Як знайти н число в арифметичній прогресії. Арифметична прогресія

Загальний член послідовності має вигляд $u_n=n^2$. Підставляючи $n=1$, отримаємо:

$$ u_1=1^2=1. $$

Це перший член послідовності. Підставляючи $n=2$ $u_n=n^2$, отримаємо другий член послідовності:

$$ u_2=2^2=4. $$

Якщо підставити $n=3$, то отримаємо третій член послідовності:

$$ u_3=3^2=9. $$

Так само знаходимо четвертий, п'ятий, шостий та інші члени послідовності. Ось так і отримуємо відповідні числа:

$ $ 1; \; 4;\; 9; \; 16; \; 25; \; 36; \; 49; \; 64; \; 81; \ldots $$

Також варто мати на увазі члени послідовності $u_n=n^3$. Ось кілька перших її членів:

\begin(equation)1;\; 8; \; 27; \; 64; \; 125; \; 216; \; 343; \; 512; \; 729; \ldots \end(equation)

Крім того, для формування загального члена ряду часто використовується послідовність $u_n=n!$, кілька перших членів якої такі:

\begin(equation)1;\; 2;\; 6;\; 24; \; 120; \; 720; \; 5040; \ldots \end(equation)

Запис "n!" (читається "ен факторіал") позначає твір усіх натуральних чиселвід 1 до n, тобто.

$ $ n! = 1 cdot2 cdot 3 cdot ldots cdot n. $$

За визначенням вважається, що $0!=1!=1$. Наприклад знайдемо 5!:

$ $ 5! = 1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 = 120. $$

Часто використовуються також арифметична та геометрична прогресії. Якщо перший член арифметичної прогресіїдорівнює $a_1$, а різниця дорівнює $d$, то загальний член арифметичної прогресії записується за допомогою такої формули:

\begin(equation)a_n=a_1+d\cdot (n-1) \end(equation)

Що таке арифметична прогресія? показати\сховати

Арифметична прогресія - послідовність чисел, у якій різницю між наступним і попереднім членами незмінна. Ця постійна різниця називається різницею прогресії

$ $ 3; \; 10; \; 17; \; 24; \; 31; \; 38; \; 45; \; 52; \ldots $$

Зверніть увагу, що яку б пару сусідніх елементів ми не взяли, різниця між наступним та попереднім членами завжди буде постійною та рівною 7:

\begin(aligned) & 10-3=7;\\ & 17-10=7;\\ & 31-24=7; \ldots \end(aligned)

Це, тобто. 7, і є різниця прогресії. Зазвичай її позначають буквою $d$, тобто. $d = 7 $. Перший елемент прогресії $a_1 = 3 $. Загальний член цієї прогресії запишемо за допомогою формули. Підставляючи до неї $a_1=3$ і $d=7$, матимемо:

$ $ a_n = 3 +7 \ cdot (n-1) = 3 +7n-7 = 7n-4. $$

Для наочності знайдемо за формулою $a_n=7n-4$ кілька перших членів арифметичної прогресії:

\begin(aligned) & a_1=7\cdot 1-4=3;\\ & a_2=7\cdot 2-4=10;\\ & a_3=7\cdot 3-4=17;\\ & a_4= 7 \ cdot 4-4 = 24; \ & a_5 = 7 \ cdot 5-4 = 31. \end(aligned)

Підставляючи у формулу $a_n=7n-4$ будь-яке значення номера $n$, можна отримати член арифметичної прогресії.

Варто також відзначити геометричну прогресію. Якщо перший член прогресії дорівнює $b_1$, а знаменник дорівнює $q$, то загальний член геометричної прогресії задається такою формулою:

\begin(equation)b_n=b_1\cdot q^(n-1) \end(equation)

Що таке геометрична прогресія? показати\сховати

Геометрична прогресія - послідовність чисел, у якій відношення між наступним та попереднім членами постійно. Це незмінне ставлення називається знаменником прогресії. Наприклад розглянемо таку послідовність:

$$ 6;\; 18; \; 54; \; 162; \; 486; \; 1458; \; 4374; \ldots $$

Зверніть увагу, що яку б пару сусідніх елементів ми не взяли, відношення наступного до попереднього завжди буде постійним і рівним.

\begin(aligned) & \frac(18)(6)=3;\\ & \frac(54)(18)=3;\\ & \frac(1458)(486)=3;\\ & \ldots \end(aligned)

Це, тобто. 3, і є знаменником прогресії. Зазвичай його позначають буквою $q$, тобто. $ q = 3 $. Перший елемент прогресії $b_1 = 6 $. Загальний член цієї прогресії запишемо за допомогою формули. Підставляючи до неї $b_1=6$ і $q=3$, матимемо:

$ $ b_n = 6 \ cdot 3 ^ (n-1). $$

Для наочності знайдемо за формулою $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ кілька перших членів геометричної прогресії:

\begin(aligned) & b_1=6\cdot 3^0=6;\\ & b_2=6\cdot 3^1=18;\\ & b_3=6\cdot 3^2=54;\\ & b_4= 6 \ cdot 3 ^ 3 = 162; \ & b_5 = 6 \ cdot 3 ^ 4 = 486. \end(aligned)

Підставляючи у формулу $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ будь-яке значення номера $n$, можна отримати будь-який член геометричної прогресії.

У всіх наведених нижче прикладах члени рядів позначатимемо літерами $u_1$ (перший член ряду), $u_2$ (другий член ряду) і так далі. Запис $u_n$ позначатиме спільний член ряду.

Приклад №1

Знайти загальний член ряду $ frac (1) (7) + frac (2) (9) + frac (3) (11) + frac (4) (13) + ldots $.

Суть таких завдань у тому, щоб помітити закономірність, властива першим членам низки. І на підставі цієї закономірності зробити висновок про вид загального члена. Що означає фраза "знайти спільний член"? Вона означає, що потрібно знайти такий вираз, підставляючи яке $n=1$ отримаємо перший член низки, тобто. $\frac(1)(7)$; підставляючи $n=2$ отримаємо другий член низки, тобто. $\frac(2)(9)$; підставляючи $n=3$ отримаємо третій член низки, тобто. $\frac(3)(11)$ і так далі. Нам відомі перші чотири члени ряду:

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13). $$

Давайте рухатись поступово. Всі відомі нам члени ряду – дроби, тому резонно припустити, що й загальний член ряду також представлений дробом:

$$u_n=\frac(?)(?) $$

Наше завдання – з'ясувати, що ж ховається під знаками питання у чисельнику та знаменнику. Спочатку звернемося до чисельника. У чисельниках відомих нам членів ряду стоять числа 1, 2, 3 та 4. Зауважте, що номер кожного члена ряду дорівнює чисельнику. У першого члена в чисельнику стоїть одиниця, у другого – двійка, у третього – трійка, у четвертого – четвірка.

Логічно припустити, що у n-го члена в чисельнику стоятиме $n$:

$$u_n=\frac(n)(?) $$

До речі, цього висновку ми можемо дійти й іншим шляхом, більш формальним. Що являє собою послідовність 1, 2, 3, 4? Зазначимо, кожен наступний член цієї послідовності на 1 більше, ніж попередній. Ми маємо справу з чотирма членами арифметичної прогресії, перший член якої $a_1=1$, а різниця $d=1$. Використовуючи формулу, отримаємо вираз загального члена прогресії:

$ $ a_n = 1 + 1 \ cdot (n-1) = 1 + n-1 = n. $$

Отже, вгадування чи формальний розрахунок – справа смаку. Головне – ми записали чисельник загального члена ряду. Перейдемо до знаменника.

У знаменниках ми маємо послідовність 7, 9, 11, 13. Це чотири члени арифметичної прогресії, перший член якої дорівнює $b_1=7$, а різниця $d=2$. Загальний член прогресії знайдемо, використовуючи формулу:

$ $ b_n = 7 +2 \ cdot (n-1) = 7 +2n-2 = 2n +5. $$

Отримане вираз, тобто. $2n+5$ і буде знаменником загального члена ряду. Отже:

$$u_n=\frac(n)(2n+5). $$

Загальний член низки отримано. Давайте перевіримо, чи підходить знайдена формула $u_n=\frac(n)(2n+5)$ для обчислення вже відомих членів ряду. Знайдемо члени $u_1$, $u_2$, $u_3$ і $u_4$ за формулою $u_n=\frac(n)(2n+5)$. Результати, звісно, ​​мають збігтися із заданими нам за умовою першими чотирма членами ряду.

$$ u_1=\frac(1)(2\cdot 1+5)=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(2\cdot 2+5)=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(2\cdot 3+5)=\frac(3)(11);\; u_4=frac(4)(2cdot 4+5)=frac(4)(13). $$

Правильно, результати збігаються. Заданий за умови ряд можна записати тепер у такій формі: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n)(2n+5)$. Загальний член ряду має вигляд $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+0+0+0+0+0+0+ 0+\ldots $$

Хіба така низка не має права на існування? Ще як має. І для цього ряду можна записати, що

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n = 0 \; (n≥ 5). $$

Можна записати та інше продовження. Наприклад, таке:

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+frac(4)(13)+frac(1)(5)+frac( 1)(6)+\frac(1)(7)+\frac(1)(8)+\frac(1)(9)+\frac(1)(10)+\ldots $$

І таке продовження нічого не суперечить. При цьому можна записати, що

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=\frac(1)(n)\; (n≥ 5). $$

Якщо перші два варіанти видалися вам надто формальними, то запропоную третій. Давайте запишемо спільний член у такому вигляді:

$ $ u_n = \ frac (n) (n ^ 4-10n ^ 3 + 35n ^ 2-48n + 29). $$

Обчислимо перші чотири члени ряду, використовуючи запропоновану формулу загального члена:

\begin(aligned) & u_1=\frac(1)(1^4-10\cdot 1^3+35\cdot 1^2-48\cdot 1+29)=\frac(1)(7);\ \ & u_2=\frac(2)(2^4-10\cdot 2^3+35\cdot 2^2-48\cdot 2+29)=\frac(2)(9);\\ & u_3= \frac(3)(3^4-10\cdot 3^3+35\cdot 3^2-48\cdot 3+29)=\frac(3)(11);\\ & u_4=\frac(4 )(4^4-10cdot 4^3+35cdot 4^2-48cdot 4+29)=frac(4)(13). \end(aligned)

Як бачите, запропонована формула загального члена цілком коректна. І таких варіацій можна вигадати нескінченно багато, їх кількість нічим не обмежена. У стандартних прикладів, звісно, ​​використовується стандартний набір деяких відомих послідовностей (прогресії, ступеня, чинники тощо.). Однак у таких завданнях завжди є невизначеність, і про це бажано пам'ятати.

У всіх наступних прикладах ця неоднозначність не обговорюватиметься. Вирішуватимемо стандартними способами, які прийняті у більшості задачників.

Відповідь: загальний член ряду: $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

Приклад №2

Записати загальний член ряду $frac(1)(1cdot 5)+frac(1)(3cdot 8)+frac(1)(5cdot 11)+frac(1)(7cdot 14) + frac (1) (9 cdot 17) + ldots $.

Нам відомі перші п'ять членів низки:

$$ u_1=\frac(1)(1\cdot 5);\; u_2=frac(1)(3cdot 8); \; u_3=frac(1)(5cdot 11); \; u_4=frac(1)(7cdot 14); \; u_5=frac(1)(9cdot 17). $$

Всі відомі нам члени ряду - дроби, значить і загальний член ряду шукатимемо у вигляді дробу:

$$u_n=\frac(?)(?). $$

Відразу звернемо увагу на чисельник. В усіх чисельниках стоять одиниці, тому у чисельнику загального члена низки буде одиниця, тобто.

$$u_n=\frac(1)(?). $$

Тепер звернемося до знаменника. У знаменниках відомих нам перших членів ряду розташовані твори чисел: $1cdot 5$, $3cdot 8$, $5cdot 11$, $7cdot 14$, $9cdot 17$. Перші з цих чисел такі: 1, 3, 5, 7, 9. Ця послідовність має перший член $a_1=1$, кожен наступний виходить із попереднього додаванням числа $d=2$. Іншими словами, це перші п'ять членів арифметичної прогресії, загальний член якої можна записати за допомогою формули:

$$ a_n=1+2\cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1. $$

У творах $1cdot 5$, $3cdot 8$, $5cdot 11$, $7cdot 14$, $9cdot 17$ другі числа такі: 5, 8, 11, 14, 17. Це елементи арифметичної прогресії, перший член якої $b_1 = 5 $, а знаменник $ d = 3 $. Загальний член цієї прогресії запишемо за допомогою тієї ж формули :

$ $ b_n = 5 +3 \ cdot (n-1) = 5 +3n-3 = 3n +2. $$

Зведемо результати докупи. Твір у знаменнику спільного члена ряду такий: $(2n-1)(3n+2)$. А сам загальний член ряду має такий вигляд:

$$ u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2)). $$

Для перевірки отриманого результату знайдемо за формулою $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ ті чотири перші члени ряду, які нам відомі:

\begin(aligned) & u_1=\frac(1)((2\cdot 1-1)(3\cdot 1+2))=\frac(1)(1\cdot 5);\\ & u_2=\ frac(1)((2\cdot 2-1)(3\cdot 2+2))=\frac(1)(3\cdot 8);\\ & u_3=\frac(1)((2\cdot 3-1)(3\cdot 3+2))=\frac(1)(5\cdot 11);\\ & u_4=\frac(1)((2\cdot 4-1)(3\cdot 4 +2))=\frac(1)(7\cdot 14);\\ & u_5=\frac(1)((2\cdot 5-1)(3\cdot 5+2))=\frac(1 ) (9 \ cdot 17). \end(aligned)

Отже, формула $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ дозволяє точно обчислити члени ряду, відомі з умови. За бажанням заданий ряд можна записати так:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)((2n-1)(3n+2))=\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1 )(3cdot 8)+frac(1)(5cdot 11)+frac(1)(7cdot 14)+frac(1)(9cdot 17)+ldots $$

Відповідь: загальний член ряду: $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$.

Продовження цієї теми розглянемо у другій та третій частинах.

Багато хто чув про арифметичну прогресію, але не всі добре уявляють, що це таке. У даній статті дамо відповідне визначення, а також розглянемо питання, як знайти різницю арифметичної прогресії, і наведемо ряд прикладів.

Математичне визначення

Отже, якщо мова йдепро прогрес арифметичної або алгебраїчної (ці поняття визначають одне й те саме), то це означає, що є деякий числовий ряд, що задовольняє наступний закон: кожні два сусідні числа в ряду відрізняються на те саме значення. Математично це записується так:

Тут n означає номер елемента a n у послідовності, а число d - це різниця прогресії (її назва випливає з представленої формули).

Про що говорить знання різниці d? Про те, як "далеко" один від одного відстоять сусідні числа. Однак знання d є необхідним, але не достатньою умовоювизначення (відновлення) всієї прогресії. Необхідно знати ще одне число, яким може бути абсолютно будь-який елемент ряду, наприклад, a 4 , a10, але, як правило, використовують перше число, тобто a 1 .

Формули для визначення елементів прогресії

Загалом інформації вище вже достатньо, щоб переходити до вирішення конкретних завдань. Проте до того, як буде дана арифметична прогресія, і знайти різницю її буде необхідно, наведемо пару корисних формул, полегшивши тим самим подальший процес вирішення завдань.

Нескладно показати, що будь-який елемент послідовності з номером n може бути знайдений так:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Дійсно, перевірити цю формулу може кожен простим перебором: якщо підставити n = 1, то вийде перший елемент, якщо підставити n = 2, тоді вираз видає суму першого числа та різниці, і так далі.

Умови багатьох завдань складаються таким чином, що за відомою парою чисел, номери яких у послідовності також дано, необхідно відновити весь числовий ряд (знайти різницю та перший елемент). Зараз ми вирішимо це завдання загальному вигляді.

Отже, нехай дані два елементи з номерами n і m. Користуючись отриманою формулою, можна скласти систему з двох рівнянь:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Для знаходження невідомих величин скористаємося відомим простим прийомомрішення такої системи: віднімемо попарно ліву та праву частини, рівність при цьому залишиться справедливою. Маємо:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Таким чином ми виключили одну невідому (a 1). Тепер можна записати остаточний вираз визначення d:

d = (a n - a m) / (n - m), де n > m

Ми отримали дуже просту формулу: щоб обчислити різницю d відповідно до умов завдання, необхідно лише взяти відношення різниць самих елементів та їх порядкових номерів. Слід звернути на один важливий моментувага: різниці беруться між "старшим" і "молодшим" ​​членами, тобто n > m ("старший" - мається на увазі вартий далі від початку послідовності, його абсолютне значенняможе бути як більше, так і менше "молодшого" елемента).

Вираз для різниці d прогресії слід підставити на будь-яке з рівнянь на початку розв'язання задачі, щоб отримати значення першого члена.

У наш вік розвитку комп'ютерних технологійбагато школярів намагаються знайти рішення для своїх завдань в Інтернеті, тому часто виникають такі питання: знайти різницю арифметичної прогресії онлайн. За подібним запитом пошуковик видасть ряд web-сторінок, перейшовши на які, потрібно буде ввести відомі з умови дані (це можуть бути як два члени прогресії, так і сума деякого їх числа) і миттєво отримати відповідь. Проте такий підхід до вирішення завдання є непродуктивним у плані розвитку школяра та розуміння суті поставленого перед ним завдання.

Рішення без використання формул

Вирішимо перше завдання, при цьому не будемо використовувати жодні з наведених формул. Нехай дані елементи ряду: а6 = 3, а9 = 18. Знайти різницю прогресії арифметичної.

Відомі елементи стоять близько один до одного в ряду. Скільки разів потрібно додати різницю d до найменшого, щоб отримати найбільше? Три рази (вперше додавши d, ми отримаємо 7-й елемент, другий раз - восьмий, нарешті, втретє - дев'ятий). Яке число потрібно додати до трьох разів, щоб отримати 18? Це число п'ять. Дійсно:

Таким чином, невідома різниця d=5.

Звичайно ж, рішення можна було виконати із застосуванням відповідної формули, але цього не було зроблено навмисно. Детальне поясненнярозв'язання задачі має стати зрозумілим та яскравим прикладом, що таке арифметична прогресія

Завдання, подібне до попереднього

Тепер вирішимо схоже завдання, але змінимо вхідні дані. Отже, слід знайти, якщо а3 = 2, а9 = 19.

Звичайно, можна вдатися знову до методу рішення "в лоб". Але оскільки дані елементи ряду, які стоять відносно далеко один від одного, такий метод стане не зовсім зручним. А ось використання отриманої формули швидко приведе нас до відповіді:

d = (а 9 - а 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Тут ми округлили кінцеве число. Наскільки це округлення спричинило помилку, можна судити, перевіривши отриманий результат:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Цей результат відрізняється лише на 0,1 % від значення, даного за умови. Тому використане округлення до сотих можна вважати успішним вибором.

Завдання застосування формули для an члена

Розглянемо класичний прикладзадачі визначення невідомої d: знайти різницю прогресії арифметичної, якщо а1 = 12, а5 = 40.

Коли дано два числа невідомої послідовності алгебри, причому одним з них є елемент a 1 , тоді не потрібно довго думати, а слід відразу ж застосувати формулу для a n члена. У даному випадкумаємо:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Ми отримали точне число під час поділу, тому немає сенсу перевіряти точність розрахованого результату, як це було зроблено в попередньому пункті.

Вирішимо ще одне аналогічне завдання: слід знайти різницю арифметичної прогресії, якщо а1 = 16, а8 = 37.

Використовуємо аналогічний попередній підхід та отримуємо:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Що ще слід знати про арифметичну прогресію

Крім завдань перебування невідомої різниці чи окремих елементів, часто необхідно вирішувати проблеми суми перших членів послідовності. Розгляд цих завдань виходить за межі теми статті, проте для повноти інформації наведемо загальну формулудля суми n чисел ряду:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Цілі:

1. Запровадити поняття арифметичної прогресії.
2. Розглянути основні типи завдань застосування формули n-ого члена арифметичної прогресії.
3. Використовувати на уроці елементи навчання.
4. Розвивати аналітичне мисленняучнів.

Хід уроку

Вчитель.На попередньому уроці ми запровадили поняття нескінченної числової послідовності, як функції, визначеної на безлічі натуральних чисел і з'ясували, що послідовності бувають нескінченними та кінцевими, зростаючими та спадними, а також дізналися про способи їх завдання. Перерахуйте їх.

Учні.

1. Аналітичний (за допомогою формули).
2. Словесний (завдання послідовності описом).
3. Рекурентний (коли будь-який член послідовності, починаючи з деякого, виражається через попередні члени).

Завдання 1.Вкажіть, якщо можливо, 7 член кожної послідовності.

(а n): 6; 10; 14; 18; 22; 26;
(b n): 49; 25; 81; 4; 121; 64...
(c n): 22; 17; 12; 7; 2; -3…
(x n): -3,8; -2,6; -1,4; -0,2; 1; 2,2…
(y n): -12; 7; 8; 14; -23; 41…

Вчитель. Чому для послідовностей b n та y n відповісти на запитання не можна?

Учні. У даних послідовностях немає певної закономірності, хоча (b n) складається з квадратів натуральних чисел, але взяті вони у довільному порядку, а (y n) є довільним рядом чисел, тому на сьомому місці може стояти будь-яке число.

Вчитель.Для послідовностей (n); (c n); (x n) усі ви змогли правильно знайти 7-й член.

Завдання 2.Придумайте свій подібний прикладтакої послідовності. Вкажіть 4 перші її члени. Обміняйтеся зошитами із сусідом по парті та визначте 5-й член цієї послідовності.

Вчитель.Яким загальною властивістюмають подібні послідовності?

Студент. Кожен наступний член відрізняється від попереднього на те саме число.

Вчитель.Послідовності такого типу називаються арифметичними прогресіями. Вони будуть предметом нашого сьогоднішнього вивчення. Сформулюйте тему уроку.

(Першу частину теми студент легко формулюють. Другу частину вчитель може сформулювати сам)

Вчитель. Сформулюйте цілі уроку, з цієї теми.

(Важливо, щоб учні якомога повніше і точно сформулювали навчальні цілітоді вони приймають їх і прагнуть досягти)

Учні.

1. Дати визначення арифметичної прогресії.
2. Вивести формулу n-ого члена арифметичної прогресії.
3. Навчитися вирішувати завдання на тему (розглянути різні типизадач).

Потім корисно спроектувати на екран цілі, поставлені вчителем перед учнями, щоб переконалися, що цілі вони спільні.

Вчитель.Трішки історії. Термін «прогресія» походить від латинського progression, що означає «рух уперед», був запроваджений римським автором Боецієм у 6 ст. і отримав подальший розвитоку працях Фібоначчі, Шюке, Гауса та інших вчених.

Визначення.Арифметичною прогресією називається послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, складеному з тим самим числом. Це число називається різницею арифметичної прогресії та позначається d.

(a n): a 1; a 2; a 3; …a n … арифметична прогресія.
d = a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = … = a n+1 – a n

Завдання 3.Нехай a1 = 7; d=0.

Назвіть наступні 3 члени послідовності.

Учні. 7; 7; 7

Вчитель. Такі послідовності називаються постійними чи стаціонарними.

Нехай a 1 = -12; d = 3. Назвіть 3 члени цієї послідовності.

Учнів. -9; -6; -3

Вчитель. Чи маю я рацію, якщо назву числа: -15; -18; -21?

Як правило, більшість учнів вважають, що це правильно. Тоді слід попросити їх визначити номер кожного члена. Оскільки номер члена послідовності може бути виражений натуральним числом, то цій послідовності названі числа бути присутніми що неспроможні.

Завдання 4.В арифметичній прогресії a 1; a 2; 6; 4; а 5 знайдіть a 1; a 2; а 5 .

Завдання виконується в парах, один учень за бажанням виконує його з зворотного бокудошки.

Рішення:

d = 4 - 6 = -2
а 5 = а 4 + d = 4 - 2 = 2
а 2 = а 3 - d = 6 - (-2) = 8
а 1 = а 2 - d = 8 - (-2) = 10

Вкажіть для даної послідовності а 8 та а 126

Учні. а 8 = -4 а 126 можна вказати, але занадто довго рахувати.

Вчитель.Отже необхідно знайти такий спосіб, який дозволить нам швидко відшукувати будь-який член послідовності. Спробуйте вивести формулу n-ого члена арифметичної прогресії.

До дошки можна викликати сильного учня та шляхом чітко поставлених питань та допомоги класу вивести формулу.

Висновок формули:

а 2 = а 1 + d
а 3 = а 2 + d = а 1 + 2d
а 4 = а 3 + d = а 1 + 3d
і т.д.

а n = а 1 + (n – 1) d- Формулаn-ого члена арифметичної прогресії.

Вчитель. Отже, що потрібно знати визначення будь-якого члена арифметичної прогресії?

Учні. а 1 та d

Вчитель.Використовуючи цю формулу, знайдіть а 126 .

Учні.а 126 = а 1 + 125d = 10 = 125 ∙ (-2) = 10 - 250 = - 240

Завдання 5. Нехай (b n): арифметична прогресія, де b 1 - перший член, а d – різниця. Знайдіть помилки:

b 4 = b 1 + 3d		b 2k = b 1 + (2k – 1)∙d
b 9 = b 1 + 10d		b k-4 = b 1 + (k – 3)∙d
b -3 = b 1 - 4d		b k+7 = b 1 + (k – 6)∙d

Завдання 6.Розглянемо формулу n-ого члена арифметичної прогресії. З'ясуємо, які типи завдань із застосуванням цієї формули можна вирішувати. Сформулюйте пряме завдання.

Учні.за заданим значенняма 1 і d знайти а n.

Вчитель.Які обернені завданняможна поставити?

Учні.

1. Дано а 1 і а n. Знайти d.
2. Дано d і а n. Знайти 1 .
3. Дано а 1, d і а n. Знайти n.

Завдання 7. Знайдіть різницю арифметичної прогресії, в якій у 1 = 10; у 5 = 22

Рішення біля дошки:

у 5 = у 1 + 4d
22 = 10 + 4d
4d = 12
d = 3

Завдання 8. Чи містить арифметична прогресія 2; 9; … число 156?

Аналіз: шляхом міркувань приходимо висновку у тому, що т.к. у кожного числа в послідовності є свій номер, виражений натуральним числом, необхідно знайти номер члена послідовності і з'ясувати, чи належить він безлічі натуральних чисел. Якщо належить, то послідовність містить це число, інакше – немає.

Рішення біля дошки:

а n = а 1 + (n - 1) d
156 = 2 + 7 (n - 1)
7 (n - 1) = 154
n - 1 = 22
n = 23

Відповідь: а 23 = 156

Завдання 9.Знайдіть перші три члени арифметичної прогресії, у якій

а 1 + а 5 = 24;
а 2 ∙ а 3 =60

Завдання аналізуємо, складаємо систему рівнянь, яку пропонується вирішити вдома.

а 1 + а 1 + 4d = 24;
(а 1 + d) ∙ (а 1 + 4d) = 60.

Підведення підсумку уроку.

Що нового ви дізналися сьогодні на уроці? Чому навчилися?

Домашнє завдання. Ознайомитись із матеріалом п. 25 підручника. Вивчити визначення арифметичної прогресії та формулу n-ого члена. Вміти виражати з формули всі величини, що входять до неї. Розв'язати систему завдання 9. Виконати за підручником № 575 (а,б); 576; 578(а); 579(а).

Завдання на додаткову оцінку: нехай a 1; a 2; a 3; …a n … арифметична прогресія. Доведіть, що a n+1 = (а n + a n+2) : 2

У чому головна сутьформули?

Ця формула дозволяє знайти будь-який ЗА ЙОГО НОМЕРЕ " n" .

Зрозуміло, треба знати ще перший член a 1і різниця прогресії d, Так без цих параметрів конкретну прогресію і не запишеш.

Завчити (або зашпаргалити) цю формулу мало. Потрібно засвоїти її суть і застосувати формулу в різних завданнях. Та ще й не забути в потрібний момент, Так як не забути- я не знаю. А от як згадати,при необхідності - точно підкажу. Тим, хто урок до кінця подужає.)

Отже, розберемося із формулою n-го члена арифметичної прогресії.

Що таке формула взагалі – ми собі уявляємо.) Що таке арифметична прогресія, номер члена, різниця прогресії – доступно викладено у попередньому уроці. Загляньте, до речі, як не читали. Там просто все. Залишилося розібратися, що таке n-й член.

Прогресію у загальному вигляді можна записати у вигляді ряду чисел:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- Позначає перший член арифметичної прогресії, a 3- третій член, a 4- Четвертий, і так далі. Якщо нас цікавить п'ятий член, скажімо, ми працюємо з a 5, якщо сто двадцятий - з a 120.

А як позначити у загальному вигляді будь-якийчлен арифметичної прогресії, з будь-якимномером? Дуже просто! Ось так:

a n

Це і є n-й член арифметичної прогресії.Під літерою n ховаються відразу всі номери членів: 1, 2, 3, 4 тощо.

І що нам дає такий запис? Подумаєш, замість цифри букву записали...

Цей запис дає нам потужний інструмент для роботи з арифметичною прогресією. Використовуючи позначення a n, ми можемо швидко знайти будь-якийчлен будь-якийарифметичній прогресії. І ще купу завдань щодо прогресії вирішити. Самі далі побачите.

У формулі n-го члена арифметичної прогресії:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- Перший член арифметичної прогресії;

n- Номер члена.

Формула пов'язує ключові параметри будь-якої прогресії: a n; a 1; dі n. Навколо цих властивостей і крутяться всі завдання з прогресії.

Формула n-го члена можна використовувати й у записи конкретної прогресії. Наприклад, завдання може бути сказано, що прогресія задана умовою:

a n = 5 + (n-1) ·2.

Таке завдання може і в глухий кут поставити ... Немає ні ряду, ні різниці ... Але, порівнюючи умову з формулою, легко збагнути, що в цій прогресії a 1 =5, а d=2.

А буває ще зліше!) Якщо взяти ту ж умову: a n = 5 + (n-1) · 2,та розкрити дужки та привести подібні? Отримаємо нову формулу:

a n = 3 + 2n.

Це Тільки не загальна, а для конкретної прогресії. Ось тут і ховається підводний камінь. Деякі думають, що перший член – це трійка. Хоча реально перший член - п'ятірка... Трохи нижче ми попрацюємо з такою формулою.

У завдання на прогресію зустрічається ще одне позначення - a n+1. Це, як ви здогадалися, "ен плюс перший" член прогресії. Сенс його простий і нешкідливий.) Це член прогресії, номер якого більший за номер n на одиницю. Наприклад, якщо в якомусь завданні ми беремо за a nп'ятий член, то a n+1буде шостим членом. І тому подібне.

Найчастіше позначення a n+1зустрічається у рекурентних формулах. Не лякайтеся цього страшного слова!) Це просто спосіб висловлювання члена арифметичної прогресії через попередній.Припустимо, нам дана арифметична прогресія ось у такому вигляді, за допомогою рекурентної формули:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Четвертий – через третій, п'ятий – через четвертий, тощо. А як порахувати одразу, скажімо двадцятий член, a 20? А ніяк!) Поки 19-й член не дізнаємось, 20-й не порахувати. У цьому є принципова відмінність рекурентної формули від формули n-го члена. Рекурентна працює тільки через попереднійчлен, а формула n-го члена – через першийі дозволяє відразузнаходити будь-який член за його номером. Не прораховуючи цілий ряд чисел по порядку.

В арифметичній прогресії рекурентну формулулегко перетворити на звичайну. Порахувати пару послідовних членів, обчислити різницю d,знайти, якщо треба, перший член a 1, Записати формулу у звичайному вигляді, та й працювати з нею. У ДПА подібні завдання часто зустрічаються.

Застосування формули n члена арифметичної прогресії.

Спочатку розглянемо пряме застосування формули. Наприкінці попереднього уроку було завдання:

Дана арифметична прогресія (a n). Знайти a 121 якщо a 1 =3, а d=1/6.

Це завдання можна без будь-яких формул вирішити, просто з сенсу арифметичної прогресії. Додавати, та додавати... Годинник-другий.)

А за формулою рішення займе менше хвилини. Можете засікати час.) Вирішуємо.

В умовах наведено всі дані для використання формули: a 1 =3, d=1/6.Залишається збагнути, чому одно n.Не питання! Нам треба знайти a 121. Ось і пишемо:

Прошу звернути увагу! Замість індексу nз'явилося конкретне число: 121. Що цілком логічно.) Нас цікавить член арифметичної прогресії номер сто двадцять один.Ось це і буде наше n.Саме це значення n= 121 ми і підставимо далі до формули, до дужок. Підставляємо всі числа у формулу та вважаємо:

a 121 = 3 + (121-1) · 1/6 = 3 +20 = 23

Ось і всі справи. Так само швидко можна було знайти і п'ятсот десятий член, і тисяча третій, кожен. Ставимо замість nпотрібний номер в індексі у літери " a"і в дужках, та й рахуємо.

Нагадаю суть: ця формула дозволяє знайти будь-якийчлен арифметичної прогресії ЗА ЙОГО НОМЕРЕ " n" .

Вирішимо завдання хитрішим. Нехай нам трапилося таке завдання:

Знайдіть перший член арифметичної прогресії (a n), якщо a 17 = -2; d=-0,5.

Якщо виникли труднощі, підкажу перший крок. Запишіть формулу n члена арифметичної прогресії!Так Так. Руками запишіть, прямо в зошиті:

a n = a 1 + (n-1)d

А тепер, дивлячись на літери формули, розуміємо, які дані ми маємо, а чого не вистачає? Є d=-0,5,є сімнадцятий член ... Все? Якщо вважаєте, що все, то завдання не вирішите, так...

У нас ще є номер n! В умові a 17 =-2заховані два параметри.Це значення сімнадцятого члена (-2), та її номер (17). Тобто. n=17.Ця "дрібниця" часто проскакує повз голову, а без неї, (без "дрібниці", а не голови!) завдання не вирішити. Хоча... і без голови теж.)

Тепер можна просто тупо підставити наші дані у формулу:

a 17 = a 1 + (17-1) · (-0,5)

Ах да, a 17нам відомо, що це -2. Ну гаразд, підставимо:

-2 = a 1 + (17-1) · (-0,5)

Ось по суті, і все. Залишилося висловити перший член арифметичної прогресії з формули, та порахувати. Вийде відповідь: a 1 = 6.

Такий прийом - запис формули та проста підстановка відомих даних - чудово допомагає в простих завданнях. Ну, треба, звичайно, вміти висловлювати змінну з формули, а що робити! Без цього вміння математику можна взагалі не вивчати.

Ще одне популярне завдання:

Знайдіть різницю арифметичної прогресії (a n), якщо a 1 =2; a 15 = 12.

Що робимо? Ви здивуєтеся, пишемо формулу!)

a n = a 1 + (n-1)d

Розуміємо, що нам відомо: a 1 = 2; a 15 = 12; та (спеціально виокремлю!) n=15. Сміливо підставляємо у формулу:

12 = 2 + (15-1) d

Вважаємо арифметику.)

12 = 2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Це правильна відповідь.

Так, завдання на a n , a 1і dвирішили. Залишилося навчитися знаходити:

Число 99 є членом арифметичної прогресії (a n), де a 1 = 12; d=3. Знайти номер члена.

Підставляємо у формулу n-го члена відомі нам величини:

a n = 12 + (n-1) · 3

На перший погляд, тут дві невідомі величини: a n та n.Але a n- це якийсь член прогресії з номером n... І цей член прогресії ми знаємо! Це 99. Ми не знаємо його номер n,так цей номер і потрібно знайти. Підставляємо член прогресії 99 у формулу:

99 = 12 + (n-1) · 3

Висловлюємося з формули nвважаємо. Отримаємо відповідь: n=30.

А тепер завдання на ту саму тему, але більш творча):

Визначте, чи буде число 117 членом арифметичної прогресії (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Знову пишемо формулу. Що немає ніяких параметрів? Гм... А очі нам навіщо дано?) Перший член прогресії бачимо? Бачимо. Це –3,6. Можна сміливо записати: a 1 = -3,6.Різниця dможна з ряду визначити? Легко, якщо знаєте, що таке різницю арифметичної прогресії:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Так, найпростіше зробили. Залишилося розібратися з невідомим номером nі незрозумілим числом 117. У попередній задачі хоч було відомо, що дано саме член прогресії. А тут і того не знаємо... Як бути! Ну, як бути, як бути... Включити творчі здібності!)

Ми припустимо,що 117 - це все-таки член нашої прогресії. З невідомим номером n. І, як у попередній задачі, спробуємо знайти цей номер. Тобто. пишемо формулу (так-так!) і підставляємо наші числа:

117 = -3,6 + (n-1) · 1,2

Знову висловлюємося з формулиn, вважаємо та отримуємо:

Опаньки! Номер вийшов дробовий!Сто один із половиною. А дрібних номерів у прогресіях не буває.Який висновок зробимо? Так! Число 117 не єчленом нашої прогресії. Воно знаходиться десь між сто першим і сто другим членом. Якби номер вийшов натуральним, тобто. позитивним цілим, число було б членом прогресії зі знайденим номером. А в нашому випадку відповідь завдання буде: ні.

Завдання на основі реального варіантуДІА:

Арифметична прогресія задана умовою:

a n = -4 + 6,8 n

Знайти перший і десятий члени прогресії.

Тут прогресію задано не зовсім звичним чином. Формула якась... Буває.) Однак, ця формула (як я писав вище) - теж формула n-го члена арифметичної прогресії!Вона також дозволяє знайти будь-який член прогресії за його номером.

Шукаємо перший член. Той, хто думає. що перший член – мінус чотири, фатально помиляється!) Тому, що формула у завданні – видозмінена. Перший член арифметичної прогресії у ній захований.Нічого, зараз знайдемо.)

Так само, як і в попередніх завданнях, підставляємо n=1в цю формулу:

a 1 = -4 + 6,8 · 1 = 2,8

Ось! Перший член 2,8, а чи не -4!

Аналогічно шукаємо десятий член:

a 10 = -4 + 6,8 · 10 = 64

Ось і всі справи.

А тепер тим, хто дочитав до цих рядків, - обіцяний бонус.)

Припустимо, у складній бойовій обстановці ГІА або ЄДІ, ви призабули корисну формулу n-го члена арифметичної прогресії. Щось пригадується, але невпевнено якось... Чи то nтам, чи n+1, чи то n-1...Як бути!?

Спокій! Цю формулу легко вивести. Не дуже суворо, але для впевненості та правильного рішенняточно вистачить!) Для висновку досить пам'ятати елементарний зміст арифметичної прогресії і мати кілька хвилин. Потрібно просто намалювати картинку. Для наочності.

Малюємо числову вісь та відзначаємо на ній перший. другий, третій тощо. члени. І відзначаємо різницю dміж членами. Ось так:

Дивимося на картинку і розуміємо: чому дорівнює другий член? Другий одне d:

a 2 =a 1 + 1 ·d

Чому дорівнює третій член? Третійчлен дорівнює перший член плюс два d.

a 3 =a 1 + 2 ·d

Уловлюєте? Я не дарма деякі слова виділяю жирним шрифтом. Ну гаразд, ще один крок).

Чому дорівнює четвертий член? Четвертийчлен дорівнює перший член плюс три d.

a 4 =a 1 + 3 ·d

Час зрозуміти, що кількість проміжків, тобто. d, завжди один менше, ніж номер шуканого члена n. Тобто, до номера n, кількість проміжківбуде n-1.Отже, формула буде (без варіантів!):

a n = a 1 + (n-1)d

Взагалі, наочні картинки дуже допомагають вирішувати багато завдань у математиці. Не нехтуйте картинками. Але якщо картинку намалювати важко, то... тільки формула!) Крім того, формула n-го члена дозволяє підключити до вирішення весь потужний арсенал математики - рівняння, нерівності, системи і т.д. Картинку в рівняння не вставиш...

Завдання для самостійного вирішення.

Для розминки:

1. В арифметичній прогресії (a n) a 2 = 3; a 5 =5,1. Знайти a 3 .

Підказка: за картинкою завдання вирішується секунд за 20... За формулою – складніше виходить. Але для освоєння формули - корисніше.) У Розділі 555 це завдання вирішено і з картинці, і за формулою. Відчуйте різницю!)

А це – вже не розминка.)

2. В арифметичній прогресії (a n) a 85 = 19,1; a 236 = 49, 3. Знайти a 3 .

Що, не хочеться малюнок малювати?) Ще б пак! Краще за формулою, так...

3. Арифметична прогресія задана умовою:a 1 =-5,5; an+1 = an+0,5. Знайдіть сто двадцять п'ятий член цієї прогресії.

У цьому вся завдання прогресія задана рекурентним способом. Але рахувати до сто двадцять п'ятого члена... Не всім такий подвиг під силу. Зате формула n-го члена під силу кожному!

4. Дана арифметична прогресія (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Знайти номер найменшого позитивного членапрогресії.

5. За умовою завдання 4 знайти суму найменшого позитивного та найбільшого негативного членів прогресії.

6. Добуток п'ятого та дванадцятого членів зростаючої арифметичної прогресії дорівнює -2,5, а сума третього та одинадцятого членів дорівнює нулю. Знайти a 14 .

Не найпростіше завдання, так ...) Тут спосіб "на пальцях" не прокотить. Прийде формули писати і рівняння розв'язувати.

Відповіді (безладно):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Вийшло? Це приємно!)

Чи не все виходить? Буває. До речі, в останньому завданні є один тонкий момент. Уважність під час читання завдання буде потрібна. І логіка.

Розв'язання всіх цих завдань докладно розібрано в Розділі 555. І елемент фантазії для четвертої, і тонкий момент для шостої, і загальні підходина вирішення будь-яких завдань на формулу n-го члена - все розписано. Рекомендую.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.