Op de deze les optellen en aftrekken zal worden overwogen algebraïsche breuken met verschillende noemers. We weten al hoe we gewone breuken met verschillende noemers moeten optellen en aftrekken. Om dit te doen, moeten de breuken worden teruggebracht tot gemeenschappelijke noemer. Het blijkt dat algebraïsche breuken dezelfde regels volgen. Tegelijkertijd weten we al hoe we algebraïsche breuken kunnen herleiden tot een gemeenschappelijke noemer. Het optellen en aftrekken van breuken met verschillende noemers is een van de belangrijkste en moeilijkste onderwerpen in de cursus van groep 8. Waarin dit onderwerp zal worden gevonden in veel van de onderwerpen van de algebra-cursus die u in de toekomst gaat bestuderen. Als onderdeel van de les zullen we de regels bestuderen voor het optellen en aftrekken van algebraïsche breuken met verschillende noemers, en ook analyseren hele regel typische voorbeelden.

Overwegen het eenvoudigste voorbeeld voor gewone breuken.

voorbeeld 1 Voeg breuken toe: .

Beslissing:

Onthoud de regel voor het optellen van breuken. Om te beginnen moeten breuken worden teruggebracht tot een gemeenschappelijke noemer. De gemeenschappelijke noemer voor gewone breuken is kleinste gemene veelvoud(LCM) van de oorspronkelijke noemers.

Definitie

Het kleinste natuurlijke getal dat deelbaar is door beide getallen en .

Om de LCM te vinden, is het nodig om de noemers uit te breiden tot priemfactoren, en kies vervolgens alle priemfactoren die zijn opgenomen in de uitbreiding van beide noemers.

; . Dan moet de LCM van getallen twee 2's en twee 3's bevatten: .

Na het vinden van de gemeenschappelijke noemer, is het noodzakelijk om een ​​extra factor te vinden voor elk van de breuken (in feite, deel de gemeenschappelijke noemer door de noemer van de overeenkomstige breuk).

Vervolgens wordt elke breuk vermenigvuldigd met de resulterende extra factor. We krijgen breuken met dezelfde noemers, die we in vorige lessen hebben geleerd optellen en aftrekken.

We krijgen: .

Antwoord:.

Beschouw nu de optelling van algebraïsche breuken met verschillende noemers. Beschouw eerst breuken waarvan de noemers getallen zijn.

Voorbeeld 2 Voeg breuken toe: .

Beslissing:

Het oplossingsalgoritme is absoluut vergelijkbaar met het vorige voorbeeld. Het is gemakkelijk om een ​​gemeenschappelijke noemer voor deze breuken te vinden: en aanvullende factoren voor elk van hen.

.

Antwoord:.

Dus laten we formuleren algoritme voor het optellen en aftrekken van algebraïsche breuken met verschillende noemers:

1. Zoek de kleinste gemene deler van breuken.

2. Vind aanvullende factoren voor elk van de breuken (door de gemeenschappelijke noemer te delen door de noemer van deze breuk).

3. Vermenigvuldig de tellers met de juiste aanvullende factoren.

4. Optellen of aftrekken van breuken met behulp van de regels voor het optellen en aftrekken van breuken met dezelfde noemer.

Beschouw nu een voorbeeld met breuken waarvan de noemer bevat letterlijke uitdrukkingen.

Voorbeeld 3 Voeg breuken toe: .

Beslissing:

Aangezien de letterlijke uitdrukkingen in beide noemers hetzelfde zijn, zou u een gemeenschappelijke noemer voor getallen moeten vinden. De uiteindelijke gemene deler ziet er als volgt uit: . Dus de oplossing dit voorbeeld lijkt op:.

Antwoord:.

Voorbeeld 4 Trek breuken af: .

Beslissing:

Als je niet kunt "cheaten" bij het kiezen van een gemeenschappelijke noemer (je kunt het niet ontbinden of de verkorte vermenigvuldigingsformules gebruiken), dan moet je het product van de noemers van beide breuken als gemeenschappelijke noemer nemen.

Antwoord:.

In het algemeen, bij het beslissen soortgelijke voorbeelden, meest moeilijke opdracht is het vinden van een gemeenschappelijke noemer.

Laten we eens kijken naar een complexer voorbeeld.

Voorbeeld 5 Makkelijker maken: .

Beslissing:

Bij het vinden van een gemeenschappelijke noemer, moet je eerst proberen de noemers van de oorspronkelijke breuken te ontbinden (om de gemeenschappelijke noemer te vereenvoudigen).

In dit specifieke geval:

Dan is het eenvoudig om de gemene deler te bepalen: .

We bepalen extra factoren en lossen dit voorbeeld op:

Antwoord:.

Nu gaan we de regels voor het optellen en aftrekken van breuken met verschillende noemers oplossen.

Voorbeeld 6 Makkelijker maken: .

Beslissing:

Antwoord:.

Voorbeeld 7 Makkelijker maken: .

Beslissing:

.

Antwoord:.

Beschouw nu eens een voorbeeld waarin niet twee, maar drie breuken worden opgeteld (de regels voor optellen en aftrekken voor meer breuken blijven hetzelfde).

Voorbeeld 8 Makkelijker maken: .

Beschouw de breuk $\frac63$. De waarde is 2, aangezien $\frac63 =6:3 = 2$. Wat gebeurt er als teller en noemer met 2 worden vermenigvuldigd? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Uiteraard is de waarde van de breuk niet veranderd, dus $\frac(12)(6)$ is ook gelijk aan 2 als y. vermenigvuldig de teller en de noemer met 3 en krijg $\frac(18)(9)$, of met 27 en krijg $\frac (162)(81)$ of met 101 en krijg $\frac(606)(303)$. In elk van deze gevallen is de waarde van de breuk die we krijgen door de teller te delen door de noemer 2. Dit betekent dat deze niet is veranderd.

Hetzelfde patroon wordt waargenomen in het geval van andere fracties. Als de teller en noemer van de breuk $\frac(120)(60)$ (gelijk aan 2) wordt gedeeld door 2 (resultaat van $\frac(60)(30)$), of door 3 (resultaat van $\ frac(40)(20) $), of met 4 (het resultaat van $\frac(30)(15)$) enzovoort, dan blijft in elk geval de waarde van de breuk ongewijzigd en gelijk aan 2.

Deze regel geldt ook voor breuken die niet gelijk zijn. geheel getal.

Als de teller en noemer van de breuk $\frac(1)(3)$ worden vermenigvuldigd met 2, krijgen we $\frac(2)(6)$, dat wil zeggen dat de waarde van de breuk niet is veranderd. En in feite, als je de cake in 3 delen verdeelt en er een neemt, of hem in 6 delen verdeelt en 2 delen neemt, krijg je in beide gevallen dezelfde hoeveelheid taart. Daarom zijn de getallen $\frac(1)(3)$ en $\frac(2)(6)$ identiek. Laten we een algemene regel formuleren.

De teller en noemer van elke breuk kunnen worden vermenigvuldigd of gedeeld door hetzelfde getal, en de waarde van de breuk verandert niet.

Deze regel is erg handig. Het maakt het bijvoorbeeld mogelijk om in sommige gevallen, maar niet altijd, operaties met grote aantallen te vermijden.

We kunnen bijvoorbeeld de teller en noemer van de breuk $\frac(126)(189)$ delen door 63 en krijgen de breuk $\frac(2)(3)$ die veel gemakkelijker te berekenen is. Nog een voorbeeld. We kunnen de teller en noemer van de breuk $\frac(155)(31)$ delen door 31 en krijgen de breuk $\frac(5)(1)$ of 5, aangezien 5:1=5.

In dit voorbeeld kwamen we voor het eerst tegen een breuk waarvan de noemer 1 . is. Zulke breuken spelen belangrijke rol bij het berekenen. Houd er rekening mee dat elk getal kan worden gedeeld door 1 en dat de waarde ervan niet zal veranderen. Dat wil zeggen, $\frac(273)(1)$ is gelijk aan 273; $\frac(509993)(1)$ is gelijk aan 509993 enzovoort. Daarom hoeven we getallen niet te delen door , aangezien elk geheel getal kan worden weergegeven als een breuk met een noemer van 1.

Met zulke breuken, waarvan de noemer gelijk is aan 1, is het mogelijk om hetzelfde te produceren rekenkundige bewerkingen, zoals bij alle andere breuken: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1)$, $\frac(4)(1) \times \frac ( 3)(1)=\frac(12)(1)$.

Je kunt je afvragen wat het nut is om een ​​geheel getal weer te geven als een breuk, die een eenheid onder de balk heeft, omdat het handiger is om met een geheel getal te werken. Maar het feit is dat de representatie van een geheel getal als een breuk ons ​​in staat stelt om efficiënter te produceren verschillende activiteiten als we tegelijkertijd met gehele getallen en fractionele getallen te maken hebben. Om bijvoorbeeld te leren breuken met verschillende noemers optellen. Stel dat we $\frac(1)(3)$ en $\frac(1)(5)$ moeten toevoegen.

We weten dat je alleen breuken kunt optellen waarvan de noemers gelijk zijn. We moeten dus leren hoe we breuken in zo'n vorm kunnen brengen als hun noemers gelijk zijn. In dit geval hebben we opnieuw het feit nodig dat je de teller en noemer van een breuk met hetzelfde getal kunt vermenigvuldigen zonder de waarde ervan te veranderen.

Eerst vermenigvuldigen we de teller en noemer van de breuk $\frac(1)(3)$ met 5. We krijgen $\frac(5)(15)$, de waarde van de breuk is niet veranderd. Dan vermenigvuldigen we de teller en noemer van de breuk $\frac(1)(5)$ met 3. We krijgen $\frac(3)(15)$, ook hier is de waarde van de breuk niet veranderd. Daarom $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Laten we nu proberen dit systeem toe te passen op het optellen van getallen die zowel gehele als breuken bevatten.

We moeten $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$ optellen. Eerst zetten we alle termen om in breuken en krijgen: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Nu moeten we alle breuken naar een gemeenschappelijke noemer brengen, hiervoor vermenigvuldigen we de teller en noemer van de eerste breuk met 12, de tweede met 4 en de derde met 3. Als resultaat krijgen we $\frac(36 )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, wat gelijk is aan $\frac(55)(12)$. Als u zich wilt ontdoen van onechte breuk, kan het worden omgezet in een getal dat bestaat uit een geheel getal en een breuk: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ of $4\frac( 7)( 12)$.

Alle regels die het toestaan bewerkingen met breuken, die we zojuist hebben bestudeerd, zijn ook geldig in het geval van negatieve getallen. Dus, -1: 3 kan worden geschreven als $\frac(-1)(3)$, en 1: (-3) als $\frac(1)(-3)$.

Aangezien zowel het delen van een negatief getal door een positief getal als het delen van een positief getal door een negatief resultaat in negatieve getallen resulteert, krijgen we in beide gevallen het antwoord in de vorm van een negatief getal. D.w.z

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ of $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. Als het minteken op deze manier wordt geschreven, verwijst het naar de hele breuk als geheel, en niet afzonderlijk naar de teller of noemer.

Aan de andere kant kan (-1) : (-3) worden geschreven als $\frac(-1)(-3)$, en aangezien we bij het delen van een negatief getal door een negatief getal krijgen positief nummer, dan kan $\frac(-1)(-3)$ worden geschreven als $+\frac(1)(3)$.

Optellen en aftrekken negatieve breuken uitgevoerd op dezelfde manier als het optellen en aftrekken van positieve fracties. Wat is bijvoorbeeld $1- 1\frac13$? Laten we beide getallen als breuken voorstellen en $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$ krijgen. Laten we de breuken reduceren tot een gemeenschappelijke noemer en $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$ krijgen, d.w.z. $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$, of $-\frac(1)(3)$.

Online rekenmachine.
Expressie evaluatie met breuken.
Vermenigvuldigen, aftrekken, delen, optellen en verkleinen van breuken met verschillende noemers.

Met deze online rekenmachine kun je vermenigvuldigen, aftrekken, delen, optellen en verkleinen van numerieke breuken met verschillende noemers.

Het programma werkt met correcte, oneigenlijke en gemengde numerieke breuken.

Dit programma (online rekenmachine) kan:
- voeg gemengde breuken met verschillende noemers toe
- Trek gemengde breuken met verschillende noemers af
- verdeel gemengde breuken met verschillende noemers
- Vermenigvuldig gemengde breuken met verschillende noemers
- breuken naar een gemeenschappelijke noemer brengen
- Converteer gemengde breuken naar oneigenlijk
- breuken verkleinen

U kunt ook geen uitdrukking met breuken invoeren, maar één enkele breuk.
In dit geval wordt de breuk verkleind en wordt het gehele deel uit het resultaat geselecteerd.

De online rekenmachine voor het berekenen van uitdrukkingen met numerieke breuken geeft niet alleen het antwoord op het probleem, het geeft ook: gedetailleerde oplossing: met uitleg, d.w.z. geeft het proces van het vinden van een oplossing weer.

Dit programma kan handig zijn voor middelbare scholieren scholen voor algemeen onderwijs ter voorbereiding op controle werk en examens, bij het testen van kennis voor het examen, ouders om de oplossing van veel problemen in wiskunde en algebra te beheersen. Of is het misschien te duur voor je om een ​​bijlesdocent in te huren of nieuwe studieboeken te kopen? Of wil je het gewoon zo snel mogelijk gedaan hebben? huiswerk wiskunde of algebra? In dit geval kunt u onze programma's ook gebruiken met een gedetailleerde oplossing.

Zo kunt u uw eigen opleiding en/of het trainen van hun jongere broers of zusters, terwijl het opleidingsniveau op het gebied van op te lossen taken stijgt.

Als u niet bekend bent met de regels voor het invoeren van uitdrukkingen met numerieke breuken, raden we u aan er vertrouwd mee te raken.

Regels voor het invoeren van uitdrukkingen met numerieke breuken

Alleen een geheel getal kan fungeren als teller, noemer en geheel getal van een breuk.

De noemer kan niet negatief zijn.

Bij het invoeren van een numerieke breuk wordt de teller gescheiden van de noemer door een deelteken: /
Invoer: -2/3 + 7/5
Resultaat: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5) \)

Het gehele deel wordt van de breuk gescheiden door een ampersand: &
Invoer: -1&2/3 * 5&8/3
Resultaat: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3) \)

Deling van breuken wordt ingeleid met een dubbele punt: :
Invoer: -9&37/12: -3&5/14
Resultaat: \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \right) \)
Onthoud dat je niet kunt delen door nul!

Haakjes kunnen worden gebruikt bij het invoeren van uitdrukkingen met numerieke breuken.
Invoer: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Resultaat: \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right) : 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3) \)

Voer een uitdrukking in met numerieke breuken.

Berekenen

Er is vastgesteld dat sommige scripts die nodig zijn om deze taak op te lossen, niet zijn geladen en dat het programma mogelijk niet werkt.
Mogelijk hebt u AdBlock ingeschakeld.
Schakel het in dit geval uit en vernieuw de pagina.

Je hebt JavaScript uitgeschakeld in je browser.
JavaScript moet zijn ingeschakeld om de oplossing te laten verschijnen.
Hier zijn instructies voor het inschakelen van JavaScript in uw browser.

Omdat Er zijn veel mensen die het probleem willen oplossen, uw verzoek staat in de wachtrij.
Na een paar seconden verschijnt de oplossing hieronder.
Wacht, alsjeblieft zie...

als jij merkte een fout op in de oplossing, dan kun je erover schrijven in het Feedback Form .
Vergeet niet aangeven welke taak jij bepaalt wat vul de velden in.

Onze spellen, puzzels, emulators:

Een beetje theorie.

Gewone breuken. Deling met rest

Als we 497 door 4 moeten delen, zullen we bij het delen zien dat 497 niet deelbaar is door 4, d.w.z. blijft de rest van de divisie. In dergelijke gevallen wordt gezegd dat deling met rest, en de oplossing is als volgt geschreven:
497: 4 = 124 (1 rest).

De delingscomponenten aan de linkerkant van de gelijkheid worden hetzelfde genoemd als in deling zonder rest: 497 - dividend, 4 - scheidingslijn. Het resultaat van delen bij delen met een rest heet onvolledig privé. In ons geval is dit nummer 124. En tot slot, het laatste onderdeel, dat niet in de gebruikelijke indeling zit, is rest. Als er geen rest is, wordt het ene getal gedeeld door een ander. spoorloos of volledig. Er wordt aangenomen dat met een dergelijke deling de rest nul is. In ons geval is de rest 1.

De rest is altijd kleiner dan de deler.

U kunt bij het delen controleren door te vermenigvuldigen. Als er bijvoorbeeld een gelijkheid is 64: 32 = 2, dan kan de controle als volgt worden gedaan: 64 = 32 * 2.

Vaak in gevallen waarin deling met een rest wordt uitgevoerd, is het handig om de gelijkheid te gebruiken
a \u003d b * n + r,
waar a is het deeltal, b is de deler, n is het partiële quotiënt, r is de rest.

Quotiënt van deling natuurlijke getallen kan worden geschreven als een breuk.

De teller van een breuk is het deeltal en de noemer is de deler.

Aangezien de teller van een breuk het deeltal is en de noemer de deler, geloof dat de lijn van een breuk de actie van deling betekent. Soms is het handig om deling als een breuk te schrijven zonder het ":"-teken te gebruiken.

Het quotiënt van natuurlijke getallen m en n is te schrijven als een breuk \(\frac(m)(n) \), waarbij de teller m het deeltal is en de noemer n de deler:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

De volgende regels zijn correct:

Om een ​​breuk \(\frac(m)(n) \) te krijgen, moet je de eenheid delen door n Gelijke delen(aandelen) en neem m dergelijke delen.

Om de breuk \(\frac(m)(n) \) te krijgen, moet je het getal m delen door het getal n.

Om een ​​deel van een geheel te vinden, moet je het getal dat overeenkomt met het geheel delen door de noemer en het resultaat vermenigvuldigen met de teller van de breuk die dit deel uitdrukt.

Om een ​​geheel op basis van zijn deel te vinden, moet je het getal dat bij dit deel hoort, delen door de teller en het resultaat vermenigvuldigen met de noemer van de breuk die dit deel uitdrukt.

Als zowel de teller als de noemer van een breuk worden vermenigvuldigd met hetzelfde getal (behalve nul), verandert de waarde van de breuk niet:
\(\groot \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Als zowel de teller als de noemer van een breuk worden gedeeld door hetzelfde getal (behalve nul), verandert de waarde van de breuk niet:
\(\groot \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Deze eigenschap heet basiseigenschap van een breuk.

De laatste twee transformaties heten breuk reductie.

Als breuken moeten worden weergegeven als breuken met dezelfde noemer, dan wordt zo'n actie genoemd breuken reduceren tot een gemeenschappelijke noemer.

Juiste en onechte breuken. gemengde nummers

Je weet al dat een breuk kan worden verkregen door een geheel in gelijke delen te delen en meerdere van dergelijke delen te nemen. De breuk \(\frac(3)(4) \) betekent bijvoorbeeld driekwart van één. In veel van de problemen in de vorige paragraaf werden breuken gebruikt om een ​​deel van een geheel aan te duiden. Gezond verstand suggereert dat het deel altijd kleiner moet zijn dan het geheel, maar hoe zit het dan met breuken zoals \(\frac(5)(5) \) of \(\frac(8)(5) \)? Het is duidelijk dat dit geen onderdeel meer is van de unit. Dit is waarschijnlijk de reden waarom zulke breuken, waarin de teller groter is dan of gelijk is aan de noemer, worden genoemd onechte breuken. De overige breuken, d.w.z. breuken waarvan de teller kleiner dan de noemer, genaamd juiste breuken.

Zoals je weet, elke gemeenschappelijke breuk, zowel correct als incorrect, kan worden beschouwd als het resultaat van het delen van de teller door de noemer. Daarom, in de wiskunde, in tegenstelling tot gewone taal, betekent de term "onjuiste breuk" niet dat we iets verkeerd hebben gedaan, maar alleen dat deze breuk een teller heeft die groter is dan of gelijk is aan de noemer.

Als een getal bestaat uit een geheel getal en een breuk, dan breuken worden gemengd genoemd.

Bijvoorbeeld:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 is het gehele deel en \(\frac(2)(3) \) is het fractionele deel.

Als de teller van de breuk \(\frac(a)(b) \) deelbaar is door een natuurlijk getal n, dan moet om deze breuk te delen door n de teller gedeeld worden door dit getal:
\(\groot \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Als de teller van de breuk \(\frac(a)(b) \) niet deelbaar is door een natuurlijk getal n, dan moet je om deze breuk te delen door n de noemer ervan vermenigvuldigen met dit getal:
\(\groot \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Merk op dat de tweede regel ook geldig is als de teller deelbaar is door n. Daarom kunnen we het gebruiken wanneer het op het eerste gezicht moeilijk is om te bepalen of de teller van een breuk deelbaar is door n of niet.

Acties met breuken. Optellen van breuken.

Met fractionele getallen kun je, net als met natuurlijke getallen, rekenkundige bewerkingen uitvoeren. Laten we eerst eens kijken naar het optellen van breuken. Het is gemakkelijk om breuken met dezelfde noemers op te tellen. Zoek bijvoorbeeld de som van \(\frac(2)(7) \) en \(\frac(3)(7) \). Het is gemakkelijk in te zien dat \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Om breuken met dezelfde noemer op te tellen, moet je hun tellers optellen en de noemer gelijk laten.

Met letters kan de regel voor het optellen van breuken met dezelfde noemer als volgt worden geschreven:
\(\groot \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Als je breuken met verschillende noemers wilt optellen, moeten ze eerst worden teruggebracht tot een gemeenschappelijke noemer. Bijvoorbeeld:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Zowel voor breuken als voor natuurlijke getallen zijn de commutatieve en associatieve eigenschappen van optellen geldig.

Toevoeging van gemengde fracties

Opnamen zoals \(2\frac(2)(3) \) heten gemengde breuken. Het nummer 2 wordt genoemd hele deel gemengde breuk, en het getal \(\frac(2)(3) \) is zijn fractioneel deel. De invoer \(2\frac(2)(3) \) wordt als volgt gelezen: "twee en twee derde".

Het getal 8 delen door het getal 3 geeft twee antwoorden: \(\frac(8)(3) \) en \(2\frac(2)(3) \). Ze drukken hetzelfde breukgetal uit, d.w.z. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

De onechte breuk \(\frac(8)(3) \) wordt dus weergegeven als een gemengde breuk \(2\frac(2)(3) \). In dergelijke gevallen zeggen ze dat van een onechte breuk het geheel uitgezocht.

Aftrekken van breuken (breukgetallen)

aftrekken fractionele getallen, evenals natuurlijke, wordt bepaald op basis van de bewerking van optellen: een ander aftrekken van het ene getal betekent een getal vinden dat, wanneer opgeteld bij het tweede, het eerste geeft. Bijvoorbeeld:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) sinds \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9) \)

De regel voor het aftrekken van breuken met gelijke noemers is vergelijkbaar met de regel voor het optellen van dergelijke breuken:
Om het verschil tussen breuken met dezelfde noemer te vinden, trekt u de teller van de tweede af van de teller van de eerste breuk en laat u de noemer hetzelfde.

Met letters wordt deze regel als volgt geschreven:
\(\groot \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Vermenigvuldiging van breuken

Om een ​​breuk met een breuk te vermenigvuldigen, moet je hun tellers en noemers vermenigvuldigen en het eerste product als de teller en het tweede als de noemer schrijven.

Met letters kan de regel voor het vermenigvuldigen van breuken als volgt worden geschreven:
\(\groot \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Met behulp van de geformuleerde regel is het mogelijk om een ​​breuk te vermenigvuldigen met een natuurlijk getal, met gemengde fractie en vermenigvuldig ook gemengde breuken. Om dit te doen, moet je een natuurlijk getal schrijven als een breuk met een noemer van 1, een gemengde breuk als een onechte breuk.

Het resultaat van vermenigvuldiging moet worden vereenvoudigd (indien mogelijk) door de breuk te verkleinen en het gehele deel van de onjuiste breuk te markeren.

Voor breuken, zowel als voor natuurlijke getallen, zijn de commutatieve en associatieve eigenschappen van vermenigvuldiging geldig, evenals de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging met betrekking tot optellen.

Deling van breuken

Neem de breuk \(\frac(2)(3) \) en "draai" deze om door de teller en noemer om te wisselen. We krijgen de breuk \(\frac(3)(2) \). Deze breuk heet achteruit breuken \(\frac(2)(3) \).

Als we nu de breuk \(\frac(3)(2) \) “omkeren”, dan krijgen we de originele breuk \(\frac(2)(3) \). Daarom worden breuken zoals \(\frac(2)(3) \) en \(\frac(3)(2) \) genoemd wederzijds omgekeerd.

Bijvoorbeeld de breuken \(\frac(6)(5) \) en \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) en \(\frac (18) )(7) \).

Met letters kunnen wederzijds inverse breuken als volgt worden geschreven: \(\frac(a)(b) \) en \(\frac(b)(a) \)

Het is duidelijk dat het product van reciproke breuken is 1. Bijvoorbeeld: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Met behulp van reciproke breuken kan het delen van breuken worden teruggebracht tot vermenigvuldigen.

De regel voor het delen van een breuk door een breuk:
Om de ene breuk door de andere te delen, moet je het deeltal vermenigvuldigen met het omgekeerde van de deler.

Fractionele uitdrukkingen zijn moeilijk te begrijpen voor een kind. De meeste mensen hebben moeite met . Bij het bestuderen van het onderwerp "optelling van breuken met gehele getallen", valt het kind in een verdoving en vindt het moeilijk om de taak op te lossen. In veel voorbeelden moet een reeks berekeningen worden uitgevoerd voordat een actie kan worden uitgevoerd. Zet bijvoorbeeld breuken om of converteer een onechte breuk naar een goede.

Leg het kind duidelijk uit. Neem drie appels, waarvan er twee heel zijn en de derde in 4 delen wordt gesneden. Scheid een plakje van de gesneden appel en leg de overige drie naast twee hele vruchten. We krijgen ¼ appels aan de ene kant en 2 ¾ aan de andere kant. Als we ze combineren, krijgen we drie hele appels. Laten we proberen 2 ¾ appels met ¼ te verminderen, dat wil zeggen, verwijder nog een schijfje, we krijgen 2 2/4 appels.

Laten we acties met breuken eens nader bekijken, waaronder gehele getallen:

Laten we eerst de rekenregel voor: fractionele uitdrukkingen met een gemene deler:

Op het eerste gezicht is alles eenvoudig en eenvoudig. Maar dit is alleen van toepassing op uitdrukkingen die geen conversie vereisen.

Hoe de waarde te vinden van een uitdrukking waarvan de noemers verschillend zijn

Bij sommige taken is het nodig om de waarde te vinden van een uitdrukking waarvan de noemers verschillend zijn. Overweeg een specifiek geval:
3 2/7+6 1/3

Zoek de waarde van deze uitdrukking, hiervoor vinden we een gemeenschappelijke noemer voor twee breuken.

Voor de getallen 7 en 3 is dit 21. We laten de gehele delen hetzelfde, en verkleinen de breuken tot 21, hiervoor vermenigvuldigen we de eerste breuk met 3, de tweede met 7, we krijgen:
21/6+7/21, vergeet niet dat hele delen niet omgebouwd kunnen worden. Als resultaat krijgen we twee breuken met één noemer en berekenen we hun som:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Wat als het resultaat van optelling een oneigenlijke breuk is die al een geheel getal heeft:
2 1/3+3 2/3
BIJ deze zaak Als we de gehele delen en fractionele delen toevoegen, krijgen we:
5 3/3, zoals je weet, 3/3 is één, dus 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Met het vinden van de som is alles duidelijk, laten we de aftrekking analyseren:

Van wat is gezegd volgt de regel van actie op gemengde nummers die klinkt als volgt:

• Als het nodig is om een ​​geheel getal af te trekken van een fractionele uitdrukking, is het niet nodig om het tweede getal als een breuk weer te geven, het is voldoende om alleen op gehele delen te werken.

Laten we proberen de waarde van uitdrukkingen zelf te berekenen:

Laten we kijken meer voorbeeld onder de letter "m":

4 5/11-2 8/11, is de teller van de eerste breuk kleiner dan de tweede. Om dit te doen, nemen we één geheel getal van de eerste breuk, we krijgen,
3 5/11+11/11=3 heel 16/11, trek de tweede af van de eerste breuk:
3 16/11-2 8/11=1 heel 8/11

• Wees voorzichtig bij het voltooien van de taak, vergeet niet te converteren onechte breuken in gemengd, waarbij het hele deel wordt benadrukt. Om dit te doen, is het noodzakelijk om de waarde van de teller te delen door de waarde van de noemer, wat er is gebeurd, neemt de plaats in van het gehele deel, de rest is de teller, bijvoorbeeld:

19/4=4 ¾, check: 4*4+3=19, in de noemer 4 blijft ongewijzigd.

Samenvatten:

Voordat u doorgaat met de taak met betrekking tot breuken, is het noodzakelijk om te analyseren wat voor soort uitdrukking het is, welke transformaties op de breuk moeten worden uitgevoerd om de oplossing correct te laten zijn. Zoek naar meer rationele oplossingen. ga niet ingewikkelde manieren. Plan alle acties, beslis eerst in conceptversie en zet het vervolgens over naar een schoolnotitieboekje.

Om verwarring te voorkomen bij het oplossen van fractionele uitdrukkingen, is het noodzakelijk om de volgorderegel te volgen. Beslis alles zorgvuldig, zonder te haasten.

In het artikel zullen we laten zien hoe breuken op te lossen op eenvoudige begrijpelijke voorbeelden. Laten we begrijpen wat een breuk is en overwegen: breuken oplossen!

concept breuken wordt geïntroduceerd in de loop van de wiskunde vanaf de 6e klas van de middelbare school.

Breuken zien er als volgt uit: ±X / Y, waarbij Y de noemer is, het vertelt in hoeveel delen het geheel was verdeeld, en X is de teller, het vertelt hoeveel van dergelijke delen zijn genomen. Laten we voor de duidelijkheid een voorbeeld nemen met een taart:

In het eerste geval werd de cake gelijk gesneden en werd de helft genomen, d.w.z. 1/2. In het tweede geval werd de cake in 7 delen gesneden, waaruit 4 delen werden genomen, d.w.z. 4/7.

Als het deel van het delen van een getal door een ander geen geheel getal is, wordt het als een breuk geschreven.

De uitdrukking 4:2 \u003d 2 geeft bijvoorbeeld een geheel getal, maar 4:7 is niet volledig deelbaar, dus deze uitdrukking wordt geschreven als een breuk 4/7.

Met andere woorden fractie is een uitdrukking die de deling van twee getallen of uitdrukkingen aangeeft, en die met een schuine streep wordt geschreven.

Als de teller kleiner is dan de noemer, is de breuk correct, als omgekeerd, is het onjuist. Een breuk kan een geheel getal bevatten.

Bijvoorbeeld 5 hele 3/4.

Deze invoer betekent dat om de hele 6 te krijgen, een deel van vier niet genoeg is.

Als je het wilt onthouden hoe breuken op te lossen voor het 6e leerjaar dat moet je begrijpen breuken oplossen komt in feite neer op het begrijpen van een paar eenvoudige dingen.

• Een breuk is in wezen een uitdrukking voor een breuk. D.w.z numerieke uitdrukking welk deel is? gegeven waarde uit één geheel. De breuk 3/5 drukt bijvoorbeeld uit dat als we iets geheel in 5 delen verdelen en het aantal delen of delen van dit geheel drie is.
• Een breuk kan kleiner zijn dan 1, bijvoorbeeld 1/2 (of in wezen de helft), dan is het correct. Als de breuk groter is dan 1, bijvoorbeeld 3/2 (drie helften of anderhalve), dan is het onjuist en om de oplossing te vereenvoudigen, kunnen we beter het hele deel 3/2 = 1 geheel 1 selecteren /2.
• Breuken zijn dezelfde getallen als 1, 3, 10 en zelfs 100, alleen zijn de getallen niet geheel, maar breuken. Hiermee kunt u dezelfde bewerkingen uitvoeren als met getallen. Breuken tellen is niet moeilijker, en verder concrete voorbeelden we zullen het laten zien.

Hoe breuken op te lossen. Voorbeelden.

Een verscheidenheid aan rekenkundige bewerkingen zijn van toepassing op breuken.

Een breuk naar een gemeenschappelijke noemer brengen

U moet bijvoorbeeld de breuken 3/4 en 4/5 vergelijken.

Om het probleem op te lossen, zoeken we eerst de kleinste gemene deler, d.w.z. kleinste getal, die zonder rest deelbaar is door elk van de noemers van de breuken

Kleinste gemene deler (4,5) = 20

Dan wordt de noemer van beide breuken teruggebracht tot de kleinste gemene deler

Antwoord: 15/20

Optellen en aftrekken van breuken

Als het nodig is om de som van twee breuken te berekenen, worden ze eerst tot een gemeenschappelijke noemer gebracht, vervolgens worden de tellers opgeteld, terwijl de noemer ongewijzigd blijft. Het verschil van breuken wordt op een vergelijkbare manier beschouwd, het enige verschil is dat de tellers worden afgetrokken.

U moet bijvoorbeeld de som van de breuken 1/2 en 1/3 . vinden

Zoek nu het verschil tussen de breuken 1/2 en 1/4

Vermenigvuldigen en delen van breuken

Hier is de oplossing van breuken eenvoudig, hier is alles vrij eenvoudig:

• Vermenigvuldiging - tellers en noemers van breuken worden onderling vermenigvuldigd;
• Deling - eerst krijgen we een breuk, het omgekeerde van de tweede breuk, d.w.z. verwissel de teller en noemer, waarna we de resulterende breuken vermenigvuldigen.

Bijvoorbeeld:

over dit ongeveer hoe breuken op te lossen, alle. Als u vragen heeft over breuken oplossen, is er iets niet duidelijk, schrijf dan in de comments en we zullen je antwoorden.

Als je docent bent, is het mogelijk om de presentatie te downloaden voor lagere school(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) zal van pas komen.