Даний методичний матеріалносить довідковий характер і належить до широкого кола тем. У статті наведено огляд графіків основних елементарних функцій та розглянуто найважливіше питання – як правильно і ШВИДКО побудувати графік. У ході вивчення вищої математикибез знання графіків основних елементарних функційдоведеться важко, тому дуже важливо згадати, як виглядають графіки параболи, гіперболи, синуса, косинуса і т.д., запам'ятати деякі значення функцій. Також мова підепро деякі властивості основних функцій.

Я не претендую на повноту та наукову обґрунтованість матеріалів, наголос буде зроблено, перш за все, на практиці – тих речах, з якими доводиться стикатися буквально на кожному кроці, у будь-якій темі вищої математики. Графіки для чайників? Можна сказати і так.

На численні прохання читачів клікабельний зміст:

Крім того, є надкороткий конспект на тему
– освойте 16 видів графіків, вивчивши шість сторінок!

Серйозно, шість, здивувався навіть сам. Даний конспект містить покращену графіку і доступний за символічну плату, демо-версію можна подивитися. Файл зручно надрукувати, щоб графіки завжди були під рукою. Дякуємо за підтримку проекту!

І одразу починаємо:

Як правильно збудувати координатні осі?

На практиці контрольні роботи майже завжди оформляються студентами в окремих зошитах, розлинених у клітку. Навіщо потрібна картата розмітка? Адже роботу, загалом, можна зробити і на листах А4. А клітка необхідна якраз для якісного та точного оформлення креслень.

Будь-яке креслення графіка функції починається з координатних осей.

Креслення бувають двомірними та тривимірними.

Спочатку розглянемо двовимірний випадок декартовий прямокутної системикоординат:

1) Чортимо координатні осі. Вісь називається віссю абсцис , а вісь – віссю ординат . Рисувати їх завжди намагаємося акуратно і не криво. Стрілки теж не повинні нагадувати бороду Папи Карло.

2) Підписуємо осі великими літерами «ікс» та «ігрок». Не забуваємо підписувати осі.

3) Задаємо масштаб по осях: малюємо нуль і дві одиниці. При виконанні креслення найзручніший і найпоширеніший масштаб: 1 одиниця = 2 клітинки (креслення зліва) – по можливості дотримуйтеся саме його. Однак іноді трапляється так, що креслення не вміщається на зошит - тоді масштаб зменшуємо: 1 одиниця = 1 клітинка (креслення праворуч). Рідко, але буває, що масштаб креслення доводиться зменшувати (чи збільшувати) ще більше

НЕ ТРЕБА «строчити з кулемету» …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….Бо координатна площина– не пам'ятник Декарту, а студент – не голуб. Ставимо нульі дві одиниці по осях. Іноді замістьодиниць зручно "засікти" інші значення, наприклад, "двійку" на осі абсцис і "трійку" на осі ординат - і ця система (0, 2 і 3) теж однозначно задасть координатну сітку.

Передбачувані розміри креслення краще оцінити ще до побудови креслення. Так, наприклад, якщо в завданні потрібно накреслити трикутник з вершинами , , , то зрозуміло, що популярний масштаб 1 одиниця = 2 клітинки не підійде. Чому? Подивимося на точку - тут доведеться відміряти п'ятнадцять сантиметрів вниз, і, очевидно, що креслення не вмоститься (або вмоститься ледве) на зошит. Тому одночасно вибираємо дрібніший масштаб 1 одиниця = 1 клітинка.

До речі, про сантиметри і зошити. Чи правда, що у 30 зошитових клітинах міститься 15 сантиметрів? Відміряйте у зошиті для інтересу 15 сантиметрів лінійкою. У СРСР, можливо, це було правдою… Цікаво відзначити, що якщо відміряти ці сантиметри по горизонталі та вертикалі, то результати (у клітинах) будуть різними! Строго кажучи, сучасні зошити не картаті, а прямокутні. Можливо, це здасться нісенітницею, але, креслити, наприклад, коло циркулем при таких розкладах дуже незручно. Якщо чесно, в такі моменти починаєш замислюватися про правоту товариша Сталіна, який відправляв у табори за халтуру на виробництві, не кажучи вже про вітчизняне автомобілебудування, літаки, що падають, або вибухові електростанції.

До речі про якість, або коротка рекомендація щодо канцтоварів. На сьогоднішній день більшість зошитів у продажу, поганих слів не кажучи, повне гомно. Тому, що вони промокають, причому не тільки від гелевих, а й від кулькових ручок! На папері заощаджують. Для оформлення контрольних робітрекомендую використовувати зошити Архангельського ЦПК (18 аркушів, клітинка) або «П'ятірочка», щоправда, вона дорожча. Ручку бажано вибрати гелеву, навіть найдешевший китайський гелевий стрижень набагато краще, ніж кулькова ручка, яка маже, то б'є папір. Єдиною «конкурентоспроможною» кульковою ручкою на моїй пам'яті є «Еріх Краузе». Вона пише чітко, красиво та стабільно – що з повним стрижнем, що із практично порожнім.

Додатково: бачення прямокутної системи координат очима аналітичної геометрії висвітлюється у статті Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів, детальну інформаціюпро координатних чвертяхможна знайти у другому параграфі уроку Лінійні нерівності.

Тривимірний випадок

Тут майже так само.

1) Чортимо координатні осі. Стандарт: вісь аплікат – спрямована вгору, вісь – спрямована вправо, вісь – ліворуч вниз суворопід кутом 45 градусів.

2) Підписуємо осі.

3) Задаємо масштаб по осях. Масштаб по осі – вдвічі менше, ніж масштаб по інших осях. Також зверніть увагу, що на правому кресленні я використав нестандартну «засічку» по осі (про таку можливість вже згадано вище). На мій погляд, так точніше, швидше і естетичніше – не потрібно під мікроскопом вишукувати середину клітини і «ліпити» одиницю впритул до початку координат.

При виконанні тривимірного креслення знову ж таки – віддавайте пріоритет масштабу
1 одиниця = 2 клітини (креслення зліва).

Навіщо потрібні всі ці правила? Правила існують у тому, щоб їх порушувати. Чим я зараз і займусь. Справа в тому, що наступні креслення статті будуть виконані мною в Екселі, і координатні осі будуть виглядати некоректно з точки зору правильного оформлення. Я б міг накреслити всі графіки від руки, але креслити їх насправді жах як небажання Ексель їх накреслить набагато точніше.

Графіки та основні властивості елементарних функцій

Лінійна функціязадається рівнянням. Графік лінійної функцій є пряму. Для того, щоб побудувати пряму, достатньо знати дві точки.

Приклад 1

Побудувати графік функції. Знайдемо дві точки. Як одну з точок вигідно вибрати нуль.

Якщо то

Беремо ще якусь точку, наприклад, 1.

Якщо то

При оформленні завдань координати точок зазвичай зводяться до таблиці:

А самі значення розраховуються усно чи на чернетці, калькуляторі.

Дві точки знайдені, виконаємо креслення:

При оформленні креслення завжди підписуємо графіки.

Не зайвим буде згадати окремі випадки лінійної функції:

Зверніть увагу, як я розташував підписи, підписи не повинні допускати різночитань щодо креслення. У даному випадкувкрай небажано було поставити підпис поруч із точкою перетину прямих, або праворуч унизу між графіками.

1) Лінійна функція виду () називається прямою пропорційністю. Наприклад, . Графік прямої пропорційності завжди проходить через початок координат. Таким чином, побудова прямої спрощується - достатньо знайти лише одну точку.

2) Рівняння виду задає пряму, паралельну осі, зокрема, сама вісь задається рівнянням. Графік функції будується відразу, без будь-яких точок. Тобто запис слід розуміти так: «гравець завжди дорівнює -4, при будь-якому значенні ікс».

3) Рівняння виду задає пряму, паралельну осі, зокрема, сама вісь задається рівнянням. Графік функції також будується одразу. Запис слід розуміти так: «ікс завжди, за будь-якого значення ігор, дорівнює 1».

Дехто запитає, ну навіщо згадувати 6 клас?! Так-то воно, може і так, тільки за роки практики я зустрів добрий десяток студентів, яких ставило в глухий кут завдання побудови графіка на кшталт або .

Побудова прямий – найпоширеніша дія у виконанні креслень.

Пряма лінія детально розглядається в курсі аналітичної геометрії, і бажаючі можуть звернутись до статті Рівняння прямої на площині.

Графік квадратичної, кубічної функції, графік багаточлена

Парабола. Графік квадратичні функції () являє собою параболу. Розглянемо знаменитий випадок:

Згадуємо деякі властивості функції.

Отже, рішення нашого рівняння: - Саме в цій точці і знаходиться вершина параболи. Чому це так, можна дізнатися з теоретичної статті про похідну та уроку про екстремуми функції . А поки що розраховуємо відповідне значення «гравець»:

Таким чином, вершина знаходиться в точці

Тепер знаходимо інші точки, при цьому нахабно користуємося симетричністю параболи. Слід зауважити, що функція – не є парноюПроте, симетричність параболи ніхто не скасовував.

В якому порядку знаходити інші точки, гадаю, буде зрозуміло з підсумкової таблиці:

Даний алгоритмпобудови образно можна назвати «човником» або принципом «туди-сюди» з Анфісою Чеховою.

Виконаємо креслення:

З розглянутих графіків згадується ще одна корисна ознака:

Для квадратичної функції () справедливо наступне:

Якщо , то гілки параболи спрямовані нагору.

Якщо , то гілки параболи спрямовані вниз.

Поглиблені знання про криву можна отримати на уроці гіпербола і парабола.

Кубічна парабола задається функцією. Ось знайоме зі школи креслення:

Перерахуємо основні властивостіфункції

Графік функції

Він є однією з гілок параболи. Виконаємо креслення:

Основні властивості функції:

В даному випадку вісь є вертикальною асимптотою для графіка гіперболи при .

Буде ГРУБИЙ помилкою, якщо при оформленні креслення з недбалості допустити перетин графіка з асимптотою .

Також односторонні межі говорять нам про те, що гіпербола не обмежена зверхуі не обмежена знизу.

Досліджуємо функцію на нескінченності: тобто якщо ми почнемо йти по осі вліво (або вправо) на нескінченність, то «ігреки» струнким кроком будуть нескінченно близьконаближатися до нуля, і, відповідно, гілки гіперболи нескінченно близьконаближатися до осі.

Таким чином, вісь є горизонтальною асимптотою для графіка функції, якщо «ікс» прагне плюс або мінус нескінченності.

Функція є непарний, отже, гіпербола симетрична щодо початку координат. Цей факточевидний з креслення, крім того, легко перевіряється аналітично: .

Графік функції виду () являє собою дві гілки гіперболи.

Якщо , то гіпербола розташована в першій та третій координатних чвертях(Див. малюнок вище).

Якщо , то гіпербола розташована у другій та четвертій координатних чвертях..

Зазначену закономірність місця проживання гіперболи неважко проаналізувати з погляду геометричних перетворень графіків.

Приклад 3

Побудувати праву гілку гіперболи

Використовуємо поточковий метод побудови, при цьому значення вигідно підбирати так, щоб ділилося націло:

Виконаємо креслення:

Не важко побудувати і ліву гілку гіперболи, тут якраз допоможе непарність функції. Грубо кажучи, в таблиці поточкового побудови подумки додаємо до кожного мінус, ставимо відповідні точки і прокреслюємо другу гілку.

Детальну геометричну інформацію про розглянуту лінію можна знайти у статті Гіперболу та параболу.

Графік показової функції

У цьому параграфі я одразу розгляну експоненційну функцію, оскільки в завданнях вищої математики у 95% випадків зустрічається саме експонента.

Нагадую, що це ірраціональне число: , це знадобиться при побудові графіка, який, власне, я без церемоній і побудую. Трьох точок, мабуть, вистачить:

Графік функції поки дамо спокій, про нього пізніше.

Основні властивості функції:

Принципово так само виглядають графіки функцій, і т.д.

Повинен сказати, що другий випадок зустрічається на практиці рідше, але він зустрічається, тому я вважав за потрібне включити його до цієї статті.

Графік логарифмічної функції

Розглянемо функцію з натуральним логарифмом.
Виконаємо крапковий креслення:

Якщо забули, що таке логарифм, будь ласка, зверніться до шкільних підручників.

Основні властивості функції:

Область визначення:

Область значень: .

Функція не обмежена зверху: , Нехай і повільно, але гілка логарифму йде на нескінченність.
Досліджуємо поведінку функції поблизу нуля праворуч: . Таким чином, вісь є вертикальною асимптотою для графіка функції при «ікс», що прагне до нуля праворуч.

Обов'язково потрібно знати та пам'ятати типове значення логарифму: .

Принципово так само виглядає графік логарифму на підставі : , , ( десятковий логарифмна підставі 10) і т.д. При цьому, що більша підстава, то більш пологім буде графік.

Випадок розглядати не будемо, щось я не пригадаю, коли востаннє будував графік із такою підставою. Та й логарифм начебто в завданнях вищої математики дуже рідкісний гість.

На закінчення параграфа скажу ще про один факт: Експоненційна функція та логарифмічна функція – це дві взаємно зворотні функції . Якщо придивитися до графіка логарифму, то можна побачити, що це - та сама експонента, просто вона розташована трохи по-іншому.

Графіки тригонометричних функцій

З чого починаються тригонометричні муки у школі? Правильно. З синуса

Побудуємо графік функції

Ця лінія називається синусоїдою.

Нагадую, що «пі» – це ірраціональне число: і в тригонометрії від нього в очах рябить.

Основні властивості функції:

Ця функціяє періодичноїз періодом. Що це означає? Подивимося на відрізок. Зліва і праворуч від нього нескінченно повторюється такий самий шматок графіка.

Область визначення: , тобто для будь-якого значення ікс існує значення синуса.

Область значень: . Функція є обмеженою: тобто всі «ігреки» сидять строго у відрізку .
Такого не буває: або, точніше, буває, але вказані рівняннянемає рішення.

$f:\; \backslash mathbb(R)\; \backslash to\; \backslash mathbb(R)$виду

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,quad\; x\; inmathbb(R),$

де $a\; \backslash neq\; 0.$Тобто кубічна функція задається многочленом третього ступеня.

Аналітичні властивості

Застосування

Кубічну параболу іноді застосовують для розрахунку перехідної кривої на транспорті, оскільки її обчислення набагато простіше, ніж побудова клотоїди.

Див. також

Напишіть відгук про статтю "Кубічна функція"

Примітки

Література

• Л. С. Понтрягін, // «Квант», 1984 № 3.
• І. Н. Бронштейн, К. А. Семендяєв, "Довідник з математики", видавництво "Наука", М. 1967, с. 84

Уривок, що характеризує Кубічна функція

– Ну вже там навіщо б не було…
В цей час Петя, на якого ніхто не звертав уваги, підійшов до батька і, весь червоний, то грубим, то тонким голосом, сказав:
- Ну тепер, татусю, я рішуче скажу - і матінка теж, як хочете, - я рішуче скажу, що ви пустите мене в військову службу, тому що я не можу… ось і все…
Графіня з жахом підвела очі до неба, сплеснула руками і сердито звернулася до чоловіка.
– Ось і домовився! - сказала вона.
Але граф тієї ж хвилини оговтався від хвилювання.
– Ну, ну, – сказав він. – Ось воїн ще! Дурниці то залиш: вчитися треба.
- Це не дурниці, тату. Оболенський Федя молодший за мене і теж іде, а головне, все одно я не можу нічого навчатися тепер, коли… – Петрик зупинився, почервонів до поту і промовив таки: – коли батьківщину в небезпеці.
– Досить, повно, дурниці…
- Та ви самі сказали, що всім пожертвуємо.
- Петю, я тобі кажу, замовкни, - крикнув граф, оглядаючись на дружину, яка, збліднувши, дивилася очима, що зупинилися, на меншого сина.
– А я вам говорю. Ось і Петро Кирилович скаже…
- Я тобі кажу - нісенітниця, ще молоко не обсохло, а у військову службу хоче! Ну, ну, я тобі кажу, - і граф, взявши з собою папери, мабуть, щоб ще раз прочитати в кабінеті перед відпочинком, пішов із кімнати.
– Петре Кириловичу, що ж, підемо покурити…
П'єр перебував у збентеженні та нерішучості. Незвично блискучі і жваві очі Наташі безперестанку, більше ніж ласкаво зверталися на нього, привели його в цей стан.
- Ні, я, здається, додому поїду.
- Як додому, та ви вечір у нас хотіли... І то рідко почали бувати. А ця моя… – сказав добродушно граф, вказуючи на Наташу, – тільки за вас і весела…
– Так, я забув… Мені неодмінно треба додому… Справи… – поспішно сказав П'єр.
- Ну так до побачення, - сказав граф, зовсім виходячи з кімнати.
- Чому ви їдете? Чому ви засмучені? Чому?.. – запитала П'єра Наталя, зухвало дивлячись йому в очі.
«Тому що я тебе люблю! - хотів він сказати, але він не сказав цього, до сліз почервонів і опустив очі.
– Тому, що мені краще рідше бувати у вас… Тому… ні, просто у мене справи.
- Від чого? ні, скажіть, - рішуче почала була Наталка і раптом замовкла. Вони обоє злякано й зніяковіло дивилися один на одного. Він спробував усміхнутися, але не міг: усмішка його виявила страждання, і він мовчки поцілував її руку і вийшов.
П'єр вирішив сам із собою не бувати більше у Ростових.

Петя, після отриманої ним рішучої відмови, пішов у свою кімнату і там, замкнувшись від усіх, гірко плакав. Всі зробили, ніби нічого не помітили, коли він до чаю прийшов мовчазний і похмурий, із заплаканими очима.
Другого дня приїхав государ. Декілька людей дворових Ростових відпросилися піти подивитися царя. Того ранку Петя довго одягався, зачісувався і влаштовував комірці так, як у великих. Він хмурився перед дзеркалом, робив жести, знизував плечима і, нарешті, нікому не сказавши, одягнув кашкет і вийшов із дому з заднього ганку, намагаючись не бути поміченим. Петя зважився йти прямо до того місця, де був государ, і прямо пояснити якомусь камергеру (Пете здавалося, що государя завжди оточують камергери), що він, граф Ростов, незважаючи на свою молодість, бажає служити вітчизні, що молодість не може бути перешкодою для відданості і що він готовий… Петрик, коли він збирався, приготував багато прекрасних слів, які він скаже камергер.

Функція y=x^2 називається квадратичною функцією. Графіком квадратичної функції парабола. Загальний виглядпараболи представлений малюнку нижче.

Квадратична функція

Рис 1. Загальний вигляд параболи

Як очевидно з графіка, він симетричний щодо осі Оу. Ось Оу називається віссю симетрії параболи. Це означає, що якщо провести на графіку пряму паралельну осі Ох вище це осі. То вона перетне параболу у двох точках. Відстань від цих точок до осі Оу буде однаковою.

Ось симетрії поділяє графік параболи на дві частини. Ці частини називаються гілками параболи. А точка параболи, яка лежить на осі симетрії, називається вершиною параболи. Тобто вісь симетрії проходить через вершину параболи. Координати цієї точки (0; 0).

Основні властивості квадратичної функції

1. При х = 0, у = 0, і у> 0 при х0

2. Мінімальне значенняквадратична функція досягає у своїй вершині. Ymin при x=0; Слід також зауважити, що максимального значення функції не існує.

3. Функція зменшується на проміжку (-∞;0] і зростає на проміжку )