Vermenigvuldiging van eenvoudige breuken met verschillende noemers voorbeelden. Regel voor het vermenigvuldigen van breuken met hele getallen

§ 87. Optellen van breuken.

Het optellen van breuken heeft veel overeenkomsten met het optellen van hele getallen. Het optellen van breuken is een handeling die erin bestaat dat meerdere gegeven getallen (termen) worden gecombineerd tot één getal (som), dat alle eenheden en breuken van eenheden van termen bevat.

We zullen achtereenvolgens drie gevallen bekijken:

1. Optellen van breuken met dezelfde noemers.
2. Optellen van breuken met verschillende noemers.
3. Toevoeging van gemengde nummers.

1. Optellen van breuken met dezelfde noemers.

Beschouw een voorbeeld: 1 / 5 + 2 / 5 .

Neem het segment AB (Fig. 17), neem het als een eenheid en verdeel het in 5 gelijke delen, dan is het deel AC van dit segment gelijk aan 1/5 van het segment AB en het deel van hetzelfde segment CD zal gelijk zijn aan 2/5 AB.

Uit de tekening blijkt dat als we het segment AD nemen, het gelijk zal zijn aan 3/5 AB; maar segment AD is precies de som van segmenten AC en CD. We kunnen dus schrijven:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Gezien deze termen en het resulterende bedrag, zien we dat de teller van de som werd verkregen door de tellers van de termen op te tellen, en de noemer bleef ongewijzigd.

Hieruit krijgen we de volgende regel: Om breuken met dezelfde noemer op te tellen, moet u hun tellers optellen en dezelfde noemer behouden.

Overweeg een voorbeeld:

2. Optellen van breuken met verschillende noemers.

Laten we breuken optellen: 3/4 + 3/8 Eerst moeten ze worden teruggebracht tot de kleinste gemene deler:

De tussenlink 6/8 + 3/8 kon niet geschreven zijn; we hebben het hier geschreven voor meer duidelijkheid.

Dus, om breuken met verschillende noemers op te tellen, moet je ze eerst naar de kleinste gemene deler brengen, hun tellers optellen en de gemene deler ondertekenen.

Overweeg een voorbeeld (we zullen extra factoren over de overeenkomstige breuken schrijven):

3. Toevoeging van gemengde nummers.

Laten we de cijfers bij elkaar optellen: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Laten we eerst de gebroken delen van onze getallen naar een gemeenschappelijke noemer brengen en ze opnieuw schrijven:

Voeg nu de gehele en fractionele delen in volgorde toe:

§ 88. Aftrekken van breuken.

Het aftrekken van breuken wordt op dezelfde manier gedefinieerd als het aftrekken van gehele getallen. Dit is een handeling waarmee, gegeven de som van twee termen en een van hen, een andere term wordt gevonden. Laten we achtereenvolgens drie gevallen bekijken:

1. Aftrekken van breuken met dezelfde noemers.
2. Aftrekken van breuken met verschillende noemers.
3. Aftrekken van gemengde getallen.

1. Aftrekken van breuken met dezelfde noemers.

Overweeg een voorbeeld:

13 / 15 - 4 / 15

Laten we het segment AB nemen (Fig. 18), het als een eenheid nemen en het in 15 gelijke delen verdelen; dan is het AC-deel van dit segment 1/15 van AB, en het AD-deel van hetzelfde segment komt overeen met 13/15 AB. Laten we een ander segment ED opzij zetten, gelijk aan 4/15 AB.

We moeten 4/15 aftrekken van 13/15. In de tekening betekent dit dat het segment ED moet worden afgetrokken van het segment AD. Als gevolg hiervan blijft segment AE bestaan, dat is 9/15 van segment AB. We kunnen dus schrijven:

Het voorbeeld dat we hebben gemaakt, laat zien dat de teller van het verschil werd verkregen door de tellers af te trekken, en de noemer bleef hetzelfde.

Daarom, om breuken met dezelfde noemers af te trekken, moet je de teller van de aftrekking van de teller van de minuend aftrekken en dezelfde noemer behouden.

2. Aftrekken van breuken met verschillende noemers.

Voorbeeld. 3/4 - 5/8

Laten we eerst deze breuken herleiden tot de kleinste gemene deler:

De tussenlink 6/8 - 5/8 is hier voor de duidelijkheid geschreven, maar kan in de toekomst worden overgeslagen.

Dus om een ​​breuk van een breuk af te trekken, moet je ze eerst naar de kleinste gemene deler brengen, dan de teller van de aftrekker aftrekken van de teller van de minuend en de gemene deler ondertekenen onder hun verschil.

Overweeg een voorbeeld:

3. Aftrekken van gemengde getallen.

Voorbeeld. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

Laten we de fractionele delen van de minuend en de subtrahend naar de kleinste gemene deler brengen:

We hebben een geheel van een geheel afgetrokken en een breuk van een breuk. Maar er zijn gevallen waarin het fractionele deel van de aftrekking groter is dan het fractionele deel van de minuend. In dergelijke gevallen moet u één eenheid nemen van het gehele deel van het gereduceerde deel, het splitsen in die delen waarin het fractionele deel wordt uitgedrukt, en toevoegen aan het fractionele deel van het gereduceerde. En dan wordt de aftrekking op dezelfde manier uitgevoerd als in het vorige voorbeeld:

§ 89. Vermenigvuldiging van breuken.

Bij het bestuderen van de vermenigvuldiging van breuken, zullen we de volgende vragen overwegen:

1. Een breuk vermenigvuldigen met een geheel getal.
2. Een breuk van een bepaald getal vinden.
3. Vermenigvuldiging van een geheel getal met een breuk.
4. Een breuk vermenigvuldigen met een breuk.
5. Vermenigvuldiging van gemengde getallen.
6. Het begrip rente.
7. Het vinden van percentages van een bepaald getal. Laten we ze achtereenvolgens bekijken.

1. Een breuk vermenigvuldigen met een geheel getal.

Een breuk vermenigvuldigen met een geheel getal heeft dezelfde betekenis als het vermenigvuldigen van een geheel getal met een geheel getal. Een breuk (vermenigvuldigend) vermenigvuldigen met een geheel getal (vermenigvuldiger) betekent het samenstellen van de som van identieke termen, waarbij elke term gelijk is aan de vermenigvuldiger en het aantal termen gelijk is aan de vermenigvuldiger.

Dus als je 1/9 met 7 moet vermenigvuldigen, dan kan dat als volgt:

We kregen het resultaat gemakkelijk, omdat de actie werd teruggebracht tot het optellen van breuken met dezelfde noemers. Vervolgens,

Als we deze actie overwegen, zien we dat het vermenigvuldigen van een breuk met een geheel getal gelijk staat aan het zo vaak verhogen van deze breuk als er eenheden in het gehele getal zijn. En aangezien de toename van de breuk wordt bereikt door ofwel de teller ervan te vergroten,

of door de noemer ervan te verkleinen , dan kunnen we ofwel de teller vermenigvuldigen met het gehele getal, of de noemer erdoor delen, als zo'n deling mogelijk is.

Vanaf hier krijgen we de regel:

Om een ​​breuk met een geheel getal te vermenigvuldigen, moet je de teller vermenigvuldigen met dit gehele getal en de noemer gelijk laten, of, indien mogelijk, de noemer delen door dit getal, waarbij de teller ongewijzigd blijft.

Bij vermenigvuldigen zijn afkortingen mogelijk, bijvoorbeeld:

2. Een breuk van een bepaald getal vinden. Er zijn veel problemen waarbij je een deel van een bepaald getal moet vinden of berekenen. Het verschil tussen deze taken en andere is dat ze het aantal van sommige objecten of meeteenheden geven en je moet een deel van dit aantal vinden, dat hier ook wordt aangegeven met een bepaalde breuk. Om het begrip te vergemakkelijken, zullen we eerst voorbeelden van dergelijke problemen geven en vervolgens de methode introduceren om ze op te lossen.

Taak 1. Ik had 60 roebel; 1/3 van dit geld heb ik uitgegeven aan de aankoop van boeken. Hoeveel kosten de boeken?

Taak 2. De trein moet de afstand tussen steden A en B afleggen, gelijk aan 300 km. Hij heeft al 2/3 van die afstand afgelegd. Hoeveel kilometer is dit?

Taak 3. Er zijn 400 huizen in het dorp, waarvan 3/4 van baksteen, de rest van hout. Hoeveel bakstenen huizen zijn er?

Hier zijn enkele van de vele problemen waarmee we te maken hebben om een ​​fractie van een bepaald getal te vinden. Ze worden meestal problemen genoemd voor het vinden van een fractie van een bepaald getal.

Oplossing van probleem 1. Vanaf 60 roebel. Ik besteedde 1/3 aan boeken; Dus om de kosten van boeken te vinden, moet je het getal 60 delen door 3:

Probleem 2 oplossing. De betekenis van het probleem is dat je 2/3 van 300 km moet vinden. Bereken eerste 1/3 van 300; dit wordt bereikt door 300 km te delen door 3:

300: 3 = 100 (dat is 1/3 van 300).

Om tweederde van 300 te vinden, moet u het resulterende quotiënt verdubbelen, dat wil zeggen vermenigvuldigen met 2:

100 x 2 = 200 (dat is 2/3 van 300).

Oplossing van probleem 3. Hier moet je het aantal bakstenen huizen bepalen, dat is 3/4 van 400. Laten we eerst 1/4 van 400 vinden,

400: 4 = 100 (dat is 1/4 van 400).

Om driekwart van 400 te berekenen, moet het resulterende quotiënt worden verdrievoudigd, dat wil zeggen vermenigvuldigd met 3:

100 x 3 = 300 (dat is 3/4 van 400).

Op basis van de oplossing van deze problemen kunnen we de volgende regel afleiden:

Om de waarde van een breuk van een bepaald getal te vinden, moet je dit getal delen door de noemer van de breuk en het resulterende quotiënt vermenigvuldigen met zijn teller.

3. Vermenigvuldiging van een geheel getal met een breuk.

Eerder (§ 26) werd vastgesteld dat de vermenigvuldiging van gehele getallen moet worden opgevat als het optellen van identieke termen (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). In deze paragraaf (paragraaf 1) is vastgesteld dat het vermenigvuldigen van een breuk met een geheel getal betekent dat de som van identieke termen gelijk is aan deze breuk.

In beide gevallen bestond de vermenigvuldiging uit het vinden van de som van identieke termen.

Nu gaan we verder met het vermenigvuldigen van een geheel getal met een breuk. Hier zullen we bijvoorbeeld een vermenigvuldiging tegenkomen: 9 2 / 3. Het is vrij duidelijk dat de vorige definitie van vermenigvuldiging niet van toepassing is op dit geval. Dit blijkt uit het feit dat we een dergelijke vermenigvuldiging niet kunnen vervangen door gelijke getallen op te tellen.

Daarom zullen we een nieuwe definitie van vermenigvuldiging moeten geven, dat wil zeggen, om de vraag te beantwoorden wat onder vermenigvuldiging met een breuk moet worden verstaan, hoe deze actie moet worden begrepen.

De betekenis van het vermenigvuldigen van een geheel getal met een breuk blijkt duidelijk uit de volgende definitie: een geheel getal (vermenigvuldiger) vermenigvuldigen met een breuk (vermenigvuldiger) betekent deze breuk van de vermenigvuldiger vinden.

Namelijk, 9 vermenigvuldigen met 2/3 betekent 2/3 van negen eenheden vinden. In de vorige paragraaf zijn dergelijke problemen opgelost; dus het is gemakkelijk om erachter te komen dat we eindigen met 6.

Maar nu rijst een interessante en belangrijke vraag: waarom worden schijnbaar verschillende acties als het vinden van de som van gelijke getallen en het vinden van de breuk van een getal hetzelfde woord "vermenigvuldiging" genoemd in de rekenkunde?

Dit gebeurt omdat de vorige actie (het getal met termen meerdere keren herhalen) en de nieuwe actie (de breuk van een getal vinden) een antwoord geven op homogene vragen. Dat betekent dat we hier uitgaan van de overwegingen dat homogene vragen of taken door één en dezelfde handeling worden opgelost.

Om dit te begrijpen, overweeg het volgende probleem: "1 m stof kost 50 roebel. Hoeveel kost 4 m van zo'n doek?

Dit probleem wordt opgelost door het aantal roebel (50) te vermenigvuldigen met het aantal meters (4), d.w.z. 50 x 4 = 200 (roebel).

Laten we hetzelfde probleem nemen, maar daarin wordt de hoeveelheid stof uitgedrukt als een fractioneel getal: "1 m stof kost 50 roebel. Hoeveel kost 3/4 m van zo'n doek?

Dit probleem moet ook worden opgelost door het aantal roebels (50) te vermenigvuldigen met het aantal meters (3/4).

Je kunt de getallen erin ook meerdere keren veranderen zonder de betekenis van het probleem te veranderen, bijvoorbeeld 9/10 m of 2 3/10 m, enz.

Omdat deze problemen dezelfde inhoud hebben en alleen in getallen verschillen, noemen we de acties die worden gebruikt om ze op te lossen hetzelfde woord - vermenigvuldiging.

Hoe wordt een geheel getal vermenigvuldigd met een breuk?

Laten we de getallen nemen die we in het laatste probleem tegenkwamen:

Volgens de definitie moeten we 3/4 van 50 vinden. Eerst vinden we 1/4 van 50, en dan 3/4.

1/4 van 50 is 50/4;

3/4 van 50 is .

Vervolgens.

Beschouw een ander voorbeeld: 12 5 / 8 = ?

1/8 van 12 is 12/8,

5/8 van het getal 12 is .

Vervolgens,

Vanaf hier krijgen we de regel:

Om een ​​geheel getal met een breuk te vermenigvuldigen, moet je het gehele getal vermenigvuldigen met de teller van de breuk en dit product de teller maken, en de noemer van de gegeven breuk ondertekenen als de noemer.

We schrijven deze regel met letters:

Om deze regel volkomen duidelijk te maken, moet worden bedacht dat een breuk als een quotiënt kan worden beschouwd. Daarom is het nuttig om de gevonden regel te vergelijken met de regel voor het vermenigvuldigen van een getal met een quotiënt, zoals uiteengezet in § 38

Er moet aan worden herinnerd dat u (indien mogelijk) moet doen voordat u vermenigvuldigt bezuinigingen, bijvoorbeeld:

4. Een breuk vermenigvuldigen met een breuk. Het vermenigvuldigen van een breuk met een breuk heeft dezelfde betekenis als het vermenigvuldigen van een geheel getal met een breuk, dat wil zeggen, wanneer u een breuk met een breuk vermenigvuldigt, moet u de breuk in de vermenigvuldiger van de eerste breuk (vermenigvuldiger) vinden.

Namelijk, 3/4 vermenigvuldigen met 1/2 (half) betekent de helft van 3/4 vinden.

Hoe vermenigvuldig je een breuk met een breuk?

Laten we een voorbeeld nemen: 3/4 keer 5/7. Dit betekent dat je 5/7 van 3/4 moet vinden. Zoek eerst 1/7 van 3/4 en dan 5/7

1/7 van 3/4 zou als volgt worden uitgedrukt:

5 / 7 nummers 3 / 4 worden als volgt uitgedrukt:

Op deze manier,

Een ander voorbeeld: 5/8 keer 4/9.

1/9 van 5/8 is ,

4/9 nummers 5/8 zijn .

Op deze manier,

Uit deze voorbeelden kan de volgende regel worden afgeleid:

Om een ​​breuk met een breuk te vermenigvuldigen, moet je de teller vermenigvuldigen met de teller en de noemer met de noemer en het eerste product de teller maken en het tweede product de noemer van het product.

Deze regel kan in het algemeen als volgt worden geschreven:

Bij vermenigvuldigen is het noodzakelijk om (indien mogelijk) te verkleinen. Denk aan voorbeelden:

5. Vermenigvuldiging van gemengde getallen. Omdat gemengde getallen gemakkelijk kunnen worden vervangen door oneigenlijke breuken, wordt deze omstandigheid meestal gebruikt bij het vermenigvuldigen van gemengde getallen. Dit betekent dat in die gevallen waarin het vermenigvuldigtal, of de vermenigvuldiger, of beide factoren worden uitgedrukt als gemengde getallen, ze worden vervangen door onechte breuken. Vermenigvuldig bijvoorbeeld gemengde getallen: 2 1/2 en 3 1/5. We veranderen elk van hen in een oneigenlijke breuk en dan zullen we de resulterende breuken vermenigvuldigen volgens de regel van het vermenigvuldigen van een breuk met een breuk:

Regel. Om gemengde getallen te vermenigvuldigen, moet u ze eerst converteren naar oneigenlijke breuken en vervolgens vermenigvuldigen volgens de regel om een ​​breuk met een breuk te vermenigvuldigen.

Opmerking. Als een van de factoren een geheel getal is, kan de vermenigvuldiging als volgt worden uitgevoerd op basis van de verdelingswet:

6. Het begrip rente. Bij het oplossen van problemen en bij het uitvoeren van diverse praktische berekeningen gebruiken we allerlei breuken. Maar men moet in gedachten houden dat veel grootheden er geen, maar natuurlijke onderverdelingen voor toestaan. U kunt bijvoorbeeld een honderdste (1/100) van een roebel nemen, het is een cent, twee honderdsten is 2 kopeken, drie honderdsten is 3 kopeken. Je kunt 1/10 van de roebel nemen, het zal "10 kopeken of een dubbeltje zijn. Je kunt een kwart van de roebel nemen, d.w.z. 25 kopeken, een halve roebel, d.w.z. 50 kopeken (vijftig kopeken). neem bijvoorbeeld geen 2/7 roebel omdat de roebel niet in zevenden is verdeeld.

De maateenheid voor gewicht, d.w.z. de kilogram, maakt allereerst decimale onderverdelingen mogelijk, bijvoorbeeld 1/10 kg of 100 g. En zulke fracties van een kilogram als 1/6, 1/11, 1/ 13 zijn ongewoon.

Over het algemeen zijn onze (metrische) maten decimaal en laten ze decimale onderverdelingen toe.

Er moet echter worden opgemerkt dat het in veel verschillende gevallen buitengewoon nuttig en handig is om dezelfde (uniforme) methode voor het onderverdelen van hoeveelheden te gebruiken. Jarenlange ervaring heeft geleerd dat zo'n goed onderbouwde verdeling de "honderdste" verdeling is. Laten we een paar voorbeelden bekijken die betrekking hebben op de meest uiteenlopende gebieden van de menselijke praktijk.

1. De prijs van boeken is gedaald met 12/100 van de vorige prijs.

Voorbeeld. De vorige prijs van het boek is 10 roebel. Ze ging met 1 roebel naar beneden. 20 kop.

2. Spaarbanken keren in de loop van het jaar 2/100 van het spaarbedrag uit aan spaarders.

Voorbeeld. 500 roebel wordt in de kassa gedaan, het inkomen van dit bedrag voor het jaar is 10 roebel.

3. Het aantal afgestudeerden van één school was 5/100 van het totaal aantal studenten.

VOORBEELD Slechts 1.200 studenten studeerden aan de school, 60 van hen studeerden af.

De honderdste van een getal wordt een percentage genoemd..

Het woord "procent" is ontleend aan de Latijnse taal en de wortel "cent" betekent honderd. Samen met het voorzetsel (pro centum) betekent dit woord 'voor honderd'. De betekenis van deze uitdrukking volgt uit het feit dat aanvankelijk in het oude Rome rente het geld was dat de schuldenaar aan de geldschieter betaalde "voor elke honderd". Het woord "cent" wordt in zulke bekende woorden gehoord: centner (honderd kilogram), centimeter (ze zeggen centimeter).

Bijvoorbeeld, in plaats van te zeggen dat de fabriek 1/100 van alle producten produceerde die ze de afgelopen maand heeft geproduceerd, zeggen we dit: de fabriek heeft de afgelopen maand één procent van de uitval geproduceerd. In plaats van te zeggen: de fabriek produceerde 4/100 meer producten dan het vastgestelde plan, zullen we zeggen: de fabriek overtrof het plan met 4 procent.

Bovenstaande voorbeelden kunnen anders worden uitgedrukt:

1. De prijs van boeken is met 12 procent gedaald ten opzichte van de vorige prijs.

2. Spaarbanken betalen spaarders 2 procent per jaar van het spaargeld.

3. Het aantal afgestudeerden van één school was 5 procent van het aantal leerlingen van de school.

Om de letter in te korten, is het gebruikelijk om het%-teken te schrijven in plaats van het woord "percentage".

Houd er echter rekening mee dat het %-teken meestal niet in berekeningen wordt geschreven, maar in de probleemstelling en in het eindresultaat. Bij het uitvoeren van berekeningen moet u een breuk met een noemer van 100 schrijven in plaats van een geheel getal met dit pictogram.

U moet een geheel getal kunnen vervangen door het opgegeven pictogram door een breuk met een noemer van 100:

Omgekeerd moet je wennen aan het schrijven van een geheel getal met het aangegeven pictogram in plaats van een breuk met een noemer van 100:

7. Het vinden van percentages van een bepaald getal.

Taak 1. De school kreeg 200 kubieke meter. m brandhout, met berkenbrandhout goed voor 30%. Hoeveel berkenhout was er?

De betekenis van dit probleem is dat berkenbrandhout slechts een deel was van het brandhout dat aan de school werd geleverd, en dit deel wordt uitgedrukt als een fractie van 30/100. We staan ​​dus voor de taak om een ​​fractie van een getal te vinden. Om het op te lossen, moeten we 200 vermenigvuldigen met 30/100 (taken voor het vinden van de breuk van een getal worden opgelost door een getal te vermenigvuldigen met een breuk.).

Dus 30% van 200 is gelijk aan 60.

De breuk 30 / 100 die in dit probleem wordt aangetroffen, kan met 10 worden verminderd. Het zou mogelijk zijn om deze reductie vanaf het begin uit te voeren; de oplossing voor het probleem zou niet veranderen.

Taak 2. Er waren 300 kinderen van verschillende leeftijden in het kamp. Kinderen van 11 jaar waren 21%, kinderen van 12 jaar 61% en tenslotte 13-jarigen 18%. Hoeveel kinderen van elke leeftijd waren er in het kamp?

In dit probleem moet u drie berekeningen uitvoeren, dat wil zeggen, achtereenvolgens het aantal kinderen van 11 jaar, dan 12 jaar en tenslotte 13 jaar vinden.

Dus hier moet je drie keer een breuk van een getal vinden. Laten we het doen:

1) Hoeveel kinderen waren 11 jaar oud?

2) Hoeveel kinderen waren 12 jaar oud?

3) Hoeveel kinderen waren 13 jaar oud?

Na het oplossen van het probleem is het handig om de gevonden nummers op te tellen; hun som zou 300 moeten zijn:

63 + 183 + 54 = 300

U moet er ook op letten dat de som van de percentages die in de toestand van het probleem worden gegeven 100 is:

21% + 61% + 18% = 100%

Dit suggereert dat het totale aantal kinderen in het kamp op 100% werd genomen.

3 een dag 3. De werknemer ontving 1200 roebel per maand. Hiervan gaf hij 65% uit aan voedsel, 6% aan een appartement en verwarming, 4% aan gas, elektriciteit en radio, 10% aan culturele behoeften en 15% spaarde hij. Hoeveel geld is er besteed aan de behoeften die in de taak zijn aangegeven?

Om dit probleem op te lossen, moet je 5 keer een fractie van het getal 1200 vinden. Laten we het doen.

1) Hoeveel geld wordt er aan eten uitgegeven? De taak zegt dat deze uitgave 65% van alle inkomsten is, d.w.z. 65/100 van het getal 1200. Laten we de berekening doen:

2) Hoeveel geld is er betaald voor een appartement met verwarming? Argumenteren zoals de vorige, komen we tot de volgende berekening:

3) Hoeveel geld heb je betaald voor gas, elektriciteit en radio?

4) Hoeveel geld wordt er besteed aan culturele behoeften?

5) Hoeveel geld heeft de werknemer gespaard?

Ter verificatie is het handig om de getallen uit deze 5 vragen bij elkaar op te tellen. Het bedrag moet 1200 roebel zijn. Alle inkomsten worden als 100% beschouwd, wat gemakkelijk te controleren is door de percentages in de probleemstelling bij elkaar op te tellen.

We hebben drie problemen opgelost. Ondanks het feit dat deze taken over verschillende dingen gingen (levering van brandhout voor de school, het aantal kinderen van verschillende leeftijden, de kosten van de arbeider), werden ze op dezelfde manier opgelost. Dit gebeurde omdat het bij alle taken nodig was om een ​​paar procent van de gegeven getallen te vinden.

§ 90. Deling van breuken.

Bij het bestuderen van de deling van breuken, zullen we de volgende vragen overwegen:

1. Deel een geheel getal door een geheel getal.
2. Deling van een breuk door een geheel getal
3. Deling van een geheel getal door een breuk.
4. Deling van een breuk door een breuk.
5. Verdeling van gemengde nummers.
6. Een getal vinden gezien de breuk.
7. Een getal zoeken op basis van het percentage.

Laten we ze achtereenvolgens bekijken.

1. Deel een geheel getal door een geheel getal.

Zoals aangegeven in de paragraaf over gehele getallen, is deling de actie die erin bestaat dat, gegeven het product van twee factoren (het deeltal) en een van deze factoren (de deler), een andere factor wordt gevonden.

De deling van een geheel getal door een geheel getal hebben we overwogen in de afdeling gehele getallen. We kwamen daar twee gevallen van delen tegen: delen zonder rest, of "helemaal" (150: 10 = 15), en delen met rest (100: 9 = 11 en 1 in de rest). We kunnen daarom zeggen dat in het rijk van gehele getallen een exacte deling niet altijd mogelijk is, omdat het deeltal niet altijd het product is van de deler en het gehele getal. Na de introductie van vermenigvuldigen met een breuk, kunnen we elk geval van deling van gehele getallen als mogelijk beschouwen (alleen deling door nul is uitgesloten).

Bijvoorbeeld, 7 delen door 12 betekent een getal vinden waarvan het product maal 12 7 zou zijn. Dit getal is de breuk 7/12 omdat 7/12 12 = 7. Nog een voorbeeld: 14: 25 = 14/25 omdat 14/25 25 = 14.

Dus om een ​​geheel getal door een geheel getal te delen, moet je een breuk maken waarvan de teller gelijk is aan het deeltal, en de noemer is de deler.

2. Deling van een breuk door een geheel getal.

Deel de breuk 6 / 7 door 3. Volgens de hierboven gegeven definitie van deling hebben we hier het product (6 / 7) en een van de factoren (3); het is nodig om zo'n tweede factor te vinden die, vermenigvuldigd met 3, het gegeven product 6 / 7 zou geven. Het moet duidelijk drie keer kleiner zijn dan dit product. Dit betekent dat de taak die voor ons lag was om de breuk 6/7 met 3 keer te verminderen.

We weten al dat de reductie van een breuk kan worden gedaan door de teller te verlagen of door de noemer te vergroten. Daarom kun je schrijven:

In dit geval is de teller 6 deelbaar door 3, dus de teller moet met 3 keer worden verminderd.

Laten we nog een voorbeeld nemen: 5/8 gedeeld door 2. Hier is de teller 5 niet deelbaar door 2, wat betekent dat de noemer met dit getal moet worden vermenigvuldigd:

Op basis hiervan kunnen we de regel stellen: Om een ​​breuk te delen door een geheel getal, moet je de teller van de breuk delen door dat geheel getal(als dat mogelijk is), dezelfde noemer behouden, of de noemer van de breuk vermenigvuldigen met dit getal, zodat dezelfde teller overblijft.

3. Deling van een geheel getal door een breuk.

Laat het vereist zijn om 5 te delen door 1/2, d.w.z. zoek een getal dat, na vermenigvuldiging met 1/2, het product 5 geeft. Uiteraard moet dit getal groter zijn dan 5, aangezien 1/2 een goede breuk is, en bij het vermenigvuldigen van een getal met een juiste breuk, moet het product kleiner zijn dan het vermenigvuldigtal. Laten we, om het duidelijker te maken, onze acties als volgt opschrijven: 5: 1 / 2 = X , dus x 1/2 \u003d 5.

We moeten zo'n getal vinden X , die, wanneer vermenigvuldigd met 1/2, 5 zou opleveren. Aangezien vermenigvuldigen van een bepaald getal met 1/2 betekent dat je 1/2 van dit getal vindt, dus 1/2 van het onbekende getal X is 5, en het hele getal X twee keer zoveel, d.w.z. 5 2 \u003d 10.

Dus 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Laten we het controleren:

Laten we nog een voorbeeld bekijken. Laat het vereist zijn om 6 te delen door 2 / 3 . Laten we eerst proberen het gewenste resultaat te vinden met behulp van de tekening (afb. 19).

Afb.19

Teken een segment AB, gelijk aan 6 van sommige eenheden, en verdeel elke eenheid in 3 gelijke delen. In elke eenheid is drie derde (3 / 3) in het hele segment AB 6 keer groter, d.w.z. bijv. 18/3. We verbinden met behulp van kleine haakjes 18 verkregen segmenten van 2; Er zullen slechts 9 segmenten zijn. Dit betekent dat de breuk 2/3 9 keer in b-eenheden zit, of met andere woorden, de breuk 2/3 is 9 keer kleiner dan 6 gehele eenheden. Vervolgens,

Hoe krijg je dit resultaat zonder een tekening met alleen berekeningen? We zullen als volgt argumenteren: het is vereist om 6 te delen door 2 / 3, d.w.z. het is vereist om de vraag te beantwoorden, hoe vaak 2 / 3 in 6 zit. Laten we eerst kijken: hoe vaak is 1 / 3 in 6? In een hele eenheid - 3 derde, en in 6 eenheden - 6 keer meer, d.w.z. 18 derde; om dit getal te vinden, moeten we 6 met 3 vermenigvuldigen. Daarom zit 1/3 18 keer in b-eenheden en 2/3 zit niet 18 keer in b, maar half zo vaak, d.w.z. 18: 2 = 9. Daarom hebben we bij het delen van 6 door 2/3 het volgende gedaan:

Vanaf hier krijgen we de regel voor het delen van een geheel getal door een breuk. Om een ​​geheel getal door een breuk te delen, moet je dit gehele getal vermenigvuldigen met de noemer van de gegeven breuk en, om dit product de teller te maken, het delen door de teller van de gegeven breuk.

We schrijven de regel met letters:

Om deze regel volkomen duidelijk te maken, moet worden bedacht dat een breuk als een quotiënt kan worden beschouwd. Daarom is het handig om de gevonden regel te vergelijken met de regel voor het delen van een getal door een quotiënt, die is uiteengezet in § 38. Merk op dat dezelfde formule daar werd verkregen.

Bij het delen zijn afkortingen mogelijk, bijvoorbeeld:

4. Deling van een breuk door een breuk.

Laat het verplicht zijn om 3/4 te delen door 3/8. Wat geeft het getal aan dat wordt verkregen als gevolg van deling? Het geeft antwoord op de vraag hoe vaak de breuk 3/8 in de breuk 3/4 zit. Laten we een tekening maken om dit probleem te begrijpen (Fig. 20).

Neem het segment AB, neem het als een eenheid, verdeel het in 4 gelijke delen en markeer 3 van dergelijke delen. Segment AC zal gelijk zijn aan 3/4 van segment AB. Laten we nu elk van de vier initiële segmenten doormidden delen, dan zal het segment AB in 8 gelijke delen worden verdeeld en elk dergelijk deel zal gelijk zijn aan 1/8 van het segment AB. We verbinden 3 van dergelijke segmenten met bogen, dan is elk van de segmenten AD en DC gelijk aan 3/8 van het segment AB. De tekening laat zien dat het segment gelijk aan 3/8 precies 2 keer in het segment gelijk aan 3/4 zit; Het resultaat van de deling kan dus als volgt worden geschreven:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Laten we nog een voorbeeld bekijken. Laat het vereist zijn om 15/16 te delen door 3/32:

We kunnen als volgt redeneren: we moeten een getal vinden dat, na te zijn vermenigvuldigd met 3 / 32, een product oplevert dat gelijk is aan 15 / 16. Laten we de berekeningen als volgt schrijven:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 onbekend nummer X make-up 15/16

1/32 onbekend aantal X is ,

32 / 32 nummers X verzinnen .

Vervolgens,

Dus, om een ​​breuk te delen door een breuk, moet je de teller van de eerste breuk vermenigvuldigen met de noemer van de tweede, en de noemer van de eerste breuk vermenigvuldigen met de teller van de tweede en het eerste product de teller maken en de tweede de noemer.

Laten we de regel schrijven met letters:

Bij het delen zijn afkortingen mogelijk, bijvoorbeeld:

5. Verdeling van gemengde nummers.

Bij het delen van gemengde getallen moeten ze eerst worden omgezet in onechte breuken en vervolgens moeten de resulterende breuken worden verdeeld volgens de regels voor het delen van gebroken getallen. Overweeg een voorbeeld:

Converteer gemengde getallen naar onechte breuken:

Laten we nu splitsen:

Dus om gemengde getallen te delen, moet je ze converteren naar onechte breuken en vervolgens delen volgens de regel voor het delen van breuken.

6. Een getal vinden gezien de breuk.

Onder de verschillende taken over breuken zijn er soms die waarin de waarde van een fractie van een onbekend getal wordt gegeven en het is vereist om dit nummer te vinden. Dit type probleem is omgekeerd aan het probleem van het vinden van een fractie van een bepaald getal; daar werd een getal gegeven en het was nodig om een ​​fractie van dit getal te vinden, hier wordt een fractie van een getal gegeven en het is verplicht om dit getal zelf te vinden. Dit idee zal nog duidelijker worden als we ons wenden tot de oplossing van dit soort problemen.

Taak 1. Op de eerste dag hebben glazenmakers 50 ramen geglazuurd, dat is 1/3 van alle ramen van het gebouwde huis. Hoeveel ramen zijn er in dit huis?

Oplossing. Het probleem zegt dat 50 glazen ramen 1/3 van alle ramen van het huis uitmaken, wat betekent dat er in totaal 3 keer meer ramen zijn, d.w.z.

Het huis had 150 ramen.

Taak 2. De winkel verkocht 1.500 kg meel, dat is 3/8 van de totale voorraad meel in de winkel. Wat was de eerste voorraad meel van de winkel?

Oplossing. Uit de problematiek blijkt dat de verkochte 1.500 kg meel 3/8 van de totale voorraad uitmaakt; dit betekent dat 1/8 van deze voorraad 3 keer minder zal zijn, d.w.z. om het te berekenen, moet je 1500 met 3 keer verminderen:

1.500: 3 = 500 (dat is 1/8 van de voorraad).

Uiteraard wordt de hele voorraad 8 keer groter. Vervolgens,

500 8 \u003d 4.000 (kg).

De aanvankelijke voorraad meel in de winkel was 4.000 kg.

Uit de beschouwing van dit probleem kan de volgende regel worden afgeleid.

Om een ​​getal te vinden met een bepaalde waarde van zijn breuk, volstaat het om deze waarde te delen door de teller van de breuk en het resultaat te vermenigvuldigen met de noemer van de breuk.

We hebben twee problemen opgelost bij het vinden van een getal gezien de breuk. Dergelijke problemen, zoals vooral goed te zien is aan de laatste, worden opgelost door twee acties: delen (wanneer een deel wordt gevonden) en vermenigvuldigen (wanneer het hele getal wordt gevonden).

Echter, nadat we het delen van breuken hebben bestudeerd, kunnen bovenstaande problemen in één handeling worden opgelost, namelijk: delen door een breuk.

De laatste taak kan bijvoorbeeld in één actie als volgt worden opgelost:

In de toekomst zullen we het probleem oplossen van het vinden van een getal door zijn breuk in één actie - deling.

7. Een getal zoeken op basis van het percentage.

Bij deze taken moet je een getal vinden, waarbij je een paar procent van dit getal kent.

Taak 1. Begin dit jaar ontving ik 60 roebel van de spaarbank. inkomen van het bedrag dat ik een jaar geleden heb gespaard. Hoeveel geld heb ik op de spaarbank gezet? (Kassa's geven deposanten 2% van het inkomen per jaar.)

De betekenis van het probleem is dat een bepaald bedrag door mij op een spaarbank is gezet en daar een jaar heeft gelegen. Na een jaar ontving ik 60 roebel van haar. inkomen, dat is 2/100 van het geld dat ik erin stop. Hoeveel geld heb ik gestort?

Daarom, als we het deel van dit geld kennen, uitgedrukt op twee manieren (in roebels en in breuken), moeten we het volledige, tot nu toe onbekende bedrag vinden. Dit is een normaal probleem bij het vinden van een getal gezien de breuk. De volgende taken worden per divisie opgelost:

Dus 3.000 roebel werd op de spaarbank gezet.

Taak 2. In twee weken tijd voldeden de vissers aan het maandelijkse plan met 64%, nadat ze 512 ton vis hadden klaargemaakt. Wat was hun plan?

Uit de toestand van het probleem is bekend dat de vissers een deel van het plan hebben voltooid. Dit deel is gelijk aan 512 ton, dat is 64% van het plan. Hoeveel ton vis er volgens het plan moet worden geoogst, weten we niet. De oplossing van het probleem zal bestaan ​​uit het vinden van dit nummer.

Dergelijke taken worden opgelost door te delen:

Dus volgens het plan moet je 800 ton vis bereiden.

Taak 3. De trein ging van Riga naar Moskou. Toen hij de 276e kilometer passeerde, vroeg een van de passagiers aan de passerende conducteur hoeveel van de reis ze al hadden afgelegd. Hierop antwoordde de conducteur: "We hebben al 30% van de hele reis afgelegd." Wat is de afstand van Riga naar Moskou?

Uit de toestand van het probleem blijkt dat 30% van de reis van Riga naar Moskou 276 km is. We moeten de volledige afstand tussen deze steden vinden, d.w.z. voor dit deel, het geheel vinden:

§ 91. Wederzijdse nummers. Delen vervangen door vermenigvuldigen.

Neem de breuk 2/3 en herschik de teller naar de plaats van de noemer, we krijgen 3/2. We hebben een fractie, het omgekeerde van deze.

Om een ​​breuk te krijgen die omgekeerd is aan een gegeven, moet je de teller op de plaats van de noemer zetten en de noemer op de plaats van de teller. Op deze manier kunnen we een breuk krijgen die het omgekeerde is van elke breuk. Bijvoorbeeld:

3/4, omgekeerde 4/3; 5/6, achteruit 6/5

Twee breuken die de eigenschap hebben dat de teller van de eerste de noemer van de tweede is en de noemer van de eerste de teller van de tweede worden genoemd onderling omgekeerd.

Laten we nu eens nadenken over welke breuk het omgekeerde zal zijn van 1/2. Het is duidelijk dat het 2/1 of slechts 2 is. Als we het omgekeerde hiervan zoeken, hebben we een geheel getal. En dit geval staat niet op zichzelf; integendeel, voor alle breuken met een teller van 1 (één), zullen de reciprocals gehele getallen zijn, bijvoorbeeld:

1 / 3, invers 3; 1 / 5, achteruit 5

Omdat we bij het zoeken naar reciprocals ook gehele getallen tegenkwamen, zullen we het in de toekomst niet meer hebben over reciprocals, maar over reciprocals.

Laten we eens kijken hoe we het omgekeerde van een geheel getal kunnen schrijven. Voor breuken is dit eenvoudig op te lossen: je moet de noemer op de plaats van de teller zetten. Op dezelfde manier kun je het omgekeerde van een geheel getal krijgen, aangezien elk geheel getal een noemer van 1 kan hebben. Dus het omgekeerde van 7 is 1 / 7, omdat 7 \u003d 7 / 1; voor het getal 10 is het omgekeerde 1 / 10 aangezien 10 = 10 / 1

Dit idee kan op een andere manier worden uitgedrukt: het omgekeerde van een bepaald getal wordt verkregen door een te delen door het gegeven getal. Deze bewering geldt niet alleen voor gehele getallen, maar ook voor breuken. Inderdaad, als je een getal wilt schrijven dat het omgekeerde is van de breuk 5 / 9, dan kunnen we 1 nemen en delen door 5 / 9, d.w.z.

Laten we er nu een aanwijzen eigendom wederzijds wederkerige nummers, wat nuttig voor ons zal zijn: het product van onderling wederkerige getallen is gelijk aan één. Inderdaad:

Met behulp van deze eigenschap kunnen we reciprocals op de volgende manier vinden. Laten we het omgekeerde van 8 vinden.

Laten we het aanduiden met de letter X , dan 8 X = 1, vandaar X = 1 / 8 . Laten we een ander getal zoeken, het inverse van 7/12, en dat met een letter aangeven X , dan 7 / 12 X = 1, vandaar X = 1:7 / 12 of X = 12 / 7 .

We hebben hier het concept van wederkerige getallen geïntroduceerd om de informatie over de deling van breuken enigszins aan te vullen.

Als we het getal 6 delen door 3/5, dan doen we het volgende:

Besteed speciale aandacht aan de uitdrukking en vergelijk deze met de gegeven: .

Als we de uitdrukking afzonderlijk nemen, zonder verband met de vorige, dan is het onmogelijk om de vraag op te lossen waar deze vandaan komt: door 6 te delen door 3/5 of door 6 te vermenigvuldigen met 5/3. In beide gevallen is het resultaat hetzelfde. Dus we kunnen zeggen: dat het delen van het ene getal door het andere kan worden vervangen door het deeltal te vermenigvuldigen met het omgekeerde van de deler.

De voorbeelden die we hieronder geven bevestigen deze conclusie volledig.

OM DEZE HARK REEDS OMLAAG!

Vermenigvuldigen en delen van breuken.

Aandacht!
Er zijn extra
materiaal in speciale sectie 555.
Voor degenen die sterk zijn "niet erg. »
En voor degenen die “zeer gelijkmatig. "")

Deze bewerking is veel leuker dan optellen-aftrekken! Omdat het makkelijker is. Ik herinner je eraan: om een ​​breuk met een breuk te vermenigvuldigen, moet je de tellers (dit is de teller van het resultaat) en de noemers (dit wordt de noemer) vermenigvuldigen. Dat is:

Alles is uiterst eenvoudig. En zoek alsjeblieft niet naar een gemene deler! Heb het hier niet nodig...

Om een ​​breuk door een breuk te delen, moet je omdraaien seconde(dit is belangrijk!) breuk en vermenigvuldig ze, d.w.z.:

Als vermenigvuldigen of delen met gehele getallen en breuken wordt opgevangen, is het goed. Net als bij optellen maken we een breuk van een geheel getal met een eenheid in de noemer - en gaan! Bijvoorbeeld:

Op de middelbare school heb je vaak te maken met breuken van drie (of zelfs vier!) verdiepingen. Bijvoorbeeld:

Hoe deze fractie tot een fatsoenlijke vorm te brengen? Ja, heel gemakkelijk! Gebruik deling door twee punten:

Maar vergeet de deelvolgorde niet! In tegenstelling tot vermenigvuldigen is dit hier erg belangrijk! Natuurlijk zullen we 4:2 of 2:4 niet door elkaar halen. Maar in een fractie van drie verdiepingen is het gemakkelijk om een ​​fout te maken. Let bijvoorbeeld op:

In het eerste geval (uitdrukking links):

In de tweede (uitdrukking aan de rechterkant):

Voel het verschil? 4 en 1/9!

Wat is de volgorde van deling? Of haakjes, of (zoals hier) de lengte van horizontale streepjes. Ontwikkel een oog. En als er geen haakjes of streepjes zijn, zoals:

dan delen-vermenigvuldigen in volgorde, van links naar rechts!

En nog een heel eenvoudige en belangrijke truc. Bij acties met diploma's komt dat goed van pas! Laten we de eenheid delen door een willekeurige breuk, bijvoorbeeld door 13/15:

Het schot is omgedraaid! En het gebeurt altijd. Als je 1 deelt door een breuk, is het resultaat dezelfde breuk, alleen omgekeerd.

Dat zijn alle acties met breuken. Het ding is vrij eenvoudig, maar geeft meer dan genoeg fouten. Let op praktische adviezen, en er zijn er minder (fouten)!

1. Het belangrijkste bij het werken met fractionele uitdrukkingen is nauwkeurigheid en aandacht! Dit zijn geen gewone woorden, geen goede wensen! Dit is een grote behoefte! Doe alle berekeningen op het examen als een volwaardige taak, met concentratie en duidelijkheid. Het is beter om twee extra regels in een concept te schrijven dan te verknoeien bij het rekenen in je hoofd.

2. Ga in voorbeelden met verschillende soorten breuken naar gewone breuken.

3. We reduceren alle breuken tot de aanslag.

4. We reduceren breukuitdrukkingen op meerdere niveaus tot gewone uitdrukkingen met behulp van delen door twee punten (we volgen de volgorde van delen!).

Dit zijn de taken die u moet voltooien. Antwoorden worden gegeven na alle taken. Gebruik de materialen van dit onderwerp en praktisch advies. Schat hoeveel voorbeelden je goed zou kunnen oplossen. De eerste keer! Zonder rekenmachine! En trek de juiste conclusies.

Onthoud het juiste antwoord verkregen vanaf de tweede (vooral de derde) keer - telt niet! Zo is het harde leven.

Dus, oplossen in examenmodus ! Dit is trouwens een voorbereiding op het examen. We lossen een voorbeeld op, we controleren, we lossen het volgende op. We hebben alles besloten - we hebben het van de eerste tot de laatste opnieuw gecontroleerd. Maar alleen na kijk naar de antwoorden.

Op zoek naar antwoorden die overeenkomen met die van jou. Ik heb ze bewust in een puinhoop opgeschreven, weg van de verleiding, om zo te zeggen. Hier zijn ze, de antwoorden, gescheiden door een puntkomma.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

En nu trekken we conclusies. Als alles gelukt is - blij voor jou! Elementaire berekeningen met breuken zijn niet jouw probleem! Je kunt serieuzere dingen doen. Als niet.

Dus je hebt een van de twee problemen. Of beide tegelijk.) Gebrek aan kennis en (of) onoplettendheid. Maar. het oplosbaar Problemen.

In speciale sectie 555 "Fracties" worden al deze (en niet alleen!) voorbeelden geanalyseerd. Met uitgebreide uitleg over wat, waarom en hoe. Zo'n analyse helpt enorm bij een gebrek aan kennis en kunde!

Ja, en op het tweede probleem is er iets.) Heel praktisch advies, hoe meer oplettend te worden. Ja Ja! Advies dat van toepassing kan zijn elk.

Voor succes is naast kennis en oplettendheid een zeker automatisme nodig. Waar te krijgen? Ik hoor een zware zucht... Ja, alleen in de praktijk, nergens anders.

Je kunt naar de site 321start.ru gaan voor training. Daar, in de "Probeer"-optie, zijn er 10 voorbeelden die iedereen kan gebruiken. Met onmiddellijke verificatie. Voor geregistreerde gebruikers - 34 voorbeelden van eenvoudig tot ernstig. Het is alleen voor breuken.

Als je deze site leuk vindt.

Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)

Hier kun je oefenen met het oplossen van voorbeelden en je niveau te weten komen. Testen met directe verificatie. Leer met interesse!

En hier maak je kennis met functies en afgeleiden.

Regel 1

Om een ​​breuk met een natuurlijk getal te vermenigvuldigen, moet je de teller met dit getal vermenigvuldigen en de noemer ongewijzigd laten.

Regel 2

Om een ​​breuk met een breuk te vermenigvuldigen:

1. vind het product van de tellers en het product van de noemers van deze breuken

2. Schrijf het eerste product als de teller en het tweede als de noemer.

Regel 3

Om gemengde getallen te vermenigvuldigen, moet u ze als oneigenlijke breuken schrijven en vervolgens de regel voor het vermenigvuldigen van breuken gebruiken.

Regel 4

Om de ene breuk door de andere te delen, moet je het deeltal vermenigvuldigen met het omgekeerde van de deler.

voorbeeld 1

Berekenen

Voorbeeld 2

Berekenen

Voorbeeld 3

Berekenen

Voorbeeld 4

Berekenen

Wiskunde. Andere materialen

Een getal verheffen tot een rationele macht. (

Een getal verheffen tot een natuurlijke kracht. (

Gegeneraliseerde intervalmethode voor het oplossen van algebraïsche ongelijkheden (Auteur Kolchanov A.V.)

Methode voor het vervangen van factoren bij het oplossen van algebraïsche ongelijkheden (Auteur Kolchanov A.V.)

Tekenen van deelbaarheid (Lungu Alena)

Test jezelf op het onderwerp 'Vermenigvuldigen en delen van gewone breuken'

Vermenigvuldiging van breuken

We zullen de vermenigvuldiging van gewone breuken op verschillende mogelijke manieren bekijken.

Een breuk vermenigvuldigen met een breuk

Dit is het eenvoudigste geval, waarin u het volgende moet gebruiken: regels voor vermenigvuldiging van breuken.

Tot een breuk vermenigvuldigen met een breuk, nodig:

vermenigvuldig de teller van de eerste breuk met de teller van de tweede breuk en schrijf hun product in de teller van de nieuwe breuk;

vermenigvuldig de noemer van de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk en schrijf hun product in de noemer van de nieuwe breuk;

Controleer voordat u tellers en noemers vermenigvuldigt of de breuken kunnen worden verkleind. Het verminderen van breuken in berekeningen zal uw berekeningen aanzienlijk vergemakkelijken.

Een breuk vermenigvuldigen met een natuurlijk getal

naar breuk vermenigvuldigen met een natuurlijk getal Je moet de teller van de breuk vermenigvuldigen met dit getal en de noemer van de breuk ongewijzigd laten.

Als het resultaat van vermenigvuldiging een onjuiste breuk is, vergeet dan niet om er een gemengd getal van te maken, dat wil zeggen, selecteer het hele deel.

Vermenigvuldiging van gemengde getallen

Om gemengde getallen te vermenigvuldigen, moet u ze eerst in onechte breuken veranderen en vervolgens vermenigvuldigen volgens de regel voor het vermenigvuldigen van gewone breuken.

Een andere manier om een ​​breuk te vermenigvuldigen met een natuurlijk getal

Soms is het in berekeningen handiger om een ​​andere methode te gebruiken om een ​​gewone breuk met een getal te vermenigvuldigen.

Om een ​​breuk te vermenigvuldigen met een natuurlijk getal, moet je de noemer van de breuk delen door dit getal en de teller gelijk laten.

Zoals uit het voorbeeld blijkt, is het handiger om deze versie van de regel te gebruiken als de noemer van de breuk zonder rest deelbaar is door een natuurlijk getal.

Deling van een breuk door een getal

Wat is de snelste manier om een ​​breuk te delen door een getal? Laten we de theorie analyseren, een conclusie trekken en voorbeelden gebruiken om te zien hoe de deling van een breuk door een getal kan worden uitgevoerd volgens een nieuwe korte regel.

Gewoonlijk wordt de deling van een breuk door een getal uitgevoerd volgens de regel van deling van breuken. Het eerste getal (breuk) wordt vermenigvuldigd met het omgekeerde van het tweede. Aangezien het tweede getal een geheel getal is, is het omgekeerde ervan een breuk, waarvan de teller gelijk is aan één, en de noemer het gegeven getal. Schematisch ziet het delen van een breuk door een natuurlijk getal er als volgt uit:

Hieruit concluderen we:

Om een ​​breuk door een getal te delen, vermenigvuldig je de noemer met dat getal en laat je de teller hetzelfde. De regel kan nog beknopter worden geformuleerd:

Als je een breuk deelt door een getal, gaat het getal naar de noemer.

Een breuk delen door een getal:

Om een ​​breuk door een getal te delen, herschrijven we de teller ongewijzigd en vermenigvuldigen we de noemer met dit getal. We verkleinen 6 en 3 met 3.

Wanneer we een breuk delen door een getal, herschrijven we de teller en vermenigvuldigen we de noemer met dat getal. We verminderen 16 en 24 met 8.

Bij het delen van een breuk door een getal, gaat het getal naar de noemer, dus laten we de teller hetzelfde en vermenigvuldigen we de noemer met de deler. We verminderen 21 en 35 met 7.

Vermenigvuldigen en delen van breuken

De vorige keer leerden we breuken optellen en aftrekken (zie de les "Brakingen optellen en aftrekken"). Het moeilijkste moment in die acties was om breuken tot een gemeenschappelijke noemer te brengen.

Nu is het tijd om te gaan met vermenigvuldigen en delen. Het goede nieuws is dat deze bewerkingen nog eenvoudiger zijn dan optellen en aftrekken. Beschouw om te beginnen het eenvoudigste geval, waarin er twee positieve breuken zijn zonder een onderscheiden geheel getal.

Om twee breuken te vermenigvuldigen, moet u hun tellers en noemers afzonderlijk vermenigvuldigen. Het eerste getal is de teller van de nieuwe breuk en het tweede de noemer.

Om twee breuken te delen, moet je de eerste breuk vermenigvuldigen met de "omgekeerde" seconde.

Uit de definitie volgt dat de deling van breuken wordt herleid tot vermenigvuldigen. Om een ​​breuk om te draaien, verwissel je gewoon de teller en de noemer. Daarom zullen we de hele les voornamelijk vermenigvuldigen.

Als gevolg van vermenigvuldiging kan een verkleinde breuk ontstaan ​​(en komt vaak voor) - die moet natuurlijk worden verkleind. Als na alle reducties de breuk niet correct bleek te zijn, moet het hele deel daarin worden onderscheiden. Maar wat bij vermenigvuldigen zeker niet gebeurt, is reductie tot een gemene deler: geen kruiselingse methoden, maximumfactoren en kleinste gemene veelvouden.

Een taak. Zoek de waarde van de uitdrukking:

Per definitie hebben we:

Vermenigvuldiging van breuken met een geheel getal en negatieve breuken

Als er een geheel getal in de breuken zit, moeten ze worden omgezet in onechte breuken - en pas daarna vermenigvuldigd worden volgens de hierboven geschetste schema's.

Als er een min in de teller van een breuk, in de noemer of ervoor staat, kan deze uit de limieten van vermenigvuldiging worden gehaald of helemaal worden verwijderd volgens de volgende regels:

1. Plus maal min geeft min;
2. Twee negatieven maken een bevestiging.

Tot nu toe zijn deze regels alleen aangetroffen bij het optellen en aftrekken van negatieve breuken, wanneer het nodig was om het hele deel te verwijderen. Voor een product kunnen ze worden gegeneraliseerd om meerdere minnen tegelijk te "verbranden":

3. We doorstrepen de minnen in paren totdat ze volledig verdwijnen. In het uiterste geval kan één min overleven - degene die geen match heeft gevonden;
4. Als er geen minnen meer zijn, is de bewerking voltooid - u kunt beginnen met vermenigvuldigen. Als het laatste minpuntje niet is doorgestreept, omdat het geen paar heeft gevonden, halen we het uit de limieten van vermenigvuldiging. Je krijgt een negatieve breuk.

We vertalen alle breuken in onechte, en dan halen we de minnen buiten de limieten van vermenigvuldiging. Wat overblijft wordt vermenigvuldigd volgens de gebruikelijke regels. We krijgen:

Laat me je er nogmaals aan herinneren dat de min die voor een breuk komt met een gemarkeerd geheel getal specifiek verwijst naar de hele breuk, en niet alleen naar het gehele deel ervan (dit geldt voor de laatste twee voorbeelden).

Let ook op negatieve getallen: vermenigvuldigd staan ​​ze tussen haakjes. Dit wordt gedaan om de minnen van de vermenigvuldigingstekens te scheiden en de hele notatie nauwkeuriger te maken.

Snel breuken verminderen

Vermenigvuldigen is een zeer arbeidsintensieve operatie. De getallen hier zijn vrij groot en om de taak te vereenvoudigen, kun je proberen de breuk nog meer te verkleinen voor vermenigvuldiging. In wezen zijn de tellers en noemers van breuken inderdaad gewone factoren, en daarom kunnen ze worden verminderd met behulp van de basiseigenschap van een breuk. Bekijk de voorbeelden:

In alle voorbeelden zijn de getallen die zijn verkleind en wat er nog van over is in rood gemarkeerd.

Let op: in het eerste geval zijn de vermenigvuldigers volledig verlaagd. Eenheden bleven op hun plaats, wat over het algemeen kan worden weggelaten. In het tweede voorbeeld was het niet mogelijk om een ​​volledige reductie te realiseren, maar het totale aantal berekeningen nam toch af.

Gebruik deze techniek echter in geen geval bij het optellen en aftrekken van breuken! Ja, soms zijn er vergelijkbare aantallen die u gewoon wilt verminderen. Hier, kijk:

Dat kan je niet!

De fout treedt op omdat bij het optellen van een breuk de som verschijnt in de teller van een breuk, en niet in het product van getallen. Daarom is het onmogelijk om de hoofdeigenschap van een breuk toe te passen, aangezien deze eigenschap specifiek betrekking heeft op de vermenigvuldiging van getallen.

Er is gewoon geen andere reden om breuken te verminderen, dus de juiste oplossing voor het vorige probleem ziet er als volgt uit:

Zoals je kunt zien, bleek het juiste antwoord niet zo mooi te zijn. Wees in het algemeen voorzichtig.

Deling van breuken.

Deling van een breuk door een natuurlijk getal.

Voorbeelden van het delen van een breuk door een natuurlijk getal

Deling van een natuurlijk getal door een breuk.

Voorbeelden van het delen van een natuurlijk getal door een breuk

Deling van gewone breuken.

Voorbeelden van deling van gewone breuken

Verdeling van gemengde nummers.

Om een ​​gemengd getal door een ander te delen, heb je nodig:
• converteer gemengde breuken naar onjuist;
• vermenigvuldig de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede;
• verminder de resulterende fractie;
• Als u een onechte breuk krijgt, converteert u de onechte breuk naar een gemengde breuk.

Voorbeelden van het delen van gemengde getallen

1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7

Alle obscene opmerkingen worden verwijderd en hun auteurs worden op de zwarte lijst gezet!

Welkom bij OnlineMSschool.
Mijn naam is Dovzhik Mikhail Viktorovich. Ik ben de eigenaar en auteur van deze site, ik heb al het theoretische materiaal geschreven, evenals online oefeningen en rekenmachines ontwikkeld die je kunt gebruiken om wiskunde te studeren.

Breuken. Vermenigvuldigen en delen van breuken.

Een breuk vermenigvuldigen met een breuk.

Om gewone breuken te vermenigvuldigen, is het noodzakelijk om de teller te vermenigvuldigen met de teller (we krijgen de teller van het product) en de noemer met de noemer (we krijgen de noemer van het product).

Formule voor vermenigvuldiging van breuken:





Alvorens verder te gaan met de vermenigvuldiging van tellers en noemers, is het noodzakelijk om te controleren op de mogelijkheid om de breuk te verkleinen. Lukt het je om de breuk te verkleinen, dan kun je makkelijker door blijven rekenen.

Opmerking! Het is niet nodig om naar een gemene deler te zoeken!!

Deling van een gewone breuk door een breuk.

De deling van een gewone breuk door een breuk is als volgt: draai de tweede breuk om (d.w.z. verander de teller en noemer in plaatsen) en daarna worden de breuken vermenigvuldigd.

De formule voor het delen van gewone breuken:





Een breuk vermenigvuldigen met een natuurlijk getal.

Opmerking! Bij het vermenigvuldigen van een breuk met een natuurlijk getal, wordt de teller van de breuk vermenigvuldigd met ons natuurlijke getal en blijft de noemer van de breuk hetzelfde. Als het resultaat van het product een onjuiste breuk is, zorg er dan voor dat u het hele deel selecteert door de onjuiste breuk in een gemengde breuk te veranderen.



Deling van breuken met een natuurlijk getal.

Het is niet zo eng als het lijkt. Net als bij optellen zetten we een geheel getal om in een breuk met een eenheid in de noemer. Bijvoorbeeld:



Vermenigvuldiging van gemengde breuken.

Regels voor het vermenigvuldigen van breuken (gemengd):

• converteer gemengde breuken naar onjuist;
• vermenigvuldig de tellers en noemers van breuken;
• we verkleinen de breuk;
• als we een onechte breuk krijgen, dan zetten we de onechte breuk om in een gemengde.

Opmerking! Om een ​​gemengde breuk met een andere gemengde breuk te vermenigvuldigen, moet u ze eerst in de vorm van onechte breuken brengen en vervolgens vermenigvuldigen volgens de regel voor het vermenigvuldigen van gewone breuken.



De tweede manier om een ​​breuk te vermenigvuldigen met een natuurlijk getal.

Het is handiger om de tweede methode te gebruiken om een ​​gewone breuk met een getal te vermenigvuldigen.

Opmerking! Om een ​​breuk met een natuurlijk getal te vermenigvuldigen, is het noodzakelijk om de noemer van de breuk door dit getal te delen en de teller ongewijzigd te laten.



Uit het bovenstaande voorbeeld blijkt duidelijk dat deze optie handiger is wanneer de noemer van een breuk zonder rest wordt gedeeld door een natuurlijk getal.

Breuken op meerdere niveaus.

Op de middelbare school worden vaak breuken van drie verdiepingen (of meer) gevonden. Voorbeeld:

Om zo'n breuk naar zijn gebruikelijke vorm te brengen, wordt deling door 2 punten gebruikt:



Opmerking! Bij het delen van breuken is de volgorde van delen erg belangrijk. Wees voorzichtig, het is gemakkelijk om hier in de war te raken.

Opmerking, bijvoorbeeld:

Als je één deelt door een breuk, is het resultaat dezelfde breuk, alleen omgekeerd:

Praktische tips voor het vermenigvuldigen en delen van breuken:

1. Het belangrijkste bij het werken met fractionele uitdrukkingen is nauwkeurigheid en aandacht. Voer alle berekeningen zorgvuldig en nauwkeurig, geconcentreerd en duidelijk uit. Het is beter om een ​​paar extra regels in een concept op te schrijven dan in de war te raken in de berekeningen in je hoofd.

2. Ga in taken met verschillende soorten breuken naar het type gewone breuken.

3. We verkleinen alle breuken totdat het niet meer mogelijk is om te verkleinen.

4. We brengen fractionele uitdrukkingen op meerdere niveaus om in gewone, met behulp van deling door 2 punten.

• Onder-en niet aan- Herwerkt lied "Spring Tango" (De tijd komt - vogels uit het zuiden komen aan) - muziek. Valery Milyaev Ik hoorde het niet, ik begreep het niet, ik begreep het niet, in de zin dat ik het niet raadde, ik schreef alle werkwoorden met niet afzonderlijk, ik wist niets van het voorvoegsel nedo- . Het gebeurt, […]
• Pagina niet gevonden In de derde laatste lezing werd een pakket regeringsdocumenten aangenomen dat voorziet in de oprichting van speciale administratieve regio's (SAR). Door het vertrek uit de Europese Unie wordt het VK niet opgenomen in de Europese btw-ruimte en […]
• Het Gemengd Onderzoekscomité verschijnt in het najaar Het Gemengd Onderzoekscomité verschijnt in het najaar Het onderzoek van alle wetshandhavingsinstanties zal bij de vierde poging onder één dak worden verzameld. Al in het najaar van 2014, volgens Izvestia, president Vladimir Poetin [ …]
• Een algoritme-octrooi Hoe een algoritme-octrooi eruit ziet Hoe een algoritme-octrooi wordt voorbereid Het opstellen van technische beschrijvingen van methoden voor het opslaan, verwerken en verzenden van signalen en/of gegevens specifiek voor octrooidoeleinden is meestal niet bijzonder moeilijk, en […]
• WAT IS BELANGRIJK OM TE WETEN OVER HET NIEUWE ONTWERP INZAKE PENSIOENEN 12 december 1993 DE GRONDWET VAN DE RUSSISCHE FEDERATIE (behoudens wijzigingen aangebracht door de wetten van de Russische Federatie op wijzigingen in de grondwet van de Russische Federatie van 30 december 2008 N 6- FKZ, d.d. 30 december 2008 N 7-FKZ, […]
• Chastushka's over pensioen voor een vrouw zijn cool voor een held van de dag voor een man voor de verjaardag van een man - in koor voor een vrouwelijke held van de dag - toewijding aan gepensioneerden voor vrouwen is komisch Wedstrijden voor gepensioneerden zullen interessant zijn Gastheer: Beste vrienden! Een moment van aandacht! Gevoel! Enkel en alleen […]

In de vijfde eeuw voor Christus formuleerde de oude Griekse filosoof Zeno van Elea zijn beroemde aporia's, waarvan de meest bekende de aporia "Achilles en de schildpad" is. Zo klinkt het:

Laten we zeggen dat Achilles tien keer sneller loopt dan de schildpad en duizend passen achter hem loopt. Gedurende de tijd dat Achilles deze afstand aflegt, kruipt de schildpad honderd stappen in dezelfde richting. Als Achilles honderd stappen heeft gelopen, kruipt de schildpad nog eens tien stappen, enzovoort. Het proces zal oneindig doorgaan, Achilles zal de schildpad nooit inhalen.

Deze redenering werd een logische schok voor alle volgende generaties. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Allemaal beschouwden ze op de een of andere manier Zeno's aporieën. De schok was zo sterk dat " ... de discussies gaan momenteel door, de wetenschappelijke gemeenschap is er nog niet in geslaagd om tot een gemeenschappelijke mening te komen over de essentie van paradoxen ... wiskundige analyse, verzamelingenleer, nieuwe fysieke en filosofische benaderingen waren betrokken bij de studie van het probleem ; geen van hen werd een algemeen aanvaarde oplossing voor het probleem ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Iedereen begrijpt dat ze voor de gek worden gehouden, maar niemand begrijpt wat het bedrog is.

Vanuit het oogpunt van wiskunde toonde Zeno in zijn aporia duidelijk de overgang van de waarde naar. Deze overgang impliceert het toepassen in plaats van constanten. Voor zover ik begrijp, is het wiskundige apparaat voor het toepassen van variabele meeteenheden ofwel nog niet ontwikkeld, ofwel is het niet toegepast op Zeno's aporie. De toepassing van onze gebruikelijke logica leidt ons in een val. Wij, door de traagheid van het denken, passen constante tijdseenheden toe op het wederkerige. Fysiek gezien lijkt dit een vertraging in de tijd totdat deze volledig stopt op het moment dat Achilles de schildpad inhaalt. Als de tijd stopt, kan Achilles de schildpad niet meer inhalen.

Als we de logica omdraaien die we gewend zijn, valt alles op zijn plaats. Achilles loopt met een constante snelheid. Elk volgend segment van zijn pad is tien keer korter dan het vorige. Dienovereenkomstig is de tijd die wordt besteed aan het overwinnen ervan tien keer minder dan de vorige. Als we in deze situatie het concept van 'oneindig' toepassen, zou het juist zijn om te zeggen: 'Achilles zal de schildpad oneindig snel inhalen'.

Hoe deze logische val te vermijden? Blijf in constante tijdseenheden en schakel niet over naar wederzijdse waarden. In de taal van Zeno ziet het er als volgt uit:

In de tijd die Achilles nodig heeft om duizend stappen te lopen, kruipt de schildpad honderd stappen in dezelfde richting. Gedurende het volgende tijdsinterval, gelijk aan de eerste, zal Achilles nog duizend stappen lopen en de schildpad honderd stappen. Achilles loopt nu achthonderd passen voor op de schildpad.

Deze benadering beschrijft de werkelijkheid adequaat zonder enige logische paradox. Maar dit is geen volledige oplossing voor het probleem. Einsteins uitspraak over de onoverkomelijkheid van de lichtsnelheid lijkt sterk op Zeno's aporia "Achilles en de schildpad". We moeten dit probleem nog bestuderen, heroverwegen en oplossen. En de oplossing moet niet in oneindig grote aantallen worden gezocht, maar in meeteenheden.

Een andere interessante aporie van Zeno vertelt over een vliegende pijl:

Een vliegende pijl is bewegingloos, omdat hij op elk moment in rust is, en aangezien hij op elk moment in rust is, is hij altijd in rust.

In deze aporie wordt de logische paradox heel eenvoudig overwonnen - het is voldoende om te verduidelijken dat de vliegende pijl op elk moment in rust is op verschillende punten in de ruimte, wat in feite beweging is. Hier moet nog een ander punt worden opgemerkt. Aan de hand van één foto van een auto op de weg is het onmogelijk om het feit van zijn beweging of de afstand tot de auto te bepalen. Om het feit van de beweging van de auto te bepalen, zijn twee foto's nodig die vanaf hetzelfde punt op verschillende tijdstippen zijn genomen, maar ze kunnen niet worden gebruikt om de afstand te bepalen. Om de afstand tot de auto te bepalen, heb je twee foto's nodig die tegelijkertijd vanaf verschillende punten in de ruimte zijn gemaakt, maar je kunt het feit van beweging ervan niet bepalen (je hebt natuurlijk nog steeds aanvullende gegevens nodig voor berekeningen, trigonometrie zal je helpen) . Waar ik in het bijzonder op wil wijzen, is dat twee punten in de tijd en twee punten in de ruimte twee verschillende dingen zijn die niet met elkaar verward mogen worden, aangezien ze verschillende mogelijkheden voor verkenning bieden.

woensdag 4 juli 2018

Heel goed worden de verschillen tussen set en multiset beschreven in Wikipedia. Wij kijken.

Zoals je kunt zien, "de set kan geen twee identieke elementen hebben", maar als er identieke elementen in de set zijn, wordt zo'n set een "multiset" genoemd. Redelijke wezens zullen een dergelijke logica van absurditeit nooit begrijpen. Dit is het niveau van pratende papegaaien en getrainde apen, waarbij de geest afwezig is bij het woord 'volledig'. Wiskundigen treden op als gewone trainers en prediken hun absurde ideeën aan ons.

Er waren eens de ingenieurs die de brug bouwden tijdens de tests van de brug in een boot onder de brug. Als de brug instortte, stierf de middelmatige ingenieur onder het puin van zijn creatie. Als de brug de belasting kon weerstaan, bouwde de getalenteerde ingenieur andere bruggen.

Hoe wiskundigen zich ook verschuilen achter de uitdrukking "let op, ik ben in huis", of beter gezegd "wiskunde bestudeert abstracte concepten", er is één navelstreng die hen onlosmakelijk met de werkelijkheid verbindt. Deze navelstreng is geld. Laten we de wiskundige verzamelingenleer toepassen op wiskundigen zelf.

We hebben heel goed wiskunde gestudeerd en nu zitten we aan de kassa en betalen de salarissen. Hier komt een wiskundige naar ons toe voor zijn geld. We tellen het hele bedrag voor hem en leggen het op onze tafel in verschillende stapels, waarin we biljetten van dezelfde waarde leggen. Dan nemen we van elke stapel een rekening en geven de wiskundige zijn "wiskundige salarisset". We leggen de wiskunde uit dat hij de rest van de rekeningen alleen krijgt als hij bewijst dat de verzameling zonder identieke elementen niet gelijk is aan de verzameling met identieke elementen. Dit is waar het plezier begint.

Allereerst zal de logica van de deputaten werken: "je kunt het op anderen toepassen, maar niet op mij!" Verder zullen de verzekeringen beginnen dat er verschillende bankbiljetnummers op bankbiljetten van dezelfde denominatie staan, wat betekent dat ze niet als identieke elementen kunnen worden beschouwd. Welnu, we tellen het salaris in munten - er staan ​​geen cijfers op de munten. Hier zal de wiskundige zich verwoed natuurkunde herinneren: verschillende munten hebben verschillende hoeveelheden vuil, de kristalstructuur en rangschikking van atomen voor elke munt is uniek ...

En nu heb ik de meest interessante vraag: waar ligt de grens waarboven elementen van een multiset veranderen in elementen van een set en vice versa? Zo'n lijn bestaat niet - alles wordt bepaald door sjamanen, de wetenschap is hier niet eens in de buurt.

Kijk hier. We selecteren voetbalstadions met hetzelfde veldoppervlak. De oppervlakte van de velden is hetzelfde, wat betekent dat we een multiset hebben. Maar als we kijken naar de namen van dezelfde stadions, dan krijgen we veel, omdat de namen anders zijn. Zoals je kunt zien, is dezelfde set elementen tegelijkertijd zowel een set als een multiset. Hoe goed? En hier haalt de wiskundige-sjamaan-shuller een troef uit zijn mouw en begint ons te vertellen over een set of een multiset. Hij zal ons in ieder geval overtuigen van zijn gelijk.

Om te begrijpen hoe moderne sjamanen werken met de verzamelingenleer en deze verbinden met de werkelijkheid, volstaat het om één vraag te beantwoorden: hoe verschillen de elementen van de ene verzameling van de elementen van een andere verzameling? Ik zal je laten zien, zonder enige "denkbaar als geen enkel geheel" of "niet voorstelbaar als een enkel geheel."

zondag 18 maart 2018

De som van de cijfers van een getal is een dans van sjamanen met een tamboerijn, die niets met wiskunde te maken heeft. Ja, in wiskundelessen wordt ons geleerd om de som van de cijfers van een getal te vinden en te gebruiken, maar daarvoor zijn ze sjamanen, om hun nakomelingen hun vaardigheden en wijsheid te leren, anders sterven sjamanen gewoon uit.

Heb je bewijs nodig? Open Wikipedia en probeer de pagina "Sum of Digits of a Number" te vinden. Ze bestaat niet. Er is geen formule in de wiskunde waarmee je de som van de cijfers van een willekeurig getal kunt vinden. Getallen zijn tenslotte grafische symbolen waarmee we getallen schrijven, en in de taal van de wiskunde klinkt de taak als volgt: "Zoek de som van grafische symbolen die een willekeurig getal vertegenwoordigen." Wiskundigen kunnen dit probleem niet oplossen, maar sjamanen wel.

Laten we uitzoeken wat en hoe we doen om de som van de cijfers van een bepaald getal te vinden. Laten we zeggen dat we het getal 12345 hebben. Wat moet er gebeuren om de som van de cijfers van dit getal te vinden? Laten we alle stappen in volgorde bekijken.

1. Schrijf het nummer op een stuk papier. Wat hebben we gedaan? We hebben het getal omgezet naar een grafisch symbool voor een getal. Dit is geen wiskundige bewerking.

2. We knippen een ontvangen foto in meerdere foto's met afzonderlijke nummers. Het knippen van een afbeelding is geen wiskundige bewerking.

3. Converteer individuele grafische karakters naar cijfers. Dit is geen wiskundige bewerking.

4. Tel de resulterende getallen op. Dat is nou wiskunde.

De som van de cijfers van het getal 12345 is 15. Dit zijn de "knip- en naaicursussen" van sjamanen die door wiskundigen worden gebruikt. Maar dat is niet alles.

Vanuit het oogpunt van wiskunde maakt het niet uit in welk getalsysteem we het getal schrijven. Dus in verschillende nummersystemen zal de som van de cijfers van hetzelfde nummer anders zijn. In de wiskunde wordt het getallenstelsel aangegeven als een subscript rechts van het getal. Met een groot aantal van 12345 wil ik mijn hoofd niet voor de gek houden, denk aan het getal 26 uit het artikel over. Laten we dit getal in binaire, octale, decimale en hexadecimale getalsystemen schrijven. We zullen niet elke stap onder een microscoop bekijken, dat hebben we al gedaan. Laten we eens kijken naar het resultaat.

Zoals je kunt zien, is in verschillende getalsystemen de som van de cijfers van hetzelfde getal anders. Dit resultaat heeft niets met wiskunde te maken. Het is hetzelfde alsof je totaal andere resultaten zou krijgen bij het bepalen van de oppervlakte van een rechthoek in meters en centimeters.

Nul in alle getalsystemen ziet er hetzelfde uit en heeft geen som van cijfers. Dit is een ander argument voor het feit dat . Een vraag voor wiskundigen: hoe wordt in de wiskunde datgene aangegeven wat geen getal is? Wat, voor wiskundigen, bestaat er niets anders dan getallen? Voor sjamanen kan ik dit toestaan, maar voor wetenschappers niet. De werkelijkheid gaat niet alleen over cijfers.

Het verkregen resultaat moet worden beschouwd als bewijs dat getalsystemen eenheden zijn voor het meten van getallen. We kunnen immers geen getallen vergelijken met verschillende meeteenheden. Als dezelfde acties met verschillende meeteenheden van dezelfde grootheid tot verschillende resultaten leiden na vergelijking, dan heeft dit niets met wiskunde te maken.

Wat is echte wiskunde? Dit is wanneer het resultaat van een wiskundige actie niet afhangt van de waarde van het getal, de gebruikte meeteenheid en van wie deze actie uitvoert.

Teken op de deur Opent de deur en zegt:

Au! Is dit niet het damestoilet?
- Jonge vrouw! Dit is een laboratorium voor het bestuderen van de onbepaalde heiligheid van zielen bij hemelvaart! Nimbus bovenaan en pijl omhoog. Welk ander toilet?

Vrouw... Een halo bovenop en een pijl naar beneden is mannelijk.

Als je zo'n kunstwerk meerdere keren per dag voor je ogen ziet flitsen,

Dan is het niet gek dat je ineens een vreemd icoontje aantreft in je auto:

Persoonlijk span ik me in om min vier graden te zien in een poepende persoon (één afbeelding) (samenstelling van meerdere afbeeldingen: minteken, nummer vier, gradenaanduiding). En ik beschouw dit meisje niet als een dwaas die geen natuurkunde kent. Ze heeft gewoon een boogstereotype van perceptie van grafische afbeeldingen. En wiskundigen leren ons dit de hele tijd. Hier is een voorbeeld.

1A is niet "min vier graden" of "één a". Dit is "poepman" of het getal "zesentwintig" in het hexadecimale getallensysteem. Die mensen die constant in dit cijfersysteem werken, zien het cijfer en de letter automatisch als één grafisch symbool.

We zullen de vermenigvuldiging van gewone breuken op verschillende mogelijke manieren bekijken.

Een breuk vermenigvuldigen met een breuk

Dit is het eenvoudigste geval, waarin u het volgende moet gebruiken: regels voor vermenigvuldiging van breuken.

Tot een breuk vermenigvuldigen met een breuk, nodig:

• vermenigvuldig de teller van de eerste breuk met de teller van de tweede breuk en schrijf hun product in de teller van de nieuwe breuk;
• vermenigvuldig de noemer van de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk en schrijf hun product in de noemer van de nieuwe breuk;

Controleer voordat u tellers en noemers vermenigvuldigt of de breuken kunnen worden verkleind. Het verminderen van breuken in berekeningen zal uw berekeningen aanzienlijk vergemakkelijken.



Een breuk vermenigvuldigen met een natuurlijk getal

naar breuk vermenigvuldigen met een natuurlijk getal Je moet de teller van de breuk vermenigvuldigen met dit getal en de noemer van de breuk ongewijzigd laten.

Als het resultaat van vermenigvuldiging een onjuiste breuk is, vergeet dan niet om er een gemengd getal van te maken, dat wil zeggen, selecteer het hele deel.



Vermenigvuldiging van gemengde getallen

Om gemengde getallen te vermenigvuldigen, moet u ze eerst in onechte breuken veranderen en vervolgens vermenigvuldigen volgens de regel voor het vermenigvuldigen van gewone breuken.



Een andere manier om een ​​breuk te vermenigvuldigen met een natuurlijk getal

Soms is het in berekeningen handiger om een ​​andere methode te gebruiken om een ​​gewone breuk met een getal te vermenigvuldigen.

Om een ​​breuk te vermenigvuldigen met een natuurlijk getal, moet je de noemer van de breuk delen door dit getal en de teller gelijk laten.



Zoals uit het voorbeeld blijkt, is het handiger om deze versie van de regel te gebruiken als de noemer van de breuk zonder rest deelbaar is door een natuurlijk getal.

Acties met breuken

Breuken met dezelfde noemers optellen

Het toevoegen van breuken is van twee soorten:

• Breuken met dezelfde noemers optellen
• Breuken met verschillende noemers optellen

Laten we beginnen met het optellen van breuken met dezelfde noemers. Alles is hier eenvoudig. Om breuken met dezelfde noemers op te tellen, moet u hun tellers optellen en de noemer ongewijzigd laten. Laten we bijvoorbeeld de breuken en toevoegen. We tellen de tellers op en laten de noemer ongewijzigd:



Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we denken aan een pizza die in vier delen is verdeeld. Als je pizza aan pizza toevoegt, krijg je pizza:

Voorbeeld 2 Voeg breuken en toe.

Voeg opnieuw de tellers toe en laat de noemer ongewijzigd:



Het antwoord is een ongepaste breuk. Als het einde van de taak komt, is het gebruikelijk om onjuiste breuken te verwijderen. Om van een onjuiste breuk af te komen, moet je het hele deel erin selecteren. In ons geval wordt het gehele deel gemakkelijk toegewezen - twee gedeeld door twee is gelijk aan één:



Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we denken aan een pizza die in twee delen is verdeeld. Als je meer pizza's aan de pizza toevoegt, krijg je een hele pizza:

Voorbeeld 3. Voeg breuken en toe.



Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we denken aan een pizza die in drie delen is verdeeld. Als je meer pizza's aan pizza toevoegt, krijg je pizza's:

Voorbeeld 4 Vind de waarde van een uitdrukking

Dit voorbeeld wordt op precies dezelfde manier opgelost als de vorige. De tellers moeten worden toegevoegd en de noemer moet ongewijzigd blijven:

Laten we proberen onze oplossing weer te geven met behulp van een afbeelding. Als je pizza's aan een pizza toevoegt en meer pizza's toevoegt, krijg je 1 hele pizza en meer pizza's.

Zoals je kunt zien, is het optellen van breuken met dezelfde noemers niet moeilijk. Het volstaat om de volgende regels te begrijpen:

1. Om breuken met dezelfde noemer op te tellen, moet je hun tellers optellen en de noemer gelijk laten;
2. Als het antwoord een onjuiste breuk bleek te zijn, moet u het hele deel erin selecteren.

Breuken met verschillende noemers optellen

Nu zullen we leren hoe je breuken met verschillende noemers kunt optellen. Bij het optellen van breuken moeten de noemers van die breuken gelijk zijn. Maar ze zijn niet altijd hetzelfde.

Breuken kunnen bijvoorbeeld worden opgeteld omdat ze dezelfde noemer hebben.

Maar breuken kunnen niet in één keer worden opgeteld, omdat deze breuken verschillende noemers hebben. In dergelijke gevallen moeten breuken worden teruggebracht tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer.

Er zijn verschillende manieren om breuken tot dezelfde noemer te reduceren. Vandaag zullen we er slechts één bekijken, omdat de rest van de methoden misschien ingewikkeld lijkt voor een beginner.

De essentie van deze methode is dat eerst wordt gezocht naar het kleinste gemene veelvoud (LCM) van de noemers van beide breuken. Vervolgens wordt de LCM gedeeld door de noemer van de eerste breuk en wordt de eerste extra factor verkregen. Ze doen hetzelfde met de tweede breuk - de NOC wordt gedeeld door de noemer van de tweede breuk en de tweede extra factor wordt verkregen.

Vervolgens worden de tellers en noemers van de breuken vermenigvuldigd met hun extra factoren. Als gevolg van deze acties veranderen breuken met verschillende noemers in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten optellen.

voorbeeld 1. Voeg breuken toe en

Deze breuken hebben verschillende noemers, dus je moet ze naar dezelfde (gemeenschappelijke) noemer brengen.

Allereerst vinden we het kleinste gemene veelvoud van de noemers van beide breuken. De noemer van de eerste breuk is het getal 3 en de noemer van de tweede breuk is het getal 2. Het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is 6

LCM (2 en 3) = 6

Nu terug naar breuken en . Eerst delen we de LCM door de noemer van de eerste breuk en krijgen de eerste extra factor. LCM is het getal 6 en de noemer van de eerste breuk is het getal 3. Deel 6 door 3, we krijgen 2.

Het resulterende getal 2 is de eerste extra factor. We schrijven het op tot de eerste breuk. Om dit te doen, maken we een kleine schuine lijn boven de breuk en noteren we de gevonden extra factor erboven:

We doen hetzelfde met de tweede breuk. We delen de LCM door de noemer van de tweede breuk en krijgen de tweede extra factor. LCM is het getal 6 en de noemer van de tweede breuk is het getal 2. Deel 6 door 2, we krijgen 3.

Het resulterende getal 3 is de tweede extra factor. We schrijven het naar de tweede breuk. Nogmaals, we maken een kleine schuine lijn boven de tweede breuk en schrijven de gevonden extra factor erboven:

Nu zijn we helemaal klaar om toe te voegen. Het blijft om de tellers en noemers van breuken te vermenigvuldigen met hun extra factoren:



Kijk goed naar wat we hebben bereikt. We kwamen tot de conclusie dat breuken met verschillende noemers veranderden in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten optellen. Laten we dit voorbeeld tot het einde voltooien:



Zo eindigt het voorbeeld. Toevoegen blijkt.

Laten we proberen onze oplossing weer te geven met behulp van een afbeelding. Als je pizza's aan een pizza toevoegt, krijg je een hele pizza en nog een zesde van een pizza:

Reductie van breuken tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer kan ook worden weergegeven met een afbeelding. Door de breuken en naar een gemeenschappelijke noemer te brengen, krijgen we de breuken en . Deze twee fracties worden weergegeven door dezelfde pizzapunten. Het enige verschil is dat ze dit keer in gelijke delen worden verdeeld (gereduceerd tot dezelfde noemer).



De eerste tekening toont een breuk (vier stukken van de zes) en de tweede afbeelding toont een breuk (drie stukken van de zes). Als we deze stukjes samenvoegen, krijgen we (zeven van de zes). Deze breuk is onjuist, daarom hebben we het gehele deel erin gemarkeerd. Het resultaat was (een hele pizza en nog een zesde pizza).

Merk op dat we dit voorbeeld te gedetailleerd hebben geschilderd. In onderwijsinstellingen is het niet gebruikelijk om zo gedetailleerd te schrijven. U moet snel de LCM van beide noemers en aanvullende factoren kunnen vinden, en ook snel de aanvullende factoren die door uw tellers en noemers worden gevonden, kunnen vermenigvuldigen. Op school zouden we dit voorbeeld als volgt moeten schrijven:



Maar er is ook de keerzijde van de medaille. Als er geen gedetailleerde aantekeningen worden gemaakt in de eerste stadia van het bestuderen van wiskunde, dan kunnen dergelijke vragen “Waar komt dat getal vandaan?”, “Waarom worden breuken ineens totaal andere breuken? «.

Om het optellen van breuken met verschillende noemers gemakkelijker te maken, kun je de volgende stapsgewijze instructies gebruiken:

3. Vind de LCM van de noemers van breuken;
4. Deel de LCM door de noemer van elke breuk en krijg een extra vermenigvuldiger voor elke breuk;
5. Vermenigvuldig de tellers en noemers van breuken met hun extra factoren;
6. Voeg breuken toe die dezelfde noemers hebben;
7. Als het antwoord een onjuiste breuk bleek te zijn, selecteer dan het hele deel;

Voorbeeld 2 Vind de waarde van een uitdrukking .

Laten we het bovenstaande diagram gebruiken.

Stap 1. Zoek de LCM voor de noemers van breuken

We vinden de LCM voor de noemers van beide breuken. De noemers van de breuken zijn de getallen 2, 3 en 4. Voor deze getallen moet je de LCM vinden:

Stap 2. Deel de LCM door de noemer van elke breuk en krijg een extra vermenigvuldiger voor elke breuk

Deel de LCM door de noemer van de eerste breuk. LCM is het getal 12 en de noemer van de eerste breuk is het getal 2. Deel 12 door 2, we krijgen 6. We hebben de eerste extra factor 6. We schrijven het over de eerste breuk:

Nu delen we de LCM door de noemer van de tweede breuk. LCM is het getal 12 en de noemer van de tweede breuk is het getal 3. We delen 12 door 3, we krijgen 4. We hebben de tweede extra factor 4. We schrijven het over de tweede breuk:

Nu delen we de LCM door de noemer van de derde breuk. LCM is het getal 12 en de noemer van de derde breuk is het getal 4. Deel 12 door 4, we krijgen 3. We hebben de derde extra factor 3. We schrijven het over de derde breuk:

Stap 3. Vermenigvuldig de tellers en noemers van breuken met uw extra factoren

We vermenigvuldigen de tellers en noemers met onze extra factoren:

Stap 4. Voeg breuken toe die dezelfde noemers hebben

We kwamen tot de conclusie dat breuken die verschillende noemers hadden, veranderden in breuken met dezelfde (gemeenschappelijke) noemers. Het blijft om deze breuken toe te voegen. Tel op:



De toevoeging paste niet op één regel, dus hebben we de resterende uitdrukking naar de volgende regel verplaatst. Dit is toegestaan ​​in de wiskunde. Wanneer een uitdrukking niet op één regel past, wordt deze overgedragen naar de volgende regel en moet een gelijkteken (=) aan het einde van de eerste regel en aan het begin van een nieuwe regel worden geplaatst. Het gelijkteken op de tweede regel geeft aan dat dit een voortzetting is van de uitdrukking die op de eerste regel stond.

Stap 5. Als het antwoord een ongepaste breuk bleek te zijn, selecteer dan het gehele deel ervan

Ons antwoord is een ongepaste breuk. We moeten het hele deel ervan uitkiezen. Wij benadrukken:



Ik heb een antwoord

Aftrekken van breuken met dezelfde noemers

Er zijn twee soorten breuken aftrekken:

8. Aftrekken van breuken met dezelfde noemers
9. Aftrekken van breuken met verschillende noemers

Laten we eerst leren hoe we breuken met dezelfde noemers kunnen aftrekken. Alles is hier eenvoudig. Om een ​​andere van de ene breuk af te trekken, moet je de teller van de tweede breuk aftrekken van de teller van de eerste breuk en de noemer gelijk laten.

Laten we bijvoorbeeld de waarde van de uitdrukking zoeken. Om dit voorbeeld op te lossen, is het nodig om de teller van de tweede breuk af te trekken van de teller van de eerste breuk, en de noemer hetzelfde te laten. Laten we dit doen:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we denken aan een pizza die in vier delen is verdeeld. Als je pizza's van een pizza snijdt, krijg je pizza's:

Voorbeeld 2 Zoek de waarde van de uitdrukking .

Nogmaals, trek van de teller van de eerste breuk de teller van de tweede breuk af en laat de noemer hetzelfde:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we denken aan een pizza die in drie delen is verdeeld. Als je pizza's van een pizza snijdt, krijg je pizza's:

Voorbeeld 3 Vind de waarde van een uitdrukking

Dit voorbeeld wordt op precies dezelfde manier opgelost als de vorige. Van de teller van de eerste breuk moet je de tellers van de resterende breuken aftrekken:

Het antwoord is een ongepaste breuk. Als het voorbeeld compleet is, is het gebruikelijk om de oneigenlijke breuk te verwijderen. Laten we de verkeerde breuk in het antwoord weglaten. Om dit te doen, selecteert u het hele deel:

Zoals je kunt zien, is er niets ingewikkelds aan het aftrekken van breuken met dezelfde noemers. Het volstaat om de volgende regels te begrijpen:

Om een ​​andere van de ene breuk af te trekken, moet je de teller van de tweede breuk aftrekken van de teller van de eerste breuk en de noemer hetzelfde laten;

Als het antwoord een onjuiste breuk bleek te zijn, moet u het hele deel ervan selecteren.

Aftrekken van breuken met verschillende noemers

Een breuk kan bijvoorbeeld van een breuk worden afgetrokken, aangezien deze breuken dezelfde noemers hebben. Maar een breuk kan niet van een breuk worden afgetrokken, omdat deze breuken verschillende noemers hebben. In dergelijke gevallen moeten breuken worden teruggebracht tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer.

De gemeenschappelijke noemer wordt gevonden volgens hetzelfde principe dat we gebruikten bij het optellen van breuken met verschillende noemers. Zoek eerst de LCM van de noemers van beide breuken. Vervolgens wordt de LCM gedeeld door de noemer van de eerste breuk en wordt de eerste extra factor verkregen, die over de eerste breuk wordt geschreven. Evenzo wordt de LCM gedeeld door de noemer van de tweede breuk en wordt een tweede extra factor verkregen, die over de tweede breuk wordt geschreven.

De breuken worden vervolgens vermenigvuldigd met hun extra factoren. Als gevolg van deze bewerkingen veranderen breuken met verschillende noemers in breuken met dezelfde noemer. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten aftrekken.

voorbeeld 1 Zoek de waarde van een uitdrukking:

Eerst vinden we de LCM van de noemers van beide breuken. De noemer van de eerste breuk is het getal 3 en de noemer van de tweede breuk is het getal 4. Het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is 12

LCM (3 en 4) = 12

Nu terug naar breuken en

Laten we een extra factor zoeken voor de eerste breuk. Hiervoor delen we de LCM door de noemer van de eerste breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de eerste breuk is het getal 3. Deel 12 door 3, we krijgen 4. We schrijven de vier over de eerste breuk:

We doen hetzelfde met de tweede breuk. We delen de LCM door de noemer van de tweede breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de tweede breuk is het getal 4. Deel 12 door 4, we krijgen 3. We schrijven de triple over de tweede breuk:

Nu zijn we helemaal klaar voor aftrekken. Het blijft om de breuken te vermenigvuldigen met hun extra factoren:

We kwamen tot de conclusie dat breuken met verschillende noemers veranderden in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten aftrekken. Laten we dit voorbeeld tot het einde voltooien:

Ik heb een antwoord

Laten we proberen onze oplossing weer te geven met behulp van een afbeelding. Als je pizza's van een pizza snijdt, krijg je pizza's.

Dit is de gedetailleerde versie van de oplossing. Omdat we op school zijn, zouden we dit voorbeeld op een kortere manier moeten oplossen. Een dergelijke oplossing ziet er als volgt uit:

Reductie van breuken en tot een gemeenschappelijke noemer kan ook worden weergegeven met behulp van een afbeelding. Door deze breuken naar een gemeenschappelijke noemer te brengen, krijgen we de breuken en . Deze breuken worden weergegeven door dezelfde pizzapunten, maar deze keer worden ze verdeeld in dezelfde breuken (gereduceerd tot dezelfde noemer):

De eerste tekening toont een breuk (acht stuks van de twaalf), en de tweede afbeelding toont een breuk (drie stuks van de twaalf). Door drie stukken van acht stukken af ​​te snijden, krijgen we vijf stukken van twaalf. De breuk beschrijft deze vijf stukken.

Voorbeeld 2 Vind de waarde van een uitdrukking

Deze breuken hebben verschillende noemers, dus je moet ze eerst naar dezelfde (gemeenschappelijke) noemer brengen.

Vind de LCM van de noemers van deze breuken.

De noemers van de breuken zijn de getallen 10, 3 en 5. Het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Nu vinden we extra factoren voor elke breuk. Om dit te doen, delen we de LCM door de noemer van elke breuk.

Laten we een extra factor zoeken voor de eerste breuk. LCM is het getal 30 en de noemer van de eerste breuk is het getal 10. Deel 30 door 10, we krijgen de eerste extra factor 3. We schrijven het over de eerste breuk:

Nu vinden we een extra factor voor de tweede breuk. Deel de LCM door de noemer van de tweede breuk. LCM is het getal 30, en de noemer van de tweede breuk is het getal 3. Deel 30 door 3, we krijgen de tweede extra factor 10. We schrijven het over de tweede breuk:

Nu vinden we een extra factor voor de derde breuk. Deel de LCM door de noemer van de derde breuk. LCM is het getal 30, en de noemer van de derde breuk is het getal 5. Deel 30 door 5, we krijgen de derde extra factor 6. We schrijven het over de derde breuk:

Nu is alles klaar om af te trekken. Het blijft om de breuken te vermenigvuldigen met hun extra factoren:

We kwamen tot de conclusie dat breuken die verschillende noemers hadden, veranderden in breuken met dezelfde (gemeenschappelijke) noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten aftrekken. Laten we dit voorbeeld afmaken.

Het vervolg van het voorbeeld past niet op één regel, dus verplaatsen we het vervolg naar de volgende regel. Vergeet het gelijkteken (=) op de nieuwe regel niet:

Het antwoord bleek een juiste breuk te zijn, en alles lijkt ons te passen, maar het is te omslachtig en lelijk. We moeten het eenvoudiger en esthetischer maken. Wat gedaan kan worden? U kunt deze fractie verkleinen. Bedenk dat de reductie van een breuk de deling is van teller en noemer door de grootste gemene deler van teller en noemer.

Om een ​​breuk correct te verkleinen, moet je de teller en noemer delen door de grootste gemene deler (GCD) van de getallen 20 en 30.

Verwar GCD niet met NOC. De meest voorkomende fout die veel beginners maken. GCD is de grootste gemene deler. We vinden het voor breukreductie.

En LCM is het kleinste gemene veelvoud. We vinden het om breuken naar dezelfde (gemeenschappelijke) noemer te brengen.

Nu vinden we de grootste gemene deler (ggd) van de getallen 20 en 30.

We vinden dus de GCD voor de getallen 20 en 30:

GCD (20 en 30) = 10

Nu keren we terug naar ons voorbeeld en delen de teller en noemer van de breuk door 10:

Leuk antwoord gekregen

Een breuk vermenigvuldigen met een getal

Om een ​​breuk met een getal te vermenigvuldigen, moet je de teller van de gegeven breuk met dit getal vermenigvuldigen en de noemer gelijk laten.

voorbeeld 1. Vermenigvuldig de breuk met het getal 1.

Vermenigvuldig de teller van de breuk met het getal 1

De invoer kan worden opgevat als het nemen van de helft van 1 keer. Als je bijvoorbeeld 1 keer pizza neemt, krijg je pizza

Uit de wetten van vermenigvuldiging weten we dat als het vermenigvuldigtal en de vermenigvuldiger worden verwisseld, het product niet zal veranderen. Als de uitdrukking is geschreven als , dan is het product nog steeds gelijk aan . Nogmaals, de regel voor het vermenigvuldigen van een geheel getal en een breuk werkt:

Deze invoer kan worden opgevat als het nemen van de helft van de eenheid. Als er bijvoorbeeld 1 hele pizza is en we nemen de helft ervan, dan hebben we pizza:

Voorbeeld 2. Vind de waarde van een uitdrukking

Vermenigvuldig de teller van de breuk met 4

De uitdrukking kan worden opgevat als vier keer twee kwartalen nemen. Als je bijvoorbeeld 4 keer pizza's neemt, krijg je twee hele pizza's.

En als we het vermenigvuldigtal en de vermenigvuldiger van plaats wisselen, krijgen we de uitdrukking. Het zal ook gelijk zijn aan 2. Deze uitdrukking kan worden opgevat als het nemen van twee pizza's van vier hele pizza's:

Vermenigvuldiging van breuken

Om breuken te vermenigvuldigen, moet je hun tellers en noemers vermenigvuldigen. Als het antwoord een onjuiste breuk is, moet u het hele deel erin selecteren.

voorbeeld 1 Zoek de waarde van de uitdrukking .

Ik heb een antwoord. Het is wenselijk om deze fractie te verminderen. De fractie kan met 2 worden verminderd. Dan zal de uiteindelijke oplossing de volgende vorm aannemen:

De uitdrukking kan worden opgevat als het nemen van een pizza van een halve pizza. Laten we zeggen dat we een halve pizza hebben:

Hoe neem je tweederde van deze helft? Eerst moet je deze helft in drie gelijke delen verdelen:

En neem er twee van deze drie stukken:

We gaan pizza halen. Onthoud hoe een pizza eruitziet, verdeeld in drie delen:

Eén plak van deze pizza en de twee plakken die we hebben genomen, hebben dezelfde afmetingen:

Met andere woorden, we hebben het over dezelfde pizzamaat. Daarom is de waarde van de uitdrukking

Voorbeeld 2. Vind de waarde van een uitdrukking

Vermenigvuldig de teller van de eerste breuk met de teller van de tweede breuk en de noemer van de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk:

Het antwoord is een ongepaste breuk. Laten we er een heel deel van nemen:

Voorbeeld 3 Vind de waarde van een uitdrukking

Het antwoord bleek een correcte breuk te zijn, maar het zal goed zijn als het wordt verminderd. Om deze breuk te verkleinen, moet deze worden gedeeld door de ggd van de teller en de noemer. Laten we dus de GCD van de nummers 105 en 450 vinden:

GCD voor (105 en 150) is 15

Nu delen we de teller en noemer van ons antwoord op de GCD:

Een geheel getal weergeven als een breuk

Elk geheel getal kan worden weergegeven als een breuk. Het getal 5 kan bijvoorbeeld worden weergegeven als . Hieruit zal de vijf de betekenis niet veranderen, omdat de uitdrukking "het getal vijf gedeeld door één" betekent, en dit is, zoals u weet, gelijk aan vijf:

Nummers omkeren

Nu zullen we kennis maken met een zeer interessant onderwerp in de wiskunde. Het heet "omgekeerde nummers".

Definitie. Keer terug naar nummer a is het getal dat, vermenigvuldigd met a geeft een eenheid.

Laten we in deze definitie substitueren in plaats van een variabele a nummer 5 en probeer de definitie te lezen:

Keer terug naar nummer 5 is het getal dat, vermenigvuldigd met 5 geeft een eenheid.

Is het mogelijk om een ​​getal te vinden dat, vermenigvuldigd met 5, één geeft? Het blijkt dat je het kunt. Laten we vijf voorstellen als een breuk:

Vermenigvuldig deze breuk dan met zichzelf, verwissel gewoon de teller en noemer. Met andere woorden, vermenigvuldig de breuk met zichzelf, alleen omgekeerd:

Wat zal hiervan het resultaat zijn? Als we doorgaan met het oplossen van dit voorbeeld, krijgen we er een:

Dit betekent dat de inverse van het getal 5 het getal is, want als 5 wordt vermenigvuldigd met één, wordt er één verkregen.

Het omgekeerde kan ook worden gevonden voor elk ander geheel getal.

• het omgekeerde van 3 is een breuk
• het omgekeerde van 4 is een breuk

Je kunt ook het omgekeerde vinden voor elke andere breuk. Om dit te doen, volstaat het om het om te draaien.

Vermenigvuldigen en delen van breuken.

Aandacht!
Er zijn extra
materiaal in speciale sectie 555.
Voor degenen die sterk "niet erg..."
En voor degenen die "heel veel ...")

Deze bewerking is veel leuker dan optellen-aftrekken! Omdat het makkelijker is. Ik herinner je eraan: om een ​​breuk met een breuk te vermenigvuldigen, moet je de tellers (dit is de teller van het resultaat) en de noemers (dit wordt de noemer) vermenigvuldigen. Dat is:

Bijvoorbeeld:

Alles is uiterst eenvoudig. En zoek alsjeblieft niet naar een gemene deler! Heb het hier niet nodig...

Om een ​​breuk door een breuk te delen, moet je omdraaien seconde(dit is belangrijk!) breuk en vermenigvuldig ze, d.w.z.:

Bijvoorbeeld:

Als vermenigvuldigen of delen met gehele getallen en breuken wordt opgevangen, is het goed. Net als bij optellen maken we een breuk van een geheel getal met een eenheid in de noemer - en gaan! Bijvoorbeeld:

Op de middelbare school heb je vaak te maken met breuken van drie (of zelfs vier!) verdiepingen. Bijvoorbeeld:

Hoe deze fractie tot een fatsoenlijke vorm te brengen? Ja, heel gemakkelijk! Gebruik deling door twee punten:

Maar vergeet de deelvolgorde niet! In tegenstelling tot vermenigvuldigen is dit hier erg belangrijk! Natuurlijk zullen we 4:2 of 2:4 niet door elkaar halen. Maar in een fractie van drie verdiepingen is het gemakkelijk om een ​​fout te maken. Let bijvoorbeeld op:

In het eerste geval (uitdrukking links):

In de tweede (uitdrukking aan de rechterkant):

Voel het verschil? 4 en 1/9!

Wat is de volgorde van deling? Of haakjes, of (zoals hier) de lengte van horizontale streepjes. Ontwikkel een oog. En als er geen haakjes of streepjes zijn, zoals:

dan delen-vermenigvuldigen in volgorde, van links naar rechts!

En nog een heel eenvoudige en belangrijke truc. Bij acties met diploma's komt dat goed van pas! Laten we de eenheid delen door een willekeurige breuk, bijvoorbeeld door 13/15:

Het schot is omgedraaid! En het gebeurt altijd. Als je 1 deelt door een breuk, is het resultaat dezelfde breuk, alleen omgekeerd.

Dat zijn alle acties met breuken. Het ding is vrij eenvoudig, maar geeft meer dan genoeg fouten. Let op praktische adviezen, en er zijn er minder (fouten)!

Praktische tips:

1. Het belangrijkste bij het werken met fractionele uitdrukkingen is nauwkeurigheid en aandacht! Dit zijn geen gewone woorden, geen goede wensen! Dit is een grote behoefte! Doe alle berekeningen op het examen als een volwaardige taak, met concentratie en duidelijkheid. Het is beter om twee extra regels in een concept te schrijven dan te verknoeien bij het rekenen in je hoofd.

2. Ga in voorbeelden met verschillende soorten breuken naar gewone breuken.

3. We reduceren alle breuken tot de aanslag.

4. We reduceren breukuitdrukkingen op meerdere niveaus tot gewone uitdrukkingen met behulp van delen door twee punten (we volgen de volgorde van delen!).

5. We verdelen de eenheid in onze geest in een breuk, simpelweg door de breuk om te draaien.

Dit zijn de taken die u moet voltooien. Antwoorden worden gegeven na alle taken. Gebruik de materialen van dit onderwerp en praktisch advies. Schat hoeveel voorbeelden je goed zou kunnen oplossen. De eerste keer! Zonder rekenmachine! En trek de juiste conclusies...

Onthoud het juiste antwoord verkregen vanaf de tweede (vooral de derde) keer - telt niet! Zo is het harde leven.

Dus, oplossen in examenmodus ! Dit is trouwens een voorbereiding op het examen. We lossen een voorbeeld op, we controleren, we lossen het volgende op. We hebben alles besloten - we hebben het van de eerste tot de laatste opnieuw gecontroleerd. Maar alleen na kijk naar de antwoorden.

Berekenen:

Heb je besloten?

Op zoek naar antwoorden die overeenkomen met die van jou. Ik heb ze bewust in een puinhoop opgeschreven, weg van de verleiding, om zo te zeggen... Hier zijn ze dan, de antwoorden, opgeschreven met een puntkomma.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

En nu trekken we conclusies. Als alles gelukt is - blij voor jou! Elementaire berekeningen met breuken zijn niet jouw probleem! Je kunt serieuzere dingen doen. Als niet...

Dus je hebt een van de twee problemen. Of beide tegelijk.) Gebrek aan kennis en (of) onoplettendheid. Maar dit oplosbaar Problemen.

Als je deze site leuk vindt...

Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)

U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau te weten komen. Testen met directe verificatie. Leren - met interesse!)

je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.