Hoe intervallen van monotoniciteit van een functie te vinden. b - laatste nummer

Stelling over de limiet van een monotone functie. Het bewijs van de stelling wordt gegeven met behulp van twee methoden. Er worden ook definities gegeven van strikt stijgende, niet-dalende, strikt dalende en niet-stijgende functies. Definitie van een monotone functie.

definities

Definities van stijgende en dalende functies
Laat de functie f (x) gedefinieerd op een set echte getallen x.
De functie heet strikt toenemend (strikt afnemend), als voor alle x′, x′′ ∈ X zodanig dat x′< x′′ выполняется неравенство:
f (x')< f(x′′) ( f (x′) > f(x′′) ) .
De functie heet niet-afnemend (niet-stijgend), als voor alle x′, x′′ ∈ X zodanig dat x′< x′′ выполняется неравенство:
f (x′) ≤ f(x′′)( f (x′) ≥ f(x′′) ) .

Dit houdt in dat een strikt stijgende functie ook niet-dalend is. Een strikt afnemende functie is ook niet-stijgend.

Definitie van een monotone functie
De functie heet eentonig als het niet dalend of niet stijgend is.

Om de monotoniciteit van een functie op een set X te bestuderen, moet je het verschil van de waarden in twee vinden willekeurige punten die bij deze set horen. Als , dan is de functie strikt toenemend; als , dan neemt de functie niet af; als , dan strikt afneemt; als , dan niet toeneemt.

Als de functie op een bepaalde set positief is: , om de monotoniciteit te bepalen, kan men het quotiënt onderzoeken van het delen van de waarden op twee willekeurige punten van deze set. Als , dan is de functie strikt toenemend; als , dan neemt de functie niet af; als , dan strikt afneemt; als , dan niet toeneemt.

Stelling
Laat de functie f (x) neemt niet af over het interval (a,b), waar .
Als het van bovenaf wordt begrensd door het getal M : , dan is er een eindige linkerlimiet op het punt b : . als f (x) niet hierboven begrensd, dan .
als f (x) van onderaf wordt begrensd door het getal m : , dan is er een eindige rechtse limiet op het punt a : . als f (x) niet hieronder begrensd, dan .

Als de punten a en b op oneindig zijn, dan betekenen de limiettekens in de uitdrukkingen dat .
Deze stelling kan compacter worden geformuleerd.

Laat de functie f (x) neemt niet af over het interval (a,b), waar . Dan zijn er eenzijdige limieten op de punten a en b:
;
.

Een soortgelijke stelling voor een niet-stijgende functie.

Laat de functie niet toenemen op het interval , waarbij . Dan zijn er eenzijdige limieten:
;
.

Gevolg
Laat de functie monotoon zijn op het interval . Dan zijn er op elk punt vanaf dit interval eenzijdige eindige limieten van de functie:
en .

Bewijs van de stelling

De functie neemt niet af

b - laatste nummer

Functie beperkt van bovenaf

1.1.1. Laat de functie van bovenaf begrensd worden door het getal M : for .

.
;
.

Omdat de functie niet afneemt, geldt voor . Dan
Bij .
Laten we de laatste ongelijkheid transformeren:
;
;
.
Omdat dan . Dan
Bij .

Bij .
"Definities van eenzijdige limieten van een functie op een eindig punt").

De functie is niet van bovenaf beperkt

1. Laat de functie niet afnemen op het interval .
1.1. Laat het getal b eindig zijn: .
1.1.2. Laat de functie van bovenaf onbegrensd zijn.
Laten we bewijzen dat er in dit geval een limiet is.

.

Bij .

Laten we aanduiden. Dan bestaat er voor elk , zodat
Bij .
Dit betekent dat de limiet aan de linkerkant op punt b is (zie "Definities van eenzijdig oneindige limieten van een functie op het eindpunt").

b vroeg plus oneindig

Functie beperkt van bovenaf

1. Laat de functie niet afnemen op het interval .
1.2.1. Laat de functie van bovenaf begrensd worden door het getal M : for .
Laten we bewijzen dat er in dit geval een limiet is.

Omdat de functie van bovenaf begrensd is, is er een eindige bovengrens
.
Volgens de definitie van exact bovenvlak, worden uitgevoerd volgende voorwaarden::
;
voor elk positief is er een argument waarvoor:
.

Omdat de functie niet afneemt, geldt voor . Dan bij. Of
Bij .

We hebben dus gevonden dat er voor elke een getal bestaat, dus dat
Bij .
"Definities van eenzijdige limieten op oneindig").

De functie is niet van bovenaf beperkt

1. Laat de functie niet afnemen op het interval .
1.2. Laat het getal b plus oneindig zijn: .
1.2.2. Laat de functie van bovenaf onbegrensd zijn.
Laten we bewijzen dat er in dit geval een limiet is.

Aangezien de functie niet van bovenaf begrensd is, is er voor elk getal M een argument, waarvoor
.

Omdat de functie niet afneemt, geldt voor . Dan bij.

Dus voor elke is er een nummer, dus dat
Bij .
Dit betekent dat de limiet op is (zie "Definities van eenzijdig oneindige limieten op oneindig").

De functie neemt niet toe

Beschouw nu het geval waarin de functie niet toeneemt. U kunt, zoals hierboven, elke optie afzonderlijk bekijken. Maar we zullen ze meteen behandelen. Hiervoor gebruiken we . Laten we bewijzen dat er in dit geval een limiet is.

Beschouw de eindige ondergrens van de reeks functiewaarden:
.
Hier kan B een eindig getal zijn of een punt op oneindig. Volgens de definitie van het exacte infimum wordt aan de volgende voorwaarden voldaan:
;
voor elke buurt van punt B is er een argument waarvoor:
.
Door de voorwaarde van de stelling, . Dat is waarom .

Aangezien de functie niet toeneemt, geldt voor . Vanaf dat moment
Bij .
Of
Bij .
Verder merken we op dat de ongelijkheid de linker geperforeerde buurt van het punt b definieert.

We hebben dus gevonden dat er voor elke buurt van het punt zo'n lekke linker buurt van het punt b is dat
Bij .
Dit betekent dat de limiet aan de linkerkant bij punt b is:

(zie de universele definitie van de limiet van een functie volgens Cauchy).

Limiet op punt a

Laten we nu laten zien dat er een limiet is in het punt a en de waarde ervan vinden.

Laten we eens kijken naar een functie. Volgens de voorwaarde van de stelling is de functie monotoon voor . Laten we de variabele x vervangen door - x (of de substitutie doen en dan de variabele t vervangen door x ). Dan is de functie monotoon voor . De ongelijkheden vermenigvuldigen met -1 en hun volgorde veranderen, concluderen we dat de functie monotoon is voor .

Op een vergelijkbare manier is het gemakkelijk om aan te tonen dat als het niet afneemt, het ook niet toeneemt. Dan, volgens wat hierboven werd bewezen, is er een limiet
.
Als het niet toeneemt, neemt het ook niet af. In dit geval is er een limiet
.

Nu moet nog worden aangetoond dat als er een limiet van de functie is bij , er ook een limiet is voor de functie bij , en deze limieten zijn gelijk:
.

Laten we de notatie introduceren:
(1) .
Laten we f uitdrukken in termen van g :
.
Neem een ​​willekeurig positief getal. Laat er een epsilon-nabijheid van punt A zijn. Epsilon-buurt is gedefinieerd voor zowel eindige als oneindige waarden van A (zie "Buurt van een punt"). Aangezien er een limiet is (1), dan, volgens de definitie van een limiet, voor elke die er bestaat zodanig dat
Bij .

Laat a een eindig getal zijn. Laten we de linker geperforeerde buurt van het punt -a uitdrukken met behulp van de ongelijkheden:
Bij .
Laten we x vervangen door -x en er rekening mee houden dat:
Bij .
De laatste twee ongelijkheden definiëren een geperforeerde rechter buurt van het punt a . Dan
Bij .

Laat a een oneindig getal zijn, . We herhalen de discussie.
Bij ;
Bij ;
Bij ;
Bij .

We hebben dus ontdekt dat er voor elk zo bestaat dat
Bij .
Het betekent dat
.

De stelling is bewezen.

We ontmoetten elkaar voor het eerst in de 7e klas algebra cursus. Als we naar de grafiek van de functie kijken, hebben we de relevante informatie verwijderd: als we van links naar rechts langs de grafiek bewegen, gaan we tegelijkertijd van beneden naar boven (alsof we een heuvel beklimmen), dan verklaarden we de functie toenemend ( afb. 124); als we van boven naar beneden gaan (de heuvel afgaan), hebben we aangegeven dat de functie afnemend is (Fig. 125).

Wiskundigen houden echter niet zo van deze manier om de eigenschappen van een functie te bestuderen. Ze zijn van mening dat definities van concepten niet gebaseerd moeten zijn op een tekening - een tekening zou alleen een of andere eigenschap van een functie op zijn grafiek. Laten we rigoureuze definities geven van de concepten van toenemende en afnemende functies.

Definitie 1. De functie y \u003d f (x) wordt genoemd toenemend op het interval X, als uit de ongelijkheid x 1< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

Definitie 2. De functie y \u003d f (x) wordt afnemend op het interval X genoemd, als uit de ongelijkheid x 1< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует ongelijkheid f(x1) > f(x2).

In de praktijk is het handiger om de volgende formuleringen te gebruiken:

de functie neemt toe als de grotere waarde van het argument overeenkomt met de grotere waarde van de functie;
de functie neemt af als de grotere waarde van het argument overeenkomt met de kleinere waarde van de functie.

Met behulp van deze definities en de eigenschappen vastgelegd in § 33 numerieke ongelijkheden, zullen we de conclusies over de toename of afname van eerder bestudeerde functies kunnen onderbouwen.

1. Lineaire functie y = kx + m

Als k > 0, dan neemt de functie in het algemeen toe (Fig. 126); als k< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Een bewijs. Zij f(x) = kx + m. Als x 1< х 2 и k >Oh, dan, volgens eigenschap 3 van numerieke ongelijkheden (zie § 33), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

Dus, van de ongelijkheid x 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. lineair functies y = kx + m.

Als x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 , en volgens eigenschap 2 volgt uit kx 1 > kx 2 dat kx 1 + m > kx 2 + t.

Dus, van de ongelijkheid x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x2). Dit betekent dat de functie y \u003d f (x) afneemt, d.w.z. lineaire functie y = kx + m.

Als een functie in zijn hele definitiedomein toenemend (afnemend) is, kan deze toenemend (afnemend) worden genoemd zonder het interval te specificeren. Over de functie y \u003d 2x - 3 kunnen we bijvoorbeeld zeggen dat deze op de hele getallenlijn toeneemt, maar we kunnen ook in het kort zeggen: y \u003d 2x - 3 - toenemend
functie.

2. Functie y = x2

1. Beschouw de functie y \u003d x 2 op de balk. Neem twee niet-positieve getallen x 1 en x 2 zodanig dat x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >-x2. Aangezien de getallen - x 1 en - x 2 niet-negatief zijn, krijgen we, door beide delen van de laatste ongelijkheid kwadratisch te maken, een ongelijkheid met dezelfde betekenis (-x 1) 2 > (-x 2) 2, d.w.z. Dit betekent dat f (x 1) > f (x 2).

Dus, van de ongelijkheid x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x2).

Daarom neemt de functie y \u003d x 2 af op de straal (- 00, 0] (Fig. 128).

1. Beschouw een functie op het interval (0, + 00).
Laat x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x2).

Dus, van de ongelijkheid x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x2). Dit betekent dat de functie afneemt op de open straal (0, + 00) (Fig. 129).

2. Beschouw een functie op het interval (-oo, 0). Laat x 1< х 2 , х 1 и х 2 - negatieve getallen. Dan - x 1 > - x 2, en beide delen van de laatste ongelijkheid - positieve getallen, en daarom (we gebruikten opnieuw de ongelijkheid bewezen in voorbeeld 1 van § 33). Dan hebben we , waar komen we vandaan .

Dus, van de ongelijkheid x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) d.w.z. de functie neemt af op de open straal (- 00 , 0)

Meestal worden de termen "verhogende functie", "afnemende functie" gecombineerd: gemeenschappelijke naam monotone functie, en de studie van een functie voor toenemende en afnemende wordt de studie van een functie voor monotoniciteit genoemd.

Oplossing.

1) Laten we de functie y \u003d 2x 2 plotten en de tak van deze parabool nemen op x< 0 (рис. 130).

2) Laten we het onderdeel op het segment bouwen en selecteren (Fig. 131).

3) We construeren een hyperbool en selecteren zijn deel op de open straal (4, + 00) (Fig. 132).
4) Alle drie de "stukken" worden weergegeven in hetzelfde coördinatensysteem - dit is de grafiek van de functie y \u003d f (x) (Fig. 133).

Laten we de grafiek van de functie y \u003d f (x) lezen.

1. De reikwijdte van de functie is de gehele getallenlijn.

2. y \u003d 0 voor x \u003d 0; y > 0 voor x > 0.

3. De functie neemt af op de straal (-oo, 0], neemt toe op het segment , neemt af op de straal, convex naar boven op het segment , convex naar beneden op de straal Beschouw de functie \(f(t)=t^3+t\) . Vervolgens wordt de vergelijking herschreven in de vorm: \ We onderzoeken de functie \(f(t)\) . \ Daarom neemt de functie \(f(t)\) toe voor alle \(t\) . Dit betekent dat elke waarde van de functie \(f(t)\) exact overeenkomt met één waarde van het argument \(t\) . Daarom, om ervoor te zorgen dat de vergelijking wortels heeft, heb je nodig: \ Om ervoor te zorgen dat de resulterende vergelijking twee wortels heeft, moet de discriminant positief zijn: \

Antwoorden:

\(\links(-\infty;\dfrac1(12)\rechts)\)

Taak 2 #2653

Taakniveau: Gelijk aan het Unified State Examination

Vind alle waarden van de parameter \(a\) waarvoor de vergelijking \

heeft twee wortels.

(Taak van abonnees.)

Laten we een vervanging maken: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . De vergelijking zal dan de vorm aannemen: \ Beschouw de functie \(f(w)=7^w+\sqrtw\) . Dan zal onze vergelijking de vorm aannemen:

Laten we de afgeleide zoeken \ Merk op dat voor alle \(w\ne 0\) de afgeleide \(f"(w)>0\) is, aangezien \(7^w>0\) , \(w^6>0\) . dat de functie \(f(w)\) zelf gedefinieerd is voor alle \(w\) .Omdat bovendien \(f(w)\) continu is, kunnen we concluderen dat \(f (w)\) is oplopend op alle \(\mathbb(R)\) .
Daarom is de gelijkheid \(f(t)=f(u)\) mogelijk als en slechts als \(t=u\) . Laten we teruggaan naar de oorspronkelijke variabelen en de resulterende vergelijking oplossen:

\ Om ervoor te zorgen dat deze vergelijking twee wortels heeft, moet deze vierkant zijn en moet de discriminant positief zijn:

\[\begin(gevallen) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(gevallen) \quad\Linksrechtspijl\quad \begin(gevallen)a\ne1\\a<2\end{cases}\]

Antwoorden:

\((-\infty;1)\cup(1;2)\)

Taak 3 #3921

Taakniveau: Gelijk aan het Unified State Examination

Vind alle positieve waarden van de parameter \(a\) waarvoor de vergelijking

heeft minstens \(2\) oplossingen.

Laten we alle termen die \(ax\) bevatten naar links verplaatsen, en die met \(x^2\) naar rechts, en beschouwen de functie
\

Dan zal de oorspronkelijke vergelijking de vorm aannemen:
\

Laten we de afgeleide zoeken:
\

Omdat \((t-2)^2 \geqslant 0, \ e^t>0, \ 1+\cos(2t) \geqslant 0\), dan \(f"(t)\geqslant 0\) voor een \(t\in \mathbb(R)\) .

Bovendien, \(f"(t)=0\) if \((t-2)^2=0\) en \(1+\cos(2t)=0\) tegelijkertijd, wat niet waar is for any \ (t\) Daarom, \(f"(t)> 0\) for any \(t\in \mathbb(R)\) .

Dus de functie \(f(t)\) is strikt stijgend voor alle \(t\in \mathbb(R)\) .

Dus de vergelijking \(f(ax)=f(x^2)\) is gelijk aan de vergelijking \(ax=x^2\) .

De vergelijking \(x^2-ax=0\) met \(a=0\) heeft één wortel \(x=0\) , en met \(a\ne 0\) heeft hij er twee andere wortel\(x_1=0\) en \(x_2=a\) .
We moeten de waarden \(a\) vinden waarvoor de vergelijking ten minste twee wortels heeft, ook rekening houdend met het feit dat \(a>0\) .
Daarom is het antwoord: \(a\in (0;+\infty)\) .

Antwoorden:

\((0;+\infty)\) .

Taak 4 #1232

Taakniveau: Gelijk aan het Unified State Examination

Vind alle waarden van de parameter \(a\) , voor elk waarvan de vergelijking \

heeft een unieke oplossing.

Vermenigvuldig de rechter- en linkerkant van de vergelijking met \(2^(\sqrt(x+1))\) (omdat \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) en herschrijf de vergelijking als : \

Overweeg de functie: \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\) voor \(t\geqslant 0\) (omdat \(\sqrt(x+1)\geqslant 0\) ).

Derivaat \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\right)\).

Omdat \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\) voor alle \(t\geqslant 0\) , dan \(y"<0\) при всех \(t\geqslant 0\) .

Bijgevolg neemt voor \(t\geqslant 0\) de functie \(y\) monotoon af.

De vergelijking kan worden gezien als \(y(t)=y(z)\) , waarbij \(z=ax, t=\sqrt(x+1)\) . Uit de monotoniciteit van de functie volgt dat gelijkheid alleen mogelijk is als \(t=z\) .

Dit betekent dat de vergelijking equivalent is aan de vergelijking: \(ax=\sqrt(x+1)\) , die op zijn beurt equivalent is aan het systeem: \[\begin(gevallen) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(gevallen)\]

Voor \(a=0\) heeft het systeem één oplossing \(x=-1\) , die voldoet aan de voorwaarde \(ax\geqslant 0\) .

Beschouw het geval \(a\ne 0\) . De discriminant van de eerste vergelijking van het stelsel \(D=1+4a^2>0\) voor alle \(a\) . Daarom heeft de vergelijking altijd twee wortels \(x_1\) en \(x_2\) , en ze hebben verschillende tekens (omdat volgens de stelling van Vieta \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\) ).

Dit betekent dat voor \(a<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0\) de positieve wortel past bij de voorwaarde. Daardoor heeft het systeem altijd een unieke oplossing.

Dus \(a\in \mathbb(R)\) .

Antwoorden:

\(a\in \mathbb(R)\) .

Taak 5 #1234

Taakniveau: Gelijk aan het Unified State Examination

Vind alle waarden van de parameter \(a\) , voor elk waarvan de vergelijking \

heeft ten minste één wortel uit het interval \([-1;0]\) .

Overweeg de functie: \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\) voor sommige vaste \(a\) . Laten we de afgeleide ervan vinden: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\).

Merk op dat \(f"(x)\geqslant 0\) voor alle waarden van \(x\) en \(a\) , en is alleen gelijk aan \(0\) voor \(x=a=1 \) Maar voor \(a=1\) :
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow\) de vergelijking \(2(x-1)^3=0\) heeft een enkele wortel \(x=1\) die niet aan de voorwaarde voldoet. Daarom kan \(a\) niet gelijk zijn aan \(1\) .

Dus voor alle \(a\ne 1\) is de functie \(f(x)\) strikt stijgend, dus de vergelijking \(f(x)=0\) mag maximaal één wortel hebben. Gezien de eigenschappen van een kubieke functie, ziet de grafiek \(f(x)\) voor een aantal vaste \(a\) er als volgt uit:

Om ervoor te zorgen dat de vergelijking een wortel heeft uit het segment \([-1;0]\) , is het volgende nodig: \[\begin(gevallen) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(gevallen) \Rightarrow \begin(gevallen) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(gevallen) \Rightarrow \begin(gevallen) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(gevallen) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

Dus \(a\in [-2;0]\) .

Antwoorden:

\(a\in [-2;0]\) .

Taak 6 #2949

Taakniveau: Gelijk aan het Unified State Examination

Vind alle waarden van de parameter \(a\) , voor elk waarvan de vergelijking \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\]

heeft wortels.

(Taak van abonnees)

odz vergelijking: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Pijl naar links\quad x\in \). Om ervoor te zorgen dat de vergelijking wortels heeft, is het daarom noodzakelijk dat ten minste één van de vergelijkingen \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(or)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2)=0\] had beslissingen over ODZ.

1) Beschouw de eerste vergelijking \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Pijl naar links\quad \left[\begin(verzameld)\begin(uitgelijnd) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \end(uitgelijnd) \end(verzameld)\right. \quad\Pijl naar rechts\quad \sin x=2a+2\] Deze vergelijking moet wortels hebben in \(\) . Beschouw een cirkel:

We zien dus dat voor elke \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) de vergelijking één oplossing zal hebben, en voor alle andere geen oplossingen. Daarom, wanneer? \(a\in \links[-1;-1+\sin 1\right]\) de vergelijking heeft oplossingen.

2) Beschouw de tweede vergelijking \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\]

Beschouw de functie \(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\) . Laten we de afgeleide ervan vinden: \ Op de ODZ heeft de afgeleide één nul: \(x=\frac34\) , wat tevens het maximumpunt is van de functie \(f(x)\) .
Merk op dat \(f(0)=f(1)=0\) . Dus schematisch ziet de grafiek \(f(x)\) er als volgt uit:

Om ervoor te zorgen dat de vergelijking oplossingen heeft, is het daarom noodzakelijk dat de grafiek \ (f (x) \) de lijn \ (y \u003d -a \) snijdt (een van de geschikte opties wordt weergegeven in de afbeelding) . Dat wil zeggen, het is noodzakelijk dat \ . Met deze \(x\) :

De functie \(y_1=\sqrt(x-1)\) is strikt oplopend. De grafiek van de functie \(y_2=5x^2-9x\) is een parabool waarvan het hoekpunt zich in het punt \(x=\dfrac(9)(10)\) bevindt. Daarom is voor alle \(x\geqslant 1\) de functie \(y_2\) ook strikt stijgend (de rechtertak van de parabool). Omdat de som van strikt stijgende functies is strikt stijgend, dan wordt \(f_a(x)\) strikt stijgend (de constante \(3a+8\) heeft geen invloed op de monotoniciteit van de functie).

De functie \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) voor alle \(x\geqslant 1\) maakt deel uit van de rechtertak van de hyperbool en is strikt afnemend.

Het oplossen van de vergelijking \(f_a(x)=g_a(x)\) betekent het vinden van de snijpunten van de functies \(f\) en \(g\) . Uit hun tegengestelde monotoniciteit volgt dat de vergelijking hoogstens één wortel kan hebben.

Voor \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 . Daarom heeft de vergelijking een unieke oplossing als:

\\beker

Antwoorden:

\(a\in(-\infty;-1]\cup)