Meer complexe voorbeelden van vergelijkingen. Wetenschap bewezen: complexe problemen oplossen terwijl je half slaapt

52. Meer complexe voorbeelden van vergelijkingen.
Voorbeeld 1 .

5 / (x - 1) - 3 / (x + 1) \u003d 15 / (x 2 - 1)

De gemeenschappelijke noemer is x 2 - 1, aangezien x 2 - 1 \u003d (x + 1) (x - 1). Vermenigvuldig beide zijden van deze vergelijking met x 2 - 1. We krijgen:

of, na reductie,

5(x + 1) - 3(x - 1) = 15

5x + 5 – 3x + 3 = 15

2x=7 en x=3½

Overweeg een andere vergelijking:

5 / (x-1) - 3 / (x + 1) \u003d 4 (x 2 - 1)

Als we oplossen zoals hierboven, krijgen we:

5(x + 1) - 3(x - 1) = 4
5x + 5 - 3x - 3 = 4 of 2x = 2 en x = 1.

Laten we eens kijken of onze gelijkheden gerechtvaardigd zijn als we x in elk van de beschouwde vergelijkingen vervangen door het gevonden getal.

Voor het eerste voorbeeld krijgen we:

We zien dat hier geen twijfel mogelijk is: we hebben een zodanig getal voor x gevonden dat de vereiste gelijkheid gerechtvaardigd is.

Voor het tweede voorbeeld krijgen we:

5/(1-1) - 3/2 = 15/(1-1) of 5/0 - 3/2 = 15/0

Hier rijzen twijfels: we ontmoeten hier deling door nul, wat onmogelijk is. Als het ons in de toekomst lukt om aan deze verdeling een bepaalde, zij het indirecte, betekenis te geven, dan kunnen we het erover eens zijn dat de gevonden oplossing x - 1 voldoet aan onze vergelijking. Tot die tijd moeten we toegeven dat onze vergelijking helemaal geen oplossing heeft die een directe betekenis heeft.

Dergelijke gevallen kunnen optreden wanneer het onbekende op de een of andere manier wordt opgenomen in de noemers van de breuken in de vergelijking, en sommige van deze noemers, wanneer de oplossing wordt gevonden, verdwijnen.

Voorbeeld 2 .

Je ziet meteen dat deze vergelijking de vorm heeft van een verhouding: de verhouding van het getal x + 3 tot het getal x - 1 is gelijk aan de verhouding van het getal 2x + 3 tot het getal 2x - 2. Laat iemand in gezien deze omstandigheid, besluit hier toe te passen om de vergelijking te bevrijden van breuken zijn de belangrijkste eigenschap van proportie (het product van de extreme termen is gelijk aan het product van de gemiddelden). Dan krijgt hij:

(x + 3) (2x - 2) = (2x + 3) (x - 1)

2x 2 + 6x - 2x - 6 = 2x 2 + 3x - 2x - 3.

Hier kan de vrees ontstaan ​​dat we deze vergelijking niet aankunnen, het feit dat de vergelijking termen bevat met x 2 . We kunnen echter 2x 2 van beide kanten van de vergelijking aftrekken - dit zal de vergelijking niet breken; dan worden de leden met x 2 vernietigd en krijgen we:

6x - 2x - 6 = 3x - 2x - 3

Laten we de onbekende termen naar links verplaatsen, de bekende naar rechts - we krijgen:

3x=3 of x=1

Deze vergelijking onthouden

(x + 3)/(x - 1) = (2x + 3)/(2x - 2)

we zullen onmiddellijk merken dat de gevonden waarde voor x (x = 1) de noemers van elke breuk verdwijnt; we moeten een dergelijke oplossing verlaten totdat we de kwestie van deling door nul hebben overwogen.

Als we ook opmerken dat de toepassing van de eigenschap proportie de zaken ingewikkeld heeft gemaakt en dat een eenvoudigere vergelijking zou kunnen worden verkregen door beide delen van het gegeven te vermenigvuldigen met een gemeenschappelijke noemer, namelijk met 2(x - 1) - immers 2x - 2 = 2 (x - 1) , dan krijgen we:

2(x + 3) = 2x - 3 of 2x + 6 = 2x - 3 of 6 = -3,

wat onmogelijk is.

Deze omstandigheid geeft aan dat deze vergelijking geen oplossingen heeft die een directe betekenis hebben, wat de noemers van deze vergelijking niet op nul zou zetten.
Laten we de vergelijking nu oplossen:

(3x + 5)/(x - 1) = (2x + 18)/(2x - 2)

We vermenigvuldigen beide delen van de vergelijking 2(x - 1), d.w.z. met een gemeenschappelijke noemer krijgen we:

6x + 10 = 2x + 18

De gevonden oplossing doet de noemer niet teniet en heeft een directe betekenis:

of 11 = 11

Als iemand, in plaats van beide delen met 2(x - 1) te vermenigvuldigen, de eigenschap verhouding zou gebruiken, zou hij krijgen:

(3x + 5)(2x - 2) = (2x + 18)(x - 1) of
6x 2 + 4x - 10 = 2x 2 + 16x - 18.

Hier zouden de termen met x 2 al niet worden vernietigd. Door alle onbekende termen naar de linkerkant en bekende naar rechts te verplaatsen, krijgen we

4x 2 - 12x = -8

x 2 - 3x = -2

We kunnen deze vergelijking nu niet oplossen. In de toekomst zullen we leren hoe we dergelijke vergelijkingen kunnen oplossen en er twee oplossingen voor kunnen vinden: 1) we kunnen x = 2 nemen en 2) we kunnen x = 1 nemen. Het is gemakkelijk om beide oplossingen te controleren:

1) 2 2 - 3 2 = -2 en 2) 1 2 - 3 1 = -2

Als we ons de beginvergelijking herinneren

(3x + 5) / (x - 1) = (2x + 18) / (2x - 2),

we zullen zien dat we nu beide oplossingen krijgen: 1) x = 2 is de oplossing die een directe betekenis heeft en de noemer niet naar nul verandert, 2) x = 1 is de oplossing die de noemer naar nul verandert en doet geen directe betekenis hebben.

Voorbeeld 3 .

Laten we de gemeenschappelijke noemer vinden van de breuken in deze vergelijking, waarvoor we elk van de noemers ontbinden in factoren:

1) x 2 - 5x + 6 \u003d x 2 - 3x - 2x + 6 \u003d x (x - 3) - 2 (x - 3) \u003d (x - 3) (x - 2),

2) x 2 - x - 2 \u003d x 2 - 2x + x - 2 \u003d x (x - 2) + (x - 2) \u003d (x - 2) (x + 1),

3) x 2 - 2x - 3 \u003d x 2 - 3x + x - 3 \u003d x (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x + 1).

De gemene deler is (x - 3)(x - 2)(x + 1).

Vermenigvuldig beide zijden van deze vergelijking (en we kunnen het nu herschrijven als:

naar een gemeenschappelijke noemer (x - 3) (x - 2) (x + 1). Dan, na het verminderen van elke breuk, krijgen we:

3(x + 1) - 2(x - 3) = 2(x - 2) of
3x + 3 - 2x + 6 = 2x - 4.

Vanaf hier krijgen we:

–x = –13 en x = 13.

Deze oplossing heeft een directe betekenis: ze stelt geen van de noemers op nul.

Als we de vergelijking zouden nemen:

dan zouden we, op precies dezelfde manier te werk gaan als hierboven, krijgen

3(x + 1) - 2(x - 3) = x - 2

3x + 3 - 2x + 6 = x - 2

3x - 2x - x = -3 - 6 - 2,

waar zou je komen?

wat onmogelijk is. Deze omstandigheid toont aan dat het onmogelijk is om een ​​oplossing te vinden voor de laatste vergelijking die een directe betekenis heeft.

Hoe te leren om eenvoudige en complexe vergelijkingen op te lossen

Beste ouders!

Zonder wiskundige basisopleiding is het onmogelijk om de opvoeding van een modern persoon op te zetten. Op school dient wiskunde als ondersteunend vak voor veel verwante disciplines. In het naschoolse leven wordt permanente educatie een echte noodzaak, waarvoor een schoolbrede basisopleiding, inclusief wiskunde, vereist is.

Op de basisschool wordt niet alleen kennis over basisonderwerpen gelegd, maar ook logisch denken, verbeeldingskracht en ruimtelijke representaties ontwikkeld en interesse voor dit onderwerp gevormd.

Met inachtneming van het continuïteitsprincipe zullen we ons concentreren op het belangrijkste onderwerp, namelijk "De relatie van actiecomponenten bij het oplossen van samengestelde vergelijkingen."

Met behulp van deze les kunt u eenvoudig leren hoe u ingewikkelde vergelijkingen kunt oplossen. In de les maak je tot in detail kennis met stapsgewijze instructies voor het oplossen van ingewikkelde vergelijkingen.

Veel ouders staan ​​versteld van de vraag: hoe kunnen kinderen leren hoe ze eenvoudige en complexe vergelijkingen kunnen oplossen. Als de vergelijkingen eenvoudig zijn - dit is nog steeds de helft van de moeite, maar er zijn ook complexe - bijvoorbeeld integrale. Trouwens, ter informatie zijn er ook dergelijke vergelijkingen, over de oplossing waarvan de knapste koppen van onze planeet worstelen en voor de oplossing waarvan zeer aanzienlijke geldprijzen worden uitgegeven. Als u zich bijvoorbeeld herinnert:Perelmanen een niet-opgeëiste contante bonus van enkele miljoenen.

Laten we echter terugkeren naar het begin naar eenvoudige wiskundige vergelijkingen en de soorten vergelijkingen en de namen van de componenten herhalen. Kleine opwarming:

_________________________________________________________________________

OPWARMEN

Zoek het extra nummer in elke kolom:

2) Welk woord ontbreekt in elke kolom?

3) Verbind de woorden uit de eerste kolom met de woorden uit de 2e kolom.

"Vergelijking" "Gelijkheid"

4) Hoe leg je uit wat 'gelijkheid' is?

5) En de "vergelijking"? Is het gelijkheid? Wat is er speciaal aan?

termijn som

verminderd verschil

product aftrekken

factorgelijkwaardigheid

dividend

de vergelijking

Conclusie: Een vergelijking is een gelijkheid met een variabele waarvan de waarde moet worden gevonden.

_______________________________________________________________________

Ik stel voor dat elke groep de vergelijking op een stuk papier schrijft met een viltstift: (op het bord)

groep 1 - met een onbekende term; groep 2 - met een onbekende verminderd; groep 3 - met een onbekende aftrekker; groep 4 - met een onbekende deler; groep 5 - met een onbekend deelbaar; 6e groep - met een onbekende vermenigvuldiger.

1 groep x + 8 = 15 2 groep x - 8 = 7 3 groep 48 - x = 36 4e groep 540: x = 9 5 groep x: 15 = 9 6 groep x * 10 = 360

Een van de groepen moet hun vergelijking in wiskundige taal lezen en commentaar geven op hun oplossing, d.w.z. de bewerking uitspreken die wordt uitgevoerd met bekende actiecomponenten (algoritme).

Conclusie: We zijn in staat om allerlei soorten eenvoudige vergelijkingen op te lossen volgens het algoritme, letterlijke uitdrukkingen te lezen en te schrijven.

Ik stel voor om een ​​probleem op te lossen waarin een nieuw type vergelijkingen verschijnt.

Conclusie: We maakten kennis met het oplossen van vergelijkingen, waarvan een van de delen een numerieke uitdrukking bevat, waarvan de waarde moet worden gevonden en een eenvoudige vergelijking moet worden verkregen.

________________________________________________________________________

Overweeg een andere versie van de vergelijking, waarvan de oplossing wordt gereduceerd tot het oplossen van een reeks eenvoudige vergelijkingen. Hier is een van de introducties van samengestelde vergelijkingen.

a + b * c (x - y): 3 2 * d + (m - n) Zijn het recordvergelijkingen? Waarom? Hoe heten deze acties? Lees ze en noem de laatste actie:

Nee. Dit zijn geen vergelijkingen, omdat de vergelijking het teken "=" moet bevatten. Uitdrukkingen a + b * c - de som van het getal a en het product van de getallen b en c; (x - y): 3 - quotiënt van het verschil tussen de getallen x en y; 2 * d + (m - n) - de som van het verdubbelde getal d en het verschil tussen de getallen m en n.

Ik raad iedereen aan een zin in wiskundige taal op te schrijven:

Het product van het verschil tussen de getallen x en 4 en het getal 3 is 15.

CONCLUSIE: De ontstane probleemsituatie motiveert het stellen van het doel van de les: leren hoe vergelijkingen op te lossen waarin de onbekende component een uitdrukking is. Dergelijke vergelijkingen zijn samengestelde vergelijkingen.

__________________________________________________________________________

Of misschien zullen de reeds bestudeerde soorten vergelijkingen ons helpen? (algoritmen)

Welke van de bekende vergelijkingen lijkt op onze vergelijking? X * a = in

ZEER BELANGRIJKE VRAAG: Wat is de uitdrukking aan de linkerkant - som, verschil, product of quotiënt?

(x - 4) * 3 = 15 (product)

Waarom? (omdat de laatste actie vermenigvuldiging is)

Conclusie:Dergelijke vergelijkingen zijn nog niet overwogen. Maar we kunnen beslissen of de uitdrukkingx - 4Leg een kaart over elkaar (y - y), en je krijgt een vergelijking die gemakkelijk kan worden opgelost met een eenvoudig algoritme voor het vinden van een onbekende component.

Bij het oplossen van samengestelde vergelijkingen is het bij elke stap nodig om een ​​actie op geautomatiseerd niveau te selecteren, commentaar te geven en de onderdelen van de actie te benoemen.

Vereenvoudig het onderdeel

Niet ↓ Ja

(j - 5) * 4 = 28
y - 5 = 28: 4
y - 5 = 7
y = 5 +7
y = 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 = 28 (en)

Conclusie:In klassen met verschillende achtergronden kan dit werk op verschillende manieren worden georganiseerd. In meer geavanceerde klassen, zelfs voor primaire consolidatie, kunnen uitdrukkingen worden gebruikt waarin niet twee, maar drie of meer acties, maar hun oplossing meer stappen vereist, waarbij elke stap de vergelijking vereenvoudigt, totdat een eenvoudige vergelijking is verkregen. En elke keer kun je zien hoe de onbekende component van acties verandert.

_____________________________________________________________________________

CONCLUSIE:

Als het gaat om iets heel eenvoudigs, begrijpelijks, zeggen we vaak: "De zaak is duidelijk, als twee keer twee - vier!".

Maar voordat je bedenkt dat twee keer twee vier is, moesten mensen vele, vele duizenden jaren studeren.

Veel regels uit schoolboeken over rekenen en meetkunde waren meer dan tweeduizend jaar geleden bekend bij de oude Grieken.

Waar je ook moet tellen, meten, vergelijken, je kunt niet zonder wiskunde.

Het is moeilijk voor te stellen hoe mensen zouden leven als ze niet wisten hoe ze moesten tellen, meten en vergelijken. Wiskunde leert dit.

Vandaag heb je je ondergedompeld in het schoolleven, heb je de rol van studenten gespeeld en ik stel voor dat je, lieve ouders, je vaardigheden op een schaal evalueert.

Mijn vaardigheden	Datum en cijfer
Actie componenten.
Een vergelijking opstellen met een onbekende component.
Uitdrukkingen lezen en schrijven.
Zoek de wortel van een vergelijking in een eenvoudige vergelijking.
Zoek de wortel van een vergelijking, waarvan een van de delen een numerieke uitdrukking bevat.
Zoek de wortel van een vergelijking waarin de onbekende component van de actie een uitdrukking is.

Er zijn momenten in het leven waarop een schijnbaar hopeloze situatie voor je verschijnt - of een probleem waarvan elke oplossing belooft niet in jouw voordeel te zijn. Haast je niet om de realisatie van je dromen op te geven, je doel te bereiken of in paniek te raken. Een wijze man uit de oudheid zei: "Kies tijd om na te denken - dit is de bron van kracht." Nou, het is moeilijk om het met hem oneens te zijn, want de geest is een krachtig wapen. Zelfs het meest complexe probleem heeft tientallen oplossingen, en het is alleen uit het zicht omdat mensen gewend zijn om in bepaalde kaders te denken. Om een ​​​​complex probleem op te lossen, is het noodzakelijk om het werk van bewustzijn en onderbewustzijn te coördineren - dit zal je "horizon" uitbreiden en je nieuwe kansen laten zien.

Techniek "100 ideeën"

Om de 100 Ideas-techniek onder de knie te krijgen, heb je slechts 1-2 uur vrije tijd nodig, een comfortabele persoonlijke hoek waar niemand je zal storen, evenals papier en een potlood. Vraag familie en vrienden vooraf om je niet te betrekken bij de “meditatie”, zet de telefoon uit en ontspan. Formuleer en schrijf bovenaan een vel papier je vraag of dilemma. Nummer de lijst van één tot 100 en begin met het genereren van ideeën.

In het begin komen ideeën de een na de ander, hoewel ze helaas niet nieuw zijn - je zult al je "troeven" beschrijven, inclusief vaardigheden, kennissen, connecties, financiële middelen, tijd die je kunt besteden aan het oplossen van het probleem. Dan lijkt het nog steeds ongelooflijk om honderd antwoorden te vinden, en als je stopt bij 20-30 punten, voel je je leeg. Er wacht je een kleine hapering, van nature gevormd wanneer het bewustzijn, dat in een vicieuze cirkel loopt, de beschikbare opties heeft uitgeput en alles heeft doorgemaakt wat het al in persoonlijke ervaring is tegengekomen.

De tweede fase van je reis naar je onderbewustzijn is nog eens 40 punten waar je nog steeds je bewustzijn gebruikt, maar je verborgen krachten beginnen te ontwaken en je tweede wind gaat open. In dit stadium komt het beeld van je denken naar voren. Je zult merken dat je ideeën zich gaan herhalen, en er zitten allerlei clichés en houdingen in. Je doel is niet om ze af te wijzen, maar om ze ijverig op papier te schrijven, en dit is waarom: het zijn deze postzegels die de kaders zijn waar je niet voorbij kunt kijken en rondkijken. Dit kan de publieke opinie zijn, ontevredenheid met de autoriteiten, gebrek aan vertrouwen in iemands capaciteiten en andere "bramen" in je psyche. Tegelijkertijd ontdek je misschien je verborgen problemen of angsten die je ervan weerhouden vooruit te komen. Deze fase zal het grootste uithoudingsvermogen van je vergen - het is immers helemaal niet gemakkelijk om de eerste dertig punten die duidelijk in je comfortzone liggen opzij te schuiven en nieuwe, onbekende en daarom soms beangstigende ideeën op te nemen - dit is normaal, de belangrijkste is om niet op te geven. Bovendien helpt deze innerlijke strijd alleen maar om door te gaan naar de derde fase van de reis.

Het zijn de laatste 30 punten die de doos van Pandora voor je openen, want het getal 100 is niet toevallig gekozen. Het is het dat je intuïtie in staat stelt zich volledig te openen en jezelf te verrassen met onverwachte "inzichten van boven" - geïmproviseerd van je ontwakende onderbewustzijn, van waaruit ideeën verschijnen zonder enige verwerking en filtering door de geest. In je zoektocht heb je logica al verlaten, opgemerkt hoe vierkant het werkelijk is, en je begrijpt dat je manier van denken slechts in één vlak lag - en de wereld, zo blijkt, is driedimensionaal (de tijd niet meegerekend). Nu, wanneer de geest ophoudt je te dicteren wat "mogelijk" is en wat "niet" is, wordt de deur naar het onderbewustzijn opengeworpen. Je kunt gemakkelijk iets buitengewoons verzinnen en op het eerste gezicht volkomen absurd. Het lijkt je misschien zelfs dat je een idee dat duidelijk niet bij je past niet moet opschrijven, het is niet duidelijk welke beelden er in je hoofd verschenen. Het zijn echter juist vreemde, soms domme zinnen die ongeraffineerde diamanten kunnen blijken te zijn. Weet je nog hoe mensen dachten dat de aarde plat was en bang waren om van haar rand te vallen, en hoe het idee dat de planeet rond was en ronddraaide ooit ketterij werd genoemd. Gekke ideeën zijn je in eerste instantie misschien niet duidelijk, maar je zult voelen dat er iets in zit - dit zal dienen als een rietje dat je de juiste richting zal wijzen.

Het kan ook gebeuren dat je, na zoveel ideeën op een rijtje te hebben gezet, je ineens realiseert dat dit helemaal geen probleem was - of je zag slechts het topje van de ijsberg, dus je moet een nieuwe lijst maken om een ​​heel andere vraag te beantwoorden.

Er zijn nog een paar regels die in acht moeten worden genomen bij het werken met deze techniek. Allereerst moet de lijst in één keer worden samengesteld, zonder onderbrekingen - anders blijven uw sluimerende briljante ideeën sluimeren onder het gewicht van het alledaagse denken. Lees tijdens het werken de lijst niet opnieuw en evalueer niet hoeveel er al is gedaan en hoeveel punten er nog zijn - dit zal u afleiden en voorkomen dat uw gedachten zich op natuurlijke wijze herhalen - en daarom zult u uw eigen struikelblokken niet zien. Stem meteen af: je zult je ideeën evalueren en bekritiseren nadat je alle honderden punten hebt opgesteld - en terwijl het proces aan de gang is, moet je eventuele gedachten opschrijven (je bent tenslotte niet verplicht om dit papier aan iemand te laten zien als je wil niet). Als het werk in volle gang is, kort de woorden in, het belangrijkste is dat je dan kunt lezen wat je bedoelde. Je kunt natuurlijk een laptop gebruiken in plaats van potlood en papier, maar onthoud: de bron van elektromagnetische golven, althans in theorie, verhindert dat je hersenen, aura en, als je wilt, chakra's, verbinding maken met de universele geest - en over het algemeen is het geweldig om te functioneren. Maar dit is naar eigen goeddunken.

De "smakelijke" bonussen van de "100 Ideas"-techniek zitten niet alleen in de mogelijkheid van diepe introspectie en het vinden van originele oplossingen voor moeilijke situaties, maar ook in het feit dat je hiermee gediversifieerd kunt ontwikkelen en je toekomst kunt plannen, nieuwe prikkels kunt vinden voor zelfontplooiing en boven jezelf uitgroeien. Om dit te doen, kunt u op uw gemak nadenken over de antwoorden op de volgende (en uw eigen) onderwerpen:

• Hoe kun je jezelf opvoeden?
• Hoe relaties te verbeteren?
• Hoe u uw leven kunt verbeteren?
• Hoe kan je geld verdienen
• Hoe zaken te verbeteren?
• Hoe mensen te helpen?
• Hoe persoonlijke effectiviteit te vergroten
• Hoe word je gezonder?
• Dingen die ik blijf uitstellen tot morgen
• De dingen die ik het beste kan
• Dingen die mij demotiveren
• Kwaliteiten die ik in mezelf wil ontwikkelen
• Vragen waar ik antwoord op moet vinden
• Waarden waar ik in geloof
• Dingen die ik waardeer in het leven
• Beroepen waarin ik mezelf wil proberen
• Dingen (mensen) die me vertragen bij het bereiken van mijn doel
• Dingen die me opvrolijken
• Conclusies die het leven me heeft geleerd
• Dingen om van af te komen
• Plaatsen die ik zou willen bezoeken
• Fouten waarvoor ik mezelf (anderen) vergeef
• Manieren om creatiever te denken

In deze video analyseren we een hele reeks lineaire vergelijkingen die met hetzelfde algoritme zijn opgelost - daarom worden ze de eenvoudigste genoemd.

Laten we om te beginnen definiëren: wat is een lineaire vergelijking en welke moet de eenvoudigste worden genoemd?

Een lineaire vergelijking is er een waarin er slechts één variabele is, en alleen in de eerste graad.

De eenvoudigste vergelijking betekent de constructie:

Alle andere lineaire vergelijkingen worden gereduceerd tot de eenvoudigste met behulp van het algoritme:

1. Open haakjes, indien aanwezig;
2. Verplaats termen die een variabele bevatten naar de ene kant van het gelijkteken, en termen zonder een variabele naar de andere;
3. Breng gelijke termen links en rechts van het gelijkteken;
4. Deel de resulterende vergelijking door de coëfficiënt van de variabele $x$ .

Natuurlijk helpt dit algoritme niet altijd. Feit is dat na al deze machinaties soms de coëfficiënt van de variabele $x$ gelijk aan nul blijkt te zijn. In dit geval zijn er twee opties mogelijk:

1. De vergelijking heeft helemaal geen oplossingen. Als u bijvoorbeeld iets krijgt als $0\cdot x=8$, d.w.z. aan de linkerkant is nul, en aan de rechterkant is een niet-nul getal. In de onderstaande video bekijken we verschillende redenen waarom deze situatie mogelijk is.
2. De oplossing is alle getallen. Het enige geval waarin dit mogelijk is, is wanneer de vergelijking is teruggebracht tot de constructie $0\cdot x=0$. Het is vrij logisch dat het niet uitmaakt welke $ x $ we vervangen, het zal nog steeds blijken "nul is gelijk aan nul", d.w.z. juiste numerieke gelijkheid.

En laten we nu eens kijken hoe het allemaal werkt aan de hand van het voorbeeld van echte problemen.

Voorbeelden van het oplossen van vergelijkingen

Vandaag hebben we te maken met lineaire vergelijkingen, en alleen met de eenvoudigste. In het algemeen betekent een lineaire vergelijking elke gelijkheid die precies één variabele bevat, en deze gaat alleen naar de eerste graad.

Dergelijke constructies worden op ongeveer dezelfde manier opgelost:

1. Allereerst moet u de eventuele haakjes openen (zoals in ons laatste voorbeeld);
2. Breng dan soortgelijke
3. Isoleer ten slotte de variabele, d.w.z. alles wat met de variabele te maken heeft - de termen waarin het is opgenomen - wordt naar de ene kant overgebracht, en alles wat er zonder blijft, wordt naar de andere kant overgebracht.

Dan moet je in de regel gelijkaardig aan elke kant van de resulterende gelijkheid brengen, en daarna blijft het alleen om te delen door de coëfficiënt bij "x", en we zullen het definitieve antwoord krijgen.

In theorie ziet dit er mooi en eenvoudig uit, maar in de praktijk kunnen zelfs ervaren middelbare scholieren aanstootgevende fouten maken in vrij eenvoudige lineaire vergelijkingen. Meestal worden fouten gemaakt bij het openen van haakjes of bij het tellen van "plussen" en "minnen".

Bovendien komt het voor dat een lineaire vergelijking helemaal geen oplossingen heeft, of dat de oplossing de gehele getallenlijn is, d.w.z. elk nummer. We zullen deze subtiliteiten analyseren in de les van vandaag. Maar we beginnen, zoals je al begreep, met de eenvoudigste taken.

Schema voor het oplossen van eenvoudige lineaire vergelijkingen

Laat me om te beginnen nogmaals het hele schema schrijven voor het oplossen van de eenvoudigste lineaire vergelijkingen:

1. Vouw de haakjes uit, indien aanwezig.
2. Sluit variabelen af, d.w.z. alles dat "x" bevat, wordt naar de ene kant overgebracht en zonder "x" naar de andere kant.
3. We presenteren vergelijkbare termen.
4. We delen alles door de coëfficiënt bij "x".

Natuurlijk werkt dit schema niet altijd, het heeft bepaalde subtiliteiten en trucs, en nu zullen we ze leren kennen.

Echte voorbeelden van eenvoudige lineaire vergelijkingen oplossen

Taak 1

In de eerste stap moeten we de haakjes openen. Maar in dit voorbeeld staan ​​ze niet, dus we slaan deze stap over. In de tweede stap moeten we de variabelen isoleren. Let op: we hebben het hier alleen over individuele termen. Laten we schrijven:

We geven links en rechts soortgelijke termen, maar dat is hier al gedaan. Daarom gaan we naar de vierde stap: delen door een factor:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Hier hebben we het antwoord.

Taak #2

In deze taak kunnen we de haakjes observeren, dus laten we ze uitbreiden:

Zowel links als rechts zien we ongeveer dezelfde constructie, maar laten we handelen volgens het algoritme, d.w.z. sekwester variabelen:

Hier zijn enkele zoals:

Bij welke wortels werkt dit? Antwoord: voor elk. Daarom kunnen we schrijven dat $x$ een willekeurig getal is.

Taak #3

De derde lineaire vergelijking is al interessanter:

\[\links(6-x \rechts)+\links(12+x \rechts)-\links(3-2x \rechts)=15\]

Er zijn hier verschillende haakjes, maar ze zijn met niets vermenigvuldigd, ze hebben alleen verschillende tekens ervoor. Laten we ze opsplitsen:

We voeren de tweede stap uit die ons al bekend is:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Laten we berekenen:

We voeren de laatste stap uit - we delen alles door de coëfficiënt bij "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Dingen om te onthouden bij het oplossen van lineaire vergelijkingen

Als we te eenvoudige taken negeren, zou ik het volgende willen zeggen:

• Zoals ik hierboven al zei, heeft niet elke lineaire vergelijking een oplossing - soms zijn er gewoon geen wortels;
• Zelfs als er wortels zijn, kan er nul tussen komen - daar is niets mis mee.

Nul is hetzelfde getal als de rest, je moet het op de een of andere manier niet discrimineren of aannemen dat als je nul krijgt, je iets verkeerd hebt gedaan.

Een ander kenmerk houdt verband met de uitbreiding van haakjes. Let op: als er een "min" voor staat, verwijderen we deze, maar tussen haakjes veranderen we de tekens in tegenovergestelde. En dan kunnen we het openen volgens standaardalgoritmen: we krijgen wat we in de bovenstaande berekeningen hebben gezien.

Als u dit simpele feit begrijpt, kunt u voorkomen dat u domme en pijnlijke fouten maakt op de middelbare school, wanneer dergelijke acties als vanzelfsprekend worden beschouwd.

Complexe lineaire vergelijkingen oplossen

Laten we verder gaan met complexere vergelijkingen. Nu worden de constructies ingewikkelder en verschijnt er een kwadratische functie bij het uitvoeren van verschillende transformaties. Je moet hier echter niet bang voor zijn, want als we, volgens de bedoeling van de auteur, een lineaire vergelijking oplossen, dan zullen tijdens het transformatieproces alle monomialen die een kwadratische functie bevatten noodzakelijkerwijs worden verminderd.

Voorbeeld 1

Uiteraard is de eerste stap het openen van de haakjes. Laten we dit heel voorzichtig doen:

Laten we nu privacy nemen:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Hier zijn enkele zoals:

Het is duidelijk dat deze vergelijking geen oplossingen heeft, dus in het antwoord schrijven we als volgt:

\[\verscheidenheid \]

of geen wortels.

Voorbeeld #2

We voeren dezelfde stappen uit. Eerste stap:

Laten we alles met een variabele naar links verplaatsen, en zonder - naar rechts:

Hier zijn enkele zoals:

Het is duidelijk dat deze lineaire vergelijking geen oplossing heeft, dus we schrijven het als volgt:

\[\varniets\],

of geen wortels.

Nuances van de oplossing

Beide vergelijkingen zijn volledig opgelost. Met het voorbeeld van deze twee uitdrukkingen hebben we er nogmaals voor gezorgd dat zelfs in de eenvoudigste lineaire vergelijkingen alles niet zo eenvoudig kan zijn: er kan één zijn, of geen, of oneindig veel. In ons geval hebben we twee vergelijkingen overwogen, in beide zijn er gewoon geen wortels.

Maar ik wil uw aandacht vestigen op een ander feit: hoe u met haakjes werkt en hoe u ze uitbreidt als er een minteken voor staat. Beschouw deze uitdrukking:

Voordat u begint, moet u alles vermenigvuldigen met "x". Let op: vermenigvuldigen elke individuele term. Binnen zijn er twee termen - respectievelijk twee termen en is vermenigvuldigd.

En pas nadat deze schijnbaar elementaire, maar zeer belangrijke en gevaarlijke transformaties zijn voltooid, kan het haakje worden geopend vanuit het oogpunt dat er een minteken achter staat. Ja, ja: pas nu, als de transformaties klaar zijn, herinneren we ons dat er een minteken voor de haakjes staat, wat betekent dat alles eronder gewoon van teken verandert. Tegelijkertijd verdwijnen de beugels zelf en, belangrijker nog, de voorste "min" verdwijnt ook.

We doen hetzelfde met de tweede vergelijking:

Het is geen toeval dat ik aandacht schenk aan deze kleine, schijnbaar onbeduidende feiten. Omdat het oplossen van vergelijkingen altijd een opeenvolging van elementaire transformaties is, waarbij het onvermogen om duidelijke en competente eenvoudige handelingen uit te voeren ertoe leidt dat middelbare scholieren bij mij komen en zulke eenvoudige vergelijkingen opnieuw leren oplossen.

Natuurlijk komt er een dag dat je deze vaardigheden gaat aanscherpen tot automatisme. Je hoeft niet meer elke keer zoveel transformaties uit te voeren, je schrijft alles op één regel. Maar terwijl u net aan het leren bent, moet u elke actie afzonderlijk schrijven.

Nog complexere lineaire vergelijkingen oplossen

Wat we nu gaan oplossen kan nauwelijks de eenvoudigste opgave genoemd worden, maar de betekenis blijft hetzelfde.

Taak 1

\[\links(7x+1 \rechts)\links(3x-1 \rechts)-21((x)^(2))=3\]

Laten we alle elementen in het eerste deel vermenigvuldigen:

Laten we een retraite doen:

Hier zijn enkele zoals:

Laten we de laatste stap doen:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Hier is ons laatste antwoord. En ondanks het feit dat we tijdens het oplossen coëfficiënten hadden met een kwadratische functie, sloten ze elkaar uit, wat de vergelijking precies lineair maakt, niet vierkant.

Taak #2

\[\links(1-4x \rechts)\links(1-3x \rechts)=6x\links(2x-1 \rechts)\]

Laten we de eerste stap voorzichtig doen: vermenigvuldig elk element in de eerste haak met elk element in de tweede. In totaal zouden na transformaties vier nieuwe termen moeten worden verkregen:

En voer nu zorgvuldig de vermenigvuldiging uit in elke term:

Laten we de termen met "x" naar links verplaatsen en zonder - naar rechts:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Hier zijn vergelijkbare termen:

We hebben een definitief antwoord gekregen.

Nuances van de oplossing

De belangrijkste opmerking over deze twee vergelijkingen is deze: zodra we beginnen met het vermenigvuldigen van haakjes waarin meer dan een term staat, dan gebeurt dit volgens de volgende regel: we nemen de eerste term van de eerste en vermenigvuldigen met elk element van de tweede; dan nemen we het tweede element van het eerste en vermenigvuldigen we op dezelfde manier met elk element van het tweede. Als resultaat krijgen we vier termen.

Op de algebraïsche som

Met het laatste voorbeeld wil ik de leerlingen eraan herinneren wat een algebraïsche som is. In de klassieke wiskunde bedoelen we met $ 1-7 $ een eenvoudige constructie: we trekken zeven af ​​van één. In de algebra bedoelen we hiermee het volgende: aan het getal "een" voegen we een ander getal toe, namelijk "min zeven". Deze algebraïsche som verschilt van de gebruikelijke rekenkundige som.

Zodra je bij het uitvoeren van alle transformaties, elke optelling en vermenigvuldiging, constructies begint te zien die lijken op de hierboven beschreven constructies, zul je eenvoudigweg geen problemen hebben in de algebra bij het werken met veeltermen en vergelijkingen.

Laten we tot slot nog een paar voorbeelden bekijken die nog complexer zullen zijn dan degene die we net hebben bekeken, en om ze op te lossen, zullen we ons standaardalgoritme iets moeten uitbreiden.

Vergelijkingen oplossen met een breuk

Om dergelijke taken op te lossen, moet er nog een stap aan ons algoritme worden toegevoegd. Maar eerst zal ik ons ​​algoritme eraan herinneren:

1. Haakjes openen.
2. Aparte variabelen.
3. Gelijkaardig meenemen.
4. Deel door een factor.

Helaas is dit prachtige algoritme, ondanks al zijn efficiëntie, niet helemaal geschikt als we breuken voor ons hebben. En in wat we hieronder zullen zien, hebben we een breuk links en rechts in beide vergelijkingen.

Hoe te werk in dit geval? Ja, het is heel eenvoudig! Om dit te doen, moet u nog een stap aan het algoritme toevoegen, die zowel vóór de eerste actie als daarna kan worden uitgevoerd, namelijk om breuken kwijt te raken. Het algoritme zal dus als volgt zijn:

1. Weg met breuken.
2. Haakjes openen.
3. Aparte variabelen.
4. Gelijkaardig meenemen.
5. Deel door een factor.

Wat betekent het om "van breuken af ​​te komen"? En waarom is het mogelijk om dit zowel na als voor de eerste standaardstap te doen? In ons geval zijn in feite alle breuken numeriek in termen van de noemer, d.w.z. overal is de noemer slechts een getal. Daarom, als we beide delen van de vergelijking met dit getal vermenigvuldigen, zullen we breuken verwijderen.

Voorbeeld 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Laten we de breuken in deze vergelijking weglaten:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot vier\]

Let op: alles wordt een keer met "vier" vermenigvuldigd, d.w.z. alleen omdat je twee haakjes hebt, wil nog niet zeggen dat je ze allemaal met "vier" moet vermenigvuldigen. Laten we schrijven:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Laten we het nu openen:

We voeren afzondering van een variabele uit:

We voeren de reductie van vergelijkbare termen uit:

\[-4x=-1\links| :\links(-4 \rechts) \rechts.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

We hebben de uiteindelijke oplossing ontvangen, we gaan door naar de tweede vergelijking.

Voorbeeld #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Hier voeren we allemaal dezelfde acties uit:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Probleem opgelost.

Dat is eigenlijk alles wat ik vandaag wilde vertellen.

Belangrijkste punten:

De belangrijkste bevindingen zijn als volgt:

• Ken het algoritme voor het oplossen van lineaire vergelijkingen.
• Mogelijkheid om haakjes te openen.
• Maak je geen zorgen als je ergens kwadratische functies hebt, hoogstwaarschijnlijk tijdens het proces van verdere transformaties, ze zullen worden verminderd.
• De wortels in lineaire vergelijkingen, zelfs de eenvoudigste, zijn van drie soorten: één enkele wortel, de hele getallenlijn is een wortel, er zijn helemaal geen wortels.

Ik hoop dat deze les je zal helpen een eenvoudig, maar zeer belangrijk onderwerp onder de knie te krijgen voor een beter begrip van alle wiskunde. Als er iets niet duidelijk is, ga dan naar de site, los de daar gepresenteerde voorbeelden op. Blijf ons volgen, er wachten nog veel meer interessante dingen op je!

Je zit in een restaurant en bladert door het menu. Alle gerechten zien er zo heerlijk uit dat je niet weet wat je moet kiezen. Misschien ze allemaal bestellen?

U bent vast dergelijke problemen tegengekomen. Als het niet in voedsel zit, dan in iets anders. We besteden enorm veel tijd en energie aan het maken van een keuze tussen even aantrekkelijke opties. Maar aan de andere kant kunnen de opties niet hetzelfde zijn, omdat ze elk op hun eigen manier aantrekkelijk zijn.

Als je eenmaal een keuze hebt gemaakt, sta je voor een nieuwe keuze. Dit is een eindeloze reeks belangrijke beslissingen, die de angst zijn om de verkeerde keuze te maken. Deze drie methoden zullen u helpen betere beslissingen te nemen op alle niveaus van uw leven.

Maak gewoonten om alledaagse beslissingen te vermijden

Het punt is dat als je de gewoonte krijgt om salade te eten als lunch, je niet hoeft te beslissen wat je in een coffeeshop gaat bestellen.

Door gewoonten te ontwikkelen die betrekking hebben op zulke eenvoudige alledaagse taken, bespaart u energie voor het nemen van complexere en belangrijkere beslissingen. Als je er bovendien een gewoonte van maakt om salade te eten als ontbijt, hoef je je wilskracht niet te verspillen om niet iets vets en gefrituurd te eten in plaats van een salade.

Maar dit geldt voor voorspelbare gevallen. Hoe zit het met onverwachte beslissingen?

"Als - dan": een methode voor onvoorspelbare beslissingen

Iemand onderbreekt bijvoorbeeld constant uw toespraak en u weet niet zeker hoe u hierop moet reageren en of u überhaupt moet reageren. Volgens de als-dan-methode bepaal jij: als hij je nog twee keer onderbreekt, dan maak je hem een ​​beleefde opmerking, en als dit niet werkt, dan in een meer onbeleefde vorm.

Deze twee methoden helpen bij het nemen van de meeste beslissingen waarmee we elke dag worden geconfronteerd. Maar als het gaat om strategische planning, zoals hoe te reageren op de dreiging van concurrenten, in welke producten meer moet worden geïnvesteerd, waar bezuinigd kan worden, staan ​​ze machteloos.

Dit zijn beslissingen die een week, een maand of zelfs een jaar kunnen worden uitgesteld, waardoor de ontwikkeling van het bedrijf wordt belemmerd. Ze kunnen niet door gewoonte worden aangepakt en de als-dan-methode zal ook hier niet werken. In de regel zijn er geen duidelijke en juiste antwoorden op dergelijke vragen.

Vaak stelt het leiderschapsteam de goedkeuring van dergelijke beslissingen uit. Hij verzamelt informatie, weegt de voor- en nadelen af, blijft afwachten en observeert de situatie, in de hoop dat er iets verschijnt dat op de juiste beslissing wijst.

En als we ervan uitgaan dat er geen juist antwoord is, helpt dit dan om snel een beslissing te nemen?

Stel je voor dat je in de komende 15 minuten een beslissing moet nemen. Niet morgen, niet volgende week, als je genoeg informatie verzamelt, en niet over een maand, als je praat met iedereen die bij het probleem betrokken is.

U heeft een kwartier om een ​​beslissing te nemen. Actie ondernemen.

Dit is de derde manier, die helpt om moeilijke beslissingen te nemen met betrekking tot langetermijnplanning.

Gebruik de tijd

Als je een probleem hebt onderzocht en ontdekt dat de opties om het op te lossen even aantrekkelijk zijn, accepteer dan dat er geen juist antwoord is, stel een tijdslimiet in en kies gewoon een optie. Als het testen van een van de oplossingen een minimale investering vereist, kies het dan en test het. Maar als dit niet mogelijk is, kies er dan een en zo snel mogelijk: de tijd die je aan nutteloze gedachten besteedt, kan beter worden gebruikt.

Natuurlijk kun je het er niet mee eens zijn: "Als ik wacht, kan het juiste antwoord verschijnen." Misschien, maar ten eerste verspilt u kostbare tijd met wachten tot de situatie is opgehelderd. Ten tweede zorgt wachten ervoor dat u andere beslissingen die ermee verband houden uitstelt en uitstelt, de productiviteit vermindert en de ontwikkeling van het bedrijf vertraagt.

Probeer het nu meteen. Als je een vraag hebt die je al lang uitstelt, geef jezelf dan drie minuten de tijd en doe het. Als je te veel soortgelijke hebt, schrijf dan een lijst en stel een tijd in voor elke oplossing.

Je zult zien dat je je bij elke beslissing die je neemt een beetje beter gaat voelen, je angst zal afnemen, je zult voelen dat je vooruit gaat.

Je kiest dus voor een lichte salade. Is het de juiste keuze geweest? Wie weet... Je hebt in ieder geval gegeten en geen honger gehad over de menukaart.