Los het slough op om een ​​normaal fundamenteel systeem van oplossingen te vinden. Oplossing van homogene stelsels lineaire vergelijkingen

Systemen lineaire vergelijkingen, waarin alle vrije termen gelijk zijn aan nul, worden genoemd homogeen :

Elk homogeen systeem is altijd consistent, omdat het altijd: nul (triviaal ) oplossing. De vraag rijst onder welke voorwaarden een homogeen systeem een ​​niet-triviale oplossing zal hebben.

Stelling 5.2.Een homogeen systeem heeft een niet-triviale oplossing dan en slechts dan als de rangorde van de hoofdmatrix minder dan nummer haar onbekenden.

Gevolg. Een vierkant homogeen systeem heeft een niet-triviale oplossing dan en slechts dan als de determinant van de hoofdmatrix van het systeem niet gelijk is aan nul.

Voorbeeld 5.6. Bepaal de waarden van de parameter l waarvoor het systeem niet-triviale oplossingen heeft en vind deze oplossingen:

Oplossing. Dit systeem heeft een niet-triviale oplossing wanneer de determinant van de hoofdmatrix gelijk is aan nul:

Het systeem is dus niet triviaal als l=3 of l=2. Voor l=3 is de rangorde van de hoofdmatrix van het systeem 1. Dan, slechts één vergelijking overlatend en aannemende dat ja=a en z=b, we krijgen x=b-a, d.w.z.

Voor l=2 is de rangorde van de hoofdmatrix van het stelsel 2. Kies vervolgens als basisminor:

we krijgen een vereenvoudigd systeem

Vanaf hier vinden we dat x=z/4, y=z/2. Ervan uitgaande dat z=4a, we krijgen

De verzameling van alle oplossingen van een homogeen systeem heeft een zeer belangrijke lineaire eigenschap : als X kolommen 1 en X 2 - oplossingen van het homogene systeem AX = 0, dan elke lineaire combinatie daarvan a X 1+b X 2 zal ook de oplossing van dit systeem zijn. Inderdaad, sinds BIJL 1 = 0 en BIJL 2 = 0 , dan EEN(a X 1+b X 2) = a BIJL 1+b BIJL 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Vanwege deze eigenschap, als een lineair systeem meer dan één oplossing heeft, zullen er oneindig veel van deze oplossingen zijn.

Lineair onafhankelijke kolommen E 1 , E 2 , E k, die oplossingen zijn van een homogeen systeem, heet fundamenteel beslissingssysteem homogeen stelsel lineaire vergelijkingen als de algemene oplossing van dit stelsel kan worden geschreven als een lineaire combinatie van deze kolommen:

Als een homogeen systeem heeft n variabelen, en de rangorde van de hoofdmatrix van het systeem is gelijk aan r, dan k = n-r.

Voorbeeld 5.7. Zoek een fundamenteel systeem van oplossingen volgende systeem lineaire vergelijkingen:

Oplossing. Zoek de rangorde van de hoofdmatrix van het systeem:

De reeks oplossingen van dit stelsel vergelijkingen vormt dus een lineaire deelruimte van dimensie n - r= 5 - 2 = 3. We kiezen als basisminor

.

Als we dan alleen de basisvergelijkingen overlaten (de rest is een lineaire combinatie van deze vergelijkingen) en de basisvariabelen (we verplaatsen de rest, de zogenaamde vrije variabelen naar rechts), krijgen we een vereenvoudigd systeem van vergelijkingen:

Ervan uitgaande dat x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, we vinden

, .

Ervan uitgaande dat a= 1, b=c= 0, we krijgen de eerste basisoplossing; ervan uitgaande dat b= 1, a = c= 0, we krijgen de tweede basisoplossing; ervan uitgaande dat c= 1, a = b= 0, krijgen we de derde basisoplossing. Als gevolg hiervan neemt het normale fundamentele systeem van oplossingen de vorm aan:

Gebruik makend van fundamentele systeem de algemene oplossing van een homogeen systeem kan worden geschreven als

X = aE 1 + zijn 2 + cE 3 . a

Laten we enkele eigenschappen van oplossingen van het inhomogene stelsel lineaire vergelijkingen opmerken AX=B en hun relatie met het overeenkomstige homogene stelsel vergelijkingen AX = 0.

Algemene oplossing van een inhomogeen systeemis gelijk aan de som gemeenschappelijke oplossing: van het overeenkomstige homogene systeem AX = 0 en een willekeurige bepaalde oplossing van het inhomogene systeem. Inderdaad, laten we Y 0 is een willekeurige specifieke oplossing van een inhomogeen systeem, d.w.z. AY 0 = B, en Y is de algemene oplossing van een inhomogeen systeem, d.w.z. AY=B. Als we de ene gelijkheid van de andere aftrekken, krijgen we
EEN(Y-Y 0) = 0, d.w.z. Y-Y 0 is de algemene oplossing van het overeenkomstige homogene systeem BIJL=0. Vervolgens, Y-Y 0 = X, of Y=Y 0 + X. QED

Laat een inhomogeen systeem de vorm hebben AX = B 1 + B 2 . Dan kan de algemene oplossing van zo'n systeem worden geschreven als X = X 1 + X 2 , waar AX 1 = B 1 en AX 2 = B 2. Deze eigenschap drukt de universele eigenschap uit van alle lineaire systemen in het algemeen (algebraïsch, differentieel, functioneel, enz.). In de natuurkunde heet deze eigenschap superpositie principe, in elektrische en radiotechniek - overlay-principe:. Bijvoorbeeld, in de theorie van lineaire elektrische circuits de stroom in elk circuit kan worden verkregen als: algebraïsche som stromen veroorzaakt door elke energiebron afzonderlijk.

Voorbeeld 1 . Zoek een algemene oplossing en een fundamenteel systeem van oplossingen voor het systeem

Oplossing vinden met een rekenmachine. Het oplossingsalgoritme is hetzelfde als voor systemen van lineaire homogene vergelijkingen.
Als we alleen met rijen werken, vinden we de rangorde van de matrix, de basismineur; we verklaren afhankelijke en vrije onbekenden en vinden de algemene oplossing.

De eerste en tweede regel zijn proportioneel, een ervan wordt verwijderd:

.
Afhankelijke variabelen - x 2, x 3, x 5, vrij - x 1, x 4. Uit de eerste vergelijking 10x 5 = 0 vinden we x 5 = 0, dan
; .
De algemene oplossing ziet er als volgt uit:

We vinden het fundamentele systeem van oplossingen, dat bestaat uit (n-r) oplossingen. In ons geval, n=5, r=3, bestaat het fundamentele systeem van oplossingen dus uit twee oplossingen, en deze oplossingen moeten lineair onafhankelijk zijn. Om de rijen lineair onafhankelijk te laten zijn, is het noodzakelijk en voldoende dat de rangorde van de matrix bestaande uit de elementen van de rijen gelijk is aan het aantal rijen, dat wil zeggen 2. Het volstaat om de vrije onbekenden x 1 en x te geven. 4 waarden uit de rijen van de determinant van de tweede orde, die verschilt van nul, en bereken x 2 , x 3 , x 5 . De eenvoudigste niet-nul determinant is .
De eerste oplossing is dus: , de seconde - .
Deze twee beslissingen vormen het fundamentele beslissingssysteem. Merk op dat het fundamentele systeem niet uniek is (andere determinanten dan nul kunnen zo veel worden samengesteld als je wilt).

Voorbeeld 2 . Vind de algemene oplossing en het fundamentele systeem van oplossingen van het systeem
Oplossing.



,
hieruit volgt dat de rangorde van de matrix ​​3 is en is gelijk aan het getal onbekend. Dit betekent dat het systeem geen vrije onbekenden heeft en daarom een ​​unieke oplossing heeft - een triviale.

Oefening . Onderzoek en los een stelsel lineaire vergelijkingen op.
Voorbeeld 4

Oefening . Vind algemene en specifieke oplossingen voor elk systeem.
Oplossing. We schrijven de hoofdmatrix van het systeem:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

We brengen de matrix naar driehoekig. We zullen alleen met rijen werken, omdat het vermenigvuldigen van een rij van een matrix met een getal dat niet nul is en het toevoegen aan een andere rij voor het systeem betekent dat de vergelijking met hetzelfde getal moet worden vermenigvuldigd en aan een andere vergelijking wordt toegevoegd, wat de oplossing niet verandert. van het systeem.
Vermenigvuldig de 2e rij met (-5). Laten we de 2e regel toevoegen aan de 1e:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

Vermenigvuldig de 2e rij met (6). Vermenigvuldig de 3e rij met (-1). Laten we de 3e regel toevoegen aan de 2e:
Zoek de rang van de matrix.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

De voorname minderjarige heeft hoogste orde(van de mogelijke minoren) en is verschillend van nul (it is gelijk aan het product elementen op de omgekeerde diagonaal), dus rang(A) = 2.
Deze minor is basis. Het bevat coëfficiënten voor onbekend x 1, x 2, wat betekent dat de onbekende x 1, x 2 afhankelijk zijn (basis), en x 3, x 4, x 5 vrij zijn.
We transformeren de matrix en laten alleen de basismineur links over.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x2	x4	x 3	x5

Het systeem met de coëfficiënten van deze matrix is ​​gelijk aan het originele systeem en heeft de vorm:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
Door de methode van eliminatie van onbekenden, vinden we: niet-triviale oplossing:
We verkregen relaties die afhankelijke variabelen x 1 ,x 2 uitdrukken tot vrij x 3 ,x 4 ,x 5 , dat wil zeggen, we vonden gemeenschappelijke beslissing:
x2 = 0,64x4 - 0,0455x3 - 1,09x5
x 1 = - 0,55x 4 - 1,82x 3 - 0,64x 5
We vinden het fundamentele systeem van oplossingen, dat bestaat uit (n-r) oplossingen.
In ons geval, n=5, r=2, bestaat het fundamentele systeem van oplossingen dus uit 3 oplossingen, en deze oplossingen moeten lineair onafhankelijk zijn.
Om de rijen lineair onafhankelijk te laten zijn, is het noodzakelijk en voldoende dat de rangorde van de matrix die is samengesteld uit de elementen van de rijen gelijk is aan het aantal rijen, d.w.z. 3.
Het is voldoende om de vrije onbekenden x 3 ,x 4 ,x 5 waarden te geven uit de rijen van de determinant van de 3e orde, verschillend van nul, en x 1,x 2 te berekenen.
De eenvoudigste niet-nul determinant is de identiteitsmatrix.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Een taak . Vind een fundamentele reeks oplossingen voor een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen.

Je kan bestellen gedetailleerde oplossing: jouw taak!!!

Om te begrijpen wat is fundamenteel beslissingssysteem u kunt de video-tutorial voor hetzelfde voorbeeld bekijken door op te klikken. Laten we nu verder gaan met de beschrijving van al het benodigde werk. Dit zal u helpen de essentie van dit probleem in meer detail te begrijpen.

Hoe het fundamentele systeem van oplossingen van een lineaire vergelijking te vinden?

Neem bijvoorbeeld het volgende stelsel lineaire vergelijkingen:

Laten we hier een oplossing voor vinden lineair systeem: vergelijkingen. Om te beginnen, wij noteer de coëfficiëntenmatrix van het systeem.

Laten we deze matrix transformeren naar een driehoekige. We herschrijven de eerste regel zonder wijzigingen. En alle elementen die onder $a_(11)$ vallen, moeten nul worden gemaakt. Om een ​​nul te maken in de plaats van het element $a_(21)$, moet je de eerste van de tweede regel aftrekken en het verschil in de tweede regel schrijven. Om een ​​nul te maken in de plaats van het element $a_(31)$, moet je de eerste van de derde rij aftrekken en het verschil in de derde rij schrijven. Om een ​​nul te maken in plaats van het element $a_(41)$, moet je de eerste vermenigvuldigd met 2 van de vierde regel aftrekken en het verschil in de vierde regel schrijven. Om een ​​nul te maken in plaats van het element $a_(31)$, trekt u de eerste vermenigvuldigd met 2 af van de vijfde regel en schrijft u het verschil in de vijfde regel.

We herschrijven de eerste en tweede regel zonder wijzigingen. En alle elementen die onder $a_(22)$ vallen, moeten nul worden gemaakt. Om een ​​nul te maken in de plaats van het element $a_(32)$, is het nodig om de tweede vermenigvuldigd met 2 van de derde rij af te trekken en het verschil in de derde rij te schrijven. Om een ​​nul te maken in de plaats van het element $a_(42)$, is het nodig om de tweede vermenigvuldigd met 2 van de vierde regel af te trekken en het verschil in de vierde regel te schrijven. Om een ​​nul te maken in plaats van het element $a_(52)$, trekt u de tweede vermenigvuldigd met 3 af van de vijfde regel en schrijft u het verschil in de vijfde regel.

We zien dat de laatste drie regels zijn hetzelfde, dus als je de derde aftrekt van de vierde en vijfde, dan worden ze nul.

Voor deze matrix Schrijf op nieuw systeem vergelijkingen.

We zien dat we slechts drie lineair onafhankelijke vergelijkingen en vijf onbekenden hebben, dus het fundamentele systeem van oplossingen zal uit twee vectoren bestaan. Zodat we verplaats de laatste twee onbekenden naar rechts.

Nu beginnen we die onbekenden aan de linkerkant uit te drukken door die aan de rechterkant. We beginnen met de laatste vergelijking, eerst drukken we $x_3$ uit, dan vervangen we het verkregen resultaat in de tweede vergelijking en drukken $x_2$ uit, en dan in de eerste vergelijking en hier drukken we $x_1$ uit. Dus hebben we alle onbekenden aan de linkerkant uitgedrukt door de onbekenden aan de rechterkant.

Daarna kun je in plaats van $x_4$ en $x_5$ alle getallen vervangen en $x_1$, $x_2$ en $x_3$ vinden. Elk van deze vijf getallen zullen de wortels zijn van ons oorspronkelijke systeem van vergelijkingen. Om de vectoren te vinden die zijn opgenomen in FSR we moeten 1 vervangen in plaats van $x_4$, en 0 vervangen in plaats van $x_5$, vinden $x_1$, $x_2$ en $x_3$, en dan vice versa $x_4=0$ en $x_5=1$.

Laten M 0 is de verzameling oplossingen van het homogene systeem (4) van lineaire vergelijkingen.

Definitie 6.12. Vectoren Met 1 ,Met 2 , …, met p, die oplossingen zijn van een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen, worden genoemd fundamentele reeks oplossingen(afgekort FNR) als

1) vectoren Met 1 ,Met 2 , …, met p lineair onafhankelijk (dat wil zeggen, geen van hen kan worden uitgedrukt in termen van de andere);

2) elke andere oplossing van een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen kan worden uitgedrukt in termen van oplossingen Met 1 ,Met 2 , …, met p.

Merk op dat als Met 1 ,Met 2 , …, met p is wat f.n.r., dan door de uitdrukking k 1× Met 1 + k 2× Met 2 + … + kp× met p kan de hele set beschrijven M 0 oplossingen voor systeem (4), zo heet het algemeen beeld van de systeemoplossing (4).

Stelling 6.6. Elk onbepaald homogeen systeem van lineaire vergelijkingen heeft een fundamentele reeks oplossingen.

De manier om de fundamentele reeks oplossingen te vinden is als volgt:

Vind de algemene oplossing van een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen;

bouwen ( n – r) van bepaalde oplossingen van dit systeem, terwijl de waarden van de vrije onbekenden moeten vormen identiteitsmatrix;

uitschrijven algemene vorm oplossing inbegrepen in M 0 .

Voorbeeld 6.5. Vind de fundamentele reeks oplossingen van het volgende systeem:

Oplossing. Laten we de algemene oplossing van dit systeem vinden.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Dit systeem heeft vijf onbekenden ( n= 5), waarvan er twee principiële onbekenden zijn ( r= 2), drie gratis onbekenden ( n – r), dat wil zeggen, de fundamentele verzameling oplossingen bevat drie oplossingsvectoren. Laten we ze bouwen. Wij hebben x 1 en x 3 - belangrijkste onbekenden, x 2 , x 4 , x 5 - gratis onbekenden

Waarden van gratis onbekenden x 2 , x 4 , x 5 vormen de identiteitsmatrix E derde bestelling. Heb je die vectoren Met 1 ,Met 2 , Met 3 vorm v.n.r. dit systeem. Dan is de verzameling oplossingen van dit homogene systeem: M 0 = {k 1× Met 1 + k 2× Met 2 + k 3× Met 3 , k 1 , k 2 , k 3 R).

Laten we nu de voorwaarden ontdekken voor het bestaan ​​van niet-nuloplossingen van een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen, met andere woorden, de voorwaarden voor het bestaan ​​van een fundamentele reeks oplossingen.

Een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen heeft oplossingen die niet nul zijn, dat wil zeggen dat het onbepaald is als

1) de rangorde van de hoofdmatrix van het systeem is kleiner dan het aantal onbekenden;

2) in een homogeen stelsel van lineaire vergelijkingen is het aantal vergelijkingen kleiner dan het aantal onbekenden;

3) als in een homogeen systeem van lineaire vergelijkingen het aantal vergelijkingen gelijk is aan het aantal onbekenden, en de determinant van de hoofdmatrix gelijk is aan nul (d.w.z. | EEN| = 0).

Voorbeeld 6.6. Bij welke waarde van de parameter a homogeen stelsel lineaire vergelijkingen heeft niet-nul oplossingen?

Oplossing. Laten we de hoofdmatrix van dit systeem samenstellen en de determinant ervan vinden: = = 1×(–1) 1+1 × = – a– 4. De determinant van deze matrix is ​​gelijk aan nul wanneer a = –4.

Antwoorden: –4.

7. Rekenen n-dimensionaal Vector ruimte

Basisconcepten

In de vorige paragrafen kwamen we al het concept tegen van een reeks reële getallen die in een bepaalde volgorde zijn gerangschikt. Dit is een rijmatrix (of kolommatrix) en een oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen met n onbekend. Deze informatie kan worden samengevat.

Definitie 7.1. n-dimensionale rekenkundige vector heet een geordende set van n echte getallen.

Middelen a= (a 1 , een 2 , …, a n), waar een i R, i = 1, 2, …, n is het algemene beeld van de vector. Nummer n genaamd dimensie vector, en de getallen a i belde hem coördinaten.

Bijvoorbeeld: a= (1, –8, 7, 4, ) is een vijfdimensionale vector.

Alles klaar n-dimensionale vectoren worden meestal aangeduid als R n.

Definitie 7.2. Twee vectoren a= (a 1 , een 2 , …, a n) en b= (b 1 , b 2 , …, b n) van dezelfde dimensie Gelijk als en slechts als hun respectievelijke coördinaten gelijk zijn, d.w.z. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Definitie 7.3.som twee n-dimensionale vectoren a= (a 1 , een 2 , …, a n) en b= (b 1 , b 2 , …, b n) heet een vector a + b= (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , …, a n+b n).

Definitie 7.4. werk echt nummer k per vector a= (a 1 , een 2 , …, a n) heet een vector k× a = (k× een 1 , k×a 2 , …, k×a n)

Definitie 7.5. Vector over= (0, 0, …, 0) heet nul(of null-vector).

Het is gemakkelijk om te controleren of de acties (bewerkingen) van het optellen van vectoren en het vermenigvuldigen met echt nummer bezitten de volgende eigenschappen:: " a, b, c Î R n, " k, ik R:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + over = a;

4) a+ (–a) = over;

5) 1× a = a, 1 R;

6) k×( ik× a) = ik×( k× a) = (ik× k)× a;

7) (k + ik)× a = k× a + ik× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Definitie 7.6. Veel R n met de bewerkingen van het optellen van vectoren en ze te vermenigvuldigen met een reëel getal dat erop staat, heet rekenkundige n-dimensionale vectorruimte.

Systemen van lineaire homogene vergelijkingen- heeft de vorm ∑a k i x i = 0. waarbij m > n of m Een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen is altijd consistent, aangezien rangA = rangB . Het heeft zeker een oplossing bestaande uit nullen, die wordt genoemd triviaal.

Dienstopdracht. De online calculator is ontworpen om een ​​niet-triviale en fundamentele oplossing voor de SLAE te vinden. De resulterende oplossing wordt opgeslagen in een Word-bestand (zie voorbeeld van de oplossing).

Instructie. Selecteer de afmeting van de matrix:

aantal variabelen: 2 3 4 5 6 7 8 en aantal regels 2 3 4 5 6

Eigenschappen van stelsels van lineaire homogene vergelijkingen

Om ervoor te zorgen dat het systeem niet-triviale oplossingen, is het noodzakelijk en voldoende dat de rangorde van de matrix kleiner is dan het aantal onbekenden.

Stelling. Het stelsel in het geval m=n heeft een niet-triviale oplossing dan en slechts dan als de determinant van dit stelsel gelijk is aan nul.

Stelling. Elke lineaire combinatie van oplossingen voor een systeem is ook een oplossing voor dat systeem.
Definitie. De verzameling oplossingen van een stelsel lineaire homogene vergelijkingen heet fundamenteel beslissingssysteem als deze verzameling bestaat uit lineair onafhankelijke oplossingen en elke oplossing van het systeem is een lineaire combinatie van deze oplossingen.

Stelling. Als de rangorde r van de systeemmatrix kleiner is dan het aantal n onbekenden, dan is er een fundamenteel systeem van oplossingen bestaande uit (n-r) oplossingen.

Algoritme voor het oplossen van stelsels van lineaire homogene vergelijkingen

1. Zoek de rangorde van de matrix.
2. We selecteren de basisminor. We selecteren afhankelijke (basis) en vrije onbekenden.
3. We schrappen die vergelijkingen van het systeem, waarvan de coëfficiënten niet in de compositie waren opgenomen basis minor, omdat ze gevolgen zijn van de andere (volgens de basisstelling van de minor).
4. We zetten de termen van de vergelijkingen met vrije onbekenden over naar rechter zijde. Als resultaat krijgen we een stelsel van r vergelijkingen met r onbekenden, equivalent aan de gegeven, waarvan de determinant verschilt van nul.
5. We lossen het resulterende systeem op door de onbekenden te elimineren. We vinden relaties die afhankelijke variabelen uitdrukken in termen van vrije variabelen.
6. Als de rangorde van de matrix niet gelijk is aan het aantal variabelen, dan vinden we fundamentele beslissing systemen.
7. In het geval van rang = n hebben we een triviale oplossing.

Voorbeeld. Vind de basis van het stelsel van vectoren (a 1 , a 2 ,...,am), rangschik en druk de vectoren uit in termen van het grondtal. Als een 1 =(0,0,1,-1) en 2 =(1,1,2,0) en 3 =(1,1,1,1) en 4 =(3,2,1 ,4) , en 5 = (2,1,0,3).
We schrijven de hoofdmatrix van het systeem:

Vermenigvuldig de 3e rij met (-3). Laten we de 4e regel toevoegen aan de 3e:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Vermenigvuldig de 4e rij met (-2). Vermenigvuldig de 5e rij met (3). Laten we de 5e regel toevoegen aan de 4e:
Laten we de 2e regel toevoegen aan de 1e:
Zoek de rang van de matrix.
Het systeem met de coëfficiënten van deze matrix is ​​gelijk aan het originele systeem en heeft de vorm:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x1 + x2 = - 3x4
Door de methode van eliminatie van onbekenden, vinden we een niet-triviale oplossing:
We hebben relaties die afhankelijke variabelen x 1, x 2, x 3 tot en met gratis x 4 uitdrukken, dat wil zeggen, we hebben een algemene oplossing gevonden:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4