Het systeem heeft een oneindig aantal oplossingen. De voorwaarde van compatibiliteit van het stelsel lineaire vergelijkingen

1. Stelsels lineaire vergelijkingen met een parameter

Stelsels lineaire vergelijkingen met een parameter worden opgelost met dezelfde basismethoden als conventionele vergelijkingsstelsels: de substitutiemethode, de methode voor het optellen van vergelijkingen en de grafische methode. Het kennen van de grafische interpretatie van lineaire systemen maakt het gemakkelijk om de vraag over het aantal wortels en hun bestaan ​​te beantwoorden.

voorbeeld 1

Zoek alle waarden voor de parameter a waarvoor het stelsel vergelijkingen geen oplossingen heeft.

(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y = 2.

Oplossing.

Laten we eens kijken naar verschillende manieren om dit probleem op te lossen.

1 manier. We gebruiken de eigenschap: het systeem heeft geen oplossingen als de verhouding van de coëfficiënten voor x gelijk is aan de verhouding van de coëfficiënten voor y, maar niet gelijk aan de verhouding van vrije termen (a/a 1 = b/ b 1 ≠ c/c 1). Dan hebben we:

1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 of een systeem

(en 2 - 3 = 1,
(een 2.

Uit de eerste vergelijking a 2 \u003d 4, dus rekening houdend met de voorwaarde dat a 2, krijgen we het antwoord.

Antwoord: a = -2.

2 wegen. We lossen op met de substitutiemethode.

(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,

((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 - j.

Nadat we de gemeenschappelijke factor y uit de haakjes in de eerste vergelijking hebben gehaald, krijgen we:

((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x = 2 - j.

Het systeem heeft geen oplossingen als de eerste vergelijking geen oplossingen heeft, dat wil zeggen:

(en 2 - 4 = 0,
(a - 2 0.

Het is duidelijk dat a = ±2, maar rekening houdend met de tweede voorwaarde wordt alleen het antwoord met een min gegeven.

Antwoorden: een = -2.

Voorbeeld 2

Zoek alle waarden voor de parameter a waarvoor het stelsel vergelijkingen oneindig veel oplossingen heeft.

(8x + ay = 2,
(bijl + 2j = 1.

Oplossing.

Per eigenschap, als de verhouding van de coëfficiënten bij x en y hetzelfde is, en gelijk is aan de verhouding van de vrije leden van het systeem, dan heeft het een oneindig aantal oplossingen (d.w.z. a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). Vandaar 8/a = a/2 = 2/1. Als we elk van de verkregen vergelijkingen oplossen, vinden we dat een \u003d 4 het antwoord is in dit voorbeeld.

Antwoorden: een = 4.

2. Stelsels van rationale vergelijkingen met een parameter

Voorbeeld 3

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = een.

Oplossing.

Vermenigvuldig de eerste vergelijking van het systeem met 2:

(6|x| + 2j = 4,
(|x| + 2y = een.

Trek de tweede vergelijking van de eerste af, we krijgen 5|x| = 4 – een. Deze vergelijking heeft een unieke oplossing voor a = 4. In andere gevallen heeft deze vergelijking twee oplossingen (voor a< 4) или ни одного (при а > 4).

Antwoord: een = 4.

Voorbeeld 4

Zoek alle waarden van de parameter a waarvoor het stelsel vergelijkingen een unieke oplossing heeft.

(x + y = een,
(y - x 2 \u003d 1.

Oplossing.

We zullen dit systeem oplossen met behulp van de grafische methode. Dus de grafiek van de tweede vergelijking van het systeem is een parabool, opgetild langs de Oy-as met één eenheidssegment. De eerste vergelijking definieert de reeks lijnen evenwijdig aan de lijn y = -x (foto 1). De figuur laat duidelijk zien dat het systeem een ​​oplossing heeft als de lijn y = -x + a raakt aan de parabool in het punt met coördinaten (-0,5; 1,25). Door deze coördinaten in te vullen in de vergelijking van een rechte lijn in plaats van x en y, vinden we de waarde van de parameter a:

1,25 = 0,5 + een;

Antwoord: a = 0,75.

Voorbeeld 5

Zoek met behulp van de substitutiemethode uit bij welke waarde van de parameter a, het systeem een ​​unieke oplossing heeft.

(bijl - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Oplossing.

Druk y uit van de eerste vergelijking en vervang deze door de tweede:

(y \u003d ah - een - 1,
(bijl + (a + 2) (bijl - a - 1) = 2.

We brengen de tweede vergelijking in de vorm kx = b, die een unieke oplossing zal hebben voor k 0. We hebben:

ax + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;

een 2 x + 3ax \u003d 2 + een 2 + 3a + 2.

De vierkante trinominaal a 2 + 3a + 2 kan worden weergegeven als een product van haakjes

(a + 2)(a + 1), en links nemen we x tussen haakjes:

(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).

Uiteraard mag een 2 + 3a niet gelijk zijn aan nul, dus

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, wat betekent a ≠ 0 en ≠ -3.

Antwoorden: een ≠ 0; -3.

Voorbeeld 6

Bepaal met behulp van de grafische oplossingsmethode bij welke waarde van de parameter a, het systeem een ​​unieke oplossing heeft.

(x 2 + y 2 = 9,
(y - |x| = een.

Oplossing.

Op basis van de voorwaarde bouwen we een cirkel met een middelpunt aan de oorsprong van de coördinaten en een straal van 3 eenheidssegmenten, het is deze cirkel die de eerste vergelijking van het systeem bepaalt

x 2 + y 2 = 9. De tweede vergelijking van het stelsel (y = |x| + a) is een onderbroken lijn. Door het gebruiken van Figuur 2 we beschouwen alle mogelijke gevallen van zijn locatie ten opzichte van de cirkel. Het is gemakkelijk in te zien dat a = 3.

Antwoord: een = 3.

Heb je nog vragen? Weet je niet hoe je stelsels van vergelijkingen moet oplossen?
Om de hulp van een tutor te krijgen - registreer je.
De eerste les is gratis!

site, bij volledige of gedeeltelijke kopie van het materiaal, is een link naar de bron vereist.

wanneer een stelsel vergelijkingen veel oplossingen heeft? en kreeg het beste antwoord

Antwoord van CBETAET[goeroe]
1) wanneer er meer onbekenden in het systeem zijn dan vergelijkingen
2) wanneer een van de vergelijkingen van het systeem kan worden gereduceerd tot een andere met behulp van de bewerkingen +, -*, /, zonder te delen en te vermenigvuldigen met 0.
3) wanneer er 2 of meer identieke vergelijkingen in het systeem zijn (dit is een speciaal geval van 2 punten).
4) wanneer er onzekerheid in het systeem is na enkele transformaties.
bijvoorbeeld x + y \u003d x + y, d.w.z. 0 \u003d 0.
Veel geluk!
p.s. vergeet niet te bedanken... dit is zo'n leuk ding =))
RS-232
Goeroe
(4061)
Alleen de rangorde van de matrix van het stelsel lineaire vergelijkingen zal hier helpen.

Antwoord van Anoniem[deskundige]
kun je preciezer zijn?

Antwoord van Vladimir[Nieuweling]
Wanneer de rangorde van een matrix van coëfficiënten kleiner is dan het aantal onbekenden.

Antwoord van De bezoeker van vroeger[goeroe]
Als we het hebben over een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden, zie dan de figuur.

Antwoord van RS-232[goeroe]
Wanneer de rangorde van de matrix van het stelsel lineaire vergelijkingen kleiner is dan het aantal variabelen.

Antwoord van Gebruiker verwijderd[goeroe]

Antwoord van Artem kurguzov[Nieuweling]
Het gezamenlijke systeem van lineaire vergelijkingen is ongedefinieerd, d.w.z. het heeft veel oplossingen als de rangorde van het gezamenlijke systeem kleiner is dan het aantal onbekenden.
Voor systeemcompatibiliteit is het noodzakelijk en voldoende dat de rangorde van de matrix van dit systeem gelijk is aan de rangorde van zijn uitgebreide matrix. (stelling van Kronecker-Capelli)

Antwoord van 2 antwoorden[goeroe]

Hallo! Hier is een selectie van onderwerpen met antwoorden op uw vraag: wanneer heeft een stelsel vergelijkingen veel oplossingen?

Het oplossen van stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen (SLAE) is ongetwijfeld het belangrijkste onderwerp van de cursus lineaire algebra. Een groot aantal problemen uit alle takken van de wiskunde wordt gereduceerd tot het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen. Deze factoren verklaren de reden voor het maken van dit artikel. Het materiaal van het artikel is geselecteerd en gestructureerd zodat u met zijn hulp kunt

• kies de optimale methode voor het oplossen van uw stelsel lineaire algebraïsche vergelijkingen,
• de theorie van de gekozen methode bestuderen,
• los uw stelsel lineaire vergelijkingen op, nadat u de oplossingen van typische voorbeelden en problemen in detail hebt overwogen.

Korte beschrijving van het materiaal van het artikel.

Eerst geven we alle noodzakelijke definities, concepten en introduceren we enige notatie.

Vervolgens bekijken we methoden voor het oplossen van stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen waarin het aantal vergelijkingen gelijk is aan het aantal onbekende variabelen en die een unieke oplossing hebben. Laten we ons eerst concentreren op de Cramer-methode, ten tweede zullen we de matrixmethode laten zien voor het oplossen van dergelijke stelsels van vergelijkingen, en ten derde zullen we de Gauss-methode analyseren (de methode van opeenvolgende eliminatie van onbekende variabelen). Om de theorie te consolideren, zullen we zeker verschillende SLAE's op verschillende manieren oplossen.

Daarna gaan we verder met het oplossen van systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen van een algemene vorm, waarin het aantal vergelijkingen niet samenvalt met het aantal onbekende variabelen of de hoofdmatrix van het systeem gedegenereerd is. We formuleren de stelling van Kronecker-Capelli, waarmee we de compatibiliteit van SLAE's kunnen vaststellen. Laten we de oplossing van systemen analyseren (in het geval van hun compatibiliteit) met behulp van het concept van de basisminor van een matrix. We zullen ook de Gauss-methode beschouwen en de oplossingen van de voorbeelden in detail beschrijven.

Zorg ervoor dat u stilstaat bij de structuur van de algemene oplossing van homogene en inhomogene systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen. Laten we het concept van een fundamenteel systeem van oplossingen geven en laten zien hoe de algemene oplossing van de SLAE wordt geschreven met behulp van de vectoren van het fundamentele systeem van oplossingen. Laten we voor een beter begrip een paar voorbeelden bekijken.

Concluderend beschouwen we stelsels van vergelijkingen die zijn gereduceerd tot lineaire, evenals verschillende problemen, bij de oplossing waarvan SLAE's ontstaan.

Paginanavigatie.

Definities, concepten, benamingen.

We zullen systemen van p lineaire algebraïsche vergelijkingen met n onbekende variabelen (p kan gelijk zijn aan n ) van de vorm

Onbekende variabelen, - coëfficiënten (sommige reële of complexe getallen), - vrije leden (ook reële of complexe getallen).

Deze vorm van SLAE heet coördineren.

BIJ matrixvorm dit stelsel vergelijkingen heeft de vorm ,
waar - de hoofdmatrix van het systeem, - de matrixkolom van onbekende variabelen, - de matrixkolom van vrije leden.

Als we aan de matrix A als de (n + 1)-de kolom de matrix-kolom van vrije termen toevoegen, dan krijgen we de zogenaamde uitgebreide matrix stelsels lineaire vergelijkingen. Gewoonlijk wordt de augmented matrix aangeduid met de letter T en wordt de kolom met vrije leden gescheiden door een verticale lijn van de rest van de kolommen, dat wil zeggen,

Door een stelsel lineaire algebraïsche vergelijkingen op te lossen een reeks waarden van onbekende variabelen genoemd, die alle vergelijkingen van het systeem in identiteiten verandert. De matrixvergelijking voor de gegeven waarden van de onbekende variabelen verandert ook in een identiteit.

Als een stelsel vergelijkingen minstens één oplossing heeft, dan heet het gewricht.

Als het stelsel vergelijkingen geen oplossingen heeft, dan heet het onverenigbaar.

Als een SLAE een unieke oplossing heeft, dan heet deze zeker; als er meer dan één oplossing is, dan - onzeker.

Als de vrije termen van alle vergelijkingen van het systeem gelijk zijn aan nul , dan heet het systeem homogeen, anders - heterogeen.

Oplossing van elementaire stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen.

Als het aantal systeemvergelijkingen gelijk is aan het aantal onbekende variabelen en de determinant van de hoofdmatrix niet gelijk is aan nul, dan noemen we dergelijke SLAE's elementair. Dergelijke stelsels van vergelijkingen hebben een unieke oplossing en in het geval van een homogeen systeem zijn alle onbekende variabelen gelijk aan nul.

We zijn op de middelbare school begonnen met het bestuderen van dergelijke SLAE. Bij het oplossen ervan namen we één vergelijking, drukten een onbekende variabele uit in termen van anderen en substitueerden deze in de resterende vergelijkingen, namen vervolgens de volgende vergelijking, drukten de volgende onbekende variabele uit en substitueerden deze in andere vergelijkingen, enzovoort. Of ze gebruikten de optelmethode, dat wil zeggen, ze voegden twee of meer vergelijkingen toe om enkele onbekende variabelen te elimineren. We zullen niet in detail op deze methoden ingaan, omdat ze in wezen modificaties zijn van de Gauss-methode.

De belangrijkste methoden voor het oplossen van elementaire stelsels lineaire vergelijkingen zijn de Cramer-methode, de matrixmethode en de Gauss-methode. Laten we ze uitzoeken.

Systemen van lineaire vergelijkingen oplossen met de methode van Cramer.

Laten we een stelsel lineaire algebraïsche vergelijkingen oplossen

waarin het aantal vergelijkingen gelijk is aan het aantal onbekende variabelen en de determinant van de hoofdmatrix van het systeem verschilt van nul, dat wil zeggen .

Laat de determinant zijn van de hoofdmatrix van het systeem, en zijn determinanten van matrices die worden verkregen uit A door vervanging 1e, 2e, ..., nth kolom respectievelijk naar de kolom met gratis leden:

Met een dergelijke notatie worden de onbekende variabelen berekend met de formules van Cramer's methode als: . Dit is hoe de oplossing van een stelsel lineaire algebraïsche vergelijkingen wordt gevonden door de Cramer-methode.

Voorbeeld.

Cramer-methode: .

Oplossing.

De hoofdmatrix van het systeem heeft de vorm . Bereken de determinant (zie indien nodig het artikel):

Omdat de determinant van de hoofdmatrix van het systeem anders is dan nul, heeft het systeem een ​​unieke oplossing die kan worden gevonden met de methode van Cramer.

Stel de benodigde determinanten samen en bereken ze (de determinant wordt verkregen door de eerste kolom in matrix A te vervangen door een kolom met vrije leden, de determinant - door de tweede kolom te vervangen door een kolom met vrije leden, - door de derde kolom van matrix A te vervangen door een kolom met vrije leden ):

Onbekende variabelen zoeken met formules :

Antwoorden:

Het belangrijkste nadeel van de methode van Cramer (als het een nadeel kan worden genoemd) is de complexiteit van het berekenen van de determinanten wanneer het aantal systeemvergelijkingen meer dan drie is.

Systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen oplossen door de matrixmethode (met behulp van de inverse matrix).

Laat het systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen worden gegeven in matrixvorm , waarbij de matrix A dimensie n bij n heeft en de determinant niet nul is.

Omdat , dan is de matrix A inverteerbaar, dat wil zeggen, er is een inverse matrix . Als we beide zijden van de gelijkheid met aan de linkerkant vermenigvuldigen, krijgen we een formule om de kolommatrix van onbekende variabelen te vinden. Dus we hebben de oplossing van het stelsel van lineaire algebraïsche vergelijkingen met de matrixmethode.

Voorbeeld.

Los het stelsel van lineaire vergelijkingen op matrix methode.

Oplossing.

Laten we het stelsel van vergelijkingen herschrijven in matrixvorm:

Omdat

dan kan de SLAE worden opgelost met de matrixmethode. Met behulp van de inverse matrix kan de oplossing voor dit systeem worden gevonden als: .

Laten we een inverse matrix bouwen met behulp van een matrix van algebraïsche complementen van de elementen van matrix A (zie indien nodig het artikel):

Het blijft om te berekenen - de matrix van onbekende variabelen door de inverse matrix te vermenigvuldigen op de matrixkolom van gratis leden (zie indien nodig het artikel):

Antwoorden:

of in een andere notatie x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Het belangrijkste probleem bij het vinden van oplossingen voor stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen door de matrixmethode is de complexiteit van het vinden van de inverse matrix, vooral voor vierkante matrices met een hogere orde dan de derde.

Systemen van lineaire vergelijkingen oplossen met de Gauss-methode.

Stel dat we een oplossing moeten vinden voor een stelsel van n lineaire vergelijkingen met n onbekende variabelen
waarvan de determinant van de hoofdmatrix verschilt van nul.

De essentie van de Gauss-methode bestaat uit de opeenvolgende uitsluiting van onbekende variabelen: eerst wordt x 1 uitgesloten van alle vergelijkingen van het systeem, beginnend bij de tweede, dan wordt x 2 uitgesloten van alle vergelijkingen, beginnend bij de derde, enzovoort, totdat alleen de onbekende variabele x n blijft in de laatste vergelijking. Een dergelijk proces van het transformeren van de vergelijkingen van het systeem voor de opeenvolgende eliminatie van onbekende variabelen wordt genoemd directe Gauss-methode. Nadat de voorwaartse run van de Gauss-methode is voltooid, wordt x n gevonden uit de laatste vergelijking, wordt x n-1 berekend uit de voorlaatste vergelijking met deze waarde, enzovoort, wordt x 1 gevonden uit de eerste vergelijking. Het proces van het berekenen van onbekende variabelen bij het overgaan van de laatste vergelijking van het systeem naar de eerste heet omgekeerde Gauss-methode.

Laten we kort het algoritme beschrijven voor het elimineren van onbekende variabelen.

We nemen aan dat , omdat we dit altijd kunnen bereiken door de vergelijkingen van het systeem te herschikken. Laten we de onbekende variabele x 1 uitsluiten van alle vergelijkingen van het systeem, beginnend bij de tweede. Om dit te doen, voegt u de eerste vergelijking vermenigvuldigd met toe aan de tweede vergelijking van het systeem, voegt u de eerste vermenigvuldigd met toe aan de derde vergelijking, enzovoort, voegt u de eerste vermenigvuldigd met toe aan de n-de vergelijking. Het stelsel vergelijkingen na dergelijke transformaties zal de vorm aannemen

waar een .

We zouden tot hetzelfde resultaat komen als we x 1 zouden uitdrukken in termen van andere onbekende variabelen in de eerste vergelijking van het systeem en de resulterende uitdrukking in alle andere vergelijkingen zouden vervangen. De variabele x 1 wordt dus uitgesloten van alle vergelijkingen, beginnend bij de tweede.

Vervolgens handelen we op dezelfde manier, maar alleen met een deel van het resulterende systeem, dat is gemarkeerd in de figuur

Om dit te doen, voegt u de tweede vergelijking vermenigvuldigd met toe aan de derde vergelijking van het systeem, voegt u de tweede vermenigvuldigd met toe aan de vierde vergelijking, enzovoort, voegt u de tweede vermenigvuldigd met toe aan de n-de vergelijking. Het stelsel vergelijkingen na dergelijke transformaties zal de vorm aannemen

waar een . De variabele x 2 wordt dus uitgesloten van alle vergelijkingen, beginnend bij de derde.

Vervolgens gaan we verder met de eliminatie van de onbekende x 3, terwijl we op dezelfde manier handelen met het deel van het systeem dat in de figuur is gemarkeerd

Dus we gaan door met de directe koers van de Gauss-methode totdat het systeem de vorm aanneemt

Vanaf dit moment beginnen we de omgekeerde loop van de Gauss-methode: we berekenen x n uit de laatste vergelijking als , met behulp van de verkregen waarde van x n vinden we x n-1 uit de voorlaatste vergelijking, enzovoort, vinden we x 1 uit de eerste vergelijking.

Voorbeeld.

Los het stelsel van lineaire vergelijkingen op Gauss-methode.

Oplossing.

Laten we de onbekende variabele x 1 uitsluiten van de tweede en derde vergelijking van het systeem. Om dit te doen, voegen we aan beide delen van de tweede en derde vergelijking de overeenkomstige delen van de eerste vergelijking toe, vermenigvuldigd met respectievelijk:

Nu sluiten we x 2 uit van de derde vergelijking door aan de linker- en rechterdelen de linker- en rechterdelen van de tweede vergelijking toe te voegen, vermenigvuldigd met:

Hierop is de voorwaartse koers van de Gauss-methode voltooid, we beginnen de omgekeerde koers.

Uit de laatste vergelijking van het resulterende stelsel vergelijkingen vinden we x 3:

Uit de tweede vergelijking krijgen we .

Uit de eerste vergelijking vinden we de resterende onbekende variabele en dit voltooit het omgekeerde verloop van de Gauss-methode.

Antwoorden:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen van algemene vorm oplossen.

In het algemene geval valt het aantal vergelijkingen van het stelsel p niet samen met het aantal onbekende variabelen n:

Dergelijke SLAE's hebben mogelijk geen oplossingen, hebben een enkele oplossing of hebben oneindig veel oplossingen. Deze verklaring is ook van toepassing op stelsels van vergelijkingen waarvan de hoofdmatrix vierkant en gedegenereerd is.

Kronecker-Capelli stelling.

Alvorens een oplossing te vinden voor een stelsel lineaire vergelijkingen, is het noodzakelijk om de compatibiliteit ervan vast te stellen. Het antwoord op de vraag wanneer SLAE compatibel is, en wanneer het niet compatibel is, geeft: Stelling van Kronecker-Capelli:
voor een stelsel van p vergelijkingen met n onbekenden (p kan gelijk zijn aan n ) om consistent te zijn, is het noodzakelijk en voldoende dat de rangorde van de hoofdmatrix van het systeem gelijk is aan de rangorde van de uitgebreide matrix, dat wil zeggen, Rang( A)=Rang(T) .

Laten we als voorbeeld de toepassing van de stelling van Kronecker-Cappelli beschouwen voor het bepalen van de compatibiliteit van een stelsel lineaire vergelijkingen.

Voorbeeld.

Zoek uit of het stelsel lineaire vergelijkingen heeft oplossingen.

Oplossing.

. Laten we de methode van bordering minors gebruiken. Minor van de tweede orde anders dan nul. Laten we eens kijken naar de derde-orde minderjarigen eromheen:

Aangezien alle aangrenzende derde-orde minderjarigen gelijk zijn aan nul, is de rangorde van de hoofdmatrix twee.

Op zijn beurt is de rangorde van de augmented matrix is gelijk aan drie, aangezien de mineur van de derde orde

anders dan nul.

Op deze manier, Rang(A) , daarom kunnen we volgens de stelling van Kronecker-Capelli concluderen dat het oorspronkelijke stelsel van lineaire vergelijkingen inconsistent is.

Antwoorden:

Er is geen oplossingssysteem.

We hebben dus geleerd om de inconsistentie van het systeem vast te stellen met behulp van de stelling van Kronecker-Capelli.

Maar hoe vindt u de oplossing van de SLAE als de compatibiliteit ervan is vastgesteld?

Om dit te doen, hebben we het concept van de basisminor van een matrix en de stelling op de rangorde van een matrix nodig.

De hoogste orde minor van de matrix A, anders dan nul, heet basis.

Uit de definitie van de basis minor volgt dat de volgorde gelijk is aan de rangorde van de matrix. Voor een niet-nulmatrix A kunnen er meerdere basisminoren zijn; er is altijd één basisminor.

Beschouw bijvoorbeeld de matrix .

Alle derde-orde minoren van deze matrix zijn gelijk aan nul, aangezien de elementen van de derde rij van deze matrix de som zijn van de corresponderende elementen van de eerste en tweede rij.

De volgende minderjarigen van de tweede orde zijn basis, omdat ze niet nul zijn:

minderjarigen zijn niet basaal, omdat ze gelijk zijn aan nul.

Matrix rang stelling.

Als de rangorde van een matrix van orde p door n r is, dan worden alle elementen van de rijen (en kolommen) van de matrix die niet de gekozen basisminor vormen lineair uitgedrukt in termen van de overeenkomstige elementen van de rijen (en kolommen) ) die de basisminor vormen.

Wat geeft de matrixrangstelling ons?

Als we volgens de stelling van Kronecker-Capelli de compatibiliteit van het systeem hebben vastgesteld, dan kiezen we een basismineur van de hoofdmatrix van het systeem (de volgorde is gelijk aan r), en sluiten we alle vergelijkingen uit die niet de gekozen basisminor vormen. De op deze manier verkregen SLAE zal equivalent zijn aan de oorspronkelijke, aangezien de weggegooide vergelijkingen nog steeds overbodig zijn (volgens de matrixrangstelling zijn ze een lineaire combinatie van de resterende vergelijkingen).

Dientengevolge zijn, na het weggooien van de buitensporige vergelijkingen van het systeem, twee gevallen mogelijk.

Als het aantal vergelijkingen r in het resulterende systeem gelijk is aan het aantal onbekende variabelen, dan is het definitief en kan de enige oplossing worden gevonden met de Cramer-methode, de matrixmethode of de Gauss-methode.

Voorbeeld.

.

Oplossing.

Rang van de hoofdmatrix van het systeem is gelijk aan twee, aangezien de mineur van de tweede orde anders dan nul. Uitgebreide matrixrang is ook gelijk aan twee, aangezien de enige kleine van de derde orde gelijk is aan nul

en de mineur van de tweede orde hierboven beschouwd is verschillend van nul. Op basis van de stelling van Kronecker-Capelli kan men de compatibiliteit van het oorspronkelijke stelsel van lineaire vergelijkingen bevestigen, aangezien Rang(A)=Rang(T)=2 .

Als basisminor nemen we . Het wordt gevormd door de coëfficiënten van de eerste en tweede vergelijking:


De derde vergelijking van het systeem neemt niet deel aan de vorming van de basisminor, dus we sluiten deze uit van het systeem op basis van de matrixrangstelling:


Zo hebben we een elementair stelsel van lineaire algebraïsche vergelijkingen verkregen. Laten we het oplossen met de methode van Cramer:


Antwoorden:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Als het aantal vergelijkingen r in de resulterende SLAE kleiner is dan het aantal onbekende variabelen n, dan laten we de termen die de basis-minor vormen in de linker delen van de vergelijkingen, en brengen de resterende termen over naar de rechter delen van de vergelijkingen van het systeem met het tegenovergestelde teken.

De onbekende variabelen (er zijn er r van) die aan de linkerkant van de vergelijkingen blijven, worden genoemd hoofd.

Onbekende variabelen (er zijn er n - r van) die aan de rechterkant belandden heten vrij.

Nu nemen we aan dat de vrije onbekende variabelen willekeurige waarden kunnen aannemen, terwijl de r belangrijkste onbekende variabelen op een unieke manier zullen worden uitgedrukt in termen van de vrije onbekende variabelen. Hun uitdrukking kan worden gevonden door de resulterende SLAE op te lossen met de Cramer-methode, de matrixmethode of de Gauss-methode.

Laten we een voorbeeld nemen.

Voorbeeld.

Los het stelsel van lineaire algebraïsche vergelijkingen op .

Oplossing.

Vind de rangorde van de hoofdmatrix van het systeem volgens de methode van de aangrenzende minderjarigen. Laten we een 1 1 = 1 nemen als een niet-nul eerste-orde minor. Laten we beginnen met het zoeken naar een tweede-orde minor die niet nul is rond deze minor:


Dus we vonden een minderjarige van de tweede orde. Laten we beginnen met zoeken naar een niet-nul aangrenzende minor van de derde orde:


De rangorde van de hoofdmatrix is ​​dus drie. De rangorde van de augmented matrix is ​​ook gelijk aan drie, dat wil zeggen, het systeem is consistent.

De gevonden niet-nul minor van de derde orde wordt als de basis genomen.

Voor de duidelijkheid tonen we de elementen die de basisminor vormen:


We laten de termen die deelnemen aan de basisminor aan de linkerkant van de vergelijkingen van het systeem staan, en brengen de rest met tegengestelde tekens over naar de rechterkant:


We geven gratis onbekende variabelen x 2 en x 5 willekeurige waarden, dat wil zeggen, we nemen , waar zijn willekeurige getallen. In dit geval heeft de SLAE de vorm


We lossen het verkregen elementaire stelsel van lineaire algebraïsche vergelijkingen op met de Cramer-methode:


Vervolgens, .

Vergeet in het antwoord niet om vrije onbekende variabelen aan te geven.

Antwoorden:

Waar zijn willekeurige getallen.

Samenvatten.

Om een ​​stelsel lineaire algebraïsche vergelijkingen van een algemene vorm op te lossen, zoeken we eerst de compatibiliteit ervan uit met behulp van de stelling van Kronecker-Capelli. Als de rangorde van de hoofdmatrix niet gelijk is aan de rangorde van de uitgebreide matrix, dan concluderen we dat het systeem inconsistent is.

Als de rangorde van de hoofdmatrix gelijk is aan de rangorde van de uitgebreide matrix, dan kiezen we de basisminor en negeren we de vergelijkingen van het systeem die niet deelnemen aan de vorming van de gekozen basisminor.

Als de volgorde van de basisminor gelijk is aan het aantal onbekende variabelen, dan heeft de SLAE een unieke oplossing, die met elke bij ons bekende methode te vinden is.

Als de volgorde van de basisminor kleiner is dan het aantal onbekende variabelen, laten we aan de linkerkant van de vergelijkingen van het systeem de termen met de belangrijkste onbekende variabelen, brengen de resterende termen over naar de rechterkant en kennen willekeurige waarden toe ​naar de vrije onbekende variabelen. Uit het resulterende stelsel lineaire vergelijkingen vinden we de belangrijkste onbekende variabelen volgens de Cramer-methode, de matrixmethode of de Gauss-methode.

Gauss-methode voor het oplossen van stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen van algemene vorm.

Met behulp van de Gauss-methode kan men stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen van welke aard dan ook oplossen zonder voorafgaand onderzoek naar compatibiliteit. Het proces van opeenvolgende uitsluiting van onbekende variabelen maakt het mogelijk om een ​​conclusie te trekken over zowel de compatibiliteit als de inconsistentie van de SLAE, en als er een oplossing bestaat, maakt het het mogelijk om deze te vinden.

Vanuit het oogpunt van computationeel werk verdient de Gauss-methode de voorkeur.

Zie de gedetailleerde beschrijving en geanalyseerde voorbeelden in het artikel Gauss-methode voor het oplossen van stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen van algemene vorm.

Het opnemen van de algemene oplossing van homogene en inhomogene lineaire algebraïsche systemen met behulp van de vectoren van het fundamentele systeem van oplossingen.

In deze sectie zullen we ons concentreren op gezamenlijke homogene en inhomogene systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen die een oneindig aantal oplossingen hebben.

Laten we eerst homogene systemen behandelen.

Fundamenteel beslissingssysteem Een homogeen stelsel van p lineaire algebraïsche vergelijkingen met n onbekende variabelen is een verzameling (n – r) lineair onafhankelijke oplossingen van dit stelsel, waarbij r de orde is van de basisminor van de hoofdmatrix van het stelsel.

Als we lineair onafhankelijke oplossingen van een homogene SLAE aanduiden als X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) zijn matrices kolommen met dimensie n door 1 ), dan wordt de algemene oplossing van dit homogene systeem weergegeven als een lineaire combinatie van vectoren van het fundamentele systeem van oplossingen met willekeurige constante coëfficiënten С 1 , С 2 , …, С (n-r), dat wil zeggen, .

Wat betekent de term algemene oplossing van een homogeen stelsel lineaire algebraïsche vergelijkingen (oroslau)?

De betekenis is eenvoudig: de formule definieert alle mogelijke oplossingen van de oorspronkelijke SLAE, met andere woorden, het nemen van een willekeurige reeks waarden van willekeurige constanten C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , volgens de formule we krijgt een van de oplossingen van de oorspronkelijke homogene SLAE.

Dus als we een fundamenteel systeem van oplossingen vinden, kunnen we alle oplossingen van deze homogene SLAE instellen als .

Laten we het proces laten zien van het construeren van een fundamenteel systeem van oplossingen voor een homogene SLAE.

We kiezen de basismineur van het oorspronkelijke stelsel van lineaire vergelijkingen, sluiten alle andere vergelijkingen uit van het stelsel, en brengen naar de rechterkant van de vergelijkingen van het stelsel met tegengestelde tekens alle termen met vrije onbekende variabelen over. Laten we de vrije onbekende variabelen de waarden 1,0,0,...,0 geven en de belangrijkste onbekenden berekenen door het resulterende elementaire stelsel van lineaire vergelijkingen op enigerlei wijze op te lossen, bijvoorbeeld door de Cramer-methode. Zo zal X (1) worden verkregen - de eerste oplossing van het fundamentele systeem. Als we de vrije onbekenden de waarden 0,1,0,0,…,0 geven en de belangrijkste onbekenden berekenen, dan krijgen we X (2) . Enzovoort. Als we de vrije onbekende variabelen de waarden 0,0,…,0,1 geven en de belangrijkste onbekenden berekenen, dan krijgen we X (n-r) . Dit is hoe het fundamentele systeem van oplossingen van de homogene SLAE zal worden geconstrueerd en de algemene oplossing kan worden geschreven in de vorm .

Voor inhomogene systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen wordt de algemene oplossing weergegeven als

Laten we naar voorbeelden kijken.

Voorbeeld.

Vind het fundamentele systeem van oplossingen en de algemene oplossing van een homogeen systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen .

Oplossing.

De rangorde van de hoofdmatrix van homogene stelsels lineaire vergelijkingen is altijd gelijk aan de rangorde van de uitgebreide matrix. Laten we de rangorde van de hoofdmatrix vinden door de methode om minderjarigen te begrenzen. Als een niet-nul minor van de eerste orde nemen we het element a 1 1 = 9 van de hoofdmatrix van het systeem. Zoek de aangrenzende niet-nul minor van de tweede orde:

Een minderjarige van de tweede orde, verschillend van nul, wordt gevonden. Laten we door de derde-orde minderjarigen gaan die eraan grenzen, op zoek naar een niet-nul:

Alle aangrenzende minderjarigen van de derde orde zijn gelijk aan nul, daarom is de rangorde van de hoofd- en uitgebreide matrix twee. Laten we de basisminor nemen. Voor de duidelijkheid noteren we de elementen van het systeem waaruit het bestaat:

De derde vergelijking van de originele SLAE neemt niet deel aan de vorming van de basismineur, daarom kan deze worden uitgesloten:

We laten de termen met de belangrijkste onbekenden aan de rechterkant van de vergelijkingen staan, en brengen de termen met vrije onbekenden over naar de rechterkant:

Laten we een fundamenteel systeem van oplossingen construeren voor het oorspronkelijke homogene systeem van lineaire vergelijkingen. Het fundamentele systeem van oplossingen van deze SLAE bestaat uit twee oplossingen, aangezien de oorspronkelijke SLAE vier onbekende variabelen bevat en de volgorde van de fundamentele minor twee is. Om X (1) te vinden, geven we de gratis onbekende variabelen de waarden x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, dan vinden we de belangrijkste onbekenden uit het systeem van vergelijkingen
.