Waarom aan de belangrijkste eigenschappen van trigonometrische bewerkingen wordt voldaan. Trigonometrie is eenvoudig en duidelijk

Sinus, cosinus, tangens - wanneer u deze woorden uitspreekt in het bijzijn van middelbare scholieren, kunt u er zeker van zijn dat tweederde van hen de interesse in verder gesprek verliest. De reden ligt in het feit dat de basisprincipes van trigonometrie op school volledig geïsoleerd van de realiteit worden onderwezen, en daarom zien studenten het nut niet in van het bestuderen van formules en stellingen.

In feite blijkt dit kennisgebied bij nader inzien zeer interessant, evenals toegepast - trigonometrie wordt gebruikt in astronomie, constructie, natuurkunde, muziek en vele andere gebieden.

Laten we kennis maken met de basisconcepten en verschillende redenen noemen om deze tak van wiskundige wetenschap te bestuderen.

Verhaal

Het is niet bekend op welk moment de mensheid nieuwe trigonometrie begon te creëren. Er is echter gedocumenteerd dat de Egyptenaren al in het tweede millennium voor Christus bekend waren met de basis van deze wetenschap: archeologen vonden een papyrus met een taak waarbij het nodig is om de hellingshoek van de piramide aan twee bekende zijden te vinden.

Wetenschappers van het oude Babylon bereikten serieuzere successen. Omdat ze al eeuwenlang met astronomie bezig waren, beheersten ze een aantal stellingen, introduceerden speciale methoden voor het meten van hoeken, die we tegenwoordig trouwens gebruiken: graden, minuten en seconden werden door de Europese wetenschap geleend in de Grieks-Romeinse cultuur, waarin deze eenheden kwamen van de Babyloniërs.

Er wordt aangenomen dat de beroemde stelling van Pythagoras, die betrekking heeft op de grondbeginselen van trigonometrie, bijna vierduizend jaar geleden bekend was bij de Babyloniërs.

Naam

Letterlijk kan de term 'trigonometrie' worden vertaald als 'meting van driehoeken'. Het belangrijkste object van studie binnen dit deel van de wetenschap gedurende vele eeuwen is een rechthoekige driehoek geweest, of beter gezegd, de relatie tussen de grootte van de hoeken en de lengtes van zijn zijden (tegenwoordig begint de studie van trigonometrie vanuit dit deel van kras). In het leven zijn situaties niet ongebruikelijk wanneer het onmogelijk is om praktisch alle vereiste parameters van een object (of de afstand tot het object) te meten, en dan wordt het noodzakelijk om de ontbrekende gegevens door berekeningen te verkrijgen.

In het verleden kon een persoon bijvoorbeeld de afstand tot ruimtevoorwerpen niet meten, maar pogingen om deze afstanden te berekenen vinden plaats lang voor onze jaartelling. Trigonometrie speelde ook een belangrijke rol bij de navigatie: met enige kennis kon de kapitein 's nachts altijd bij de sterren navigeren en de koers corrigeren.

Basisconcepten

Om trigonometrie vanaf het begin onder de knie te krijgen, moet u een paar basistermen begrijpen en onthouden.

De sinus van een hoek is de verhouding van het tegenoverliggende been tot de hypotenusa. Laten we verduidelijken dat het andere been de zijde is die tegenover de hoek ligt die we overwegen. Dus als de hoek 30 graden is, zal de sinus van deze hoek altijd, voor elke grootte van de driehoek, gelijk zijn aan ½. De cosinus van een hoek is de verhouding van het aangrenzende been tot de hypotenusa.

Tangent is de verhouding van het tegenovergestelde been tot het aangrenzende (of, equivalent, de verhouding van sinus tot cosinus). De cotangens is de eenheid gedeeld door de tangens.

Het is de moeite waard om het beroemde getal Pi (3,14 ...) te noemen, dat de helft is van de lengte van een cirkel met een straal van één eenheid.

Populaire fouten

Mensen die trigonometrie helemaal opnieuw leren, maken een aantal fouten - meestal door onoplettendheid.

Ten eerste moet er bij het oplossen van problemen in de geometrie aan worden herinnerd dat het gebruik van sinussen en cosinuslijnen alleen mogelijk is in een rechthoekige driehoek. Het komt voor dat de leerling “op de machine” de langste zijde van de driehoek als hypotenusa neemt en onjuiste rekenresultaten krijgt.

Ten tweede is het in het begin gemakkelijk om de waarden van sinus en cosinus voor de gekozen hoek te verwarren: bedenk dat de sinus van 30 graden numeriek gelijk is aan de cosinus van 60, en omgekeerd. Als u het verkeerde getal vervangt, zijn alle verdere berekeningen fout.

Ten derde, totdat het probleem volledig is opgelost, is het niet de moeite waard om waarden af ​​te ronden, wortels te extraheren, een gewone breuk als een decimaal te schrijven. Vaak streven leerlingen ernaar om een ​​"mooi" getal in een trigonometrieprobleem te krijgen en onmiddellijk de wortel van drie te extraheren, hoewel na precies één actie deze wortel kan worden verminderd.

Etymologie van het woord "sinus"

De geschiedenis van het woord "sinus" is echt ongebruikelijk. Het feit is dat de letterlijke vertaling van dit woord uit het Latijn "hol" betekent. Dit komt omdat het juiste begrip van het woord verloren ging bij het vertalen van de ene taal naar de andere.

De namen van de trigonometrische basisfuncties zijn afkomstig uit India, waar het concept van de sinus werd aangeduid met het woord "string" in het Sanskriet - het feit is dat het segment, samen met de cirkelboog waarop het rustte, eruitzag als een boog . Tijdens de hoogtijdagen van de Arabische beschaving werden Indiase prestaties op het gebied van trigonometrie geleend en de term werd in de vorm van een transcriptie in de Arabische taal ingevoerd. Toevallig had deze taal al een soortgelijk woord voor depressie, en als de Arabieren het fonetische verschil begrepen tussen een inheems en een geleend woord, dan vertaalden de Europeanen, die wetenschappelijke verhandelingen in het Latijn vertaalden, per ongeluk het Arabische woord, dat had niets te maken met het begrip sinus. We gebruiken ze tot op de dag van vandaag.

Tabellen met waarden

Er zijn tabellen die numerieke waarden bevatten voor sinussen, cosinuslijnen en raaklijnen van alle mogelijke hoeken. Hieronder presenteren we gegevens voor hoeken van 0, 30, 45, 60 en 90 graden, die moeten worden geleerd als een verplicht onderdeel van trigonometrie voor "dummies", omdat het vrij gemakkelijk is om ze te onthouden.

Als het zo is dat de numerieke waarde van de sinus of cosinus van de hoek "uit mijn hoofd vloog", is er een manier om het zelf af te leiden.

geometrische weergave

Laten we een cirkel tekenen, de abscis en ordinaat-assen door het middelpunt trekken. De as van de abscis is horizontaal, de ordinaat-as is verticaal. Ze worden meestal respectievelijk ondertekend met "X" en "Y". Nu trekken we een rechte lijn vanuit het middelpunt van de cirkel op zo'n manier dat we de hoek krijgen die we nodig hebben tussen de cirkel en de X-as. Ten slotte, vanaf het punt waar de rechte lijn de cirkel snijdt, verlagen we de loodlijn op de as X. De lengte van het resulterende segment zal gelijk zijn aan de numerieke waarde van de sinus van onze hoek.

Deze methode is zeer relevant als u de gewenste waarde bent vergeten, bijvoorbeeld bij een examen, en er geen trigonometriehandboek bij de hand is. Op deze manier krijg je niet het exacte cijfer, maar je zult zeker het verschil zien tussen ½ en 1,73 / 2 (sinus en cosinus van een hoek van 30 graden).

Sollicitatie

Een van de eerste specialisten die trigonometrie gebruikten, waren zeelieden die geen ander referentiepunt op volle zee hadden dan de lucht boven hun hoofd. Tegenwoordig zoeken kapiteins van schepen (vliegtuigen en andere vervoerswijzen) niet naar het kortste pad door de sterren, maar nemen ze actief hun toevlucht tot GPS-navigatie, wat onmogelijk zou zijn zonder het gebruik van trigonometrie.

In bijna elk deel van de natuurkunde vind je berekeningen met sinussen en cosinuslijnen: of het nu gaat om de toepassing van kracht in de mechanica, berekeningen van het pad van objecten in de kinematica, trillingen, golfvoortplanting, lichtbreking - je kunt gewoon niet zonder elementaire trigonometrie in formules.

Een ander beroep dat ondenkbaar is zonder trigonometrie is landmeter. Met behulp van een theodoliet en een waterpas, of een meer geavanceerd apparaat - een toerenteller, meten deze mensen het hoogteverschil tussen verschillende punten op het aardoppervlak.

herhaalbaarheid

Trigonometrie houdt zich niet alleen bezig met de hoeken en zijden van een driehoek, hoewel het hier zijn bestaan ​​begon. In alle gebieden waar cycliciteit aanwezig is (biologie, geneeskunde, natuurkunde, muziek, enz.), zul je een grafiek tegenkomen waarvan de naam je waarschijnlijk bekend voorkomt - dit is een sinusoïde.

Zo'n grafiek is een cirkel die zich langs de tijdas ontvouwt en eruitziet als een golf. Als je ooit in een natuurkundeles met een oscilloscoop hebt gewerkt, weet je waar ik het over heb. Zowel de muziekequalizer als de hartslagmeter gebruiken trigonometrische formules in hun werk.

Eindelijk

Bij het nadenken over hoe trigonometrie te leren, beginnen de meeste middelbare en middelbare scholieren het als een moeilijke en onpraktische wetenschap te beschouwen, omdat ze alleen kennis maken met saaie leerboekinformatie.

Wat betreft onpraktisch hebben we al gezien dat het vermogen om sinussen en raaklijnen te hanteren tot op zekere hoogte vereist is in bijna elk werkterrein. En wat betreft de complexiteit ... Denk eraan: als mensen deze kennis meer dan tweeduizend jaar geleden gebruikten, toen een volwassene minder kennis had dan de middelbare scholier van vandaag, is het dan echt mogelijk voor jou persoonlijk om dit gebied van te bestuderen \u200bwetenschap op een basisniveau? Een paar uur nadenkend oefenen met het oplossen van problemen - en je zult je doel bereiken door de basiscursus te bestuderen, de zogenaamde trigonometrie voor "dummies".

Volg deze tips bij het uitvoeren van trigonometrische transformaties:

1. Probeer niet meteen een schema te bedenken om een ​​voorbeeld van begin tot eind op te lossen.
2. Probeer niet het hele voorbeeld in één keer om te zetten. Ga met kleine stapjes vooruit.
3. Onthoud dat u naast trigonometrische formules in trigonometrie nog steeds alle eerlijke algebraïsche transformaties kunt toepassen (haakjestekenen, breuken verkleinen, verkorte vermenigvuldigingsformules, enzovoort).
4. Geloof dat alles goed komt.

Basis trigonometrische formules

De meeste formules in trigonometrie worden vaak zowel van rechts naar links als van links naar rechts toegepast, dus je moet deze formules zo goed leren dat je een formule gemakkelijk in beide richtingen kunt toepassen. Om te beginnen schrijven we de definities van trigonometrische functies op. Laat er een rechthoekige driehoek zijn:

De definitie van sinus is dan:

Definitie van cosinus:

Definitie van raaklijn:

Definitie van cotangens:

Trigonometrische basisidentiteit:

De eenvoudigste uitvloeisels van de trigonometrische basisidentiteit:

Dubbele hoek formules. Sinus van een dubbele hoek:

Cosinus van een dubbele hoek:

Dubbele hoektangens:

Dubbele hoek cotangens:

Aanvullende trigonometrische formules

Trigonometrische optelformules. Sinus van som:

Sinus van verschil:

Cosinus van de som:

Cosinus van verschil:

Tangens van de som:

Verschil raaklijn:

Cotangens van de som:

Verschil cotangens:

Goniometrische formules voor het omzetten van een som naar een product. De som van de sinussen:

sinusverschil:

Som van cosinus:

Cosinus verschil:

som van raaklijnen:

Tangens verschil:

Som van cotangensen:

Cotangens verschil:

Goniometrische formules om een ​​product om te zetten in een som. Het product van sinussen:

Het product van sinus en cosinus:

Product van cosinus:

Graadreductie formules.

Halve hoek formules.

Trigonometrische reductieformules

De cosinusfunctie heet co-functioneren sinusfunctie en vice versa. Evenzo zijn de functies tangens en cotangens cofuncties. De reductieformules kunnen worden geformuleerd als de volgende regel:

• Als in de reductieformule de hoek wordt afgetrokken (opgeteld) van 90 graden of 270 graden, dan verandert de herleidbare functie in een cofunctie;
• Als in de reductieformule de hoek wordt afgetrokken (opgeteld) van 180 graden of 360 graden, dan blijft de naam van de gereduceerde functie behouden;
• In dit geval wordt de gereduceerde functie voorafgegaan door het teken dat de gereduceerde (d.w.z. oorspronkelijke) functie heeft in het overeenkomstige kwartaal, als we de afgetrokken (opgetelde) hoek als scherp beschouwen.

Gegoten formules worden gegeven in de vorm van een tabel:

Door trigonometrische cirkel het is gemakkelijk om tabelwaarden van trigonometrische functies te bepalen:

Goniometrische vergelijkingen

Om een ​​bepaalde goniometrische vergelijking op te lossen, moet deze worden teruggebracht tot een van de eenvoudigste goniometrische vergelijkingen, die hieronder zal worden besproken. Voor deze:

• U kunt de bovenstaande trigonometrische formules toepassen. In dit geval hoeft u niet te proberen het hele voorbeeld in één keer om te zetten, maar moet u in kleine stappen vooruit gaan.
• We mogen de mogelijkheid niet vergeten om een ​​bepaalde uitdrukking te transformeren met behulp van algebraïsche methoden, d.w.z. bijvoorbeeld iets tussen haakjes zetten of, omgekeerd, haakjes openen, een breuk verkleinen, de verkorte vermenigvuldigingsformule toepassen, breuken tot een gemeenschappelijke noemer brengen, enzovoort.
• Bij het oplossen van trigonometrische vergelijkingen, kunt u toepassen: groeperingsmethode:. Er moet aan worden herinnerd dat om het product van verschillende factoren gelijk te maken aan nul, het voldoende is dat elk van hen gelijk is aan nul, en de rest bestond.
• Toepassen variabele vervangingsmethode, zoals gebruikelijk, moet de vergelijking na de introductie van de vervanging eenvoudiger worden en niet de oorspronkelijke variabele bevatten. U moet er ook aan denken om de omgekeerde vervanging uit te voeren.
• Onthoud dat homogene vergelijkingen ook vaak voorkomen in trigonometrie.
• Bij het openen van modules of het oplossen van irrationele vergelijkingen met trigonometrische functies, moet men rekening houden met alle subtiliteiten van het oplossen van de overeenkomstige vergelijkingen met gewone functies.
• Denk aan de ODZ (in trigonometrische vergelijkingen komen de beperkingen op de ODZ er in feite op neer dat je niet door nul kunt delen, maar vergeet andere beperkingen niet, vooral over de positiviteit van uitdrukkingen in rationele krachten en onder wortels van even graden ). Onthoud ook dat sinus- en cosinuswaarden alleen tussen min één en plus één kunnen liggen, inclusief.

Het belangrijkste is, als je niet weet wat je moet doen, doe dan in ieder geval iets, terwijl het belangrijkste is om goniometrische formules correct te gebruiken. Als wat je krijgt steeds beter wordt, ga dan verder met de oplossing, en als het erger wordt, ga dan terug naar het begin en probeer andere formules toe te passen, net zo lang totdat je de juiste oplossing tegenkomt.

Formules voor het oplossen van de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen. Voor de sinus zijn er twee equivalente vormen om de oplossing te schrijven:

Voor andere goniometrische functies is de notatie uniek. Voor cosinus:

Voor raaklijn:

Voor cotangens:

Oplossing van goniometrische vergelijkingen in enkele speciale gevallen:

Leer alle formules en wetten in de natuurkunde, en formules en methoden in de wiskunde. In feite is het ook heel eenvoudig om dit te doen, er zijn slechts ongeveer 200 noodzakelijke formules in de natuurkunde, en zelfs iets minder in de wiskunde. In elk van deze onderwerpen zijn er ongeveer een dozijn standaardmethoden voor het oplossen van problemen van een basisniveau van complexiteit, die ook kunnen worden geleerd, en dus, volledig automatisch en zonder moeite, het grootste deel van de digitale transformatie op het juiste moment oplossen. Daarna hoef je alleen nog maar aan de moeilijkste taken te denken.

Woon alle drie de fasen van repetitietesten in natuurkunde en wiskunde bij. Elke RT kan twee keer worden bezocht om beide opties op te lossen. Nogmaals, op de DT is het naast het vermogen om snel en efficiënt problemen op te lossen en de kennis van formules en methoden ook noodzakelijk om de tijd goed te kunnen plannen, krachten te verdelen en vooral het antwoordformulier correct in te vullen , zonder de aantallen antwoorden en taken, of uw eigen achternaam te verwarren. Ook is het tijdens de RT belangrijk om te wennen aan de stijl van het stellen van vragen bij taken, wat voor een onvoorbereid persoon op de DT erg ongebruikelijk kan lijken.

Een succesvolle, zorgvuldige en verantwoorde implementatie van deze drie punten stelt u in staat om een ​​uitstekend resultaat op de CT te laten zien, het maximale van wat u kunt.

Een fout gevonden?

Als je, naar het lijkt, een fout in het trainingsmateriaal hebt gevonden, schrijf er dan over per mail. U kunt ook over de fout schrijven op het sociale netwerk (). Geef in de brief het onderwerp aan (natuurkunde of wiskunde), de naam of het nummer van het onderwerp of de toets, het nummer van de taak, of de plaats in de tekst (pagina) waar naar jouw mening een fout staat. Beschrijf ook wat de vermeende fout is. Uw brief zal niet onopgemerkt blijven, de fout wordt gecorrigeerd of u krijgt uitleg waarom het geen fout is.

Reeds in 1905 konden Russische lezers in William James' Psychology lezen, zijn redenering over 'waarom is proppen zo'n slechte manier van leren?'

“Kennis verkregen door louter proppen wordt bijna onvermijdelijk volledig spoorloos vergeten. Integendeel, mentaal materiaal, dat geleidelijk door het geheugen wordt verzameld, dag in dag uit, in verband met verschillende contexten, associatief geassocieerd met andere externe gebeurtenissen en herhaaldelijk aan discussie onderworpen, vormt zo'n systeem, gaat zo'n verbinding aan met andere aspecten van ons intellect , wordt gemakkelijk in het geheugen vernieuwd door een massa externe redenen die een solide aanwinst voor de lange termijn blijven.

Sindsdien zijn er meer dan 100 jaar verstreken en deze woorden blijven verbazingwekkend actueel. Dat zie je elke dag als je met scholieren werkt. De massale hiaten in kennis zijn zo groot dat men kan stellen dat een schoolwiskundecursus in didactische en psychologische termen geen systeem is, maar een soort apparaat dat het kortetermijngeheugen stimuleert en helemaal niets geeft om het langetermijngeheugen .

De schoolcursus wiskunde kennen betekent het materiaal van elk van de wiskundegebieden beheersen, om ze op elk moment te kunnen bijwerken. Om dit te bereiken, moet je elk van hen systematisch aanpakken, wat soms niet altijd mogelijk is vanwege de zware werklast in de les.

Er is een andere manier om feiten en formules voor de lange termijn te onthouden - dit zijn referentiesignalen.

Trigonometrie is een van de grote delen van de schoolwiskunde die wordt bestudeerd in de loop van de meetkunde in de klassen 8, 9 en in de loop van de algebra in de 9e klas en het begin van de analyse in de 10e klas.

De grootste hoeveelheid materiaal die in trigonometrie wordt bestudeerd, valt op graad 10. Veel van dit trigonometriemateriaal kan worden geleerd en onthouden trigonometrische cirkel(cirkel van eenheidsstraal gecentreerd op de oorsprong van het rechthoekige coördinatensysteem). Toepassing1.ppt

Dit zijn de volgende concepten van trigonometrie:

• definities van sinus, cosinus, tangens en cotangens van een hoek;
• radiale meting van hoeken;
• domein van definitie en bereik van trigonometrische functies
• waarden van trigonometrische functies voor sommige waarden van numerieke en hoekargumenten;
• periodiciteit van goniometrische functies;
• even en oneven trigonometrische functies;
• toename en afname van goniometrische functies;
• reductie formules;
• waarden van inverse trigonometrische functies;
• oplossing van de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen;
• oplossing van de eenvoudigste ongelijkheden;
• basisformules van trigonometrie.

Overweeg de studie van deze concepten op een trigonometrische cirkel.

1) Definitie van sinus, cosinus, tangens en cotangens.

Na de introductie van het concept van een trigonometrische cirkel (een cirkel met eenheidsstraal gecentreerd op de oorsprong), een beginstraal (straal van een cirkel in de richting van de Ox-as), een rotatiehoek, krijgen de leerlingen zelfstandig definities voor sinus, cosinus , tangens en cotangens op een trigonometrische cirkel, met behulp van definities uit de cursusgeometrie, dat wil zeggen, een rechthoekige driehoek beschouwen met hypotenusa gelijk aan 1.

De cosinus van een hoek is de abscis van een punt op een cirkel wanneer de beginstraal over een bepaalde hoek wordt geroteerd.

De sinus van een hoek is de ordinaat van een punt op een cirkel wanneer de beginstraal met een bepaalde hoek wordt geroteerd.

2) Radiale meting van hoeken op een trigonometrische cirkel.

Na het introduceren van de radiale maat van een hoek (1 radiaal is de centrale hoek, wat overeenkomt met een booglengte gelijk aan de straal van de cirkel), concluderen de leerlingen dat de radiale hoekmeting de numerieke waarde is van de rotatiehoek op de cirkel , gelijk aan de lengte van de corresponderende boog wanneer de initiële straal over een bepaalde hoek wordt geroteerd. .

De trigonometrische cirkel is verdeeld in 12 gelijke delen door de diameters van de cirkel. Wetende dat een hoek een radiaal is, kan men de radiaalmeting bepalen voor hoeken die veelvouden zijn van .

En radiale metingen van hoeken die veelvouden zijn, worden op dezelfde manier verkregen:

3) Domein van definitie en domein van waarden van trigonometrische functies.

Zal de overeenkomst van rotatiehoeken en coördinaatwaarden van een punt op een cirkel een functie zijn?

Elke rotatiehoek komt overeen met een enkel punt op de cirkel, dus deze correspondentie is een functie.

Functies ophalen

Op de trigonometrische cirkel is te zien dat het domein van de definitie van functies de verzameling is van alle reële getallen, en het domein van waarden is .

Laten we de concepten van raaklijnen en cotangensen op een trigonometrische cirkel introduceren.

1) Laten we We introduceren een hulplijn evenwijdig aan de Oy-as, waarop de raaklijnen worden bepaald voor elk numeriek argument.

2) Op dezelfde manier verkrijgen we een lijn van cotangensen. Laat y=1, dan . Dit betekent dat de waarden van de cotangens worden bepaald op een rechte lijn evenwijdig aan de Ox-as.

Op een goniometrische cirkel kan men gemakkelijk het definitiedomein en het waardenbereik van trigonometrische functies bepalen:

voor raaklijn -

voor cotangens -

4) Waarden van goniometrische functies op een goniometrische cirkel.

Het been tegenover de hoek op de helft van de hypotenusa, dat wil zeggen, het andere been volgens de stelling van Pythagoras:

Dus per definitie van sinus, cosinus, tangens, cotangens, kun je waarden bepalen voor hoeken die veelvouden of radialen zijn. De sinuswaarden worden bepaald langs de Oy-as, de cosinuswaarden langs de Ox-as en de tangens- en cotangenswaarden kunnen worden bepaald uit aanvullende assen parallel aan respectievelijk de Oy- en Ox-assen.

De tabelwaarden van sinus en cosinus bevinden zich als volgt op de respectieve assen:

Tabelwaarden van tangens en cotangens -

5) Periodiciteit van goniometrische functies.

Op de trigonometrische cirkel is te zien dat de waarden van de sinus, cosinus elke radiaal worden herhaald, en de tangens en cotangens - elke radiaal.

6) Even en oneven trigonometrische functies.

Deze eigenschap kan worden verkregen door de waarden van positieve en tegengestelde rotatiehoeken van trigonometrische functies te vergelijken. We snappen dat

Daarom is de cosinus een even functie, alle andere functies zijn oneven.

7) Toenemende en afnemende trigonometrische functies.

De goniometrische cirkel laat zien dat de sinusfunctie toeneemt en neemt af

Op dezelfde manier argumenteren we de intervallen van toename en afname van de cosinus-, tangens- en cotangensfuncties.

8) Reductieformules.

Voor de hoek nemen we de kleinere waarde van de hoek op de trigonometrische cirkel. Alle formules worden verkregen door de waarden van trigonometrische functies op de benen van geselecteerde rechthoekige driehoeken te vergelijken.

Algoritme voor het toepassen van reductieformules:

1) Bepaal het teken van de functie bij het roteren over een bepaalde hoek.

Bij het omslaan van een hoek de functie blijft behouden, bij het draaien over een hoek - een geheel getal, een oneven getal, een cofunctie wordt verkregen (

9) Waarden van inverse trigonometrische functies.

We introduceren inverse functies voor trigonometrische functies met behulp van de definitie van een functie.

Elke waarde van sinus, cosinus, tangens en cotangens op een trigonometrische cirkel komt overeen met slechts één waarde van de rotatiehoek. Dus voor een functie is het domein van definitie , is het domein van waarden - Voor de functie is het domein van definitie , is het domein van waarden . Op dezelfde manier verkrijgen we het domein van de definitie en het bereik van inverse functies voor cosinus en cotangens.

Algoritme voor het vinden van de waarden van inverse trigonometrische functies:

1) op de overeenkomstige as de waarde van het argument van de inverse trigonometrische functie vinden;

2) het vinden van de rotatiehoek van de initiële straal, rekening houdend met het waardenbereik van de inverse trigonometrische functie.

Bijvoorbeeld:

10) Oplossing van de eenvoudigste vergelijkingen op een trigonometrische cirkel.

Om een ​​vergelijking van de vorm op te lossen, vinden we punten op een cirkel waarvan de ordinaat gelijk is en schrijven we de bijbehorende hoeken op, rekening houdend met de periode van de functie.

Voor de vergelijking vinden we punten op de cirkel waarvan de abscis gelijk is en noteren we de bijbehorende hoeken, rekening houdend met de periode van de functie.

Evenzo voor vergelijkingen van de vorm De waarden worden bepaald op de raaklijnen en cotangensen en de bijbehorende rotatiehoeken worden vastgelegd.

Alle concepten en formules van trigonometrie worden door de leerlingen zelf ontvangen onder duidelijke begeleiding van de docent met behulp van een goniometrische cirkel. In de toekomst zal deze "cirkel" dienen als een referentiesignaal voor hen of een externe factor voor het reproduceren in het geheugen van de concepten en formules van trigonometrie.

De studie van trigonometrie op een trigonometrische cirkel draagt ​​bij aan:

• het kiezen van de communicatiestijl die optimaal is voor deze les, het organiseren van educatieve samenwerking;
• lesdoelen worden persoonlijk belangrijk voor elke student;
• nieuw materiaal is gebaseerd op de persoonlijke ervaring van handelen, denken, voelen van de student;
• de les omvat verschillende werkvormen en manieren om kennis te verwerven en te verwerken; er zijn elementen van wederzijds en zelflerend; zelf- en onderlinge controle;
• er wordt snel gereageerd op misverstanden en fouten (gezamenlijke discussie, support-hints, onderling overleg).

In deze les zullen we praten over hoe de noodzaak ontstaat voor de introductie van trigonometrische functies en waarom ze worden bestudeerd, wat je moet begrijpen in dit onderwerp en waar je gewoon je hand hoeft te vullen (wat een techniek is). Merk op dat techniek en begrip twee verschillende dingen zijn. Mee eens, er is een verschil: leren fietsen, dat wil zeggen begrijpen hoe het moet, of profwielrenner worden. We zullen praten over begrip, over waarom we trigonometrische functies nodig hebben.

Er zijn vier goniometrische functies, maar ze kunnen allemaal worden uitgedrukt in termen van één met behulp van identiteiten (gelijkheden die ze verbinden).

Formele definities van goniometrische functies voor scherpe hoeken in rechthoekige driehoeken (Fig. 1).

sinus De scherpe hoek van een rechthoekige driehoek wordt de verhouding van het tegenovergestelde been tot de hypotenusa genoemd.

cosinus De scherpe hoek van een rechthoekige driehoek wordt de verhouding van het aangrenzende been tot de hypotenusa genoemd.

raaklijn De scherpe hoek van een rechthoekige driehoek wordt de verhouding van het tegenoverliggende been tot het aangrenzende been genoemd.

Cotangens De scherpe hoek van een rechthoekige driehoek wordt de verhouding van het aangrenzende been tot het tegenoverliggende been genoemd.

Rijst. 1. Definitie van goniometrische functies van een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek

Deze definities zijn formeel. Het is juister om te zeggen dat er maar één functie is, bijvoorbeeld sinus. Als ze niet zo nodig waren (niet zo vaak gebruikt) in de technologie, zouden er niet zoveel verschillende trigonometrische functies worden geïntroduceerd.

Bijvoorbeeld, de cosinus van een hoek is gelijk aan de sinus van dezelfde hoek met toevoeging van (). Bovendien kan de cosinus van een hoek altijd worden uitgedrukt in termen van de sinus van dezelfde hoek, tot een teken, met behulp van de trigonometrische basisidentiteit (). De tangens van een hoek is de verhouding van sinus tot cosinus of omgekeerde cotangens (Fig. 2). Sommigen gebruiken de cotangens helemaal niet en vervangen deze door . Daarom is het belangrijk om één goniometrische functie te begrijpen en ermee te kunnen werken.

Rijst. 2. Aansluiting van verschillende goniometrische functies

Maar waarom heb je zulke functies eigenlijk nodig? Voor welke praktische problemen worden ze gebruikt? Laten we een paar voorbeelden bekijken.

Twee personen ( MAAR en BIJ) duw de auto uit de plas (Fig. 3). Menselijk BIJ kan de auto zijwaarts duwen, terwijl het onwaarschijnlijk is dat dit helpt MAAR. Aan de andere kant kan de richting van zijn inspanningen geleidelijk veranderen (Fig. 4).

Rijst. 3. BIJ duwt de auto opzij

Rijst. vier. BIJ begint van richting te veranderen

Het is duidelijk dat hun inspanningen het meest effectief zijn wanneer ze de auto in één richting duwen (Fig. 5).

Rijst. 5. De meest effectieve gezamenlijke richting van inspanningen

Hoeveel BIJ helpt de machine te duwen, voor zover de richting van zijn kracht dicht bij de richting van de kracht waarmee hij werkt is MAAR, is een functie van de hoek en wordt uitgedrukt in termen van zijn cosinus (Fig. 6).

Rijst. 6. Cosinus als kenmerk van de effectiviteit van inspanningen BIJ

Als we de grootte van de kracht vermenigvuldigen waarmee BIJ, op de cosinus van de hoek, krijgen we de projectie van zijn kracht op de richting van de kracht waarmee het werkt MAAR. Hoe dichter de hoek tussen de richtingen van krachten bij , hoe effectiever het resultaat van gezamenlijke acties zal zijn MAAR en BIJ(Afb. 7). Als ze de auto met dezelfde kracht in tegengestelde richting duwen, blijft de auto op zijn plaats (Fig. 8).

Rijst. 7. De effectiviteit van gezamenlijke inspanningen MAAR en BIJ

Rijst. 8. Tegengestelde richting van krachten MAAR en BIJ

Het is belangrijk om te begrijpen waarom we de hoek (zijn bijdrage aan het eindresultaat) kunnen vervangen door de cosinus (of een andere trigonometrische functie van de hoek). In feite volgt dit uit een dergelijke eigenschap van gelijkaardige driehoeken. Omdat we in feite het volgende zeggen: de hoek kan worden vervangen door de verhouding van twee getallen (been-hypotenusa of been-been). Dit zou onmogelijk zijn als, bijvoorbeeld, voor dezelfde hoek van verschillende rechthoekige driehoeken, deze verhoudingen verschillend zouden zijn (Fig. 9).

Rijst. 9. Gelijke verhoudingen van zijden in gelijkaardige driehoeken

Als de verhouding en de verhouding bijvoorbeeld anders waren, zouden we de tangensfunctie niet kunnen introduceren, omdat voor dezelfde hoek in verschillende rechthoekige driehoeken de tangens anders zou zijn. Maar vanwege het feit dat de verhoudingen van de lengtes van de benen van vergelijkbare rechthoekige driehoeken hetzelfde zijn, is de waarde van de functie niet afhankelijk van de driehoek, wat betekent dat de scherpe hoek en de waarden van zijn trigonometrische functies zijn één op één.

Stel dat we de hoogte van een bepaalde boom weten (Fig. 10). Hoe de hoogte van een nabijgelegen gebouw meten?

Rijst. 10. Illustratie van de toestand van voorbeeld 2

We vinden een punt zodanig dat de lijn die door dit punt en de bovenkant van het huis wordt getrokken, door de bovenkant van de boom gaat (Fig. 11).

Rijst. 11. Illustratie van de oplossing van het probleem van voorbeeld 2

We kunnen de afstand van dit punt tot de boom meten, de afstand ervan tot het huis, en we weten de hoogte van de boom. Aan de hand van de verhouding kunt u de hoogte van het huis aflezen:.

Proportie is de verhouding van twee getallen. In dit geval de gelijkheid van de verhouding van de lengtes van de benen van gelijkaardige rechthoekige driehoeken. Bovendien zijn deze verhoudingen gelijk aan een bepaalde hoekmaat, die wordt uitgedrukt in termen van een trigonometrische functie (per definitie is dit een raaklijn). We krijgen dat voor elke scherpe hoek de waarde van zijn trigonometrische functie uniek is. Dat wil zeggen, sinus, cosinus, tangens, cotangens zijn eigenlijk functies, omdat elke scherpe hoek overeenkomt met precies één waarde van elk van hen. Daarom kunnen ze verder worden onderzocht en kunnen hun eigenschappen worden gebruikt. De waarden van de trigonometrische functies voor alle hoeken zijn al berekend, ze kunnen worden gebruikt (ze zijn te vinden in de Bradis-tabellen of met behulp van een technische rekenmachine). Maar om het inverse probleem op te lossen (bijvoorbeeld door de waarde van de sinus te herstellen om de maat van de hoek die ermee overeenkomt te herstellen), kunnen we niet altijd.

Laat de sinus van een hoek gelijk zijn aan of ongeveer (Fig. 12). Welke hoek komt overeen met deze waarde van de sinus? Natuurlijk kunnen we opnieuw de Bradis-tabel gebruiken en een waarde vinden, maar het blijkt dat dit niet de enige zal zijn (Fig. 13).

Rijst. 12. Een hoek vinden door de waarde van zijn sinus

Rijst. 13. Polyvalentie van inverse trigonometrische functies

Daarom is er bij het herstellen van de waarde van de trigonometrische functie van de hoek een polysemie van inverse trigonometrische functies. Het lijkt misschien ingewikkeld, maar in feite worden we elke dag geconfronteerd met soortgelijke situaties.

Als je de ramen sluit en niet weet of het buiten licht of donker is, of als je je in een grot bevindt, dan is het bij het ontwaken moeilijk te zeggen of het nu het uur van de dag, nacht of de volgende dag (afb. 14). Als u ons vraagt ​​"Hoe laat is het?", zouden we eerlijk moeten antwoorden: "Uur plus vermenigvuldigen met waar"

Rijst. 14. Illustratie van polysemie op het voorbeeld van een klok

We kunnen concluderen dat - dit de periode is (het interval waarna de klok dezelfde tijd zal aangeven als nu). Goniometrische functies hebben ook punten: sinus, cosinus, enz. Dat wil zeggen, hun waarden worden herhaald na enige verandering in het argument.

Als de planeet geen verandering van dag en nacht of een verandering van seizoenen zou hebben, dan zouden we geen periodieke tijd kunnen gebruiken. We tellen immers alleen de jaren in oplopende volgorde, en er zijn uren in de dag, en elke nieuwe dag begint de telling opnieuw. De situatie is hetzelfde met maanden: als het nu januari is, dan komt in maanden januari weer, enzovoort. Externe referentiepunten helpen ons om het periodiek tellen van de tijd (uren, maanden) te gebruiken, bijvoorbeeld de rotatie van de aarde om haar as en de verandering in de positie van de zon en de maan aan de hemel. Als de zon altijd in dezelfde positie hing, dan zouden we om de tijd te berekenen het aantal seconden (minuten) tellen sinds het optreden van deze berekening. Datum en tijd zouden dan zo kunnen klinken: een miljard seconden.

Conclusie: er zijn geen moeilijkheden wat betreft de ambiguïteit van inverse functies. Er kunnen inderdaad opties zijn wanneer er voor dezelfde sinus verschillende hoekwaarden zijn (Fig. 15).

Rijst. 15. Herstel van een hoek door de waarde van zijn sinus

Meestal werken we bij het oplossen van praktische problemen altijd in het standaardbereik van tot . In dit bereik zijn er voor elke waarde van de trigonometrische functie slechts twee overeenkomstige waarden voor de maat van de hoek.

Denk aan een bewegende riem en een slinger in de vorm van een emmer met een gat waaruit zand valt. De slinger zwaait, de band beweegt (afb. 16). Als gevolg hiervan zal het zand een spoor achterlaten in de vorm van een grafiek van de sinus (of cosinus) functie, die een sinusgolf wordt genoemd.

In feite verschillen de grafieken van de sinus en cosinus alleen van elkaar in het referentiepunt (als je er een tekent en vervolgens de coördinaatassen uitwist, kun je niet bepalen welke grafiek is getekend). Daarom heeft het geen zin om de cosinusgrafiek te noemen (waarom een ​​aparte naam voor dezelfde grafiek bedenken)?

Rijst. 16. Illustratie van de probleemstelling in voorbeeld 4

Uit de grafiek van de functie kunt u ook begrijpen waarom de inverse functies veel waarden zullen hebben. Als de waarde van de sinus vast is, d.w.z. teken een rechte lijn evenwijdig aan de x-as, dan krijgen we op het snijpunt alle punten waarop de sinus van de hoek gelijk is aan de gegeven. Het is duidelijk dat er oneindig veel van dergelijke punten zullen zijn. Zoals in het voorbeeld met de klok, waar de tijdwaarde verschilde met , zal alleen hier de hoekwaarde een stuk verschillen (Fig. 17).

Rijst. 17. Illustratie van polysemie voor sinus

Als we het klokvoorbeeld beschouwen, dan beweegt het punt (het einde van de uurwijzer) rond de cirkel. Op dezelfde manier kunnen trigonometrische functies worden gedefinieerd - beschouw niet de hoeken in een rechthoekige driehoek, maar de hoek tussen de straal van de cirkel en de positieve richting van de as. Het aantal cirkels dat het punt zal passeren (we hebben afgesproken om de beweging met de klok mee te tellen met een minteken en tegen de klok in met een plusteken), dit is de periode (Fig. 18).

Rijst. 18. De waarde van de sinus op de cirkel

De inverse functie is dus uniek gedefinieerd op een bepaald interval. Voor dit interval kunnen we de waarden ervan berekenen en de rest uit de gevonden waarden halen door de periode van de functie op te tellen en af ​​te trekken.

Beschouw een ander voorbeeld van een periode. De auto rijdt langs de weg. Stel je voor dat haar wiel in de verf of in een plas reed. Af en toe zie je verfvlekken of plassen op de weg (Fig. 19).

Rijst. 19. Illustratie periode

Er zijn veel trigonometrische formules in de schoolcursus, maar over het algemeen is het voldoende om er maar één te onthouden (Fig. 20).

Rijst. 20. Goniometrische formules

De dubbele-hoekformule is net zo gemakkelijk af te leiden uit de sinus van de som door te substitueren (vergelijkbaar met de cosinus). U kunt ook productformules afleiden.

In feite hoeft u maar heel weinig te onthouden, omdat bij het oplossen van problemen deze formules vanzelf worden onthouden. Natuurlijk zal iemand te lui zijn om veel te beslissen, maar dan heeft hij deze techniek en dus de formules zelf niet nodig.

En aangezien de formules niet nodig zijn, hoeft u ze ook niet te onthouden. Je hoeft alleen maar het idee te begrijpen dat trigonometrische functies functies zijn waarmee bijvoorbeeld bruggen worden berekend. Bijna geen enkel mechanisme kan zonder hun gebruik en berekening.

1. Vaak rijst de vraag of draden absoluut evenwijdig aan aarde kunnen zijn. Antwoord: nee, dat kunnen ze niet, omdat de ene kracht naar beneden werkt, terwijl de andere parallel werken - ze zullen nooit in evenwicht zijn (Fig. 21).

2. Zwaan, rivierkreeft en snoek trekken de kar in hetzelfde vlak. De zwaan vliegt in de ene richting, de rivierkreeft trekt de andere kant op en de snoek in de derde (fig. 22). Hun krachten kunnen in evenwicht zijn. U kunt deze balans eenvoudig berekenen met behulp van goniometrische functies.

3. Tuibrug (Fig. 23). Trigonometrische functies helpen bij het berekenen van het aantal lijkwaden, hoe ze moeten worden gericht en gespannen.

Rijst. 23. Tuibrug

Rijst. 24. "Snaarbrug"

Rijst. 25. Grote Obukhovsky-brug

Links naar de ma-te-ri-a-ly-siteInternetUrok

Wiskunde Graad 6:

Geometrie Graad 8: