Що таке абсолютна помилка вимірюваної величини. Абсолютна та відносна похибки

Помилки вимірювань класифікують за наступним видам:

Абсолютні та відносні.

Позитивні та негативні.

Постійні та пропорційні.

Грубі, випадкові та систематичні.

Абсолютна помилкаодиничного результату виміру (А y) визначається як різницю наступних величин:

А y = y i - yіст. » y i -` y.

Відносна помилка одиничного результату виміру (В y) розраховується як відношення наступних величин:

З цієї формули випливає, що величина відносної помилки залежить від величини абсолютної помилки, а й від значення вимірюваної величини. При незмінності вимірюваної величини ( y) відносну помилку виміру можна зменшити тільки за рахунок зниження величини абсолютної помилки (А y). При сталості абсолютної помилки вимірювання зменшення відносної помилки вимірювання можна використовувати прийом збільшення значення вимірюваної величини.

приклад.Припустимо, що в магазині торгові ваги мають постійну абсолютну помилку вимірювання маси: A m = 10 г. Якщо Ви зважите на таких вагах 100 г цукерок (m 1), то відносна помилка вимірювання маси цукерок становитиме:

При зважуванні цих же вагах 500 г цукерок (m 2 ) відносна помилка буде у п'ять разів менше:

Таким чином, якщо Ви п'ять разів зважуватимете по 100 г цукерок, то ви через помилку вимірювання маси, з 500 г недоотримаєте сумарно 50 г продукту. При одноразовому зважуванні більшої маси (500 г) Ви втратите лише 10 г цукерок, тобто. у п'ять разів менше.

Враховуючи вищесказане, можна відзначити, що в першу чергу необхідно прагнути зменшення відносних помилок вимірювання. Абсолютні та відносні помилки можна розрахувати тільки після визначення середнього арифметичного значеннярезультату виміру.

Знак помилки (позитивний чи негативний) визначається різницею між одиничним та фактичним результатом виміру:

y i -` y > 0 (помилка позитивна);

y i -` y < 0 (помилка негативна).

Якщо абсолютна помилка вимірювання не залежить від значення вимірюваної величини, то така помилка називається постійною. В іншому випадку помилка буде пропорційною. Характер помилки виміру (постійна чи пропорційна) визначається після проведення спеціальних досліджень.

Груба помилкавиміру (промах) - це значно відрізняється від інших результат виміру, який зазвичай виникає при порушенні методики виміру. Наявність грубих помилок вимірювання у вибірці встановлюється лише методами математичної статистики(При n>2). З методами виявлення грубих помилок познайомтеся самостійно.

Розподіл помилок на випадкові та систематичні досить умовно.

До випадковим помилкамвідносять помилки, які не мають постійної величинита знак. Такі помилки виникають під дією наступних факторів: невідомих досліднику; відомих, але нерегульованих; постійно змінюються.

Випадкові помилки можна оцінити лише після проведення вимірів.

Кількісною оцінкою модуля величини випадкової помилки вимірювання можуть бути наступні параметри: та ін.

Випадкові помилки виміру неможливо виключити, їх можна лише зменшити. Один із основних способів зменшення величини випадкової помилки виміру - це збільшення числа одиничних вимірів (збільшення величини n). Пояснюється це тим, що величина випадкових помилок обернено пропорційна величині n, наприклад:

Систематичні помилки- це помилки з незмінними величиною та знаком або змінюються за відомим законом. Ці помилки викликаються незмінними чинниками. Систематичні помилки можна кількісно оцінювати, зменшувати і навіть виключати.

Систематичні помилки класифікують на помилки І, ІІ та ІІІ типів.

До систематичних помилок I типувідносять помилки відомого походження, які можна до проведення виміру оцінені шляхом розрахунку. Ці помилки можна виключити, вводячи їх у результат виміру як поправок. Прикладом помилки такого типу є помилка при визначенні титрометричному об'ємної концентрації розчину, якщо титрант був приготовлений при одній температурі, а вимірювання концентрації проводилося при іншій. Знаючи залежність щільності титранту від температури, можна до проведення вимірювання розрахувати зміну об'ємної концентрації титранту, пов'язане зі зміною його температури, і цю різницю врахувати у вигляді виправлення в результаті вимірювання.

Систематичні помилки II типу- це помилки відомого походження, які можна оцінити лише в ході експерименту або внаслідок проведення спеціальних досліджень. До цього типу помилок відносять інструментальні (приладові), реактивні, еталонні та інші помилки. Ознайомтеся з особливостями таких помилок самостійно.

Будь-який прилад при його застосуванні у процедурі вимірювання вносить у результат вимірювання свої помилки приладу. У цьому частина цих помилок випадкова, іншу частину - систематична. Випадкові помилки приладів окремо не оцінюють, їх оцінюють у загальній сукупності з іншими випадковими помилками виміру.

Кожен екземпляр будь-якого приладу має власну персональну систематичну помилку. Щоб оцінити цю помилку, необхідно проводити спеціальні дослідження.

Найбільш надійний спосіб оцінки систематичної приладової помилки II типу - це звірка роботи приладів за еталонами. Для мірного посуду (піпеток, бюреток, циліндрів та ін.) проводять спеціальну процедуру – калібрування.

Насправді найчастіше потрібно оцінити, а зменшити чи виключити систематичну помилку II типу. Найпоширенішими методами зменшення систематичних помилок є методи релятивізації та рандомізації.Познайомтеся з цими методами самостійно в .

До помилок III типу відносять помилки невідомого походження. Ці помилки можна виявити лише після усунення всіх систематичних помилок І та ІІ типів.

До іншим помилкамвіднесемо всі інші види помилок, не розглянуті вище (припустимі, можливі граничні помилкита ін.). Поняття можливих граничних помилок застосовується у випадках використання засобів вимірювання і передбачає максимально можливу за величиною інструментальну помилку вимірювання (реальне значення помилки може бути менше величини можливої граничної помилки).

При використанні засобів вимірювання можна розрахувати можливі граничні абсолютну (П` y, пр.) або відносну (Е` y, Пр.) похибки вимірювання. Так, наприклад, можлива гранична абсолютна похибка виміру знаходиться як сума можливих граничних випадкових (x ` y, випадок, ін.) та невиключених систематичних (d` y, ін) помилок:

П` yпр. = x ` y, випадок, пр. + d` y, Пр.

При вибірках малого обсягу (n £ 20) невідомої генеральної сукупності, що підкоряється нормальному законурозподілу, випадкові можливі граничні помилки вимірів можна оцінити так:

x ` y, випадок, ін. = D` y= S ` y½t P, n½,
де t P,n - квантиль розподілу (критерій) Стьюдента для ймовірності Р та вибірки обсягом n. Абсолютна можлива гранична похибка вимірювання в цьому випадку дорівнюватиме:

П` y, пр. = S ` y?t P, n? + d ` y, Пр.

Якщо результати вимірів не підпорядковуються нормальному закону розподілу, то оцінка похибок проводиться у разі інших формулам.

Визначення величини d` yпр. залежить від наявності засобу вимірювання класу точності. Якщо засіб виміру немає класу точності, то за величину d ` yпр. можна прийняти мінімальну ціну розподілу шкализасоби виміру . Для засобу виміру з відомим класом точності за величину d ` y,пр.можна прийняти абсолютну припустиму систематичну помилку засобу вимірювання (d y, дод.):

d ` y, пр. » .

Величина d y, Дод. розраховується виходячи з формул, наведених у табл.5.

Для багатьох засобів вимірювання клас точності вказується у вигляді чисел а×10 n де а дорівнює 1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 6 і n дорівнює 1; 0; -1; -2 і т.д., які показують величину можливої граничної допустимої систематичної помилки (Е y, доп.) та спеціальних знаків, що свідчать про її тип (відносна, наведена, постійна, пропорційна).

Таблиця 5

Приклади позначення класів точності засобів вимірювання

Абсолютною похибкою виміруназивається величина, що визначається різницею між результатом вимірювання xі дійсним значенням вимірюваної величини x 0:

Δ x = |x - x 0 |.

Величина δ, що дорівнює відношенню абсолютної похибки вимірювання до результату вимірювання, називається відносною похибкою:

приклад 2.1.Наближеним значенням числа π є 3.14. Тоді похибка його дорівнює 0,00159. Абсолютну похибку вважатимуться рівною 0.0016, а відносну похибку дорівнює 0.0016/3.14 = 0.00051 = 0.051 %.

Значні цифри.Якщо абсолютна похибка величини a вбирається у однієї одиниці розряду останньої цифри числа a, то кажуть, що з числа всі знаки правильні. Наближені числа слід записувати, зберігаючи лише вірні знаки. Якщо, наприклад, абсолютна похибка числа 52400 дорівнює 100, це число має бути записано, наприклад, у вигляді 524·10 2 або 0.524·10 5 . Оцінити похибку наближеного числа можна, вказавши, скільки правильних цифр воно містить. При підрахунку значущих цифр не рахуються нулі з лівого боку числа.

Наприклад, число 0.0283 має три вірні значущі цифри, а 2.5400 - п'ять вірних значущих цифр.

Правила округлення чисел. Якщо наближене число містить зайві (або неправильні) знаки, його слід округлити. При округленні виникає додаткова похибка, що не перевищує половини одиниці розряду останньої цифри ( d) округленого числа. При заокругленні зберігаються лише вірні знаки; зайві знаки відкидаються, причому якщо перша цифра, що відкидається, більша або дорівнює d/2, то остання цифра, що зберігається, збільшується на одиницю.

Зайві цифри у цілих числах замінюються нулями, а десяткових дробах відкидаються (як і зайві нулі). Наприклад, якщо похибка виміру 0.001 мм, то результат 1.07005 округляється до 1.070. Якщо перша зі змінюваних нулями і цифр, що відкидаються, менше 5, цифри, що залишаються, не змінюються. Наприклад, число 148935 з точністю вимірювання 50 має округлення 148900. Якщо перша із замінюваних нулями або цифр, що відкидаються, дорівнює 5, а за нею не слід ніяких цифр або йдуть нулі, то округлення проводиться до найближчого парного числа. Наприклад, число 123.50 округляється до 124. Якщо перша із замінюваних нулями або цифр, що відкидаються більше 5 або дорівнює 5, але за нею слідує значна цифра, то остання цифра збільшується на одиницю. Наприклад, число 6783.6 округляється до 6784.

приклад 2.2. При округленні числа 1284 до 1300 абсолютна похибка становить 1300 – 1284 = 16, а при округленні до 1280 абсолютна похибка становить 1280 – 1284 = 4.

приклад 2.3. При округленні числа 197 до 200 абсолютна похибка становить 200 - 197 = 3. Відносна похибка дорівнює 3/197 ≈ 0.01523 або приблизно 3/200 ≈ 1.5 %.

Приклад 2.4. Продавець зважує кавун на чашкових вагах. У наборі гир найменша – 50 г. Зважування дало 3600 р. Це число – наближене. Точна вага кавуна невідома. Але абсолютна похибка вбирається у 50 р. Відносна похибка вбирається у 50/3600 = 1.4 %.

Похибки розв'язання задачі на PC

Як основні джерела похибки зазвичай розглядають три види помилок. Це так звані помилки усічення, помилки округлення та помилки поширення. Наприклад, при використанні ітераційних методівпошуку коренів нелінійних рівняньрезультати є наближеними на відміну прямих методів, дають точне рішення.

Помилки усічення

Цей вид помилок пов'язаний із похибкою, закладеною у самій задачі. Він може бути обумовлений неточністю визначення вихідних даних. Наприклад, якщо умови завдання задані будь-які розміри, то практично для реальних об'єктів ці розміри відомі завжди з деякою точністю. Те саме стосується будь-яких інших фізичних параметрів. Сюди ж можна зарахувати неточність розрахункових формулі числових коефіцієнтів, що входять до них.

Помилки розповсюдження

Даний вид помилок пов'язаний із застосуванням того чи іншого способу розв'язання задачі. У результаті обчислень неминуче відбувається накопичення чи, інакше кажучи, поширення помилки. Крім того, що самі вихідні дані не є точними, нова похибка виникає при їх перемноженні, складання тощо. Накопичення помилки залежить від характеру та кількості арифметичних дій, що використовуються в розрахунку.

Помилки округлення

Це тип помилок пов'язані з тим, що справжнє значення числа який завжди точно зберігається комп'ютером. При збереженні речового числа в пам'яті комп'ютера воно записується у вигляді мантиси і порядку приблизно так, як відображається число на калькуляторі.

У фізиці та інших науках часто доводиться проводити вимірювання різних величин (наприклад, довжини, маси, часу, температури, електричного опоруі т.д.).

Вимірювання– процес знаходження значення фізичної величини за допомогою спеціальних технічних засобів- Вимірювальних приладів.

Вимірювальним приладом називають пристрій, за допомогою якого здійснюється порівняння вимірюваної величини з фізичною величиною того ж таки роду, прийнятої за одиницю виміру.

Розрізняють прямі та непрямі методи вимірювань.

Прямі методи вимірів – методи, у яких значення визначених величин перебувають безпосереднім порівнянням об'єкта, що вимірюється, з одиницею вимірювання (еталоном). Наприклад, довжина якогось тіла, що вимірюється лінійкою, порівнюється з одиницею довжини - метром, маса тіла, що вимірюється вагами, порівнюється з одиницею маси - кілограмом і т. д. Таким чином, в результаті прямого вимірувизначається величина виходить відразу, безпосередньо.

Непрямі методи вимірів– методи, у яких значення обумовлених величин обчислюються за результатами прямих вимірів інших величин, із якими пов'язані відомої функціональної залежністю. Наприклад, визначення довжини кола за результатами вимірювання діаметра чи визначення об'єму тіла за результатами вимірювання його лінійних розмірів.

Через недосконалість вимірювальних приладів, наших органів чуття, впливу зовнішніх впливівна вимірювальну апаратуру та об'єкт вимірювання, а також інших факторів всі вимірювання можна проводити тільки з відомим ступенемточності; тому результати вимірів дають не справжнє значення вимірюваної величини, лише наближене. Якщо, наприклад, вага тіла визначена з точністю до 0,1 мг, це означає, що знайдена вага відрізняється від справжньої ваги тіла менш ніж на 0,1 мг.

Точність вимірів - Характеристика якості вимірювань, що відображає близькість результатів вимірювань до справжнього значення вимірюваної величини.

Чим менша похибка вимірювань, тим більша точність вимірювань. Точність вимірювань залежить від використовуваних при вимірюваннях приладів та від загальних методіввимірів. Цілком марно прагнути при вимірах у даних умовах перейти за цю межу точності. Можна звести до мінімуму вплив причин, що зменшують точність вимірювань, але повністю позбутися їх неможливо, тобто при вимірюваннях завжди відбуваються більш менш значні помилки (похибки). Для збільшення точності остаточного результатувсяке фізичний вимірнеобхідно робити не один, а кілька разів за однакових умов досвіду.

В результаті i-го виміру (i – номер виміру) величини "Х", виходить наближене число Х i, що відрізняється від справжнього значенняХіст на деяку величину ∆Х i = | Х i – Х |, яка є допущеною помилкою або, іншими словами, похибкою. Справжня похибка нам відома, оскільки ми знаємо істинного значення вимірюваної величини. Справжнє значення фізичної величини, що вимірюється, лежить в інтервалі

Х i – ∆Х< Х i – ∆Х < Х i + ∆Х

де Х i - значення величини Х, отримане при вимірі (тобто вимірюване значення); ∆Х – абсолютна похибка визначення величини Х.

Абсолютна помилка (похибка) виміру ∆Х – це абсолютна величина різниці між істинним значенням вимірюваної величини Хіст і результатом виміру X i: ∆Х = | Х іст – X i |.

Відносна помилка (похибка) виміру δ (характеризує точність виміру) чисельно дорівнює відношенню абсолютної похибки виміру ∆Х до справжнього значення вимірюваної величини Х іст (часто виражається у відсотках): δ = (∆Х / Х іст) 100% .

Похибки чи помилки вимірів можна поділити на три класи: систематичні, випадкові та грубі (промахи).

Систематичноїназивають таку похибку, яка залишається постійною чи закономірно (відповідно до певної функціональної залежності) змінюється при повторних вимірах однієї й тієї ж величини. Такі похибки виникають у результаті конструктивних особливостейвимірювальних приладів, недоліків прийнятого методу вимірювань, будь-яких упущень експериментатора, впливу зовнішніх умов або дефекту самого об'єкта вимірювання.

У будь-якому вимірювальному приладі закладено ту чи іншу систематичну похибку, яку неможливо усунути, але порядок якої можна врахувати. p align="justify"> Систематичні похибки або збільшують, або зменшують результати вимірювання, тобто ці похибки характеризуються постійним знаком. Наприклад, якщо при зважуванні одна з гир має масу на 0,01 г більшу, ніж зазначено на ній, то знайдене значення маси тіла буде завищеним на цю величину, хоч би скільки вимірювань вироблялося. Іноді систематичні помилки можна врахувати чи усунути, іноді цього не можна. Наприклад, до непереборних помилок відносяться помилки приладів, про які ми можемо лише сказати, що вони не перевищують певної величини.

Випадковими помилками називають помилки, які непередбачуваним чином змінюють свою величину та знак від досвіду до досвіду. Поява випадкових помилок зумовлено дією багатьох різноманітних та неконтрольованих причин.

Наприклад, при зважуванні вагами цими причинами можуть бути коливання повітря, осілі порошини, різне тертя в лівому і правому підвісі чашок та ін. різних значень: Х1, Х2, Х3,…, Х i ,…, Х n , де Х i – результат i-го виміру. Встановити якусь закономірність між результатами не вдається, тому результат i - го виміру Х вважається випадковою величиною. Випадкові помилки можуть надати певний впливна окремий вимір, але при багаторазових вимірах вони підкоряються статистичним законамта їх вплив на результати вимірів можна врахувати або значно зменшити.

Промахи та грубі похибки- Надмірно великі помилки, що явно спотворюють результат вимірювання. Цей клас похибок викликаний найчастіше неправильними діями експериментатора (наприклад, через неуважність замість показання приладу "212" записується зовсім інше число - "221"). Вимірювання, що містять промахи та грубі похибки, слід відкидати.

Вимірювання можуть бути проведені з точки зору їх точності технічним та лабораторним методами.

При використанні технічних методів вимір проводиться один раз. У цьому випадку задовольняються такою точністю, при якій похибка не перевищує певного певного, заздалегідь заданого значення, що визначається похибкою застосованої вимірювальною апаратурою.

При лабораторних методіввимірювань потрібно точніше вказати значення вимірюваної величини, ніж це допускає її одноразовий вимір технічним методом. У цьому випадку роблять кілька вимірювань і обчислюють середнє арифметичне отриманих значень, яке приймають за достовірне значення величини. Потім проводять оцінку точності результату вимірів (облік випадкових похибок).

З можливості проведення вимірювань двома методами випливає існування двох методів оцінки точності вимірювань: технічного і лабораторного.

Одним з найбільш важливих питаньу чисельному аналізі є питання про те, як помилка, що виникла в певному місці в ході обчислень, поширюється далі, тобто чи стає її вплив більшим або меншим у міру того, як проводяться наступні операції. Крайнім випадком є віднімання двох майже рівних чисел: навіть при дуже маленьких помилках обох цих чисел відносна помилка різниці може виявитися дуже великою. Така відносна помилка буде розповсюджуватись далі при виконанні всіх наступних арифметичних операцій.

Одним із джерел обчислювальних похибок (помилок) є наближене уявлення дійсних чиселв ЕОМ, обумовлене кінцівкою розрядної сітки. Хоча вихідні дані представляються в ЕОМ з великою точністю накопичення похибок округлення в процесі рахунку може призвести до значної результуючої похибки, а деякі алгоритми можуть виявитися зовсім непридатними для реального рахунку на ЕОМ. Докладніше про подання дійсних чисел в ЕОМ можна дізнатися.

Поширення помилок

Як перший крок при розгляді такого питання, як поширення помилок, необхідно знайти висловлювання для абсолютної та відносної помилок результату кожного з чотирьох арифметичних дій як функції величин, що беруть участь в операції, та їх помилок.

Абсолютна помилка

Додавання

Є два наближення і двох величин і , і навіть відповідні абсолютні помилки і . Тоді в результаті складання маємо

Помилка суми, яку ми позначимо через , буде рівна

Віднімання

Тим самим шляхом отримуємо

множення

При множенні ми маємо

Оскільки помилки зазвичай набагато менше самих величин, нехтуємо добутком помилок:

Помилка твору дорівнюватиме

Поділ

Перетворюємо цей вираз на вигляд

Множник, що стоїть у дужках, можна розкласти в ряд

Перемножуючи і нехтуючи всіма членами, які містять твори помилок або ступеня помилок вище за першу, маємо

Отже,

Необхідно чітко розуміти, що знак помилки буває відомий лише у дуже поодиноких випадках. Не факт, наприклад, що помилка збільшується при додаванні і зменшується при відніманні тому, що у формулі для додавання коштує плюс, а для віднімання - мінус. Якщо, наприклад, помилки двох чисел мають протилежні знаки, то справа буде навпаки, тобто помилка зменшиться при додаванні і збільшиться при відніманні цих чисел.

Відносна помилка

Після того, як ми вивели формули для поширення абсолютних помилок за чотирьох арифметичних дій, досить просто вивести відповідні формули для відносних помилок. Для складання та віднімання формули були перетворені для того, щоб у них входила в явному вигляді відносна помилка кожного вихідного числа.

Додавання

Віднімання

множення

Поділ

Ми починаємо арифметичну операцію, маючи у своєму розпорядженні два наближені значення і з відповідними помилками та . Ці помилки можуть бути будь-якого походження. Величини можуть бути експериментальними результатами, що містять помилки; вони можуть бути результатами попереднього обчислення згідно з будь-яким нескінченним процесом і тому можуть містити помилки обмеження; вони можуть бути результатами попередніх арифметичних операцій та можуть містити помилки округлення. Звичайно, вони можуть також містити в різних комбінаціях і всі три види помилок.

Наведені вище формули дають вираз помилки результату кожного з чотирьох арифметичних дій як функції від ; помилка округлення в даному арифметичній діїпри цьому не враховується. Якщо ж надалі необхідно буде підрахувати, як поширюється в наступних арифметичних операціях помилка цього результату, то необхідно до обчисленої по одній із чотирьох формул помилки результату додати окремо помилку округлення.

Графи обчислювальних процесів

Тепер розглянемо зручний спосіб підрахунку поширення помилки у якомусь арифметичному обчисленні. З цією метою ми зображуватимемо послідовність операцій у обчисленні за допомогою графаі писатимемо біля стрілок графа коефіцієнти, які дозволять нам порівняно легко визначити загальну помилку остаточного результату. Метод цей зручний ще й тим, що дозволяє легко визначити вклад будь-якої помилки, що виникла у процесі обчислень, у загальну помилку.

Рис.1. Граф обчислювального процесу

на рис.1зображено граф обчислювального процесу. Граф слід читати знизу вгору, дотримуючись стрілок. Спочатку виконуються операції, розташовані на якомусь горизонтальному рівні, після цього - операції, розташовані на більш високому рівні, і т. д. З рис.1, наприклад, ясно, що xі yспочатку складаються, а потім множаться на z. Граф, зображений на рис.1, є лише зображенням самого обчислювального процесу. Для підрахунку загальної помилки результату необхідно доповнити цей граф коефіцієнтами, які пишуться біля стрілок відповідно до таких правил.

Додавання

Нехай дві стрілки, які входять до гуртка додавання, виходять із двох гуртків з величинами і . Ці величини можуть бути як вихідними, так і результатами попередніх обчислень. Тоді стрілка, яка веде від знака + в кружку, отримує коефіцієнт , стрілка ж, що веде від знака + в кружку, отримує коефіцієнт .

Віднімання

Якщо виконується операція, то відповідні стрілки одержують коефіцієнти і.

множення

Обидві стрілки, що входять до гуртка множення, одержують коефіцієнт +1.

Поділ

Якщо виконується розподіл , то стрілка від косої межі в кухлі отримує коефіцієнт +1, а стрілка від косої межі в кухлі отримує коефіцієнт −1.

Сенс всіх цих коефіцієнтів наступний: відносна помилка результату будь-якої операції (кружка) входить у результат наступної операції, множачись на коефіцієнти у стрілки, що з'єднує ці дві операції.

Приклади

Рис.2. Граф обчислювального процесу для складання, причому

Застосуємо тепер методику графів до прикладів і проілюструємо, що означає поширення помилки у практичних обчисленнях.

Приклад 1

Розглянемо завдання додавання чотирьох позитивних чисел:

, .

Граф цього процесу зображено на рис.2. Припустимо, що це вихідні величини задані точно немає помилок, і нехай , і є відносними помилками округлення після кожної наступної операції складання. Послідовне застосування правила для підрахунку повної помилки остаточного результату призводить до формули

Скорочуючи суму в першому члені і помножуючи всі вирази на , отримуємо

Враховуючи, що помилка округлення дорівнює (у даному випадкупередбачається, що дійсне числов ЕОМ представляється у вигляді десяткового дробуз tзначними цифрами), маємо остаточно

Вимірюванням будь-якої величини називається операція, в результаті якої ми дізнаємося, у скільки разів вимірювана величина більша (або менше) відповідної величини, прийнятої за еталон (одиницю виміру). Усі виміри можна розбити на два типи: прямі та непрямі.

ПРЯМІ - це такі вимірювання, при яких вимірюється безпосередньо цікавить нас фізична величина(Маса, довжина, інтервали часу, зміна температури тощо).

Непрямі це такі вимірювання, при яких цікава для нас величина визначається (обчислюється) з результатів прямих вимірювань інших величин, пов'язаних з нею певною функціональною залежністю. Наприклад, визначення швидкості рівномірного рухуза вимірами пройденого шляху проміжку часу, вимір щільності тіла за вимірами маси та об'єму тіла і т.д.

Загальна риса вимірів - неможливість отримання істинного значення вимірюваної величини, результат виміру завжди містить якусь помилку (похибка). Пояснюється це як принципово обмеженою точністю виміру, і природою самих вимірюваних об'єктів. Тому, щоб вказати, наскільки отриманий результат наближається до справжнього значення, разом з отриманим результатом вказують помилку виміру.

Наприклад, ми виміряли фокусну відстань лінзи f і написали, що

f = (256 ± 2) мм (1)

Це означає, що фокусна відстань лежить у межах від 254 до 258 мм. Але насправді ця рівність (1) має імовірнісний зміст. Ми не можемо з повною впевненістю сказати, що величина лежить у зазначених межах, є лише деяка ймовірність цього, тому рівність (1) потрібно доповнити ще вказівкою ймовірності, з якою це співвідношення має сенс (нижче ми сформулюємо це твердження точніше).

Оцінка помилок необхідна, тому що не знаючи, які вони, не можна зробити певних висновків з експерименту.

Зазвичай розраховують абсолютну та відносну помилку. Абсолютною помилкою Δx називається різницю між істинним значенням вимірюваної величини і результатом вимірювання x, тобто. Δx = μ - x

Відношення абсолютної помилки до істинного значення вимірюваної величини ε = (μ - x)/μ і називається відносною помилкою.

Абсолютна помилка характеризує похибку методу, обраного для вимірювання.

Відносна помилка характеризує якість вимірів. Точністю виміру називають величину, зворотну відносної помилки, тобто. 1/ε.

§ 2. Класифікація помилок

Усі помилки виміру поділяються на три класи: промахи (грубі помилки), систематичні та випадкові помилки.

ПРОМАХ викликаний різким порушенням умов виміру при окремих спостереженнях. Це помилка, пов'язана з поштовхом чи поломкою приладу, грубим прорахунком експериментатора, непередбачуваним втручанням тощо. груба помилка з'являється зазвичай не більше ніж в одному | двох вимірах і різко відрізняється за величиною від інших помилок. Наявність промаху може сильно спотворити результат, що містить промах. Найпростіше, встановивши причину промаху, усунути його у процесі виміру. Якщо в процесі вимірювання промах не був виключений, це слід зробити при обробці результатів вимірювань, використовуючи спеціальні критерії, що дозволяють об'єктивно виділити в кожній серії спостережень грубу помилкуякщо вона є.

СИСТЕМАТИЧНОЇ ПОМИЛКОЮ називають складову похибки вимірювань, що залишається постійною і закономірно змінюється при повторних вимірах однієї й тієї ж величини. Систематичні помилки виникають, якщо не враховувати, наприклад, теплового розширенняпри вимірюваннях об'єму рідини або газу, що виробляються при температурі, що повільно змінюється; якщо при вимірі маси не взяти до уваги дію сили, що виштовхує повітря на зважуване тіло і на разновесы і т.д.

Систематичні помилки спостерігаються, якщо шкала лінійки завдано неточно (нерівномірно); капіляр термометра у різних ділянках має різний переріз; при відсутності електричного струмучерез амперметр стрілка приладу стоїть не так на нулі тощо.

Як видно з прикладів, систематична помилкавикликається певними причинами, величина її залишається постійною (зсув нуля шкали приладу, нерівноплечність ваг), або змінюється за певним (іноді досить складним) законом (нерівномірність шкали, нерівномірність перерізу капіляра термометра і т.д.).

Можна сказати, що систематична помилка - це пом'якшене вираз, що замінює слова «помилка експериментатора».

Такі помилки виникають через те, що:

нетічні вимірювальні прилади;
реальна установка у чомусь відрізняється від ідеальної;
Не дуже правильна теорія явища, тобто. не враховано якісь ефекти.

Як чинити в першому випадку, ми знаємо, потрібне калібрування або градуювання. У двох інших випадках готового рецептуне існує. Чим краще ви знаєте фізику, чим більше у вас досвіду, тим більша ймовірність, що ви виявите подібні ефекти, а значить, і усуньте їх. Загальних правил, Рецептів для виявлення та усунення систематичних помилок немає, але деяку класифікацію можна провести. Виділимо чотири типи систематичних помилок.

Систематичні помилки, природа яких вам відома, а величина може бути знайдена, отже, і виключена запровадженням поправок. приклад.Зважування на нерівноплечних терезах. Нехай різниця довжин плечей 0.001 мм. При довжині коромисла 70 ммі масі тіла, що зважується 200 гсистематична помилка становитиме 2.86 мг. Систематичну помилку цього виміру можна усунути, застосовуючи спеціальні методизважування (метод Гаусса, метод Менделєєва тощо).
Систематичні помилки, про які відомо, що їх величина не перевищує деякого певного значення. У цьому випадку під час запису відповіді може бути зазначено їх максимальне значення. приклад.У паспорті, що додається до мікрометра, написано: «Припустима похибка становить ±0.004 мм. Температура +20 ± 4° C. Це означає, що, вимірюючи цим мікрометром розміри якогось тіла при зазначених у паспорті температурах, ми матимемо абсолютну похибку, що не перевищує ± 0.004 ммза будь-яких результатів вимірювань.
Часто максимальна абсолютна помилка, дана приладом, вказується за допомогою класу точності приладу, який зображується на шкалі приладу відповідним числом, найчастіше взятим у кружок.

Число, що означає клас точності, показує максимальну абсолютну помилку приладу, виражену у відсотках від найбільшого значеннявимірюваної величини на верхній межішкали.

Нехай у вимірах використано вольтметр, що має шкалу від 0 до 250 У, клас точності його 1. Це означає, що максимальна абсолютна помилка, яка може бути допущена при вимірюванні цим вольтметром, буде не більше 1% від найбільшого значення напруги, яке можна виміряти на цій шкалі приладу, інакше кажучи:

δ = ±0.01·250 У= ±2.5 У.

Клас точності електровимірювальних приладів визначає максимальну похибку, величина якої не змінюється під час переходу від початку до кінця шкали. Відносна помилка при цьому різко змінюється, тому прилади забезпечують хорошу точність при відхиленні стрілки на всю шкалу і не дають її при вимірюваннях на початку шкали. Звідси випливає рекомендація: вибрати прилад (або шкалу багатограничного приладу) так, щоб стрілка приладу при вимірах заходила за середину шкали.

Якщо клас точності приладу не вказано і немає паспортних даних, то як максимальна помилка приладу береться половина ціни найменшого поділу шкали приладу.

Декілька слів про точність лінійок. Металеві лінійки дуже точні: міліметрові поділки наносяться з похибкою трохи більше ±0.05 мм, а сантиметрові не гірші, ніж з точністю 0.1 мм. Похибка вимірювань, що виробляються з точністю таких лінійок, практично дорівнює похибці відліку на око (≤0.5 мм). Дерев'яними та пластиковими лінійками краще не користуватися, їх похибки можуть виявитися несподівано більшими.

Справний мікрометр забезпечує точність 0.01 мм, а похибка вимірів штангенциркулем визначається точністю, з якою можна зробити відлік, тобто. точністю ноніуса (зазвичай 0.1 ммабо 0.05 мм).
Систематичні помилки, зумовлені властивостями об'єкта, що вимірювається. Ці помилки часто можуть бути зведені до випадкових. приклад.. Визначається електропровідність деякого матеріалу. Якщо для такого виміру взято відрізок дроту, що має якийсь дефект (потовщення, тріщину, неоднорідність), то у визначенні електропровідності буде допущена помилка. Повторення вимірів дає таке значення, тобто. допущено деяку систематичну помилку. Виміряємо опір кількох відрізків такого дроту і знайдемо середнє значення електропровідності даного матеріалу, яка може бути більшою або меншою за електропровідність окремих вимірювань, отже, помилки, допущені в цих вимірюваннях, можна віднести до так званих випадкових помилок.
Систематичні помилки, про існування яких нічого не відомо. приклад.. Визначаємо щільність будь-якого металу. Спочатку знаходимо об'єм та масу зразка. Усередині зразка міститься порожнеча, про яку ми нічого не знаємо. У визначенні щільності буде допущена помилка, яка повториться за будь-якої кількості вимірювань. Наведений приклад простий, джерело похибки та її величину можна визначити без великих труднощів. Помилки такого типу можна виявити за допомогою додаткових досліджень шляхом проведення вимірювань зовсім іншим методом та в інших умовах.

ВИПАДКОЮ називають складову похибки вимірювань, що змінюється випадковим чином при повторних вимірах однієї і тієї ж величини.

При проведенні з однаковою ретельністю і в однакових умовах повторних вимірювань однієї і тієї ж постійної незмінної величини ми отримуємо результати вимірювань деякі з них відрізняються один від одного, а деякі збігаються. Такі розбіжності у результатах вимірів свідчать про наявність у яких випадкових складових похибки.

Випадкова похибка виникає при одночасному впливі багатьох джерел, кожен з яких сам по собі непомітно впливає на результат вимірювання, але сумарний вплив всіх джерел може виявитися досить сильним.

Випадкова помилка може набувати різних за абсолютною величиною значення, передбачити які для даного акта вимірювання неможливо. Ця помилка однаково може бути як позитивною, так і негативною. Випадкові помилки завжди є в експерименті. За відсутності систематичних помилок вони спричиняють розкид повторних вимірів щодо справжнього значення ( рис.14).

Якщо, крім того, є систематична помилка, то результати вимірювань будуть розкидані щодо не істинного, а зміщеного значення ( рис.15).

Рис. 14 Мал. 15

Припустимо, що з допомогою секундоміра вимірюють період коливань маятника, причому вимір багаторазово повторюють. Похибки пуску та зупинки секундоміра, помилка у величині відліку, невелика нерівномірність руху маятника – все це викликає розкид результатів повторних вимірювань і тому може бути віднесено до категорії випадкових помилок.

Якщо інших помилок немає, то одні результати виявляться дещо завищеними, а інші дещо заниженими. Але якщо, крім цього, годинник ще й відстає, то всі результати будуть занижені. Це вже систематична помилка.

Деякі фактори можуть викликати одночасно систематичні та випадкові помилки. Так, включаючи і вимикаючи секундомір, ми можемо створити невеликий нерегулярний розкид моментів пуску та зупинки годинника щодо руху маятника і внести тим самим випадкову помилку. Але якщо до того ж ми щоразу поспішаємо включити секундомір і трохи запізнюємося вимкнути його, це призведе до систематичної помилки.

Випадкові похибки викликаються помилкою паралаксу при відліку поділів шкали приладу, струсі фундаменту будівлі, впливом незначного руху повітря тощо.

Хоча виключити випадкові похибки окремих вимірів неможливо, математична теорія випадкових явищ дозволяє зменшити вплив цих похибок на остаточний результат вимірів. Нижче буде показано, що для цього необхідно зробити не один, а кілька вимірювань, причому чим менше значення похибки ми хочемо отримати, тим більше вимірівпотрібно провести.

Слід мати на увазі, що якщо випадкова похибка, отримана з даних вимірювань, виявиться значно менше похибки, що визначається точністю приладу, то, очевидно, немає сенсу намагатися ще зменшити величину випадкової похибки все одно результати вимірювань не стануть від цього точнішими.

Навпаки, якщо випадкова похибка більша за приладову (систематичну), то вимір слід провести кілька разів, щоб зменшити значення похибки для даної серії вимірювань і зробити цю похибку меншою або одного порядку з похибкою приладу.