Hoe voorbeelden met onechte breuken op te lossen. Positieve en negatieve breuken

We komen fracties in het leven veel eerder tegen dan dat ze op school beginnen te studeren. Als je een hele appel doormidden snijdt, krijgen we een stuk fruit - . Snijd het opnieuw - het zal ¼ zijn. Dit is wat breuken zijn. En alles, zo lijkt het, is eenvoudig. Voor een volwassene. Voor het kind (en dit onderwerp begin met leren aan het einde lagere school) samenvatting wiskundige concepten zijn nog steeds angstaanjagend onbegrijpelijk, en de leraar moet op een toegankelijke manier uitleggen wat een goede en onechte breuk, gewoon en decimaal is, welke bewerkingen ermee kunnen worden uitgevoerd en, belangrijker nog, waarom dit allemaal nodig is.

Wat zijn breuken?

kennismaking met nieuw onderwerp op school begint met gewone breuken. Ze zijn gemakkelijk te herkennen aan de horizontale lijn tussen de twee cijfers - boven en onder. De bovenkant heet de teller, de onderkant heet de noemer. Er is ook een kleine spelling van onjuiste en juiste gewone breuken - via een schuine streep, bijvoorbeeld: ½, 4/9, 384/183. Deze optie wordt gebruikt wanneer de regelhoogte beperkt is en het niet mogelijk is om de "twee verdiepingen"-vorm van de invoer toe te passen. Waarom? Ja, omdat het handiger is. Even later zullen we dit verifiëren.

Naast gewone zijn er ook decimale breuken. Het is heel gemakkelijk om ze te onderscheiden: als in het ene geval een horizontale of schuine streep wordt gebruikt, dan in het andere - een komma die reeksen getallen scheidt. Laten we een voorbeeld bekijken: 2.9; 163,34; 1.953. We hebben bewust de puntkomma als scheidingsteken gebruikt om de getallen af te bakenen. De eerste ervan zal als volgt worden gelezen: "twee hele, negen tienden."

Nieuwe concepten

Laten we teruggaan naar gewone breuken. Ze zijn van twee soorten.

De definitie van een echte breuk is als volgt: het is een breuk waarvan de teller kleiner dan de noemer. Waarom is het belangrijk? Nu zullen we zien!

Je hebt meerdere appels in tweeën gesneden. In totaal - 5 delen. Hoe zeg je: je hebt appels van "twee en een halve" of "vijf seconden"? Natuurlijk klinkt de eerste optie natuurlijker en als we met vrienden praten, zullen we deze gebruiken. Maar als u moet berekenen hoeveel fruit elk zal krijgen, als er vijf mensen in het bedrijf zijn, zullen we het getal 5/2 opschrijven en delen door 5 - vanuit het oogpunt van wiskunde zal dit duidelijker zijn.

Dus voor het benoemen van regelmatige en oneigenlijke breuken is de regel als volgt: als een geheel getal (14/5, 2/1, 173/16, 3/3) kan worden onderscheiden in een breuk, dan is het onjuist. Als dit niet kan, zoals in het geval van ½, 13/16, 9/10, is het correct.

Basiseigenschap van een breuk

Als de teller en noemer van een breuk gelijktijdig worden vermenigvuldigd of gedeeld door hetzelfde getal, verandert de waarde niet. Stel je voor: de cake werd in 4 gelijke delen gesneden en je kreeg er een. Dezelfde cake werd in acht stukken gesneden en kreeg je er twee. Is het niet allemaal hetzelfde? Immers, ¼ en 2/8 zijn hetzelfde!

Vermindering

Auteurs van problemen en voorbeelden in wiskundeboeken proberen leerlingen vaak in verwarring te brengen door breuken aan te bieden die lastig te schrijven zijn en zelfs verkleind kunnen worden. Hier is een voorbeeld van een goede breuk: 167/334, die er, zo lijkt het, erg "eng" uitziet. Maar in feite kunnen we het schrijven als ½. Het getal 334 is deelbaar door 167 zonder rest - als we deze bewerking hebben uitgevoerd, krijgen we 2.

gemengde nummers

Een oneigenlijke breuk kan worden weergegeven als een gemengd getal. Dit is wanneer het hele deel naar voren wordt gebracht en geschreven op het niveau van de horizontale lijn. In feite heeft de uitdrukking de vorm van een som: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 enzovoort.

Om het hele deel te verwijderen, moet je de teller delen door de noemer. Schrijf de rest van de deling boven, boven de lijn, en het hele deel voor de uitdrukking. We krijgen dus twee structurele delen: hele eenheden + juiste breuk.

U kunt ook de omgekeerde bewerking uitvoeren - hiervoor moet u het gehele deel met de noemer vermenigvuldigen en de resulterende waarde bij de teller optellen. Niets ingewikkelds.

Vermenigvuldiging en deling

Vreemd genoeg is het vermenigvuldigen van breuken gemakkelijker dan ze op te tellen. Het enige dat nodig is, is de horizontale lijn verlengen: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Met delen is alles ook eenvoudig: je moet de breuken kruiselings vermenigvuldigen: (7/8) / (14/15) \u003d 7 * 15 / 8 * 14 \u003d 15/16.

Optellen van breuken

Wat te doen als u moet optellen of en in hun noemer verschillende nummers? Het zal niet op dezelfde manier werken als bij vermenigvuldiging - hier moet men de definitie van een echte breuk en zijn essentie begrijpen. We moeten de voorwaarden gemeenschappelijke noemer, dat wil zeggen dat onderaan beide breuken hetzelfde getal moet staan.

Om dit te doen, moet u de basiseigenschap van een breuk gebruiken: vermenigvuldig beide delen met hetzelfde getal. Bijvoorbeeld 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Hoe kies je naar welke noemer je de termen wilt brengen? Dit moet het kleinste veelvoud van beide noemers zijn: voor 1/3 en 1/9 is het 9; voor ½ en 1/7 - 14, omdat er geen kleinere waarde is die deelbaar is door 2 en 7 zonder rest.

Gebruik

Wat heb je nodig onechte breuken? Het is tenslotte veel handiger om meteen het hele deel te selecteren, een gemengd nummer te krijgen - en dat is alles! Het blijkt dat als je twee breuken moet vermenigvuldigen of delen, het voordeliger is om de verkeerde te gebruiken.

Laten we het volgende voorbeeld nemen: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Het lijkt erop dat er helemaal niets te snijden is. Maar wat als we het resultaat van de optelling tussen de eerste haakjes schrijven als een oneigenlijke breuk? Kijk: (37/17) / (37/68)

Nu valt alles op zijn plek! Laten we het voorbeeld zo schrijven dat alles duidelijk wordt: (37 * 68) / (17 * 37).

Laten we de 37 in de teller en noemer verkleinen en tenslotte de bovenste en onderste delen delen door 17. Herinner je je de basisregel voor goede en onjuiste breuken? We kunnen ze vermenigvuldigen en delen door elk getal, zolang we het maar voor de teller en de noemer tegelijk doen.

Dus we krijgen het antwoord: 4. Het voorbeeld zag er ingewikkeld uit en het antwoord bevat maar één cijfer. Dit gebeurt vaak in de wiskunde. Het belangrijkste is om niet bang te zijn en eenvoudige regels te volgen.

Veelgemaakte fouten

Bij het sporten kan de student gemakkelijk een van de populaire fouten maken. Meestal ontstaan ze door onoplettendheid en soms doordat het bestudeerde materiaal nog niet goed in het hoofd is afgezet.

Vaak veroorzaakt de som van de getallen in de teller de wens om de afzonderlijke componenten ervan te verminderen. Stel dat in het voorbeeld: (13 + 2) / 13, zonder haakjes geschreven (met een horizontale lijn), veel leerlingen uit onervarenheid 13 van boven en onder doorstrepen. Maar dit mag in geen geval worden gedaan, omdat het zo is blunder! Als er in plaats van optellen een vermenigvuldigingsteken was, zouden we in het antwoord het getal 2 krijgen. Maar bij het optellen zijn geen bewerkingen met een van de termen toegestaan, alleen met de hele som.

Kinderen maken vaak fouten bij het delen van breuken. Laten we twee regelmatige irreducibele breuken nemen en door elkaar delen: (5/6) / (25/33). De student kan de resulterende uitdrukking verwarren en schrijven als (5*25) / (6*33). Maar dit zou zijn gebeurd met vermenigvuldiging, en in ons geval zal alles een beetje anders zijn: (5 * 33) / (6 * 25). We verminderen wat mogelijk is, en in het antwoord zullen we 11/10 zien. We schrijven de resulterende onechte breuk als een decimaal - 1.1.

haakjes

Onthoud dat in ieder geval wiskundige uitdrukkingen de volgorde van acties wordt bepaald door de prioriteit van de bedieningstekens en de aanwezigheid van haakjes. Als andere zaken gelijk zijn, wordt de volgorde van acties van links naar rechts geteld. Dit geldt ook voor breuken - de uitdrukking in de teller of noemer wordt strikt volgens deze regel berekend.

Het is het resultaat van het delen van het ene getal door het andere. Als ze niet volledig delen, blijkt het een fractie te zijn - dat is alles.

Hoe schrijf je een breuk op een computer?

Omdat je met standaardtools niet altijd een breuk kunt maken die uit twee "lagen" bestaat, gaan studenten soms voor verschillende trucs. Ze kopiëren bijvoorbeeld de tellers en noemers naar de Paint-editor en lijmen ze aan elkaar, waarbij ze een horizontale lijn ertussen trekken. Natuurlijk is er een eenvoudigere optie, die trouwens veel oplevert extra functies dat zal u in de toekomst van pas komen.

Open Microsoft Word. Een van de panelen aan de bovenkant van het scherm heet "Invoegen" - klik erop. Aan de rechterkant, aan de kant waar de pictogrammen voor het sluiten en minimaliseren van het venster zich bevinden, bevindt zich een knop Formule. Dit is precies wat we nodig hebben!

Als u deze functie gebruikt, verschijnt er een rechthoekig gebied op het scherm waarin u elke wiskundige tekens ontbreken op het toetsenbord, evenals het schrijven van breuken in de klassieke vorm. Dat wil zeggen, de teller en noemer scheiden met een horizontale balk. Het zal je misschien zelfs verbazen dat zo'n goede breuk zo gemakkelijk op te schrijven is.

Leer wiskunde

Zit je in groep 5-6, dan is al snel kennis van wiskunde (inclusief het kunnen werken met breuken!) in veel school onderwerpen. Bij bijna elk probleem in de natuurkunde, bij het meten van de massa van stoffen in de chemie, geometrie en trigonometrie, kunnen breuken niet ontbreken. Binnenkort leer je alles in je hoofd te berekenen, zonder zelfs maar uitdrukkingen op papier te schrijven, maar steeds meer complexe voorbeelden. Leer daarom wat een goede breuk is en hoe u ermee kunt werken, blijf op de hoogte leerplan doe je huiswerk op tijd, dan slaag je.

Fractie in de wiskunde, een getal dat bestaat uit een of meer delen (breuken) van een eenheid. Breuken maken deel uit van het veld rationele nummers. Breuken zijn verdeeld in 2 formaten volgens de manier waarop ze zijn geschreven: normaal vriendelijk en decimale .

De teller van een breuk- een getal dat het aantal genomen aandelen aangeeft (bovenaan de breuk - boven de lijn). Breuknoemer- een getal dat aangeeft in hoeveel delen de unit is verdeeld (onder de lijn - in het onderste deel). zijn op hun beurt onderverdeeld in: juist en mis, gemengd en composiet nauw verwant aan meeteenheden. 1 meter bevat 100 cm, wat betekent dat 1 m is verdeeld in 100 gelijke delen. Dus 1 cm = 1/100 m (een centimeter is gelijk aan een honderdste van een meter).

of 3/5 (drievijfde), hier is 3 de teller, 5 is de noemer. Als de teller kleiner is dan de noemer, dan is de breuk kleiner dan één en heet juist:

Als de teller gelijk is aan de noemer, is de breuk gelijk aan één. Als de teller groter is dan de noemer, is de breuk groter dan één. In beide recente gevallen de breuk heet mis:

Om het grootste gehele getal in een onechte breuk te isoleren, moet je de teller delen door de noemer. Als de deling wordt uitgevoerd zonder rest, dan is de oneigenlijke breuk gelijk aan het quotiënt:

Als de deling wordt uitgevoerd met een rest, dan geeft het (onvolledige) quotiënt het gewenste gehele getal, de rest wordt de teller van het breukdeel; de noemer van het breukdeel blijft hetzelfde.

Een getal dat een geheel getal en een breukdeel bevat, wordt genoemd gemengd. fractionele deel gemengd getal kan zijn onechte breuk. Dan is het mogelijk om het grootste gehele getal uit het breukdeel te extraheren en het gemengde getal zo weer te geven dat het breukdeel een echte breuk wordt (of helemaal verdwijnt).

Bij het woord "fracties" lopen velen kippenvel. Omdat ik me de school herinner en de taken die in de wiskunde zijn opgelost. Dit was een plicht die vervuld moest worden. Maar wat als we taken met juiste en onjuiste breuken als een puzzel beschouwen? Veel volwassenen lossen immers digitale en Japanse kruiswoordraadsels op. Begrijp de regels en dat is alles. Hier ook. Men hoeft zich alleen maar in de theorie te verdiepen - en alles valt op zijn plaats. En voorbeelden zullen veranderen in een manier om de hersenen te trainen.

Welke soorten breuken zijn er?

Laten we beginnen met wat het is. Een breuk is een getal dat een breuk van één heeft. Het kan in twee vormen worden geschreven. De eerste heet gewoon. Dat wil zeggen, een met een horizontale of schuine slag. Het komt overeen met het delingsteken.

In een dergelijke notatie wordt het getal boven het streepje de teller genoemd en eronder de noemer.

Onder gewone breuken worden goede en foute breuken onderscheiden. Voor de eerste is de modulo-teller altijd kleiner dan de noemer. De verkeerde worden zo genoemd omdat ze het tegenovergestelde hebben. De waarde van een echte breuk is altijd kleiner dan één. Terwijl de verkeerde altijd groter is dan dit aantal.

Er zijn ook gemengde getallen, dat wil zeggen getallen met een geheel getal en een breuk.

Het tweede type record is decimale. Over haar aparte gesprek.

Wat is het verschil tussen onechte breuken en gemengde getallen?

In principe niets. Het is gewoon een andere notatie van hetzelfde nummer. Onjuiste breuken na eenvoudige acties worden gemakkelijk gemengde nummers. En vice versa.

Het hangt allemaal af van de specifieke situatie. Soms is het handiger om in taken een onjuiste breuk te gebruiken. En soms is het nodig om het te vertalen naar een gemengd getal, en dan is het voorbeeld heel gemakkelijk op te lossen. Daarom, wat te gebruiken: onjuiste breuken, gemengde getallen - hangt af van de observatie van de oplosser van het probleem.

Het gemengde getal wordt ook vergeleken met de som van het gehele deel en het fractionele deel. Bovendien is de tweede altijd minder dan eenheid.

Hoe een gemengd getal als een oneigenlijke breuk weer te geven?

Als u een actie wilt uitvoeren met meerdere getallen die zijn geschreven in verschillende soorten, dan moet je ze hetzelfde maken. Een methode is om getallen weer te geven als onechte breuken.

Hiervoor moet u het volgende algoritme volgen:

vermenigvuldig de noemer met het gehele deel;
voeg de waarde van de teller toe aan het resultaat;
schrijf het antwoord boven de regel;
laat de noemer gelijk.

Hier zijn voorbeelden van het schrijven van onjuiste breuken van gemengde getallen:

17 ¼ \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.

Hoe schrijf je een oneigenlijke breuk als een gemengd getal?

De volgende methode is het tegenovergestelde van degene die hierboven is besproken. Dat wil zeggen, wanneer alle gemengde getallen worden vervangen door onechte breuken. Het algoritme van acties is als volgt:

deel de teller door de noemer om de rest te krijgen;
schrijf het quotiënt in plaats van het gehele deel van het gemengde;
de rest moet boven de lijn worden geplaatst;
de deler zal de noemer zijn.

Voorbeelden van een dergelijke transformatie:

76/14; 76:14 = 5 met een rest van 6; het antwoord is 5 gehele getallen en 6/14; het breukdeel in dit voorbeeld moet met 2 worden verminderd, je krijgt 3/7; het uiteindelijke antwoord is 5 hele 3/7.

108/54; na deling wordt het quotiënt 2 verkregen zonder rest; dit betekent dat niet alle onechte breuken kunnen worden weergegeven als een gemengd getal; het antwoord is een geheel getal - 2.

Hoe verander je een geheel getal in een onechte breuk?

Er zijn situaties waarin een dergelijke actie noodzakelijk is. Om onjuiste breuken met een vooraf bepaalde noemer te krijgen, moet u het volgende algoritme uitvoeren:

vermenigvuldig een geheel getal met de gewenste noemer;
schrijf deze waarde boven de lijn;
plaats er een noemer onder.

De eenvoudigste optie is wanneer de noemer gelijk aan één. Dan is vermenigvuldigen niet nodig. Het is voldoende om een geheel getal te schrijven, dat in het voorbeeld wordt gegeven, en een eenheid onder de regel te plaatsen.

Voorbeeld: Maak van 5 een onechte breuk met een noemer van 3. Na vermenigvuldiging van 5 met 3 krijg je 15. Dit getal wordt de noemer. Het antwoord op de taak is een breuk: 15/3.

Twee benaderingen voor het oplossen van taken met verschillende getallen

In het voorbeeld is het nodig om de som en het verschil te berekenen, evenals het product en het quotiënt van twee getallen: 2 gehele getallen 3/5 en 14/11.

In de eerste benadering het gemengde getal wordt weergegeven als een onjuiste breuk.

Na het uitvoeren van de hierboven beschreven stappen, krijgt u de volgende waarde: 13/5.

Om de som te vinden, moet je de breuken converteren naar dezelfde noemer. 13/5 vermenigvuldigd met 11 wordt 143/55. En 14/11 zal na vermenigvuldiging met 5 de vorm aannemen: 70/55. Om de som te berekenen, hoef je alleen de tellers op te tellen: 143 en 70, en noteer vervolgens het antwoord met één noemer. 213/55 - deze oneigenlijke breuk is het antwoord op het probleem.

Bij het vinden van het verschil worden dezelfde getallen afgetrokken: 143 - 70 = 73. Het antwoord is een breuk: 73/55.

Bij het vermenigvuldigen van 13/5 en 14/11 hoef je niet te reduceren tot een gemene deler. Vermenigvuldig de tellers en noemers gewoon in paren. Het antwoord zal zijn: 182/55.

Zo ook met deling. Voor juiste keuze je moet deling vervangen door vermenigvuldiging en de deler omdraaien: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.

In de tweede benadering Een oneigenlijke breuk wordt een gemengd getal.

Na het uitvoeren van de acties van het algoritme, zal 14/11 veranderen in een gemengd getal met hele deel 1 en fractionele 3/11.

Bij het berekenen van de som moet u het gehele getal en de breuken afzonderlijk optellen. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Het uiteindelijke antwoord is 3 hele 48/55. In de eerste benadering was er een fractie 213/55. U kunt de juistheid controleren door deze om te rekenen naar een gemengd getal. Na 213 te delen door 55, is het quotiënt 3 en de rest 48. Het is gemakkelijk te zien dat het antwoord correct is.

Bij het aftrekken wordt het "+"-teken vervangen door "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Om het antwoord van de vorige benadering te controleren, moet je het converteren naar een gemengd getal: 73 is gedeeld door 55 en je krijgt een quotiënt van 1 en een rest van 18.

Om het product en het quotiënt te vinden, is het onhandig om gemengde getallen te gebruiken. Hier wordt altijd aanbevolen om over te schakelen naar onechte breuken.

Dit artikel gaat over gewone breuken. Hier zullen we kennis maken met het concept van een breuk van een geheel, wat ons zal leiden tot de definitie van een gewone breuk. Vervolgens zullen we ons concentreren op: geaccepteerde benamingen voor gewone breuken en geef voorbeelden van breuken, bijvoorbeeld over de teller en noemer van een breuk. Daarna zullen we definities geven van correcte en onjuiste, positieve en negatieve breuken, en ook de positie van fractionele getallen op coördinaatstraal. Tot slot sommen we de belangrijkste acties met breuken op.

Paginanavigatie.

Aandelen van het geheel

Eerst introduceren we concept delen.

Laten we aannemen dat we een object hebben dat bestaat uit verschillende absoluut identieke (dat wil zeggen gelijke) delen. Voor de duidelijkheid kun je je bijvoorbeeld een appel voorstellen die in meerdere is gesneden Gelijke delen, of een sinaasappel, bestaande uit meerdere gelijke plakjes. Elk van deze gelijke delen waaruit het hele object bestaat, heet deel van het geheel of gewoon aandelen.

Merk op dat de aandelen verschillend zijn. Laten we dit uitleggen. Laten we zeggen dat we twee appels hebben. Laten we de eerste appel in twee gelijke delen snijden en de tweede in 6 gelijke delen. Het is duidelijk dat het aandeel van de eerste appel anders zal zijn dan het aandeel van de tweede appel.

Afhankelijk van het aantal aandelen waaruit het hele object bestaat, hebben deze aandelen hun eigen naam. Laten we analyseren namen delen. Als het object uit twee delen bestaat, wordt elk ervan een tweede deel van het hele object genoemd; als het object uit drie delen bestaat, wordt elk ervan een derde deel genoemd, enzovoort.

Een seconde beat heeft een speciale naam - voor de helft. Een derde heet derde, en een viervoudige - kwartaal.

Kortheidshalve het volgende: aanduidingen delen. Een tweede aandeel wordt aangeduid als of 1/2, een derde aandeel - als of 1/3; een vierde deel - zoals of 1/4, enzovoort. Merk op dat de notatie met een horizontale balk vaker wordt gebruikt. Om het materiaal te consolideren, laten we nog een voorbeeld geven: de invoer geeft honderdzevenenzestigste van het geheel aan.

Het begrip aandeel strekt zich natuurlijk uit van objecten tot grootheden. Een van de lengtematen is bijvoorbeeld de meter. Om lengtes van minder dan een meter te meten, kunnen fracties van een meter worden gebruikt. Je kunt dus bijvoorbeeld een halve meter of een tiende of duizendste van een meter gebruiken. Aandelen van andere hoeveelheden worden op dezelfde manier toegepast.

Veelvoorkomende breuken, definitie en voorbeelden van breuken

Om het aantal aandelen te beschrijven dat wordt gebruikt gewone breuken. Laten we een voorbeeld geven waarmee we de definitie van gewone breuken kunnen benaderen.

Laat een sinaasappel uit 12 delen bestaan. Elk aandeel vertegenwoordigt in dit geval een twaalfde van een hele sinaasappel, dat wil zeggen . Laten we twee tellen aanduiden als , drie tellen als , enzovoort, 12 tellen als . Elk van deze items wordt een gewone breuk genoemd.

Laten we nu een generaal geven definitie van gewone breuken.

De stemhebbende definitie van gewone breuken stelt ons in staat om voorbeelden van veel voorkomende breuken: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . En hier zijn de records passen niet in de stemhebbende definitie van gewone breuken, dat wil zeggen dat het geen gewone breuken zijn.

Teller en noemer

Voor het gemak onderscheiden we in gewone breuken: teller en noemer.

Definitie.

Teller gewone breuk (m / n) is een natuurlijk getal m.

Definitie.

Noemer gewone breuk (m / n) is een natuurlijk getal n.

De teller bevindt zich dus boven de breukstreep (links van de schuine streep) en de noemer bevindt zich onder de breukstreep (rechts van de schuine streep). Laten we bijvoorbeeld een gewone breuk 17/29 nemen, de teller van deze breuk is het getal 17 en de noemer is het getal 29.

Het blijft om de betekenis van de teller en noemer van een gewone breuk te bespreken. De noemer van de breuk geeft aan uit hoeveel aandelen een item bestaat, de teller geeft op zijn beurt het aantal van dergelijke aandelen aan. De noemer 5 van de breuk 12/5 betekent bijvoorbeeld dat een item uit vijf delen bestaat en de teller 12 betekent dat er 12 van dergelijke delen zijn.

Natuurlijk getal als breuk met noemer 1

De noemer van een gewone breuk kan gelijk zijn aan één. In dit geval kunnen we aannemen dat het object ondeelbaar is, met andere woorden, het is iets heels. De teller van zo'n breuk geeft aan hoeveel hele items worden genomen. Op deze manier, gemeenschappelijke breuk van de vorm m/1 heeft de betekenis van een natuurlijk getal m . Zo hebben we de gelijkheid m/1=m onderbouwd.

Laten we de laatste gelijkheid als volgt herschrijven: m=m/1 . Deze gelijkheid stelt ons in staat om elk natuurlijk getal m als een gewone breuk weer te geven. Het getal 4 is bijvoorbeeld de breuk 4/1 en het getal 103498 is de breuk 103498/1.

Dus, elk natuurlijk getal m kan worden weergegeven als een gewone breuk met noemer 1 als m/1 , en elke gewone breuk van de vorm m/1 kan worden vervangen door een natuurlijk getal m.

Breukbalk als deelteken

De weergave van het oorspronkelijke object in de vorm van n aandelen is niets meer dan een verdeling in n gelijke delen. Nadat het item is verdeeld in n aandelen, kunnen we het gelijk verdelen onder n mensen - elk krijgt één aandeel.

Als we in eerste instantie m . hebben identieke items, die elk zijn verdeeld in n aandelen, dan kunnen we deze m objecten gelijkelijk verdelen over n mensen, waarbij elke persoon één aandeel krijgt van elk van de m objecten. In dit geval heeft elke persoon m aandelen 1/n, en m aandelen 1/n geeft een gewone breuk m/n. De gemeenschappelijke breuk m/n kan dus worden gebruikt om de verdeling van m items over n mensen weer te geven.

Zo kregen we een expliciet verband tussen gewone breuken en delen (zie het algemene idee van de deling van natuurlijke getallen). Deze relatie wordt als volgt uitgedrukt: De staaf van een breuk kan worden opgevat als een delingsteken, dat wil zeggen, m/n=m:n.

Met behulp van een gewone breuk kun je het resultaat van het delen van twee schrijven natuurlijke getallen, waarvoor de deling van gehele getallen niet wordt uitgevoerd. Het resultaat van het delen van 5 appels door 8 personen kan bijvoorbeeld worden geschreven als 5/8, dat wil zeggen dat elk vijf achtsten van een appel krijgt: 5:8=5/8.

Gelijke en ongelijke gewone breuken, vergelijking van breuken

Een vrij natuurlijke actie is vergelijking van gewone breuken, want het is duidelijk dat 1/12 van een sinaasappel anders is dan 5/12, en 1/6 van een appel hetzelfde is als de andere 1/6 van deze appel.

Als resultaat van het vergelijken van twee gewone breuken, wordt een van de resultaten verkregen: de breuken zijn gelijk of niet gelijk. In het eerste geval hebben we gelijke gemeenschappelijke breuken, en in de tweede ongelijke gemeenschappelijke breuken. Laten we een definitie geven van gelijke en ongelijke gewone breuken.

Definitie.

Gelijk, als de gelijkheid a d=b c waar is.

Definitie.

Twee veel voorkomende breuken a/b en c/d niet gelijk, als niet aan de gelijkheid a d=b c wordt voldaan.

Hier zijn enkele voorbeelden van gelijke breuken. De gewone breuk 1/2 is bijvoorbeeld gelijk aan de breuk 2/4, aangezien 1 4=2 2 (zie indien nodig de regels en voorbeelden van vermenigvuldiging van natuurlijke getallen). Voor de duidelijkheid, je kunt je twee identieke appels voorstellen, de eerste wordt gehalveerd en de tweede - in 4 delen. Het is duidelijk dat twee vierde van een appel de helft van een aandeel is. Andere voorbeelden van gelijke veel voorkomende breuken zijn de breuken 4/7 en 36/63, en het paar breuken 81/50 en 1620/1000.

En gewone breuken 4/13 en 5/14 zijn niet gelijk, aangezien 4 14=56, en 13 5=65, dat wil zeggen 4 14≠13 5. Een ander voorbeeld van ongelijke gemeenschappelijke breuken zijn de breuken 17/7 en 6/4.

Als bij het vergelijken van twee gewone breuken blijkt dat ze niet gelijk zijn, moet je misschien uitzoeken welke van deze gewone breuken minder een ander, en welke meer. Om erachter te komen, wordt de regel voor het vergelijken van gewone breuken gebruikt, waarvan de essentie is om de vergeleken breuken tot een gemeenschappelijke noemer te brengen en vervolgens de tellers te vergelijken. Gedetailleerde informatie over dit onderwerp wordt verzameld in de artikelvergelijking van breuken: regels, voorbeelden, oplossingen.

Fractionele getallen

Elke breuk is een record fractioneel getal. Dat wil zeggen, een breuk is slechts een "schil" van een fractioneel getal, zijn uiterlijk, en de volledige semantische lading zit precies in een fractioneel getal. Kortheidshalve en gemakshalve worden het concept van een breuk en een fractioneel getal echter gecombineerd en eenvoudig een breuk genoemd. Hier is het passend om het bekende gezegde te parafraseren: we zeggen een breuk - we bedoelen fractioneel getal, we zeggen een breukgetal - we bedoelen een breuk.

Breuken op de coördinatenbundel

Alle fractionele getallen die overeenkomen met gewone breuken hebben hun eigen unieke plaats op , dat wil zeggen, er is een één-op-één overeenkomst tussen breuken en punten van de coördinatenstraal.

Om het punt te bereiken dat overeenkomt met de breuk m / n op de coördinatenstraal, is het noodzakelijk om m-segmenten van de oorsprong in de positieve richting uit te stellen, waarvan de lengte 1 / n van het eenheidssegment is. Dergelijke segmenten kunnen worden verkregen door een enkel segment in n gelijke delen te verdelen, wat altijd kan worden gedaan met een passer en liniaal.

Laten we bijvoorbeeld het punt M op de coördinatenstraal tonen, overeenkomend met de breuk 14/10. De lengte van het segment met de uiteinden op het punt O en het dichtstbijzijnde punt, gemarkeerd met een klein streepje, is 1/10 van het eenheidssegment. Het punt met coördinaat 14/10 wordt verwijderd van de oorsprong door 14 van dergelijke segmenten.

Gelijke breuken komen overeen met hetzelfde breukgetal, dat wil zeggen, gelijke breuken zijn de coördinaten van hetzelfde punt op de coördinatenstraal. Eén punt komt bijvoorbeeld overeen met de coördinaten 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 op de coördinatenstraal, aangezien alle geschreven breuken gelijk zijn (het bevindt zich op een afstand van de helft van het eenheidssegment, uitgesteld van de oorsprong in de positieve richting).

Op een horizontale en naar rechts gerichte coördinatenstraal bevindt het punt waarvan de coördinaat een grote fractie is zich rechts van het punt waarvan de coördinaat is kleinere fractie. Evenzo ligt het punt met de kleinere coördinaat links van het punt met de grotere coördinaat.

Juiste en onechte breuken, definities, voorbeelden

Onder gewone breuken zijn er: juiste en onechte breuken. Deze verdeling heeft in feite een vergelijking van de teller en de noemer.

Laten we een definitie geven van goede en onechte gewone breuken.

Definitie.

juiste breuk is een gewone breuk, waarvan de teller kleiner is dan de noemer, dat wil zeggen, als m

Definitie.

Onjuiste breuk is een gewone breuk waarin de teller groter is dan of gelijk is aan de noemer, dat wil zeggen, als m≥n, dan is de gewone breuk ongepast.

Hier zijn enkele voorbeelden van eigen breuken: 1/4 , , 32 765/909 003 . Inderdaad, in elk van de geschreven gewone breuken is de teller kleiner dan de noemer (zie indien nodig de artikelvergelijking van natuurlijke getallen), dus ze zijn per definitie correct.

En hier zijn voorbeelden van onechte breuken: 9/9, 23/4,. Inderdaad, de teller van de eerste van de geschreven gewone breuken is gelijk aan de noemer, en in de overige breuken is de teller groter dan de noemer.

Er zijn ook definities van juiste en onjuiste breuken op basis van het vergelijken van breuken met één.

Definitie.

juist als het minder dan één is.

Definitie.

De gemeenschappelijke breuk heet mis, als deze gelijk is aan één of groter is dan 1.

Dus de gewone breuk 7/11 is correct, sinds 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 , en 27/27=1 .

Laten we eens kijken hoe gewone breuken met een teller groter dan of gelijk aan de noemer zo'n naam verdienen - "fout".

Laten we de oneigenlijke breuk 9/9 als voorbeeld nemen. Deze breuk betekent dat er negen delen van een object worden genomen, dat uit negen delen bestaat. Dat wil zeggen, uit de beschikbare negen aandelen kunnen we een heel onderwerp verzinnen. Dat wil zeggen, de oneigenlijke breuk 9/9 geeft in wezen een heel object, dat wil zeggen 9/9=1. In het algemeen duiden onechte breuken met een teller gelijk aan de noemer één geheel object aan, en zo'n breuk kan worden vervangen door een natuurlijk getal 1.

Beschouw nu de oneigenlijke breuken 7/3 en 12/4. Het is vrij duidelijk dat we van deze zeven derde twee hele objecten kunnen maken (een heel object is 3 aandelen, om twee hele objecten samen te stellen hebben we 3 + 3 = 6 aandelen nodig) en er zal nog steeds een derde aandeel zijn. Dat wil zeggen, de oneigenlijke breuk 7/3 betekent in wezen 2 items en zelfs 1/3 van het aandeel van zo'n item. En van twaalf kwartjes kunnen we drie hele objecten maken (drie objecten met elk vier delen). Dat wil zeggen, de breuk 12/4 betekent in wezen 3 hele objecten.

De weloverwogen voorbeelden leiden ons tot de volgende conclusie: onechte breuken kunnen worden vervangen door natuurlijke getallen, wanneer de teller volledig wordt gedeeld door de noemer (bijvoorbeeld 9/9=1 en 12/4=3), of de som van een natuurlijk getal en een eigen breuk, wanneer de teller niet gelijkelijk deelbaar is door de noemer (bijvoorbeeld 7/3=2+1/3 ). Misschien is dit precies wat oneigenlijke breuken zo'n naam verdienen - "fout".

Van bijzonder belang is de weergave van een onechte breuk als de som van een natuurlijk getal en een eigen breuk (7/3=2+1/3). Dit proces wordt de extractie van een geheel getal uit een oneigenlijke breuk genoemd en verdient een aparte en meer zorgvuldige overweging.

Het is ook vermeldenswaard dat er een zeer nauwe relatie is tussen onechte breuken en gemengde getallen.

Positieve en negatieve breuken

Elke gewone breuk komt overeen met een positief breukgetal (zie het artikel positieve en negatieve getallen). Dat wil zeggen, gewone breuken zijn positieve breuken. Bijvoorbeeld, gewone breuken 1/5, 56/18, 35/144 zijn positieve breuken. Wanneer het nodig is om de positiviteit van een breuk te benadrukken, wordt er een plusteken voor geplaatst, bijvoorbeeld +3/4, +72/34.

Als u een minteken voor een gewone breuk plaatst, komt deze invoer overeen met een negatief breukgetal. In dit geval kan men spreken van negatieve breuken. Hier zijn enkele voorbeelden van negatieve breuken: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

De positieve en negatieve fracties m/n en −m/n zijn tegengestelde getallen. De breuken 5/7 en −5/7 zijn bijvoorbeeld tegengestelde breuken.

Positieve breuken, zoals positieve getallen in het algemeen, duiden op een toename, inkomen, een verandering in een bepaalde waarde naar boven, enz. Negatieve breuken komen overeen met een uitgave, een schuld, een verandering in een waarde in de richting van afname. Een negatieve breuk -3/4 kan bijvoorbeeld worden geïnterpreteerd als een schuld waarvan de waarde 3/4 is.

Op de horizontale en rechts gerichte negatieve breuken bevinden zich links van het referentiepunt. De punten van de coördinaatlijn waarvan de coördinaten de positieve fractie m/n en de negatieve fractie −m/n zijn, liggen op dezelfde afstand van de oorsprong, maar aan weerszijden van het punt O .

Hier is het vermeldenswaard fracties van de vorm 0/n. Deze breuken zijn gelijk aan het getal nul, dus 0/n=0 .

Positieve breuken, negatieve breuken en 0/n-breuken vormen samen rationale getallen.

Acties met breuken

Een actie met gewone breuken - breuken vergelijken - hebben we hierboven al besproken. Er zijn nog vier rekenkunde gedefinieerd bewerkingen met breuken- optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van breuken. Laten we bij elk van hen stilstaan.

De algemene essentie van acties met breuken is vergelijkbaar met de essentie van de overeenkomstige acties met natuurlijke getallen. Laten we een analogie trekken.

Vermenigvuldiging van breuken kan worden beschouwd als een handeling waarbij uit een breuk een breuk wordt gevonden. Laten we ter verduidelijking een voorbeeld nemen. Stel we hebben 1/6 van een appel en we moeten er 2/3 van nemen. Het deel dat we nodig hebben is het resultaat van het vermenigvuldigen van de breuken 1/6 en 2/3. Het resultaat van het vermenigvuldigen van twee gewone breuken is een gewone breuk (die in een bepaald geval gelijk is aan een natuurlijk getal). Verder raden we aan om de informatie van het artikel vermenigvuldiging van breuken te bestuderen - regels, voorbeelden en oplossingen.

Bibliografie.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Wiskunde: leerboek voor 5 cellen. onderwijsinstellingen.
Vilenkin N.Ya. enz. Wiskunde. Graad 6: leerboek voor onderwijsinstellingen.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Wiskunde (een handleiding voor kandidaten voor technische scholen).

De koningin van alle wetenschappen bestuderen - wiskunde, op een gegeven moment wordt iedereen geconfronteerd met breuken. Hoewel dit concept (evenals de soorten breuken zelf of wiskundige bewerkingen ermee) vrij eenvoudig is, moet het voorzichtig worden behandeld, omdat het in het echte leven buiten school erg nuttig zal zijn. Laten we dus onze kennis van breuken opfrissen: wat is het, waar dient het voor, welke soorten breuken zijn er en hoe maak je verschillende rekenkundige bewerkingen.

Hare Majesteit de breuk: wat is het?

Breuken in de wiskunde zijn getallen, die elk uit een of meer delen van de eenheid bestaan. Dergelijke breuken worden ook gewoon of eenvoudig genoemd. In de regel worden ze geschreven als twee getallen, die worden gescheiden door een horizontale of schuine streep, dit wordt een "fractionele" genoemd. Bijvoorbeeld: ½, .

De bovenste, of eerste van deze getallen is de teller (geeft aan hoeveel fracties van het getal zijn genomen), en de onderste, of tweede, is de noemer (geeft aan in hoeveel delen de eenheid is verdeeld).

De fractionele balk fungeert eigenlijk als een deelteken. Bijvoorbeeld 7:9=7/9

Traditioneel zijn gewone breuken kleiner dan één. Terwijl decimalen groter kunnen zijn dan dat.

Waar zijn breuken voor? Ja, voor alles, want in de echte wereld zijn niet alle getallen gehele getallen. Zo kochten twee schoolmeisjes in de kantine samen een heerlijke chocoladereep. Toen ze op het punt stonden een toetje te delen, ontmoetten ze een vriend en besloten haar ook te trakteren. Nu is het echter noodzakelijk om de chocoladereep correct te verdelen, aangezien deze uit 12 vierkanten bestaat.

Eerst wilden de meisjes alles gelijk verdelen, en dan kregen ze elk vier stukken. Maar na er even over nagedacht te hebben, besloten ze hun vriendin niet 1/3, maar 1/4 chocolaatjes te trakteren. En omdat schoolmeisjes breuken niet goed bestudeerden, hielden ze er geen rekening mee dat ze in een dergelijk scenario 9 stukken zouden hebben die erg slecht in tweeën zijn verdeeld. Dit vrij eenvoudige voorbeeld laat zien hoe belangrijk het is om het deel van een getal correct te kunnen vinden. Maar in het leven zijn er veel meer van dergelijke gevallen.

Soorten breuken: gewoon en decimaal

Alle wiskundige breuken zijn verdeeld in twee grote cijfers: gewoon en decimaal. De kenmerken van de eerste werden beschreven in de vorige paragraaf, dus nu is het de moeite waard om op de tweede te letten.

Een decimaal is een positionele notatie van een fractie van een getal, die is vastgelegd in een letter gescheiden door een komma, zonder een streepje of schuine streep. Bijvoorbeeld: 0,75, 0,5.

In feite is een decimale breuk identiek aan een gewone breuk, maar de noemer is altijd één gevolgd door nullen - vandaar de naam.

Het getal voorafgaand aan de komma is het gehele deel en alles na de komma is het breukdeel. Elke eenvoudige breuk kan worden omgezet in een decimaal. De decimale breuken die in het vorige voorbeeld zijn aangegeven, kunnen dus als gewone worden geschreven: ¾ en ½.

Het is vermeldenswaard dat zowel decimale als gewone breuken zowel positief als negatief kunnen zijn. Als ze worden voorafgegaan door een "-" teken, is deze breuk negatief, als "+" - dan positief.

Ondersoorten van gewone breuken

Er zijn dergelijke soorten eenvoudige breuken.

Ondersoort van de decimale breuk

In tegenstelling tot een eenvoudige, is de decimale breuk verdeeld in slechts 2 soorten.

Final - dankt zijn naam aan het feit dat het na de komma een beperkt (eind) aantal cijfers heeft: 19,25.
Een oneindige breuk is een getal met een oneindig aantal cijfers achter de komma. Als u bijvoorbeeld 10 deelt door 3, is het resultaat een oneindige breuk 3,333 ...

Optellen van breuken

Het uitvoeren van verschillende rekenkundige bewerkingen met breuken is iets moeilijker dan met gewone getallen. Als u echter de basisregels leert, zal het oplossen van een voorbeeld met hen niet moeilijk zijn.

Bijvoorbeeld: 2/3+3/4. Het kleinste gemene veelvoud voor hen is 12, daarom is het noodzakelijk dat dit getal in elke noemer staat. Om dit te doen, vermenigvuldigen we de teller en noemer van de eerste breuk met 4, het blijkt 8/12 te zijn, we doen hetzelfde met de tweede term, maar vermenigvuldigen alleen met 3 - 9/12. Nu kun je eenvoudig het voorbeeld oplossen: 8/12+9/12= 17/12. De resulterende breuk is een onjuiste waarde omdat de teller groter is dan de noemer. Het kan en moet worden omgezet in de juiste gemengde door 17:12 = 1 en 5/12 te delen.

Als gemengde breuken worden toegevoegd, worden de acties eerst uitgevoerd met gehele getallen en vervolgens met breuken.

Als het voorbeeld een decimale breuk en een gewone breuk bevat, moeten beide eenvoudig worden, breng ze dan naar dezelfde noemer en voeg ze toe. Bijvoorbeeld 3.1+1/2. Het getal 3.1 kan worden geschreven als een gemengde breuk van 3 en 1/10, of als een oneigenlijke - 31/10. De gemeenschappelijke noemer voor de termen is 10, dus je moet de teller en noemer 1/2 met 5 vermenigvuldigen, het blijkt 5/10 te zijn. Dan kun je eenvoudig alles uitrekenen: 31/10+5/10=35/10. Het verkregen resultaat is een oneigenlijke samentrekbare breuk, we brengen deze naar de normale vorm, verminderen met 5: 7/2=3 en 1/2, of decimaal - 3,5.

Bij het optellen van 2 decimalen is het belangrijk dat er hetzelfde aantal cijfers achter de komma staan. Als dit niet het geval is, hoeft u alleen maar het vereiste aantal nullen toe te voegen, want in een decimale breuk kan dit pijnloos worden gedaan. Bijvoorbeeld 3,5+3.005. Om deze taak op te lossen, moet u 2 nullen toevoegen aan het eerste getal en vervolgens om de beurt toevoegen: 3.500 + 3.005 = 3.505.

Aftrekken van breuken

Bij het aftrekken van breuken is het de moeite waard om hetzelfde te doen als bij het optellen: reduceer tot een gemeenschappelijke noemer, trek de ene teller van de andere af, zet het resultaat indien nodig om in een gemengde breuk.

Bijvoorbeeld: 16/20-5/10. De gemeenschappelijke noemer is 20. Je moet de tweede breuk naar deze noemer brengen, beide delen met 2 vermenigvuldigen, je krijgt 10/20. Nu kun je het voorbeeld oplossen: 16/20-10/20= 6/20. Dit resultaat is echter van toepassing op herleidbare breuken, dus het is de moeite waard om beide delen door 2 te delen en het resultaat is 3/10.

Vermenigvuldiging van breuken

Delen en vermenigvuldigen van breuken zijn veel eenvoudiger bewerkingen dan optellen en aftrekken. Het is een feit dat er bij het uitvoeren van deze taken niet naar een gemeenschappelijke noemer hoeft te worden gezocht.

Om breuken te vermenigvuldigen, moet je afwisselend beide tellers met elkaar vermenigvuldigen en vervolgens beide noemers. Verlaag het resulterende resultaat als de breuk een verlaagde waarde is.

Bijvoorbeeld: 4/9x5/8. Na afwisselend vermenigvuldigen is het resultaat 4x5/9x8=20/72. Zo'n breuk kan met 4 worden verminderd, dus het uiteindelijke antwoord in het voorbeeld is 5/18.

Hoe breuken te delen

Breuken delen is ook een simpele handeling, eigenlijk komt het nog steeds neer op vermenigvuldigen. Om de ene breuk door de andere te delen, moet je de tweede omdraaien en vermenigvuldigen met de eerste.

Bijvoorbeeld deling van breuken 5/19 en 5/7. Om het voorbeeld op te lossen, moet je de noemer en teller van de tweede breuk omwisselen en vermenigvuldigen: 5/19x7/5=35/95. Het resultaat kan met 5 worden verminderd - het blijkt 19 7/19.

Als je een breuk moet delen door een priemgetal, is de techniek iets anders. In eerste instantie is het de moeite waard om dit getal als een onjuiste breuk te schrijven en vervolgens volgens hetzelfde schema te delen. 2/13:5 moet bijvoorbeeld worden geschreven als 2/13:5/1. Nu moet je 5/1 omdraaien en de resulterende breuken vermenigvuldigen: 2/13x1/5= 2/65.

Soms moet je gemengde breuken delen. Je moet ermee omgaan, zoals met gehele getallen: verander ze in onechte breuken, draai de deler om en vermenigvuldig alles. Bijvoorbeeld 8 ½: 3. Alles in onechte breuken veranderen: 17/2: 3/1. Dit wordt gevolgd door een 3/1 flip en vermenigvuldiging: 17/2x1/3= 17/6. Nu moet je de verkeerde breuk in de juiste vertalen - 2 gehele getallen en 5/6.

Dus als je hebt uitgezocht wat breuken zijn en hoe je er verschillende rekenkundige bewerkingen mee kunt uitvoeren, moet je proberen het niet te vergeten. Mensen zijn immers altijd meer geneigd iets in delen op te delen dan toe te voegen, dus je moet het wel goed kunnen doen.