1 Що таке прості дроби. Види дробів.
Дроб завжди означає якусь частину цілого. Справа в тому, що не завжди кількість можна передати натуральними числами, тобто перерахувати: 1, 2, 3 і т.д. Як, наприклад, позначити половину кавуна чи чверть години? Ось для цього і з'явилися дробові числа чи дроби.

Спочатку треба сказати, що взагалі дробів буває два види: звичайні дроби і десяткові дроби. Звичайні дроби записуються так:
Десяткові дроби записуються інакше:

Прості дроби складаються з двох частин: вгорі - чисельник, внизу - знаменник. Чисельник і знаменник поділяє дрібна риса. Отже, запам'ятайте:

Будь-який дріб - це частина цілого. За ціле зазвичай приймають 1 (одиницю). Знаменник дробу показує, скільки частин розділили ціле ( 1 ), а чисельник - скільки частин взяли. Якщо ми розрізали торт на 6 однакових частин (у математиці говорять часткою ), то кожна частина торта дорівнюватиме 1/6. Якщо Вася з'їв 4 шматки, то він з'їв 4/6 .

З іншого боку, дробова риса — це нічим іншим, як знак поділу. Тому дріб – це приватне двох чисел – чисельника та знаменника. У тексті завдань чи рецептах страв дроби записуються зазвичай так: 2/3, 1/2 тощо. Деякі дроби отримали власна назва, наприклад, 1/2 - "половина", 1/3 - "третина", 1/4 - "чверть"
А тепер розберемося, які бувають види звичайних дробів.

2 Види звичайних дробів

Звичайні дроби бувають трьох видів: правильні, неправильні та змішані:

Правильний дріб

Якщо чисельник менший, ніж знаменник, то такий дріб називають правильною,наприклад: Правильний дріб завжди менше 1.

Неправильний дріб

Якщо чисельник більше, ніж знаменник або дорівнює знаменнику, такий дріб називається неправильною, наприклад:

Неправильний дріб більше одиниці (якщо чисельник більший за знаменник) або дорівнює одиниці (якщо чисельник дорівнює знаменнику)

Змішаний дріб

Якщо дріб складається з цілого числа ( ціла частина) і правильного дробу (дрібна частина), то такий дріб називається змішаної, наприклад:

Змішана дріб завжди більше одиниці.

3 Перетворення дробів

У математиці звичайні дроби часто доводиться перетворювати, тобто змішаний дріб перетворювати на неправильний і навпаки. Це необхідно для виконання деяких дій, наприклад, множення та розподілу.

Отже, будь-який змішаний дріб можна перевести в неправильний. Для цього цілу частину множать на знаменник і додають чисельник дробової частини. Отриману суму беруть чисельником, а знаменник залишають той самий, наприклад:

Будь-який неправильний дріб можна перетворити на змішаний. Для цього ділять чисельник на знаменник (із залишком). Отримане число буде цілою частиною, а залишок - чисельником дробової частини, наприклад

При цьому кажуть: "Ми виділили цілу частину з неправильного дробу".

Необхідно запам'ятати ще одне правило: Будь-яке ціле число можна подати у вигляді звичайного дробу зі знаменником 1, наприклад:

Поговоримо про те, як порівнювати дроби.

4 Порівняння дробів

При порівнянні дробів може бути кілька варіантів: Легко порівнювати дроби з однаковими знаменниками, набагато складніше – якщо знаменники різні. А є ще й порівняння змішаних дробів. Але не хвилюйтеся, зараз ми докладно розглянемо кожен варіант і навчимося порівнювати дроби.

Порівняння дробів з однаковими знаменниками

З двох дробів з однаковими знаменниками, але різними чисельниками більший той дріб, у якого чисельник більший, наприклад:

Порівняння дробів з однаковими чисельниками

З двох дробів з однаковими чисельниками, але різними знаменникамибільший той дріб, у якого знаменник менший, наприклад:

Порівняння змішаних та неправильних дробівз правильними дробами

Неправильний або змішаний дріб завжди більше правильного дробу, наприклад:

Порівняння двох змішаних дробів

При порівнянні двох змішаних дробів більший той дріб, у якого ціла частина більша, наприклад:

Якщо цілі частини у змішаних дробів однакові, більший той дріб, у якого більша частина, наприклад:

Порівняння дробів з різними чисельниками та знаменниками

Порівнювати дроби з різними чисельниками та знаменниками без їх перетворення не можна. Спочатку дроби потрібно привести до одного знаменника, а потім порівняти їх чисельники. Більше той дріб, у якого чисельник буде більшим. А ось як приводити дроби до однакового знаменника, ми розглянемо наступні два розділи статті статті. Спочатку ми розглянемо основну властивість дробу та скорочення дробів, а потім безпосередньо приведення дробів до одного знаменника.

5 Основна властивість дробу. Скорочення дробів. Поняття про НОД.

Запам'ятайте: складати та віднімати, а також порівнювати можна лише дроби, у яких однакові знаменники. Якщо знаменники різні, то спочатку потрібно привести дроби до одного знаменника, тобто так перетворити один із дробів, щоб його знаменник став таким самим, як у другого дробу.

У дробів є одне важлива властивість, зване також основною властивістю дробу:

Якщо і чисельник, і знаменник дробу помножити або розділити на те саме число, то величина дробу при цьому не зміниться :

Завдяки цій властивості ми можемо скорочувати дроби:

Скоротити дріб - означає розділити і чисельник, і знаменник на одне й те число(Дивіться приклад трохи вище). Коли ми скорочуємо дріб, можна розписати наші дії так:

Найчастіше ж у зошити скорочують дріб так:

Але запам'ятайте: скорочувати можна лише множники. Якщо у чисельнику чи знаменнику сума чи різниця, скорочувати доданки не можна. Приклад:

Потрібно спочатку перетворити суму на множник:

Іноді, при роботі з великими числами, для того, щоб скоротити дріб, зручно знайти найбільший спільний дільник чисельника та знаменника (НДД)

Найбільший спільний дільник (НДД)кількох чисел - це найбільше натуральне число, яке ці числа діляться без залишку.

Для того, щоб знайти НОД двох чисел (наприклад, чисельника та знаменника дробу), потрібно розкласти обидва числа на прості множники, відзначити однакові множники в обох розкладаннях і перемножити ці множники. Отриманий твір і буде НОД. Наприклад, нам потрібно скоротити дріб:

Знайдемо НОД чисел 96 і 36:

НОД нам показує, що і в чисельнику, і в знаменнику є множник12, і ми легко скорочуємо дріб.

Іноді, щоб привести дроби до одного знаменника, достатньо скоротити один із дробів. Але найчастіше буває необхідно підбирати додаткові множники для обох дробів. Зараз ми розглянемо, як це робиться. Отже:

6 Як приводити дроби до одного знаменника. Найменше загальне кратне (НОК).

Коли ми наводимо дроби до однакового знаменника, ми підбираємо для знаменника таке число, яке ділилося б і на перший, і на другий знаменник (тобто було б кратним обом знаменникам, висловлюючись математичною мовою). І бажано, щоб число це було якнайменше, так зручніше вважати. Таким чином, ми повинні знайти НОК обох знаменників.

Найменше загальне кратне двох чисел (НОК)- Це найменше натуральне число, яке ділиться на обидва ці числа без залишку. Іноді НОК можна підібрати усно, але частіше, особливо під час роботи з великими числами, доводиться знаходити НОК письмово, за допомогою наступного алгоритму:

Щоб знайти НОК кількох чисел, потрібно:

1. Розкласти ці числа на прості множники
2. Взяти найбільше розкладання, і записати ці числа у вигляді твору
3. Виділити в інших розкладах числа, які не зустрічаються у найбільшому розкладанні (або зустрічаються в ньому менша кількістьраз), і додати їх до твору.
4. Перемножити всі числа у творі, це буде НОК.

Наприклад, знайдемо НОК чисел 28 та 21:

Однак повернемось до наших дробів. Після того, як ми підібрали або письмово обчислили НОК обох знаменників, ми повинні помножити чисельники цих дробів на додаткові множники. Знайти їх можна, розділивши НОК на знаменник відповідного дробу, наприклад:

Таким чином, ми привели наші дроби до одного знаменника — 15.

7 Додавання та віднімання дробів

Додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками

Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, треба скласти їх чисельники, а знаменник залишити той самий, наприклад:

Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити той самий, наприклад:

Додавання та віднімання змішаних дробів з однаковими знаменниками

Щоб скласти змішані дроби, треба окремо скласти цілі частини, а потім скласти їх дробові частини, і записати результат змішаним дробом:

Якщо при складанні дробових частин вийшов неправильний дріб, виділяємо з нього цілу частину і додаємо її до цілої частини, наприклад:

Віднімання проводиться аналогічно: ціла частина віднімається від цілої, а дробова — від дробової частини:

Якщо дробова частина віднімається більше, ніж дробова частина зменшуваного, «займаємо» одиницю з цілої частини, перетворюючи зменшуване на неправильний дріб, а далі діємо як завжди:

Аналогічно віднімаємо з цілого числа дріб:

Як скласти ціле число та дріб

Для того, щоб скласти ціле число і дріб, потрібно просто додати це число перед дробом, при цьому вийде змішаний дріб, наприклад:

Якщо ми складаємо ціле число і змішаний дріб, ми додаємо це число до цілої частини дробу, наприклад:

Складання та віднімання дробів з різними знаменниками.

Для того щоб скласти або відняти дроби з різними знаменниками, потрібно спочатку привести їх до одного знаменника, а далі діяти, як при складанні дробів з однаковими знаменниками (скласти чисельники):

При відніманні діємо аналогічно:

Якщо працюємо зі змішаними дробами, приводимо до однакового знаменника їх дробові частини і далі віднімаємо як завжди: цілу частину з цілої, а дробову — з дробової частини:

8 Множення та розподіл дробів.

Помножувати і ділити прості дроби набагато простіше, ніж складати і віднімати, тому що не потрібно приводити їх до одного знаменника. Запам'ятайте прості правиламноження та розподілу дробів:

Перед тим, як перемножувати числа в чисельнику і знаменнику бажано скоротити дріб, тобто позбутися однакових множниківу чисельнику та знаменнику, як у нашому прикладі.

Щоб розділити дріб на натуральне число, потрібно знаменник помножити на це число, а чисельник залишити без змін:

Наприклад:

Розподіл дробу на дріб

Щоб розділити один дріб на інший, потрібно ділене помножити на число, зворотне дільнику (зворотний дріб). Що ж це за дріб?

Якщо ми перевернемо дріб, тобто поміняємо місцями чисельник і знаменник, отримаємо зворотний дріб. Добуток дробу та зворотного йому дробу дає одиницю. У математиці такі числа називають взаємно оберненими числами:

Наприклад, числа - Взаємно зворотні, оскільки

Таким чином, повернемося до поділу дробу на дріб:

Щоб розділити один дріб на інший, потрібно ділене помножити на дріб, зворотний дільник:

Наприклад:

При розподілі змішаних дробів потрібно так само, як і при множенні, спочатку перевести їх у неправильні дроби:

При множенні та розподілі дробів на цілі натуральні числа , можна представляти ці числа так само у вигляді дробів зі знаменником 1 .

І при розподілу цілого числа на дрібпредставляємо це число у вигляді дробу зі знаменником 1 :

Чисельником, а те, на яке ділять – знаменником.

Щоб записати дріб, напишіть спочатку його чисельник, потім проведіть під цим числом горизонтальну межу, а під лінією напишіть знаменник. Горизонтальна , що розділяє чисельник і знаменник, називається дробовою рисою. Іноді її зображують у вигляді похилої "/" або "∕". При цьому чисельник записується зліва від риси, а знаменник праворуч. Так, наприклад, дріб «дві треті» запишеться як 2/3. Для наочності чисельник зазвичай пишуть у верхній частині рядка, а знаменник – у нижній, тобто замість 2/3 можна зустріти: ⅔.

Щоб розрахувати добуток дробів, помножте спочатку чисельник одного дробина чисельник інший. Запишіть результат у чисельник нової дроби. Після цього перемножте знаменники. Підсумкове значення вкажіть у новій дроби. Наприклад, 1/3? 1/5 = 1/15 (1? 1 = 1; 3? 5 = 15).

Щоб поділити один дріб на інший, помножте спочатку чисельник першого на знаменник другого. Те саме зробіть і з другим дробом (ділителем). Або перед виконанням усіх дій спочатку «переверніть» дільник, якщо вам так зручніше: на місці чисельника має бути знаменник. Після цього помножте знаменник діленого на новий знаменник дільника та перемножте чисельники. Наприклад, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

Джерела:

• Основні завдання на дроби

Дробові числа дозволяють виражати в різному виглядіточне значення величини. З дробами можна виконувати ті ж самі математичні операції, що з цілими числами: віднімання, додавання, множення і розподіл. Щоб навчитися вирішувати дроби, треба пам'ятати про деякі їх особливості. Вони залежать від виду дроби, наявності цілої частини загального знаменника. Деякі арифметичні діїпісля виконання вимагають скорочення дробової частини результату.

Вам знадобиться

• - Калькулятор

Інструкція

Уважно подивіться на числа. Якщо серед дробів є десяткові та неправильні, іноді зручніше спочатку виконати дії з десятковими, а потім перевести їх у неправильний вигляд. Можете перекласти дробиу такий вид спочатку, записавши значення після коми в чисельник і поставивши 10 знаменник. При необхідності скоротите дріб, розділивши числа вище та нижче на один дільник. Дроби, у яких виділяється ціла частина, приведіть до неправильного вигляду, помноживши її на знаменник і додавши до результату чисельник. Це значення стане новим чисельником дроби. Щоб виділити цілу частину спочатку неправильної дроби, Треба поділити чисельник на знаменник. Цілий результат записати від дроби. А залишок від поділу стане новим чисельником, знаменник дробиу своїй не змінюється. Для дробів із цілою частиною можливе виконання дій окремо спочатку для цілої, а потім для дробової частин. Наприклад, сума 1 2/3 і 2 ¾ може бути обчислена:
- Переведення дробів у неправильний вигляд:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Підсумовування окремо цілих та дробових частин доданків:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Перепишіть їх через роздільник: і продовжіть звичайний поділ.

Для отримання кінцевого результату отриманий дріб скоротите, розділивши чисельник і знаменник на одне ціле число, найбільше можливе даному випадку. При цьому вище та нижче риси мають бути цілі числа.

Зверніть увагу

Не виконуйте арифметичні дії з дробами, знаменники яких відрізняються. Підберіть таке число, щоб при множенні на нього чисельника та знаменника кожного дробу в результаті знаменники обох дробів дорівнювали.

Корисна порада

При записі дробових чиселділене пишеться над межею. Ця величина позначається як чисельник дробу. Під рисою записується дільник, чи знаменник, дроби. Наприклад, півтора кілограма рису у вигляді дробу запишеться так: 1 ½ кг рису. Якщо знаменник дробу дорівнює 10, такий дріб називають десятковим. При цьому чисельник (ділене) пишеться праворуч від цілої частини через кому: 1,5 кг рису. Для зручності обчислень такий дріб завжди можна записати в неправильному вигляді: 1 2/10 кг картоплі. Для спрощення можна скоротити значення чисельника та знаменника, поділивши їх на одне ціле число. У даному прикладіможливий поділ на 2. В результаті вийде 1 1/5 кг картоплі. Переконайтеся, що числа, з якими ви збираєтесь виконувати арифметичні дії, представлені в одному вигляді.

«Дробна» математика для дітей

Домовимося відразу, що дріб - це частина цілого, менше одиниці. На скільки частин ми ділитимемо ціле? А це як домовимось. Що вважатимемо одиницею? Теж як домовимося. Отакі вони зговірливі, ці дроби. І ще треба запам'ятати одну річ: те число, скільки частин ми вирішили ділити ціле - це знаменник, скільки цих частин ми взяли - це чисельник.

Наприклад, ось така історія. На траві лежать 3 яблука, їжачок взяв лише 2. За ціле (одиницю) ми візьмемо всі яблука - весь урожай. Але їх у нас 3, отже наш урожай ділиться на 3 частини. 3 – це знаменник. Весь урожай (одиниця) – це 3/3, а кожне яблуко – це 1/3 урожаю. Якщо їжачок взяв 2 яблука, значить, він взяв 2/3 урожаю!

А можна взяти лего, такий коханий багатьма дітьми конструктор. Адже ми давно помітили, що всі його елементи різні за розміром, правда? І на кожній деталі різна кількістьточок-«пухирців». Порахуємо – ось одна, дві, чотири, шість і навіть вісім.

Давайте за ціле (одиницю) вважатимемо «цеглинку» лего з вісьмома точками. Для початку порівняємо його з іншими. Скільки деталей лего з чотирма точками потрібно взяти, щоб вийшов наш «цеглинка»-одиниця? Правильно, дві. Отже, одна деталька з чотирма точками - це 1/2 нашої «одиниці». А скільки деталей із двома точками потрібно взяти, щоб отримати ціле? Мабуть, чотири. Отже, одна така деталька – це 1/4. А деталь з однією точкою це 1/8, тому що таких деталей знадобиться аж 8 штук, щоб вийшло ціле. Тепер завдання складніше: маємо елемент із шістьма точками. У ньому міститься 3 «четвірки», а якщо додати до нього ще одну - вийде ціле (одиниця). Отже, ось і перший приклад готовий: 3/4+1/4=4/4 або 1 (якщо чисельник і знаменник рівні, значить, це одиниця!)

Це далеко не єдиний експеримент, який можна провести з лего. З дробами можна домовитися багато про що. А що, якщо ми те саме, вважатимемо не чвертями, а восьмими? І знаменником у нас буде 8? Дивимося на картинку: одиниця - «цеглинка» з вісьма точками. 1/2 - це виходить 4/8, а 1/4 = 2/8. А це вже історія про те, як можна скорочувати дроби. Але ця тема справді може трошки почекати!

Приклади з дробами – один із основних елементів математики. існує багато різних типіврівнянь із дробами. Нижче наведено докладна інструкціяза рішенням прикладів такого типу.

Як вирішувати приклади з дробами – загальні правила

Для вирішення прикладів з дробами будь-яких типів, будь то додавання, віднімання, множення або поділ, необхідно знати основні правила:

• Щоб скласти дробові вирази з однаковим знаменником (знаменник – число, що у нижній частині дробу, чисельник – у верхній), потрібно скласти їх чисельники, а знаменник залишити тим самим.
• Щоб відняти від одного дробового виразу друге (з однаковим знаменником), треба відняти їх чисельники, а знаменник залишити тим самим.
• Щоб скласти чи відняти дробові висловлювання з різними знаменниками, потрібно знайти найменший спільний знаменник.
• Щоб знайти дробовий твір, потрібно перемножити чисельники і знаменники, у своїй, якщо є можливість, скоротити.
• Для того щоб розділити дріб на дріб, потрібно помножити перший дріб на перевернути другий.

Як вирішувати приклади з дробами – практика

Правило 1, приклад 1:

Обчислити 3/4+1/4.

Згідно з правилом 1, якщо у дробів двох (або більше) однаковий знаменник, потрібно просто скласти їх чисельники. Отримаємо: 3/4 + 1/4 = 4/4. Якщо у дробу чисельник і знаменник однакові, такий дріб дорівнюватиме 1.

Відповідь: 3/4+1/4=4/4=1.

Правило 2, приклад 1:

Обчислити: 3/4 – 1/4

Користуючись правилом номер 2, для розв'язання цього рівняння потрібно від 3 відібрати 1, а знаменник залишити тим самим. Отримуємо 2/4. Так як два 2 і 4 можна скоротити, скорочуємо та отримуємо 1/2.

Відповідь: 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2.

Правило 3, Приклад 1

Обчислити: 3/4 + 1/6

Рішення: Користуючись 3-м правилом, знаходимо найменший спільний знаменник. Найменшим загальним знаменником називається таке число, яке ділиться на знаменники всіх дробових виразівприклад. Таким чином, нам потрібно знайти таке мінімальне число, яке буде ділитися і на 4, і на 6. Таким числом є 12. Записуємо як знаменник 12. 12 ділимо на знаменник першого дробу, отримуємо 3, множимо на 3, записуємо в чисельнику 3 *3 та знак +. 12 ділимо на знаменник другого дробу, отримуємо 2, 2 множимо на 1, записуємо в чисельнику 2*1. Отже, вийшов новий дріб із знаменником, рівним 12 і чисельником, рівним 3*3+2*1=11. 11/12.

Відповідь: 11/12

Правило 3, Приклад 2:

Обчислити 3/4 – 1/6. Цей приклад дуже схожий на попередній. Проробляємо ті самі дії, але в чисельнику замість знака +, пишемо знак мінус. Отримуємо: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Відповідь: 7/12

Правило 4, Приклад 1:

Обчислити: 3/4*1/4

Користуючись четвертим правилом, множимо знаменник першого дробу на знаменник другого та чисельник першого дробу на чисельник другого. 3*1/4*4 = 3/16.

Відповідь: 3/16

Правило 4, Приклад 2:

Обчислити 2/5*10/4.

Цей дріб можна скоротити. У разі твору скорочуються чисельник першого дробу та знаменник другого та чисельник другого дробу та знаменник першого.

2 скорочується з 4. 10 скорочується з 5. отримуємо 1*2/2=1*1=1.

Відповідь: 2/5*10/4 = 1

Правило 5, Приклад 1:

Обчислити: 3/4: 5/6

Користуючись 5-м правилом, отримаємо: 3/4: 5/6 = 3/4*6/5. Скорочуємо дріб за принципом попереднього прикладу та отримуємо 9/10.

Відповідь: 9/10.

Як вирішувати приклади з дробами – дробові рівняння

Дробними рівняннями називають приклади, де в знаменнику є невідоме. Для того, щоб вирішити таке рівняння, потрібно користуватися певними правилами.

Розглянемо приклад:

Розв'язати рівняння 15/3x+5 = 3

Згадаймо, не можна ділити на нуль, тобто. значення знаменника не повинно дорівнювати нулю. При вирішенні таких прикладів це потрібно обов'язково вказувати. І тому існує ОДЗ (область допустимих значень).

Таким чином, 3x+5 ≠ 0.
Звідси: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

При x = 5/3 рівняння просто немає рішення.

Вказавши ОДЗ, найкращим способомвирішити дане рівняннябуде позбутися дробів. Для цього спочатку уявимо все не дробові значенняу вигляді дробу, у разі число 3. Отримаємо: 15/(3x+5) = 3/1. Щоб позбавитися дробу потрібно помножити кожну з них на найменший спільний знаменник. У цьому випадку таким буде (3x+5)*1. Послідовність дій:

1. Помножуємо 15/(3x+5) на (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
2. Розкриваємо дужки: 15 * (3x + 5) = 45x + 75.
3. Те ж саме робимо з правою частиноюрівняння: 3 * (3x + 5) = 9x + 15.
4. Прирівнюємо ліву та праву частину: 45x + 75 = 9x +15
5. Переносимо ікси вліво, числа праворуч: 36x = – 50
6. Знаходимо x: x = -50/36.
7. Скорочуємо: -50/36 = -25/18

Відповідь: ОДЗ x ≠ 5/3 . x = -25/18.

Як вирішувати приклади з дробами – дробові нерівності

Дробові нерівності типу (3x-5)/(2-x)≥0 вирішуються за допомогою числової осі. Розглянемо цей приклад.

Послідовність дій:

• Прирівнюємо чисельник та знаменник до нуля: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• Рисуємо числову вісь, розписуючи на ній значення, що вийшло.
• Під значення малюємо кружок. Гурток буває двох типів – заповнений та порожній. Заповнений гурток означає, що дане значеннявходить до ареалу рішень. Порожнє коло свідчить, що це значення входить у ареал рішень.
• Оскільки знаменник не може дорівнювати нулю, під другою буде порожній круг.

• Щоб визначити знаки, підставляємо в рівняння будь-яке число більше двох, наприклад, 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. значення негативне, отже над областю після двійки пишемо мінус. Потім замість ікса підставляємо будь-яке значення інтервалу від 5/3 до 2, наприклад 1. Значення знову негативне. Пишемо мінус. Те саме повторюємо з областю, що знаходиться до 5/3. Підставляємо будь-яке число менше 5/3, наприклад 1. Знову мінус.

• Так як нас цікавлять значення ікса, при якому вираз буде більшим або дорівнює 0, а таких значень немає (скрізь мінуси), ця нерівність не має рішення, тобто x = Ø (порожня множина).

Відповідь: x = Ø

Частину одиниці або кілька її частин називають простим або звичайним дробом. Кількість рівних частин, куди ділиться одиниця, називається знаменником, а кількість взятих частин - чисельником. Дроб записується у вигляді:

У разі а - чисельник, b - знаменник.

Якщо чисельник менше знаменника, то дріб менше 1 і називається правильним дробом. Якщо чисельник більший за знаменник, то дріб більше 1, тоді дріб називається неправильним.

Якщо чисельник і знаменник дробу дорівнюють, то дріб дорівнює.

1. Якщо чисельник можна розділити на знаменник, то цей дріб дорівнює частці від поділу:

Якщо поділ виконується з залишком, то цей неправильний дріб може бути представлений змішаним числом, наприклад:

Тоді 9 - неповне приватне (ціла частина змішаного числа),
1 - залишок (числитель дробової частини),
5 – знаменник.

Щоб звернути змішане число в дріб, необхідно помножити цілу частину змішаного числа на знаменник і додати чисельник дробової частини.

Отриманий результат буде чисельником звичайного дробу, а знаменник залишиться тим самим.

Дії з дробами

Розширення дробу.Значення дробу не змінюється, якщо помножити його чисельник і знаменник на те саме число, відмінне від нуля.
Наприклад:

Скорочення дробу.Значення дробу не змінюється, якщо розділити її чисельник і знаменник одне й те число, відмінне від нуля.
Наприклад:

Порівняння дробів.З двох дробів з однаковими чисельниками та більша, знаменник якої менший:

З двох дробів з однаковими знаменниками той більший, чисельник якого більший:

Для порівняння дробів, у яких чисельники та знаменники різні, необхідно розширити їх, тобто призвести до спільному знаменнику. Розглянемо, наприклад, такі дроби:

Складання та віднімання дробів.Якщо знаменники дробів однакові, то щоб скласти дроби, необхідно скласти їх чисельники, а щоб відняти дроби, треба відняти їх чисельники. Отримана сума чи різницю буде чисельником результату, а знаменник залишиться тим самим. Якщо знаменники дробів різні, спочатку необхідно привести дроби до спільного знаменника. При додаванні змішаних чиселїх цілі та дробові частини складаються окремо. При відніманні змішаних чисел спочатку необхідно перетворити їх до виду неправильних дробів, потім відняти з одного інший, а після цього знову привести результат, якщо потрібно вид змішаного числа.

Розмноження дробів. Для перемноження дробів необхідно перемножити окремо їх чисельники та знаменники та розділити перший твір на другий.

Розподіл дробів. Для того, щоб розділити деяке число на дріб, необхідно помножити це число на дріб.

Десятковий дріб- це результат розподілу одиниці на десять, сто, тисячу тощо. частин. Спочатку пишеться ціла частина числа, потім праворуч ставиться десяткова точка. Перша цифра після десяткової точки означає число десятих, друга – число сотих, третя – число тисячних тощо. буд. Цифри, розташовані після десяткової точки, називаються десятковими знаками.

Наприклад:

Властивості десяткових дробів

Властивості:

• Десятковий дріб не змінюється, якщо праворуч додати нулі: 4,5 = 4,5000.
• Десятковий дріб не змінюється, якщо видалити нулі, розташовані в кінці десяткового дробу: 0,0560000 = 0,056.
• Десятковий дріб зростає в 10, 100, 1000 і т.д. разів, якщо перенести десяткову точку на одну, дві, три тощо. позиції вправо: 4,5 45 (дроб зріс у 10 разів).
• Десятковий дріб зменшується в 10, 100, 1000 і т.д. разів, якщо перенести десяткову точку на одну, дві, три тощо. позиції вліво: 4,5 0,45 (дроб зменшився в 10 разів).

Періодична десяткова дріб містить групу цифр, що нескінченно повторюється, звану періодом: 0,321321321321…=0,(321)

Дії з десятковими дробами

Додавання і віднімання десяткових дробів виконуються так само, як і додавання і віднімання цілих чисел, необхідно тільки записати відповідні десяткові знаки один під одним.
Наприклад:

Умноження десяткових дробів проводиться у кілька етапів:

• Перемножуємо десяткові дроби як цілі числа, не зважаючи на десяткову точку.
• Застосовується правило: кількість десяткових знаків у творі дорівнює сумі десяткових знаків у всіх співмножниках.

Наприклад:

Сума чисел десяткових знаків у співмножниках дорівнює: 2+1=3. Тепер необхідно з кінця числа, що вийшло, відрахувати 3 знаки і поставити десяткову точку: 0,675.

Розподіл десяткових дробів. Розподіл десяткового дробу на ціле число: якщо ділене менше дільникатоді потрібно записати нуль у цілій частині приватного і поставити після нього десяткову точку. Потім, не беручи до уваги десяткову точку ділимого, приєднати до цілої частини наступну цифру дробової частини і знову порівняти отриману цілу частину ділимого з дільником. Якщо нове число знову менше від дільника, треба повторити операцію. Цей процес повторюється до того часу, поки отримане ділене стане більше дільника. Після цього поділ виконується як для цілих чисел. Якщо ділене більше дільника або дорівнює йому, спочатку ділимо його цілу частину, записуємо результат поділу в приватному та ставимо десяткову точку. Після цього розподіл продовжується, як у разі цілих чисел.

Розподіл одного десяткового дробу в інший: спочатку переносяться десяткові крапки в ділимому і дільнику на число десяткових знаків у дільнику, тобто робимо дільник цілим числом, і виконуються дії, описані вище.

Для того, щоб звернути десятковий дрібу звичайну, необхідно як чисельник взяти число, що стоїть після десяткової точки, а як знаменник взяти k-у ступінь десяти (k - кількість десяткових знаків). Відмінна від нуля ціла частина зберігається у звичайному дробі; нульова ціла частина опускається.
Наприклад:

Для того, щоб звернути звичайний дрібу десяткову, треба розділити чисельник на знаменник відповідно до правил поділу.

Відсоток – це сота частина одиниці, наприклад: 5% означає 0,05. Відношення - це окреме від розподілу одного числа на інше. Пропорція – це рівність двох відносин.

Наприклад:

Основна властивість пропорції: добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку її середніх членів, тобто 5х30 = 6х25. Дві взаємно залежні величини називаються пропорційними, якщо відношення їх величин зберігається незмінним (коефіцієнт пропорційності).

Таким чином, виявлено такі арифметичні дії.
Наприклад:

Безліч раціональних чисел включає позитивні і негативні числа (цілі та дробові) і нуль. Більше точне визначенняраціональних чисел, прийняте в математиці, таке: число називається раціональним, якщо воно може бути представлене у вигляді звичайного нескоротного дробу виду: де a і b цілі числа.

Для негативного числа абсолютна величина(модуль) - це позитивне число, що отримується від зміни його знака з "-" на "+"; для позитивного числаі нуля – саме це число. Для позначення модуля числа використовуються дві прямі риси, у яких записується це число, наприклад: |–5|=5.

Властивості абсолютної величини

Нехай дано модуль числа для якого справедливі властивості:

Одночлен - це добуток двох або кількох співмножників, кожен з яких або число, або літера, або ступінь літери: 3 х a х b. Коефіцієнтом найчастіше називають лише числовий множник. Одночлени називаються подібними, якщо вони однакові чи відрізняються лише коефіцієнтами. Ступінь одночлена – це сума показників ступенів усіх його букв. Якщо серед суми одночленів є подібні, то сума може бути приведена до більш простому вигляду: 3 x a x b + 6 x a = 3 x a x (b + 2). Ця операція називається приведенням таких членів або винесенням за дужки.

Багаточлен – це алгебраїчна сумаодночленів. Ступінь багаточлена є найбільшою зі ступенів одночленів, що входять до цього багаточлена.

Існують такі формули скороченого множення:

Методи розкладання на множники:

Алгебраїчна дріб - це вираз виду , де A і B можуть бути числом, одночлен, багаточлен.

Якщо два вирази (числові та буквені) з'єднані знаком «=», то кажуть, що вони утворюють рівність. Будь-яка вірна рівність, справедлива за всіх допустимих числових значенняхвходять до нього букв, називається тотожністю.

Рівняння - це буквена рівність, яка справедлива при певних значенняхвходять до нього літер. Ці букви називаються невідомими (змінними), які значення, у яких дане рівняння перетворюється на тотожність, - корінням рівняння.

Вирішити рівняння - значить знайти все його коріння. Два або кілька рівнянь називаються рівносильними, якщо вони мають одне і те ж коріння.

• нуль був коренем рівняння;
• рівняння мало тільки кінцеве числокоріння.

Основні типи рівнянь алгебри:

У лінійного рівняння ax + b = 0:

• якщо a х 0 є єдиний корінь x = -b/a;
• якщо a = 0, b ≠ 0, немає коріння;
• якщо a = 0, b = 0, коренем є будь-яке дійсне число.

Рівняння xn = a, n N:

• якщо n - непарне число, має при будь-якому дійсний корінь, рівний a / n;
• якщо n – парне число, то при a 0, то має два корені.

Основні тотожні перетворення: заміна одного виразу іншим, тотожно рівним йому; перенесення членів рівняння з одного боку до іншого зі зворотними знаками; множення або розподіл обох частин рівняння на те саме вираз (число), відмінне від нуля.

Лінійним рівнянням з одним невідомим називається рівняння виду: ax+b=0 де a і b - відомі числа, а x – невідома величина.

Системи двох лінійних рівняньз двома невідомими мають вигляд:

Де a, b, c, d, e, f – задані числа; x, y – невідомі.

Числа a, b, c, d – коефіцієнти при невідомих; e, f – вільні члени. Розв'язання цієї системи рівнянь може бути знайдено двома основними методами: метод підстановки: з одного рівняння виражаємо одне з невідомих через коефіцієнти та інше невідоме, а потім підставляємо у друге рівняння, вирішуючи останнє рівняння, знаходимо спочатку одне невідоме, потім підставляємо знайдене значення у перше рівняння і знаходимо друге невідоме; метод складання чи віднімання одного рівняння з іншого.

Операції з корінням:

Арифметичним корінням n-йступеня з неотрицательного числа a називається неотрицательное число, n-й ступіньякого дорівнює a. Алгебраїчним коренем n-го ступеняз даного числаназивається безліч всіх коренів із цього числа.

Ірраціональні числа на відміну раціональних не можуть бути представлені у вигляді звичайного нескоротного дробу виду m/n, де m і n - цілі числа. Це числа нового типу, які можуть бути обчислені з будь-якою точністю, але не можуть бути замінені раціональним числом. Вони можуть з'явитися як результат геометричних вимірів, наприклад: відношення довжини діагоналі квадрата до довжини сторони дорівнює.

Квадратне рівняння є алгебраїчне рівняннядругого ступеня ax2+bx+c=0 де a, b, c - задані числові або буквені коефіцієнти, x - невідоме. Якщо розділити всі члени цього рівняння на а, то отримаємо x2+px+q=0 - наведене рівняння p=b/a, q=c/a. Його коріння знаходиться за формулою:

Якщо b2-4ac>0, тоді є два різних кореня, b2- 4ac=0, тоді є два рівних кореня; b2-4ac Рівняння, що містять модулі

Основні типи рівнянь, що містять модулі:
1) | f (x) | = | g (x) |;
2) | f (x) | = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn (x) | gn (x) | =0, n N де f(x), g(x), fk(x), gk(x) - задані функції.