МБОУ ЗОШ №1 село Новобілокатай

Тема роботи:

« Мій найкращий урок»

Учитель математики:

Мухаметова Фаузія Караматівна

Викладається математика

2014

Тема урока:

«Нестандартний спосіб розв'язання логарифмічних нерівностей»

Клас 11( профільний рівень)

Форма уроку комбінований

Цілі уроку:

Освоєння нового способу вирішення логарифмічних нерівностей, та вміння застосовувати даний спосібпід час вирішення завдань С3 (17) ЄДІ 2015 з математики.

Завдання уроку:

- Освітні:систематизувати, узагальнити, розширити вміння та знання, пов'язані із застосуванням методів розв'язання логарифмічних нерівностей; Вміння застосовувати знання під час вирішення завдань ЄДІ 2015 з математики.

Розвиваючі : формувати навички самоосвіти, самоорганізації, вміння аналізувати, порівнювати, узагальнювати, робити висновки; Розвиток логічного мислення, уваги, пам'яті.кругозора.

Виховні: виховувати самостійність, уміння вислуховувати інших, уміння спілкуватися у групі. Підвищення інтересу до вирішення завдань, формування самоконтролю та активація розумової діяльностіу процесі виконання завдань.

Методологічна база:

Здоров'язберігаюча технологія за системою В.Ф. Базарного;

Технологія різнорівневого навчання;

технологія групового навчання;

Інформаційні технології (супровід уроку презентацією),

Форми організації навчальної діяльності : фронтальна, групова, індивідуальна, самостійна.

Обладнання: в учнів на робочому місці оціночні листи, картки з самостійною роботою, презентація уроку, комп'ютер, мультимедійний проектор.

Етапи уроку:

1. Організаційний момент

Вчитель Здрастуйте хлопці!

Я рада бачити вас усіх на уроці та сподіваюся на спільну плідну роботу.

2. Мотиваційний момент: написано у презентаціїІКТ технологія

Нехай епіграфом нашого уроку будуть слова:

« Вчитися можна тільки весело.

Щоб перетравлювати знання, треба їх поглинати з апетитом».Анатолій Франц.

Тож давайте будемо активними і уважними, оскільки нам знадобляться знання при здачі ЄДІ.

3. Етап постановки та цілі уроку:

Сьогодні ми на уроці вивчимо розв'язання логарифмічних нерівностей нестандартним методом. Так як рішення всього варіанта відводиться 235 хвилин, то завдання С3 потрібно десь 30 хвилин, от і потрібно знайти такий варіант рішення, щоб можна було витратити менше часу. Завдання взяті з посібників ЄДІ 2015 року з математики.

4. Етап актуалізації знань.

Технологія оцінювання навчальних успіхів.

На партах у вас лежать оціночні листи, які учні заповнюють під час уроку, наприкінці здають вчителю. Вчитель пояснює, як заповнити оцінний лист.

Успішність виконання завдання відзначати символом:

«!»-володію вільно

«+»- можу вирішувати, іноді помиляюсь

«-«- треба ще попрацювати

Визначення логарифмічних нерівностей	Вміння вирішувати найпростіші логарифмічні нерівності	Вміння користуватися властивостями логарифмів	Вміння користуватися методом декомпозиції	Робота в парах	Я могу сам	підсумок

4. Фронтальна робота

Повторюється визначення логарифмічних нерівностей. Відомі методи рішення та їх алгоритм на конкретних прикладах.

Вчитель.

Діти подивимося на екран.Давайте вирішимо усно.

1) Вирішіть рівняння

2) Обчисліть

а Б В)

Впишіть у відповідній таблиці під кожною літерою відповідну цифру.

Відповідь:

5 етап Вивчення нового матеріалу

Технологія проблемного навчання

Вчитель

Давайте подивимося на слайд. Потрібно вирішити цю нерівність. Як можна вирішити цю нерівність? Теорія для вчителя:

Метод декомпозиції

Метод декомпозиції полягає у заміні складного виразу F(x) більш просте вираз G(x), коли він нерівність G(x)^0 рівносильно нерівності F(x)^0 у сфері визначення F(x).

Існує кілька виразів F та відповідні їм декомпозиційні G, де k, g, h, p, q – вирази зі змінноюх (h>0; h≠1; f>0, k>0), a – фіксоване число (а>0, a≠1).

	Вираз F	Вираз G
		(a-1)(f-k) (a-1)(f-a) (a-1)(f-1)
		(h-1)(f-k) (h-1)(f-h) (h-1)(f-1)
	(k≠1, f≠1)	(f-1)(k-1)(h-1)(k-f)
		(h-1)(f-k) (h-1) f
	(f>0; k>0)	(f-k)h
	|f| - |k|	(f-k)(f+k)

З цих виразів можна вивести деякі наслідки (з урахуванням області визначення):

0 ⬄ 0

У зазначених рівносильних переходах символ замінює один із знаків нерівностей: >,

На слайді завдання, яке розуміється вчителем.

Розглянемо приклад розв'язання логарифмічної нерівності двома методами

1. Метод інтервалів

О.Д.З.

a) б)

Відповідь: (;

Вчитель

Можна вирішити цю нерівність ще іншим способом.

2. Метод декомпозиції

Відповідь

На прикладі розв'язання цієї нерівності ми переконалися, що доцільніше використовувати метод декомпозиції.

Розглянемо застосування цього методу на кількох нерівностях

Завдання 1

Відповідь: (-1,5; -1) U (-1; 0) U (0; 3)

Завдання2

Конспект уроку "Рішення логарифмічних нерівностей". 11 клас

Розробила та провела вчитель першої категорії Шайдуліна Г.С.

Наш девіз: «Дорогу здолає той, хто йде, а математику – мислячий».

Багато фізиків жартують, що «Математика, цариця наук, але служниця фізики!» Також можуть сказати хіміки, астрономи та навіть музиканти. Дійсно математика служить основою більшості наук і слова англійського філософа 16 століття Роджера Бекона власного невігластва.» актуальні й у час

Тема нашого уроку "Логарифмічні нерівності".

Мета уроку:

1) узагальнити знання на тему

«Логарифмічні нерівності»

2) розглянути типові труднощі, які при вирішенні логарифмічних нерівностей;

3) посилити практичну спрямованість цієї теми для якісної підготовки до ЄДІ.

Завдання:

Навчальні:повторення, узагальнення та систематизація матеріалу теми, контроль засвоєння знань та умінь.

Розвиваючі:розвиток математичного та загального кругозору, мислення, мови, уваги та пам'яті.

Виховні:виховання інтересу до математики, активності, уміння спілкуватися, загальної культури.

Обладнання: комп'ютер, мультимедійний проектр, екран, картки із завданнями, з формулами логарифмів.

Структура уроку:

Організаційний момент.

Повторення матеріалу. Усна робота.

Історична довідка.

Робота над матеріалом

Завдання додому.

Підсумок уроку.

Логарифмічним нерівностям в варіантах ЄДІз математики присвячена завдання C3 . Навчитися вирішувати завдання C3 з ЄДІ з математики повинен кожен учень, якщо він хоче скласти іспит на «добре» або «відмінно».

Історична довідка.

Джону Неперу належить сам термін "логарифм", який він переклав як "штучне число". Джон Непер – шотландець. У 16 років вирушив на континент, де протягом п'яти років у різних університетах Європи вивчав математику та інші науки. Потім він серйозно займався астрономією та математикою. До ідеї логарифмічних обчисленьНепер прийшов ще у 80-х роках XVIстоліття, однак опублікував свої таблиці лише у 1614 році, після 25-річних обчислень. Вони вийшли під назвою "Опис чудових логарифмічних таблиць".

Почнемо урок із усної розминки. Чи готові?

Робота біля дошки.

Під час усної роботиіз класом двоє учнів вирішують біля дошки приклади за картками.

1.Вирішіть нерівність

2.Вирішіть нерівність

(Учні, які виконували завдання біля дошки, коментують свої рішення, посилаючись на відповідний теоретичний матеріал, а інші вносять за необхідності коригування.)

1) Вкажіть неправильну рівність. Яке правило для цього треба використати?

а) log 3 27 = 3
б) log 2 0,125 = - 3
а) log 0,5 0,5 = 1
а) lg 10 000 = 5.

2)Порівняйте з нулем значення логарифму.Яке правило для цього треба використати?

а)lg 7

б)log 0,4 3

в)log 6 0,2

д)log ⅓ 0,6

3) Я хочу вамзапропонувати зіграти у морський бій. Я називаю літеру рядка та номер стовпця, а ви називаєте відповідь та шукайте відповідну літеру в таблиці.

4) Які з перелічених логарифмічних функцій є зростаючими і які меншими. Від чого це залежить?

5) Яка область визначення логарифмічної функції? Знайдіть область визначення функції:

Розібрати рішення на дошці.

Як вирішуються логарифмічні нерівності?

На чому ґрунтується розв'язання логарифмічних нерівностей?

На вирішення яких нерівностей схоже?

(Розв'язання логарифмічних нерівностей засноване на монотонності логарифмічної функції, з урахуванням області визначення логарифмічної функції та загальних властивостейнерівностей.)

Алгоритм розв'язання логарифмічних нерівностей:

А) Знайти область визначення нерівності (підлогарифмічний вираз більше нуля).
Б) Уявити (якщо можливо) ліву і праву частини нерівності у вигляді логарифмів по одному й тому підставі.
В) Визначити, зростаючою чи спадною є логарифмічна функція: якщо t>1, то зростаюча; якщо 01, то спадна.
Г) Перейти до більш простої нерівності(підлогарифмічних виразів), враховуючи, що знак нерівності збережеться, якщо функція зростає, і зміниться, якщо вона зменшується.

Перевірка д.з.

1. log 8 (5х-10)< log 8 (14-х).

2. log 3 (х+2) +log 3 х =< 1.

3. log 0,5 (3х+1)< log 0,5 (2-х)

Вчимося на чужих помилках!

Хтось перший знайде помилку.

1. Знайдіть помилку у розв'язанні нерівності:

а)log 8 (5х-10)< log 8 (14-х),

5 x-10 < 14- x,

6 x < 24,

x < 4.

Відповідь: х € (-∞; 4).

Помилка: не враховано область визначення нерівності.

Прокоментувати рішення

Вірне рішення:

log 8 (5х-10)< log 8 (14-х)

  2< x <4.

Відповідь: х € (2; 4).

2. Знайдіть помилку у розв'язанні нерівності:

Помилка: не враховано область визначення вихідної нерівності.Вірне рішення

Відповідь: х .

3.Знайдіть помилку у розв'язанні нерівності:

log 0,5 (3х+1)< log 0,5 (2-х)

Відповідь: х €

Помилка: не врахували основу логарифму.

Вірне рішення:

log 0,5 (3х+1)< log 0,5 (2-х) 

Відповідь: х €

Аналізуючи варіанти вступних іспитів з математики, можна помітити, що з теорії логарифмів на іспитах часто зустрічаються логарифмічні нерівності, що містять змінну під логарифмом та на підставі логарифму.

Знайдіть помилку у розв'язанні нерівності:

4 .

А як ще можна вирішити нерівність №4?

Хто вирішував іншим способом?

Отже, хлопці, підводного каміння при вирішенні логарифмічних нерівностей зустрічається багато.

На що ж ми маємо звернути особливу увагу під час вирішення логарифмічних нерівностей? Як ви думаєте?

Отже, що потрібно для того, щоб вирішуватилогарифмічні рівняння та нерівності?

По перше,увага. Не допускайте помилок у проведених перетвореннях. Слідкуйте за тим, щоб кожна ваша дія не розширювала і не звужувала область допустимих значеньнерівності, тобто не призводило ні до втрати, ні придбання сторонніх рішень.

По-друге,вміння мислити логічно. Укладачі ЄДІ з математики завданнями C3 перевіряють уміння учнів оперувати такими поняттями, як система нерівностей (перетин множин), сукупність нерівностей (об'єднання множин), здійснювати відбір розв'язків нерівності, керуючись його областю допустимих значень.

По-третє, чіткезнаннявластивостей всіх елементарних функцій (статечних, раціональних, показових, логарифмічних, тригонометричних), що вивчаються у шкільному курсі математики тарозумінняїхнього змісту.

УВАГА!

1. ОДЗ вихідної нерівності.

2. Підстава логарифму.

Розв'яжіть рівняння:

Рішення. Область допустимих значень рівняння визначається системою нерівностей:

Розглянемо графік логарифмічної функції та графік прямої пропорційності

Зазначимо, що функція зростає в області визначення. Без графіка це можна визначити на підставі логарифму. Для де х>0, якщо основа логарифму більше нуля, але менше одиниці, то функція зменшується, якщо основа логарифму більше одиниці, то функція зростає.

Важливо зауважити, що логарифмічна функція набуває позитивні значенняна безлічі чисел, великих одиниць, запишемо це твердження за допомогою символів f(x)приx

Пряма пропорційність y=xу цьому випадку на проміжку від одного до плюс нескінченності теж набуває позитивних значень, більших за одного. Збіг це чи закономірність? Про все по порядку.

Нерівності виду називаються логарифмічними, де а - позитивне число, відмінне від 1 і >0,)>0

Перетворимо нерівність до виду. При перенесенні доданків з однієї частини нерівності до іншої знак доданку змінюється на протилежний. За властивістю логарифму, різниця логарифмів з однаковою основоюможна замінити логарифм приватного, таким чином, наша нерівність набуде вигляду.

Позначимо вираз tтодінерівність набуде вигляду.

Розглянемо цю нерівність щодо підстави а,більшої одиниці, і щодо підстави а, більшого нуля та меншої одиниці.

Якщо основа логарифму а,більшої одиниці, то функція зростає в області визначення і набуває позитивних значень при t більше одного. Повернемося до зворотної заміни. Значить, дріб має бути більше одного. Це означає, що f(x)>g(x).

Якщо ж основа логарифму, більшого нуля і меншого одиниці, то функція зменшується на області визначення і набуває позитивних значень при t більше нуля і менше одного. При зворотній заміні нерівність дорівнює нерівності, а вона виконується при f(x)

Зробимо висновок:

Якщо)>0 і при a>1 логарифмічна нерівність

рівносильно нерівності того ж сенсу)>),

а при 0

Рівносильно нерівності протилежного сенсу)<)

Розглянемо приклади розв'язання логарифмічних нерівностей.

Вирішити нерівність:

Нерівності >0 та область допустимих значень змінної для даної логарифмічної нерівності. Заснування логарифму п'ять і більше одного, отже вихідне нерівність рівносильне нерівності. Вирішимо отриману систему нерівностей шляхом усамітнення змінної для цього. У першій нерівності перенесемо чотири у праву частину нерівності, змінивши знак мінус на плюс. Отримаємо.

У другій нерівності одиницю перенесемо у праву частину та запишемо як мінус один. Отримаємо нерівність У третій нерівності мінус чотири перенесемо у праву частину, запишемо як плюс чотири, а хперенесемо до лівої частини і запишемо як мінус ікс. Отримаємо нерівність. У ньому можна навести подібні доданки в лівій та правій частинах нерівності. Отримаємо нерівність. У першій нерівності поділимо ліву та праву частину нерівності на 2. Отримаємо нерівність. Отримана під час рішення система має знак однієї спрямованості, у разі очевидно, що цій системі задовольняє безліч чисел більше п'яти. Легко побачити, що п'ять теж задовольняє систему нерівностей. В іншому випадку можна побудувати геометричну модель даної системи та подивитися рішення.

Зазначимо на координатній прямій кількості мінус один, два та п'ять. Причому числам -1 і 2 відповідатиме світла точка, а числу п'ять темна точка. Нанесемо «штрихування» праворуч від 2 для першої нерівності, праворуч від 1 — для другої нерівності і праворуч від п'яти — для третьої нерівності. Перетин штрихування вказує на безліч чисел, великих і рівних п'яти. Відповідь запишемо у вигляді виразу

Приклад 2. Розв'язати нерівність

Складемо систему нерівностей. Нерівності >0 та >0 визначають область допустимих значень нерівності. Основа логарифму дорівнює 0,3, воно більше нуля, але менше одного, значить логарифмічна нерівність рівносильна нерівності з протилежним за змістом знаком:

Отримана система важка для паралельного розв'язання нерівностей. Вирішимо кожне з них окремо і розглянемо загальне рішення на геометричній моделі.

Нерівність є квадратною і вирішується за властивостями квадратичної функції, графіком якої є парабола з гілками догори. Знайдемо нулі цієї функції, при цьому її праву частину прирівняємо до нуля і вирішимо отримане рівняння через розкладання на множники. Для цього винесемо загальний множник ікс за дужки, у дужках залишиться від першого доданку - шість, від другого доданку - мінус ікс. Добуток дорівнює нулю тоді, коли один із множників дорівнює нулю, а інший при цьому не втрачає сенсу. Отже, перший множник ікс дорівнює нулю чи другий множник шість мінус ікс дорівнює нулю. Тоді коріння рівняння – нуль та шість. Зазначимо їх на координатній прямій у вигляді світлих точок, тому що квадратна нерівність, що розв'язується, суворе і зобразимо параболу гілками вниз, що проходить через ці точки. Квадратична функція набуває позитивних значень на інтервалі від нуля до шести, отже рішенням нерівності є безліч чисел x

Нерівність є лінійною. Воно містить негативні доданки, для зручності обидві частини нерівності помножимо на мінус одиницю. Знак нерівності у разі зміниться на протилежний. Отримаємо нерівність.

Перенесемо вісім у праву частину нерівності та запишемо як мінус вісім. Таким чином, розв'язанням нерівності є безліч чисел від мінус нескінченності до мінус восьми. Запишемо рішення нерівності в ідеї вираження x.

Нерівність зводиться до квадратної нерівності, для цього перенесемо мінус вісім і мінус ікс у ліву частину нерівності. Отримаємо нерівність і наведемо подібні 6х і х, Отримаємо 7х, рівняння набуде вигляду. Вирішується воно за властивостями квадратичної функції, графіком якої є парабола з гілками вниз. Знайдемо нулі функції.0 при =0 і вирішимо отримане квадратне рівняння через формулу дискримінанта. bдорівнює мінус семи, коефіцієнт адорівнює мінус одиниці, а здорівнює 8, то дискримінант рівняння дорівнює 81. Знайдемо за формулою перший корінь, він дорівнює -1, другий корінь дорівнює 8.

Зазначимо отримані значення на координатній прямий темними точками, так квадратне нерівність, що розглядається, відноситься до нестрогих нерівностей. Зобразимо на координатній прямій параболу з гілками донизу. Квадратична функція приймає менші і рівні нулю значення на множині чисел від мінус нескінченності до включаючи і від 8 до плюс нескінченності включаючи 8. Розв'язання цієї нерівності запишемо у вигляді виразу

Отже, всі три нерівності вирішені, відзначимо їх розв'язання на одній координатній прямій. Значення змінної, які б задовольняли всім трьом нерівностям одночасно, немає, що означає, що вихідна логарифмічна нерівність немає рішень. Відповідь: рішень немає.

Цей факт можна було помітити після вирішення лінійної нерівності, оскільки рішенням першої квадратної нерівності є позитивні числа від одного до шести, а рішенням другої нерівності є негативні числа, то для цих двох нерівностей вже немає загальних рішень і

вихідна логарифмічна нерівність не має рішень.

Логарифми мають цікаві властивості, що спрощують обчислення та вирази, згадаємо деякі з них

1. Логарифм добутку двох позитивних чисел дорівнює сумі логарифмів цих чисел.
2. Будь-яке число можна подати у вигляді логарифму. Наприклад, 2 можна записати як логарифм чотирьох на підставі два або логарифм 25 на підставі 5, мінус одиницю можна записати як логарифм 0,2 на підставі п'ять або десятковий логарифм 0,1.

Приклад 3. Розв'язати нерівність:

Нерівність треба перетворити на вигляд.

Для цього одиницю запишемо у вигляді логарифму 2 на підставі два. А лівої частини нерівності суму логарифмів замінимо за якістю на тотожно рівне йому вираз — логарифм твору. Отримаємо нерівність виду

Складемо систему нерівностей. Нерівності, що задають область допустимих значень нерівності, визначаються за вихідною нерівністю, тому >0 і >0 будуть першими двома нерівностями системи. Так як логарифм має основу 2, воно більше одного, то нерівність
Рівносильно нерівності (х-3) (х-2)2.

У першій нерівності перенесемо мінус три у праву частину, отримаємо нерівність х>3, у другому - мінус два перенесемо у праву частину, отримаємо нерівність х>2.

У третьому - розкриємо дужки в лівій частині нерівності, помножуючи кожен член першого багаточлена на кожен член другого багаточлена. Отримаємо нерівність.

Вирішимо третю нерівність окремо: перенесемо дві в ліву частину нерівності і запишемо з мінусом.

Спростимо отриману моральність до виду. Сума коефіцієнтів цього рівняння дорівнює нулю, тоді, за якістю коефіцієнтів, перший корінь дорівнює одному, а другий дорівнює приватному від с на аі дорівнює у разі 4. Ці рівняння можна розв'язати і через формулу дискримінанта, коріння від способу рішення не залежать.

Відзначимо це коріння на координатній прямій у вигляді темних точок, проведемо через них параболу гілками вгору. Нерівність

виконується на множині чисел від 1 до 4 включаючи 1 і 4.

Зазначимо на одній координатній прямій розв'язання першої і другої нерівності, для цього зробимо штрихування правіше трьох для першої нерівності і правіше двох для другої нерівності і штрихування від 1 до 4 для другої нерівності. Три нерівності одночасно виконуються тільки на безлічі чисел від 3 до 4, включаючи 4. Значить, це буде рішення вихідної логарифмічної нерівності.

Висновок: При розв'язанні логарифмічних нерівностей

Якщо a>1 , то переходять до розв'язання системи з нерівностей, що визначають область допустимих значень нерівності, та нерівності підлогорифмічних виразів того самого знака.

Якщо 0

Слайд 1)

Мета уроку:

• організувати діяльність учнів зі сприйняття, осмислення, первинного запам'ятовування та закріплення знань та способів дій;
• повторити властивості логарифмів;
• забезпечити в ході уроку засвоєння нового матеріалу щодо застосування теореми про логарифмічні нерівності на підставі aлогарифма для випадків: а) 0< a < 1, б) a > 1;
• створити умову формування інтересу до математики через ознайомлення з роллю математики у розвитку людської цивілізації, в науково-технічному прогресі.

Структура уроку:

1. Організація початку уроку.
2. Перевірка домашнього завдання.
3. Повторення.
4. Актуалізація провідних знань та способів дій.
5. Організація засвоєння нових знань та способів дій.
6. Первинна перевірка розуміння, осмислення та закріплення.
7. Домашнє завдання.
8. Рефлексія. Підсумок уроку.

ХІД УРОКУ

1. Організаційний момент

2. Перевірка домашнього завдання(додаток , слайд 2)

3. Повторення(додаток , слайд 4)

4. Актуалізація провідних знань та способів дій

– На одному з попередніх уроків у нас виникла ситуація, коли ми не змогли вирішити показове рівняння, що призвело до запровадження нового математичного поняття. Ми ввели визначення логарифму, вивчили властивості та розглянули графік логарифмічної функції. На попередніх уроках вирішували логарифмічні рівняння за допомогою теореми та властивостей логарифмів. Застосовуючи властивості логарифмічної функції ми змогли вирішити найпростіші нерівності. Але опис властивостей навколишнього світу не обмежується найпростішими нерівностями. Як же зробити в тому випадку, коли ми отримаємо нерівності, з якими не впоратися з наявним обсягом знань? Відповідь на це питання ми отримаємо на цьому та наступних уроках.

5. Організація засвоєння нових знань та способів дій (додаток , Слайди 5-12).

1) Тема, ціль уроку.

2) (додаток , слайд 5)

Визначення логарифмічної нерівності: логарифмічними нерівностями називають нерівності виду та нерівності, що зводяться до цього виду.

3) (додаток , слайд 6)

Для вирішення нерівності проведемо такі міркування:

Отримуємо 2 випадки: a> 1 та 0<a < 1.
Якщо a>1, то нерівність log a t> 0 має місце і тоді, коли t > 1, отже , тобто. f(x) > g(x) (врахували, що g(x) > 0).
Якщо 0<a < 1, то неравенство loga t> 0, має місце і тоді, коли 0<t < 1, значит , т.е. f(x) < g(x) (врахували, що g(x) > 0 та f(x) > 0).

(додаток , слайд 7)

Отримуємо теорему: якщо f(x) > 0 та g(x) > 0), та логарифмічна нерівність log a f(x) > log a g(x) рівносильно нерівності того ж сенсу f(x) > g(x) при a > 1
логарифмічна нерівність log a f(x) > log a g(x) рівносильно нерівності протилежного сенсу f(x) < g(x), якщо 0<a < 1.

4) На практиці при вирішенні нерівності переходять до рівносильної системи нерівностей ( додаток , слайд 8):

5) Приклад 1 ( додаток , слайд 9)

З третьої нерівності випливає, що перша нерівність зайва.

З третьої нерівності випливає, що друга нерівність зайва.

Приклад 2 ( додаток , слайд 10)

Якщо виконується друга нерівність, то виконується і перша (якщо A > 16, тим більше А> 0). Значить, 16+4 x – x 2 > 16, x 2 – 4 < 0, x(x – 4) < 0,