Wat is het om gelijkaardige termen te brengen. Vergelijkbare termen – Kennishypermarkt

Het hieronder gepresenteerde materiaal is een logisch vervolg op de theorie uit het artikel onder de kop LCM - kleinste gemene veelvoud, definitie, voorbeelden, relatie tussen LCM en GCD. Hier zullen we het over hebben het vinden van het kleinste gemene veelvoud (LCM), en Speciale aandacht Laten we eens kijken naar de voorbeelden. Laten we eerst laten zien hoe de LCM van twee getallen wordt berekend in termen van de GCD van deze getallen. Overweeg vervolgens om het kleinste gemene veelvoud te vinden met behulp van de ontleding van getallen in priemfactoren. Daarna zullen we ons concentreren op het vinden van de LCM van drie of meer getallen, en ook aandacht besteden aan de berekening van de LCM van negatieve getallen.

Paginanavigatie.

Berekening van het kleinste gemene veelvoud (LCM) via ggd

Een manier om het kleinste gemene veelvoud te vinden, is gebaseerd op de relatie tussen LCM en GCD. De bestaande verbinding tussen LCM en GCD stelt u in staat om het kleinste gemene veelvoud van twee positieve gehele getallen te berekenen via de bekende grootste gemeenschappelijke deler. De bijbehorende formule heeft de vorm LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Overweeg voorbeelden van het vinden van de LCM volgens de bovenstaande formule.

Voorbeeld.

Zoek het kleinste gemene veelvoud van de twee getallen 126 en 70 .

Beslissing.

In dit voorbeeld a=126 , b=70 . Laten we de relatie tussen LCM en GCD gebruiken, uitgedrukt door de formule LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Dat wil zeggen dat we eerst de grootste gemene deler van de getallen 70 en 126 moeten vinden, waarna we de LCM van deze getallen kunnen berekenen volgens de geschreven formule.

Vind ggd(126, 70) met behulp van het algoritme van Euclides: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , vandaar ggd(126, 70)=14 .

Nu vinden we het vereiste kleinste gemene veelvoud: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Antwoord:

LCM(126, 70)=630 .

Voorbeeld.

Wat is LCM(68, 34)?

Beslissing.

Als 68 is gelijkelijk deelbaar door 34 , dan ggd(68, 34)=34 . Nu berekenen we het kleinste gemene veelvoud: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Antwoord:

LCM(68, 34)=68 .

Merk op dat het vorige voorbeeld voldoet aan de volgende regel voor het vinden van de LCM voor positieve gehele getallen a en b: als het getal a deelbaar is door b, dan is het kleinste gemene veelvoud van deze getallen a.

De LCM vinden door getallen in priemfactoren te factoriseren

Een andere manier om het kleinste gemene veelvoud te vinden, is door getallen in priemfactoren te ontbinden. Als we van alle priemfactoren van deze getallen een product maken, en daarna alle gewone priemfactoren die aanwezig zijn in de uitbreidingen van deze getallen uit dit product uitsluiten, dan is het resulterende product gelijk aan het kleinste gemene veelvoud van deze getallen.

De aangekondigde regel voor het vinden van de LCM volgt uit de gelijkheid LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Inderdaad, het product van de getallen a en b is gelijk aan het product van alle factoren die betrokken zijn bij de uitbreidingen van de getallen a en b. Op zijn beurt, ggd(a, b) is gelijk aan het product alle priemfactoren die gelijktijdig aanwezig zijn in de uitbreidingen van de getallen a en b (die wordt beschreven in de sectie over het vinden van GCD met behulp van de ontleding van getallen in priemfactoren).

Laten we een voorbeeld nemen. Laten we weten dat 75=3 5 5 en 210=2 3 5 7 . Stel het product van alle factoren van deze uitbreidingen samen: 2 3 3 5 5 5 7 . Nu we van dit product alle factoren uitsluiten die aanwezig zijn zowel in de uitbreiding van het getal 75 als in de uitbreiding van het getal 210 (dergelijke factoren zijn 3 en 5), dan zal het product de vorm aannemen 2 3 5 5 7 . De waarde van dit product is gelijk aan het kleinste gemene veelvoud van de getallen 75 en 210, dat wil zeggen, LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Voorbeeld.

Nadat je de getallen 441 en 700 in priemfactoren hebt ontbonden, zoek je het kleinste gemene veelvoud van deze getallen.

Beslissing.

Laten we de getallen 441 en 700 ontleden in priemfactoren:

We krijgen 441=3 3 7 7 en 700=2 2 5 5 7 .

Laten we nu een product maken van alle factoren die betrokken zijn bij de uitbreidingen van deze getallen: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Laten we van dit product alle factoren uitsluiten die gelijktijdig aanwezig zijn in beide uitbreidingen (er is maar één zo'n factor - dit is het getal 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Dus, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Antwoord:

LCM(441, 700)= 44 100 .

De regel voor het vinden van de LCM met behulp van de ontleding van getallen in priemfactoren kan iets anders worden geformuleerd. Als we de ontbrekende factoren uit de uitbreiding van het getal b optellen bij de factoren uit de ontleding van het getal a, dan is de waarde van het resulterende product gelijk aan het kleinste gemene veelvoud van de getallen a en b.

Laten we bijvoorbeeld allemaal dezelfde getallen 75 en 210 nemen, hun uitbreidingen naar priemfactoren zijn als volgt: 75=3 5 5 en 210=2 3 5 7 . Bij de factoren 3, 5 en 5 uit de uitbreiding van het getal 75, tellen we de ontbrekende factoren 2 en 7 op uit de uitbreiding van het getal 210, we krijgen het product 2 3 5 5 7 , waarvan de waarde LCM(75 is) , 210).

Voorbeeld.

Zoek het kleinste gemene veelvoud van 84 en 648.

Beslissing.

We verkrijgen eerst de ontleding van de getallen 84 en 648 in priemfactoren. Ze zien eruit als 84=2 2 3 7 en 648=2 2 2 3 3 3 3 . Bij de factoren 2 , 2 , 3 en 7 uit de uitbreiding van het getal 84 tellen we de ontbrekende factoren 2 , 3 , 3 en 3 uit de uitbreiding van het getal 648 op, we krijgen het product 2 2 2 3 3 3 3 7 , wat gelijk is aan 4 536 . Het gewenste kleinste gemene veelvoud van de getallen 84 en 648 is dus 4.536.

Antwoord:

LCM(84, 648)=4 536 .

De LCM van drie of meer getallen vinden

Het kleinste gemene veelvoud van drie of meer getallen kan worden gevonden door achtereenvolgens de LCM van twee getallen te vinden. Roep de bijbehorende stelling op, die een manier geeft om de LCM van drie of meer getallen te vinden.

Stelling.

Laat gehele getallen worden gegeven positieve getallen a 1 , a 2 , …, a k , het kleinste gemene veelvoud m k van deze getallen wordt gevonden door sequentiële berekening m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , …, m k = LCM (m k−1 , a k) .

Overweeg de toepassing van deze stelling op het voorbeeld van het vinden van het kleinste gemene veelvoud van vier getallen.

Voorbeeld.

Zoek de LCM van de vier getallen 140, 9, 54 en 250.

Beslissing.

In dit voorbeeld een 1 =140 , een 2 =9 , een 3 =54 , een 4 =250 .

Eerst vinden we m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Om dit te doen, met behulp van het Euclidische algoritme, bepalen we ggd(140, 9) , we hebben 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , dus ggd( 140, 9)=1 , vanwaar LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Dat wil zeggen, m 2 =1 260 .

Nu vinden we m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Laten we het berekenen via ggd(1 260, 54) , dat ook wordt bepaald door het Euclides-algoritme: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Dan ggd(1 260, 54)=18 , vandaar LCM(1 260, 54)= 1 260 54:ggcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Dat wil zeggen, m 3 \u003d 3 780.

Links te vinden m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Om dit te doen, vinden we GCD(3 780, 250) met behulp van het Euclid-algoritme: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Daarom ggd(3 780, 250)=10 , vandaar ggd(3 780, 250)= 3 780 250:ggd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Dat wil zeggen, m 4 \u003d 94 500.

Dus het kleinste gemene veelvoud van de oorspronkelijke vier getallen is 94.500.

Antwoord:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

In veel gevallen wordt het kleinste gemene veelvoud van drie of meer getallen gemakkelijk gevonden met behulp van priemfactorisaties van gegeven getallen. In dit geval moet de volgende regel worden gevolgd. Het kleinste gemene veelvoud van meerdere getallen is gelijk aan het product, dat als volgt is samengesteld: de ontbrekende factoren van de uitbreiding van het tweede getal worden opgeteld bij alle factoren van de uitbreiding van het eerste getal, de ontbrekende factoren van de uitbreiding van het derde getal wordt opgeteld bij de verkregen factoren, enzovoort.

Overweeg een voorbeeld van het vinden van het kleinste gemene veelvoud met behulp van de ontleding van getallen in priemfactoren.

Voorbeeld.

Zoek het kleinste gemene veelvoud van vijf getallen 84, 6, 48, 7, 143.

Beslissing.

Eerst verkrijgen we de uitbreidingen van deze getallen in priemfactoren: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 priemfactoren) en 143=11 13 .

Om de LCM van deze getallen te vinden, moet je bij de factoren van het eerste getal 84 (het zijn 2 , 2 , 3 en 7 ) de ontbrekende factoren van de uitbreiding van het tweede getal 6 optellen. De uitbreiding van het getal 6 bevat geen ontbrekende factoren, aangezien zowel 2 als 3 al aanwezig zijn in de uitbreiding van het eerste getal 84 . Naast de factoren 2 , 2 , 3 en 7 tellen we de ontbrekende factoren 2 en 2 op uit de uitbreiding van het derde getal 48 , we krijgen een reeks factoren 2 , 2 , 2 , 2 , 3 en 7 . Het is niet nodig om in de volgende stap factoren aan deze set toe te voegen, aangezien 7 er al in zit. Tot slot tellen we bij de factoren 2 , 2 , 2 , 2 , 3 en 7 de ontbrekende factoren 11 en 13 uit de uitbreiding van het getal 143 . We krijgen het product 2 2 2 2 3 7 11 13 , wat gelijk is aan 48 048 .

Wiskundige uitdrukkingen en taken vereisen veel aanvullende kennis. NOC is een van de belangrijkste, vooral vaak gebruikt in het onderwerp.Het onderwerp wordt bestudeerd op de middelbare school, hoewel het niet bijzonder moeilijk is om materiaal te begrijpen, zal het niet moeilijk zijn voor iemand die bekend is met bevoegdheden en de tafel van vermenigvuldiging om te selecteren de benodigde nummers en vind het resultaat.

Definitie

Een gemeenschappelijk veelvoud is een getal dat volledig in twee getallen tegelijk kan worden verdeeld (a en b). Meestal wordt dit aantal verkregen door de oorspronkelijke getallen a en b te vermenigvuldigen. Het getal moet deelbaar zijn door beide getallen tegelijk, zonder afwijkingen.

NOC is de geaccepteerde term voor: korte titel, samengesteld uit de eerste letters.

Manieren om een nummer te krijgen

Om de LCM te vinden, is de methode van het vermenigvuldigen van getallen niet altijd geschikt, het is veel beter geschikt voor eenvoudige eencijferige of tweecijferige getallen. Het is gebruikelijk om te verdelen in factoren, hoe groter het getal, hoe meer factoren er zullen zijn.

Voorbeeld 1

Voor het eenvoudigste voorbeeld nemen scholen meestal eenvoudige getallen van één of twee cijfers. U moet bijvoorbeeld de volgende taak oplossen, het kleinste gemene veelvoud van de getallen 7 en 3 vinden, de oplossing is vrij eenvoudig, vermenigvuldig ze gewoon. Het resultaat is het getal 21, minder gewoon nee.

Voorbeeld #2

De tweede optie is veel moeilijker. De nummers 300 en 1260 zijn vermeld, het vinden van de LCM is verplicht. Om de taak op te lossen, worden de volgende acties aangenomen:

Ontbinding van het eerste en tweede getal in eenvoudige factoren. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. De eerste fase is afgerond.

In de tweede fase wordt gewerkt met de reeds verkregen gegevens. Elk van de ontvangen nummers moet deelnemen aan de berekening van het eindresultaat. Voor elke vermenigvuldiger, de meeste groot aantal voorvallen. NOC is totaal aantal, dus de factoren uit de getallen moeten er tot het laatst in worden herhaald, zelfs de factoren die in één exemplaar aanwezig zijn. Beide beginnummers hebben in hun samenstelling de getallen 2, 3 en 5, in verschillende gradaties, 7 is slechts in één geval.

Om het eindresultaat te berekenen, moet u elk getal in de grootste van hun vertegenwoordigde machten in de vergelijking opnemen. Het blijft alleen om te vermenigvuldigen en het antwoord te krijgen, met de juiste vulling past de taak in twee stappen zonder uitleg:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

Dat is de hele taak, als je probeert het gewenste getal te berekenen door te vermenigvuldigen, dan zal het antwoord zeker niet correct zijn, aangezien 300 * 1260 = 378.000.

Inspectie:

6300 / 300 = 21 - waar;

6300/1260 = 5 klopt.

De juistheid van het resultaat wordt bepaald door te controleren - de LCM delen door beide originele getallen, als het getal in beide gevallen een geheel getal is, dan is het antwoord correct.

Wat betekent NOC in de wiskunde

Zoals je weet, is er geen enkele nutteloze functie in de wiskunde, deze is geen uitzondering. Het meest voorkomende doel van dit getal is om breuken tot een gemeenschappelijke noemer te brengen. Wat meestal wordt bestudeerd in de klassen 5-6 middelbare school. Het is ook een gemeenschappelijke deler voor alle veelvouden, als dergelijke voorwaarden in het probleem voorkomen. Zo'n uitdrukking kan niet alleen een veelvoud van twee getallen vinden, maar ook van veel meer- drie, vijf enzovoort. Hoe meer nummers- hoe meer handelingen in de taak, maar de complexiteit hiervan neemt niet toe.

Als u bijvoorbeeld de getallen 250, 600 en 1500 geeft, moet u hun totale LCM vinden:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - dit voorbeeld beschrijft de factorisatie in detail, zonder reductie.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Om een uitdrukking samen te stellen, moeten alle factoren worden vermeld, in dit geval worden 2, 5, 3 gegeven - voor al deze getallen is het vereist om de maximale graad te bepalen.

Let op: alle vermenigvuldigers moeten tot volledige vereenvoudiging worden gebracht, indien mogelijk, ontbindend tot op het niveau van enkele cijfers.

Inspectie:

1) 3000 / 250 = 12 - waar;

2) 3000 / 600 = 5 - waar;

3) 3000 / 1500 = 2 klopt.

Deze methode vereist geen trucs of geniale vaardigheden, alles is eenvoudig en duidelijk.

Een andere manier

In de wiskunde is veel met elkaar verbonden, veel kan op twee of meer manieren worden opgelost, hetzelfde geldt voor het vinden van het kleinste gemene veelvoud, LCM. Volgende methode kan worden gebruikt in het geval van eenvoudige tweecijferige en enkelcijferige nummers. Er wordt een tabel samengesteld waarin de vermenigvuldiger verticaal wordt ingevoerd, de vermenigvuldiger horizontaal en het product wordt aangegeven in de kruisende cellen van de kolom. Je kunt de tabel weergeven door middel van een lijn, een getal wordt genomen en de resultaten van het vermenigvuldigen van dit getal met gehele getallen worden op een rij geschreven, van 1 tot oneindig, soms zijn 3-5 punten voldoende, de tweede en volgende getallen worden onderworpen naar hetzelfde rekenproces. Alles gebeurt totdat een gemeenschappelijk veelvoud wordt gevonden.

Gezien de nummers 30, 35, 42, moet je de LCM vinden die alle nummers verbindt:

1) Veelvouden van 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, enz.

2) Veelvouden van 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, enz.

3) Veelvouden van 42: 84, 126, 168, 210, 252, enz.

Het valt op dat alle nummers behoorlijk verschillend zijn, het enige gemeenschappelijke nummer onder hen is 210, dus het zal de LCM zijn. Onder de processen die bij deze berekening horen, is er ook de grootste gemene deler, die wordt berekend volgens vergelijkbare principes en vaak wordt aangetroffen in aangrenzende problemen. Het verschil is klein, maar significant genoeg, de LCM omvat de berekening van een getal dat deelbaar is door alle gegeven beginwaarden, en de GCM omvat de berekening grootste waarde waardoor de oorspronkelijke getallen deelbaar zijn.

Bij het optellen en aftrekken van algebraïsche breuken met verschillende noemers eerst leiden de breuken tot gemeenschappelijke noemer. Dit betekent dat ze zo'n enkele noemer vinden, die wordt gedeeld door de oorspronkelijke noemer van elke algebraïsche breuk die deel uitmaakt van deze uitdrukking.

Zoals u weet, als de teller en noemer van een breuk worden vermenigvuldigd (of gedeeld) met hetzelfde getal anders dan nul, verandert de waarde van de breuk niet. Dit is de belangrijkste eigenschap van een breuk. Daarom, wanneer breuken tot een gemeenschappelijke noemer leiden, wordt in feite de oorspronkelijke noemer van elke breuk vermenigvuldigd met de ontbrekende factor tot een gemeenschappelijke noemer. In dit geval is het noodzakelijk om te vermenigvuldigen met deze factor en de teller van de breuk (deze is verschillend voor elke breuk).

Bijvoorbeeld, gegeven de volgende som van algebraïsche breuken:

Het is nodig om de uitdrukking te vereenvoudigen, d.w.z. twee algebraïsche breuken optellen. Om dit te doen, is het allereerst noodzakelijk om de termen-breuken te reduceren tot een gemeenschappelijke noemer. De eerste stap is om een monomiaal te vinden die deelbaar is door zowel 3x als 2y. In dit geval is het wenselijk dat het de kleinste is, d.w.z. zoek het kleinste gemene veelvoud (LCM) voor 3x en 2y.

Voor numerieke coëfficiënten en variabelen wordt apart gezocht in de LCM. LCM(3, 2) = 6 en LCM(x, y) = xy. Verder worden de gevonden waarden vermenigvuldigd: 6xy.

Nu moeten we bepalen met welke factor we 3x moeten vermenigvuldigen om 6xy te krijgen:
6xy ÷ 3x = 2y

Dit betekent dat bij het reduceren van de eerste algebraïsche breuk tot een gemeenschappelijke noemer, de teller ervan moet worden vermenigvuldigd met 2y (de noemer is al vermenigvuldigd wanneer deze wordt teruggebracht tot een gemeenschappelijke noemer). Op dezelfde manier wordt gezocht naar de factor voor de teller van de tweede breuk. Het zal gelijk zijn aan 3x.

Zo krijgen we:

Dan kun je al handelen als met breuken met dezelfde noemers: tellers worden toegevoegd en één common wordt in de noemer geschreven:

Na transformaties wordt een vereenvoudigde uitdrukking verkregen, namelijk één algebraïsche breuk, wat de som is van twee originelen:

Algebraïsche breuken in de oorspronkelijke uitdrukking kunnen noemers bevatten die polynomen zijn in plaats van monomials (zoals in het bovenstaande voorbeeld). In dit geval, voordat u een gemeenschappelijke noemer vindt, ontbindt u de noemers (indien mogelijk). Verder gemeenschappelijke noemer is samengesteld uit verschillende vermenigvuldigers. Als de factor in meerdere beginnoemers staat, wordt deze één keer genomen. Als de vermenigvuldiger heeft verschillende graden in de oorspronkelijke noemers, dan wordt deze met een grotere genomen. Bijvoorbeeld:

Hier kan de polynoom a 2 - b 2 worden weergegeven als een product (a - b)(a + b). De factor 2a – 2b wordt uitgebreid als 2(a – b). De gemeenschappelijke noemer is dus gelijk aan 2(a - b)(a + b).

Laat een uitdrukking worden gegeven die het product is van een cijfer en letters. Het nummer in deze uitdrukking heet coëfficiënt. Bijvoorbeeld:

in de uitdrukking is de coëfficiënt het getal 2;

in uitdrukking - nummer 1;

in een uitdrukking is dit het getal -1;

in de uitdrukking is de coëfficiënt het product van de getallen 2 en 3, dat wil zeggen het getal 6.

Petya had 3 snoepjes en 5 abrikozen. Mam gaf Petya nog 2 snoepjes en 4 abrikozen (zie afb. 1). Hoeveel snoepjes en abrikozen had Petya in totaal?

Rijst. 1. Illustratie voor het probleem

Beslissing

Laten we de toestand van het probleem in de volgende vorm schrijven:

1) Er waren 3 snoepjes en 5 abrikozen:

2) Moeder gaf 2 snoepjes en 4 abrikozen:

3) Dat wil zeggen, Petya heeft alles:

4) We voegen snoep toe met snoep, abrikozen met abrikozen:

In totaal zijn er dus 5 snoepjes en 9 abrikozen.

Antwoord: 5 snoepjes en 9 abrikozen.

In Probleem 1, in de vierde stap, hebben we de reductie van vergelijkbare termen behandeld.

Termen die hetzelfde lettergedeelte hebben, worden vergelijkbare termen genoemd. Vergelijkbare termen kunnen alleen verschillen in hun numerieke coëfficiënten.

Om soortgelijke termen toe te voegen (te verminderen), moet u hun coëfficiënten optellen en het resultaat vermenigvuldigen met het gewone lettergedeelte.

Door gelijkaardige termen te reduceren, vereenvoudigen we de uitdrukking.

Het zijn vergelijkbare termen, omdat ze hetzelfde lettergedeelte hebben. Daarom, om ze te verminderen, is het noodzakelijk om al hun coëfficiënten op te tellen - dit zijn 5, 3 en -1 en te vermenigvuldigen met het gewone lettergedeelte - dit is a.

Deze uitdrukking bevat soortgelijke termen. Het gemeenschappelijke lettergedeelte is xy, en de coëfficiënten zijn 2, 1 en -3. Hier zijn deze vergelijkbare termen:

In deze uitdrukking zijn vergelijkbare termen en laten we ze brengen:

Laten we deze uitdrukking vereenvoudigen. Om dit te doen, vinden we vergelijkbare termen. Er zijn twee paar vergelijkbare termen in deze uitdrukking - dit zijn en , en .

Laten we deze uitdrukking vereenvoudigen. Open hiervoor de haakjes met behulp van de distributiewet:

Er zijn vergelijkbare termen in de uitdrukking - dit en , laten we ze geven:

In deze les hebben we kennis gemaakt met het concept van een coëfficiënt, hebben we geleerd welke termen vergelijkbaar worden genoemd en hebben we de regel geformuleerd voor het verminderen van vergelijkbare termen, en hebben we ook verschillende voorbeelden opgelost waarin we deze regel hebben gebruikt.

Bibliografie

Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Wiskunde 6. M.: Mnemosyne, 2012.
Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Wiskunde 6e leerjaar. M.: Gymnasium, 2006.
Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Achter de pagina's van een wiskundeboek. Moskou: Onderwijs, 1989.
Rurukin A.N., Tsjaikovski I.V. Taken voor de cursus wiskunde rang 5-6 downloaden. M.: ZSh MEPhI, 2011.
Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tsjaikovski K.G. Wiskunde 5-6. Een gids voor leerlingen in groep 6 van de MEPhI correspondentieschool. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Wiskunde: Leerboek-gesprekspartner voor 5-6 klassen van de middelbare school. M.: Onderwijs, Bibliotheek voor wiskundeleraren, 1989.

Huiswerk