\Pijl naar rechts\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Draai de vergelijking om zodat x aan de linkerkant staat
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Voor ons. Verplaats \(4\) naar rechts. En wees niet bang voor de logaritme, behandel het als een gewoon getal.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Deel de vergelijking door 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Hier is onze wortel. Ja, het ziet er ongewoon uit, maar het antwoord is niet gekozen.

Antwoord : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Decimale en natuurlijke logaritmen

Zoals vermeld in de definitie van de logaritme, kan de basis ervan elke zijn positief nummer, behalve de eenheid \((a>0, a\neq1)\). En van alle mogelijke basen zijn er twee die zo vaak voorkomen dat er een speciale korte notatie voor logaritmen is uitgevonden:

Natuurlijke logaritme: een logaritme waarvan het grondtal het Euler-getal \(e\) is (gelijk aan ongeveer \(2.7182818…\)), en het logaritme wordt geschreven als \(\ln(a)\).

D.w.z, \(\ln(a)\) is hetzelfde als \(\log_(e)(a)\)

Decimale logaritme: Een logaritme waarvan het grondtal 10 is, wordt geschreven als \(\lg(a)\).

D.w.z, \(\lg(a)\) is hetzelfde als \(\log_(10)(a)\), waarbij \(a\) een getal is.

Basis logaritmische identiteit

Logaritmen hebben veel eigenschappen. Een van hen heet "Main logaritmische identiteit' en ziet er als volgt uit:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Deze eigenschap volgt direct uit de definitie. Laten we eens kijken hoe deze formule precies verscheen.

Laat ons herdenken korte notitie logaritme definities:

als \(a^(b)=c\), dan \(\log_(a)(c)=b\)

Dat wil zeggen, \(b\) is hetzelfde als \(\log_(a)(c)\). Dan kunnen we \(\log_(a)(c)\) schrijven in plaats van \(b\) in de formule \(a^(b)=c\) . Het bleek \(a^(\log_(a)(c))=c\) - de belangrijkste logaritmische identiteit.

U kunt de rest van de eigenschappen van logaritmen vinden. Met hun hulp kunt u de waarden van uitdrukkingen vereenvoudigen en berekenen met logaritmen, die moeilijk direct te berekenen zijn.

Voorbeeld : Zoek de waarde van de uitdrukking \(36^(\log_(6)(5))\)

Beslissing :

Antwoord : \(25\)

Hoe schrijf je een getal als logaritme?

Zoals hierboven vermeld, is elke logaritme slechts een getal. Het omgekeerde is ook waar: elk getal kan als logaritme worden geschreven. We weten bijvoorbeeld dat \(\log_(2)(4)\) gelijk is aan twee. Dan kun je \(\log_(2)(4)\) schrijven in plaats van twee.

Maar \(\log_(3)(9)\) is ook gelijk aan \(2\), dus je kunt ook \(2=\log_(3)(9)\) schrijven. Zo ook met \(\log_(5)(25)\), en met \(\log_(9)(81)\), enz. Dat wil zeggen, het blijkt

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Dus, als we dat nodig hebben, kunnen we de twee schrijven als een logaritme met een willekeurig grondtal waar dan ook (zelfs in een vergelijking, zelfs in een uitdrukking, zelfs in een ongelijkheid) - we schrijven het gekwadrateerde grondtal gewoon als een argument.

Hetzelfde geldt voor een triple - het kan worden geschreven als \(\log_(2)(8)\), of als \(\log_(3)(27)\), of als \(\log_(4)( 64) \) ... Hier schrijven we de basis in de kubus als argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

En met vier:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

En met min één:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

En met een derde:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Elk getal \(a\) kan worden weergegeven als een logaritme met grondtal \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Voorbeeld : Vind de waarde van een uitdrukking \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Beslissing :

Antwoord : \(1\)

(van het Griekse λόγος - "woord", "relatie" en ἀριθμός - "getal") getallen b door reden a(log b) heet zo'n getal c, en b= een c, dat wil zeggen, log α b=c en b=ac gelijkwaardig zijn. De logaritme is logisch als a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Met andere woorden logaritme nummers b door reden a geformuleerd als een exponent waartoe een getal moet worden verheven a om het nummer te krijgen b(de logaritme bestaat alleen voor positieve getallen).

Uit deze formulering volgt dat de berekening x= log α b, komt overeen met het oplossen van de vergelijking a x =b.

Bijvoorbeeld:

log 2 8 = 3 omdat 8=2 3 .

We merken op dat de aangegeven formulering van de logaritme het mogelijk maakt om onmiddellijk te bepalen logaritme waarde wanneer het getal onder het teken van de logaritme een bepaalde macht van het grondtal is. De formulering van de logaritme maakt het inderdaad mogelijk om te rechtvaardigen dat als b=a c, dan de logaritme van het getal b door reden a gelijk aan met. Het is ook duidelijk dat het onderwerp logaritme nauw verwant is aan het onderwerp graad van getal.

De berekening van de logaritme wordt aangeduid als logaritme. De logaritme is wiskundige operatie logaritme nemen. Bij het nemen van een logaritme worden de producten van factoren omgezet in sommen van termen.

Potentiëring is de wiskundige bewerking omgekeerd aan logaritme. Bij potentiëring wordt de gegeven basis verheven tot de macht van de uitdrukking waarop de potentiëring wordt uitgevoerd. In dit geval worden de sommen van termen omgezet in het product van factoren.

Heel vaak worden echte logaritmen met grondtalen 2 (binair) gebruikt, e Euler-getal e ≈ 2,718 ( natuurlijke logaritme) en 10 (decimaal).

Op de dit stadium geschikt om te overwegen voorbeelden van logaritmen logboek 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

En de vermeldingen lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 hebben geen zin, omdat in de eerste een negatief getal onder het teken van de logaritme wordt geplaatst, in de tweede - een negatief getal in de basis, en in de derde - en een negatief getal onder het teken van de logaritme en een eenheid in de basis.

Voorwaarden voor het bepalen van de logaritme.

Het is de moeite waard om de voorwaarden a > 0, a ≠ 1, b > 0 afzonderlijk te beschouwen. definitie van een logaritme. Laten we eens kijken waarom deze beperkingen worden genomen. Dit zal ons helpen met een gelijkheid van de vorm x = log α b, de logaritmische basisidentiteit genoemd, die direct volgt uit de hierboven gegeven definitie van de logaritme.

Neem de voorwaarde a≠1. Aangezien één gelijk is aan één tot elke macht, dan is de gelijkheid x=log α b kan alleen bestaan wanneer b=1, maar log 1 1 zal een willekeurig reëel getal zijn. Om deze dubbelzinnigheid weg te nemen, nemen we: a≠1.

Laten we de noodzaak van de voorwaarde bewijzen a>0. Bij a=0 volgens de formulering van de logaritme, kan alleen bestaan wanneer b=0. En dan dienovereenkomstig logboek 0 0 kan elk reëel getal zijn dat niet nul is, aangezien nul tot een macht die niet nul is nul is. Om deze dubbelzinnigheid te elimineren, is de voorwaarde a≠0. En wanneer a<0 we zouden de analyse van rationele en irrationele waarden van de logaritme moeten verwerpen, aangezien de exponent met rationele en irrationele exponent alleen wordt gedefinieerd voor niet-negatieve basen. Het is om deze reden dat de voorwaarde a>0.

En de laatste voorwaarde b>0 volgt uit de ongelijkheid a>0, aangezien x=log α b, en de waarde van de graad met een positieve basis a altijd positief.

Kenmerken van logaritmen.

logaritmen gekenmerkt door onderscheidend Kenmerken, wat leidde tot hun wijdverbreide gebruik om nauwgezette berekeningen aanzienlijk te vergemakkelijken. In de overgang "naar de wereld van logaritmen" wordt vermenigvuldigen omgezet in een veel eenvoudiger optellen, delen in aftrekken, en verheffen tot een macht en nemen van een wortel worden omgezet in respectievelijk vermenigvuldigen en delen door een exponent.

De formulering van logaritmen en een tabel met hun waarden (voor trigonometrische functies) werd voor het eerst gepubliceerd in 1614 door de Schotse wiskundige John Napier. Logaritmische tabellen, vergroot en gedetailleerd door andere wetenschappers, werden veel gebruikt in wetenschappelijke en technische berekeningen en bleven relevant totdat elektronische rekenmachines en computers werden gebruikt.

basiseigenschappen.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

dezelfde gronden

logboek6 4 + logboek6 9.

Laten we de taak nu een beetje ingewikkelder maken.

Voorbeelden van het oplossen van logaritmen

Wat als er een graad in de basis of het argument van de logaritme staat? Dan kan de exponent van deze graad uit het teken van de logaritme worden gehaald volgens de volgende regels:

Al deze regels zijn natuurlijk logisch als de ODZ-logaritme wordt aangehouden: a > 0, a ≠ 1, x >

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking:

Overgang naar een nieuwe stichting

Laat de logaritme logax worden gegeven. Dan is voor elk getal c zodanig dat c > 0 en c ≠ 1, de gelijkheid waar:

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking:

Zie ook:

Basiseigenschappen van de logaritme

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

De exponent is 2,718281828…. Om de exponent te onthouden, kun je de regel bestuderen: de exponent is 2,7 en tweemaal het geboortejaar van Leo Tolstoy.

Basiseigenschappen van logaritmen

Als je deze regel kent, weet je zowel de exacte waarde van de exponent als de geboortedatum van Leo Tolstoy.

Voorbeelden voor logaritmen

Neem de logaritme van uitdrukkingen

voorbeeld 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Bij eigenschappen 3,5 berekenen we

4. waar .

Voorbeeld 2 Vind x als

Voorbeeld 3. Laat de waarde van logaritmen worden gegeven

Bereken log(x) als

Basiseigenschappen van logaritmen

Logaritmen, zoals elk getal, kunnen op elke mogelijke manier worden opgeteld, afgetrokken en geconverteerd. Maar aangezien logaritmen niet helemaal gewone getallen zijn, zijn er hier regels, die worden genoemd basiseigenschappen.

Deze regels moeten bekend zijn - zonder hen geen enkele serieuze logaritmisch probleem. Bovendien zijn er maar heel weinig - alles kan in één dag worden geleerd. Dus laten we beginnen.

Optellen en aftrekken van logaritmen

Beschouw twee logaritmen met hetzelfde grondtal: logax en logay. Dan kunnen ze worden opgeteld en afgetrokken, en:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Dus de som van de logaritmen is gelijk aan de logaritme van het product, en het verschil is de logaritme van het quotiënt. Let op: het belangrijkste punt hier is - dezelfde gronden. Als de bases anders zijn, werken deze regels niet!

Deze formules helpen bij het berekenen van de logaritmische uitdrukking, zelfs als de afzonderlijke delen niet in aanmerking worden genomen (zie de les "Wat is een logaritme"). Bekijk de voorbeelden en zie:

Omdat de basissen van logaritmen hetzelfde zijn, gebruiken we de somformule:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log2 48 − log2 3.

De basen zijn hetzelfde, we gebruiken de verschilformule:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log3 135 − log3 5.

Nogmaals, de basen zijn hetzelfde, dus we hebben:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Zoals u kunt zien, bestaan de oorspronkelijke uitdrukkingen uit "slechte" logaritmen, die niet afzonderlijk worden beschouwd. Maar na transformaties blijken vrij normale cijfers. Op basis van dit feit hebben veel testpapieren. Ja, controle - soortgelijke uitdrukkingen in alle ernst (soms - met vrijwel geen wijzigingen) worden aangeboden op het examen.

De exponent van de logaritme verwijderen

Dat is gemakkelijk te zien laatste regel volgt de eerste twee. Maar het is beter om het toch te onthouden - in sommige gevallen zal het de hoeveelheid berekeningen aanzienlijk verminderen.

Al deze regels zijn natuurlijk logisch als de ODZ-logaritme in acht wordt genomen: a > 0, a ≠ 1, x > 0. En nog iets: leer alle formules niet alleen van links naar rechts toe te passen, maar ook vice versa, d.w.z. u kunt de getallen vóór het teken van de logaritme in de logaritme zelf invoeren. Dit is wat het vaakst nodig is.

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log7 496.

Laten we de graad in het argument verwijderen volgens de eerste formule:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking:

Merk op dat de noemer een logaritme is waarvan het grondtal en het argument exacte machten zijn: 16 = 24; 49 = 72. We hebben:

Ik denk dat laatste voorbeeld verduidelijking nodig is. Waar zijn logaritmen gebleven? Tot het allerlaatste moment werken we alleen met de noemer.

Formules van logaritmen. Logaritmen zijn voorbeelden van oplossingen.

Ze presenteerden de basis en het argument van de logaritme die daar stond in de vorm van graden en haalden de indicatoren eruit - ze kregen een "drie verdiepingen tellende" breuk.

Laten we nu naar de hoofdbreuk kijken. De teller en noemer hebben hetzelfde nummer: log2 7. Aangezien log2 7 0, kunnen we de breuk verkleinen - 2/4 blijft in de noemer. Volgens de rekenregels kunnen de vier worden overgedragen naar de teller, wat is gebeurd. Het resultaat is het antwoord: 2.

Overgang naar een nieuwe stichting

Sprekend over de regels voor het optellen en aftrekken van logaritmen, heb ik specifiek benadrukt dat ze alleen met dezelfde basen werken. Wat als de basis anders is? Wat als ze geen exacte machten van hetzelfde aantal zijn?

Formules voor de overgang naar een nieuwe basis komen te hulp. We formuleren ze in de vorm van een stelling:

Laat de logaritme logax worden gegeven. Dan is voor elk getal c zodanig dat c > 0 en c ≠ 1, de gelijkheid waar:

In het bijzonder, als we c = x zetten, krijgen we:

Uit de tweede formule volgt dat het mogelijk is om de basis en het argument van de logaritme te verwisselen, maar in dit geval wordt de hele uitdrukking "omgedraaid", d.w.z. de logaritme zit in de noemer.

Deze formules worden zelden gevonden in gewone numerieke uitdrukkingen. Het is mogelijk om te evalueren hoe handig ze zijn, alleen bij het beslissen logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden.

Er zijn echter taken die helemaal niet kunnen worden opgelost, behalve door te verhuizen naar een nieuwe stichting. Laten we er een paar bekijken:

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log5 16 log2 25.

Merk op dat de argumenten van beide logaritmen exacte exponenten zijn. Laten we de indicatoren verwijderen: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Laten we nu de tweede logaritme omdraaien:

Omdat het product niet verandert door permutatie van factoren, vermenigvuldigden we kalm vier en twee en bedachten vervolgens de logaritmen.

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log9 100 lg 3.

De basis en het argument van de eerste logaritme zijn exacte machten. Laten we het opschrijven en de indicatoren verwijderen:

Laten we nu de decimale logaritme verwijderen door naar een nieuwe basis te gaan:

Basis logaritmische identiteit

Vaak is het tijdens het oplossen vereist om een getal als logaritme voor een bepaald grondtal weer te geven. In dit geval zullen de formules ons helpen:

In het eerste geval wordt het getal n de exponent in het argument. Het getal n kan absoluut alles zijn, omdat het gewoon de waarde van de logaritme is.

De tweede formule is eigenlijk een geparafraseerde definitie. Het heet zo:

Inderdaad, wat gebeurt er als het getal b zodanig wordt verhoogd dat het getal b in deze graad het getal a geeft? Dat klopt: dit is hetzelfde nummer a. Lees deze paragraaf nog eens aandachtig - veel mensen "hangen" eraan vast.

Net als de nieuwe basisconversieformules is de logaritmische basisidentiteit soms de enige mogelijke oplossing.

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking:

Merk op dat log25 64 = log5 8 - net het vierkant uit de basis en het argument van de logaritme heeft gehaald. Gezien de regels voor het vermenigvuldigen van machten met dezelfde basis, we krijgen:

Als iemand niet op de hoogte is, was dit een echte taak van het Unified State Examination

Logaritmische eenheid en logaritmische nul

Ter afsluiting zal ik twee identiteiten geven die moeilijk eigenschappen te noemen zijn - dit zijn eerder consequenties van de definitie van de logaritme. Ze worden voortdurend aangetroffen in problemen en, verrassend genoeg, zorgen ze voor problemen, zelfs voor "gevorderde" studenten.

loga = 1 is. Onthoud voor eens en altijd: de logaritme van elk grondtal a vanaf dat grondtal zelf is gelijk aan één.
loga 1 = 0 is. Het grondtal a kan van alles zijn, maar als het argument één is, is de logaritme nul! Omdat a0 = 1 een direct gevolg is van de definitie.

Dat zijn alle eigenschappen. Zorg ervoor dat je ze in de praktijk brengt! Download het spiekbriefje aan het begin van de les, print het uit en los de problemen op.

Zie ook:

De logaritme van het getal b tot het grondtal a geeft de uitdrukking aan. De logaritme berekenen betekent zo'n macht x () vinden waarbij de gelijkheid waar is

Basiseigenschappen van de logaritme

De bovenstaande eigenschappen moeten bekend zijn, omdat op basis daarvan bijna alle problemen en voorbeelden worden opgelost op basis van logaritmen. De overige exotische eigenschappen kunnen worden afgeleid door wiskundige manipulaties met deze formules

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Bij het berekenen van de formules voor de som en het verschil van logaritmen (3.4) komen we vrij vaak voor. De rest is wat ingewikkeld, maar bij een aantal taken zijn ze onmisbaar voor het vereenvoudigen van complexe uitdrukkingen en het berekenen van hun waarden.

Veelvoorkomende gevallen van logaritmen

Enkele van de gebruikelijke logaritmen zijn die waarin het grondtal zelfs tien, exponentieel of tweeëntwintig is.
De logaritme met grondtal tien wordt gewoonlijk de logaritme met grondtal tien genoemd en wordt eenvoudigweg aangeduid als lg(x).

Uit het dossier blijkt dat de basis niet in het dossier staat. Bijvoorbeeld

De natuurlijke logaritme is de logaritme waarvan de basis de exponent is (aangeduid met ln(x)).

De exponent is 2,718281828…. Om de exponent te onthouden, kun je de regel bestuderen: de exponent is 2,7 en tweemaal het geboortejaar van Leo Tolstoy. Als je deze regel kent, weet je zowel de exacte waarde van de exponent als de geboortedatum van Leo Tolstoy.

En een ander belangrijk logaritme met grondtal twee is

De afgeleide van de logaritme van de functie is gelijk aan één gedeeld door de variabele

De integrale of antiderivatieve logaritme wordt bepaald door de afhankelijkheid

Het bovenstaande materiaal is voldoende om een groot aantal problemen met logaritmen en logaritmen op te lossen. Om het materiaal te begrijpen, zal ik slechts een paar veelvoorkomende voorbeelden geven van: schoolcurriculum en universiteiten.

Voorbeelden voor logaritmen

Neem de logaritme van uitdrukkingen

voorbeeld 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Bij eigenschappen 3,5 berekenen we

2.
Door de verschileigenschap van logaritmen hebben we

3.
Met behulp van eigenschappen 3.5 vinden we

4. waar .

zo te zien complexe uitdrukking het gebruik van een reeks regels is vereenvoudigd tot de vorm

Logaritmewaarden vinden

Voorbeeld 2 Vind x als

Beslissing. Voor de berekening passen we eigenschappen 5 en 13 toe tot en met de laatste term

Plaatsvervanger in het verslag en rouwen

Omdat de basen gelijk zijn, stellen we de uitdrukkingen gelijk aan

Logaritmen. Eerste level.

Laat de waarde van de logaritmen worden gegeven

Bereken log(x) als

Oplossing: neem de logaritme van de variabele om de logaritme door de som van de termen te schrijven

Dit is nog maar het begin van de kennismaking met logaritmen en hun eigenschappen. Oefen berekeningen, verrijk je praktische vaardigheden - je hebt binnenkort de opgedane kennis nodig om logaritmische vergelijkingen op te lossen. Nadat we de basismethoden voor het oplossen van dergelijke vergelijkingen hebben bestudeerd, zullen we uw kennis voor niet minder uitbreiden belangrijk onderwerp- logaritmische ongelijkheden ...

Basiseigenschappen van logaritmen

Deze regels moeten bekend zijn - zonder hen kan geen serieus logaritmisch probleem worden opgelost. Bovendien zijn er maar heel weinig - alles kan in één dag worden geleerd. Dus laten we beginnen.

Optellen en aftrekken van logaritmen

Beschouw twee logaritmen met hetzelfde grondtal: logax en logay. Dan kunnen ze worden opgeteld en afgetrokken, en:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log6 4 + log6 9.

Omdat de basissen van logaritmen hetzelfde zijn, gebruiken we de somformule:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log2 48 − log2 3.

De basen zijn hetzelfde, we gebruiken de verschilformule:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log3 135 − log3 5.

Nogmaals, de basen zijn hetzelfde, dus we hebben:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Zoals u kunt zien, bestaan de oorspronkelijke uitdrukkingen uit "slechte" logaritmen, die niet afzonderlijk worden beschouwd. Maar na transformaties blijken vrij normale cijfers. Veel tests zijn hierop gebaseerd. Ja, controle - soortgelijke uitdrukkingen in alle ernst (soms - met vrijwel geen wijzigingen) worden aangeboden op het examen.

De exponent van de logaritme verwijderen

Laten we de taak nu een beetje ingewikkelder maken. Wat als er een graad in de basis of het argument van de logaritme staat? Dan kan de exponent van deze graad uit het teken van de logaritme worden gehaald volgens de volgende regels:

Het is gemakkelijk in te zien dat de laatste regel hun eerste twee volgt. Maar het is beter om het toch te onthouden - in sommige gevallen zal het de hoeveelheid berekeningen aanzienlijk verminderen.

Hoe logaritmen op te lossen

Dit is wat het vaakst nodig is.

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log7 496.

Laten we de graad in het argument verwijderen volgens de eerste formule:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking:

Merk op dat de noemer een logaritme is waarvan het grondtal en het argument exacte machten zijn: 16 = 24; 49 = 72. We hebben:

Ik denk dat het laatste voorbeeld verduidelijking behoeft. Waar zijn logaritmen gebleven? Tot het allerlaatste moment werken we alleen met de noemer. Ze presenteerden de basis en het argument van de logaritme die daar stond in de vorm van graden en haalden de indicatoren eruit - ze kregen een "drie verdiepingen tellende" breuk.

Overgang naar een nieuwe stichting

Formules voor de overgang naar een nieuwe basis komen te hulp. We formuleren ze in de vorm van een stelling:

Laat de logaritme logax worden gegeven. Dan is voor elk getal c zodanig dat c > 0 en c ≠ 1, de gelijkheid waar:

In het bijzonder, als we c = x zetten, krijgen we:

Deze formules worden zelden aangetroffen in gewone numerieke uitdrukkingen. Het is alleen mogelijk om te evalueren hoe handig ze zijn bij het oplossen van logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden.

Er zijn echter taken die helemaal niet kunnen worden opgelost, behalve door te verhuizen naar een nieuwe stichting. Laten we er een paar bekijken:

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log5 16 log2 25.

Merk op dat de argumenten van beide logaritmen exacte exponenten zijn. Laten we de indicatoren verwijderen: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Laten we nu de tweede logaritme omdraaien:

Omdat het product niet verandert door permutatie van factoren, vermenigvuldigden we kalm vier en twee en bedachten vervolgens de logaritmen.

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log9 100 lg 3.

De basis en het argument van de eerste logaritme zijn exacte machten. Laten we het opschrijven en de indicatoren verwijderen:

Laten we nu de decimale logaritme verwijderen door naar een nieuwe basis te gaan:

Basis logaritmische identiteit

Vaak is het tijdens het oplossen vereist om een getal als logaritme voor een bepaald grondtal weer te geven. In dit geval zullen de formules ons helpen:

In het eerste geval wordt het getal n de exponent in het argument. Het getal n kan absoluut alles zijn, omdat het gewoon de waarde van de logaritme is.

De tweede formule is eigenlijk een geparafraseerde definitie. Het heet zo:

Net als de nieuwe basisconversieformules is de logaritmische basisidentiteit soms de enige mogelijke oplossing.

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking:

Merk op dat log25 64 = log5 8 - net het vierkant uit de basis en het argument van de logaritme heeft gehaald. Gegeven de regels voor het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal, krijgen we:

Als iemand niet op de hoogte is, was dit een echte taak van het Unified State Examination

Logaritmische eenheid en logaritmische nul

loga = 1 is. Onthoud voor eens en altijd: de logaritme van elk grondtal a vanaf dat grondtal zelf is gelijk aan één.
loga 1 = 0 is. Het grondtal a kan van alles zijn, maar als het argument één is, is de logaritme nul! Omdat a0 = 1 een direct gevolg is van de definitie.

Dat zijn alle eigenschappen. Zorg ervoor dat je ze in de praktijk brengt! Download het spiekbriefje aan het begin van de les, print het uit en los de problemen op.

Instructie

Schrijf de gegeven logaritmische uitdrukking op. Als de uitdrukking de logaritme van 10 gebruikt, wordt de notatie ervan verkort en ziet er als volgt uit: lg b is decimale logaritme. Als de logaritme het getal e als grondtal heeft, dan wordt de uitdrukking geschreven: ln b is de natuurlijke logaritme. Het is duidelijk dat het resultaat van elke de macht is waartoe het grondtal moet worden verheven om het getal b te krijgen.

Als je twee functies uit de som vindt, hoef je ze alleen maar een voor een te onderscheiden en de resultaten op te tellen: (u+v)" = u"+v";

Bij het vinden van de afgeleide van het product van twee functies, is het noodzakelijk om de afgeleide van de eerste functie met de tweede te vermenigvuldigen en de afgeleide van de tweede functie op te tellen, vermenigvuldigd met de eerste functie: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Om de afgeleide van het quotiënt van twee functies te vinden, is het noodzakelijk om van het product van de afgeleide van het deeltal vermenigvuldigd met de delerfunctie het product van de afgeleide van de deler vermenigvuldigd met de delerfunctie af te trekken en te delen dit alles door de delerfunctie in het kwadraat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

indien gegeven complexe functie, dan is het nodig om de afgeleide van de innerlijke functie en de afgeleide van de buitenste te vermenigvuldigen. Zij y=u(v(x)), dan y"(x)=y"(u)*v"(x).

Met behulp van het bovenstaande kunt u bijna elke functie onderscheiden. Laten we dus een paar voorbeelden bekijken:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Er zijn ook taken voor het berekenen van de afgeleide op een punt. Laat de functie y=e^(x^2+6x+5) gegeven worden, je moet de waarde van de functie vinden op het punt x=1.
1) Zoek de afgeleide van de functie: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Bereken de waarde van de functie in gegeven punt y"(1)=8*e^0=8

Gerelateerde video's

Behulpzaam advies

Leer de tabel van elementaire afgeleiden. Dit zal veel tijd besparen.

bronnen:

constante afgeleide

Dus wat is er anders? ir rationale vergelijking van rationeel? Als de onbekende variabele onder het teken staat vierkantswortel, dan wordt de vergelijking als irrationeel beschouwd.

Instructie

De belangrijkste methode voor het oplossen van dergelijke vergelijkingen is de methode om beide kanten op te heffen vergelijkingen tot een vierkant. Echter. dit is natuurlijk, de eerste stap is om van het teken af te komen. Technisch gezien is deze methode niet moeilijk, maar soms kan het tot problemen leiden. Bijvoorbeeld de vergelijking v(2x-5)=v(4x-7). Door beide zijden te kwadrateren, krijg je 2x-5=4x-7. Zo'n vergelijking is niet moeilijk op te lossen; x=1. Maar de nummer 1 wordt niet gegeven vergelijkingen. Waarom? Vervang de eenheid in de vergelijking in plaats van de waarde x. En de rechter- en linkerkant zullen uitdrukkingen bevatten die niet logisch zijn, dat wil zeggen. Een dergelijke waarde is niet geldig voor een vierkantswortel. Daarom is 1 een vreemde wortel, en daarom gegeven vergelijking heeft geen wortels.

Dus de irrationele vergelijking wordt opgelost met behulp van de methode van het kwadrateren van beide delen. En als de vergelijking is opgelost, is het noodzakelijk om af te snijden vreemde wortels. Om dit te doen, vervangt u de gevonden wortels in de oorspronkelijke vergelijking.

Overweeg een andere.
2x+vx-3=0
Natuurlijk kan deze vergelijking worden opgelost met dezelfde vergelijking als de vorige. Verbindingen overbrengen vergelijkingen, die geen vierkantswortel hebben, rechter zijde en gebruik vervolgens de kwadratuurmethode. los de resulterende rationale vergelijking en wortels op. Maar een andere, elegantere. Voer een nieuwe variabele in; vx=y. Dienovereenkomstig krijgt u een vergelijking als 2y2+y-3=0. Dat wil zeggen, de gebruikelijke kwadratische vergelijking. Vind zijn wortels; y1=1 en y2=-3/2. Los vervolgens twee op vergelijkingen vx=1; vx \u003d -3/2. De tweede vergelijking heeft geen wortels, uit de eerste vinden we dat x=1. Vergeet niet de noodzaak om de wortels te controleren.

Het oplossen van identiteiten is vrij eenvoudig. Dit vereist doen identieke transformaties totdat het doel is bereikt. Dus, met behulp van eenvoudige rekenkundige bewerkingen de taak zal worden opgelost.

Je zal nodig hebben

- papier;
- pen.

Instructie

De eenvoudigste dergelijke transformaties zijn algebraïsche verkorte vermenigvuldigingen (zoals het kwadraat van de som (verschil), het verschil van kwadraten, de som (verschil), de derde macht van de som (verschil)). Daarnaast zijn er veel trigonometrische formules, die in wezen dezelfde identiteiten zijn.

Inderdaad, het kwadraat van de som van twee termen is gelijk aan het kwadraat van de eerste plus dubbel product de eerste naar de tweede en plus het kwadraat van de tweede, d.w.z. (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^2=a^2+2ab +b^2 .

Vereenvoudig beide

Algemene principes van oplossing

Herhaal het leerboek wiskundige analyse of hogere wiskunde, wat een duidelijke integraal is. Zoals je weet, de oplossing bepaalde integraal er is een functie waarvan de afgeleide een integrand geeft. Deze functie: wordt primitief genoemd. Volgens dit principe worden de basisintegralen geconstrueerd.
Bepaal aan de hand van de vorm van de integrand in welke van de tabelintegralen past deze zaak. Het is niet altijd mogelijk om dit direct vast te stellen. Vaak wordt de tabelvorm pas merkbaar na verschillende transformaties om de integrand te vereenvoudigen.

Variabele vervangingsmethode

Als de integrand is trigonometrische functie, waarvan het argument een polynoom is, probeer dan de variabele vervangingsmethode te gebruiken. Om dit te doen, vervangt u de polynoom in het argument van de integrand door een nieuwe variabele. Bepaal op basis van de verhouding tussen de nieuwe en oude variabele de nieuwe integratiegrenzen. Door deze uitdrukking te differentiëren, vind je een nieuw differentieel in . Zo ontvang je de nieuwe soort de voormalige integraal, dichtbij of zelfs overeenkomend met een tabel.

Oplossing van integralen van de tweede soort

Als de integraal een integraal is van de tweede soort, de vectorvorm van de integrand, dan moet je de regels gebruiken om van deze integralen naar scalaire integralen te gaan. Een van die regels is de Ostrogradsky-Gauss-ratio. deze wet stelt u in staat om van de stroom van de rotor naar een bepaalde vector functie tot de drievoudige integraal over de divergentie van het gegeven vectorveld.

Substitutie van integratiegrenzen

Na het vinden van het antiderivaat, is het noodzakelijk om de limieten van integratie te vervangen. Vul eerst de waarde in bovenste grenswaarde in de uitdrukking voor het antiderivaat. Je krijgt een nummer. Trek vervolgens van het resulterende getal een ander getal af, de resulterende ondergrens van het primitieve. Als een van de integratielimieten oneindig is, vervangt u deze door anti-afgeleide functie het is noodzakelijk om tot het uiterste te gaan en te vinden waar de uitdrukking naar neigt.
Als de integraal tweedimensionaal of driedimensionaal is, moet u de geometrische limieten van integratie weergeven om te begrijpen hoe u de integraal kunt berekenen. In het geval van bijvoorbeeld een driedimensionale integraal kunnen de integratiegrenzen hele vlakken zijn die het te integreren volume begrenzen.