Після отримання точкової оцінкибажано мати дані щодо надійності такої оцінки. Зрозуміло, що величина лише наближеним значенням параметра q. Обчислена точкова оцінка може бути близька до параметра, що оцінюється, а може і дуже сильно відрізнятися від нього. Точкова оцінка не несе інформації щодо точності процедури оцінювання. Особливо важливо мати інформацію про надійність оцінок для невеликих вибірок. У таких випадках слід скористатися інтервальними оцінками.

Завдання інтервального оцінюванняв самому загальному виглядіможна сформулювати так: за даними вибірки побудувати числовий інтервал, щодо якого із заздалегідь обраною ймовірністю можна сказати, що всередині цього інтервалу знаходиться параметр, що оцінюється. Тут є кілька підходів. Найбільш поширеним методом інтервального оцінювання є метод довірчих інтервалів.

Довірчим інтерваломдля параметра q називається інтервал , що містить невідоме значенняпараметра генеральної сукупностііз заданою ймовірністю g , тобто.

.

Число g називається довірчою ймовірністю, а число a = 1-g – рівнем надійності. Довірча ймовірність визначається апріорно і визначається конкретними умовами. Зазвичай використовується g = 0,9; 0,95; 0,99 (відповідно, a = 0,1; 0,05; 0,01).

Довжина довірчого інтервалу, Що характеризує точність інтервальної оцінки, залежить від обсягу вибірки nта довірчої ймовірності g. При збільшенні величини nдовжина довірчого інтервалу зменшується, а з наближенням ймовірності g до одиниці збільшується.

Нерідко довірчий інтервал будують симетричним щодо точкової оцінки, тобто. у вигляді

, (3.15)

Тут число D називається граничною(або стандартною) помилкою вибірки. Однак симетричні інтервали не завжди вдається побудувати, більше того, іноді доводиться обмежуватись односторонніми довірчими інтервалами:

або .

Оскільки в економетричних завданнях часто доводиться будувати довірчі інтервали параметрів випадкових величин, що мають нормальний розподіл , наведемо схеми їхнього знаходження.

3.4.2. Довірчий інтервал оцінки генеральної
середньої за відомої генеральної дисперсії

Нехай кількісна ознака Xгенеральної сукупності має нормальний розподіл із заданою дисперсією s 2 та невідомим математичним очікуванням a. Для оцінки параметра aвилучено вибірку X 1 , X 2 , …, X n, що складається з nнезалежних нормальної розподілених випадкових величин з параметрами aі s, причому s відомо, а величину aоцінюють за вибіркою:

.

Оцінимо точність цієї наближеної рівності. Для цього поставимо можливість g і спробуємо знайти таке число D, щоб виконувалося співвідношення

.

Далі скористаємось властивостями нормального розподілу. Відомо, що сума нормально розподілених величинтакож має нормальний розподіл. Тому середня величина має нормальний розподіл, математичне очікування та дисперсія якої рівні

Отже,

.

Скористаємося тепер формулою знаходження ймовірностей відхилення нормально розподіленої випадкової величини від математичного очікування:

,

де F( x) – функція Лапласа. Замінюючи Xна і s на , отримаємо

,

де. З останньої рівності знаходимо, що гранична помилка вибіркибуде рівна

.

Взявши до уваги, що довірча ймовірністьзадана та дорівнює g, отримаємо остаточний результат.

Інтервальна оцінка генеральної середньої (математичного очікування) має вигляд

, (3.17)

або коротше

де число t g визначається з рівності.

Наведемо значення t g для поширених значень довірчої ймовірності:

, , .

Обговоримо, як впливає на точність оцінювання параметра aобсяг вибірки nвеличина середнього квадратичного відхилення s, а також значення довірчої ймовірності g.

а) При збільшенні nточність оцінки зростає. На жаль, збільшення точності (тобто зменшення довжини довірчого інтервалу) пропорційно, а не 1/ n, тобто. відбувається набагато повільніше, ніж зростання числа спостережень. Наприклад, якщо ми хочемо збільшити точність висновків у 10 разів чисто статистичними засобами, то ми маємо збільшити обсяг вибірки у 100 разів.

б) Що більше s, то нижче точність. Залежність точності від цього параметра має лінійний характер.

в) Чим вища довірча ймовірність g, тим більше значенняпараметра t g, тобто. тим нижча точність. При цьому між g і t g існує нелінійний зв'язок. Зі збільшенням g значення t g різко збільшується (при). Тому з великою впевненістю (з високою вірогідністю) ми можемо гарантувати лише відносно невисоку точність. (Довірчий інтервал виявиться широким.) І навпаки: коли ми вказуємо для невідомого параметра aвідносно вузькі межі, ми ризикуємо зробити помилку – з відносно високою ймовірністю.

Зазначимо, що величина

називається середньою помилкою вибірки. Для безповторної вибіркиця формула набуде вигляду

. (3.20)

Тоді гранична помилка вибірки D буде являти собою t-кратну середню помилку:

Приклад 3.7.На основі тривалих спостережень за вагою Xпакетів горішків, що заповнюються автоматично, встановлено, що середнє квадратичне відхилення ваги пакетів дорівнює s=10 г. Виважено 25 пакетів, при цьому їхня середня вага склала . У якому інтервалі з надійністю 95% лежить дійсне значення середньої ваги пакетів?

.

Для визначення 95%-го довірчого інтервалу обчислимо граничну помилкувибірки

Отже 95%-й довірчий інтервал для справжнього значення середньої ваги пакетів буде мати вигляд

,

На перший погляд може здатися, що отриманий результат є лише теоретичним результатом, оскільки середнє квадратичне відхилення s, як правило, теж невідоме і обчислюється за вибірковими даними. Однак якщо вибірка досить велика, то отриманий результат цілком прийнятний для практичного використання, оскільки функція розподілу мало відрізнятиметься від нормальної, а оцінка дисперсії s 2 буде досить близька до справжнього значення s 2 . Понад те, отриманий результат часто використовують у тому разі, коли розподіл генеральної сукупності відрізняється нормального. Це пов'язано з тим, що сума незалежних випадкових величин, в силу центральної граничної теоремиПри великих вибірках має розподіл, близький до нормального. â

Приклад 3.8.Припустимо, що в результаті вибіркового обстеженняжитлових умов мешканців міста на основі власно-випадкової повторної вибірки, отримано наступний варіаційний ряд:

Таблиця 3.5

Побудувати 95%-довірчий інтервал для ознаки, що вивчається.

Рішення.Розрахуємо вибіркову середню величинута дисперсію досліджуваної ознаки.

Таблиця 3.6

Загальна площа житла, що припадає на 1 чол., м 2	Число мешканців, n i	Середина інтервалу, x i
До 5,0		2,5	20,0	50,0
5,0–10,0		7,5	712,5	5343,8
10,0–15,0		12,5	2550,0	31875,0
15,0–20,0		17,5	4725,0	82687,5
20,0–25,0		22,5	4725,0	106312,5
25,0–30,0		27,5	3575,0	98312,5
30,0 і більше		32,5	2697,5	87668,8
Разом		–	19005,0	412250,0

; ; .

Середня помилкавибірки складе

.

Визначимо граничну помилку вибірки з ймовірністю 0,95 ():

Встановимо межі генеральної середньої

.

Таким чином, на підставі проведеного вибіркового обстеження з ймовірністю 0,95 можна зробити висновок, що середній розмірзагальної площі, що припадає на 1 чол., Загалом по місту лежить у межах від 18,6 до 19,4 м 2 . â

3.4.3. Довірчий інтервал оцінки генеральної
середньої при невідомій генеральній дисперсії

Вище було вирішено завдання побудови інтервальної оцінки для математичного очікування нормального розподілу, коли його дисперсія відома. Однак на практиці дисперсія зазвичай теж невідома і її обчислюють за тією ж вибіркою, що і математичне очікування. Це призводить до необхідності використання іншої формули щодо довірчого інтервалу для математичного очікування випадкової величини, що має нормальний розподіл. Така постановка завдання особливо актуальна за малих обсягів вибірки.

Нехай кількісна ознака Xгенеральної сукупності має нормальний розподіл N(a,s), причому обидва параметри aта s невідомі. За даними вибірки X 1 , X 2 , …, X n, обчислимо середню арифметичну та виправлену дисперсію:

, .

Для знаходження довірчого інтервалу у цьому випадку будується статистика

має розподіл Стьюдента з числом ступенів свободи n=n–1 незалежно від значень параметрів a та s. Вибравши довірчу ймовірність g і знаючи обсяг вибірки n, можна знайти таке число t, що виконуватиметься рівність

,

.

Звідси знаходимо

інтервальну оцінку для генеральної середньої (математичного очікування) при невідомому s:

, (3.22)

або коротше

Число t (коефіцієнт Стьюдента) З таблиць для розподілу Стьюдента. Зазначимо, що він є функцією двох аргументів: довірчої ймовірності g та числа ступенів свободи k=n-1, тобто. t=t(g, n).

Слід бути дуже уважним під час використання таблиць для розподілу Стьюдента. По-перше, зазвичай, у таблицях замість довірчої ймовірності g використовують рівень надійності a=1–g. По-друге, часто в таблицях наводяться значення т.зв. одностороннього критерію Стьюдента

Або .

У цьому випадку в таблицях слід брати значення , якщо таблиці використовується рівень надійності, або , якщо таблиці використовується довірча ймовірність.

Незважаючи на подібність формул (3.17) і (3.22), що здається, між ними є істотна відмінність, що полягає в тому, що коефіцієнт Стьюдента tзалежить як від довірчої ймовірності, а й від обсягу вибірки. Особливо ця відмінність помітна при малих вибірках. (Нагадаємо, що з великих вибірках різницю між розподілом Стьюдента і нормальним розподілом практично исчезает.) У разі використання нормального розподілу призводить до невиправданого звуження довірчого інтервалу, тобто. до невиправданого підвищення точності. Наприклад, якщо n=5 і g=0,99, то, користуючись розподілом Стьюдента, отримаємо t=4,6, а використовуючи нормальний розподіл, – t=2,58, тобто. довірчий інтервал у останньому випадкумайже вдвічі вже, ніж інтервал під час використання розподілу Стьюдента.

Приклад 3.9.Аналітик фондового ринку оцінює середню прибутковість певних акцій. Випадкова вибірка 15 днів показала, що середня (річна) прибутковість із середнім квадратичним відхиленням. Припускаючи, що прибутковість акцій підпорядковується нормальному законурозподілу, побудуйте 95%-довірчий інтервал для середньої прибутковості виду акцій, що цікавить аналітика.

Рішення.Оскільки обсяг вибірки n=15, необхідно застосувати розподіл Стьюдента з ступенями свободи. За таблицями для розподілу Стьюдента знаходимо

.

Використовуючи це значення, будуємо 95%-довірчий інтервал:

.

Отже, аналітик може бути на 95% впевнений, що середня річна дохідність акцій перебуває між 8,44% і 12,3%. â

Розглянемо побудова довірчого інтервалу з метою оцінки математичного очікування.

Нехай – вибірка обсягу із генеральної сукупності обсягу
;- вибіркове середнє; - Вибіркове середнє квадратичне відхилення.

Довірчий інтервал рівня надійності для математичного очікування (генеральної середньої) має вигляд

,

де -гранична помилка вибірки, яка залежить від обсягу вибірки , довірчої ймовірності і дорівнює половині довірчого інтервалу.

генеральної середньої невідомому служить довірчий інтервал:

де - вибіркове середнє; -виправленевибіркове середнє квадратичне відхилення; - параметр, який знаходиться за таблицею розподілу Стьюдента для (
) ступенів свободи та довірчої ймовірності .

Інтервальної оцінки з надійністю генеральної середньої у разі нормального розподілу генеральної сукупності при відомому середньому квадратичному відхиленні служить довірчий інтервал:

де - вибіркове середнє;
- Вибіркове середнє квадратичне відхилення; - Значення аргументу функції Лапласа
, за якого
;- Обсяг вибірки.

Висновки. Довірчий інтервалдля середнього представляє інтервал значень навколо оцінки, де з цим рівнем довіри знаходиться "справжнє" (невідоме) середнє значення ознаки.

Добре відомо, наприклад, що чим «невизначеніший» прогноз погоди (тобто ширший довірчий інтервал), тим вірогідніше він буде вірним.

приклад.Знайти довірчий інтервал з надійністю 0,95 для оцінки математичного очікування нормально розподіленої випадкової величини, якщо відомі її середнє відхилення
, вибіркова середня
та обсяг вибірки
.

Скористаємося формулою
. Значення знайдемо за таблицею значень функції Лапласа
, з урахуванням того що
, тобто.
. Знаходимо по таблиці значення функції
значення аргументу
. Отримаємо довірчий інтервал:

; або
.

Тестові завдання

1. Довжина довірчого інтервалу зменшується зі збільшенням:

1) вибіркових значень 2) обсягу вибірки

3) довірчої ймовірності 4) вибіркового середнього

2. Довжина довірчого інтервалу зі збільшенням обсягу вибірки:

1) зменшується; 2) збільшується;

3) не змінюється; 4) коливається.

3. Довжина довірчого інтервалу зі збільшенням довірчої ймовірності:

1) змінюється; 2) зменшується,

3) збільшується; 4) постійна.

4. Позначте дві правильні відповіді. Символи і у формулі довірчого інтервалу означають:

1) оцінка параметра; 2) довірчий інтервал;

3) обсяг вибірки; 4) довірча ймовірність.

Відповіді. 1. 2). 2. 1 3. 2). 4. 4) та 3).

Контрольні питання

Що розуміється під терміном "інтервальна оцінка параметра розподілу"?

Дайте визначення довірчого інтервалу.

Що таке точність оцінки та надійність оцінки?

Що називається довірчою ймовірністю? Які значення вона набуває?

Як зміниться довжина довірчого інтервалу, якщо збільшити: 1) обсяг вибірки; 2) довірчу ймовірність? Відповідь обґрунтуйте.

Запишіть формулу для знаходження довірчого інтервалу математичного очікування нормально розподіленої випадкової величини, якщо генеральна дисперсія: 1) відома; 2) невідома.

Сторінка 2

Якість вихідних даних (статистика) про показники надійності електрообладнання (разом із показниками шкоди від порушень електропостачання та відомостями про режими роботи та ПВР) оцінюється точністю - шириною довірчого інтервалу, що накриває показник, та достовірністю - ймовірністю не зробити помилку, обираючи цей інтервал. Точність математичних моделейнадійності оцінюється їх адекватністю реальному об'єкту, а точність методу розрахунку надійності - адекватністю отриманого ідеального рішення.

Тепер коефіцієнт варіації дебіту, так само як і сам дебіт, істотно залежить від &0/&1 - Так, наприклад, при pi 1 м і ku/k 5 середній дебіт зменшується в порівнянні з початковим приблизно в 2 рази, а ширина довірчого інтервалу майже в 3 рази. Очевидно, уточнення параметрів привибійної зони в цьому випадку дає суттєву інформацію та значно покращує якість прогнозу.

Незмінність числа випробувань на кожному щаблі надає істотний вплив іа точність результатів. Ширина довірчого інтервалу зменшується зі збільшенням обсягу вибірки.

Довірчими називають інтервали, у межах яких перебувають з певними (довірчими) ймовірностями справжні значенняоцінюваних параметрів. Зазвичай ширину довірчого інтервалу виражають через СКО результати окремих спостережень ах.

Ширина довірчого інтервалу залежить від бажаної статистичної надійності е, обсягу вибірки п і від розподілу випадкових значень, Особливо від розкиду. Довжина та ширина довірчих інтервалів визначається також наявною (випадковою) вибіркою.

Однак ширина довірчого інтервалу при цьому виходить неприйнятно великою. Однак і в цьому випадку ширина довірчого інтервалу виходить занадто великою.

Звідси межі довірчого інтервалу становлять (2385 - 2776 - 013; 23852776Х Х013) (2349; 2421) МПа. З результатів видно, що ширина довірчого інтервалу для тієї ж ймовірності повинна бути майже в 1 5 рази більша за рахунок того, що при меншому числівимірювань довіра до них менша.

Зі співвідношення (2.29) випливає, що ймовірність того, що довірчий інтервал (0 - Д; Д) з випадковими межами накриє відомий параметр 0, дорівнює у. Величину Д, що дорівнює половині ширини довірчого інтервалу, називають точністю оцінки, а ймовірність у - довірчою ймовірністю (або надійністю) оцінки.

Інтервал (04, 042) називається довірчим, його межі 04 і 0W, є випадковими величинами, відповідно нижнім і верхнім довірчими межами. Будь-яка інтервальна оцінка може бути охарактеризована сукупністю двох чисел: шириною довірчого інтервалу Н 04 - 0І, що є мірою точності оцінювання параметра 0, і довірчою ймовірністю у характеризує ступінь достовірності (надійності) результатів.

За цих умов довірчі межі визначаються: для Ме і за допомогою - розподілу, а для Мн - за допомогою розподілу Стьюдента. З графіків видно, що при малій кількості п відмов, що спостерігалися, ширина довірчого інтервалу, яка характеризує можливе відхилення в оцінці параметра розподілу, велика. Справжнє значення параметра може у кілька разів відрізнятися від отриманого з досвіду значення відповідної статистичної оцінки. Зі збільшенням п межі довірчого інтервалу поступово звужуються. Для отримання достатньо точних та достовірних оцінок потрібно, щоб під час випробування спостерігалося велике числовідмов, що, у свою чергу, потребує значного обсягу випробувань, особливо за високої надійності об'єктів.

Точність оцінки, довірча ймовірність (надійність)

Довірчий інтервал

При вибірці малого обсягу слід скористатися інтервальними оцінками т.к. це дозволяє уникнути грубих помилок, На відміну від точкових оцінок.

Інтервальної називають оцінку, яка визначається двома числами - кінцями інтервалу, що покриває параметр, що оцінюється. Інтервальні оцінкидозволяють встановити точність та надійність оцінок.

Нехай знайдена за даними вибірки статистична характеристика* служить оцінкою невідомого параметра. Будемо рахувати постійним числом(може бути і випадковою величиною). Ясно, що * тим точніше визначає параметр, чим менше абсолютна величинарізниці | - * |. Інакше кажучи, якщо >0 і | - * |< , то чем меньше, тем оценка точнее. Таким образом, додатне числохарактеризує точність оцінки.

Однак статистичні методинеможливо категорично стверджувати, що оцінка * задовольняє нерівності | - *|<, можно лишь говорить о вероятности, с которой это неравенство осуществляется.

Надійністю (довірчою ймовірністю) оцінки * називають ймовірність, з якою здійснюється нерівність | - *|<. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Нехай ймовірність того, що | - *|<, равна т.е.

Замінивши нерівність - *|< равносильным ему двойным неравенством -<| - *|<, или *- <<*+, имеем

Р(*-< <*+)=.

Довірчим називають інтервал (*-, *+), який покриває невідомий параметр із заданою надійністю.

Довірчі інтервали для оцінки математичного очікування нормального розподілу за відомого.

Інтервальною оцінкою з надійністю математичного очікування а нормально розподіленої кількісної ознаки Х за вибірковою середньою х за відомого середнього квадратичного відхилення генеральної сукупності служить довірчий інтервал

х - t(/n^?)< a < х + t(/n^?),

де t(/n^?)= - точність оцінки, n - обсяг вибірки, t - значення аргументу функції Лапласа Ф(t), у якому Ф(t)=/2.

З рівності t(/n^?)=, можна зробити такі висновки:

1. у разі зростання обсягу вибірки n число зменшується і, отже, точність оцінки збільшується;

2. збільшення надійності оцінки = 2Ф(t) призводить до збільшення t (Ф(t) - зростаюча функція), отже, і до зростання; іншими словами, збільшення надійності класичної оцінки спричиняє зменшення її точності.

приклад. Випадкова величина X має нормальний розподіл із відомим середнім квадратичним відхиленням =3. Знайти довірчі інтервали для оцінки невідомого математичного очікування a за середнім вибірковим х, якщо обсяг вибірки n = 36 і задана надійність оцінки = 0,95.

Рішення. Знайдемо t. Зі співвідношення 2Ф(t) = 0,95 отримаємо Ф(t) = 0,475. За таблицею знаходимо t=1,96.

Знайдемо точність оцінки:

точність довірчий інтервал вимір

T(/n^?)= (1,96.3)//36 = 0,98.

Довірчий інтервал такий: (х – 0,98; х + 0,98). Наприклад, якщо х = 4,1, то довірчий інтервал має такі довірчі межі:

х – 0,98 = 4,1 – 0,98 = 3,12; х + 0,98 = 4,1 + 0,98 = 5,08.

Таким чином, значення невідомого параметра, що узгоджуються з даними вибірки, задовольняють нерівності 3,12< а < 5,08. Подчеркнем, что было бы ошибочным написать Р (3,12 < а < 5,08) = 0,95. Действительно, так как а - постоянная величина, то либо она заключена в найденном интервале (тогда событие 3,12 < а < 5,08 достоверно и его вероятность равна единице), либо в нем не заключена (в этом случае событие 3,12 < а < 5,08 невозможно и его вероятность равна нулю). Другими словами, доверительную вероятность не следует связывать с оцениваемым параметром; она связана лишь с границами доверительного интервала, которые, как уже было указано, изменяются от выборки к выборке.

Пояснимо сенс, що має задана надійність. Надійність = 0,95 вказує, що якщо зроблено досить велику кількість вибірок, то 95% їх визначає такі довірчі інтервали, у яких параметр справді укладено; лише 5% випадків може вийти межі довірчого інтервалу.

Якщо потрібно оцінити математичне очікування з наперед заданою точністю та надійністю, то мінімальний обсяг вибірки, який забезпечить цю точність, знаходять за формулою

Довірчі інтервали для оцінки математичного очікування нормального розподілу за невідомого

Інтервальною оцінкою з надійністю математичного очікування а нормально розподіленої кількісної ознаки Х за вибірковою середньою х за невідомого середнього квадратичного відхилення генеральної сукупності служить довірчий інтервал

х - t()(s/n^?)< a < х + t()(s/n^?),

де s -«виправлене» вибіркове середнє квадратичне відхилення, t() знаходять таблиці по заданим і n.

приклад. Кількісна ознака X генеральної сукупності розподілена нормально. За вибіркою обсягу n=16 знайдено середню вибіркову x = 20,2 і «виправлене» середнє квадратичне відхилення s = 0,8. Оцінити невідоме математичне очікування за допомогою довірчого інтервалу з надійністю 0,95.

Рішення. Знайдемо t(). Користуючись таблицею, = 0,95 і n=16 знаходимо t()=2,13.

Знайдемо довірчі кордони:

х - t()(s/n^?) = 20,2 - 2,13*. 0,8/16? = 19,774

х + t()(s/n^?) = 20,2 + 2,13 * 0,8/16^? = 20,626

Отже, з надійністю 0,95 невідомий параметр міститься в довірчому інтервалі 19,774< а < 20,626

Оцінка істинного значення вимірюваної величини

Нехай проводиться n незалежних рівноточних вимірів деякої фізичної величини, справжнє значення якої невідомо.

Розглянемо результати окремих вимірів як випадкові величини Хl, Х2,…Хn. Ці величини незалежні (вимірювання незалежні). Мають одне й те математичне очікування а (справжнє значення вимірюваної величини), однакові дисперсії ^2 (вимірювання рівноточні) і розподілені нормально (таке припущення підтверджується досвідом).

Таким чином, всі припущення, які були зроблені при виведенні довірчих інтервалів, виконуються, і, отже, ми маємо право використовувати формули. Іншими словами, справжнє значення вимірюваної величини можна оцінювати за середнім арифметичним результатом окремих вимірювань за допомогою довірчих інтервалів.

приклад. За даними дев'яти незалежних рівноточних вимірювань фізичної величини знайдені середні арифметичні результати окремих вимірювань х = 42,319 і «виправлене» середнє квадратичне відхилення s = 5,0. Потрібно оцінити справжнє значення вимірюваної величини з надійністю = 0,95.

Рішення. Справжнє значення вимірюваної величини дорівнює її математичному очікуванню. Тому завдання зводиться до оцінки математичного очікування (при невідомому) за допомогою довірчого інтервалу покриває а з заданою надійністю = 0,95.

х - t()(s/n^?)< a < х + t()(s/n^?)

Користуючись таблицею, у = 0,95 і л = 9 знаходимо

Знайдемо точність оцінки:

t()(s/n^?) = 2,31 * 5/9^?=3.85

Знайдемо довірчі кордони:

х - t()(s/n^?) = 42,319 - 3,85 = 38,469;

x + t()(s/n^?) = 42,319 +3,85 = 46,169.

Отже, з надійністю 0,95 дійсне значення вимірюваної величини укладено в довірчому інтервалі 38,469< а < 46,169.

Довірчі інтервали для оцінки середнього відхилення квадратичного нормального розподілу.

Нехай кількісна ознака X генеральної сукупності розподілена нормально. Потрібно оцінити невідоме генеральне середнє квадратичне відхилення щодо «виправленого» вибіркового середнього квадратичного відхилення s. Для цього скористаємося інтервальною оцінкою.

Інтервальною оцінкою (з надійністю) середнього квадратичного відхилення про нормально розподілену кількісну ознаку X за «виправленим» вибірковим середнім квадратичним відхиленням s служить довірчий інтервал

s (1 - q)< < s (1 + q) (при q < 1),

0 < < s (1 + q) (при q > 1),

де q знаходять за таблицею за заданими n н.

Приклад 1. Кількісний ознака X генеральної сукупності розподілено нормально. За вибіркою обсягу n = 25 знайдено "виправлене" середнє квадратичне відхилення s = 0,8. Знайти довірчий інтервал, що покриває генеральне середнє відхилення з надійністю 0,95.

Рішення. За таблицею за даними = 0,95 та n = 25 знайдемо q = 0,32.

Шуканий довірчий інтервал s (1 - q)< < s (1 + q) таков:

0,8(1-- 0,32) < < 0,8(1+0,32), или 0,544 < < 1,056.

Приклад 2. Кількісна ознака X генеральної сукупності розподілена нормально. За вибіркою обсягу n=10 знайдено «виправлене» середнє відхилення квадрати s = 0,16. Знайти довірчий інтервал, що покриває генеральне середнє відхилення з надійністю 0,999.

Рішення. За таблицею додатку за даними = 0,999 і n = 10 знайдемо 17 = 1,80 (q> 1). Шуканий довірчий інтервал такий:

0 < < 0,16(1 + 1,80), или 0 < < 0,448.

Оцінкаточності вимірів

Теоретично помилок прийнято точність вимірів (точність приладу) характеризувати з допомогою середнього квадратичного відхилення випадкових помилок вимірів. Для оцінки використовують «виправлене» середнє квадратичне відхилення s. Оскільки зазвичай результати вимірювань взаємно незалежні, мають те саме математичне очікування (справжнє значення вимірюваної величини) і однакову дисперсію (у разі рівноточних вимірювань), то теорія, викладена у попередньому параграфі, застосовна з метою оцінки точності вимірювань.

приклад. За 15 рівноточними вимірами знайдено «виправлене» середнє квадратичне відхилення s = 0,12. Знайти точність вимірів з надійністю 0,99.

Рішення. Точність вимірів характеризується середнім квадратичним відхиленням випадкових помилок, тому завдання зводиться до пошуку довірчого інтервалу s (1 - q)< < s (1 + q) , покрывающего с заданной надежностью 0,99

За таблицею додатку = 0,99 і n=15 знайдемо q = 0,73.

Шуканий довірчий інтервал

0,12(1-- 0,73) < < 0,12(1+0,73), или 0.03 < < 0,21.

Оцінка ймовірності (біноміального розподілу) щодо відносної частоти

Інтервальною оцінкою (з надійністю) невідомої ймовірності p біномного розподілу по відносній частоті w служить довірчий інтервал (з наближеними кінцями p1 і р2)

p1< p < p2,

де n – загальна кількість випробувань; m – число появи події; w - відносна частота, що дорівнює відношенню m/n; t - значення аргументу функції Лапласа, у якому Ф(t) = /2.

Зауваження. При великих значеннях n (порядку сотень) можна прийняти як наближені межі довірчого інтервалу