Математичні межі. Калькулятор онлайн.Рішення меж

Для тих, хто хоче навчитися знаходити межі в цій статті, ми розповімо про це. Не заглиблюватимемося в теорію, зазвичай її дають на лекціях викладачі. Так що "нудна теорія" має бути у Вас законспектована у зошитах. Якщо цього немає, то можна почитати підручники взяті в бібліотеці навчального закладуабо інших інтернет-ресурсах.

Отже, поняття межі досить важливе у вивченні курсу вищої математики, особливо коли ви зіткнетеся з інтегральним обчисленнямі зрозумієте зв'язок між межею та інтегралом. У поточному матеріалі буде розглянуто прості приклади, і навіть способи їх вирішення.

Приклади рішень

Приклад 1

Обчислити а) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; б)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Рішення

а) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ б)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Нам часто надсилають ці межі із проханням допомогти вирішити. Ми вирішили їх виділити окремим прикладомі пояснити, що ці межі необхідно просто запам'ятати, як правило. Якщо не вдається вирішити своє завдання, то надсилайте його до нас. Ми надамо докладне рішення. Ви зможете ознайомитися з ходом обчислення та отримати інформацію. Це допоможе вчасно отримати залік у викладача!

Відповідь

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( б))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Що робити з невизначеністю виду: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Приклад 3

Вирішити $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Рішення

Як завжди починаємо з підстановки значення $ x $ у вираз, що стоїть під знаком межі. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Що тепер далі? Що ж має вийти у результаті? Оскільки це невизначеність, це ще відповідь і продовжуємо обчислення. Так як у чисельники у нас багаточлен, то розкладемо його на множники, допомогою знайомої всім формули ще зі шкільної лави $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Згадали? Чудово! Тепер вперед і з піснею застосовувати її :) Отримуємо, що чисельник $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Продовжуємо вирішувати враховуючи вищенаведене перетворення: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Відповідь

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Спрямуємо межу останніх двох прикладах до нескінченності і розглянемо невизначеність: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Приклад 5

Обчислити $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Рішення

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Що ж робити? Як бути? Не варто панікувати, бо неможливе – можливо. Потрібно винести за дужки і в чисельнику і в знаменнику ікс, а потім скоротити його. Після цього межу спробувати обчислити. Пробуємо... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Використовуючи визначення з прикладу 2 і підставляючи місце х нескінченність отримуємо: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Відповідь

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Алгоритм обчислення лімітів

Отже, давайте коротко підіб'ємо підсумок розібраним прикладам і складемо алгоритм розв'язання меж:

1. Підставити точку х вираз, наступне після знака межі. Якщо виходить певна кількість, або нескінченність, то межа вирішена повністю. В іншому випадку маємо невизначеність: "нуль ділити на нуль" або "нескінченність ділити на нескінченність" і переходимо до наступних пунктів інструкції.
2. Щоб усунути невизначеність "нуль ділити на нуль", потрібно розкласти чисельник і знаменник на множники. Скоротити такі. Підставити точку х у вираз, що стоїть під знаком межі.
3. Якщо невизначеність "нескінченність ділити на нескінченність", тоді виносимо і в чисельнику, і в знаменнику x найбільшою мірою. Скорочуємо ікси. Підставляємо значення ікса з-під межі в вираз, що залишився.

У цій статті Ви ознайомилися з основами вирішення меж, які часто використовуються в курсі Математичного аналізу. Звичайно ж це не всі типи завдань, що пропонуються екзаменаторами, а найпростіші межі. У наступних статтях поговоримо про інші типи завдань, але спершу необхідно засвоїти цей урок, щоб рухатися далі. Обговоримо, що робити, якщо є коріння, ступеня, вивчимо нескінченно малі еквівалентні функції, чудові межі, правило Лопіталя.

Якщо Вам не вдається самостійно вирішити межі, то не панікуйте. Ми завжди раді допомогти!

Невизначеність виду і виду - найпоширеніші невизначеності, які потрібно розкривати під час вирішення меж.

Більша частиназавдань на межі, що трапляються студентам, несуть у собі такі невизначеності. Для їх розкриття або, точніше, уникнення невизначеностей існує кілька штучних прийомів перетворення виду вираження під знаком межі. Ці прийоми наступні: почленное поділ чисельника і знаменника на старший ступінь змінної, примноження на сполучене вираз і розкладання на множники для подальшого скорочення з використанням рішень квадратних рівняньта формул скороченого множення.

Невизначеність виду

приклад 1.

nдорівнює 2. Тому почленно ділимо чисельник і знаменник на:

.

Коментар до правої частини виразу. Стрілками та цифрами позначено, чого прагнуть дроби після підстановки замість nзначення нескінченність. Тут, як і в прикладі 2, ступінь nу знаменника більше, ніж у чисельнику, внаслідок чого весь дріб прагне нескінченно малої величини або "супермалого числа".

Отримуємо відповідь: межа цієї функції при змінній, що прагне нескінченності, дорівнює .

приклад 2. .

Рішення. Тут старший ступінь змінної xдорівнює 1. Тому почленно ділимо чисельник і знаменник на x:

.

Коментар до перебігу рішення. У чисельнику заганяємо "ікс" під корінь третього ступеня, а щоб його початковий ступінь (1) залишався незмінним, привласнюємо йому той самий ступінь, що й у кореня, тобто 3. Стрілок і додаткових чисел у цьому записі вже немає, так що спробуйте подумки, але за аналогією з попереднім прикладом визначити, чого прагнуть вирази в чисельнику і знаменнику після підстановки нескінченності замість "ікса".

Отримали відповідь: межа цієї функції при змінній, що прагне нескінченності, дорівнює нулю.

Невизначеність виду

приклад 3.Розкрити невизначеність і знайти межу.

Рішення. У чисельнику - різниця кубів. Розкладемо її на множники, застосовуючи формулу скороченого множення з курсу шкільної математики:

У знаменнику - квадратний тричлен, який розкладемо на множники, вирішивши квадратне рівняння (ще раз посилання на розв'язання квадратних рівнянь):

Запишемо вираз, отриманий в результаті перетворень і знайдемо межу функції:

приклад 4.Розкрити невизначеність і знайти межу

Рішення. Теорема про межу приватного тут не застосовується, оскільки

Тому тотожно перетворимо дріб: помноживши чисельник і знаменник на двочлен, пов'язаний знаменнику, і скоротимо на x+1. Відповідно до слідства з теореми 1, отримаємо вираз, вирішуючи яке, знаходимо потрібну межу:

Приклад 5.Розкрити невизначеність і знайти межу

Рішення. Безпосереднє встановлення значення x= 0 в задану функціюпризводить до невизначеності виду 0/0. Щоб розкрити її, виконаємо тотожні перетворенняі отримаємо в результаті потрібну межу:

Приклад 6.Обчислити

Рішення:скористаємося теоремами про межі

Відповідь: 11

Приклад 7.Обчислити

Рішення:у цьому прикладі межі чисельника та знаменника при рівні 0:

; . Отримали, отже, теорему про межі частки застосовувати не можна.

Розкладемо чисельник і знаменник на множники, щоб скоротити дріб на загальний множник, що прагне нуля, і, отже, зробити можливим застосування теореми 3.

Квадратний тричлену чисельнику розкладемо за формулою , де х 1 і х 2 – коріння тричлена. Розклавши на множники і знаменник, скоротимо дріб на (x-2), потім застосуємо теорему 3.

Відповідь:

Приклад 8.Обчислити

Рішення:При чисельник і знаменник прагнуть нескінченності, тому при безпосередньому застосуванні теореми 3 отримуємо вираз , який є невизначеністю. Для позбавлення від невизначеності такого виду слід розділити чисельник та знаменник на старший ступінь аргументу. У даному прикладіпотрібно розділити на х:

Відповідь:

Приклад 9.Обчислити

Рішення: х 3:

Відповідь: 2

приклад 10.Обчислити

Рішення:При чисельник і знаменник прагнуть нескінченності. Розділимо чисельник і знаменник на старшу міру аргументу, тобто. х 5:

=

чисельник дробу прагне 1, знаменник до 0, тому дріб прагне нескінченності.

Відповідь:

Приклад 11.Обчислити

Рішення:При чисельник і знаменник прагнуть нескінченності. Розділимо чисельник і знаменник на старшу міру аргументу, тобто. х 7:

Відповідь: 0

Похідна.

Похідної функції y = f(x) за аргументом xназивається межа відношення її збільшення y до збільшення x аргументу x, коли збільшення аргументу прагне до нуля: . Якщо ця межа закінчена, то функція y = f(x)називається диференційованою у точці х. Якщо ж ця межа є , то кажуть, що функція y = f(x)має у точці х нескінченну похідну.

Похідні основних елементарних функцій:

1. (const) = 0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

Правила диференціювання:

a)

в)

приклад 1.Знайти похідну функції

Рішення:Якщо похідну від другого доданку знаходимо за правилом диференціювання дробу, то перший доданок є складною функцією, похідна якої знаходиться за формулою:

, де тоді

За рішення були використані формули: 1,2,10,а,в,г.

Відповідь:

Приклад 21.Знайти похідну функції

Рішення:обидва доданки – складні функції, де для першого , , а для другого , тоді

Відповідь:

Програми похідної.

1. Швидкість та прискорення

Нехай функція s(t) описує становищеоб'єкта в деякій системі координат на момент часу t. Тоді перша похідна функції s(t) є миттєвою швидкістюоб'єкта:
v=s′=f′(t)
Друга похідна функції s(t) є миттєвим прискоренняоб'єкта:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Рівняння дотичної
y−y0=f′(x0)(x−x0),
де (x0, y0) – координати точки дотику, f′(x0) – значення похідної функції f(x) у точці дотику.

3. Рівняння нормалі
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

де (x0,y0) – координати точки, в якій проведена нормаль, f′(x0) – значення похідної функції f(x) у даній точці.

4. Зростання та зменшення функції
Якщо f′(x0)>0, то функція зростає у точці x0. На малюнку нижче функція зростає при x x2.
Якщо f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1Якщо f′(x0)=0 або похідна не існує, то ця ознака не дозволяє визначити характер монотонності функції у точці x0.

5. Локальні екстремуми функції
Функція f(x) має локальний максимуму точці x1, якщо існує така околиця точки x1, що для всіх x з цієї околиці виконується нерівність f(x1)≥f(x).
Аналогічно, функція f(x) має локальний мінімуму точці x2, якщо існує така околиця точки x2, що для всіх x з цієї околиці виконується нерівність f(x2)≤f(x).

6. Критичні точки
Точка x0 є критичною точкоюфункції f(x), якщо похідна f′(x0) у ній дорівнює нулю чи немає.

7. Перша достатня ознака існування екстремуму
Якщо функція f(x) зростає (f′(x)>0) для всіх x у певному інтервалі (a,x1] і зменшується (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) для всіх x з інтервалу $

$ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

$ \bigg [\infty-\infty \bigg ] $

Перед тим, як приступити до рішення, визначте тип свого завдання

Тип 1 $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Для того, щоб розкривати такі невизначеності необхідно примножити чисельник і знаменник дробу на сполучене до виразу, що містить корінь.

Приклад 1

Знайти межу з коренем $$ \lim \limits_(x \to 4) \frac(x-4)(4-\sqrt(x+12)) $$

Рішення

Підставляємо $ x \to 4 $ у підрозподільну функцію: $$ \lim \limits_(x \to 4) \frac(x-4)(4-\sqrt(x+12)) = \frac(0)(0) = $$ Отримуємо невизначеність $[\frac(0)(0)]$. Домножимо чисельник і знаменник на вираз пов'язаний до нього, оскільки він містить корінь: $ 4+\sqrt(x+12) $ $$ = \lim \limits_(x \to 4) \frac((x-4)(4+\sqrt(x+12)))((4-\sqrt(x+12))(4+\sqrt (x+12))) = $$ Використовуючи формулу різниці квадратів $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $ наведемо межу до наступного виду: $$ = \lim \limits_(x \to 4) \frac((x-4)(4+\sqrt(x+12)))(16-(x+12)) = $$ Розкриваємо дужки у знаменнику та спрощуємо його: $$ = \lim \limits_(x \to 4) \frac((x-4)(4+\sqrt(x+12)))(4-x) = $$ Скорочуємо функцію в межах на $ x-4 $, маємо: $$ = -\lim \limits_(x \to 4) (4+\sqrt(x+12)) = -(4+\sqrt(4+12)) = -8 $$ Якщо не вдається вирішити своє завдання, то надсилайте його до нас. Ми надамо детальне рішення. Ви зможете ознайомитися з ходом обчислення та отримати інформацію. Це допоможе вчасно отримати залік у викладача!

Відповідь

$$ \lim \limits_(x \to 4) \frac(x-4)(4-\sqrt(x+12)) = -8 $$

Тип 2 $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Межі з коренем такого типу, коли $ x \to \infty $ потрібно обчислювати по-іншому на відміну від попереднього випадку. Необхідно визначити старші ступені виразів чисельника та знаменника. Потім винести найстаршу з двох ступенів за дужки і скоротити.

Тип 3 $ \bigg [\infty-\infty \bigg ] $

Цей вид меж часто трапляється у додаткових завданнях на іспиті. Адже часто студенти неправильно обчислюють межі такого типу. Як вирішувати межі з корінням цього виду? Все просто. Необхідно помножити і розділити функцію, що стоїть у межі, на вираз пов'язане до неї.

Приклад 3

Обчислити межу кореня $$ \lim \limits_(x \to \infty) \sqrt(x^2-3x)-x $$

Рішення

При $ x \to \infty $ у межі бачимо: $$ \lim \limits_(x \to \infty) \sqrt(x^2-3x)-x = [\infty - \infty] = $$ Після домноження та поділу на сполучене маємо межу: $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac((\sqrt(x^2-3x)-x)(\sqrt(x^2-3x)+x))(\sqrt(x^2 -3x)+x) = $$ Спростимо чисельник, використовуючи формулу різниці квадратів: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2 $ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac((x^2-3x)-x^2)(\sqrt(x^2-3x)+x) = $$ Після розкриття дужок та спрощення отримуємо: $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(-3x)(\sqrt(x^2-3x)+x) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(-3x)(x(\sqrt(1-\frac(3)(x))+1)) = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(-3)(\sqrt(1-\frac(3)(x))+1) = $$ Знову підставляємо $ x \to \infty $ у межу і обчислюємо його: $$ = \frac(-3)(\sqrt(1-0)+1) = -\frac(3)(2) $$

Відповідь

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \sqrt(x^2-3x)-x = -\frac(3)(2) $$

\begin(equation) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(equation)

Приклад №4

Знайти $\lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)$.

Оскільки $\lim_(x\to 4)\left(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)\right)=0$ і $\lim_(x\to 4)(16-x^ 2)=0$, ми маємо справу з невизначеністю виду $\frac(0)(0)$. Щоб позбавитися ірраціональності, що викликала цю невизначеність, потрібно примножити чисельник і знаменник на вираз, пов'язаний до чисельника. тут вже не допоможе, бо примноження на $sqrt(5x-12)+sqrt(x+4)$ приведе до такого результату:

$$ \left(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)\right)\left(\sqrt(5x-12)+\sqrt(x+4)\right)=\sqrt((5x -12)^2)-\sqrt((x+4)^2) $$

Як бачите, таке примноження не позбавить нас різниці коренів, що викликає невизначеність $\frac(0)(0)$. Потрібно примножити на інший вираз. Цей вираз має бути таким, щоб після примноження на нього зникла різниця кубічних коренів. А кубічний корінь може "прибрати" лише третій ступінь, тому потрібно використати . Підставивши праву частину цієї формули $a=\sqrt(5x-12)$, $b=\sqrt(x+4)$, отримаємо:

$$ \left(\sqrt(5x-12)- \sqrt(x+4)\right)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt( x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right)=\\ =\sqrt((5x-12)^3)-\sqrt((x+4)^3)=5x-12 -(x+4)=4x-16. $$

Отже, після домноження на $\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2)$ різницю кубічних коренів зникла. Саме вираз $\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2)$ буде сполученим до виразу $\ sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)$. Повернемося до нашої межі і здійснимо множення чисельника і знаменника на вираз, пов'язаний чисельнику $\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)$:

$$ \lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)=\left|\frac(0)(0)\right |=\\ =\lim_(x\to 4)\frac(\left(\sqrt(5x-12)- \sqrt(x+4)\right)\left(\sqrt((5x-12)^2) )+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))((16-x^2)\left(\sqrt((5x) -12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))=\\ =\lim_(x\to 4 )\frac(4x-16)((16-x^2)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt ((x+4)^2) \right)) $$

Завдання практично вирішено. Залишилося лише врахувати, що $16-x^2=-(x^2-16)=-(x-4)(x+4)$ (див. ). Крім того $4x-16=4(x-4)$, тому останню межу перепишемо в такій формі:

$$ \lim_(x\to 4)\frac(4x-16)((16-x^2)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \ sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))=\\ =\lim_(x\to 4)\frac(4(x-4))(-(x-4 )(x+4)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \ right))=\\ =-4\cdot\lim_(x\to 4)\frac(1)((x+4)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x- 12) \cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))=\\ =-4\cdot\frac(1)((4+4)\left(\) sqrt((5\cdot4-12)^2)+\sqrt(5\cdot4-12)\cdot \sqrt(4+4)+\sqrt((4+4)^2) \right))=-\ frac(1)(24). $$

Відповідь: $\lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)=-\frac(1)(24)$.

Розглянемо ще один приклад (приклад №5) у цій частині, де застосуємо . Принципово схема рішення нічим не відрізняється від попередніх прикладів, - хіба що сполучене вираз матиме іншу структуру. До речі, слід зазначити, що у типових розрахунках і контрольних роботах часто зустрічаються завдання, коли, наприклад, у чисельнику розміщені вирази з кубічним коренем, а знаменнику - з коренем квадратним. У цьому випадку доводиться множити і чисельник і знаменник різні сполучені висловлювання. Наприклад, для обчислення межі $\lim_(x\to 8)\frac(\sqrt(x)-2)(\sqrt(x+1)-3)$, що містить невизначеність виду $\frac(0)(0 )$, домноження матиме вигляд:

$$ \lim_(x\to 8)\frac(\sqrt(x)-2)(\sqrt(x+1)-3)=\left|\frac(0)(0)\right|= \lim_ (x\to 8)\frac(\left(\sqrt(x)-2\right)\cdot \left(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\right)\cdot\left (\sqrt(x+1)+3\right))(\left(\sqrt(x+1)-3\right)\cdot\left(\sqrt(x+1)+3\right)\cdot\ left(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\right))=\\= \lim_(x\to 8)\frac((x-8)\cdot\left(\sqrt( x+1)+3\right))(\left(x-8\right)\cdot\left(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\right))= \lim_(x \to 8)\frac(\sqrt(x+1)+3)(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4)=\frac(3+3)(4+4+4) = frac (1) (2). $$

Усі перетворення, застосовані вище, вже було розглянуто раніше, тому вважаю, особливих неясностей тут немає. Втім, якщо вирішення вашого аналогічного прикладу викликає запитання, прошу відписати про це на форумі.

Приклад №5

Знайти $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)$.

Оскільки $\lim_(x\to 2)(\sqrt(5x+6)-2)=0$ і $\lim_(x\to 2)(x^3-8)=0$, ми маємо справу з невизначеністю $\frac(0)(0)$. Для розкриття цієї невизначеності використовуємо. Сполучене вираження до чисельника має вигляд

$$\sqrt((5x+6)^3)+\sqrt((5x+6)^2)\cdot 2+\sqrt(5x+6)\cdot 2^2+2^3=\sqrt(( 5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8.$$

Домножуючи чисельник і знаменник дробу $\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)$ на вказане вище сполучене вираз матимемо:

$$\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\ lim_(x\to 2)\frac(\left(\sqrt(5x+6)-2\right)\cdot \left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x +6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\) cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))=\ = \lim_(x\to 2)\frac(5x+6-16) ((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6) +8\right))=\\ =\lim_(x\to 2)\frac(5x-10)((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+ 2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right)) $$

Оскільки $5x-10=5\cdot(x-2)$ і $x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$ (див. ), то:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(5x-10)((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x +6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))=\\ =\lim_(x\to 2)\frac(5(x-2))((x-2 )(x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+ 6)+8\right))=\\lim_(x\to 2)\frac(5)((x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3) +2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))=\\frac(5)((2^2+2\cdot 2 +4)\cdot\left(\sqrt((5\cdot 2+6)^3)+2\cdot\sqrt((5\cdot 2+6)^2)+4\cdot\sqrt(5\cdot 2+6)+8right))=frac(5)(384). $$

Відповідь: $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)=\frac(5)(384)$.

Приклад №6

Знайти $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(3x-5)-1)(\sqrt(3x-5)-1)$.

Оскільки $\lim_(x\to 2)(\sqrt(3x-5)-1)=0$ і $\lim_(x\to 2)(\sqrt(3x-5)-1)=0$, ми маємо справу з невизначеністю $\frac(0)(0)$. У таких ситуаціях, коли вирази під корінням однакові, можна використовувати спосіб заміни. Потрібно замінити вираз під коренем (тобто $3x-5$), ввівши деяку нову змінну. Проте просте використання нової літери нічого не дасть. Уявіть, що ми просто замінили вираз $3x-5$ буквою $t$. Тоді дріб, що стоїть під межею, стане таким: $ frac ( sqrt (t) -1) ( sqrt (t) -1) $. Ірраціональність нікуди не зникла, - лише дещо видозмінилася, що анітрохи не полегшило завдання.

Тут доречно згадати, що корінь може усунути лише ступінь. Але який саме ступінь використати? Питання не тривіальне, адже у нас два корені. Один корінь п'ятого, а другий – третього порядку. Ступінь має бути таким, щоб одночасно прибрати обидва корені! Нам потрібне натуральне число, яке одночасно ділилося б на $3$ і $5$. Таких чисел безліч, але найменше їх - число $15$. Його називають найменшим загальним кратнимчисел $3$ та $5$. І заміна має бути такою: $ t ^ (15) = 3x-5 $. Подивіться, що така заміна зробить із корінням.

Теорія меж – це з розділів математичного аналізу. Питання вирішення меж є досить широким, оскільки існують десятки прийомів рішень меж різних видів. Існують десятки нюансів і хитрощів, що дозволяють вирішити ту чи іншу межу. Тим не менш, ми все-таки спробуємо розібратися в основних типах меж, які найчастіше зустрічаються практично.

Почнемо з поняття межі. Але спершу коротка історична довідка. Жив-був у 19 столітті француз Огюстен Луї Коші, який заклав основи математичного аналізу та дав суворі визначення, визначення межі, зокрема. Треба сказати, цей самий Коші снився, сниться і буде снитися в кошмарних снах всім студентам фізико-математичних факультетів, оскільки довів величезну кількість теорем математичного аналізу, причому одна теорема огидніша за іншу. У цьому ми не розглядатимемо суворе визначення межі, а спробуємо зробити дві речі:

1. Зрозуміти, що таке межа.
2. Навчитися вирішувати основні типи меж.

Перепрошую за деяку ненауковість пояснень, важливо щоб матеріал був зрозумілий навіть чайнику, що, власне, і є завданням проекту.

Отже, що таке межа?

А одразу приклад, чого бабусю кудлатити….

Будь-яка межа складається з трьох частин:

1) Всім відомого значка межі.
2) Записи під значком межі, у разі . Запис читається «ікс прагне одиниці». Найчастіше саме , хоча замість «ікса» на практиці зустрічаються й інші змінні. У практичних завданнях дома одиниці може бути абсолютно будь-яке число, і навіть нескінченність ().
3) Функції під знаком межі, у разі .

Сам запис читається так: «межа функції при ікс, що прагне до одиниці».

Розберемо наступне важливе питання – а що означає вираз «ікс прагнедо одиниці»? І що взагалі таке «прагне»?
Поняття межі - це поняття, якщо так можна сказати, динамічний. Побудуємо послідовність: спочатку , потім , , …, , ….
Тобто вираз «ікс прагнедо одиниці» слід розуміти так – «ікс» послідовно набуває значень, які нескінченно близько наближаються до одиниці та практично з нею збігаються.

Як вирішити вищезазначений приклад? Виходячи з вищесказаного, потрібно просто підставити одиницю у функцію, що стоїть під знаком межі:

Отже, перше правило: Коли дана будь-яка межа, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.

Ми розглянули найпростішу межу, але й такі зустрічаються на практиці, причому, не так вже й рідко!

Приклад із нескінченністю:

Розбираємось, що таке? Це той випадок, коли необмежено зростає, тобто: спочатку, потім, потім, потім і так далі до безкінечності.

А що в цей час відбувається з функцією?
, , , …

Отже: якщо , то функція прагне мінус нескінченності:

Грубо кажучи, згідно з нашим першим правилом, ми замість «ікса» підставляємо в функцію нескінченність і отримуємо відповідь.

Ще один приклад із нескінченністю:

Знову починаємо збільшувати до нескінченності, і дивимося на поведінку функції:

Висновок: при функція необмежено зростає:

І ще серія прикладів:

Будь ласка, спробуйте самостійно проаналізувати нижченаведене і запам'ятайте найпростіші види меж:

, , , , , , , , ,
Якщо де-небудь є сумніви, можете взяти в руки калькулятор і трохи потренуватися.
У разі, якщо , спробуйте побудувати послідовність , , . Якщо то , , .

Примітка: строго кажучи, такий підхід із побудовою послідовностей із кількох чисел некоректний, але для розуміння найпростіших прикладів цілком підійде.

Також зверніть увагу на таку річ. Навіть якщо дана межа з великим числом вгорі, та хоч з мільйоном: , то все одно , оскільки рано чи пізно «ікс» прийме такі гігантські значення, що мільйон в порівнянні з ними буде справжнісіньким мікробом.

Що потрібно запам'ятати та зрозуміти з вищесказаного?

1) Коли дано будь-яку межу, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.

2) Ви повинні розуміти і відразу вирішувати найпростіші межі, такі як , , і т.д.

Зараз ми розглянемо групу меж, коли , а функція є дріб, в чисельнику і знаменнику якого знаходяться багаточлени

Приклад:

Обчислити межу

Згідно з нашим правилом, спробуємо підставити нескінченність у функцію. Що в нас виходить вгорі? Нескінченність. А що виходить унизу? Теж нескінченність. Таким чином, у нас є так звана невизначеність виду. Можна було б подумати, що , і відповідь готова, але в загальному випадку це зовсім не так, і потрібно застосувати певний прийом рішення, який ми зараз і розглянемо.

Як вирішувати межі цього типу?

Спочатку ми дивимося на чисельник і знаходимо у старшому ступені:

Старший ступінь у чисельнику дорівнює двом.

Тепер дивимося на знаменник і теж знаходимо у старшому ступені:

Старший ступінь знаменника дорівнює двом.

Потім ми вибираємо найстарший ступінь чисельника і знаменника: у цьому прикладі вони збігаються і дорівнюють двійці.

Отже, метод вирішення наступний: для того, щоб розкрити невизначеність необхідно розділити чисельник і знаменник на старшому ступені.

Ось воно як відповідь, а зовсім не нескінченність.

Що важливо в оформленні рішення?

По-перше, вказуємо невизначеність, якщо вона є.

По-друге, бажано перервати рішення для проміжних пояснень. Я зазвичай використовую знак , він не несе ніякого математичного сенсу, а означає, що рішення перервано для проміжного пояснення.

По-третє, вкрай бажано помічати, що й куди прагне. Коли робота оформляється від руки, зручніше це зробити так:

Для позначок краще використовувати простий олівець.

Звичайно, можна нічого цього не робити, але тоді, мабуть, викладач відзначить недоліки у вирішенні або почне ставити додаткові питання по завданню. А воно Вам потрібне?

Приклад 2

Знайти межу
Знову в чисельнику та знаменнику знаходимо у старшому ступені:

Максимальний ступінь у чисельнику: 3
Максимальний ступінь у знаменнику: 4
Вибираємо найбільшезначення, у разі четвірку.
Відповідно до нашого алгоритму, для розкриття невизначеності ділимо чисельник та знаменник на .
Повне оформлення завдання може виглядати так:

Розділимо чисельник та знаменник на

Приклад 3

Знайти межу
Максимальний ступінь «ікса» у чисельнику: 2
Максимальний ступінь «ікса» у знаменнику: 1 (можна записати як)
Для розкриття невизначеності необхідно розділити чисельник та знаменник на . Чистовий варіант рішення може виглядати так:

Розділимо чисельник та знаменник на

Під записом мається на увазі не розподіл на нуль (ділити на нуль не можна), а розподіл на нескінченно мале число.

Таким чином, при розкритті невизначеності виду у нас може вийти кінцеве числонуль або нескінченність.

Межі з невизначеністю виду та метод їх вирішення

Наступна група меж чимось схожа на щойно розглянуті межі: у чисельнику та знаменнику знаходяться багаточлени, але «ікс» прагне вже не до нескінченності, а до кінцевого числа.

Приклад 4

Вирішити межу
Спочатку спробуємо підставити -1 в дріб:

В даному випадку отримана так звана невизначеність.

Загальне правило: якщо в чисельнику і знаменнику знаходяться багаточлени, і є невизначеності виду, то для її розкриття потрібно розкласти чисельник та знаменник на множники.

Для цього найчастіше потрібно вирішити квадратне рівняння та (або) використовувати формули скороченого множення. Якщо ці речі забулися, тоді відвідайте сторінку Математичні формули та таблиціта ознайомтеся з методичним матеріалом Гарячі формули шкільного курсу математики. До речі, його найкраще роздрукувати, потрібно дуже часто, та й інформація з паперу засвоюється краще.

Отже, вирішуємо нашу межу

Розкладемо чисельник і знаменник на множники

Для того, щоб розкласти чисельник на множники, потрібно розв'язати квадратне рівняння:

Спочатку знаходимо дискримінант:

І квадратний корінь із нього: .

Якщо дискримінант великий, наприклад 361, використовуємо калькулятор, функція вилучення квадратного кореня є на найпростішому калькуляторі.

! Якщо корінь не витягується націло (виходить дробове число з комою), цілком імовірно, що дискримінант обчислений неправильно чи завдання друку.

Далі знаходимо коріння:

Таким чином:

Всі. Чисельник на множники розкладено.

Знаменник. Знаменник вже є найпростішим множником, і спростити його неможливо.

Очевидно, що можна скоротити на :

Тепер і підставляємо -1 у вираз, який залишився під знаком межі:

Звичайно, в контрольній роботі, на заліку, іспиті так детально рішення ніколи не розписують. У чистовому варіанті оформлення має виглядати приблизно так:

Розкладемо чисельник на множники.

Приклад 5

Обчислити межу

Спочатку «чистовий» варіант рішення

Розкладемо чисельник і знаменник на множники.

Чисельник:
Знаменник:



,

Що важливого у цьому прикладі?
По-перше, Ви повинні добре розуміти, як розкритий чисельник, спочатку ми винесли за дужку 2, а потім використали формулу різниці квадратів. Вже цю формулу треба знати і бачити.