Even gelijke breuken. Identiteiten, definitie, notatie, voorbeelden

De getallen en uitdrukkingen waaruit de oorspronkelijke uitdrukking bestaat, kunnen worden vervangen door uitdrukkingen die er identiek aan gelijk zijn. Een dergelijke transformatie van de oorspronkelijke uitdrukking leidt tot een uitdrukking die daaraan identiek gelijk is.

In de uitdrukking 3+x kan bijvoorbeeld het getal 3 worden vervangen door de som 1+2 , wat resulteert in de uitdrukking (1+2)+x , die identiek gelijk is aan de oorspronkelijke uitdrukking. Nog een voorbeeld: in de uitdrukking 1+a 5 kan de graad van een 5 worden vervangen door een product dat er identiek aan is, bijvoorbeeld van de vorm a·a 4 . Dit geeft ons de uitdrukking 1+a·a 4 .

Deze transformatie is ongetwijfeld kunstmatig en is meestal een voorbereiding op een verdere transformatie. Bijvoorbeeld, in de som 4·x 3 +2·x 2 , rekening houdend met de eigenschappen van de graad, kan de term 4·x 3 worden weergegeven als een product 2·x 2 ·2·x . Na zo'n transformatie zal de oorspronkelijke uitdrukking de vorm 2·x 2 ·2·x+2·x 2 aannemen. Het is duidelijk dat de termen in de resulterende som een gemeenschappelijke factor 2 x 2 hebben, dus we kunnen de volgende transformatie uitvoeren - haakjes. Daarna komen we bij de uitdrukking: 2 x 2 (2 x+1) .

Hetzelfde getal optellen en aftrekken

Een andere kunstmatige transformatie van een uitdrukking is het tegelijkertijd optellen en aftrekken van hetzelfde getal of dezelfde uitdrukking. Zo'n transformatie is identiek, aangezien het in feite gelijk is aan het optellen van nul, en het optellen van nul verandert de waarde niet.

Overweeg een voorbeeld. Laten we de uitdrukking x 2 +2 x nemen. Als je er één bij optelt en er één aftrekt, dan kun je in de toekomst nog een identieke transformatie uitvoeren - selecteer het kwadraat van de binomiaal: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Bibliografie.

Algebra: leerboek voor 7 cellen. algemene educatie instellingen / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; red. S.A. Teljakovski. - 17e druk. - M. : Onderwijs, 2008. - 240 p. : ziek. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: leerboek voor 8 cellen. algemene educatie instellingen / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; red. S.A. Teljakovski. - 16e druk. - M. : Onderwijs, 2008. - 271 p. : ziek. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovitsj A.G. Algebra. Groep 7. Om 14.00 uur Deel 1. Een leerboek voor studenten van onderwijsinstellingen / A. G. Mordkovich. - 17e druk, toegevoegd. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: afb. ISBN 978-5-346-02432-3.

Dit artikel geeft een initiaal idee van identiteiten. Hier zullen we een identiteit definiëren, de gebruikte notatie introduceren en natuurlijk verschillende voorbeelden van identiteiten geven.

Paginanavigatie.

Wat is identiteit?

Het is logisch om de presentatie van het materiaal te beginnen met identiteitsdefinities. In Yu. N. Makarychev's leerboek, algebra voor 7 klassen, wordt de definitie van identiteit als volgt gegeven:

Definitie.

Identiteit is een gelijkheid waar voor alle waarden van de variabelen; elke echte numerieke gelijkheid is ook een identiteit.

Tegelijkertijd stelt de auteur meteen vast dat deze definitie in de toekomst zal worden verduidelijkt. Deze verduidelijking vindt plaats in de 8e klas, na kennis te hebben gemaakt met de definitie van acceptabele waarden van variabelen en ODZ. De definitie wordt:

Definitie.

identiteiten zijn echte numerieke gelijkheden, evenals gelijkheden die gelden voor alle toelaatbare waarden van de variabelen die erin zijn opgenomen.

Dus waarom, bij het definiëren van een identiteit, praten we in de 7e klas over eventuele waarden van variabelen, en in de 8e klas beginnen we te praten over de waarden van variabelen uit hun DPV? Tot groep 8 wordt uitsluitend gewerkt met gehele uitdrukkingen (in het bijzonder met monomials en polynomen), en ze zijn logisch voor alle waarden van de variabelen die erin zijn opgenomen. Daarom zeggen we in de 7e klas dat een identiteit een gelijkheid is die geldt voor alle waarden van de variabelen. En in de 8e klas verschijnen uitdrukkingen die al logisch zijn, niet voor alle waarden van variabelen, maar alleen voor waarden uit hun ODZ. Daarom beginnen we met identiteiten gelijkheden te noemen die waar zijn voor alle toelaatbare waarden van de variabelen.

Identiteit is dus een speciaal geval van gelijkheid. Dat wil zeggen, elke identiteit is een gelijkheid. Maar niet elke gelijkheid is een identiteit, maar alleen een gelijkheid die geldt voor alle waarden van variabelen uit hun bereik van acceptabele waarden.

Identiteitsteken

Het is bekend dat bij het schrijven van gelijkheden een gelijkteken van de vorm "=" wordt gebruikt, links en rechts waarvan enkele getallen of uitdrukkingen staan. Als we nog een horizontale lijn aan dit teken toevoegen, krijgen we identiteitsteken"≡", of zoals het ook wordt genoemd gelijkteken.

Het teken van identiteit wordt meestal alleen gebruikt als het nodig is om te benadrukken dat we niet alleen gelijkheid, maar juist identiteit voor ons hebben. In andere gevallen verschillen de representaties van identiteiten niet in vorm van gelijkheden.

Identiteitsvoorbeelden

Het is tijd om te brengen voorbeelden van identiteiten. De definitie van identiteit in de eerste paragraaf helpt ons daarbij.

De numerieke gelijkheden 2=2 zijn voorbeelden van identiteiten, aangezien deze gelijkheden waar zijn, en elke echte numerieke gelijkheid per definitie een identiteit is. Ze kunnen worden geschreven als 2≡2 en .

Numerieke gelijkheden van de vorm 2+3=5 en 7−1=2·3 zijn ook identiteiten, aangezien deze gelijkheden waar zijn. Dat wil zeggen, 2+3≡5 en 7−1≡2 3 .

Laten we verder gaan met voorbeelden van identiteiten die niet alleen getallen, maar ook variabelen in hun notatie bevatten.

Beschouw de gelijkheid 3·(x+1)=3·x+3 . Voor elke waarde van de variabele x is de geschreven gelijkheid waar vanwege de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging met betrekking tot optellen, daarom is de oorspronkelijke gelijkheid een voorbeeld van een identiteit. Hier is nog een voorbeeld van een identiteit: y (x−1)≡(x−1)x:x y 2:y, hier is het bereik van acceptabele waarden voor de variabelen x en y alle paren (x, y), waarbij x en y alle getallen zijn behalve nul.

Maar de gelijkheden x+1=x−1 en a+2 b=b+2 a zijn geen identiteiten, aangezien er waarden zijn van de variabelen waarvoor deze gelijkheden onjuist zullen zijn. Bijvoorbeeld, voor x=2 verandert de gelijkheid x+1=x−1 in de verkeerde gelijkheid 2+1=2−1 . Bovendien wordt de gelijkheid x+1=x−1 helemaal niet bereikt voor alle waarden van de variabele x . En de gelijkheid a+2·b=b+2·a wordt een onjuiste gelijkheid als we andere waarden nemen van de variabelen a en b . Met a=0 en b=1 komen we bijvoorbeeld tot de verkeerde gelijkheid 0+2 1=1+2 0 . Gelijkheid |x|=x , waarbij |x| - variabele x , is ook geen identiteit, aangezien dit niet geldt voor negatieve waarden van x .

Voorbeelden van de bekendste identiteiten zijn sin 2 α+cos 2 α=1 en a log a b =b .

Ter afsluiting van dit artikel wil ik opmerken dat we bij het bestuderen van wiskunde voortdurend identiteiten tegenkomen. Nummeractie-eigenschapsrecords zijn identiteiten, bijvoorbeeld a+b=b+a , 1 a=a , 0 a=0 en a+(−a)=0 . Ook zijn de identiteiten:

Identiteitsconversies zijn het werk dat we doen met numerieke en alfabetische uitdrukkingen, evenals met uitdrukkingen die variabelen bevatten. We voeren al deze transformaties uit om de oorspronkelijke uitdrukking in een vorm te brengen die handig is om het probleem op te lossen. We zullen in dit onderwerp de belangrijkste soorten identieke transformaties bekijken.

Yandex.RTB RA-339285-1

Identiteitstransformatie van een uitdrukking. Wat het is?

Voor het eerst ontmoeten we het concept van identieke getransformeerde we in algebralessen in groep 7. Dan maken we eerst kennis met het concept van identiek gelijke uitdrukkingen. Laten we de concepten en definities behandelen om de assimilatie van het onderwerp te vergemakkelijken.

Definitie 1

Identiteitstransformatie van een uitdrukking zijn acties die worden uitgevoerd om de originele uitdrukking te vervangen door een uitdrukking die identiek gelijk is aan de originele.

Vaak wordt deze definitie in afgekorte vorm gebruikt, waarbij het woord "identiek" is weggelaten. Aangenomen wordt dat we in ieder geval de transformatie van de uitdrukking zodanig uitvoeren dat een uitdrukking wordt verkregen die identiek is aan de oorspronkelijke, en dit hoeft niet apart te worden benadrukt.

Laten we deze definitie illustreren met voorbeelden.

voorbeeld 1

Als we de uitdrukking . vervangen x + 3 - 2 naar de identiek gelijke uitdrukking x+1, dan voeren we de identieke transformatie van de uitdrukking uit x + 3 - 2.

Voorbeeld 2

Uitdrukking 2 a 6 vervangen door uitdrukking een 3 is de identiteitstransformatie, terwijl de vervanging van de uitdrukking x naar de uitdrukking x2 is geen identieke transformatie, aangezien de uitdrukkingen x en x2 zijn niet identiek gelijk.

We vestigen uw aandacht op de vorm van het schrijven van uitdrukkingen bij het uitvoeren van identieke transformaties. Meestal schrijven we de oorspronkelijke uitdrukking en de resulterende uitdrukking als een gelijkheid. Dus, schrijven x + 1 + 2 = x + 3 betekent dat de uitdrukking x + 1 + 2 is teruggebracht tot de vorm x + 3 .

Opeenvolgende uitvoering van acties leidt ons naar een keten van gelijkheden, dat wil zeggen meerdere opeenvolgende identieke transformaties. Dus we begrijpen de notatie x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x als een opeenvolgende implementatie van twee transformaties: eerst werd de uitdrukking x + 1 + 2 gereduceerd tot de vorm x + 3, en het werd gereduceerd tot de vorm 3 + x.

Identiteitstransformaties en ODZ

Een aantal uitdrukkingen die we in groep 8 beginnen te bestuderen, hebben geen zin voor waarden van variabelen. Het uitvoeren van identieke transformaties in deze gevallen vereist dat we aandacht besteden aan het gebied van toelaatbare waarden van variabelen (ODV). Als u identieke transformaties uitvoert, blijft de ODZ mogelijk ongewijzigd of wordt deze beperkt.

Voorbeeld 3

Bij het uitvoeren van een overgang van de uitdrukking een + (−b) naar de uitdrukking a-b bereik van toegestane waarden van variabelen a en b blijft hetzelfde.

Voorbeeld 4

Overgang van uitdrukking x naar uitdrukking x 2 x leidt tot een vernauwing van het bereik van aanvaardbare waarden van de variabele x van de verzameling van alle reële getallen tot de verzameling van alle reële getallen, waarvan nul is uitgesloten.

Voorbeeld 5

Identiteitstransformatie van een uitdrukking x 2 x uitdrukking x leidt tot de uitbreiding van het bereik van acceptabele waarden van de variabele x van de verzameling van alle reële getallen behalve nul tot de verzameling van alle reële getallen.

Het verkleinen of uitbreiden van het bereik van toegestane waarden van variabelen bij het uitvoeren van identieke transformaties is belangrijk bij het oplossen van problemen, omdat dit de nauwkeurigheid van berekeningen kan beïnvloeden en tot fouten kan leiden.

Basis identiteitstransformaties

Laten we nu eens kijken wat identieke transformaties zijn en hoe ze worden uitgevoerd. Laten we de soorten identieke transformaties waarmee we het vaakst te maken hebben, in de hoofdgroep onderscheiden.

Naast de basisidentiteitstransformaties zijn er een aantal transformaties die betrekking hebben op uitingen van een bepaald type. Voor breuken zijn dit methoden van reductie en reductie tot een nieuwe noemer. Voor uitdrukkingen met wortels en krachten, alle handelingen die worden uitgevoerd op basis van de eigenschappen van wortels en krachten. Voor logaritmische expressies, acties die worden uitgevoerd op basis van de eigenschappen van logaritmen. Voor trigonometrische uitdrukkingen, alle acties die trigonometrische formules gebruiken. Al deze specifieke transformaties worden in detail besproken in afzonderlijke onderwerpen die te vinden zijn op onze bron. Om deze reden zullen we er in dit artikel niet op ingaan.

Laten we overgaan tot de beschouwing van de belangrijkste identieke transformaties.

Herschikking van termen, factoren

Laten we beginnen met het herschikken van de voorwaarden. We behandelen deze identieke transformatie het vaakst. En de volgende uitspraak kan hier als de hoofdregel worden beschouwd: hoe dan ook, de herschikking van termen in plaatsen heeft geen invloed op het resultaat.

Deze regel is gebaseerd op de commutatieve en associatieve eigenschappen van optellen. Deze eigenschappen stellen ons in staat om de termen op plaatsen te herschikken en tegelijkertijd uitdrukkingen te verkrijgen die identiek zijn aan de originele. Daarom is de herschikking van termen op plaatsen in de som een identieke transformatie.

Voorbeeld 6

We hebben de som van drie termen 3 + 5 + 7 . Als we de termen 3 en 5 omwisselen, krijgt de uitdrukking de vorm 5 + 3 + 7. Er zijn verschillende opties om de termen in dit geval te herschikken. Allemaal leiden ze tot het verkrijgen van uitdrukkingen die identiek gelijk zijn aan de originele.

Niet alleen getallen, maar ook uitdrukkingen kunnen als termen in de som fungeren. Ze kunnen, net als getallen, worden herschikt zonder het uiteindelijke resultaat van berekeningen te beïnvloeden.

Voorbeeld 7

In de som van drie termen 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 en - 12 a van de vorm 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) a-termen kunnen worden herschikt, bijvoorbeeld als volgt (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 . U kunt op uw beurt de termen in de noemer van de breuk 1 a + b herschikken, terwijl de breuk de vorm 1 b + a zal aannemen. En de uitdrukking onder het wortelteken een 2 + 2 een + 5 is ook een som waarin de termen kunnen worden uitgewisseld.

Op dezelfde manier als de termen, kan men in de originele uitdrukkingen de factoren verwisselen en identiek correcte vergelijkingen verkrijgen. Deze actie wordt beheerst door de volgende regel:

definitie 2

In het product heeft het herschikken van de factoren op plaatsen geen invloed op het resultaat van de berekening.

Deze regel is gebaseerd op de commutatieve en associatieve eigenschappen van vermenigvuldiging, die de juistheid van de identieke transformatie bevestigen.

Voorbeeld 8

Werk 3 5 7 permutatie van factoren kan worden weergegeven in een van de volgende vormen: 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 of 3 7 5.

Voorbeeld 9

Permuteren van de factoren in het product x + 1 x 2 - x + 1 x geeft x 2 - x + 1 x x + 1

Beugeluitbreiding

Haakjes kunnen vermeldingen van numerieke uitdrukkingen en uitdrukkingen met variabelen bevatten. Deze uitdrukkingen kunnen worden omgezet in identiek gelijke uitdrukkingen, waarbij er helemaal geen haakjes zijn of er minder zijn dan in de oorspronkelijke uitdrukkingen. Deze manier om uitdrukkingen om te zetten wordt de uitbreiding van haakjes genoemd.

Voorbeeld 10

Laten we acties met haakjes uitvoeren in een uitdrukking van de vorm 3 + x − 1 x om de identiek ware uitdrukking te krijgen 3 + x − 1 x.

De uitdrukking 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x kan worden geconverteerd naar de identiek gelijke uitdrukking zonder haakjes 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x.

We hebben de regels voor het converteren van uitdrukkingen met haakjes in detail besproken in het onderwerp "Bracketuitbreiding", dat op onze bron is geplaatst.

Groepering termen, factoren

In gevallen waarin we te maken hebben met drie of meer termen, kunnen we onze toevlucht nemen tot een dergelijk type identieke transformaties als een groepering van termen. Met deze methode van transformatie wordt bedoeld de vereniging van verschillende termen in een groep door ze te herschikken en tussen haakjes te plaatsen.

Bij het groeperen worden de termen zodanig verwisseld dat de gegroepeerde termen in het expressierecord naast elkaar staan. Daarna kunnen ze tussen haakjes worden geplaatst.

Voorbeeld 11

Neem de uitdrukking 5 + 7 + 1 . Als we de eerste term groeperen met de derde, krijgen we (5 + 1) + 7 .

Het groeperen van factoren wordt op dezelfde manier uitgevoerd als het groeperen van termen.

Voorbeeld 12

In productie 2 3 4 5 het is mogelijk om de eerste factor te groeperen met de derde, en de tweede factor met de vierde, in dit geval komen we tot de uitdrukking (2 4) (3 5). En als we de eerste, tweede en vierde factor zouden groeperen, zouden we de uitdrukking krijgen: (2 3 5) 4.

De termen en factoren die zijn gegroepeerd, kunnen worden weergegeven door zowel priemgetallen als uitdrukkingen. De groeperingsregels werden in detail besproken in het onderwerp "Groepstermen en factoren".

Verschillen vervangen door sommen, deelproducten en vice versa

Het vervangen van verschillen door sommen werd mogelijk dankzij onze kennis met tegengestelde getallen. Nu aftrekken van een getal a nummers b kan worden gezien als een toevoeging aan het nummer a nummers b. Gelijkwaardigheid een b = een + (− b) als redelijk kan worden beschouwd en op basis daarvan de verschillen door bedragen vervangen.

Voorbeeld 13

Neem de uitdrukking 4 + 3 − 2 , waarin het verschil van getallen 3 − 2 we kunnen schrijven als de som 3 + (− 2) . Krijgen 4 + 3 + (− 2) .

Voorbeeld 14

Alle verschillen in uitdrukking 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 kan worden vervangen door sommen zoals 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0 , 2).

We kunnen overgaan tot sommen van eventuele verschillen. Op dezelfde manier kunnen we een omgekeerde substitutie maken.

De vervanging van deling door vermenigvuldiging met het omgekeerde van de deler wordt mogelijk gemaakt door het concept van wederzijdse getallen. Deze transformatie kan worden geschreven als a: b = een (b 1).

Deze regel was de basis van de regel voor het delen van gewone breuken.

Voorbeeld 15

Privaat 1 2: 3 5 kan worden vervangen door een product van het formulier 1 2 5 3.

Evenzo kan naar analogie deling worden vervangen door vermenigvuldiging.

Voorbeeld 16

In het geval van de uitdrukking 1+5:x:(x+3) vervang deling door x kan worden vermenigvuldigd met 1 x. Deling door x + 3 we kunnen vervangen door te vermenigvuldigen met 1x + 3. De transformatie stelt ons in staat om een uitdrukking te verkrijgen die identiek is aan de originele: 1 + 5 1 x 1 x + 3 .

Het vervangen van vermenigvuldiging door deling wordt uitgevoerd volgens het schema a b = a: (b 1).

Voorbeeld 17

In de uitdrukking 5 x x 2 + 1 - 3 kan vermenigvuldiging worden vervangen door deling als 5: x 2 + 1 x - 3.

Acties uitvoeren met cijfers

Het uitvoeren van bewerkingen met getallen is onderworpen aan de regel van volgorde van bewerkingen. Eerst worden bewerkingen uitgevoerd met machten van getallen en wortels van getallen. Daarna vervangen we logaritmen, trigonometrische en andere functies door hun waarden. Vervolgens worden de acties tussen haakjes uitgevoerd. En dan kun je alle andere handelingen al van links naar rechts uitvoeren. Het is belangrijk om te onthouden dat vermenigvuldigen en delen wordt uitgevoerd vóór optellen en aftrekken.

Bewerkingen met getallen stellen u in staat de oorspronkelijke uitdrukking om te zetten in een identieke uitdrukking die daaraan gelijk is.

Voorbeeld 18

Laten we de uitdrukking 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x transformeren door alle mogelijke bewerkingen met getallen uit te voeren.

Oplossing

Laten we eerst eens kijken naar de graad 2 3 en wortel 4 en bereken hun waarden: 2 3 = 8 en 4 = 2 2 = 2 .

Vervang de verkregen waarden in de oorspronkelijke uitdrukking en krijg: 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) .

Laten we nu de haakjes doen: 8 − 1 = 7 . En laten we verder gaan met de uitdrukking 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) .

We hoeven alleen de vermenigvuldiging te doen 3 en 7 . We krijgen: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Antwoorden: 3 2 3 - 1 een + 4 x 2 + 5 x = 21 een + 2 (x 2 + 5 x)

Bewerkingen met getallen kunnen worden voorafgegaan door andere soorten identieke transformaties, zoals het groeperen van getallen of het uitbreiden van haakjes.

Voorbeeld 19

Neem de uitdrukking 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11.

Oplossing

Allereerst zullen we het quotiënt tussen haakjes veranderen 6: 3 over de betekenis ervan 2 . We krijgen: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 .

Laten we de haakjes uitbreiden: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

We groeperen de numerieke factoren in het product, evenals de termen die getallen zijn: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Laten we de haakjes doen: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Antwoorden:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Als we met numerieke uitdrukkingen werken, zal het doel van ons werk zijn om de waarde van de uitdrukking te vinden. Als we uitdrukkingen met variabelen transformeren, is het doel van onze acties om de uitdrukking te vereenvoudigen.

Bracketing van de gemeenschappelijke factor

In gevallen waarin de termen in de uitdrukking dezelfde factor hebben, kunnen we deze gemeenschappelijke factor tussen haakjes halen. Om dit te doen, moeten we eerst de oorspronkelijke uitdrukking weergeven als het product van een gemeenschappelijke factor en een uitdrukking tussen haakjes, die bestaat uit de oorspronkelijke termen zonder een gemeenschappelijke factor.

Voorbeeld 20

Numeriek 2 7 + 2 3 we kunnen de gemeenschappelijke factor eruit halen: 2 buiten de haakjes en krijg een identiek correcte uitdrukking van de vorm 2 (7 + 3).

U kunt het geheugen van de regels voor het plaatsen van de gemeenschappelijke factor tussen haakjes opfrissen in de overeenkomstige sectie van onze bron. Het materiaal bespreekt in detail de regels om de gemeenschappelijke factor uit de haakjes te halen en geeft tal van voorbeelden.

Vermindering van vergelijkbare termen

Laten we nu verder gaan met sommen die soortgelijke termen bevatten. Hierbij zijn twee opties mogelijk: sommen die dezelfde termen bevatten, en sommen waarvan de termen verschillen door een numerieke coëfficiënt. Bewerkingen met sommen die gelijke termen bevatten, worden reductie van gelijkaardige termen genoemd. Het gaat als volgt: we plaatsen het gemeenschappelijke lettergedeelte tussen haakjes en berekenen de som van de numerieke coëfficiënten tussen haakjes.

Voorbeeld 21

Overweeg de uitdrukking 1 + 4 x 2 x. We kunnen het letterlijke deel van x tussen haakjes halen en de uitdrukking krijgen 1 + x (4 − 2). Laten we de waarde van de uitdrukking tussen haakjes berekenen en de som krijgen van de vorm 1 + x · 2 .

Cijfers en uitdrukkingen vervangen door identiek gelijke uitdrukkingen

Voorbeeld 22 Voorbeeld 23

Overweeg de uitdrukking 1 + a5, waarin we de graad a 5 kunnen vervangen door een product dat er identiek aan is, bijvoorbeeld van de vorm een 4. Dit geeft ons de uitdrukking 1 + een 4.

De uitgevoerde transformatie is kunstmatig. Het heeft alleen zin als voorbereiding op andere transformaties.

Voorbeeld 24

Overweeg de transformatie van de som 4x3 + 2x2. hier de term 4x3 we kunnen vertegenwoordigen als een product 2x2x2x. Als resultaat krijgt de oorspronkelijke uitdrukking de vorm 2 x 2 2 x + 2 x 2. Nu kunnen we de gemeenschappelijke factor isoleren 2x2 en haal het uit de haakjes: 2x2 (2x+1).

Hetzelfde getal optellen en aftrekken

Hetzelfde getal of dezelfde uitdrukking tegelijkertijd optellen en aftrekken is een kunstmatige transformatietechniek voor uitdrukkingen.

Voorbeeld 25

Overweeg de uitdrukking x 2 + 2 x. We kunnen er een optellen of aftrekken, waardoor we vervolgens nog een identieke transformatie kunnen uitvoeren - om het kwadraat van de binomiaal te selecteren: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

§ 2. Identiteitsuitdrukkingen, identiteit. Identiteitstransformatie van een uitdrukking. identiteitsbewijzen

Laten we de waarden van de uitdrukkingen 2(x - 1) 2x - 2 zoeken voor de gegeven waarden van de variabele x. We schrijven de resultaten in een tabel:

Geconcludeerd kan worden dat de waarden van de uitdrukkingen 2(x - 1) 2x - 2 voor elke gegeven waarde van de variabele x gelijk zijn aan elkaar. Volgens de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging met betrekking tot aftrekking 2(x - 1) = 2x - 2. Daarom zal voor elke andere waarde van de variabele x de waarde van de uitdrukking 2(x - 1) 2x - 2 ook zijn gelijk aan elkaar. Dergelijke uitdrukkingen worden identiek gelijk genoemd.

De uitdrukkingen 2x + 3x en 5x zijn bijvoorbeeld synoniemen, omdat deze uitdrukkingen voor elke waarde van de variabele x dezelfde waarden krijgen (dit volgt uit de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging met betrekking tot optellen, aangezien 2x + 3x \u003d 5x).

Beschouw nu de uitdrukkingen 3x + 2y en 5xy. Als x \u003d 1 en b \u003d 1, dan zijn de overeenkomstige waarden van deze uitdrukkingen gelijk aan elkaar:

3x + 2j \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 \u003d 5; 5xy = 5 1 ∙ 1 = 5.

U kunt echter x- en y-waarden opgeven waarvoor de waarden van deze uitdrukkingen niet gelijk aan elkaar zullen zijn. Bijvoorbeeld, als x = 2; y = 0, dan

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Bijgevolg zijn er zulke waarden van de variabelen waarvoor de overeenkomstige waarden van de uitdrukkingen 3x + 2y en 5xy niet gelijk aan elkaar zijn. Daarom zijn de uitdrukkingen 3x + 2y en 5xy niet identiek gelijk.

Op grond van het voorgaande zijn met name identiteiten gelijkheden: 2(x - 1) = 2x - 2 en 2x + 3x = 5x.

Een identiteit is elke gelijkheid die bekende eigenschappen van acties op getallen vastlegt. Bijvoorbeeld,

een + b = b + een; (a + b) + c = een + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = een(bc); a(b - c) = ab - ac.

Er zijn ook gelijkheden als identiteiten:

een + 0 = een; een ∙ 0 = 0; a (-b) = -ab;

een + (-a) = 0; een 1 = een; een (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Als we vergelijkbare termen in de uitdrukking -5x + 2x - 9 verkleinen, krijgen we dat 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9. In dit geval zeggen ze dat de uitdrukking 5x + 2x - 9 is vervangen door de uitdrukking 7x - 9, die er identiek aan is.

Identieke transformaties van uitdrukkingen met variabelen worden uitgevoerd door de eigenschappen van bewerkingen op getallen toe te passen. In het bijzonder identieke transformaties met het openen van haakjes, de constructie van vergelijkbare termen en dergelijke.

Identieke transformaties moeten worden uitgevoerd bij het vereenvoudigen van de uitdrukking, dat wil zeggen, het vervangen van een uitdrukking door een uitdrukking die er identiek aan is, die korter zou moeten zijn.

Voorbeeld 1. Vereenvoudig de uitdrukking:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - a + 2 b + 3 b - a= 3a + 5b + 2.

Om te bewijzen dat gelijkheid een identiteit is (met andere woorden, om identiteit te bewijzen, gebruikt men identiteitstransformaties van uitdrukkingen.

U kunt de identiteit op een van de volgende manieren bewijzen:

identieke transformaties van de linkerkant uitvoeren, waardoor deze wordt teruggebracht tot de vorm van de rechterkant;
identieke transformaties van de rechterkant uitvoeren, waardoor deze wordt teruggebracht tot de vorm van de linkerkant;
identieke transformaties van beide delen uitvoeren, waarbij beide delen tot dezelfde uitdrukkingen worden verheven.

Voorbeeld 2. Bewijs de identiteit:

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206 - 4a = 5(2a - 3b) - 7(2a - 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

Ontwikkeling

1) Laten we de linkerkant van deze gelijkheid transformeren:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

Door identieke transformaties werd de uitdrukking aan de linkerkant van de gelijkheid teruggebracht tot de vorm van de rechterkant en bewees zo dat deze gelijkheid een identiteit is.

2) Laten we de rechterkant van deze gelijkheid transformeren:

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10 a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.

Door identieke transformaties werd de rechterkant van de gelijkheid teruggebracht tot de vorm van de linkerkant en bewees zo dat deze gelijkheid een identiteit is.

3) In dit geval is het handig om zowel het linker- als het rechtergedeelte van de gelijkheid te vereenvoudigen en de resultaten te vergelijken:

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

Door identieke transformaties werden het linker- en rechterdeel van de gelijkheid teruggebracht tot dezelfde vorm: 26x - 44. Deze gelijkheid is dus een identiteit.

Welke uitdrukkingen worden identiek genoemd? Geef een voorbeeld van identieke uitdrukkingen. Welke gelijkheid wordt identiteit genoemd? Geef een voorbeeld van identiteit. Wat wordt de identiteitstransformatie van een uitdrukking genoemd? Hoe identiteit bewijzen?

(Mondeling) Of er zijn uitdrukkingen die identiek gelijk zijn:

1) 2a + a en 3a;

2) 7x + 6 en 6 + 7x;

3) x + x + x en x 3;

4) 2(x - 2) en 2x - 4;

5) m-n en n-m;

6) 2a ∙ r en 2p ∙ a?

Zijn de uitdrukkingen identiek gelijk:

1) 7x - 2x en 5x;

2) 5a - 4 en 4 - 5a;

3) 4m + n en n + 4m;

4) a + a en een 2;

5) 3(a - 4) en 3a - 12;

6) 5m ∙ n en 5m + n?

(Verbaal) Is de identiteit van gelijkheid:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7r - 1 = -1 + 7r;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

Haakjes openen:

Haakjes openen:

Gelijkaardige termen verminderen:

Noem meerdere uitdrukkingen die identiek zijn aan uitdrukkingen 2a + 3a.
Vereenvoudig de uitdrukking met behulp van de permuterende en conjunctieve eigenschappen van vermenigvuldiging:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4p (-1,5);

3) 0,2 x (0,3 g);

4)- x<-7у).

Vereenvoudig de uitdrukking:

1) -2p ∙ 3,5;

2) 7a (-1.2);

3) 0,2 x (-3j);

4) - 1 m∙ (-3n).

(Verbaal) Vereenvoudig de uitdrukking:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

Gelijkaardige termen verminderen:

1) 56 - 8a + 4b - een;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3(2p - 7) - 2(g - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

Open de haakjes en verklein soortgelijke termen:

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2 (3p - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3(5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6x + 0,4(x - 20) als x = 2,4;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4 als a = 10;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), als m = -3,7;

4) 2x - 3(x + y) + 4y als x = -1, y = 1.

Vereenvoudig de uitdrukking en vind de waarde ervan:

1) 0,7 x + 0,3 (x - 4) als x = -0,7;

2) 1,7 (y - 11) - 16,3, als v \u003d 20;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), als a = -1;

4) 5(m - n) - 4m + 7n als m = 1,8; n = -0,9.

Bewijs de identiteit:

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) s - 2 \u003d 5 (s + 2) - 4 (s + 3).

Bewijs de identiteit:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

De lengte van een van de zijden van de driehoek is een cm en de lengte van elk van de andere twee zijden is 2 cm meer. Schrijf de omtrek van de driehoek als een uitdrukking en vereenvoudig de uitdrukking.
De breedte van de rechthoek is x cm en de lengte is 3 cm meer dan de breedte. Schrijf de omtrek van de rechthoek als een uitdrukking en vereenvoudig de uitdrukking.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n-m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6а - b) - (4 a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

Vouw de haakjes uit en vereenvoudig de uitdrukking:

1) een - (a - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5 jaar - (6 jaar - (7 jaar - (8 jaar - 1)));

6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a - 1b).

Bewijs de identiteit:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g);

3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).

Bewijs de identiteit:

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4(x + y-<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

Bewijs dat de waarde van de uitdrukking

1.8(m - 2) + 1.4(2 - m) + 0.2(1.7 - 2m) is niet afhankelijk van de waarde van de variabele.

Bewijs dat voor elke waarde van de variabele, de waarde van de uitdrukking

a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)

is hetzelfde nummer.

Bewijs dat de som van drie opeenvolgende even getallen deelbaar is door 6.
Bewijs dat als n een natuurlijk getal is, de waarde van de uitdrukking -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) een even getal is.

Oefeningen om te herhalen

Een legering van 1,6 kg bevat 15% koper. Hoeveel kg koper zit er in deze legering?
Welk percentage is het getal 20 van zijn:

1) vierkant;

De toerist liep 2 uur en fietste 3 uur. In totaal legde de toerist 56 km af. Zoek de snelheid waarmee de toerist fietste als deze 12 km/u hoger is dan de snelheid waarmee hij liep.

Interessante taken voor luie studenten

11 teams doen mee aan het stadsvoetbalkampioenschap. Elk team speelt een wedstrijd met de anderen. Bewijs dat er op elk moment van de competitie een team is dat een even aantal wedstrijden heeft gespeeld of nog geen wedstrijden heeft gespeeld.

Nadat we het begrip identiteiten hebben behandeld, kunnen we overgaan tot de studie van identiek gelijke uitdrukkingen. Het doel van dit artikel is om uit te leggen wat het is en om met voorbeelden te laten zien welke uitdrukkingen identiek gelijk zijn aan andere.

Yandex.RTB RA-339285-1

Identieke gelijke uitdrukkingen: definitie

Het concept van identiek gelijke uitdrukkingen wordt gewoonlijk samen met het concept identiteit zelf bestudeerd in het kader van een cursus algebra op school. Hier is een basisdefinitie uit één leerboek:

Definitie 1

identiek gelijk elkaar zullen er dergelijke uitdrukkingen zijn, waarvan de waarden hetzelfde zullen zijn voor alle mogelijke waarden van de variabelen die in hun samenstelling zijn opgenomen.

Dergelijke numerieke uitdrukkingen worden ook als identiek gelijk beschouwd, wat overeenkomt met dezelfde waarden.

Dit is een vrij brede definitie, die geldt voor alle gehele uitdrukkingen, waarvan de betekenis niet verandert wanneer de waarden van de variabelen veranderen. Later wordt het echter nodig om deze definitie te verduidelijken, omdat er naast gehele getallen nog andere soorten uitdrukkingen zijn die bij bepaalde variabelen niet logisch zijn. Dit geeft aanleiding tot het concept van de toelaatbaarheid en niet-ontvankelijkheid van bepaalde waarden van variabelen, evenals de noodzaak om het bereik van toelaatbare waarden te bepalen. Laten we een verfijnde definitie formuleren.

definitie 2

Identieke gelijke uitdrukkingen zijn die uitdrukkingen waarvan de waarden gelijk zijn aan elkaar voor alle geldige waarden van de variabelen die in hun samenstelling zijn opgenomen. Numerieke uitdrukkingen zijn identiek aan elkaar, op voorwaarde dat de waarden hetzelfde zijn.

De zinsnede "voor alle toegestane waarden van de variabelen" geeft al die waarden van de variabelen aan waarvoor beide uitdrukkingen zinvol zijn. We zullen deze positie later uitleggen, wanneer we voorbeelden geven van identiek gelijke uitdrukkingen.

U kunt ook de volgende definitie opgeven:

Definitie 3

Identieke gelijke uitdrukkingen zijn uitdrukkingen die zich aan de linker- en rechterkant in dezelfde identiteit bevinden.

Voorbeelden van uitdrukkingen die identiek aan elkaar zijn

Gebruik de hierboven gegeven definities om een paar voorbeelden van dergelijke uitdrukkingen te bekijken.

Laten we beginnen met numerieke uitdrukkingen.

voorbeeld 1

Dus 2 + 4 en 4 + 2 zullen identiek gelijk zijn aan elkaar, aangezien hun resultaten gelijk zullen zijn aan (6 en 6).

Voorbeeld 2

Op dezelfde manier zijn de uitdrukkingen 3 en 30 identiek gelijk: 10 , (2 2) 3 en 2 6 (om de waarde van de laatste uitdrukking te berekenen, moet u de eigenschappen van de graad kennen).

Voorbeeld 3

Maar de uitdrukkingen 4 - 2 en 9 - 1 zullen niet gelijk zijn, omdat hun waarden anders zijn.

Laten we verder gaan met voorbeelden van letterlijke uitdrukkingen. A + b en b + a zullen identiek gelijk zijn, en dit hangt niet af van de waarden van de variabelen (de gelijkheid van uitdrukkingen wordt in dit geval bepaald door de commutatieve eigenschap van optellen).

Voorbeeld 4

Als a bijvoorbeeld 4 is en b 5 is, zijn de resultaten nog steeds hetzelfde.

Een ander voorbeeld van identiek gelijke uitdrukkingen met letters is 0 · x · y · z en 0 . Wat de waarden van de variabelen in dit geval ook zijn, wanneer ze met 0 worden vermenigvuldigd, geven ze 0 . De ongelijke uitdrukkingen zijn 6 x en 8 x omdat ze voor geen enkele x gelijk zullen zijn.

In het geval dat de reeksen van toegestane waarden van de variabelen samenvallen, bijvoorbeeld in de uitdrukkingen a + 6 en 6 + a of a b 0 en 0, of x 4 en x, en de waarden van de uitdrukkingen zelf gelijk zijn voor alle variabelen, dan worden dergelijke uitdrukkingen als identiek gelijk beschouwd. Dus a + 8 = 8 + a voor elke waarde van a, en ook a · b · 0 = 0, aangezien het vermenigvuldigen van een willekeurig getal met 0 resulteert in 0. De uitdrukkingen x 4 en x zullen identiek gelijk zijn voor elke x uit het interval [ 0 , + ∞) .

Maar het bereik van een geldige waarde in de ene expressie kan verschillen van het bereik van een andere.

Voorbeeld 5

Laten we bijvoorbeeld twee uitdrukkingen nemen: x − 1 en x - 1 · x x . Voor de eerste is het bereik van acceptabele x-waarden de volledige set reële getallen, en voor de tweede de set van alle reële getallen, behalve nul, want dan krijgen we 0 in de noemer, en een dergelijke indeling is niet gedefinieerd. Deze twee uitdrukkingen hebben een gemeenschappelijk bereik, gevormd door de kruising van twee afzonderlijke bereiken. Er kan worden geconcludeerd dat beide uitdrukkingen x - 1 · x x en x − 1 zinvol zijn voor alle reële waarden van de variabelen, behalve 0 .

De basiseigenschap van de breuk stelt ons ook in staat om te concluderen dat x - 1 x x en x - 1 gelijk zullen zijn voor elke x die niet 0 is . Dit betekent dat deze uitdrukkingen identiek aan elkaar zullen zijn op het algemene bereik van toelaatbare waarden, en voor elke reële x kan men niet spreken van identieke gelijkheid.

Als we de ene uitdrukking vervangen door een andere die er identiek aan is, dan wordt dit proces identiteitstransformatie genoemd. Dit concept is erg belangrijk en we zullen er in een apart artikel uitgebreid over praten.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter