Як розв'язувати рівняння методом крамера. Метод крамера: розв'язуємо системи лінійних рівнянь алгебри (слау)

2. Вирішення систем рівнянь матричним методом (за допомогою зворотної матриці).
3. Метод Гауса вирішення систем рівнянь.

Метод Крамер.

Метод Крамера застосовується для вирішення лінійних систем алгебраїчних рівнянь (СЛАУ).

Формули з прикладу системи із двох рівнянь із двома змінними.
Дано:Вирішити методом Крамера систему

Щодо змінних хі у.
Рішення:
Знайдемо визначник матриці, складений із коефіцієнтів системи Обчислення визначників. :

Застосуємо формули Крамера та знайдемо значення змінних:
і .
Приклад 1:
Розв'язати систему рівнянь:

щодо змінних хі у.
Рішення:


Замінимо в цьому визначнику перший стовпець стовпцем коефіцієнтів з правої частини системи та знайдемо його значення:

Зробимо аналогічну дію, замінивши в першому визначнику другий стовпець:

Застосуємо формули Крамераі знайдемо значення змінних:
та .
Відповідь:
Примітка:Цим методом можна вирішувати системи та більшої розмірності.

Примітка:Якщо виходить, що , а ділити на нуль не можна, то кажуть, що система не має єдиного рішення. У цьому випадку система має чи нескінченно багато рішень або не має рішень взагалі.

Приклад 2(Безкінечна кількість рішень):

Розв'язати систему рівнянь:

щодо змінних хі у.
Рішення:
Знайдемо визначник матриці, складений із коефіцієнтів системи:

Рішення систем шляхом підстановки.

Перше з рівнянь системи - рівність, правильна при будь-яких значеннях змінних (бо 4 завжди одно 4). Отже, залишається лише одне рівняння. Це рівняння зв'язку між змінними.
Отримали рішенням системи є будь-які пари значень змінних, пов'язаних між собою рівністю .
Загальне рішення запишеться так:
Приватні рішення можна визначати вибираючи довільне значення і обчислюючи х за цією рівності зв'язку.

і т.д.
Таких рішень дуже багато.
Відповідь: спільне рішення
Приватні рішення:

Приклад 3(Рішень немає, система несумісна):

Розв'язати систему рівнянь:

Рішення:
Знайдемо визначник матриці, складений із коефіцієнтів системи:

Застосовувати формули Крамера не можна. Вирішимо цю систему методом підстановки

Друге рівняння системи - рівність, неправильне ні при яких значеннях змінних (звичайно ж, оскільки -15 не дорівнює 2). Якщо одне з рівнянь системи не вірно ні за яких змінних змін, то і вся системи не має рішень.
Відповідь:рішень немає

У першій частині ми розглянули трохи теоретичного матеріалу, метод підстановки, і навіть метод почленного складання рівнянь системи. Всім, хто зайшов на сайт через цю сторінку, рекомендую ознайомитися з першою частиною. Можливо, деяким відвідувачам здасться матеріал надто простим, але під час вирішення систем лінійних рівнянья зробив ряд дуже важливих зауваженьта висновків, що стосуються рішення математичних завданьв цілому.

Нині ж ми розберемо правило Крамера, і навіть рішення системи лінійних рівнянь з допомогою зворотної матриці(Матричний метод). Всі матеріали викладені просто, докладно і зрозуміло, практично всі читачі зможуть навчитися вирішувати системи вищезазначеними способами.

Спочатку ми докладно розглянемо правило Крамера для системи двох лінійних рівнянь із двома невідомими. Навіщо? – Адже найпростішу системуможна вирішити шкільним методом, методом почленного складання!

Справа в тому, що нехай іноді, але трапляється таке завдання – вирішити систему двох лінійних рівнянь із двома невідомими за формулами Крамера. По-друге, простіший приклад допоможе зрозуміти, як використовувати правило Крамера для більш складного випадку– системи трьох рівнянь із трьома невідомими.

Крім того, існують системи лінійних рівнянь із двома змінними, які доцільно вирішувати саме за правилом Крамера!

Розглянемо систему рівнянь

На першому кроці обчислимо визначник, його називають головним визначником системи.

метод Гауса.

Якщо , то система має єдине рішення, і для знаходження коріння ми повинні обчислити ще два визначники:
і

На практиці вищезазначені визначники також можуть позначатися латинською літерою.

Коріння рівняння знаходимо за формулами:
,

Приклад 7

Розв'язати систему лінійних рівнянь

Рішення: Ми бачимо, що коефіцієнти рівняння досить великі, у правій частині присутні десяткові дробиз комою. Кома – досить рідкісний гість у практичних завданняхз математики, цю систему я взяв із економетричної задачі.

Як вирішити таку систему? Можна спробувати висловити одну змінну через іншу, але в цьому випадку напевно вийдуть страшні накручені дроби, з якими вкрай незручно працювати, та й оформлення рішення виглядатиме просто жахливо. Можна помножити друге рівняння на 6 і провести почленное віднімання, але й тут виникнуть ті самі дроби.

Що робити? У таких випадках і приходять на допомогу формули Крамера.

;

;

Відповідь: ,

Обидва корені мають нескінченні хвости, і знайдені приблизно, що цілком прийнятно (і навіть буденно) для завдань економетрики.

Коментарі тут не потрібні, оскільки завдання вирішується за готовими формулами, однак є один нюанс. Коли використовуєте цей метод, обов'язковимфрагментом оформлення завдання є наступний фрагмент: «Отже, система має єдине рішення». А якщо ні, то рецензент може Вас покарати за неповагу до теореми Крамера.

Зовсім не зайвою буде перевірка, яку зручно провести на калькуляторі: підставляємо наближені значення у ліву частину кожного рівняння системи. В результаті з невеликою похибкою повинні вийти числа, що знаходяться у правих частинах.

Приклад 8

Відповідь уявити у звичайних неправильних дробах. Зробити перевірку.

Це приклад для самостійного рішення(Приклад чистового оформлення та відповідь наприкінці уроку).

Переходимо до розгляду правила Крамера для системи трьох рівнянь із трьома невідомими:

Знаходимо головний визначник системи:

Якщо , то система має безліч рішень або несумісна (не має рішень). В цьому випадку правило Крамера не допоможе, потрібно використовувати метод Гауса.

Якщо , то система має єдине рішення і для знаходження коріння ми повинні обчислити ще три визначники:
, ,

І, нарешті, відповідь розраховується за формулами:

Як бачите, випадок «три на три» принципово нічим не відрізняється від випадку «два на два», стовпець вільних членів послідовно «прогулюється» зліва направо стовпцями головного визначника.

Приклад 9

Вирішити систему за формулами Крамера.

Рішення: Вирішимо систему за формулами Крамера

Отже, система має єдине рішення.

Відповідь: .

Власне, тут знову коментувати особливо нічого, зважаючи на те, що рішення проходить за готовими формулами. Але є кілька зауважень.

Буває так, що в результаті обчислень виходять погані нескоротні дроби, наприклад: .
Я рекомендую наступний алгоритм лікування. Якщо під рукою немає комп'ютера, робимо так:

1) Можливо, допущено помилку у обчисленнях. Як тільки Ви зіткнулися з «поганим» дробом, відразу необхідно перевірити, чи правильно переписано умову. Якщо умова переписана без помилок, потрібно перерахувати визначники, використовуючи розкладання по іншому рядку (стовпцю).

2) Якщо в результаті перевірки помилок не виявлено, то найімовірніше, допущено друкарську помилку в умови завдання. У цьому випадку спокійно та уважно вирішуємо завдання до кінця, а потім обов'язково робимо перевіркута оформляємо її на чистовику після рішення. Звичайно, перевірка дробової відповіді – заняття неприємне, але зате буде аргумент для викладача, який ну дуже любить ставити мінус за всяку бяку начебто. Як керуватися дробами, детально розписано у відповіді для Прикладу 8.

Якщо під рукою є комп'ютер, то для перевірки використовуйте автоматизовану програму, яку можна безкоштовно завантажити на початку уроку. До речі, найвигідніше відразу скористатися програмою (ще до початку рішення), Ви відразу бачитимете проміжний крок, на якому припустилися помилки! Цей же калькулятор автоматично розраховує рішення системи матричним методом.

Зауваження друге. Іноді зустрічаються системи у рівняннях яких відсутні деякі змінні, наприклад:

Тут у першому рівнянні відсутня змінна, у другому – змінна. У таких випадках дуже важливо правильно та УВАЖНО записати головний визначник:
– на місці відсутніх змінних ставляться нулі.
До речі визначники з нулями раціонально розкривати по тому рядку (стовпцю), в якому знаходиться нуль, тому що обчислень виходить помітно менше.

Приклад 10

Вирішити систему за формулами Крамера.

Це приклад самостійного рішення (зразок чистового оформлення і у кінці уроку).

Для випадку системи 4 рівнянь із 4 невідомими формули Крамера записуються за аналогічними принципами. Живий приклад можна побачити на уроці Властивості визначника. Зниження порядку визначника – п'ять визначників 4-го порядку цілком вирішальні. Хоча завдання вже дуже нагадує черевики професора на грудях у студента-щасливчика.

Рішення системи за допомогою зворотної матриці

Метод зворотної матриці - це, по суті, окремий випадок матричного рівняння(Див. Приклад №3 зазначеного уроку).

Для вивчення даного параграфа необхідно вміти розкривати визначники, знаходити зворотну матрицю та виконувати матричне множення. Відповідні посилання будуть надані по ходу пояснень.

Приклад 11

Вирішити систему з матричним методом

Рішення: Запишемо систему в матричній формі:
, де

Будь ласка, подивіться на систему рівнянь та на матриці. За яким принципом записуємо елементи в матриці, гадаю, всім зрозуміло. Єдиний коментар: якби в рівняннях були відсутні деякі змінні, то на відповідних місцях у матриці потрібно було б поставити нулі.

Зворотну матрицю знайдемо за такою формулою:
де - транспонована матриця алгебраїчних доповнень відповідних елементів матриці .

Спочатку знаємося з визначником:

Тут визначник розкритий по першому рядку.

Увага! Якщо , то зворотної матриці немає, і вирішити систему матричним методом неможливо. І тут система вирішується шляхом виключення невідомих (методом Гаусса) .

Тепер потрібно обчислити 9 мінорів та записати їх у матрицю мінорів

Довідка:Корисно знати сенс подвійних підрядкових індексів у лінійній алгебрі. Перша цифра – це номер рядка, в якому знаходиться цей елемент. Друга цифра – це номер стовпця, в якому знаходиться цей елемент:

Тобто подвійний підрядковий індекс вказує, що елемент знаходиться в першому рядку, третьому стовпці, а, наприклад, елемент знаходиться в 3 рядку, 2 стовпці

З кількістю рівнянь однаковим із кількістю невідомих з головним визначником матриці, який не дорівнює нулю, коефіцієнтів системи (для подібних рівнянь рішення є і воно лише одне).

Теорема Крамера.

Коли визначник матриці квадратної системи ненульовий, значить, система спільна і в неї є одне рішення і його можна знайти за формулам Крамера:

де Δ - визначник матриці системи,

Δ i- визначник матриці системи, в якому замість i-го стовпчика знаходиться стовпець правих частин.

Коли визначник системи нульовий, значить система може стати спільною або несумісною.

Цей спосіб зазвичай застосовують для невеликих систем з об'ємними обчисленнями і якщо необхідно визначити одну з невідомих. Складність методу у цьому, що треба обчислювати багато визначників.

Опис методу Крамер.

Є система рівнянь:

Систему 3-х рівнянь можна вирішити методом Крамера, який розглянуто вище для системи 2-х рівнянь.

Складаємо визначник із коефіцієнтів у невідомих:

Це буде визначник системи. Коли D≠0, Отже, система спільна. Тепер складемо 3 додаткові визначники:

,,

Вирішуємо систему з формулам Крамера:

Приклади розв'язання систем рівнянь методом Крамера.

Приклад 1.

Дана система:

Вирішимо її методом Крамера.

Спочатку потрібно обчислити визначник матриці системи:

Т.к. Δ≠0, отже, з теореми Крамера система спільна і має одне рішення. Обчислюємо додаткові визначники. Визначник 1 отримуємо з визначника Δ, замінюючи його перший стовпець стовпцем вільних коефіцієнтів. Отримуємо:

Таким же шляхом отримуємо визначник Δ 2 з визначника матриці системи, замінюючи другий стовпець стовпцем вільних коефіцієнтів:

Методи Крамераі Гауса– одні з найпопулярніших методів вирішення СЛАУ. До того ж, у ряді випадків доцільно використати саме конкретні методи. Сесія близька, і зараз час повторити або освоїти їх з нуля. Сьогодні розуміємо на рішення методом Крамера. Адже рішення системи лінійних рівнянь методом Крамера – дуже корисна навичка.

Системи лінійних рівнянь алгебри

Система лінійних рівнянь алгебри – система рівнянь виду:

Набір значень x , при якому рівняння системи звертаються до тотожності, називається рішенням системи, a і b - Речові коефіцієнти. Просту систему, що складається з двох рівнянь з двома невідомими, можна вирішити в умі або висловивши одну змінну через іншу. Але змінних (іксів) у СЛАУ може бути набагато більше двох, і тут простими шкільними маніпуляціями не обійтися. Що ж робити? Наприклад, вирішувати СЛАУ методом Крамера!

Отже, нехай система складається з n рівнянь з n невідомими.

Таку систему можна переписати в матричному вигляді

Тут A - основна матриця системи, X і B відповідно, матриці-стовпці невідомих змінних та вільних членів.

Рішення СЛАУ методом Крамера

Якщо визначник головної матриці не дорівнює нулю (матриця невироджена), систему можна вирішувати методом Крамера.

Згідно з методом Крамера, рішення знаходиться за формулами:

Тут дельта - Визначник головної матриці, а дельта x n-не - визначник, отриманий з визначника головної матриці шляхом заміною n-ного стовпця на стовпець вільних членів.

У цьому полягає вся суть методу Крамера. Підставляючи знайдені за наведеними вище формулами значення x у шукану систему, переконуємось у правильності (або навпаки) нашого рішення. Щоб Ви швидше вловили суть, наведемо нижче приклад докладного рішенняСЛАУ методом Крамера:

Навіть якщо у Вас не вийде з першого разу, не засмучуйтесь! Небагато практики, і Ви почнете клацати СЛАУ як горішки. Більше того, зараз зовсім необов'язково корпіти над зошитом, вирішуючи громіздкі викладки та списуючи стрижень. Можна легко вирішити СЛАУ методом Крамера в режимі онлайн лише підставивши в готову форму коефіцієнти. Спробувати онлайн калькуляторрішення методом Крамера можна, наприклад, на цьому сайті.

А якщо система виявилася наполегливою і не здається, Ви завжди можете звернутися за допомогою до наших авторів, наприклад, щоб . Будь в системі хоч 100 невідомих, ми обов'язково вирішимо її правильно і точно вчасно!

Нехай система лінійних рівнянь містить стільки рівнянь, скільки незалежних змінних, тобто. має вигляд

Такі системи лінійних рівнянь називають квадратними. Визначник, складений з коефіцієнтів за незалежних змінних системи(1.5) називається головним визначником системи. Ми будемо позначати його грецькою літерою D. Таким чином,

. (1.6)

Якщо у головному визначнику довільний ( j-ий) стовпець, замінити стовпцем вільних членів системи (1.5), то можна отримати ще nдопоміжних визначників:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Правило КрамераРозв'язання квадратних систем лінійних рівнянь полягає в наступному. Якщо головний визначник D системи (1.5) відмінний від нуля, то система має і єдине рішення, яке можна знайти за формулами:

(1.8)

приклад 1.5.Методом Крамера вирішити систему рівнянь

.

Обчислимо головний визначник системи:

Оскільки D¹0, то система має єдине рішення, яке можна знайти за формулами (1.8):

Таким чином,

Дії над матрицями

1. Множення матриці на число.Операція множення матриці на число визначається в такий спосіб.

2. Щоб помножити матрицю на число, потрібно всі її елементи помножити цього числа. Тобто

. (1.9)

приклад 1.6. .

Додавання матриць.

Ця операція вводиться лише матриць однієї й тієї ж порядку.

Для того, щоб скласти дві матриці, необхідно до елементів однієї матриці додати відповідні елементи іншої матриці:

(1.10)
Операція складання матриць має властивості асоціативності та комутативності.

приклад 1.7. .

Розмноження матриць.

Якщо кількість стовпців матриці Азбігається з числом рядків матриці Удля таких матриць вводиться операція множення:

2

Таким чином, при множенні матриці Арозмірності m´ nна матрицю Урозмірності n´ kми отримуємо матрицю Зрозмірності m´ k. При цьому елементи матриці Зобчислюються за такими формулами:

Завдання 1.8.Знайти, якщо це можливо, добуток матриць ABі BA:

Рішення. 1) Для того, щоб знайти твір ABнеобхідно рядки матриці Aпомножити на стовпці матриці B:

2) Твір BAне існує, тому що кількість стовпців матриці Bне збігається з кількістю рядків матриці A.

Зворотна матриця. Вирішення систем лінійних рівнянь матричним способом

Матриця A - 1 називається зворотною до квадратної матриці А, якщо виконано рівність:

де через Iпозначається одинична матрицятого ж порядку, що і матриця А:

.

Для того щоб квадратна матрицямала зворотний необхідно і достатньо, щоб її визначник був відмінний від нуля. Зворотну матрицю знаходять за такою формулою:

, (1.13)

де A ij - алгебраїчні доповненнядо елементів a ijматриці А(зауважимо, що додатки алгебри до рядків матриці Арозташовуються у зворотній матриці у вигляді відповідних стовпців).

приклад 1.9.Знайти зворотну матрицю A - 1 до матриці

.

Зворотну матрицю знайдемо за формулою (1.13), яка для випадку n= 3 має вигляд:

.

Знайдемо det A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Оскільки визначник вихідної матриці відмінний від нуля, зворотна матриця існує.

1) Знайдемо алгебраїчні доповнення A ij:

Для зручності знаходження зворотної матриці, додатки алгебри до рядків вихідної матриці ми розташували у відповідні стовпці.

З отриманих додатків алгебри складемо нову матрицю і розділимо її на визначник det A. Таким чином, ми отримаємо зворотну матрицю:

Квадратні системи лінійних рівнянь із відмінним від нуля головним визначником можна вирішувати за допомогою зворотної матриці. Для цього систему (1.5) записують у матричному вигляді:

де

Помножуючи обидві частини рівності (1.14) зліва на A - 1, ми отримаємо рішення системи:

, звідки

Таким чином, для того, щоб знайти рішення квадратної системи, потрібно знайти зворотну матрицю до основної матриці системи і помножити її праворуч на матрицю-стовпець вільних членів.

Завдання 1.10.Розв'язати систему лінійних рівнянь

за допомогою зворотної матриці.

Рішення.Запишемо систему в матричному вигляді: ,

де - основна матриця системи, - стовпець невідомих та - стовпець вільних членів. Оскільки головний визначник системи , то основна матриця системи Амає зворотну матрицю А-1. Для знаходження зворотної матриці А-1 , обчислимо додатки алгебри до всіх елементів матриці А:

З отриманих чисел складемо матрицю (причому додатки алгебри до рядків матриці Азапишемо у відповідні стовпці) і розділимо її на визначник D. Таким чином, ми знайшли зворотну матрицю:

Рішення системи знаходимо за формулою (1.15):

Таким чином,

Рішення систем лінійних рівнянь шляхом звичайних жорданових винятків

Нехай дана довільна (не обов'язково квадратна) система лінійних рівнянь:

(1.16)

Потрібно визначити рішення системи, тобто. такий набір змінних , який задовольняє всі рівні системи (1.16). У загальному випадкусистема (1.16) може мати як одне рішення, а й безлічрішень. Вона може взагалі взагалі не мати рішень.

При вирішенні подібних завдань використовується добре відомий з шкільного курсуСпосіб виключення невідомих, який ще називається способом звичайних жорданових винятків. Суть даного методуполягає в тому, що в одному із рівнянь системи (1.16) одна із змінних виражається через інші змінні. Потім ця змінна підставляється до інших рівнянь системи. В результаті виходить система, що містить на одне рівняння і одну змінну менше, ніж вихідна система. Рівняння, з якого висловлювалася змінна, запам'ятовується.

Цей процес повторюється до того часу, поки у системі залишиться одне останнє рівняння. У процесі виключення невідомих деякі рівняння можуть перетворитися на вірні тотожності, наприклад. Такі рівняння із системи виключаються, тому що вони виконуються за будь-яких значень змінних і, отже, не впливають на рішення системи. Якщо в процесі виключення невідомих хоча б одне рівняння стає рівністю, яка не може виконуватися за жодних значень змінних (наприклад ), то робимо висновок, що система не має рішення.

Якщо в ході вирішення суперечливих рівнянь не виникло, то з останнього рівняння знаходиться одна з змінних, що залишилися в ньому. Якщо останньому рівнянні залишилася лише одна змінна, вона виражається числом. Якщо в останньому рівнянні залишаються ще інші змінні, то вони вважаються параметрами, і виражена через них змінна буде функцією цих параметрів. Потім відбувається так званий « Зворотній хід». Знайдену змінну підставляють останнє запам'ятоване рівняння і знаходять другу змінну. Потім дві знайдені змінні підставляють передостаннє запам'ятоване рівняння і знаходять третю змінну, і так далі, аж до першого запам'ятаного рівняння.

В результаті ми отримуємо рішення системи. Це рішеннябуде єдиним, якщо знайдені змінні будуть числами. Якщо ж перша знайдена змінна, а потім і всі інші залежатимуть від параметрів, то система матиме безліч рішень (кожному набору параметрів відповідає нове рішення). Формули, що дозволяють знайти рішення системи в залежності від того чи іншого набору параметрів, називаються загальним рішенням системи.

приклад 1.11.

x

Після запам'ятовування першого рівняння і приведення подібних членів у другому та третьому рівнянні ми приходимо до системи:

Висловимо yз другого рівняння і підставимо його до першого рівняння:

Запам'ятаємо друге рівняння, а з першого знайдемо z:

Здійснюючи зворотний хід, послідовно знайдемо yі z. Для цього спочатку підставимо останнє запам'ятоване рівняння, звідки знайдемо y:

.

Потім підставимо і перше запам'ятоване рівняння звідки знайдемо x:

Завдання 1.12.Розв'язати систему лінійних рівнянь шляхом виключення невідомих:

. (1.17)

Рішення.Виразимо з першого рівняння змінну xі підставимо її в друге та третє рівняння:

.

Запам'ятаємо перше рівняння

У цій системі перше і друге рівняння суперечать одне одному. Дійсно, висловлюючи y , Отримаємо, що 14 = 17. Дана рівність не виконується, ні при яких значеннях змінних x, y, і z. Отже, система (1.17) несумісна, тобто. немає рішення.

Читачам пропонуємо самостійно перевірити, що головний визначник вихідної системи (1.17) дорівнює нулю.

Розглянемо систему, що відрізняється від системи (1.17) лише одним вільним членом.

Завдання 1.13.Розв'язати систему лінійних рівнянь шляхом виключення невідомих:

. (1.18)

Рішення.Як і раніше, висловимо з першого рівняння змінну xі підставимо її в друге та третє рівняння:

.

Запам'ятаємо перше рівняння і наведемо подібні члени у другому та третьому рівнянні. Ми приходимо до системи:

Висловлюючи yз першого рівняння та підставляючи його на друге рівняння , ми отримаємо тотожність 14 = 14, яке впливає рішення системи, і, отже, його з системи виключити.

В останній запам'ятованій рівності змінну zвважатимемо параметром. Вважаємо. Тоді

Підставимо yі zу першу запам'ятану рівність і знайдемо x:

.

Таким чином, система (1.18) має безліч рішень, причому будь-яке рішення можна знайти за формулами (1.19), вибираючи довільне значення параметра t:

(1.19)
Так рішеннями системи, наприклад, є такі набори змінних (1; 2; 0), (2; 26; 14) тощо. буд. Формули (1.19) виражають загальне (будь-яке) рішення системи (1.18).

Якщо вихідна система (1.16) має достатньо велика кількістьрівнянь і невідомих, зазначений спосіб звичайних жорданових винятків є громіздким. Однак, це не так. Достатньо вивести алгоритм перерахунку коефіцієнтів системи при одному кроці в загальному виглядіта оформити розв'язання задачі у вигляді спеціальних жерданових таблиць.

Нехай дана система лінійних форм (рівнянь):

, (1.20)
де x j- незалежні (шукані) змінні, a ij- постійні коефіцієнти
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Праві частини системи y i (i = 1, 2,…, m) можуть бути як змінними (залежними), і константами. Потрібно знайти рішень цієї системи шляхом виключення невідомих.

Розглянемо таку операцію, звану надалі «одним кроком звичайних жорданових винятків». З довільного ( r-го) рівності висловимо довільну змінну ( x s) і підставимо у всі інші рівності. Зрозуміло, це можливо лише в тому випадку, коли a rs¹ 0. Коефіцієнт a rsназивається роздільним (іноді напрямним або головним) елементом.

Ми отримаємо наступну систему:

. (1.21)

З s-ї рівності системи (1.21) ми згодом знайдемо змінну x s(після того, як буде знайдено решту змінних). S-я рядок запам'ятовується і надалі із системи виключається. Система, що залишилася, міститиме на одне рівняння і на одну незалежну змінну менше, ніж вихідна система.

Обчислимо коефіцієнти одержаної системи (1.21) через коефіцієнти вихідної системи (1.20). Почнемо з r-го рівняння, яке після вираження змінної x sчерез інші змінні виглядатиме так:

Таким чином, нові коефіцієнти r-го рівняння обчислюються за такими формулами:

(1.23)
Обчислимо тепер нові коефіцієнти b ij(i¹ r) довільного рівняння. Для цього підставимо виражену (1.22) змінну x sв i-е рівняння системи (1.20):

Після приведення подібних членів отримаємо:

(1.24)
З рівності (1.24) отримаємо формули, якими обчислюються інші коефіцієнти системи (1.21) (крім r-го рівняння):

(1.25)
Перетворення систем лінійних рівнянь шляхом звичайних жорданових винятків оформляється як таблиць (матриць). Ці таблиці отримали назву «жерданових».

Так, завданню (1.20) ставиться у відповідність наступна жорданова таблиця:

Таблиця 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		a ij		a is		a in
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		a rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		a mj		a ms		a mn

Жорданова таблиця 1.1 містить лівий заголовний стовпець, який записують праві частини системи (1.20) і верхній заголовний рядок, в який записують незалежні змінні.

Інші елементи таблиці утворюють основну матрицю коефіцієнтів системи (1.20). Якщо помножити матрицю Ана матрицю , що складається з елементів верхнього великого рядка, то вийде матриця , що складається з елементів лівого великого стовпця. Тобто, сутнісно, ​​жорданова таблиця це матрична форма запису системи лінійних рівнянь: . Системі (1.21) у своїй відповідає наступна жорданова таблиця:

Таблиця 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b is		b in
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		b ms		b mn

Роздільний елемент a rs ми виділятимемо жирним шрифтом. Нагадаємо, що для здійснення одного кроку жерданових винятків дозвільний елемент повинен бути відмінний від нуля. Рядок таблиці, що містить роздільний елемент, називають рядком. Стовпець, що містить роздільний елемент, називають роздільним стовпцем. При переході від цієї таблиці до наступної таблиці одна змінна ( x s) з вірніше заголовного рядка таблиці переміщається в лівий заголовний стовпець і, навпаки, один із вільних членів системи ( y r) з лівого заголовного стовпця таблиці переміщається у верхній заголовний рядок.

Опишемо алгоритм перерахунку коефіцієнтів під час переходу від жерданової таблиці (1.1) до таблиці (1.2), що з формул (1.23) і (1.25).

1. Роздільний елемент замінюється зворотним числом:

2. Інші елементи роздільної здатності поділяються на роздільну здатність і змінюють знак на протилежний:

3. Інші елементи роздільного стовпця поділяються на роздільну здатність:

4. Елементи, які не потрапили в роздільну здатність і роздільний стовпець, перераховуються за формулами:

Остання формула легко запам'ятовується, якщо помітити, що елементи, що становлять дріб , знаходяться на перетині i-ой і r-ий рядків та j-го та s-го стовпців (дозвільного рядка, що дозволяє стовпця і того рядка і стовпця, на перетині яких знаходиться елемент, що перераховується). Точніше, при запам'ятовуванні формули можна використовувати наступну діаграму:

-21 -26 -13 -37

Здійснюючи перший крок жорданових винятків, в якості роздільної здатності можна вибрати будь-який елемент таблиці 1.3, розташований у стовпцях x 1 ,…, x 5 (всі зазначені елементи не дорівнюють нулю). Не слід лише вибирати роздільну здатність елемент в останньому стовпці, т.к. потрібно знаходити незалежні змінні x 1 ,…, x 5 . Вибираємо, наприклад, коефіцієнт 1 при змінній x 3 у третьому рядку таблиці 1.3 (дозволяючий елемент показаний жирним шрифтом). Під час переходу до таблиці 1.4 змінна x 3 з верхнього заголовного рядка змінюється місцями з константою 0 лівого заголовного стовпця (третій рядок). При цьому змінна x 3 виражається через інші змінні.

Рядок x 3 (табл.1.4) можна, попередньо запам'ятавши, виключити з таблиці 1.4. З таблиці 1.4 виключається так само третій стовпець з нулем у верхньому заголовному рядку. Справа в тому, що незалежно від коефіцієнтів даного стовпця b i 3 всі відповідні йому доданки кожного рівняння 0· b i 3 системи дорівнюватимуть нулю. Тому зазначені коефіцієнти не обчислювати. Виключивши одну змінну x 3 і запам'ятавши одне з рівнянь, ми приходимо до системи, що відповідає таблиці 1.4 (з викресленим рядком x 3). Вибираючи в таблиці 1.4 як роздільний елемент b 14 = -5, переходимо до таблиці 1.5. У таблиці 1.5 запам'ятовуємо перший рядок та виключаємо його з таблиці разом із четвертим стовпцем (з нулем нагорі).

Таблиця 1.5 Таблиця 1.6

З останньої таблиці 1.7 знаходимо: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Послідовно підставляючи вже знайдені змінні до запам'ятаних рядків, знаходимо інші змінні:

Таким чином, система має безліч рішень. Змінною x 5 можна надавати довільні значення. Ця змінна виступає у ролі параметра x 5 = t. Ми довели спільність системи та знайшли її спільне рішення:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Надаючи параметру t різні значення, ми отримаємо безліч рішень вихідної системи. Так, наприклад, рішенням системи є наступний набір змінних (-3; - 1; - 2; 4; 0).