Як знайти невідомий дільник із залишком правило. Правило поділу із залишком цілого позитивного числа на ціле негативне, приклади

Навчити дитину поділу стовпчиком просто. Необхідно пояснити алгоритм цієї дії та закріпити пройдений матеріал.

• Згідно шкільній програмі, розподіл стовпчиком дітям починають пояснювати вже у третьому класі Учні, які схоплюють усі на льоту, швидко розуміють цю тему
• Але, якщо дитина захворіла і пропустила уроки математики, або вона не зрозуміла тему, тоді батьки повинні самостійно малюкові пояснити матеріал. Потрібно максимально доступно донести до нього інформацію
• Мами та тата під час навчального процесудитини повинні бути терплячими, виявляючи такт по відношенню до свого чада. У жодному разі не можна кричати на дитину, якщо в неї щось не виходить, адже так можна відбити у неї все полювання до занять

Важливо: Щоб дитина зрозуміла розподіл чисел, вона повинна досконало знати таблицю множення. Якщо малюк погано знає множення, він не зрозуміє поділ.

Під час домашніх додаткових занять можна користуватися шпаргалками, але дитина повинна вивчити таблицю множення, перш ніж приступати до теми «Поділ».

Отже, як пояснити дитині розподіл стовпчиком:

• Намагайтеся спочатку пояснити на маленьких цифрах. Візьміть лічильні палички, наприклад, 8 штук
• Запитайте у дитини, скільки пар у цьому ряду паличок? Правильно — 4. Отже, якщо поділити 8 на 2, вийде 4, а при розподілі 8 на 4 вийде 2
• Нехай дитина сама розділить інше число, наприклад, складніше: 24:4
• Коли малюк освоїв поділ простих чисел, Тоді можна переходити до поділу тризначних чисел на однозначні

Поділ завжди дається дітям трохи важче, ніж множення. Але старанні додаткові заняттявдома допоможуть малюкові зрозуміти алгоритм цієї дії та не відставати від однолітків у школі.

Починайте з простого - поділ на однозначне число:

Важливо: Прорахуйте в умі, щоб поділ вийшов без залишку, інакше дитина може заплутатися.

Наприклад, 256 розділити на 4:

• Накресліть на аркуші паперу вертикальну лінію та розділіть її з правої частини навпіл. Зліва напишіть першу цифру, а праворуч над межею другу
• Запитайте у малюка, скільки четвірок міститься у двійці — анітрохи
• Тоді беремо 25. Для наочності відокремте це число зверху куточком. Знову запитайте у дитини, скільки міститься четвірок о двадцяти п'яти? Правильно – шість. Пишемо цифру «6» у правому нижньому кутку під лінією. Дитина повинна використовувати таблицю множення для правильної відповіді
• Запишіть цифру 24 під 25 і підкресліть, щоб записати відповідь — 1
• Знову запитуйте: в одиниці скільки міститься четвірок — анітрохи. Тоді зносимо до одиниці цифру "6"
• Вийшло 16 — скільки четвірок міститься в цьому числі? Правильно — 4. Записуємо «4» поруч із «6» у відповіді
• Під 16 записуємо 16, підкреслюємо та виходить «0», значить ми розділили правильно і відповідь вийшла «64»

Письмовий поділ на двозначне число

Коли дитина освоїв поділ на однозначне число, можна рухатися далі. Письмовий поділна двозначне числотрохи складніше, але якщо малюк зрозуміє, як виробляється ця дія, тоді йому не важко буде вирішувати такі приклади.

Важливо: Знову починайте пояснювати з простих дій. Дитина навчиться правильно підбирати цифри і буде легко ділити складні числа.

Виконайте разом таку просту дію: 184:23 — як треба пояснювати:

• Розділимо спочатку 184 на 20, виходить приблизно 8. Але ми не пишемо цифру 8 у відповідь, оскільки це пробна цифра
• Перевіряємо, чи підходить 8 чи ні. Множимо 8 на 23, виходить 184 - це саме те число, яке у нас стоїть у дільнику. Відповідь буде 8

Важливо: Щоб дитина зрозуміла, спробуйте замість вісімки взяти 9, нехай вона помножить 9 на 23, виходить 207 це більше, ніж у нас у дільнику. Цифра 9 нам не підходить.

Так поступово малюк зрозуміє поділ, і йому буде легко ділити складніші числа:

• Розділимо 768 на 24. Визначте першу цифру частки — ділимо 76 не на 24, а на 20, виходить 3. Записуємо 3 у відповідь під межею праворуч
• Під 76 записуємо 72 і проводимо лінію, записуємо різницю - вийшло 4. Ця цифра поділяється на 24? Ні - зносимо 8, виходить 48
• Цифра 48 поділяється на 24? Правильно – так. Виходить 2, записуємо цю цифру у відповідь
• Вийшло 32. Тепер можна перевірити — чи правильно ми виконали ділення поділу. Зробіть множення в стовпчик: 24х32, виходить 768, отже, все правильно

Якщо дитина навчилася виконувати поділ на двозначне число, тоді необхідно перейти до наступною темою. Алгоритм поділу на тризначне числотакий самий, як і алгоритм розподілу на двозначне число.

Наприклад:

• Розділимо 146 064 на 716. Беремо спочатку 146 - запитайте у дитини ділиться це число на 716 чи ні. Правильно — ні, тоді беремо 1460 року
• Скільки разів число 716 поміститься у числі 1460? Правильно - 2, значить пишемо цю цифру у відповіді
• Помножуємо 2 на 716, виходить 1432. Записуємо цю цифру під 1460. Виходить різниця 28, записуємо під межею
• Зносимо 6. Запитайте у дитини – 286 ділиться на 716? Правильно — ні, тому пишемо 0 у відповіді поруч із 2. Зносимо ще цифру 4
• Ділимо 2864 на 716. Беремо по 3 - мало, по 5 - багато, значить виходить 4. Помножуємо 4 на 716, виходить 2864
• Запишіть 2864 під 2864, виходить у різниці 0. Відповідь 204

Для перевірки правильності виконання поділу, помножте разом з дитиною в стовпчик - 204х716 = 146064. Розподіл виконано правильно.

Настав час дитині пояснити, що розподіл може бути не лише націло, а й із залишком. Залишок завжди менше дільникачи дорівнює йому.

Поділ із залишком слід пояснювати на простому прикладі: 35:8 = 4 (залишок 3):

• Скільки вісімок міститься у 35? Правильно - 4. Залишається 3
• Чи ділиться ця цифра на 8? Правильно – ні. Виходить, залишок 3

Після цього дитина повинна дізнатися, що можна продовжувати поділ, дописуючи 0 до цифри 3:

• У відповіді стоїть цифра 4. Після неї пишемо кому, тому що додавання нуля говорить про те, що число буде з дробом
• Вийшло 30. Ділимо 30 на 8, виходить 3. Записуємо у відповідь, а під 30 пишемо 24, підкреслюємо та пишемо 6
• Зносимо до цифри 6 цифру 0. Ділимо 60 на 8. Беремо по 7, виходить 56. Пишемо під 60 і записуємо різницю 4
• До цифри 4 дописуємо 0 і ділимо на 8, виходить 5 - записуємо у відповідь
• Віднімаємо 40 із 40, виходить 0. Отже, відповідь: 35:8=4,375

Порада: Якщо дитина щось не зрозуміла - не злиться. Нехай мине кілька днів і знову постарайтеся пояснити матеріал.

Уроки математики у школі також закріплюватимуть знання. Пройде часі малюк буде швидко і легко вирішувати будь-які приклади поділу.

Алгоритм поділу чисел полягає в наступному:

• Зробити прикидку числа, яке стоятиме у відповіді
• Знайти перше неповне ділене
• Визначити число цифр у приватному
• Знайти цифри у кожному розряді приватного
• Знайти залишок (якщо він є)

За таким алгоритмом виконується розподіл як на однозначні числа, так і на будь-яке багатозначне число(Двозначне, тризначне, чотиризначне і так далі).

Займаючись з дитиною, частіше їй задавайте приклади виконання прикидки. Він повинен швидко в думці підрахувати відповідь. Наприклад:

• 1428:42
• 2924:68
• 30296:56
• 136576:64
• 16514:718

Для закріплення результату можна використовувати такі ігри на поділ:

• «Головоломка». Напишіть на аркуші п'ять прикладів. Тільки один із них має бути з правильною відповіддю.

Умова для дитини: Серед кількох прикладів лише один вирішено правильно. Знайди його за хвилину.

Відео: Гра арифметика для дітей додавання віднімання розподіл множення

Відео: Розвиваючий мультфільм Математика Вивчення напам'ять таблиці множення та поділу на 2

У цій статті ми розберемо розподіл цілих чисел із залишком. Почнемо з загального принципуподілу цілих чисел із залишком, сформулюємо і доведемо теорему про ділимість цілих чисел із залишком, простежимо зв'язок між ділимим, дільником, неповним приватним і залишком. Далі озвучимо правила, якими проводиться розподіл цілих чисел із залишком, і розглянемо застосування цих правил під час вирішення прикладів. Після цього навчимося виконувати перевірку результату поділу цілих чисел із залишком.

Навігація на сторінці.

Загальне уявлення про поділ цілих чисел із залишком

Розподіл цілих чисел із залишком ми розглядатимемо як узагальнення поділу із залишком натуральних чисел. Це пов'язано з тим, що натуральні числа є складовоюцілих чисел.

Почнемо з термінів та позначень, які використовуються при описі.

За аналогією з поділом натуральних чиселз залишком вважатимемо, що результатом поділу із залишком двох цілих чисел a і b (b не дорівнює нулю) є два цілих числа c і ​​d. Числа a та b називаються ділимимі дільникомвідповідно, число d – залишкомвід розподілу a на b, а ціле число c називається неповним приватним(або просто приватним, якщо залишок дорівнює нулю).

Умовимося вважати, що залишок є ціле невід'ємне число , та його величина вбирається у b , тобто, (подібні ланцюжка нерівностей ми зустрічали, коли говорили порівняння трьох і більшої кількості цілих чисел).

Якщо число c є неповним приватним, а число d – залишком від поділу цілого числа a на ціле число b , цей факт ми коротко записуватимемо як рівність виду a:b=c (зуп. d) .

Зазначимо, що при розподілі цілого числа a на ціле число b залишок може дорівнювати нулю. У цьому випадку кажуть, що a ділиться на b без залишку(або націло). Таким чином, розподіл цілих чисел без залишку є окремим випадком розподілу цілих чисел із залишком.

Також варто сказати, що при розподілі нуля на деяке ціле число ми завжди маємо справу з розподілом без залишку, тому що в цьому випадку приватна буде дорівнює нулю (дивіться розділ теорії розподіл нуля на ціле число), і залишок також буде дорівнює нулю.

З термінологією та позначеннями визначилися, тепер розберемося зі змістом поділу цілих чисел із залишком.

Поділу цілого негативного числа a на ціле додатне число b також можна надати сенсу. Для цього розглянемо ціле негативне число як борг. Уявімо таку ситуацію. Борг, який складає предметів, повинні погасити b людина, зробивши однаковий внесок. Абсолютна величинанеповного приватного c у разі визначатиме величину боргу кожного з цих людей, а залишок d покаже, скільки предметів залишиться після сплати боргу. Наведемо приклад. Допустимо 2 особи повинні 7 яблук. Якщо вважати, що кожен із них має по 4 яблука, то після сплати боргу у них залишиться 1 яблуко. Цій ситуації відповідає рівність (−7):2=−4 (зуп. 1).

Поділу із залишком довільного цілого числа a на ціле від'ємне числоми не надаватимемо жодного сенсу, але залишимо за ним право на існування.

Теорема про подільність цілих чисел із залишком

Коли ми говорили про поділ натуральних чисел із залишком, то з'ясували, що ділене a, дільник b, неповне приватне c і залишок d пов'язані між собою рівністю a = b · c + d. Для цілих чисел a, b, c і d характерний такий самий зв'язок. Цей зв'язок затверджується наступним теореми про ділимість із залишком.

Теорема.

Будь-яке ціле число a можна уявити єдиним чином через ціле і відмінне від нуля число b як a=b·q+r , де q і r – деякі цілі числа, причому .

Доведення.

Спочатку доведемо можливість подання a = b · q + r.

Якщо цілі числа і b такі, що a ділиться на націло, то за визначенням існує таке ціле число q, що a = b · q. І тут має місце рівність a=b·q+r при r=0 .

Тепер вважатимемо, що b – ціле позитивне число. Виберемо ціле число q таким чином, щоб добуток bq не перевищував числа a , а добуток b(q+1) було вже більше, ніж a . Тобто, візьмемо q таким, щоб виконувались нерівності b q

Залишилося довести можливість подання a = b · q + r для негативних b .

Оскільки модуль числа b у разі є позитивним числом, то має місце уявлення , де q 1 – деяке ціле число, а r – ціле число, задовольняє умовам . Тоді, прийнявши q=−q 1 , отримуємо потрібне уявлення a=b·q+r для негативних b .

Переходимо до підтвердження єдиності.

Припустимо, що крім уявлення a=b·q+r , q і r – цілі числа і існує ще одне уявлення a=b·q 1 +r 1 , де q 1 і r 1 – деякі цілі числа, причому q 1 ≠ q та .

Після віднімання з лівої та правої частини першої рівності відповідно лівої та правої частини другої рівності, отримуємо 0=b·(q−q 1)+r−r 1 , яка рівносильна рівності r−r 1 =b·(q 1 −q) . Тоді має бути справедлива і рівність виду , а з властивостей модуля числа - і рівність .

З умов і можна дійти невтішного висновку, что . Оскільки q і q 1 – цілі та q≠q 1 , то , звідки укладаємо, що . З отриманих нерівностей та слід, що рівність виду неможливо за нашого припущення. Тому, немає іншого уявлення числа a , крім a=b·q+r .

Зв'язки між ділим, дільником, неповним приватним та залишком

Рівність a=b·c+d дозволяє знаходити невідоме ділене a якщо відомі дільник b , неповне приватне c і залишок d . Розглянемо приклад.

приклад.

Чому одно ділене, якщо його розподілі на ціле число −21 вийшло неповне приватне 5 і залишок 12 ?

Рішення.

Нам потрібно обчислити ділене a коли відомий дільник b = -21 , неповне приватне c = 5 і залишок d = 12 . Звернувшись до рівності a=b·c+d отримуємо a=(−21)·5+12 . Дотримуючись спочатку проводимо множення цілих чисел −21 і 5 за правилом множення цілих чисел з різними знаками , після чого виконуємо складання цілих чисел з різними знаками : (−21)·5+12=−105+12=−93 .

Відповідь:

−93 .

Зв'язки між ділимим, дільником, неповним приватним і залишком також виражаються рівностями виду b=(a−d):c , c=(a−d):b та d=a−b·c . Ці рівності дозволяють обчислювати дільник, неповне приватне та залишок відповідно. Нам часто доведеться знаходити залишок від поділу цілого числа a на ціле число b, коли відомі поділення, дільник і неповне приватне, використовуючи формулу d = a-b · c. Щоб надалі не виникало питань, розберемо приклад обчислення решти.

приклад.

Знайдіть залишок від поділу цілого числа −19 на ціле число 3 якщо відомо, що неповне приватне дорівнює −7 .

Рішення.

Для обчислення залишку від розподілу скористаємося формулою виду d=a−b·c. З умови маємо всі необхідні дані a = -19, b = 3, c = -7. Отримуємо d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (різниця −19−(−21) ми обчислювали за правилом віднімання цілого негативного числа ).

Відповідь:

Поділ із залишком цілих позитивних чисел, приклади

Як ми вже не раз зазначали, цілі позитивні числа є натуральними числами. Тому розподіл із залишком цілих позитивних чисел проводиться за всіма правилами розподілу із залишком натуральних чисел. Дуже важливо вміти з легкістю виконувати розподіл із залишком натуральних чисел, оскільки саме воно лежить в основі поділу не тільки цілих позитивних чисел, але й в основі всіх правил поділу із залишком довільних цілих чисел.

На наш погляд найбільш зручно виконувати поділ стовпчиком, цей спосіб дозволяє отримати і неповне приватне (або просто приватне) і залишок. Розглянемо приклад поділу із залишком цілих позитивних чисел.

приклад.

Виконайте поділ із залишком числа 14 671 на 54 .

Рішення.

Виконаємо поділ даних цілих позитивних чисел стовпчиком:

Неповне приватне вийшло рівним 271 , а залишок дорівнює 37 .

Відповідь:

14 671:54 = 271 (зуп. 37) .

Правило поділу із залишком цілого позитивного числа на ціле негативне, приклади

Сформулюємо правило, що дозволяє виконувати поділ із залишком цілого позитивного числа на негативне число.

Неповне приватне від розподілу цілого позитивного числа a на ціле негативне число b являє собою число, протилежне неповному приватному від розподілу a на модуль числа b, а залишок від розподілу a на b дорівнює залишку від розподілу на .

З цього правила випливає, що неповне окреме від поділу цілого позитивного числа на ціле негативне число є цілим непозитивним числом.

Переробимо озвучене правило алгоритм ділення з залишком цілого позитивного числа на ціле негативне:

• Ділимо модуль діленого на модуль дільника, отримуємо неповне приватне та залишок. (Якщо при цьому залишок вийшов рівним нулю, то вихідні числа діляться без залишку, і за правилом поділу цілих чисел з протилежними знаками шукане приватне дорівнює числу, протилежному приватному від поділу модулів.)
• Записуємо число, протилежне отриманому неповному приватному, та залишок. Ці числа є відповідним шуканим приватним і залишком від поділу вихідного цілого позитивного числа на ціле негативне.

Наведемо приклад використання алгоритму поділу цілого позитивного числа на негативне.

приклад.

Виконайте поділ із залишком цілого позитивного числа 17 на ціле від'ємне число −5 .

Рішення.

Скористаємося алгоритмом поділу із залишком цілого позитивного числа на ціле негативне.

Розділивши

Число, протилежне числу 3 - це -3. Таким чином, шукане неповне приватне від розподілу 17 на -5 дорівнює -3, а залишок дорівнює 2 .

Відповідь:

17 :(−5)=−3 (зуп. 2).

приклад.

Розділіть 45 на −15 .

Рішення.

Модулі діленого та дільника дорівнюють 45 і 15 відповідно. Число 45 ділиться на 15 без залишку, приватна при цьому дорівнює 3 . Отже, ціле позитивне число 45 ділиться на ціле негативне число −15 без залишку, приватне при цьому дорівнює числу, протилежному 3 тобто −3 . Справді, за правилом поділу цілих чисел із різними знаками маємо .

Відповідь:

45:(−15)=−3 .

Поділ із залишком цілого негативного числа на ціле позитивне, приклади

Дамо формулювання правила поділу із залишком цілого негативного числа на ціле позитивне.

Щоб отримати неповне приватне c від розподілу цілого негативного числа a на ціле позитивне число b потрібно взяти число, протилежне неповному приватному від розподілу модулів вихідних чисел і відняти з нього одиницю, після чого залишок d обчислити за формулою d=a-b·c.

З цього правила поділу із залишком випливає, що неповне приватне від поділу цілого негативного на ціле позитивне число є цілим негативним числом.

З озвученого правила випливає алгоритм розподілу із залишком цілого негативного числа a на ціле позитивне b:

• Знаходимо модулі діленого та дільника.
• Ділимо модуль діленого на модуль дільника, отримуємо неповне приватне та залишок. (Якщо залишок дорівнює нулю, то вихідні цілі числа діляться без залишку, і шукане приватне дорівнює числу, протилежному приватному від поділу модулів.)
• Записуємо число, протилежне отриманому неповному приватному та віднімаємо з нього число 1 . Обчислене число є неповним шуканим приватним c від поділу вихідного цілого негативного числа на ціле позитивне.

Розберемо рішення прикладу, у якому скористаємося записаним алгоритмом поділу із залишком.

приклад.

Знайдіть неповне приватне і залишок від поділу цілого від'ємного числа −17 на ціле позитивне число 5 .

Рішення.

Модуль діленого −17 дорівнює 17 а модуль дільника 5 дорівнює 5 .

Розділивши 17 на 5 , отримуємо неповне приватне 3 та залишок 2 .

Число, протилежне 3 є −3 . Віднімаємо з −3 одиницю: −3−1=−4 . Отже, неповне приватне, що шукається, дорівнює −4 .

Залишилося обчислити решту. У нашому прикладі a=−17 , b=5 , c=−4 , тоді d=a−b·c=−17−5·(−4)= −17−(−20)=−17+20=3 .

Таким чином, неповне приватне від поділу цілого негативного числа -17 на ціле позитивне число 5 дорівнює -4, а залишок дорівнює 3 .

Відповідь:

(-17): 5 = -4 (зуп. 3) .

приклад.

Розділіть ціле від'ємне число −1 404 на ціле позитивне число 26 .

Рішення.

Модуль діленого дорівнює 1404 , модуль дільника дорівнює 26 .

Розділимо 1404 на 26 стовпчиком:

Так як модуль поділеного розділився на модуль дільника без залишку, то вихідні цілі числа діляться без залишку, причому шукане приватне дорівнює числу, протилежному 54 тобто −54 .

Відповідь:

(−1 404):26=−54 .

Правило поділу із залишком цілих негативних чисел, приклади

Сформулюємо правило поділу із залишком цілих негативних чисел.

Щоб отримати неповне приватне c від поділу цілого від'ємного числа a на ціле від'ємне число b потрібно обчислити неповне приватне від поділу модулів вихідних чисел і додати до нього одиницю, після цього залишок d обчислити за формулою d=a-b·c .

З цього правила випливає, що неповна частка від поділу цілих негативних чисел є цілим позитивним числом.

Перепишемо озвучене правило як алгоритму поділу цілих негативних чисел:

• Знаходимо модулі діленого та дільника.
• Ділимо модуль діленого на модуль дільника, отримуємо неповне приватне та залишок. (Якщо залишок дорівнює нулю, то вихідні цілі числа діляться без залишку, і шукане приватне дорівнює частці від ділення модуля поділеного на модуль дільника.)
• До отриманого неповного приватного додаємо одиницю, це число є шукане неповне приватне від поділу вихідних цілих негативних чисел.
• Обчислюємо залишок за формулою d=a−b·c.

Розглянемо застосування алгоритму поділу цілих негативних чисел під час вирішення прикладу.

приклад.

Знайдіть неповне приватне і залишок від поділу цілого від'ємного числа −17 на ціле від'ємне число −5 .

Рішення.

Скористаємося відповідним алгоритмом поділу із залишком.

Модуль діленого дорівнює 17 модуль дільника дорівнює 5 .

Поділ 17 на 5 дає неповне приватне 3 та залишок 2 .

До неповного приватного 3 додаємо одиницю: 3+1=4 . Отже, шукане неповне приватне від розподілу −17 на −5 дорівнює 4 .

Залишилося обчислити решту. У цьому прикладі a=−17 , b=−5 , c=4 , тоді d=a−b·c=−17−(−5)·4= −17−(−20)=−17+20=3 .

Отже, неповне приватне від поділу цілого негативного числа −17 на ціле негативне число −5 дорівнює 4 а залишок дорівнює 3 .

Відповідь:

(-17): (-5) = 4 (зуп. 3) .

Перевірка результату поділу цілих чисел із залишком

Після того, як виконано поділ цілих чисел із залишком, корисно виконати перевірку отриманого результату. Перевірка проводиться у два етапи. У першому етапі перевіряється, чи є залишок d неотрицательным числом, і навіть перевіряється виконання умови . Якщо всі умови першого етапу перевірки виконані, то можна приступати до другого етапу перевірки, інакше можна стверджувати, що при розподілі із залишком десь була допущена помилка. З другого краю етапі перевіряється справедливість рівності a=b·c+d . Якщо це рівність справедливо, то розподіл із залишком було проведено правильно, інакше – десь було допущено помилку.

Розглянемо рішення прикладів, у яких виконується перевірка результату поділу цілих чисел із залишком.

приклад.

При розподілі числа −521 на −12 було отримано неповне приватне 44 та залишок 7 , виконайте перевірку результату.

Рішення. −2 при b=−3, c=7, d=1. Маємо b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. Отже, рівність a=b·c+d – неправильне (у прикладі a=−19 ).

Отже, розподіл із залишком було проведено неправильно.

Розглянемо простий приклад:
15:5=3
У цьому прикладі натуральне число 15 ми поділили націлона 3, без залишку.

Іноді натуральну кількість повністю поділити не можна націло. Наприклад, розглянемо завдання:
У шафі лежало 16 іграшок. У групі було п'ятеро дітей. Кожна дитина взяла однакову кількість іграшок. Скільки іграшок у кожної дитини?

Рішення:
Поділимо число 16 на 5 стовпчиком отримаємо:

Ми знаємо, що 16 на 5 не ділитися. Найближча менша кількість, яка ділиться на 5 це 15 і 1 в залишку. Число 15 ми можемо розписати як 5⋅3. Через війну (16 – ділене, 5 – дільник, 3 – неповне приватне, 1 – залишок). Отримали формулу поділу із залишком,за якою можна зробити перевірку рішення.

a= b⋅ c+ d
a - ділене,
b - дільник,
c - Неповне приватне,
d - Залишок.

Відповідь: кожна дитина візьме по 3 іграшки та одна іграшка залишиться.

Остача від ділення

Залишок завжди повинен бути меншим за дільник.

Якщо при розподілі залишок дорівнює нулю, це означає, що ділене ділитися націлоабо без залишку на дільник.

Якщо при розподілі залишок більший за дільник, це означає, що знайдене число не найбільше. Існує число більше, яке поділить поділене і залишок буде меншим за дільник.

Питання по темі "Поділ із залишком":
Залишок може бути більшим за дільник?
Відповідь: ні.

Залишок може дорівнювати дільнику?
Відповідь: ні.

Як знайти ділене по неповному приватному, дільнику та залишку?
Відповідь: значення неповного приватного, дільника та залишку підставляємо у формулу та знаходимо ділене. Формула:
a=b⋅c+d

Приклад №1:
Виконайте поділ із залишком і перевірте: а) 258:7 б) 1873:8

Рішення:
а) Ділим стовпчиком:

258 – ділене,
7 – дільник,
36 - неповне приватне,
6 – залишок. Залишок менший від дільника 6<7.

7⋅36+6=252+6=258

б) Ділим стовпчиком:

1873 – ділене,
8 – дільник,
234 - неповне приватне,
1 – залишок. Залишок менший від дільника 1<8.

Підставимо у формулу і перевіримо, чи правильно ми вирішили приклад:
8⋅234+1=1872+1=1873

Приклад №2:
Які залишки виходять при розподілі натуральних чисел: а) 3 б)8?

Відповідь:
а) Залишок менше дільника, отже, менше 3. У нашому випадку залишок може дорівнювати 0, 1 або 2.
б) Залишок менше дільника, отже, менше 8. У нашому випадку залишок може дорівнювати 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 або 7.

Приклад №3:
Який найбільший залишок може вийти при розподілі натуральних чисел: а) 9; б) 15?

Відповідь:
а) Залишок менший від дільника, отже, менший за 9. Але нам треба вказати найбільший залишок. Тобто найближче число до дільника. Це число 8.
б) Залишок менший від дільника, отже, менший за 15. Але нам треба вказати найбільший залишок. Тобто найближче число до дільника. Це число є 14.

Приклад №4:
Знайдіть ділене: а) а: 6 = 3 (зуп.4) б) з: 24 = 4 (зуст.11)

Рішення:
а) Вирішимо за допомогою формули:
a=b⋅c+d
(a – ділене, b – дільник, c – неповне приватне, d – залишок.)
а: 6 = 3 (зуп.4)
(a – ділене, 6 – дільник, 3 – неповне приватне, 4 – залишок.) Підставимо цифри у формулу:
а=6⋅3+4=22
Відповідь: а = 22

б) Вирішимо за допомогою формули:
a=b⋅c+d
(a – ділене, b – дільник, c – неповне приватне, d – залишок.)
з: 24 = 4 (зуп.11)
(с – ділене, 24 – дільник, 4 – неповне приватне, 11 – залишок.) Підставимо цифри у формулу:
с=24⋅4+11=107
Відповідь: с=107

Завдання:

Дріт 4м. потрібно розрізати на шматки по 13см. Скільки таких шматків вийде?

Рішення:
Спершу треба метри перевести в сантиметри.
4м. = 400см.
Можна поділити стовпчиком або в умі отримаємо:
400: 13 = 30 (зуп.10)
Перевіримо:
13⋅30+10=390+10=400

Відповідь: 30 шматків вийде і 10 см. дроту залишиться.

Наприклад 40:6 = 6 (4)

У цьому прикладі

ділене -40, число, що стоїть перед знаком розподілу,

6-ділитель, число, що стоїть після знака поділу або на яке ділимо поділення.

6-приватне, те, що виходить в результаті розподілу

4-залишок, число, що залишається при розподілі

У прикладі:

20 - це ділене (те, що ділиться),

10 - це дільник (те, що ділить),

2 - це приватне (те, що з множенні на дільник утворює поділене).

Візьмемо інший приклад:

17: 3 = 5 (2), де

17 - ділене,

3 - дільник,

5 - неповне приватне,

2 – залишок.

При цьому цікаво, що залишок завжди менший, ніж неповна приватна.

Для того щоб не плутатися у визначенні величин з якими доводиться мати справу в процесі розподілу, люди давно придумали для них відповідні назви. Насамперед саме число. яке ділять стали називати ділимим, адже це число ділиться на частини, воно буквально ділене. Наприклад, урожай плодів.

Число, яке показує на скільки частин ми поділимо ділимо стали називати дільник. Його завдання поділити число на кілька груп, щоб усім вистачило порівну.

Результат поділу назвали Приватним – це число показує скільки одиниць виявляється у кожній групі, купці плодів, після того як розділили весь урожай.

Нарешті залишок - це ціле число плодів, яке неможливо поділити між усіма порівну.

Зібрали 51 яблуко. Це ділене.

Вирішили поділити між татом, мамою, донькою та сином порівну, тобто на чотирьох. Це дільник.

Поділили та отримали що кожному належить 12 яблук – це приватне.

А три яблука не можна поділити на чотирьох і це залишок.

51: 4 = 12 (залишок 3).

Ділене - це число, яке ділитимемо.

Дільник - це число, наяке ділитимемо

Приватне - це число, що утворюється під час поділу

Залишок - це число, яке залишається при розподілі (при цьому приватне буде неповним)

Наприклад

Тут 30 – ділене, 4 – дільник, 7 – приватне, 2 – залишок

Пояснити, що таке ділене, дільник, приватне та залишок - реально легше на різних прикладах.



Ось найпростіший варіант, тут все ділиться без залишку.



Або такий ще приклад.



Нічого складного як бачимо ні, це діти вивчають ще початкових класах під час уроків математики.



Відразу ж наведемо приклад (можна навіть кілька прикладів):

2). 21: 5 = 4,2 або 4 і 1 у залишку.

Ділене - це число, яке ми ділимо (у наших прикладах ділимо 18 і 21).

Дільник - це те число, на яке ми ділимо ділене (дільниками в прикладах є 9 і 5).

Частка - це результат поділу (приватне в першому прикладі 2, а в другому прикладі 4,2).

У першому випадку ділене ділиться без залишку, а у другому у нас є залишок – 1.

З поняття ділене, дільник, приватне та залишок, починають вивчати поділ у середній школі. Так що це просто необхідно щодо математики. І так ділене це число, яке піддають поділу. Дільник, це число на яке ділять, а відповідно приватне це і є результатом поділу. Але так буває коли ділене число не ділиться націло. Ось і утворене в процесі розподілу число, яке менше дільника і яке не можна розділити націло і називається залишок.

А приклад можна навести наступний.

наприклад.

34: 5 = 6 (залишок 4)

В даному випадку 34 - ділене

5 – дільник.

6 - приватне відділення

4 – залишок.

ділене дільник приватне залишок

Все це частини математичної дії поділу.

Спробую простим мовам, як пояснювали мені.. років тридцять тому..)

Подільне- це число, що стоїть ліворуч від знака поділу, яке ділимо (дробимо)

Дільник- це число, що стоїть праворуч від знака поділу, число на яке ділимо ділимо (якими частинами ділимо, дробимо)

Приватне- це число, що стоїть після знака, одно, результат поділу (числовий вираз кількості цілих частин - дільників у ділимому)

Неповне приватне- це число, що стоїть після знака, дорівнює, результат поділу при якому залишив зайве число яке менше Дільника. Неповна приватна це кількість цілих частин. Завжди пишеться із числом Залишку.

Залишок- це число, що залишилося не ділимим, яке менше Дільника.

А тепер на прикладах -

10: 5 = 2

У цьому прикладі 10 - ділимо, 5 - дільник, 2 - приватне.

13: 5 = 2 (3)

У цьому прикладі 13 - ділимо, 5 - дільник, 2 - неповне Приватне, 3 - Залишок (як правило пишеться в дужках поруч з неповним приватним).

Дані поняття арифметики найлегше розглянути на прикладі.

Приклад: 17: 8 = 2 (залишок – 1).

У цьому прикладі 17 – ділене (число, яке ділять), 8 – дільник (те, на що ми ділимо), 2 – залишок (те, що отримуємо при розподілі), 1 – залишок.

Усі наведені у питанні поняття безпосередньо відносяться до поділу в математиці.

Отже, почнемо з поділеного - під ним мається на увазі те число, яке буде ділитися;

Дільник вже має на увазі під собою те число, на яке буде ділитися ділене.

Приватне є результат, отриманий від поділу.

Залишок є числом, що залишається при розподілі в результаті у нас буде неповне приватне.

Ось приклад:

Ціль:Формування умінь і навичок при розподілі із залишком, знаходження ділимого по неповному приватному та залишку від розподілу, застосування знань під час вирішення завдань.

Завдання:

• Навчити виконувати поділ із залишком;
• Навчити знаходити ділене по неповному приватному та залишку від поділу;
• Навчити застосовувати отримані знання та вміння до вирішення завдань;
• Продовжити формування грамотної математичної мови;
• Пробудити інтерес та активність до самоаналізу та контролю.

Тип уроку: Урок закріплення отриманих знань із застосуванням ІКТ.

Метод навчання: Метод засвоєння знань, заснований на пізнавальній активності репродуктивного характеру.

Структура уроку:

1. Організаційний момент (2 хв.)
2. Введення в урок. Повідомлення про тему, форму проведення даного уроку та його завдання (3 хв.)
3. Усна робота (Додаток 1) (5-7 хв.)
4. Мотивація та актуалізація опорного матеріалу за допомогою вирішення усного завдання (5 хв.)
5. Первинне закріплення, розв'язання задач. (10-14 хв.)
6. Перевірка засвоєння матеріалу (5-7 хв.)
7. Завдання додому (2 хв.)
8. Підбиття підсумків уроку за допомогою навідних питань та вирішення усних завдань (5 хв.)

Хід уроку

1. Зібрати зошити з домашньою роботою. Зібрати готові проекти “Старовинні способи множення та поділу”.

2. Показ презентації.Повідомлення про тему, мету уроку, про завдання уроку, девіз уроку. Девіз уроку: “Поділ нам служить на ділі;

• Воно нам допоможе завжди.
• Хто порівну проблеми ділить,
• Розділить успіхи праці”

3. Усна робота.

Усний рахунок - формування обчислювальних навичок у учнів (Додаток 1). Презентація взята з сайту "Кишеня для математика"

2*17+33	5+5*12
3500:100+400	48-12:3
200-20*5	13*8-34:2
6*15-15*5	6*4-4:2
68:17+17*2

Зібрана картинка – ключ успіху у обчисленнях.

Усна робота з повторення теоретичних аспектів теми "Поділ із залишком"

Назвіть, які можливі залишки при розподілі із залишком на 8?

Що означає, якщо залишок більший за дільник?

Що означає, якщо залишок від розподілу нуль?

4. Мотивація та актуалізація нового матеріалу.

Завдання. У гості до бабусі прийшли 4 онуки. Бабуся вирішила почастувати онуків цукерками. У вазі 23 цукерки. Скільки цукерок дістанеться кожному онукові, якщо бабуся запропонує поділити цукерки порівну?

Рішення: 23:4 = 5 (3 зуп.)

Запитання до учнів:

• Скільки цукерок лишилося?
• Чи можна придумати обернену задачу, в якій головне питання “Скільки цукерок у вазі?”?
• Назвати всі компоненти у цьому виразі. Що означає цей вираз?

Ділиме -> неповне приватне -> дільник -> залишок

• Записати правило знаходження поділеного по неповному приватному та залишку від поділу.

5. Первинне закріплення та вирішення завдань.

Виконати поділ із залишком зробити перевірку: 882:40

1. 1586:15
2. 1332:64
3. 9763:30

Робота з підручником: № 536 усно; № 537 усно; № 538 усно; №518

6. Перевірка засвоєння матеріалу – перфокарта.

Завдання	Відповідь на питання
Чому дорівнює залишок від 57:8?	10	1	3
Чому дорівнює залишок від 90:8?	2	11	1
Вкажіть залишок 1213:12	101	12	1
Вкажіть неповне приватне 1213:12	101	11	1
Вибрати можливий залишок від поділу на 6	5	7	10
Вибрати можливий залишок від поділу на 3	3	2	5
Дільник 8, неповне приватне 11, залишок 3. Чому одно ділене?	35	41	91
Дільник 7, неповне приватне 9, залишок 6. Чому одно ділене?	69	61	51

Перевірити виконання завдань перфокарт.

Виставити позначки:

• 8 правильно виконаних завдань – “5”
• 6-7 правильно виконаних завдань - "4"
• 5-4 правильно виконаних завдань – “3”

Менше 4 правильно виконаних завдань – “2”

Звернути увагу дітей на аналіз допущених помилок.

7. Домашнє завдання:№ 540, 541, робота над проектом, правило.

8. Підбиття підсумків урокупобудувати за допомогою відповідей на такі питання:

• Невідоме число поділили на 7, вийшло 7 і у залишку 2. Знайдіть це число. (51) Як визначити це число?
• Мама зварила варення 17 літрів. Скільки дволітрових банок їй потрібно взяти, щоб розлити варення? (9 банок)