Is er een inverse matrix. hogere wiskunde

We blijven praten over acties met matrices. Tijdens het bestuderen van deze lezing leer je namelijk hoe je de inverse matrix kunt vinden. Leren. Zelfs als de wiskunde krap is.

Wat is een inverse matrix? Hier kunnen we een analogie trekken met reciprocals: denk bijvoorbeeld aan het optimistische getal 5 en zijn reciproke. Het product van deze getallen is gelijk aan één: . Zo is het ook met matrices! Het product van een matrix en zijn inverse is - identiteitsmatrix, wat de matrixanaloog is van de numerieke eenheid. Maar eerst zullen we een belangrijk praktisch probleem oplossen, namelijk, we zullen leren hoe we deze zeer inverse matrix kunnen vinden.

Wat moet je weten en kunnen vinden in de inverse matrix? Je moet kunnen beslissen determinanten. Je moet begrijpen wat is Matrix en in staat zijn om enkele acties met hen uit te voeren.

Er zijn twee hoofdmethoden om de inverse matrix te vinden:
door het gebruiken van algebraïsche optellingen en elementaire transformaties gebruiken.

Vandaag zullen we de eerste, gemakkelijkere manier bestuderen.

Laten we beginnen met de meest verschrikkelijke en onbegrijpelijke. Beschouwen vierkant Matrix . De inverse matrix kan worden gevonden met behulp van de volgende formule::

Waar is de determinant van de matrix, is de getransponeerde matrix van algebraïsche complementen van de overeenkomstige elementen van de matrix.

Het concept van een inverse matrix bestaat alleen voor vierkante matrices, matrices "twee bij twee", "drie bij drie", enz.

Notatie: Zoals je waarschijnlijk al gemerkt hebt, wordt de inverse van een matrix aangegeven met een superscript

Laten we beginnen met het eenvoudigste geval - een twee-bij-twee matrix. Meestal is natuurlijk "drie bij drie" vereist, maar desalniettemin raad ik ten zeerste aan om een eenvoudigere taak te bestuderen om het algemene principe van de oplossing te leren.

Voorbeeld:

Vind de inverse van een matrix

Wij bepalen. De volgorde van acties is handig ontleed in punten.

1) Eerst vinden we de determinant van de matrix.

Als het begrip van deze actie niet goed is, lees dan het materiaal Hoe de determinant berekenen?

Belangrijk! Als de determinant van de matrix is NUL– inverse matrix BESTAAT NIET.

In het beschouwde voorbeeld, zo bleek, betekent dat alles in orde is.

2) Zoek de matrix van minderjarigen.

Om ons probleem op te lossen, is het niet nodig om te weten wat een minderjarige is, maar het is raadzaam om het artikel te lezen Hoe de determinant te berekenen?.

De matrix van minoren heeft dezelfde afmetingen als de matrix, dus in dit geval.
De zaak is klein, het blijft om vier cijfers te vinden en ze in plaats van sterretjes te plaatsen.

Terug naar onze matrix
Laten we eerst naar het element linksboven kijken:

Hoe het te vinden? minderjarige?
En dit gaat als volgt: streep MENTAAL de rij en kolom door waarin dit element staat:

Het resterende aantal is mineur van het gegeven element, die we in onze matrix van minderjarigen schrijven:

Beschouw het volgende matrixelement:

Doorstreep mentaal de rij en kolom waarin dit element zich bevindt:

Wat overblijft is de minor van dit element, die we in onze matrix schrijven:

Evenzo beschouwen we de elementen van de tweede rij en vinden hun minderjarigen:

Klaar.

Het is makkelijk. In de minorenmatrix heb je nodig WIJZIG TEKENS voor twee nummers:

Het zijn deze cijfers die ik heb omcirkeld!

is de matrix van algebraïsche complementen van de overeenkomstige elementen van de matrix.

En gewoon iets...

4) Vind de getransponeerde matrix van algebraïsche optellingen.

is de getransponeerde matrix van algebraïsche complementen van de overeenkomstige elementen van de matrix.

5) Antwoord:.

Onthoud onze formule
Allemaal gevonden!

De inverse matrix is dus:

Het is het beste om het antwoord te laten zoals het is. NIET NODIG deel elk element van de matrix door 2, aangezien fractionele getallen worden verkregen. Deze nuance wordt in hetzelfde artikel in meer detail besproken. Acties met matrices.

Hoe de oplossing controleren?

Matrixvermenigvuldiging moet ofwel worden uitgevoerd:

Inspectie:

al genoemd identiteitsmatrix is een matrix met eenheden aan hoofddiagonaal en nullen elders.

De inverse matrix wordt dus correct gevonden.

Als je een actie uitvoert, is het resultaat ook een identiteitsmatrix. Dit is een van de weinige gevallen waarin matrixvermenigvuldiging permuteerbaar is, meer informatie is te vinden in het artikel Eigenschappen van bewerkingen op matrices. Matrixuitdrukkingen. Merk ook op dat tijdens de controle de constante (breuk) naar voren wordt gehaald en helemaal aan het einde wordt verwerkt - na de matrixvermenigvuldiging. Dit is een standaard opname.

Laten we verder gaan met een in de praktijk vaker voorkomend geval - de drie-bij-drie-matrix:

Voorbeeld:

Vind de inverse van een matrix

Het algoritme is precies hetzelfde als voor het geval van twee bij twee.

We vinden de inverse matrix met de formule: , waar is de getransponeerde matrix van algebraïsche complementen van de overeenkomstige elementen van de matrix.

1) Vind de matrixdeterminant.

Hier wordt de determinant onthuld op de eerste regel.

Vergeet dat ook niet, wat betekent dat alles in orde is - inverse matrix bestaat.

2) Zoek de matrix van minderjarigen.

De matrix van minderjarigen heeft de dimensie "drie bij drie" , en we moeten negen getallen vinden.

Ik zal een paar minoren in detail bekijken:

Beschouw het volgende matrixelement:

Doorstreep MENTAAL de rij en kolom waarin dit element staat:

De overige vier getallen zijn geschreven in de determinant "twee bij twee"

Deze twee-bij-twee determinant en is een minor van het gegeven element. Het moet worden berekend:

Alles, de minor is gevonden, schrijven we in onze matrix van minoren:

Zoals je misschien al geraden hebt, zijn er negen twee-bij-twee determinanten om te berekenen. Het proces is natuurlijk somber, maar de zaak is niet de moeilijkste, het kan erger.

Nou, om te consolideren - nog een minderjarige op de foto's vinden:

Probeer zelf de rest van de minoren te berekenen.

Eindresultaat:
is de matrix van minderjarigen van de overeenkomstige elementen van de matrix.

Dat alle minderjarigen negatief bleken te zijn, is puur toeval.

3) Vind de matrix van algebraïsche optellingen.

In de minorenmatrix is het nodig WIJZIG TEKENS strikt voor de volgende elementen:

In dit geval:

Het vinden van de inverse matrix voor de "vier bij vier" -matrix wordt niet overwogen, omdat alleen een sadistische leraar een dergelijke taak kan geven (voor de student om één "vier bij vier" determinant en 16 "drie bij drie" determinanten te berekenen) . In mijn praktijk was er maar één zo'n geval, en de klant van de test betaalde heel duur voor mijn kwelling =).

In een aantal studieboeken, handleidingen, kun je een iets andere benadering vinden om de inverse matrix te vinden, maar ik raad aan om het bovenstaande oplossingsalgoritme te gebruiken. Waarom? Omdat de kans op verwarring in berekeningen en tekens veel kleiner is.

De inverse matrix vinden.

In dit artikel gaan we in op het concept van een inverse matrix, de eigenschappen en manieren om deze te vinden. Laten we in detail stilstaan bij het oplossen van voorbeelden waarin het nodig is om een inverse matrix te construeren voor een gegeven.

Paginanavigatie.

Inverse matrix - definitie.

De inverse matrix vinden met behulp van een matrix van algebraïsche optellingen.

Eigenschappen van de inverse matrix.

De inverse matrix vinden met de Gauss-Jordan-methode.

Elementen van de inverse matrix vinden door de overeenkomstige stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen op te lossen.

Inverse matrix - definitie.

Het concept van een inverse matrix wordt alleen geïntroduceerd voor vierkante matrices waarvan de determinant anders is dan nul, dat wil zeggen voor niet-singuliere vierkante matrices.

Definitie.

Matrixheet de inverse van de matrix, waarvan de determinant anders is dan nul, als gelijkheden waar zijn , waar E is de identiteitsmatrix van orde n op de n.

De inverse matrix vinden met behulp van een matrix van algebraïsche optellingen.

Hoe de inverse matrix voor een gegeven te vinden?

Eerst hebben we de concepten nodig getransponeerde matrix, de matrix minor en het algebraïsche complement van het matrixelement.

Definitie.

Minderjarigek-th bestellen matrices EEN bestellen m op de n is de determinant van de ordematrix k op de k, die wordt verkregen uit de elementen van de matrix MAAR bevindt zich in de geselecteerde k lijnen en k kolommen. ( k niet groter is dan het kleinste getal m of n).

Minderjarige (n-1)de volgorde, die bestaat uit de elementen van alle rijen, behalve ik-deze, en alle kolommen behalve j-th, vierkante matrix MAAR bestellen n op de n laten we het aanduiden als .

Met andere woorden, de minor wordt verkregen uit de vierkante matrix MAAR bestellen n op de n elementen doorhalen ik-deze lijnen en j-th kolom.

Laten we bijvoorbeeld schrijven, minor 2e volgorde, die wordt verkregen uit de matrix selectie van elementen van de tweede, derde rij en eerste, derde kolommen . We tonen ook de minor, die wordt verkregen uit de matrix de tweede rij en derde kolom verwijderen . Laten we de opbouw van deze minoren illustreren: en .

Definitie.

algebraïsche optelling element van een vierkante matrix heet de minor (n-1)de volgorde, die wordt verkregen uit de matrix MAAR, het verwijderen van elementen van zijn ik-deze lijnen en j-th kolom vermenigvuldigd met .

Het algebraïsche complement van een element wordt aangeduid als . Dus, .

Bijvoorbeeld voor een matrix het algebraïsche complement van het element is .

Ten tweede hebben we twee eigenschappen van de determinant nodig, die we in de sectie hebben besproken: matrix determinant berekening:

Op basis van deze eigenschappen van de determinant zijn de definities bewerkingen van het vermenigvuldigen van een matrix met een getal en het concept van een inverse matrix, we hebben de gelijkheid , waar is een getransponeerde matrix waarvan de elementen algebraïsche complementen zijn .

Matrix is inderdaad de inverse van de matrix MAAR, aangezien de gelijkheden . Laten we het laten zien

Laten we componeren inverse matrix algoritme gelijkheid gebruiken .

Laten we het algoritme voor het vinden van de inverse matrix analyseren aan de hand van een voorbeeld.

Voorbeeld.

Gegeven een matrix . Zoek de inverse matrix.

Oplossing.

Bereken de matrixdeterminant MAAR, uitbreiden met de elementen van de derde kolom:

De determinant is niet nul, dus de matrix MAAR omkeerbaar.

Laten we een matrix vinden van algebraïsche optellingen:

Dat is waarom

Laten we de transpositie van de matrix uitvoeren vanuit algebraïsche optellingen:

Nu vinden we de inverse matrix als :

Laten we het resultaat controleren:

Gelijkwaardigheid worden uitgevoerd, daarom wordt de inverse matrix correct gevonden.

Eigenschappen van de inverse matrix.

Concept van inverse matrix, gelijkheid , de definities van bewerkingen op matrices en de eigenschappen van de determinant van een matrix maken het mogelijk om het volgende te onderbouwen inverse matrix eigenschappen:

Elementen van de inverse matrix vinden door de overeenkomstige stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen op te lossen.

Overweeg een andere manier om de inverse matrix voor een vierkante matrix te vinden MAAR bestellen n op de n.

Deze methode is gebaseerd op de oplossing: n stelsels van lineaire inhomogene algebraïsche vergelijkingen met n onbekend. De onbekende variabelen in deze stelsels van vergelijkingen zijn de elementen van de inverse matrix.

Het idee is heel eenvoudig. Geef de inverse matrix aan als X, dat is, . Omdat per definitie van de inverse matrix , dan

Door de corresponderende elementen te vergelijken met kolommen, krijgen we n stelsels lineaire vergelijkingen

We lossen ze op wat voor manier dan ook op en vormen een inverse matrix van de gevonden waarden.

Laten we deze methode analyseren met een voorbeeld.

Voorbeeld.

Gegeven een matrix . Zoek de inverse matrix.

Oplossing.

Aanvaarden . Gelijkheid geeft ons drie stelsels van lineaire niet-homogene algebraïsche vergelijkingen:

We zullen de oplossing van deze systemen niet beschrijven; raadpleeg indien nodig de sectie oplossing van stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen.

Van het eerste stelsel vergelijkingen hebben we, van het tweede -, van het derde -. Daarom heeft de gewenste inverse matrix de vorm . We raden aan om te controleren of het resultaat correct is.

Samenvatten.

We hebben het concept van een inverse matrix, zijn eigenschappen en drie methoden om het te vinden, overwogen.

Voorbeeld van inverse matrixoplossingen

Oefening 1. Los SLAE op met behulp van de inverse matrixmethode. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x4 = 4

Vorm begin

Einde van formulier

Oplossing. Laten we de matrix in de vorm schrijven: Vector B: B T = (1,2,3,4) Grote determinant Minor voor (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Minor voor (2,1): = 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Minor voor (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Minor voor (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Kleine determinant ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

getransponeerde matrix Algebraïsche complementen ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 1.3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1.4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2.1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4 )+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2,2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2,3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5)+1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3.1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3.2 = -2 (7 1-2 4 )-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3,3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4-5 4) = 1 ∆ 3.4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4.1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4.2 = 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4.3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4.4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6- 3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Inverse matrix Resultaat Vector X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1

zie ook SLAE-oplossingen volgens de inverse matrixmethode online. Om dit te doen, voert u uw gegevens in en krijgt u een beslissing met gedetailleerde opmerkingen.

Taak 2. Schrijf het stelsel vergelijkingen in matrixvorm en los het op met behulp van de inverse matrix. Controleer de verkregen oplossing. Oplossing:xml:xls

Voorbeeld 2. Schrijf het stelsel vergelijkingen in matrixvorm en los op met behulp van de inverse matrix. Oplossing:xml:xls

Voorbeeld. Een stelsel van drie lineaire vergelijkingen met drie onbekenden wordt gegeven. Vereist: 1) vind de oplossing met behulp van formules van Cramer; 2) schrijf het systeem in matrixvorm en los het op met matrixberekening. Richtlijnen. Na het oplossen met de methode van Cramer, zoek je de knop "Inverse matrixoplossing voor initiële gegevens". U krijgt een passende beschikking. De gegevens hoeven dus niet opnieuw ingevuld te worden. Oplossing. Geef aan met A - de matrix van coëfficiënten voor onbekenden; X - kolommatrix van onbekenden; B - matrix-kolom van gratis leden:

Vector B: B T =(4,-3,-3) Gegeven deze notaties heeft dit stelsel vergelijkingen de volgende matrixvorm: A*X = B. Als de matrix A niet gedegenereerd is (de determinant is niet nul, dan heeft inverse matrix A -1. Door beide zijden van de vergelijking te vermenigvuldigen met A -1, krijgen we: A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A \u003d E. Deze gelijkheid wordt genoemd matrixnotatie van de oplossing van het stelsel lineaire vergelijkingen. Om een oplossing voor het stelsel vergelijkingen te vinden, is het nodig om de inverse matrix A -1 te berekenen. Het systeem heeft een oplossing als de determinant van de matrix A niet nul is. Laten we de belangrijkste determinant vinden. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Dus de determinant is 14 ≠ 0, dus we gaan door met de oplossing. Om dit te doen, vinden we de inverse matrix door middel van algebraïsche optellingen. Laten we een niet-singuliere matrix A hebben:

We berekenen algebraïsche optellingen.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Inspectie. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc:xml:xls Antwoorden: -1,1,2.

Om de inverse matrix online te vinden, moet u de grootte van de matrix zelf opgeven. Om dit te doen, klikt u op de pictogrammen "+" of "-" totdat de waarde van het aantal kolommen en rijen bij u past. Voer vervolgens de vereiste elementen in de velden in. Hieronder vindt u de knop "Berekenen" - door erop te klikken, krijgt u een antwoord met een gedetailleerde oplossing op het scherm.

In lineaire algebra komt men vaak het proces van het berekenen van de inverse van een matrix tegen. Het bestaat alleen voor niet-uitgedrukte matrices en voor vierkante matrices op voorwaarde dat de determinant niet nul is. In principe is het niet bijzonder moeilijk om het te berekenen, zeker niet als je met een kleine matrix te maken hebt. Maar als u complexere berekeningen of een grondige dubbele controle van uw beslissing nodig heeft, is het beter om deze online calculator te gebruiken. Hiermee kunt u de inverse matrix snel en nauwkeurig oplossen.

Met deze online rekenmachine kunt u uw taak aanzienlijk vereenvoudigen op het gebied van berekeningen. Bovendien helpt het om het in theorie verkregen materiaal te consolideren - dit is een soort simulator voor de hersenen. Het moet niet worden beschouwd als een vervanging voor handmatige berekeningen, het kan u veel meer opleveren, waardoor het gemakkelijker wordt om het algoritme zelf te begrijpen. Bovendien kan het nooit kwaad om jezelf te controleren.

De matrix $A^(-1)$ wordt de inverse van de vierkante matrix $A$ genoemd als $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, waarbij $E $ is de identiteitsmatrix, waarvan de volgorde gelijk is aan de volgorde van de matrix $A$.

Een niet-singuliere matrix is een matrix waarvan de determinant niet gelijk is aan nul. Dienovereenkomstig is een gedegenereerde matrix er een waarvan de determinant gelijk is aan nul.

De inverse matrix $A^(-1)$ bestaat als en slechts als de matrix $A$ niet-singulier is. Als de inverse matrix $A^(-1)$ bestaat, dan is deze uniek.

Er zijn verschillende manieren om de inverse van een matrix te vinden, en we zullen er twee bekijken. Op deze pagina zullen we de adjunct-matrixmethode beschouwen, die als standaard wordt beschouwd in de meeste hogere wiskundecursussen. De tweede manier om de inverse matrix (methode van elementaire transformaties) te vinden, waarbij gebruik wordt gemaakt van de Gauss-methode of de Gauss-Jordan-methode, wordt in het tweede deel besproken.

Adjoint (union) matrixmethode

Laat de matrix $A_(n\times n)$ gegeven worden. Om de inverse matrix $A^(-1)$ te vinden, zijn drie stappen vereist:

Zoek de determinant van de matrix $A$ en zorg ervoor dat $\Delta A\neq 0$, d.w.z. dat de matrix A niet gedegenereerd is.
Stel algebraïsche complementen $A_(ij)$ van elk element van de matrix $A$ op en noteer de matrix $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ van de gevonden algebraïsche complementen.
Schrijf de inverse matrix rekening houdend met de formule $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

De matrix $(A^(*))^T$ wordt vaak de adjoint (wederzijdse, verwante) matrix van $A$ genoemd.

Als de beslissing handmatig wordt genomen, is de eerste methode alleen goed voor matrices van relatief kleine orders: tweede (), derde (), vierde (). Om de inverse matrix voor een matrix van hogere orde te vinden, worden andere methoden gebruikt. Bijvoorbeeld de Gauss-methode, die in het tweede deel wordt besproken.

Voorbeeld 1

Vind matrix inverse to matrix $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Aangezien alle elementen van de vierde kolom gelijk zijn aan nul, dan is $\Delta A=0$ (d.w.z. de matrix $A$ is gedegenereerd). Aangezien $\Delta A=0$, is er geen matrix inverse van $A$.

Voorbeeld #2

Zoek de matrix inverse van de matrix $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.

We gebruiken de adjoint matrix methode. Laten we eerst de determinant van de gegeven matrix $A$ zoeken:

$$ \Delta A=\links| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Aangezien $\Delta A \neq 0$, dan bestaat de inverse matrix, dus gaan we verder met de oplossing. Algebraïsche complementen vinden

\begin(uitgelijnd) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(uitgelijnd)

Stel een matrix van algebraïsche complementen samen: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Transponeer de resulterende matrix: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (de resulterende matrix wordt vaak de adjoint of uniematrix genoemd naar de matrix $A$). Met behulp van de formule $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, hebben we:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Dus de inverse matrix wordt gevonden: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \rechts) $. Om de waarheid van het resultaat te controleren, volstaat het om de waarheid van een van de gelijkheden te controleren: $A^(-1)\cdot A=E$ of $A\cdot A^(-1)=E$. Laten we eens kijken naar de gelijkheid $A^(-1)\cdot A=E$. Om minder met breuken te werken, vervangen we de matrix $A^(-1)$ niet in de vorm $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ maar als $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ end(array )\right)$:

Antwoorden: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Voorbeeld #3

Zoek de inverse van de matrix $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$.

Laten we beginnen met het berekenen van de determinant van de matrix $A$. De determinant van de matrix $A$ is dus:

$$ \Delta A=\links| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Aangezien $\Delta A\neq 0$, dan bestaat de inverse matrix, dus gaan we verder met de oplossing. We vinden de algebraïsche complementen van elk element van de gegeven matrix:

We stellen een matrix van algebraïsche optellingen samen en transponeren deze:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$

Met behulp van de formule $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, krijgen we:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Dus $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Om de waarheid van het resultaat te controleren, volstaat het om de waarheid van een van de gelijkheden te controleren: $A^(-1)\cdot A=E$ of $A\cdot A^(-1)=E$. Laten we eens kijken naar de gelijkheid $A\cdot A^(-1)=E$. Om minder met breuken te werken, vervangen we de matrix $A^(-1)$ niet in de vorm $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, maar als $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

De controle is geslaagd, de inverse matrix $A^(-1)$ is correct gevonden.

Antwoorden: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Voorbeeld #4

Vind matrix inverse van $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

Voor een matrix van de vierde orde is het vinden van de inverse matrix met behulp van algebraïsche optellingen enigszins moeilijk. Dergelijke voorbeelden zijn echter te vinden in de controlewerken.

Om de inverse matrix te vinden, moet u eerst de determinant van de matrix $A$ berekenen. De beste manier om dit in deze situatie te doen, is door de determinant op een rij (kolom) uit te breiden. We selecteren een rij of kolom en vinden het algebraïsche complement van elk element van de geselecteerde rij of kolom.

Vergelijkbaar met inverses in veel eigenschappen.

Encyclopedisch YouTube

1 / 5

✪ Hoe inverse matrix te vinden - bezbotvy

✪ Inverse matrix (2 manieren om te vinden)

✪ Omgekeerde matrix #1

✪ 2015-01-28. Inverse matrix 3x3

✪ 2015-01-27. Inverse matrix 2x2

Ondertitels

Inverse matrixeigenschappen

det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), waar det (\displaystyle \ \det ) duidt een determinant aan.
(A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) voor twee vierkante inverteerbare matrices EEN (\displaystyle A) en B (\displaystyle B).
(A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), waar (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) geeft de getransponeerde matrix aan.
(k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) voor elke coëfficiënt k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
E − 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
Als het nodig is om een stelsel lineaire vergelijkingen op te lossen, (b is een vector die niet nul is), waarbij x (\displaystyle x) is de gewenste vector, en als A − 1 (\displaystyle A^(-1)) bestaat, dan x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Anders is de afmeting van de oplossingsruimte groter dan nul, of zijn er helemaal geen.

Manieren om de inverse matrix te vinden

Als de matrix omkeerbaar is, kunt u een van de volgende methoden gebruiken om de inverse van de matrix te vinden:

Exacte (directe) methoden

Gauss-Jordanische methode

Laten we twee matrices nemen: zichzelf EEN en single E. Laten we de matrix brengen EEN aan de identiteitsmatrix door de Gauss-Jordan-methode door transformaties in rijen toe te passen (u kunt ook transformaties in kolommen toepassen, maar niet in een mix). Nadat u elke bewerking op de eerste matrix hebt toegepast, past u dezelfde bewerking toe op de tweede. Wanneer de reductie van de eerste matrix tot de identiteitsvorm is voltooid, zal de tweede matrix gelijk zijn aan Een -1.

Bij gebruik van de Gauss-methode wordt de eerste matrix van links vermenigvuldigd met een van de elementaire matrices Λ ik (\ Displaystyle \ Lambda _ (i))(transvectie of diagonaal-matrix met eenheden op de hoofddiagonaal, behalve één positie):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\ Displaystyle \ Lambda _ (1) \ cdot \ dots \ cdot \ Lambda _ (n) \ cdot A = \ Lambda A = E \Rechts \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − een n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).

De tweede matrix na het toepassen van alle bewerkingen is gelijk aan Λ (\displaystyle \Lambda), dat wil zeggen, zal de gewenste zijn. De complexiteit van het algoritme - O (n 3) (\ Displaystyle O (n ^ (3))).

De matrix van algebraïsche optellingen gebruiken

Matrix Inverse Matrix EEN (\displaystyle A), vertegenwoordigen in de vorm

A − 1 = bijvoeglijk naamwoord (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

waar adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- bijgevoegde matrix;

De complexiteit van het algoritme hangt af van de complexiteit van het algoritme voor het berekenen van de determinant O det en is gelijk aan O(n²) O det .

LU/LUP-decompositie gebruiken

Matrixvergelijking EEN X = ik n (\displaystyle AX=I_(n)) voor inverse matrix X (\displaystyle X) kan worden bekeken als een verzameling n (\displaystyle n) systemen van de vorm A x = b (\displaystyle Ax=b). noem ik (\displaystyle ik)-de kolom van de matrix X (\displaystyle X) door X ik (\displaystyle X_(i)); dan EEN X ik = e ik (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), ik = 1 , ... , n (\displaystyle i=1,\ldots,n),omdat de ik (\displaystyle ik)-de kolom van de matrix Ik n (\ Displaystyle I_ (n)) is de eenheidsvector e ik (\ Displaystyle e_ (i)). met andere woorden, het vinden van de inverse matrix wordt gereduceerd tot het oplossen van n vergelijkingen met dezelfde matrix en verschillende rechterkanten. Na het uitvoeren van de LUP-uitbreiding (tijd O(n³)) kost elk van de n vergelijkingen O(n²) tijd om op te lossen, dus dit deel van het werk kost ook O(n³) tijd.

Als de matrix A niet-singulier is, kunnen we de LUP-decompositie ervoor berekenen P A = L U (\ Displaystyle PA = LU). Laten P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Dan kunnen we uit de eigenschappen van de inverse matrix schrijven: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Als we deze gelijkheid vermenigvuldigen met U en L, dan krijgen we twee gelijkheden van de vorm U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) en DL = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). De eerste van deze gelijkheden is een stelsel van n² lineaire vergelijkingen voor n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) waarvan de rechterkant bekend is (van de eigenschappen van driehoekige matrices). De tweede is ook een stelsel van n² lineaire vergelijkingen voor n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) waarvan de rechterkant bekend is (ook van de eigenschappen van driehoekige matrices). Samen vormen ze een systeem van n² gelijkheden. Met behulp van deze gelijkheden kunnen we recursief alle n² elementen van de matrix D bepalen. Dan krijgen we uit de gelijkheid (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. de gelijkheid EEN − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

In het geval van het gebruik van de LU-decompositie, is geen permutatie van de kolommen van de matrix D vereist, maar de oplossing kan divergeren, zelfs als de matrix A niet-singulier is.

De complexiteit van het algoritme is O(n³).

Iteratieve methoden

Schultz-methoden

( Ψ k = E − EEN U k , U k + 1 = U k ∑ ik = 0 n k ik (\displaystyle (\begin(gevallen)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

Fout schatting

Keuze van initiële benadering

Het probleem van het kiezen van de initiële benadering in de processen van iteratieve matrixinversie die hier worden beschouwd, stelt ons niet in staat ze te behandelen als onafhankelijke universele methoden die concurreren met directe inversiemethoden die bijvoorbeeld gebaseerd zijn op de LU-decompositie van matrices. Er zijn enkele aanbevelingen om te kiezen: U 0 (\displaystyle U_(0)), zorgen voor de vervulling van de voorwaarde ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (de spectrale straal van de matrix is kleiner dan één), wat noodzakelijk en voldoende is voor de convergentie van het proces. In dit geval is het echter eerst vereist om van bovenaf de schatting te weten voor het spectrum van de inverteerbare matrix A of de matrix EEN EEN T (\displaystyle AA^(T))(namelijk, als A een symmetrische positief bepaalde matrix is en ρ (A) ≤ β (\ Displaystyle \ rho (A) \ leq \ beta ), dan kun je U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha) E), waar ; als A een willekeurige niet-singuliere matrix is en ρ (A EEN T) ≤ β (\ Displaystyle \ rho (AA ^ (T)) \ leq \ beta ), stel dan dat U 0 = α EEN T (\displaystyle U_(0)=(\alpha) A^(T)), waar ook α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta))\right)); Natuurlijk kan de situatie worden vereenvoudigd en, gebruikmakend van het feit dat: ρ (A A T) ≤ k A A T k (\ Displaystyle \ rho (AA ^ (T)) \ leq (\ mathcal (k)) AA ^ (T) (\ mathcal (k))), leggen U 0 = EEN T ‖ EEN EEN T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Ten tweede is er met een dergelijke specificatie van de initiële matrix geen garantie dat: ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) zal klein zijn (misschien zelfs) ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), en een hoge orde van convergentiesnelheid zal niet meteen duidelijk zijn.

Voorbeelden

Matrix 2x2

A 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b c a ] = 1 a d − b c [ d − b c a ] . (\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).)

De inversie van een 2x2 matrix is alleen mogelijk onder de voorwaarde dat: een d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).