Методика вивчення буквених виразів у початковій школі. Методика вивчення елементів алгебри

1. Значення алгебраїчного матеріалув початковому навчанніматематики.

2. Завдання вивчення алгебраїчного матеріалу.

3. Методика роботи над поняттями алгебри.

4. Методика вивчення математичних виразів.

5. Методика вивчення числових рівностей та нерівностей.

6. Методика навчання розв'язання рівнянь та завдань алгебраїчним способом.

7. Методика роботи над нерівностями зі змінною.

8. Функціональна пропедевтика у початковому навчанні математики.

1. Значення алгебраїчного матеріалу у початковому навчанні математики

а) знаходження значень математичних виразів;

б) розв'язання рівнянь та нерівностей;

а) закони а×(b+c)=a×b+a×c;

б) залежності, правила a+b=c

4. Розвиток логічного та теоретичного мислення.

5. Підготовка до подальшого вивчення математики.

Т.о. алгебраїчний матеріал виконує допоміжну функцію щодо арифметичного матеріалу.

Хоча матеріал алгебри займає підпорядковане арифметичному змісту місце, він володіє і деякою самостійністю, яка, перш за все, проявляється в послідовності введення елементів алгебри.

Які алгебраїчні поняття вводяться в початковому курсіматематики? Як вони визначаються у математиці? (Див. ос №22)

У початковому курсі математики жодна з них не доводиться до рівня формального визначення. Отже, не можна ставити питання: "Що називається ..?"

Учні повинні: правильно розуміти термін та правильно оперувати їм у практичної діяльності.

Розуміти

Термін Об'єкт

Застосовувати

Робота з формування алгебраїчних понятьведеться поетапно:

1. Підготовча робота.

2. Введення поняття (терміну).

3. Закріплення у практичній діяльності.

Підготовча роботавключає оперування відповідними об'єктами без термінів. Наприклад:

а) 2+1, 5-1, 3+1+1, 20+8+30+1, 12:2?5; (51-48):(27:9) тощо→для введення поняття “Математичний вираз”.

б) 1 = 1, 1<2, 8+2+3=13, 8?7=56 и т.п.→понятий “ равенство”, “ неравенство ”.

в)? +4=6, а+4=6, х+4=12→рівняння.

Отже, на етапі підготовки йде накопичення конкретних уявлень, які у наступному етапі узагальнюються.

Алгебраїчні поняття вводяться:

а) контекстуально, тобто зміст нового терміна з'ясовується із змісту уривка тексту. Наприклад: ” Літера х (ікс) позначає невідоме число. х +2 = 5 - це рівняння. Вирішити рівняння означає знайти невідоме число”.

б) остенсивно, коли об'єкт просто називається і демонструється. Наприклад: "Числові математичні вирази".

У цьому необхідно використовувати порівняння, аналіз, синтез, класифікацію. Наприклад: "Рівність - нерівність".

Засвоєнняалгебраїчних понять здійснюється у практичній діяльності з конкретними їх представниками.

Учні навчаються правильно розуміти та застосовувати відповідні слова – терміни.

Що означає вивчати математичні вирази? (Див. ОС N22)

- Навчання читання та запису під диктовку або за текстом підручника;

- Ознайомлення з правилами порядку виконання дій;

- Складання виразів за завданнями, за схемами;

- Обчислення значень виразів;

- Ознайомлення з перетвореннями (тотожними) виразів;

- Порівняння виразів.

(8:00)

План:

1. Цілі вивчення алгебраїчного матеріалу в початкових класах.

2. Властивості арифметичних дій, що вивчаються у початкових класах.

3. Вивчення числових виразів та правил порядку виконання дій:

Одного порядку без дужок;

одного порядку з дужками;

Вирази без дужок, що включають 4 арифметичні дії, з дужками.

4. Аналіз числових рівностей і нерівностей, що вивчаються в початкових класах (порівняння двох чисел, числа та числового виразу, двох числових виразів).

5. Введення буквеної символіки зі змінною.

6. Методика вивчення рівнянь:

а) дайте визначення рівняння (з лекцій з математики та з підручника математики для початкової школи),

б) виділіть обсяг та зміст поняття,

в) яким методом (абстрактно-дедуктивним чи конкретно-індуктивним) вводитимете це поняття? Напишіть основні етапи роботи над рівнянням.

Виконайте завдання:

1. Пояснити доцільність використання у початкових класах нерівностей зі змінною.

2. Підготувати повідомлення до заняття можливості формування в учнів функціональної пропедевтики (через гру, через вивчення нерівностей).

3. Підібрати завдання для учнів щодо виконання суттєвих та несуттєвих властивостей поняття «рівняння».

1. Абрамова О.А., Моро М.І.Розв'язання рівнянь // Початкова школа. - 1983. - №3. - С. 78-79.

2. Иманбекова П.Засоби наочності для формування поняття «рівність» і «нерівність» // Початкова школа. - 1978. - №11. - С. 38-40.

3. Щадрова І.В.Про порядок дій у арифметичному вираженні // Початкова школа. - 2000. - №2. - С. 105-107.

4. Шихалієв Х.Ш.Єдиний підхід до розв'язання рівнянь та нерівностей // Початкова школа. - 1989. - №8. - С. 83-86.

5. Назарова І.М.Ознайомлення з функціональною залежністю під час навчання розв'язання завдань // Початкова школа. - 1989. - №1. - С. 42-46.

6. Кузнєцова В.І.Про деякі типові помилки учнів, пов'язаних з питаннями пропедевтики алгебри // Початкова школа. - 1974. - №2. - С. 31.

Загальна характеристика методики вивчення

алгебраїчного матеріалу

Введення алгебраїчного матеріалу в початковий курс математики дозволяє підготувати учнів до вивчення основних понять сучасної математики, наприклад, як «змінна», «рівняння», «нерівність» та ін, сприяє розвитку у дітей функціонального мислення.

Основні поняття теми - "вираз", "рівність", "нерівність", "рівняння".

Термін «рівняння» вводиться щодо теми «Тисяча», але підготовча робота до ознайомлення учнів із рівняннями починається з 1 класу. Терміни «вираз», «значення висловлювання», «рівність», «нерівність» включаються до словника учнів починаючи з 2 класу. Поняття «вирішити нерівність» у початкових класах не вводиться.

Числові вирази

У математиці під виразом розуміють постійну за певними правилами послідовність математичних символів, що позначають числа та дії з них. Приклади виразів: 7; 5+4; 5 · (3 + в); 40: 5 + 6 і т.п.

Вирази виду 7; 5+4; 10: 5+6; (5 + 3) · 10 називають числовими виразами на відміну від виразів виду 8 – а; (3 + в); 50: до, Які називаються літерними виразами або виразами зі змінною.

Завдання вивчення теми

2. Ознайомити учнів з правилами порядку виконання дій над числами та відповідно до них виробити вміння знаходити числові значення виразів.

3. Ознайомити учнів із тотожними перетвореннями виразів з урахуванням арифметичних дій.

У методиці ознайомлення молодших школярівз поняттям числового виразу можна виділити три етапи, що передбачають ознайомлення з виразами, що містять:

Одна арифметична дія (I етап);

Два і більше арифметичних дій одного ступеня (ІІ етап);

Два і більше арифметичних процесів різних ступенів (III етап).

З найпростішими висловлюваннями – сумою та різницею – учнів знайомлять у I класі (під час вивчення додавання і віднімання не більше 10); з добутком та приватним двох чисел – у II класі.

Вже щодо теми «Десяток» у словник учнів вводяться назви арифметичних дій, терміни «доданок», «сума», «зменшуване», «віднімається», «різницю». Крім термінології, вони повинні також засвоїти деякі елементи математичної символіки, зокрема знаки дій (плюс, мінус); вони повинні навчитися читати та записувати найпростіші математичні вирази виду 5 + 4 (сума чисел «п'ять» та «чотири»); 7 – 2 (різниця чисел «сім» та «два»).

Спочатку учні знайомляться з терміном "сума" у значенні числа, що є результатом дії додавання, а потім у значенні виразу. Прийом віднімання виду 10 – 7, 9 – 6 тощо. заснований на знанні зв'язку між складанням та відніманням. Тому необхідно навчити дітей представляти число (зменшуване) у вигляді суми двох доданків (10 – це сума чисел 7 та 3; 9 – це сума чисел 6 та 3).

З виразами, що містять два і більше арифметичних дій, діти знайомляться на першому році навчання при засвоєнні обчислювальних прийомів ± 2, ± 3, ± 1. вони вирішують приклади виду 3 + 1 + 1, 6 – 1 – 1, 2 + 2 + 2 та ін. Обчислюючи, наприклад, значення першого виразу, учень пояснює: «До трьох додати один, вийде чотири, до чотирьох додати один, вийде п'ять». Аналогічним чином пояснюється рішення прикладів виду 6 - 1 - 1 та ін. Тим самим першокласники поступово готуються до висновку правила про порядок виконання дій у виразах, що містять дії одного ступеня, що узагальнюється у ІІ класі.

У I класі діти практично оволодіють й іншим правилом порядку виконання дій, саме виконання дій у виразах виду 8 – (4+2); (6 - 2) + 3 та ін.

Узагальнюються знання учнів про правила порядку виконання дій і вводиться ще одне правило про порядок виконання дій у виразах, що не мають дужок та містять арифметичні дії різних ступенів: додавання, віднімання, множення та поділ.

При ознайомленні з новим правилом про порядок виконання дій можна організувати по-різному. Можна запропонувати дітям прочитати правило за підручником та застосувати його при обчисленні значень відповідних виразів. Можна також запропонувати учням обчислити, наприклад, значення виразу 40 – 10: 2. відповіді можуть бути різними: в одних значення виразу виявиться рівним 15 в інших 35.

Після цього вчитель пояснює: «Щоб знайти значення виразу, що не має дужок і містить дії додавання, віднімання, множення та поділу, треба виконати по порядку (зліва направо) спочатку дії множення та поділу, а потім (також зліва направо) додавання та віднімання. У цьому виразі треба спочатку 10 розділити на 2, а потім від 40 відняти отриманий результат 5. значення виразу дорівнює 35».

Учні початкових класівПрактично знайомляться з тотожними перетвореннями выражений.

Тотожне перетворення виразів – це заміна даного висловлювання іншим, значення якого дорівнює значенню заданого (термін та визначення учням початкових класів не даються).

З перетворенням виразів учні зустрічаються з першого класу у зв'язку з вивченням властивостей арифметичних процесів. Наприклад, при вирішенні прикладів виду 10 + (50 + 3) зручним способом діти міркують так: «Зручніше десятки скласти з десятками і до отриманого результату 60 додати 3 одиниці. Запишу: 10 (50 + 3) = (10 + 50) + 3 = 63».

Виконуючи завдання, в якому треба закінчити запис: (10 + 7) · 3 = 10 · 3 + 7 · 3 …, діти пояснюють: «Зліва суму чисел 10 і 7 множать на число 3, справа перше доданок 10 цієї суми помножили на число 3; щоб зберігся знак «рівно», треба другий доданок 7 також помножити на число 3 та отримані твори скласти. Запишу так: (10 + 7) · 3 = 10 · 3 + 7 · 3».

При перетворенні виразів учні іноді допускають помилки виду (10 + 4) · 3 = - 10 · 3 + 4. причина подібних помилок пов'язана з неправильним використанням раніше засвоєних знань (у даному випадку з використанням правила додавання до суми числа при вирішенні прикладу, якому суму треба помножити на число). Для запобігання таким помилкам можна запропонувати учням такі завдання:

а) Порівняй вирази, записані у лівій частині рівностей. Чим вони подібні, чим відрізняються? Поясні, як вирахували їх значення:

(10 + 4) + 3 = 10 + (4 + 3) = 10 + 7 = 17

(10 + 4) · 3 = 10 · 3 + 4 · 3 = 30 + 12 = 42

б) Заповни пропуски та знайди результат:

(20 + 3) + 5 = 20 + (3 + ð); (20 + 3) · 5 = 20 · + 3 · ð.

в) Порівняй вирази і постав між ними знак >,< или =:

(30 + 4) + 2 … 30 + (4 + 2); (30 + 4) + 2 … 30 · 2 + 4 · 2.

г) Перевір обчисленням, чи вірні такі рівності:

8 · 3 + 7 · 3 = (8 + 7) · 3; 30+(5+7) = 30+7.

Літерні вирази

У початкових класах передбачається проведення – у тісного зв'язкуз вивченням нумерації та арифметичних дій – підготовчої роботиз розкриття змісту змінної. З цією метою до підручників математики включаються вправи, в яких змінна позначається «віконцем». Наприклад, ð< 3, 6 < ð, ð + 2 = 5 и др.

Тут важливо спонукати учнів до того, щоб вони прагнули підставити в «віконце» не одне, а по черзі кілька чисел, перевіряючи щоразу, чи вірний запис.

Так, у разі ð< 3 в «окошко» можно подставить числа 0, 1, 2,; в случае 6 < ð - числа 7, 8, 9, 10, 20 и др.; в случае ð + 2 = 5 можно подставить только число 3.

З метою спрощення програми з математики для початкових класів та забезпечення її доступності буквена символіка як засіб узагальнення арифметичних знаньне використовується. Усі літерні позначення замінюються словесними формулюваннями.

Наприклад, замість завдання

Пропонується завдання у такій формі: «Збільш число 3 у 4 рази; у 5 разів; у 6 разів; …».

Рівності та нерівності

Ознайомлення учнів початкових класів з рівностями та нерівностями пов'язане з вирішенням наступних завдань:

Навчити встановлювати ставлення «більше», «менше» або «рівно» між виразами та записувати результати порівняння за допомогою знака;

Методика формування у молодших школярів уявлень про числові рівність і нерівності передбачає наступну етапність роботи.

На І етапі, насамперед навчальний тиждень, першокласники виконують вправи порівняння сукупностей предметів. Тут найдоцільніше використовувати прийом встановлення взаємно однозначної відповідності. У цьому етапі результати порівняння ще записуються з допомогою відповідних знаків відносини.

На II етапі учні виконують порівняння чисел, спочатку спираючись на предметну наочність, а потім на ту властивість чисел натурального ряду, відповідно до якого з двох різних чиселто число більше, яке за рахунку називають пізніше, і число менше, яке називають раніше. Встановлені в такий спосіб відносини діти записують з допомогою відповідних символів. Наприклад, 3 > 2, 2< 3. В дальнейшем при изучении нумерации (в концентрах «Сотня», «Тысяча», «Багатозначні числа») для порівняння чисел корисно застосовувати два способи, а саме встановлювати відносини між числами: 1) за місцем їх розташування у натуральному ряду; 2) на основі порівняння відповідних розрядних чисел, починаючи з вищих розрядів. Наприклад, 826< 829, так как сотен и десятков в этих числах поровну, а единиц в первом числе меньше, чем во втором.

Також можна порівнювати величини: 4 дм 5 див > 4 дм 3 див, оскільки дециметрів більше, ніж у другий. Крім того, величини можна спочатку виразити в одиницях одного виміру і після цього порівнювати їх: 45 см > 43 см.

Подібні вправи вводяться вже при вивченні додавання та віднімання в межах 10. Їх корисно виконувати з опорою на наочність, наприклад: учні викладають на партах зліва чотири кружки, а праворуч чотири трикутники. З'ясовується, що фігур порівну – чотири. Записують рівність: 4 = 4. потім діти додають до фігур зліва один гурток і записують суму 4 + 1. Зліва фігур більше, ніж праворуч, отже, 4 + 1 > 4.

Використовуючи прийом рівняння, учні переходять від нерівності до рівності. Наприклад, на набірне полотно ставлять 3 гриби та 4 білочки. Щоб грибів та білочок було порівну, можна: 1) додати один гриб (тоді буде 3 гриби та 3 білочки).

На набірному полотні 5 легкових та 5 вантажних машин. Щоб одних машин було більше, ніж інших, можна: 1) прибрати одну (дві, три) машини (легкову або вантажну) або 2) додати одну (дві, три) машини.

Поступово при порівнянні виразів діти переходять від опори на наочність до їх значень. Цей метод у початкових класах є основним. При порівнянні виразів учні можуть також спиратися і на знання: а) взаємозв'язки між компонентами та результатом арифметичної дії: 20 + 5 * 20 + 6 (зліва записана сума чисел 20 і 5, праворуч – сума чисел 20 і 6. Перші складові цих сум однакові , другий доданок суми зліва менше, ніж другий доданок суми праворуч, значить, сума зліва менша, ніж сума справа: 20 + 5< 20 + 6); б) отношение между результатами и компонентами арифметических действий: 15 + 2 * 15 (слева и справа сначала было поровну – по 15. Затем к 15 прибавили 2, стало больше, чем 15); в) смысла действия умножения: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 * 5 · 3 (слева число 5 взяли слагаемым 5 раз, справа число 5 взяли слагаемым 3 раза, значит, сумма слева будет больше, чем справа: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 >5+5+5); г) властивостей арифметичних дій: (5 + 2) · 3 * 5 · 3 + 2 · 3 (ліворуч суму чисел 5 і 2 множать на число 3, праворуч знаходять твори кожного доданку на число 3 і складають їх. Значить, замість зірочки можна поставити знак "рівно": (5 + 2) · 3 = 5 · 3 + 2 · 3).

У таких випадках обчислення значень виразів використовуються перевірки правильності постановки знака. Для запису нерівностей зі змінною у початкових класах використовується «віконце»: 2 > ð, ð = 5, ð > 3.

Перші вправи такого виду корисно виконувати з опорою на числовий ряд, звертаючись до якого учні помічають, що число 2 більше одиниці і нуля, тому в віконце (2 > ð) можна підставляти числа 0 і 1 (2 > 0, 2>1) ).

Аналогічно виконуються інші вправи з віконцем.

Основним способом при розгляді нерівностей із змінною є спосіб підбору.

Для полегшення значень змінної у нерівностях пропонується вибирати їх із певного ряду чисел. Наприклад, можна запропонувати виписати ті з даних чисел ряду 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, при яких вірний запис ð - 7< 5.

При виконанні даного завданняучень може розмірковувати так: «Підставимо в «віконце» число 7: 7 мінус 7 буде 0, 0 менше 5, отже число 7 підходить. Підставимо в «віконце» число 8:8 мінус 7 вийде 1, 1 менше 5, значить, число 8 теж підходить … Підставимо в «віконце» число 12: 12 мінус 7 вийде 5, 5 менше 5 – неправильно, значить число 12 не підходить . Щоб запис ð - 7< 5 была верной, в «окошко» можно подставить любое из чисел 7, 8, 9, 10, 11».

Рівняння

Наприкінці 3 класу діти знайомляться із найпростішими рівняннями виду: х+8 =15; 5+х=12; х–9 =4; 13–х=6; х· 7 = 42; 4· х=12; х:8 =7; 72:х=12.

Дитина повинна вміти розв'язувати рівняння двома способами:

1) способом підбору (у найпростіших випадках); 2) способом, що ґрунтується на застосуванні правил знаходження невідомих компонентів арифметичних дій. Наведемо приклад запису рішення рівняння разом із перевіркою та міркувань дитини за її вирішенні:

х – 9 = 4 х = 4 + 9 х = 13

13 – 9 = 4 4 = 4

«У рівнянні х- 9 = 4 ікс стоїть на місці зменшуваного. Щоб знайти невідоме зменшуване, потрібно до різниці додати віднімання ( х=4+9.) Перевіримо: з 13 віднімемо 9, отримаємо 4. вийшла правильна рівність 4 = 4, отже рівняння вирішено правильно».

У 4 класі дитини можна познайомити із рішенням простих завданьспособом складання рівняння.

Нас оточують об'єкти. З перших днів дитини у школі ми вивчаємо навколишній світ, зокрема і під час уроків математики.

Підручник 1 кл. 1 частина. Що ми бачимо? Ми вивчаємо об'єкти. Що таке поняття про об'єкт? (Це сукупність істотних властивостей об'єкта)

У початкових класах багато математичних понятьспочатку засвоюються поверхнево, розпливчасто. При першому ознайомленні школярі дізнаються лише деякі властивості понять, дуже вузько представляють їх обсяг. І це є закономірним. Не всі поняття легко засвоїти. Але безперечно, що розуміння та своєчасне використання вчителем тих чи інших видів визначень математичних понять – одна з умов формування у учнів твердих знань про ці поняття.

При засвоєнні наукових знаньучні початкової школи стикаються з різними видамипонять. Невміння учня диференціювати поняття призводить до неадекватного засвоєння.

Концепція– це сукупність суджень, думок, у яких щось стверджується про відмітних ознакахдосліджуваного об'єкта. Що маємо на увазі під обсягом поняття? (Сукупність об'єктів, позначених одним і тим же терміном)

Так, програма навчання «Школа Росії» виходить із того, що базовими поняттямиПочаткового курсу математики є поняття «числа» та «величини», паралельно розглядаються алгебраїчний та геометричний матеріал, вирішуються текстові завдання.

У початковій школі ми починаємо давати перші визначення понять: відрізок, квадрат, промінь тощо. Що таке визначення поняття? ( логічна операція, що розкриває зміст поняття)

За обсягом математичні поняття поділяються на поодинокі та загальні. Якщо обсяг поняття входить лише одне предмет, воно називається одиничним.

Приклади одиничних понять: "найменше двозначне число", "цифра 5", "квадрат, довжина сторони якого 10 см", "коло радіусом 5 см".

Загальні поняття відображає ознаки певної множини предметів. Обсяг таких понять завжди буде більшим за обсяг одного елемента.

Приклади загальних понять: «множина двоцифрових чисел», «Трикутники», «Рівняння», «Нерівності», «числа кратні 5», «Підручники математики для початкової школи».

У навчанні молодших школярів найчастіше зустрічаються контекстуальні та остенсивні визначення понять.

Будь-який уривок з тексту, будь-який контекст, в якому трапляється поняття, яке нас цікавить, є в деякому розумінні неявним його визначенням. Контекст ставить поняття у зв'язок з іншими поняттями і цим розкриває її зміст.

Наприклад, вживаючи в роботі з дітьми такі вирази, як «знайти значення виразу», «порівняти значення виразів 5 + а та (а - 3) × 2, якщо а = 7», «прочитати вирази, які є сумами», «прочитати вирази, і потім прочитати рівняння», ми розкриваємо поняття «математичний вираз» як запис, що складається з чисел чи змінних та знаків дій.

Майже всі визначення, з якими ми зустрічаємося в повсякденному житті- Це контекстуальні визначення. Почувши, невідоме словоМи намагаємося самі встановити його значення на підставі всього сказаного.

Подібне має місце й у навчанні молодших школярів. Багато математичних понять у початковій школі визначаються через контекст. Це, наприклад, такі поняття, як «великий - маленький», «який-небудь», «будь-який», «один», «багато», «число», «арифметичну дію», «рівняння», «завдання» тощо .д.

Контекстуальні визначення залишаються здебільшогонеповними та незавершеними. Вони застосовуються у зв'язку з непідготовленістю молодшого школяра до засвоєння повного і більше наукового визначення.

Остенсивні визначення – це визначення шляхом демонстрації. Вони нагадують звичайні контекстуальні визначення, але контекстом тут не уривок будь-якого тексту, а ситуація, у якій виявляється об'єкт, позначений поняттям.

Наприклад, вчитель показує квадрат (малюнок чи паперову модель) і каже «Дивіться – це квадрат». Це типове остенсивне визначення.

У початкових класах остенсивні визначення застосовуються при розгляді таких понять як «червоний (білий, чорний тощо) колір», «лівий - правий», «зліва направо», «цифра», «попереднє і наступне число», «Знаки арифметичних дій», «Знаки порівняння», «Трикутник», «Чотирикутник», «Куб» і т.д.

На основі засвоєння остенсивним шляхом значень слів є можливість вводити до словника дитини вже вербальне значення нових слів та словосполучень. Остенсивні визначення – і лише вони – пов'язують слово з речами.

Зауважимо, що у початкових класах допустимі визначенняна кшталт «Словом «п'ятикутник» ми називатимемо багатокутник із п'ятьма сторонами». Це так зване "номінальне визначення".

Яку структуру має поняття? (Визначається поняття = родове + видове) Наведіть приклад. У результаті цієї формули і побудовано вивчення математичного матеріалуУ початковій школі. Наприклад, розглянемо поняття «квадрат» та «прямокутник». Обсяг поняття "квадрат" є частиною обсягу поняття "прямокутник". Тому перше називають видовим, а друге – родовим. У родо-видових відносинахслід розрізняти поняття найближчого роду та наступні родові щаблі.

Наприклад, для виду "квадрат" найближчим родом буде рід "прямокутник", для прямокутника найближчим родом буде рід "паралелограм", для "паралелограма" - "чотирьохкутник", для "чотирьохкутника" - "багатокутник", а для "багатокутника" - " плоска постать».

У початкових класах вперше кожне поняття вводиться наочно шляхом спостереження конкретних предметівабо практичного оперування (наприклад, за рахунку їх). Вчитель спирається на знання та досвід дітей, які вони набули ще в дошкільному віці. Ознайомлення з математичними поняттями фіксується за допомогою терміна чи терміна та символу.

Особливу увагуслід приділити поняттю число.

Число - це відношення того, що піддається кількісній оцінці (довжина, вага, обсяг та ін) до еталону, який використовується для цієї оцінки. Очевидно, що число залежить як від величини, що вимірювається, так і від еталона. Чим більший вимірювана величина, тим більше буде число при тому самому зразку. Навпаки, що більше буде стандарт (захід), то менше буде число в оцінці однієї й тієї величини. Отже, учні від початку повинні зрозуміти, що порівняння чисел за величиною можна робити лише тоді, коли за ними стоїть той самий еталон. Справді, якщо, наприклад, п'ять отримано при вимірі довжини сантиметрами, а три - при вимірі метрами, три позначають більшу величину, ніж п'ять. Якщо учні не зрозуміють відносної природи числа, то вони будуть відчувати серйозні труднощіта щодо системи обчислення.

Натуральне числорозглядається як загальна властивістькласу еквівалентних кінцевих множин. Перші ставлення до числа пов'язані з кількісною характеристикою предметів.

(Багато - Сукупність деяких об'єктів, еквівалентні = рівночисленні)

Кількісна характеристика множиниусвідомлюється учнями у процесі встановлення взаємно однозначної відповідності між елементами непустої кінцевої множини та відрізком натуральної числового ряду. Така взаємно однозначна відповідність називається рахунком елементів кінцевої множини. В цьому випадку кількісна характеристиканепустих кінцевих множин знаходить вираз у таких відносинах, як «більше», «менше», «рівно», що позначаються відповідними символами.

На основі використання предметної наочності встановлюється, наприклад, що число кіл більше, ніж квадратів, а квадратів менше, ніж кіл.

4, отже 5 б 4, 4 м 5

Число «нуль» на поч. школі розглядається як характеристика порожньої множини на основі практичної діяльності з безліччю предметів. Для цієї мети використовуються малюнки типу:

. . .

.

. .

Або з урахуванням результат арифметичного дії під час розгляду прикладів виду: 3-1=2, 2-1=1, 1-1=0.

Розглядаються цілі невід'ємні числа в курсі математики початкової школи за концентрами: "Числа від 0 до 10", "Числа від 10 до 100", "Числа від 100 до 1000", "Числа, які більше 1000".

Основними поняттями у кожному концентрі є усна та письмова нумерація.

Усна нумерація- Спосіб називання кожного з чисел, що зустрічаються в життєвій практиці, за допомогою слів-числових: один, дев'ять, сто два і т.д.

Письмова нумерація- спосіб запису кожного з чисел, що зустрічаються в життєвій практиці, за допомогою цифр: 1, 2, 3 ... 9, 0 на основі принципу помісного значення цифр (кожна цифра в залежності від місця, яке він займає в записі числа, має своє певне значення). Наприклад, у записі числа 999 цифра 9, що стоїть першому місці справа наліво, означає в даному числі 9 одиниць. Ця ж цифра, що стоїть на другому місці справа наліво, означає, що в числі 9 десятків і т.д.

Арифметичні дії +, -, х, : розглядаються в н. на теоретико-множинні основі.

Додаванняцілих неотрицательных чисел пов'язані з операцією об'єднання кінцевих попарно непересекающихся множин.

Відніманнянатуральних чиселрозглядається на наочній основі як видалення частини кінцевої множини, що є підмножиною даної множини.

множенняцілих неотрицательных чисел сприймається як число елементів у поєднанні рівночисленних попарно непересекающихся множин.

Поділз теоретико-множинної точки зору пов'язано з розбиттям кінцевої множини на рівночисленні попарно непересічні підмножини. З його допомогою вирішуються дві задачі на поділ: віднайдення числа елементів у кожному підмножині розбиття (розподіл на рівні частини) (пр.: 15 яблук лежало на 3 тарілках. Скільки яблук на кожній тарілці?) і відшукування числа таких підмножин (поділ за змістом) (пр.: 15 яблук лежало на тарілках. На кожній тарілці лежало по 5 яблук. Скільки тарілок стояло на столі?).

Формування в учнів уявлень про число та десятковій системічислення тісно пов'язані з вивченням величин.

Величина- Це деяка властивість безлічі предметів або явищ.

Величина– це така властивість предметів або явищ, яка дозволяє порівняти та встановити пари об'єктів, що володіють цією властивістю рівною чи нерівною мірою.

У н. розглядаються такі величини як довжина, площа, час, обсяг, маса.

Довжина– величина, що характеризує протяжність, віддаленість та переміщення тіл або їх частин уздовж заданої лінії. Довжина відрізка або прямий– це відстань між його кінцями, виміряна будь-яким відрізком, прийнятим за одиницю виміру довжини.

Площа- Величина, що характеризує геометричні фігурина площині та визначається числом заповнювачів плоску фігуруодиничних квадратів, тобто. квадратів зі стороною, що дорівнює одиниці довжини. Виміряти площу фігури- значить встановити, стільки квадратних одиницьдовжина (кв. см, кв.дм, кв.м і т.д.) вона містить.

Об'єм, місткість- Це величина, що характеризує геометричні тілаі визначається в найпростіших випадках числом одиничних кубів, що вміщаються в тіло, тобто. кубів з ребром, рівним одиницідовжини. Тіла можуть мати однакові (тобто тіла рівновеликі) та різні об'єми.

Маса– це фізична величина, що є однією з основних характеристик матерії, що визначає її інерційні та гравітаційні властивості. Порівняння мас тіл, дій над ними зводиться до порівняння та дій над числовими значеннями мас при одній і тій самій одиниці виміру маси.

Час- Величина, що характеризує послідовну зміну явищ і станів матерії, тривалість буття. Календар- Система рахунки днів, місяців, років. У математиці час розглядають як скалярну величину (величина, кожне значення якої можна виразити одним дійсним числом), т.к. проміжки часу мають властивості, схожі на властивості довжини, площі, маси. Проміжки часу так само, як і інші скалярні величини, можна порівнювати, складати, віднімати, множити і ділити на позитивне дійсне число. Між величинами одного роду мають місце відношення: "більше", "менше", "рівно".

На наочній основі вводяться поняття про частку величини та дробу. Часткарозглядається як одна з рівних частинцілого. Дрібвизначається як пара натуральних чисел ( а, n), що характеризує безліч А однакових часток одиниці; перше з них апоказує, скільки « n-их» часток містить А і називається чисельників дробу, друге n –на скільки однакових часток розділена одиниця і називається знаменником дробу.

Паралельно з арифметичним матеріалом та вивченням величин розглядається теоретичний матеріал: комутативна властивість складання та множення (переміщувальна); сполучна властивість множення та додавання (асоціативна), розподільна властивість поділу щодо суми та різниці; розподільна властивість поділу щодо суми та різниці; дистрибутивна властивість множення щодо додавання та віднімання – розглядаються як правила множення суми (різниці) на число (a + b) x c = a x c + b x c. Крім того, розглядається залежність між компонентами та результатом арифметичної дії. Пізніше з урахуванням цієї залежності розглядається рішення рівнянь.

У шкільній практиці багато вчителів домагаються від учнів заучування визначень понять і вимагають знання їх основних властивостей, що доводяться. Проте результати такого навчання зазвичай є незначними. Це тому, більшість учнів, застосовуючи поняття, засвоєні у шкільництві, спираються на малоістотні ознаки, істотні ознаки понять учні усвідомлюють і відтворюють лише за відповіді питання, потребують визначення поняття. Часто учні безпомилково відтворюють поняття, тобто виявляють знання його суттєвих ознак, але застосувати ці знання практично не можуть, спираються ті випадкові ознаки, виділені завдяки безпосередньому досвіду. Процесом засвоєння понять можна управляти, формувати їх із заданими якостями.

Докладніше зупинимося на поетапному формуванні понять.

Після виконання п'яти-восьми завдань із реальними предметами чи моделями учні без жодного заучування запам'ятовують і ознаки поняття, і правило дії. Потім дія переводиться у зовнішньомовну форму, коли завдання даються в письмовому вигляді, а ознаки понять, правило, і розпорядження називаються чи записуються учнями з пам'яті. На цьому етапі учні можуть працювати парами, по черзі виступаючи то ролі виконавця, то ролі контролера.

У тому випадку, коли дія легко і правильно виконується у зовнішньомовній формі, його можна перекласти у внутрішню форму. Завдання дається письмово, а відтворення ознак, їх перевірку, порівняння отриманих результатів із правилом учень робить для себе. Учень все ще отримує вказівки типу «Назви про себе першу ознаку», «Перевір, чи він» і т.д. Спочатку контролюється правильність кожної операції та кінцевої відповіді. Поступово контроль здійснюється лише за кінцевим результатом і проводиться у міру потреби.

Якщо дію виконується правильно, його переводять на розумовий етап: учень сам і виконує, і контролює дію. У програмі навчання цьому етапі передбачається контроль із боку навчального лише за кінцевим продуктом дії; учень отримує Зворотній зв'язокза наявності труднощів чи невпевненості у правильності результату. Процес виконання тепер прихований, дія стала цілком розумовим, ідеальним, але зміст його відомий навчальному, оскільки він сам його будував і сам перетворив з дії зовнішнього, матеріального.

Так поступово відбувається перетворення дії формою. Перетворення дії із узагальненості забезпечується спеціальним підбором завдань. У цьому враховується як специфічна, і загальнологічна частина орієнтовної основи действия.

Для узагальнення специфічної частини, пов'язаної із застосуванням системи необхідних та достатніх ознак, даються для розпізнавання всі типові види об'єктів, що належать до цього поняття. Так, при формуванні поняття кут важливо, щоб учні попрацювали з кутами, що відрізняються за величиною (від 0 до 360 і більше), за становищем в просторі і т.п. Крім того, важливо взяти і такі об'єкти, які мають лише деякі ознаки даного поняття, Але до нього не належать.

Для узагальнення логічної частини дії розпізнавання даються аналізу всі основні випадки, передбачені логічним правилом підведення під поняття, тобто. завдання з позитивною, негативною та невизначеною відповідями. Можна також включати завдання з надмірними умовами. Характерно, що в практиці навчання, як правило, дається лише один тип завдань: з достатнім складом умов та позитивною відповіддю. У результаті учні засвоюють дію розпізнавання недостатньо узагальненому вигляді, що, природно, обмежує межі його застосування. Завдання з надмірними, невизначеними умовами дають можливість навчити учнів як виявляти ті чи інші ознаки у предметах, а й встановлювати достатність їх на вирішення завдання. Останні у життєвій практиці часто виступають як самостійна проблема.

Перетворення дії за двома іншими властивостями досягається повторюваністю однотипних завдань. Робити це доцільно, як було зазначено, лише на останніх етапах. На всіх інших етапах дається лише така кількість завдань, що забезпечує засвоєння впливу у цій формі. Затримувати дію на перехідних формах не можна, оскільки це призведе до автоматизації їх у цій формі, що перешкоджає перекладу на нову, пізню форму.

Вивчення алгебраїчного матеріалу у початковій школі. Введення елементів алгебри в початковий курс математики дозволяє від початку навчання вести планомірну роботу, спрямовану формування в дітей віком таких найважливіших математичних понять, як вираз, рівність, нерівність, рівняння. Включення елементів алгебри має на меті головним чином повніше і глибше розкриття арифметичних понять, доведення узагальнень учнів до більш високого рівня, і навіть створення передумов для успішного засвоєння надалі курсу алгебри. Ознайомлення з використанням літери як символу, що позначає будь-яке число з відомої дітям області чисел, створює умови для узагальнення багатьох питань, що розглядаються в початковому курсі арифметичної теорії , є гарною підготовкою до ознайомлення дітей надалі з поняттями змінної функції. Більш раннє ознайомлення з використанням способу розв'язання алгебри дозволяє внести серйозні вдосконалення у всю систему навчання дітей вирішенню різноманітних текстових завдань. Робота над усіма перерахованими питаннями змісту алгебри, відповідно до того, як це намічено в підручниках, повинна вестися планомірно і систематично протягом усіх років початкового навчання. Вивчення елементів алгебри у початковому навчанні математики тісно пов'язують із вивченням арифметики. Це виражається, зокрема, і в тому, що, наприклад, рівняння та нерівності вирішуються не на основі застосування апарату алгебри, а на основі використання властивостей арифметичних дій, на основі взаємозв'язку між компонентами і результатами цих дій. Формування кожного з аналізованих понять алгебри не доводиться до формально-логічного визначення. Завдання вивчення темы: 1. Сформувати в учнів уміння читати, записувати і порівнювати числові висловлювання. 2. Ознайомити учнів з правилами виконання порядку дій у числових виразах та виробити вміння обчислювати значення виразів відповідно до цих правил. 3. Сформувати в учнів уміння читати, записувати буквені висловлювання і обчислювати їх значення за даних значеннях букв. 4. Познайомити учнів з рівняннями першого ступеня, що містить дії першого та другого ступеня, сформувати вміння вирішувати їх способом підбору, а також на основі знання взаємозв'язку між компонентами та результатом арифметичних дій. Математичні вирази. При формуванні у дітей поняття математичного виразу необхідно враховувати, що знак дії, поставлений між числами, має два сенси: з одного боку, він позначає дію, яку треба виконати над числами (наприклад, 6+4 – до шести додати чотири); з іншого боку, знак дії служить позначення виразу (6+4 - це сума чисел 6 і 4). Поняття про вираз формується у молодших школярів у зв'язку з поняттями про арифметичні дії та сприяє кращому їх засвоєнню. Ознайомлення з числовими виразами: у методиці роботи над виразами передбачаються два етапи. У першому їх формується поняття про найпростіших висловлюваннях (сума, різницю, твір, приватне двох чисел), але в другому- про складних (сума твори і числа, різницю двох приватних тощо. п.). Знайомство з першим виразом - сумою двох чисел відбувається у I класі щодо складення і віднімання не більше 10. Виконуючи операції над множинами, учні, перш за все, засвоюють конкретний зміст додавання та віднімання, тому в записах виду 5+1, 6-2 знаки дій усвідомлюються ними як коротке позначенняслів «додати», «відняти». Приблизно в такому ж плані йдеробота над такими виразами: різницею (1 клас), твором та часткою двох чисел (2 клас). Вводяться терміни «математичний вираз» та «значення математичного виразу» (без визначень). Після запису кількох прикладів на одну дію вчитель повідомляє, що ці приклади інакше називаються математичними виразами. Правило, що використовується під час читання виразів: 1) встановити, яка дія виконується останнім; 2) згадати, як називаються числа у цій дії; 3) прочитати, чим виражені ці цифри. Вправи у читанні та записі складних виразів, Що містять компоненти дій, задані найпростішими виразами, допомагають дітям засвоїти правила порядку дій, а також готують до розв'язування рівнянь. Пропонуючи подібні вправи та перевіряючи знання та вміння учнів, вчитель повинен прагнути лише до того, щоб вони вміли практично виконувати подібні завдання: записати вираз, прочитати його, скласти вираз за запропонованим завданням, скласти завдання за цим виразом (або по-різному) прочитати дане вираз), розуміли, що означає записати суму (різницю) за допомогою цифр і знаків дій і що означає обчислити суму (різницю), а надалі, після введення відповідних термінівщо означає скласти вираз і що означає знайти його значення. Вивчення правил порядку действий. Мета роботи на даному етапі- спираючись на практичні вміння учнів, звернути увагу на порядок виконання дій у таких висловлюваннях і сформулювати відповідне правило. Учні самостійно вирішують підібрані вчителем приклади і пояснюють, у порядку виконували дії кожному прикладі. Потім формулюють самі чи читають за підручником висновок. Робота ведеться в такій послідовності: 1. Розглядається правило про порядок виконання дій у виразах без дужок, коли над числами виробляють або тільки додавання та віднімання, або тільки множення та розподіл. Висновок: якщо у виразі без дужок зазначені лише дії додавання та віднімання (або тільки дії множення та поділу), то їх виконують у тому порядку, в якому вони записані (тобто зліва направо). 2. Аналогічно вивчають порядок дій у виразах із дужками виду: 85-(46-14),60: (30-20), 90: (2*5). З такими висловлюваннями учні також знайомі та вміють їх читати, записувати та обчислювати їх значення. Пояснивши порядок виконання дій у кількох таких висловлюваннях, діти формулюють висновок: у виразах із дужками першим виконується дія над числами, записаними у дужках. 3. Найбільш важким є правило порядку виконання дій у виразах без дужок, коли в них містяться дії першого та другого ступеня. Висновок: порядок дій прийнято за домовленістю: спочатку виконується множення, розподіл, потім додавання, віднімання зліва направо. 4. Вправи на обчислення значення виразів, коли учневі доводиться застосовувати усі вивчені правила. Ознайомлення з тотожними перетвореннями виразів. Тотожне перетворення висловлювання - це заміна даного виразу іншим, значення якого дорівнює значенню заданого виразу. Учні виконують такі перетворення висловів, спираючись на властивості арифметичних процесів і наслідки, які з них (як додати суму до числа, як відняти число з суми, як помножити число на твір та інших.). При вивченні кожної властивості учні переконуються в тому, що у виразах певного виду можна виконувати дії по-різному, але значення виразу при цьому не змінюється (значення виразу не змінюється при зміні порядку дій лише у тому випадку, якщо при цьому застосовуються властивості дій) Ознайомлення з літерними виразами. Вже в I класі виникає необхідність запровадження символу, що означає невідоме число. У навчальній та методичної літературиз цією метою для учнів пропонувалися найрізноманітніші знаки: багатокрапка, обведена порожня клітина, зірочки, знак запитанняі т. п. Але оскільки всі ці знаки потрібно використовувати в іншому призначенні, то для запису невідомого числа слід використовувати загальноприйнятий для цього знак - букву. Надалі буква як математичний символ використовується у початковому навчанні математики також для запису узагальнених чисел, тобто коли маються на увазі не одне якесь ціле невід'ємне число, а будь-яке число. Така необхідність виникає, коли треба висловити властивості арифметичних процесів. Літери необхідні позначення величин і записи формул, що відбивають залежності між величинами, позначення точок, відрізків, вершин геометричних фігур. У I класі учні застосовують літеру із метою - позначення невідомого шуканого числа. Учні знайомляться з написанням та читанням деяких латинських літер, застосовуючи їх одразу для запису прикладів з невідомим числом (найпростіші рівняння). Учням показується, як перекласти мову математичних символів завдання, виражене словесно: «До невідомого числа додали 2 і отримали 6. Знайти невідоме число». Вчитель пояснює, як записати це завдання: позначити невідоме число буквою х, потім показати за допомогою знака +, що до невідомого числа додали 2 і отримали число, що дорівнює 6, що і записати, використовуючи знак рівності: х + 2 = 6. Тепер треба виконувати дію віднімання, щоб за сумою двох доданків і одному з них знайти інше доданок. p align="justify"> Основна робота з використанням літери як математичного символу виконується в наступних класах. При введенні буквених виразів важливу рольу системі вправ грає вміле комбінування індуктивного та дедуктивного методів. Відповідно до цього вправи передбачають переходи від числових виразів до літерних і, навпаки, від літерних виразів до числових. а + b (а плюс b) також математичний вираз, тільки в ньому доданки позначені літерами: кожна з літер позначає будь-які числа. Надаючи буквам різні числові значення, можна отримати багато скільки завгодно числових виразів. Далі у зв'язку з роботою над висловлюваннями розкривається поняття незмінною. З цією метою розглядаються вирази, у яких постійна величина фіксується за допомогою цифр, наприклад: a±12, 8±с. Тут, як і попередньому етапі, передбачаються вправи на перехід від числових виразів до виразів, записаним з допомогою літер і цифр, і назад. Аналогічно можна отримати математичні вирази виду: 17±п, к±30, а пізніше - вирази виду: 7 * b, а: 8, 48: d. p align="justify"> Робота з обчислення значень буквених виразів при різних значеннях букв, спостереженню за зміною результатів обчислень в залежності від зміни компонентів дій закладає основи для формування поняття про змінну. Розглядаються вправи на перебування числових значеньвиразів при даних значеннях літери. Далі літери використовуються для запису в узагальненому вигляді раніше вивчених на конкретних числових прикладах властивостей арифметичних процесів. Учні, виконуючи спеціальні вправи, опановують такі вміння: 1. Записати за допомогою літер властивості арифметичних дій, зв'язок між компонентами та результатами арифметичних дій. 2. Прочитати записані з допомогою літер властивості арифметичних процесів, залежності, відносини. 3. Виконати тотожне перетвореннявирази з урахуванням знання властивостей арифметичних процесів. 4. Довести справедливість заданих рівностейабо нерівностей за допомогою числової підстановки. Використання буквеної символіки сприяє підвищенню рівня узагальнення знань, що набувають учнів початкових класів, і готує їх до вивчення систематичного курсу алгебри в наступних класах. Рівності, нерівності. У практиці навчання у початкових класах числові висловлювання від початку розглядаються у нерозривному зв'язку з числовими рівностями і нерівностями. У математиці числові рівності та нерівності діляться на справжні та хибні. У початкових класах замість цих термінів вживають слова «вірні» та «невірні». Завдання вивчення рівностей та нерівностей у початкових класах полягають у тому, щоб навчити учнів практично оперувати рівностями та нерівностями: порівнювати числа, порівнювати арифметичні висловлювання, вирішувати найпростіші нерівності з одним невідомим, переходити від нерівності до рівності та від рівності до нерівності. Поняття про рівність, нерівності розкриваються у взаємозв'язку. При вивченні арифметичного матеріалу. Числові рівності та нерівності вивчаються в результаті порівняння заданих чисел або арифметичних виразів. Тому знаками «>», «<», « = » соединяются не любые два числа, не любые два выражения, а лишь те, между которыми существуют указанные отношения. Первоначально у младших школьников формируются понятия только о верных равенствах и неравенствах (не во всех программах). Сравнение чисел осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется, с помощью установления взаимно однозначного соответствия. Установленные отношения записываются с помощью знаков «>», «<», « = », учащиеся упражняются в чтении и записи равенств и неравенств. Впоследствии при изучении нумерации чисел в пределах 100, 1000, а также нумерации многозначных чисел сравнение чисел осуществляется либо на основе сопоставления их по месту в натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по десятичному составу и сравнения соответствующих разрядных чисел. Сравнение величин сначала выполняется с опорой на сравнение самих предметов по данному свойству, а потом осуществляется на основе сравнения числовых значений величин, для чего заданные величины выражаются в одинаковых единицах измерения. Переход к сравнению выражений осуществляется постепенно. Сначала в процессе изучения сложения и вычитания в пределах 10 учащиеся упражняются в сравнении выражения и числа (числа и выражения). Выражение и число (число и выражение) учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множествами (подумай - поставь знак - объясни - проверь вычислением). Сравнить два выражения - значит, сравнить их значения. Сначала выполняются вычисления, затем рассматриваются задания на основе рассуждений с опорой на обобщение. Термины «решить неравенство», «решение неравенства» не вводятся в начальных классах. Уравнения. Подготовкой к ознакомлению учащихся с уравнениями является вся работа с равенствами и неравенствами. Особое значение среди всех этих упражнений имеют задания, при выполнении которых надо от неравенства перейти к равенству и наоборот. Впервые с уравнением учащиеся знакомятся в первом классе после того, как они познакомились с зависимостью между компонентами сложения. Здесь учащийся воспринимает уравнение как равенство, которое справедливо при определенном значении пока неизвестного числа. Выдвигается требование - найти такое значение буквы, обозначающей неизвестное. Чтобы составить уравнение, достаточно задание, выраженное словесно, записать с помощью математических символов. В соответствии с программой в начальных классах рассматриваются уравнения первой степени с одним неизвестным вида: 7+х=10, х-3=10 + 5, х*(17-10)=70, х:2+10 = 30. Неизвестное число сначала находят подбором, а позднее на основе знания связи между результатом и компонентами арифметических действий (т. е. знания способов нахождения неизвестных компонентов). Найти неизвестное число (корень) - значит решить уравнение. С целью формирования умений решать уравнения предлагают разнообразные упражнения: 1) Решите уравнения и выполните проверку. 2) Выполните проверку решенных уравнений, объясните ошибки в неверно решенных уравнениях. 3) Составьте уравнения с числами х, 7, 10, решите и проверьте решение. 3) Из заданных уравнений выберите и решите те, в которых неизвестное число находят вычитанием (делением). 4) Из заданных уравнений выпишите те, в которых неизвестное число равно 8. 5) Рассмотрите решение уравнения, определите, чем является неизвестное в уравнении и вставьте пропущенный знак действия: х...2=12 х…2=12 х=12:2 х=12+2 7) Решите уравнения; сравните уравнения и их решения: х+8=40 х*3 = 24 х-8=40 х: 3 = 24 После того как учащиеся освоят решение простейших уравнений, уравнения усложняются в том отношении, что: 1) в правой части дается выражение: x+10=30-7; 2) один из компонентов задан выражением к + (18 - 15) = 24; 3) один из компонентов задан выражением, причем в него входит неизвестное (73 - b) + 31 = 85 Для решения таких уравнений необходимы знания порядка действий в выражении, а также умения выполнять простейшие преобразования выражений. Далее вводятся уравнения, содержащие действия первой и второй ступени. Для овладения приемом решения этих уравнений в начальных классах учащемуся необходимо в первую очередь научиться левую часть представить в виде двух компонентов, в результате действий с которыми была получена правая часть, и разобрать состав каждого компонента. При обучении решения уравнений важно вырабатывать навык проверки его корня, то есть найденного значения буквы. Здесь учащиеся должны в уравнение вместо буквы подставить ее значение, отдельно вычислить левую и правую части и сравнить полученные результаты. Отношение равенства этих результатов является основанием для заключения, что найденное число удовлетворяет условиям уравнения. Решение задач с помощью уравнений. Чтобы понять роль решения задач с помощью уравнений, рассмотрим сначала, в чем суть этого способа. Пусть надо решить путем составления уравнения задачу: «На экскурсию поехало 28 мальчиков и несколько девочек. Все они разместились в двух автобусах, по 25 человек в каждом. Сколько девочек отправилось на экскурсию?» Обозначим число девочек, которые отправились на экскурсию, какой-либо буквой, например х. Для составления равенства можно выделить различные связи, в соответствии с которыми можно составить выражения и, приравняв их, получить уравнение: а) В условии задачи сказано, что все мальчики и девочки поехали в автобусах, значит, можно выразить, сколько мальчиков и девочек поехало на экскурсию (28+x) и сколько мальчиков и девочек разместилось в автобусах (25*2), а затем приравнять эти выражения; тогда получится уравнение 28+x=25*2; решив это уравнение, получим ответ на вопрос задачи. б) В условии задачи сказано, что в каждом автобусе разместилось по 25 человек, значит, можно выразить число экскурсантов в каждом автобусе через другие числа и приравнять полученное выражение к числу 25, тогда получится уравнение (28+х): 2 = 25. Можно, рассуждая аналогичным образом, составить и другие уравнения. Для решения задачи с помощью составления уравнений обозначают буквой искомое число, выделяют в условии задачи связи, которые позволяют составить равенство, содержащее неизвестное (уравнение), записывают соответствующие выражения и составляют равенство. Полученное уравнение решают. При этом решение полученного уравнения не связывается с содержанием задачи. Решение любой задачи можно выполнить путем составления уравнения, руководствуясь указанным планом. В этом заключается универсальность способа решения задач с помощью составления уравнений, что определяет его преимущества. Кроме того, как видно, решение задач способом составления уравнений способствует овладению понятием уравнения. Поэтому уже в начальных классах в определенной системе ведется обучение решению задач путем составления уравнений. В методике обучения решению задач с помощью составления уравнений предусматриваются следующие этапы: сначала ведется подготовительная работа к решению задач с помощью уравнений, затем вводится решение простых задач с помощью уравнений и, наконец, рассматриваются приемы составления уравнений при решении составных задач.

Запитання та завдання для самостійної роботи

1. Назвіть геометричні поняття, що вивчаються у початковій школі. Чому вони є предметом вивчення?

2. Чи становить геометричний матеріал у початковому курсі математики самостійний розділ? Чому?

3. Опишіть методику формування у учнів геометричних понять: відрізок, трикутник, кут, прямокутник.

4. Які змогу розвитку логічного мислення учнів надає вивчення геометричного матеріалу? Наведіть приклади.

5. З якими відносинами знайомляться учні щодо геометричного матеріалу?

6. Яку функцію у початковій школі виконують завдання на побудову?

7. Наведіть приклади типових для початкової школи завдань на побудову.

8. З яких етапів складається розв'язання задач на побудову? Покажіть, якою мірою загальна схема розв'язання завдань на побудову можна використовувати у початкових класах.

Лекція 14. Методика вивчення матеріалу алгебри

1. Основні поняття математики.

2. Загальні питання методики вивчення алгебраїчного матеріалу в курсі математики початкових класів.

3. Числові вирази. Вивчення правил порядку виконання арифметичних процесів.

4. Вирази зі змінною.

5. Методика вивчення рівнянь.

6. Методика вивчення числових рівностей та числових нерівностей.

7. Ознайомлення учнів із функціональною залежністю.

Література: (1) Розділ 4; (2) § 27, 37, 52; (5) - (12).

Основні поняття математики

Числове вираз у загальному вигляді можна визначити так:

1) Кожне число є числовим виразом.

2) Якщо А та В - числові вирази, то (А) + (В), (А) - (В), (А) (В), (А): (В); (А)⁽ⁿ⁾ та f(А), де f (х) - деяка числова функція, теж є числовими виразами.

Якщо в числовому виразі можна виконати всі зазначені в ньому дії, то отримане в результаті дійсне число називають числовим значенням даного числового виразу, а про числове вираження говорять, що воно має сенс. Іноді числове вираження немає числового значення, т.к. не всі зазначені в ньому дії можна здійснити; про таке числове вираження говорять, що воно не має (позбавлено) сенсу. Так, наступні числові вирази (5 – 3): (2 – 8:4); √7 – 2 · 6 та (7 - 7)° не мають сенсу.

Таким чином, будь-яке числове вираз має одне числове значення, або позбавлене сенсу. -

Прийнято такий порядок дій при обчисленні значення числового виразу:

1. Спочатку виконуються всі операції усередині дужок. Якщо є кілька пар дужок, обчислення починаються з внутрішніх.

2. Усередині дужок порядок обчислень визначається пріоритетом операцій: першими обчислюються значення функцій, потім виконується зведення у ступінь, потім – множення чи поділ, останніми – додавання та віднімання.

3. За наявності кількох операцій одного пріоритету обчислення виконуються послідовно зліва направо.

Числова рівність- два числові вирази А і В, з'єднані знаком рівності ("=").

Числова нерівність- два числові вирази А і В, з'єднаних знаком нерівності ("<", ">", "≤" або "≥").

Вираз, що містить змінну і звертається до виразу при заміні змінної її значенням, називається виразом зі змінноючи числової формою.

Рівняння з однією змінною(з одним невідомим) – предикат виду f₁(х) = f₂(х), де х∊Х, де f₁(х) та f₂(х) – вирази зі змінною х, визначені на множині X.

Будь-яке значення змінної х із множини X, при якому рівняння звертається у вірну числову рівність, називається корінням(вирішення рівняння). Вирішити рівняння- це означає знайти все його коріння або довести, що їх немає. Безліч всіх коренів рівняння (або безліч істинності Т предикату f₁(х) = f₂(х)) називають безліччю рішень рівняння

Безліч значень, при яких визначено обидві частини рівняння, називають областю допустимих значень (ОДЗ) змінною х і областю визначення рівняння.

2. Загальні питання методики вивчення алгебраїчного матеріалу

Початковий курс математики поряд з основним арифметичним матеріалом включає і елементи алгебри, представлені наступними поняттями:

Числові вирази;

Вирази зі змінною;

Числові рівності та нерівності;

Рівняння.

Метою включення елементів алгебри до курсу математики початкових класів є:

Більш повно та глибше розглядати арифметичний матеріал;

Доводити узагальнення учнів до вищого рівня;

Створити передумови для успішного вивчення алгебри у середньому та старшому ланці школи.

Алгебраїчний матеріал не виділено у програмі окремою темою. Він розподілений по всьому курсу математики початкових класів окремими питаннями. Вивчаються ці питання, починаючи з першого класу, паралельно з вивченням основного арифметичного матеріалу. Послідовність розгляду запропонованих програмою питань визначається підручником.

Засвоєння алгебраїчних понять, що вивчаються, в початкових класах передбачає введення відповідної термінології і виконання найпростіших операцій без побудови формально логічних визначень.